बीजगणतीय अभिव्यक्ति: Difference between revisions

Revision as of 08:00, 8 August 2023

गणित में, बीजगणितीय अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति (गणित) है जो निरंतर (गणित) बीजगणितीय संख्या, चर (गणित), और बीजगणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन (गणित) और घातांक द्वारा घातांक से निर्मित होती है जो है) तर्कसंगत संख्या)।^[1] उदाहरण के लिए, $3 x 2 - 2 xy + c$ बीजीय व्यंजक है. चूँकि वर्गमूल निकालना घात तक बढ़ाने के समान है 1/2, निम्नलिखित भी बीजीय व्यंजक है:

{\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}

बीजगणितीय समीकरण समीकरण है जिसमें केवल बीजीय अभिव्यक्तियाँ सम्मिलित होती हैं।

इसके विपरीत, पाई जैसी पारलौकिक संख्याएँ $π$ और $e$ बीजगणितीय नहीं हैं, क्योंकि वह पूर्णांक स्थिरांक और बीजगणितीय संक्रियाओं से प्राप्त नहीं हुए हैं। सामान्यतः, $π$ का निर्माण ज्यामितीय संबंध और इसकी परिभाषा के रूप में किया गया है $e$ को अनंत संख्या में बीजगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।

एक 'तर्कसंगत अभिव्यक्ति' अभिव्यक्ति (गणित) है जिसे अंकगणितीय संचालन के गुणों (कम्यूटिव संपत्ति और जोड़ और गुणा की साहचर्य संपत्ति, वितरण संपत्ति और अंशों पर संचालन के लिए नियम) का उपयोग करके तर्कसंगत अंश में फिर से लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, तर्कसंगत अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति है जिसे अंकगणित के केवल चार संक्रियाओं का उपयोग करके चर और स्थिरांक से बनाया जा सकता है। इस प्रकार,

{\frac {3x-2xy+c}{y-1}}

जबकि, तर्कसंगत अभिव्यक्ति है

{\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}

क्या नहीं है।

एक परिमेय समीकरण ऐसा समीकरण है जिसमें दो परिमेय भिन्न (या परिमेय व्यंजक) रूप होते हैं

{\frac {P(x)}{Q(x)}}

एक दूसरे के सामान्तर समुच्चय किए गए हैं। यह अभिव्यक्तियाँ भिन्न (गणित) के समान नियमों का पालन करती हैं। समीकरणों को क्रॉस-गुणा द्वारा हल किया जा सकता है। शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, इसलिए शून्य से औपचारिक विभाजन का समाधान अस्वीकार कर दिया जाता है।

शब्दावली

किसी अभिव्यक्ति के भागों का वर्णन करने के लिए बीजगणित की अपनी शब्दावली है:

1 - घातांक (शक्ति), 2 - गुणांक, 3 - पद, 4 - संचालक, 5 - स्थिरांक, $x,y$ - चर

बहुपदों की जड़ों में

किसी बहुपद n की घात वाले बहुपद व्यंजक के फलन के मूल, या समकक्ष रूप से बहुपद समीकरण के समाधान, को सदैव बीजगणितीय व्यंजकों के रूप में लिखा जा सकता है यदि n <5 (द्विघात सूत्र, घन फलन और चतुर्थक समीकरण देखें)। किसी समीकरण के ऐसे समाधान को बीजगणितीय समाधान कहा जाता है। किन्तु एबेल-रफिनी प्रमेय बताता है कि ऐसे सभी समीकरणों के लिए बीजगणितीय समाधान उपस्तिथ नहीं हैं (केवल उनमें से कुछ के लिए) यदि n $\geq$ 5.

सम्मेलन

चर

परंपरा के अनुसार, वर्णमाला के आरंभ में अक्षर (उदा. $a,b,c$ ) सामान्यतः गणितीय स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, और वर्णमाला के अंत की ओर (उदाहरण के लिए) $x,y$ और $z$ ) का उपयोग वेरिएबल (गणित) को दर्शाने के लिए किया जाता है।^[2] वह सामान्यतः इटैलिक में लिखे जाते हैं।^[3]

प्रतिपादक

परंपरा के अनुसार, उच्चतम घात (घातांक) वाले शब्द बाईं ओर लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए, $x^{2}$ के बायीं ओर लिखा है $x$ . जब कोई गुणांक होता है, तब इसे सामान्यतः छोड़ दिया जाता है (उदा. $1x^{2}$ लिखा है $x^{2}$ ).^[4] इसी प्रकार जब घातांक (शक्ति) हो, (उदा. $3x^{1}$ लिखा है $3x$ ),^[5] और, जब घातांक शून्य होता है, तब परिणाम सदैव 1 होता है (उदा. $3x^{0}$ लिखा है $3$ , तब से $x^{0}$ सदैव से रहा है $1$ ).^[6]

बीजगणितीय और अन्य गणितीय अभिव्यक्तियाँ

नीचे दी गई तालिका सारांशित करती है कि सामान्य किन्तु सार्वभौमिक सम्मेलनों के अनुसार, बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ अनेक अन्य प्रकार के गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ तुलना कैसे करती हैं, जिनमें वह तत्व सम्मिलित हो सकते हैं।

v t e	Arithmetic expressions	Polynomial expressions	Algebraic expressions	Closed-form expressions	Analytic expressions	Mathematical expressions
Constant	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Elementary arithmetic operation	Yes	Addition, subtraction, and multiplication only	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite sum	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite product	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite continued fraction	Yes	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Variable	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer exponent	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer nth root	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Rational exponent	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer factorial	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Irrational exponent	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Logarithm	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Root of a polynomial that is not an algebraic solution	No	No	No	No	Yes	Yes
Gamma function and factorial of a non-integer	No	No	No	No	Yes	Yes
Bessel function	No	No	No	No	Yes	Yes
Special function	No	No	No	No	Yes	Yes
Infinite sum (series) (including power series)	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite product	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite continued fraction	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Limit	No	No	No	No	No	Yes
Derivative	No	No	No	No	No	Yes
Integral	No	No	No	No	No	Yes

एक तर्कसंगत बीजगणितीय अभिव्यक्ति (या तर्कसंगत अभिव्यक्ति) बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसे बहुपदों के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि $x 2 + 4 x + 4$ . अपरिमेय बीजगणितीय अभिव्यक्ति वह है जो तर्कसंगत नहीं है, जैसे $\sqrt x + 4$ .

यह भी देखें

↑ Morris, Christopher G. (1992). विज्ञान और प्रौद्योगिकी का अकादमिक प्रेस शब्दकोश. Gulf Professional Publishing. p. 74. algebraic expression over a field.
↑ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
↑ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
↑ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
↑ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
↑ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222

संदर्भ

जेम्स, रॉबर्ट क्लार्क; जेम्स, ग्लेन (1992). गणित शब्दकोश. p. 8. ISBN 9780412990410.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. अभिव्यक्ति.html "बीजगणतीय अभिव्यक्ति". MathWorld. {{cite web}}: Check |url= value (help)

[1] Morris, Christopher G. (1992). विज्ञान और प्रौद्योगिकी का अकादमिक प्रेस शब्दकोश. Gulf Professional Publishing. p. 74. algebraic expression over a field.

[2] William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71

[3] James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]

[4] David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72

[5] John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31

[6] Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222

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 गणित में, '''बीजगणितीय अभिव्यक्ति''' [[अभिव्यक्ति (गणित)]] है जो निरंतर (गणित) [[बीजगणितीय संख्या]], [[चर (गणित)]], और बीजगणितीय संचालन (जोड़, [[घटाव]], [[गुणा]], विभाजन (गणित) और [[घातांक]] द्वारा घातांक से निर्मित होती है जो है) [[तर्कसंगत संख्या]])।<ref>{{cite book |last1=Morris |first1=Christopher G. |title=विज्ञान और प्रौद्योगिकी का अकादमिक प्रेस शब्दकोश|publisher=Gulf Professional Publishing |page=[https://archive.org/details/academicpressdic00morr/page/74 74] |year=1992 |url=https://archive.org/details/academicpressdic00morr|url-access=registration |quote=algebraic expression over a field. }}</ref> उदाहरण के लिए, {{math|1=3''x''<sup>2</sup> − 2''xy'' + ''c''}} बीजीय व्यंजक है. चूँकि [[वर्गमूल]] निकालना घात तक बढ़ाने के समान है {{sfrac|1|2}}, निम्नलिखित भी बीजीय व्यंजक है:
 :<math>\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}</math>
-बीजगणितीय [[समीकरण]] समीकरण है जिसमें केवल बीजीय अभिव्यक्तियाँ शामिल होती हैं।
+बीजगणितीय [[समीकरण]] समीकरण है जिसमें केवल बीजीय अभिव्यक्तियाँ सम्मिलित होती हैं।
-इसके विपरीत, पाई जैसी [[पारलौकिक संख्या]]एँ {{pi}} और {{mvar|[[E (mathematical constant)|e]]}} बीजगणितीय नहीं हैं, क्योंकि वे पूर्णांक स्थिरांक और बीजगणितीय संक्रियाओं से प्राप्त नहीं हुए हैं। आम तौर पर, {{pi}} का निर्माण ज्यामितीय संबंध और इसकी परिभाषा के रूप में किया गया है {{mvar|e}} को अनंत संख्या में बीजगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।
+इसके विपरीत, पाई जैसी [[पारलौकिक संख्या]]एँ {{pi}} और {{mvar|[[E (mathematical constant)|e]]}} बीजगणितीय नहीं हैं, क्योंकि वह  पूर्णांक स्थिरांक और बीजगणितीय संक्रियाओं से प्राप्त नहीं हुए हैं। सामान्यतः, {{pi}} का निर्माण ज्यामितीय संबंध और इसकी परिभाषा के रूप में किया गया है {{mvar|e}} को अनंत संख्या में बीजगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।
 एक '''<nowiki/>'तर्कसंगत अभिव्यक्ति'''' अभिव्यक्ति (गणित) है जिसे [[अंकगणित|अंकगणिती]]य संचालन के गुणों (कम्यूटिव संपत्ति और जोड़ और गुणा की साहचर्य संपत्ति, वितरण संपत्ति और अंशों पर संचालन के लिए नियम) का उपयोग करके [[तर्कसंगत अंश]] में फिर से लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, तर्कसंगत अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति है जिसे अंकगणित के केवल चार संक्रियाओं का उपयोग करके चर और स्थिरांक से बनाया जा सकता है। इस प्रकार,
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 एक परिमेय समीकरण ऐसा समीकरण है जिसमें दो परिमेय भिन्न (या परिमेय व्यंजक) रूप होते हैं
 :<math> \frac{P(x)}{Q(x)}</math>
-एक दूसरे के बराबर सेट किए गए हैं। ये अभिव्यक्तियाँ भिन्न (गणित) के समान नियमों का पालन करती हैं। समीकरणों को [[क्रॉस-गुणा]] द्वारा हल किया जा सकता है। [[शून्य से विभाजन]] अपरिभाषित है, इसलिए शून्य से औपचारिक विभाजन का समाधान अस्वीकार कर दिया जाता है।
+एक दूसरे के सामान्तर समुच्चय किए गए हैं।  यह अभिव्यक्तियाँ भिन्न (गणित) के समान नियमों का पालन करती हैं। समीकरणों को [[क्रॉस-गुणा]] द्वारा हल किया जा सकता है। [[शून्य से विभाजन]] अपरिभाषित है, इसलिए शून्य से औपचारिक विभाजन का समाधान अस्वीकार कर दिया जाता है।
 =='''शब्दावली'''==
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 =='''बहुपदों की जड़ों में'''==
-किसी बहुपद n की घात वाले बहुपद व्यंजक के फलन के मूल, या समकक्ष रूप से [[बहुपद समीकरण]] के समाधान, को हमेशा बीजगणितीय व्यंजकों के रूप में लिखा जा सकता है यदि n <5 ([[द्विघात सूत्र]], [[घन फलन]] और [[चतुर्थक समीकरण]] देखें)। किसी समीकरण के ऐसे समाधान को [[बीजगणितीय समाधान]] कहा जाता है। लेकिन एबेल-रफिनी प्रमेय बताता है कि ऐसे सभी समीकरणों के लिए बीजगणितीय समाधान मौजूद नहीं हैं (केवल उनमें से कुछ के लिए) यदि n <math>\ge</math> 5.
+किसी बहुपद n की घात वाले बहुपद व्यंजक के फलन के मूल, या समकक्ष रूप से [[बहुपद समीकरण]] के समाधान, को सदैव बीजगणितीय व्यंजकों के रूप में लिखा जा सकता है यदि n <5 ([[द्विघात सूत्र]], [[घन फलन]] और [[चतुर्थक समीकरण]] देखें)। किसी समीकरण के ऐसे समाधान को [[बीजगणितीय समाधान]] कहा जाता है। किन्तु एबेल-रफिनी प्रमेय बताता है कि ऐसे सभी समीकरणों के लिए बीजगणितीय समाधान उपस्तिथ  नहीं हैं (केवल उनमें से कुछ के लिए) यदि n <math>\ge</math> 5.
 =='''सम्मेलन'''==
 ===चर===
-परंपरा के अनुसार, वर्णमाला के आरंभ में अक्षर (उदा. <math>a, b, c</math>) आमतौर पर [[गणितीय स्थिरांक]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, और वर्णमाला के अंत की ओर (उदाहरण के लिए) <math>x, y</math> और <math>z</math>) का उपयोग वेरिएबल (गणित) को दर्शाने के लिए किया जाता है।<ref>William L. Hosch (editor), ''The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry'', Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, {{ISBN|1615302190}}, 9781615302192, [https://books.google.com/books?id=ad0P0elU1_0C&q=letters&pg=PA71 page 71]</ref> वे आमतौर पर इटैलिक में लिखे जाते हैं।<ref>James E. Gentle, ''Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics'', Publisher: Springer, 1998, {{ISBN|0387985425}}, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]</ref>
+परंपरा के अनुसार, वर्णमाला के आरंभ में अक्षर (उदा. <math>a, b, c</math>) सामान्यतः [[गणितीय स्थिरांक]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, और वर्णमाला के अंत की ओर (उदाहरण के लिए) <math>x, y</math> और <math>z</math>) का उपयोग वेरिएबल (गणित) को दर्शाने के लिए किया जाता है।<ref>William L. Hosch (editor), ''The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry'', Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, {{ISBN|1615302190}}, 9781615302192, [https://books.google.com/books?id=ad0P0elU1_0C&q=letters&pg=PA71 page 71]</ref> वह  सामान्यतः इटैलिक में लिखे जाते हैं।<ref>James E. Gentle, ''Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics'', Publisher: Springer, 1998, {{ISBN|0387985425}}, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]</ref>
 ===प्रतिपादक===
-परंपरा के अनुसार, उच्चतम घात (घातांक) वाले शब्द बाईं ओर लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए, <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> के बायीं ओर लिखा है <math>x</math>. जब कोई गुणांक होता है, तो इसे आमतौर पर छोड़ दिया जाता है (उदा. <math style="margin-bottom:8px">1x^2</math> लिखा है <math style="margin-bottom:8px">x^2</math>).<ref>David Alan Herzog, ''Teach Yourself Visually Algebra'', Publisher John Wiley & Sons, 2008, {{ISBN|0470185597}}, 9780470185599, 304 pages, [https://books.google.com/books?id=Igs6t_clf0oC&q=coefficient+of+1&pg=PA72 page 72]</ref> इसी प्रकार जब घातांक (शक्ति) हो, (उदा. <math style="margin-bottom:8px">3x^1</math> लिखा है <math style="margin-bottom:8px">3x</math>),<ref>John C. Peterson, ''Technical Mathematics With Calculus'', Publisher Cengage Learning, 2003, {{ISBN|0766861899}}, 9780766861893, 1613 pages, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&dq=%22when+the+exponent+is+1%22&pg=PA32 page 31]</ref> और, जब घातांक शून्य होता है, तो परिणाम हमेशा 1 होता है (उदा. <math style="margin-bottom:8px">3x^0</math> लिखा है <math style="margin-bottom:8px">3</math>, तब से <math style="margin-bottom:8px">x^0</math> हमेशा से रहा है <math>1</math>).<ref>Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, ''Algebra for College Students'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{ISBN|0538733543}}, 9780538733540, 803 pages, [https://books.google.com/books?id=-AHtC0IYMhYC&q=exponents+&pg=PA222 page 222]</ref>
+परंपरा के अनुसार, उच्चतम घात (घातांक) वाले शब्द बाईं ओर लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए, <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> के बायीं ओर लिखा है <math>x</math>. जब कोई गुणांक होता है, तब इसे सामान्यतः छोड़ दिया जाता है (उदा. <math style="margin-bottom:8px">1x^2</math> लिखा है <math style="margin-bottom:8px">x^2</math>).<ref>David Alan Herzog, ''Teach Yourself Visually Algebra'', Publisher John Wiley & Sons, 2008, {{ISBN|0470185597}}, 9780470185599, 304 pages, [https://books.google.com/books?id=Igs6t_clf0oC&q=coefficient+of+1&pg=PA72 page 72]</ref> इसी प्रकार जब घातांक (शक्ति) हो, (उदा. <math style="margin-bottom:8px">3x^1</math> लिखा है <math style="margin-bottom:8px">3x</math>),<ref>John C. Peterson, ''Technical Mathematics With Calculus'', Publisher Cengage Learning, 2003, {{ISBN|0766861899}}, 9780766861893, 1613 pages, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&dq=%22when+the+exponent+is+1%22&pg=PA32 page 31]</ref> और, जब घातांक शून्य होता है, तब परिणाम सदैव 1 होता है (उदा. <math style="margin-bottom:8px">3x^0</math> लिखा है <math style="margin-bottom:8px">3</math>, तब से <math style="margin-bottom:8px">x^0</math> सदैव से रहा है <math>1</math>).<ref>Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, ''Algebra for College Students'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{ISBN|0538733543}}, 9780538733540, 803 pages, [https://books.google.com/books?id=-AHtC0IYMhYC&q=exponents+&pg=PA222 page 222]</ref>
 =='''बीजगणितीय और अन्य गणितीय अभिव्यक्तियाँ'''==
-नीचे दी गई तालिका सारांशित करती है कि सामान्य लेकिन सार्वभौमिक सम्मेलनों के अनुसार, बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ कई अन्य प्रकार के गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ तुलना कैसे करती हैं, जिनमें वे तत्व शामिल हो सकते हैं।
+नीचे दी गई तालिका सारांशित करती है कि सामान्य किन्तु सार्वभौमिक सम्मेलनों के अनुसार, बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ अनेक  अन्य प्रकार के गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ तुलना कैसे करती हैं, जिनमें वह  तत्व सम्मिलित हो सकते हैं।
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चर

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