परिमित अंतर: Difference between revisions

Latest revision as of 17:16, 25 August 2023

परिमित अंतर रूप की गणितीय अभिव्यक्ति है $f (x + b) - f (x + a)$ । यदि एक परिमित अंतर $b - a$ से विभाजित किया जाता है, अंतर भागफल मिलता है। परिमित भिन्नताओं द्वारा अवकलज का अनुमान अवकल समीकरण के संख्यात्मक विश्लेषण समाधान के लिएपरिमित अंतर विधि यों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है विशेष रूप से सीमा मूल्य समस्या के लिए निभाता है।

अंतरसंकारक, सामान्यतः $\Delta$ के रूप में जाना जाता है, वह संकारक (गणित) है जो किसी फलन $f$ को $\Delta [f]$ द्वारा परिभाषित करता है।

\Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).

अवकल समीकरण एक फलनिक समीकरण है जिसमें परिमित अंतर संकारक उसी तरह सम्मलित होता है जैसे एक अवकल समीकरण में अवकलज सम्मलित होते हैं। अवकल समीकरण और अवकल समीकरण के बीच कई समानताएं हैं, विशेष रूप से हल करने के तरीकों में। कुछ पुनरावृत्ति संबंधों को परिमित अंतरों के साथ पुनरावृत्ति संकेतन को बदलकर अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, अवकलज का अनुमान लगाने के लिए परिमित अंतर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और "परिमित अंतर" शब्द का उपयोग अधिकांशतः "अवकलज के परिमित अंतर सन्निकटन" के संक्षिप्त रूप में किया जाता है।^[1]^[2]^[3] परिमित अंतर सन्निकटन ऊपर नियोजित शब्दावली में परिमित अंतर भागफल हैं।

1715 में ब्रुक टेलर द्वारा परिमित अंतर पेश किए गए थे और जॉर्ज बूले(1860), एल.एम. मिल्ने-थॉमसन (1933), और केरोली जॉर्डन [डी] (1939) द्वारा फलन में सार स्व-स्थायी गणितीय वस्तुओं के रूप में भी अध्ययन किया गया है। परिमित अंतर अपनी उत्पत्ति को जोस्ट बर्गी के एल्गोरिदम (c. 1592) में से एक में खोजते हैं और आइजैक न्यूटन सहित अन्य लोगों द्वारा काम करते हैं। परिमित अंतरों की औपचारिक गणना को अत्युणु की गणना के विकल्प के रूप में देखा जा सकता है।^[4]

मूल प्रकार

सामान्यतः तीन बुनियादी प्रकारों पर विचार किया जाता है: अग्र, पश्च और केंद्रीय परिमित अंतर।^[1]^[2]^[3]

अग्रांतर सूत्र, $\Delta _{h}[f],$ एक फलन $f$ के रूप में परिभाषित फलन है

\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).

अनुप्रयोग के आधार पर, रिक्ति $h$ परिवर्तनशील या स्थिर हो सकता है। जब छोड़ा गया, $h$ 1 लिया जाता है, वह है,

\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).

पश्च अंतर फलन मानों $x$ और $x - h$ का उपयोग करता है , $x + h$ और $x$ के मानों के अतिरिक्त::

\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).

अंत में, केंद्रीय अंतर द्वारा दिया जाता है

\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).

अवकलज के साथ संबंध

परिमित अंतर अधिकांशतः व्युत्पन्न के सन्निकटन के रूप में प्रयोग किया जाता है, सामान्यतः संख्यात्मक अवकलन में।

फलन का व्युत्पन्न $f$ एक बिंदु पर $x$ फलन की सीमा द्वारा परिभाषित किया गया है।

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.

यदि $h$ शून्य के करीब पहुंचने के अतिरिक्त निश्चित (गैर-शून्य) मान है, तो उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर लिखा जाएगा

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.

इसलिए, जब $h$ छोटा है अग्र के अंतर से विभाजित $h$ अवकलज का अनुमान लगाता है। इस सन्निकटन में त्रुटि टेलर के प्रमेय से प्राप्त की जा सकती है। ये मानते हुए $f$ दो बार अवकलनीय है, हमारे पास है

{\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.

पश्च अंतर के लिए समान सूत्र है:

{\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.

चूंकि, केंद्रीय (जिसे केंद्रित भी कहा जाता है) अंतर अधिक सटीक सन्निकटन पैदा करता है। यदि $f$ तीन गुना अवकलनीय है,

{\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right).

मुख्य समस्या केंद्रीय अंतर विधि के साथ, चूंकि, यह है कि दोलन कार्य शून्य व्युत्पन्न प्राप्त कर सकते हैं। यदि $f (nh) = 1$ , $n$ विषम के लिए, और $f (nh) = 2$ , $n$ के लिए भी फिर भी $f'(nh) = 0$ यदि इसकी गणना केंद्रीय अंतर योजना से की जाती है। यदि $f$ का प्रांत असतत है तो यह विशेष रूप से कठिन है। सममित व्युत्पन्न भी देखें

लेखक जिनके लिए परिमित अंतर का अर्थ है परिमित अंतर सन्निकटन अग्र/पश्च/केंद्रीय अंतर को इस खंड में दिए गए भागफल के रूप में परिभाषित करता है (पिछले खंड में दी गई परिभाषाओं को नियोजित करने के अतिरिक्त)।^[1]^[2]^[3]

उच्च-क्रम अंतर

 एक समान तरीके से, उच्चतर क्रम अवकलज और अंतर संकारक के लिए परिमित अंतर सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त केंद्रीय अंतर सूत्र का उपयोग करके  $f ′(x + .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}h/2)$  और  $f'(x - h / 2)$  और  $x$  पर  $f'$  के अवकलज के लिए केंद्रीय अंतर सूत्र लागू करते हुए, हम  $f$   के दूसरे अवकलज का केंद्रीय अंतर सन्निकटन प्राप्त करते हैं:

दूसरा क्रम केंद्रीय: $f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

इसी तरह हम अन्य भिन्न सूत्रों को पुनरावर्ती तरीके से लागू कर सकते हैं।

दूसरा क्रम अग्र: $f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.$
दूसरा क्रम पश्च: $f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.$

अधिक सामान्यतः, $n$ वें क्रम अग्र, पश्च, और केंद्रीय अंतर क्रमशः द्वारा दिए गए हैं,

अग्र: $\Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},$

या $h = 1$ के लिए,

\Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(-1)^{n-i}f(x+i)

पश्च

$\nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),$
केंद्रीय: $\delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).$

इन समीकरणों में योग चिह्न के बाद द्विपद गुणांक का उपयोग किया जाता है, जैसा कि दिखाया गया है $(n i)$ । पास्कल के त्रिभुज की प्रत्येक पंक्ति i के प्रत्येक मान के लिए गुणांक प्रदान करती है।

ध्यान दें कि केंद्रीय अंतर, विषम $n$ के लिए, $h$ को गैर-पूर्णांक से गुणा करेगा। यह अधिकांशतः एक समस्या होती है क्योंकि यह विवेक के अंतराल को बदलने के बराबर होती है। $δ n [f](x - h / 2)$ और $δ n [f](x + h / 2)$ का औसत लेकर समस्या का समाधान किया जा सकता है

अनुक्रम पर लागू किए गए अग्र अंतर को कभी-कभी अनुक्रम का द्विपद परिवर्तन कहा जाता है, और इसमें कई रोचक संयोजी गुण होते हैं। नॉर्लंड-राइस इंटीग्रल का उपयोग करके आगे के अंतर का मूल्यांकन किया जा सकता है। इस प्रकार की श्रृंखलाओं के लिए अभिन्न प्रतिनिधित्व रोचक है, क्योंकि अभिन्न का मूल्यांकन अधिकांशतः स्पर्शोन्मुख विस्तार या सैडल-पॉइंट तकनीकों का उपयोग करके किया जा सकता है, इसके विपरीत, आगे की अंतर श्रृंखला संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन करने के लिए बेहद कठिन हो सकती है, क्योंकि बड़े $n$ के लिए द्विपद गुणांक तेजी से बढ़ते हैं।

संबंधित अवकलज के साथ इन उच्च-क्रम के अंतरों का संबंध सीधा है,

{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O\left(h^{2}\right).

बेहतर सन्निकटन बनाने के लिए उच्च-क्रम के अंतर का भी उपयोग किया जा सकता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रथम-क्रम अंतर क्रम $h$ की अवधि तक प्रथम-क्रम व्युत्पन्न का अनुमान लगाता है। हालाँकि, संयोजन

{\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}

अनुमानित $f'(x)$ क्रम $h 2$ की अवधि तक। यह टेलर श्रृंखला में उपरोक्त अभिव्यक्ति का विस्तार करके या परिमित अंतरों के कलन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जिसे नीचे समझाया गया है।

यदि आवश्यक हो, तो अग्र, पश्च और केंद्रीय अंतरों को मिलाकर परिमित अंतर को किसी भी बिंदु पर केंद्रित किया जा सकता है।

बहुपद

घात के दिए गए बहुपद के लिए $n \geq 1$ फलन $P(x)$ में व्यक्त किया, वास्तविक संख्या के साथ $a \neq 0$ और $b$ और निचले क्रम की शर्तें (यदि कोई हो) के रूप में चिह्नित $l.o.t.$ :

$P(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+l.o.t.$

$n$ युग्‍मानूसार अंतरों के बाद, निम्न परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ $h \neq 0$ अंकगणितीय अंतर को चिह्नित करने वाली एक वास्तविक संख्या है:^[5]

$\Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!$

केवल उच्चतम-क्रम पद का गुणांक रहता है। चूंकि यह परिणाम $x$ के संबंध में स्थिर है , किसी भी युग्‍मानूसार अंतर का मान $0$ होगा।

आगमनात्मक प्रमाण

आधार मामले

मान लीजिए $Q(x)$ घात $1$ का एक बहुपद है:

$\Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!$ यह इसे आधार मामले के लिए सिद्ध करता है।

स्टेप केस

मान लें कि $R(x)$ घात $m -1$ का बहुपद है जहाँ $m \geq 2$ और उच्चतम क्रम वाले पद का गुणांक $a \neq 0$ है। यह मानते हुए कि घात $m -1$ के सभी बहुपदों के लिए निम्नलिखित सही है:

$\Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!$

मान लीजिए कि $S(x)$ घात $m$ का एक बहुपद है। एक युग्‍मानूसार अंतर के साथ:

$\Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+l.o.t.]-[ax^{m}+bx^{m-1}+l.o.t.]=ahmx^{m-1}+l.o.t.=T(x)$ $ahm \neq 0$ ,के रूप में, इसका परिणाम $m -1$ घात के बहुपद $T(x)$ में होता है, जिसमें $ahm$ उच्चतम-क्रम पद का गुणांक होता है। उपरोक्त धारणा और $m -1$ युग्‍मानूसार अंतरों को देखते हुए (परिणामस्वरूप $S(x)$ के लिए कुल $m$ युग्‍मानूसार अंतर), यह पाया जा सकता है कि:

$\Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!$

यह प्रमाण को पूरा करता है।

अनुप्रयोग

इस पहचान का उपयोग सबसे कम-घात वाले बहुपद को खोजने के लिए किया जा सकता है जो कई बिंदुओं $(x, y)$ को रोकता है जहाँ x-अक्ष पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु का अंतर एक स्थिरांक $h \neq 0$ है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बिंदु दिए गए हैं:

x	y
1	4
4	109
7	772
10	2641
13	6364

हम अंतर तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहां पहले $y$ , के दाईं ओर सभी सेल, कॉलम में सेल के लिए निम्न संबंध तुरंत बाईं ओर सेल $(a+1, b+1)$ के लिए सम्मलित है, सबसे ऊपर-बाएं सेल निर्देशांक पर है $(0, 0)$ :

$(a+1,b+1)=(a,b)-(a,b+1)$

पहला पद ज्ञात करने के लिए, निम्न तालिका का उपयोग किया जा सकता है:

$x$	$y$	$Δy$	$Δ 2 y$	$Δ 3 y$
1	4
4	109	105
7	772	663	558
10	2641	1869	1206	648
13	6364	3723	1854	648

यह स्थिरांक $648$ पर आता है। अंकगणितीय अंतर $h=3$ है, जैसा कि ऊपर स्थापित किया गया है। स्थिरांक तक पहुँचने के लिए युग्‍मानूसार अंतरों की संख्या को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि यह घात $3$ का बहुपद है। इस प्रकार, उपरोक्त पहचान का उपयोग करना:

$648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162$

$a$ को हल करने पर, इसका मान 4 पाया जा सकता है। इस प्रकार, बहुपद का पहला पद है $4x 3$ .

फिर, पहले पद को घटाकर, जो बहुपद की घात को कम करता है, और परिमित अंतर को फिर से ज्ञात करता है:

$x$	$y$	$Δy$	$Δ 2 y$
1	$4 - 4(1) 3 = 4 - 4 = 0$
4	$109 - 4(4) 3 = 109 - 256 = -147$	-147
7	$772 - 4(7) 3 = 772 - 1372 = -600$	-453	-306
10	$2641 - 4(10) 3 = 2641 - 4000 = -1359$	-759	-306
13	$6364 - 4(13) 3 = 6364 - 8788 = -2424$	-1065	-306

यहाँ, स्थिरांक केवल 2 युग्‍मानूसार अंतरों के बाद प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार निम्न परिणाम:

$-306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18$

$a$ को हल करने पर, जो $-17$ है, बहुपद का दूसरा पद $-17x 2$ है .

दूसरे पद को घटाकर, अगले पद पर जाना:

$x$	$y$	$Δy$
1	$0 - (-17(1) 2) = 0 + 17 = 17$
4	$-147 - (-17(4) 2) = -147 + 272 = 125$	108
7	$-600 - (-17(7) 2) = -600 + 833 = 233$	108
10	$-1359 - (-17(10) 2) = -1359 + 1700 = 341$	108
13	$-2424 - (-17(13) 2) = -2424 + 2873 = 449$	108

इस प्रकार स्थिर केवल 1 युग्‍मानूसार अंतर के बाद प्राप्त किया जाता है:

$108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3$

यह पाया जा सकता है $a = 36$ और इस प्रकार बहुपद का तीसरा पद $36x$ है, तीसरे पद को घटाना:

$x$	$y$
1	$17 - 36(1) = 17 - 36 = -19$
4	$125 - 36(4) = 125 - 144 = -19$
7	$233 - 36(7) = 233 - 252 = -19$
10	$341 - 36(10) = 341 - 360 = -19$
13	$449 - 36(13) = 449 - 468 = -19$

बिना किसी युग्मवार अंतर के, यह पाया जाता है कि बहुपद का चौथा और अंतिम पद अचर $-19$ है, इस प्रकार, पहली तालिका में सभी बिंदुओं को अंतर्रोधक करने वाला निम्नतम-घात बहुपद पाया जाता है:

$4x^{3}-17x^{2}+36x-19$

अव्यवस्थित आकार मूल

रेखीय बीजगणित का उपयोग करके परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण किया जा सकता है जो किसी भी क्रम व्युत्पन्न के लिए बाईं ओर बिंदुओं की अव्यवस्थित संख्या और मूल्यांकन बिंदु के दाईं ओर (संभवतः भिन्न) अंकों की संख्या का उपयोग करता है। इसमें रेखीय प्रणाली को हल करना सम्मलित है जैसे कि मूल्यांकन बिंदु के चारों ओर उन बिंदुओं के योग का टेलर विस्तार वांछित व्युत्पन्न के टेलर विस्तार का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है। इस तरह के सूत्रों को हेक्सागोनल या हीरे के आकार के ग्रिड पर रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है।^[6]

यह ग्रिड पर फलन को अलग करने के लिए उपयोगी है, जहां एक ग्रिड के किनारे तक पहुंचता है, उसे एक तरफ कम और कम बिंदुओं का नमूना लेना चाहिए।

विवरण इन नोट्स में दिए गए हैं।

परिमित अंतर गुणांक कैलक्यूलेटर गैर-मानक (और यहां तक कि गैर-पूर्णांक) स्टेंसिल के लिए परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण करता है जिसे अव्यवस्थित स्टैंसिल और वांछित व्युत्पन्न क्रम दिया जाता है .

गुण

सभी घनात्मक $k$ और $n$ के लिए $\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).$
लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) : $\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).$

अवकल समीकरण में

परिमित अंतरों का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग संख्यात्मक विश्लेषण में है, विशेष रूप से संख्यात्मक आंशिक अवकल समीकरण में, जो साधारण अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण के संख्यात्मक समाधान का लक्ष्य रखता है। विचार यह है आंशिक विभेदक समीकरण में दिखाई देने वाले अवकलज को परिमित अंतर से बदल दिया जाए जो उन्हें अनुमानित करता है। परिणामी विधियों को परिमित अंतर विधियाँ कहा जाता है।

कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग विषयों में परिमित अंतर विधि के सामान्य अनुप्रयोग हैं, जैसे ऊष्मा इंजीनियरी, द्रव यांत्रिकी, आदि।

न्यूटन की श्रृंखला

न्यूटन बहुपद में न्यूटन अग्रांतर समीकरण की शर्तें सम्मलित हैं, जिसका नाम इसहाक न्यूटन के नाम पर रखा गया है, संक्षेप में, यह न्यूटन अंतर्वेशन सूत्र है, जो पहली बार 1687 में उनके 'फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका' में प्रकाशित हुआ था।^[7] अर्थात् निरंतर टेलर विस्तार का असतत अनुरूप,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),$

जो किसी भी बहुपद फलन $f$ के लिए और कई (लेकिन सभी नहीं) विश्लेषणात्मक फलन के लिए है। (यह धारण नहीं करता है जब $f$ चरघातांकी प्रकार $\pi$ है ,इसे आसानी से देखा जा सकता है, क्योंकि $\pi$ , संबंधित न्यूटन श्रृंखला समान रूप से शून्य है, क्योंकि इस मामले में सभी परिमित अंतर शून्य हैं। फिर भी स्पष्ट रूप से, ज्या फलन शून्य नहीं है।) यहाँ, व्यंजक

{\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}

द्विपद गुणांक है, और

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

"फॉलिंग फैक्टोरियल" या "लोअर फैक्टोरियल" है, जबकि खाली उत्पाद $(x) 0$ को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है। इस विशेष मामले में, $x, h = 1$ के मान में परिवर्तन के लिए इकाई चरणों की धारणा है। नीचे दिए गए सामान्यीकरण का।

टेलर के प्रमेय के इस परिणाम के औपचारिक पत्राचार पर ध्यान दें। ऐतिहासिक रूप से, यह, साथ ही चू-वंडरमोंड पहचान हैं,

(x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},

(इससे अनुसरण करते हुए, और द्विपद प्रमेय के अनुरूप), उन टिप्पणियों में सम्मलित हैं जो अम्ब्रल कैलकुलस की प्रणाली के लिए परिपक्व हैं।

न्यूटन श्रृंखला विस्तार टेलर श्रृंखला विस्तार से बेहतर हो सकता है जब क्वांटम स्पिन (होल्स्टीन-प्रिमाकॉफ परिवर्तन देखें), बोसोनिक ऑपरेटर फलन या असतत गिनती सांख्यिकी जैसी असतत मात्राओं पर लागू किया जाता है।^[8]

वास्तविक अभ्यास में कोई न्यूटन के सूत्र का उपयोग कैसे कर सकता है, यह समझाने के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम को दोगुना करने के पहले कुछ शब्दों पर विचार करें। $f = 2, 2, 4, ...$ कोई बहुपद खोज सकता है जो पहले एक अंतर तालिका की गणना करके, और फिर $x 0$ (रेखांकित) के अनुरूप अंतर को सूत्र में निम्नानुसार प्रतिस्थापित करना, ${\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}$

$x$ के मानों में असमान चरणों के मामले में, न्यूटन विभाजित अंतरों की गणना करता है,

\Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}

उत्पादों की श्रृंखला,

{P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),

और परिणामी बहुपद अदिश गुणनफल है,^[9]

f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right)

.

पी-एडिक संख्याओं के विश्लेषण में, महलर के प्रमेय में कहा गया है कि यह धारणा कि $f$ बहुपद फलन है इस धारणा के लिए सभी तरह से कमजोर हो सकती है कि $f$ केवल निरंतर है।

कार्लसन की प्रमेय न्यूटन श्रृंखला के अद्वितीय होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें प्रदान करती है, यदि यह सम्मलित है। हालाँकि, न्यूटन श्रृंखला सामान्य रूप से सम्मलित नहीं है।

न्यूटन श्रृंखला, स्टर्लिंग श्रृंखला और सेलबर्ग वर्ग के साथ, सामान्य अंतर श्रृंखला का एक विशेष मामला है, जिनमें से सभी को उपयुक्त रूप से अग्र बढ़ने वाले अंतरों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।

एक संकुचित और थोड़ा अधिक सामान्य रूप और समदूरस्थ नोड्स में सूत्र पढ़ता है

f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).

परिमित अंतरों की गणना

अग्र के अंतर को संकारक (गणित) के रूप में माना जा सकता है, जिसे अंतरसंकारक कहा जाता है, जो फलन को $f$ को $Δ h [f]$ मैप करता है^[10]^[11] इस संकारक की राशि है

\Delta _{h}=T_{h}-I,

जहाँ $T h$ चरण hवाला शिफ्ट ऑपरेटर है जिसे $T h [f](x) = f (x + h)$ द्वारा परिभाषित किया गया है, और $I$ पहचान ऑपरेटर है।

उच्च आदेशों के परिमित अंतर को पुनरावर्ती तरीके से परिभाषित किया जा सकता है $Δ n h \equiv Δ h (Δ n - 1 h)$ , एक अन्य समकक्ष परिभाषा है $Δ n h = [T h - I] n$ .

अंतरसंकारक $Δ h$ रैखिक संकारक है, इसलिए यह संतुष्ट करता है $Δ h [αf + βg](x) = α Δ h [f](x) + β Δ h [g](x)$ .

यह ऊपर बताए गए विशेष लीबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) को भी संतुष्ट करता है,

$Δ h (f (x) g (x)) = (Δ h f (x)) g (x + h) + f (x) (Δ h g (x))$ , इसी तरह के बयान पश्च और केंद्रीय अंतर के लिए हैं।

$h$ के संबंध में टेलर श्रृंखला को औपचारिक रूप से लागू करने से सूत्र प्राप्त होता है

\Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I,

जहाँ $D$ निरंतर व्युत्पन्न संकारक, मैपिंग को दर्शाता है $f$ को इसके डेरिवेटिव $f'$ मैपिंग करता है। विस्तार तब मान्य होता है जब दोनों पक्ष पर्याप्त रूप से छोटे $h$ के लिए विश्लेषणात्मक फलन पर कार्य करते हैं। इस प्रकार, $T h = e hD$ , और औपचारिक रूप से घातांकीय प्रतिफल को उलटा करना

hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}-\cdots .

यह सूत्र इस अर्थ में है कि बहुपद पर लागू होने पर दोनों संकारक समान परिणाम देते हैं।

विश्लेषणात्मक फलन के लिए भी, दाईं ओर की श्रृंखला को अभिसरण की गारंटी नहीं है, यहस्पर्शोन्मुख श्रृंखला हो सकती है। चूंकि, इसका उपयोग व्युत्पन्न के लिए अधिक सटीक सन्निकटन प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला के पहले दो शब्दों को बनाए रखने से खंड उच्च-क्रम के अंतर के अंत में उल्लिखित $f'(x)$ के लिए दूसरे क्रम का सन्निकटन प्राप्त होता है।

पश्च और केंद्रीय अंतर संकारक के लिए समान सूत्र हैं

hD=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}\right).

परिमित अंतरों की गणना कॉम्बिनेटरिक्स के अम्ब्रल कैलकुलस से संबंधित है। यह उल्लेखनीय रूप से व्यवस्थित पत्राचार अम्ब्रल मात्रा के कम्यूटेटरों की पहचान के कारण उनके निरंतर अनुरूप है ( $h \to 0$ सीमाएं),

$\left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,T_{h}^{-1}\right]=[D,x]=I.$

फलन $f (x)$ वाले मानक कैलकुलस के औपचारिक अंतर संबंधों की बड़ी संख्या इस प्रकार व्यवस्थित रूप से $f (xT -1 h)$ वाले अम्ब्रल परिमित-अंतर एनालॉग के लिए मैप करती है

उदाहरण के लिए, एकपद $x n$ का उम्ब्रल एनालॉग उपरोक्त फॉलिंग फैक्टोरियल (पोचममेर के-प्रतीक) का सामान्यीकरण है,

~(x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\right)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr )},

जिससे कि

{\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},

इसलिए उपरोक्त न्यूटन अंतर्वेशन सूत्र (इस तरह के प्रतीकों में मनमाने फलन $f (x)$ के विस्तार में गुणांक मिलान करके), और इसी तरह।

उदाहरण के लिए, उम्ब्रल ज्या है

\sin \left(x\,T_{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots

सातत्य सीमा के रूप में, का आइजनफंक्शन $Δ h / h$ भी घातीय होता है,

{\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},

और इसलिए निरंतर फलन के फूरियर योगों को आसानी से अंब्रल फूरियर योगों के लिए मैप किया जाता है, अर्थात, समान फूरियर गुणांकों को सम्मलित करते हुए इन अम्ब्रल आधार घातांकों को गुणा करते हैं।^[12] यह उम्ब्रल घातीय इस प्रकार पोचममेर प्रतीकों के घातीय जनरेटिंग फलन की मात्रा है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, डिराक डेल्टा फलन मैप्स को इसके उम्ब्रल संवाददाता, कार्डिनल साइन फ़ंक्शन ,

\delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},

इत्यादि।^[13] अवकल समीकरण को अधिकांशतः उन तकनीकों के साथ हल किया जा सकता है जो अवकल समीकरण को हल करने के लिए बहुत समान हैं।

अग्रांतर संकारक का व्युत्क्रम संकारक, इसलिए फिर उम्ब्रल इंटीग्रल, अनिश्चित योग या प्रतिपक्ष संकारक है।

परिमित अंतर संकारक की गणना के लिए नियम

अवकलजों की सूची के अनुरूप, हमारे पास है:

निरंतर नियम : यदि $c$ स्थिरांक (गणित) है, तब

\Delta c=0

भेदन की रैखिकता: यदि $a$ और $b$ स्थिर हैं (गणित),

\Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g

उपरोक्त सभी नियम किसी भी अंतरसंकारक पर समान रूप से अच्छी तरह से लागू होते हैं, जिनमें $\nabla$ के रूप में $Δ$ सम्मलित हैं

गुणन नियम :

{\begin{aligned}\Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{aligned}}

भागफल नियम :

\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}

या

\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}

कलन का मौलिक प्रमेय :

{\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{aligned}}

संदर्भ देखें।^[14]^[15]^[16]^[17]

सामान्यीकरण

सामान्यीकृत परिमित अंतर को सामान्यतः इस रूप में परिभाषित किया जाता है $\Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),$ जहाँ $μ = (μ 0, \dots, μ N)$ इसका गुणांक सदिश है। अनंत अंतर एक और सामान्यीकरण है, जहां ऊपर परिमित योग को अनंतश्रृंखला (गणित) से बदल दिया जाता है। सामान्यीकरण का अन्य तरीका गुणांक बना रहा है $μ k$ बिन्दु पर निर्भर है $x$ : $μ k = μ k (x)$ , इस प्रकार भारित परिमित अंतर पर विचार किया जाता है। साथ ही कोई चरण $h$ को बिंदु $x$ : $h = h (x)$ पर निर्भर कर सकता है। इस तरह के सामान्यीकरण निरंतरता के विभिन्न मापांकों के निर्माण के लिए उपयोगी होते हैं।
सामान्यीकृत अंतर को बहुपद के रिंग $R [T h]$ के रूप में देखा जा सकता है, यह अंतर बीजगणित की ओर जाता है।
अंतरसंकारक आंशिक ऑर्डर समुच्चय पर मोबियस इनवर्जन का सामान्यीकरण करता है।
घुमाव संकारक के रूप में: आपतन बीजगणित की औपचारिकता के माध्यम से, अंतरसंकारक और अन्य मोबियस व्युत्क्रम को पोसेट पर फलन के साथ संवलन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे मोबियस फलन कहा जाता है $μ$ , अंतरसंकारक के लिए $μ$ क्रम (1, −1, 0, 0, 0, …)है।

बहुभिन्नरूपी परिमित अंतर

परिमित अंतरों को एक से अधिक चरों में माना जा सकता है। वे कई चरों में आंशिक अवकलज के अनुरूप हैं।

कुछ आंशिक व्युत्पन्न सन्निकटन हैं:

{\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}

वैकल्पिक रूप से, उन अनुप्रयोगों के लिए जिनमें की गणना $f$ सबसे महंगा कदम है, और पहले और दूसरे अवकलज दोनों की गणना की जानी चाहिए, अंतिम मामले के लिए अधिक कुशल सूत्र है

f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},

चूंकि गणना करने के लिए केवल वही मान हैं जिनकी पहले से ही पिछले चार समीकरणों $f (x + h, y + k)$ और $f (x - h, y - k)$ के लिए आवश्यकता नहीं है

यह भी देखें

संदर्भ

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Richardson, C. H. (1954): An Introduction to the Calculus of Finite Differences (Van Nostrand (1954) online copy
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बाहरी कड़ियाँ

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Table of useful finite difference formula generated using Mathematica
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Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points

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[Olver2013-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Peter Olver (2013). आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय. Springer Science & Business Media. p. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.

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[5] "बहुपदों के परिमित अंतर". February 13, 2018.

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[7] Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

[Hucht-8] Jürgen König and Alfred Hucht, SciPost Phys. 10, 007 (2021) doi:10.21468/SciPostPhys.10.1.007

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[10] Boole, George, (1872). A Treatise On The Calculus of Finite Differences, 2nd ed., Macmillan and Company. On line. Also, [Dover edition 1960]

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v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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Contents

मूल प्रकार

अवकलज के साथ संबंध

उच्च-क्रम अंतर

बहुपद

आगमनात्मक प्रमाण

आधार मामले

स्टेप केस

अनुप्रयोग

अव्यवस्थित आकार मूल

गुण

अवकल समीकरण में

न्यूटन की श्रृंखला

परिमित अंतरों की गणना

परिमित अंतर संकारक की गणना के लिए नियम

संदर्भ देखें।^[14]^[15]^[16]^[17]

सामान्यीकरण

बहुभिन्नरूपी परिमित अंतर

यह भी देखें

संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Use American English|date = March 2019}}
+'''परिमित अंतर''' रूप की गणितीय अभिव्यक्ति है {{math|''f''&thinsp;(''x'' + ''b'') − ''f''&thinsp;(''x'' + ''a'')}}। यदि एक परिमित अंतर {{math|''b'' − ''a''}} से विभाजित किया जाता है, [[ अंतर भागफल |अंतर भागफल]] मिलता है। परिमित भिन्नताओं द्वारा [[ यौगिक | अवकलज]] का अनुमान [[ अंतर समीकरण |अवकल समीकरण]] के [[ संख्यात्मक विश्लेषण |संख्यात्मक विश्लेषण]] समाधान के लिए[[ परिमित अंतर विधि ]]यों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है विशेष रूप से [[ सीमा मूल्य समस्या |सीमा मूल्य समस्या]] के लिए निभाता है।
-{{Short description|Discrete analog of a derivative}}
-{{Use mdy dates|date=September 2011}}
-एक परिमित अंतर रूप की गणितीय अभिव्यक्ति है {{math|''f''&thinsp;(''x'' + ''b'') − ''f''&thinsp;(''x'' + ''a'')}}. यदि एक परिमित अंतर से विभाजित किया जाता है {{math|''b'' − ''a''}}, एक [[ अंतर भागफल ]] मिलता है। परिमित भिन्नताओं द्वारा [[ यौगिक ]] का अनुमान [[ अंतर समीकरण ]]ों, विशेष रूप से [[ सीमा मूल्य समस्या ]]ओं के [[ संख्यात्मक विश्लेषण ]] समाधान के लिए [[ परिमित अंतर विधि ]]यों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है।
-[[ अंतर ऑपरेटर ]], आमतौर पर निरूपित <math>\Delta</math> [[ ऑपरेटर (गणित) ]] है जो किसी फ़ंक्शन को मैप करता है {{mvar|f}} समारोह के लिए <math>\Delta[f]</math> द्वारा परिभाषित
+[[ अंतर ऑपरेटर |अंतरसंकारक]], सामान्यतः <math>\Delta</math> के रूप में जाना जाता है, वह [[ ऑपरेटर (गणित) |संकारक (गणित)]] है जो किसी फलन {{mvar|f}}  को <math>\Delta[f]</math> द्वारा परिभाषित करता है।
 :<math>\Delta[f](x)= f(x+1)-f(x).</math>
-एक [[ अंतर समीकरण ]] एक [[ कार्यात्मक समीकरण ]] है जिसमें परिमित अंतर ऑपरेटर उसी तरह शामिल होता है जैसे एक अंतर समीकरण में डेरिवेटिव शामिल होते हैं। अंतर समीकरणों और अंतर समीकरणों के बीच कई समानताएं हैं, विशेष रूप से हल करने के तरीकों में। पुनरावर्तन संबंध#अंतर समीकरणों के संबंध को संकीर्ण रूप से परिभाषित किया जा सकता है, जिसे परिमित अंतरों के साथ पुनरावृति संकेतन के स्थान पर अंतर समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है।
+[[ अंतर समीकरण |अवकल समीकरण]] एक [[ कार्यात्मक समीकरण |फलनिक समीकरण]] है जिसमें परिमित अंतर संकारक उसी तरह सम्मलित होता है जैसे एक अवकल समीकरण में अवकलज सम्मलित होते हैं। अवकल समीकरण और अवकल समीकरण के बीच कई समानताएं हैं, विशेष रूप से हल करने के तरीकों में। कुछ पुनरावृत्ति संबंधों को परिमित अंतरों के साथ पुनरावृत्ति संकेतन को बदलकर अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।
-संख्यात्मक विश्लेषण में, डेरिवेटिव के साथ #Relation के लिए परिमित अंतर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और परिमित अंतर शब्द को अक्सर डेरिवेटिव के परिमित अंतर सन्निकटन के संक्षिप्त नाम के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref name="WilmottHowison1995">{{cite book|author1=Paul Wilmott|author2=Sam Howison|author3=Jeff Dewynne|title=वित्तीय डेरिवेटिव का गणित: एक छात्र परिचय|year=1995|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-49789-3|page=[https://archive.org/details/mathematicsoffin00wilm/page/137 137]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/mathematicsoffin00wilm/page/137}}</ref><ref name="Olver2013">{{cite book|author=Peter Olver|author-link=Peter J. Olver|title=आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय|year=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-319-02099-0|page=182}}</ref><ref name="Chaudhry2007">{{cite book|author=M Hanif Chaudhry|title=ओपन-चैनल फ्लो|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-0-387-68648-6|pages=369}}</ref> परिमित अंतर सन्निकटन ऊपर नियोजित शब्दावली में परिमित अंतर भागफल हैं।
+संख्यात्मक विश्लेषण में, अवकलज का अनुमान लगाने के लिए परिमित अंतर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और "परिमित अंतर" शब्द का उपयोग अधिकांशतः "अवकलज के परिमित अंतर सन्निकटन" के संक्षिप्त रूप में किया जाता है।<ref name="WilmottHowison1995">{{cite book|author1=Paul Wilmott|author2=Sam Howison|author3=Jeff Dewynne|title=वित्तीय डेरिवेटिव का गणित: एक छात्र परिचय|year=1995|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-49789-3|page=[https://archive.org/details/mathematicsoffin00wilm/page/137 137]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/mathematicsoffin00wilm/page/137}}</ref><ref name="Olver2013">{{cite book|author=Peter Olver|author-link=Peter J. Olver|title=आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय|year=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-319-02099-0|page=182}}</ref><ref name="Chaudhry2007">{{cite book|author=M Hanif Chaudhry|title=ओपन-चैनल फ्लो|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-0-387-68648-6|pages=369}}</ref> परिमित अंतर सन्निकटन ऊपर नियोजित शब्दावली में परिमित अंतर भागफल हैं।
-में [[ ब्रुक टेलर ]] द्वारा परिमित अंतर पेश किए गए थे और [[ जॉर्ज बूले ]] (1860), एल.एम. मिल्ने-थॉमसन (1933) द्वारा कार्यों में अमूर्त स्व-स्थायी गणितीय वस्तुओं के रूप में भी अध्ययन किया गया है, और {{interlanguage link|Károly Jordan|de}} (1939)। परिमित अंतर अपनी उत्पत्ति को जोस्ट बर्गी के एल्गोरिदम में से एक में खोजते हैं ({{circa|1592}}) और [[ आइजैक न्यूटन ]] सहित अन्य लोगों द्वारा कार्य। परिमित भिन्नताओं की औपचारिक कलन को अत्यणुओं की कलन के विकल्प के रूप में देखा जा सकता है।<ref>Jordán, op. cit., p. 1 and Milne-Thomson, p. xxi.
+में [[ ब्रुक टेलर |ब्रुक टेलर]] द्वारा परिमित अंतर पेश किए गए थे और [[ जॉर्ज बूले |जॉर्ज बूले]](1860), एल.एम. मिल्ने-थॉमसन (1933), और {{interlanguage link|केरोली जॉर्डन|डी}} (1939) द्वारा फलन में सार स्व-स्थायी गणितीय वस्तुओं के रूप में भी अध्ययन किया गया है। परिमित अंतर अपनी उत्पत्ति को जोस्ट बर्गी के एल्गोरिदम (c. 1592) में से एक में खोजते हैं और [[ आइजैक न्यूटन |आइजैक न्यूटन]] सहित अन्य लोगों द्वारा काम करते हैं। परिमित अंतरों की औपचारिक गणना को अत्युणु की गणना के विकल्प के रूप में देखा जा सकता है।<ref>Jordán, op. cit., p. 1 and Milne-Thomson, p. xxi.
 Milne-Thomson,  Louis Melville (2000):  ''The Calculus of Finite Differences'' (Chelsea Pub Co, 2000)  {{ISBN|978-0821821077}}</ref>
+== मूल प्रकार ==
+[[File:Finite difference method.svg|तीन प्रकार के परिमित अंतर। x के बारे में केंद्रीय अंतर x.|307x307px|thumb पर फ़ंक्शन के डेरिवेटिव का सबसे अच्छा सन्निकटन देता है]]
+सामान्यतः तीन बुनियादी प्रकारों पर विचार किया जाता है: अग्र, पश्च और केंद्रीय परिमित अंतर।<ref name="WilmottHowison1995" /><ref name="Olver2013" /><ref name="Chaudhry2007" />
-== मूल प्रकार ==
+अग्रांतर सूत्र,  <math>\Delta_h[f],</math> एक फलन {{mvar|f}}  के रूप में परिभाषित फलन है
-[[File:Finite difference method.svg|तीन प्रकार के परिमित अंतर। x के बारे में केंद्रीय अंतर x.|307x307px|thumb पर फ़ंक्शन के डेरिवेटिव का सबसे अच्छा सन्निकटन देता है]]आमतौर पर तीन बुनियादी प्रकारों पर विचार किया जाता है: आगे, पीछे और केंद्रीय परिमित अंतर।<ref name="WilmottHowison1995"/><ref name="Olver2013"/><ref name="Chaudhry2007"/>
-एक आगे का अंतर, निरूपित <math>\Delta_h[f],</math> एक समारोह के (गणित) {{mvar|f}} के रूप में परिभाषित एक कार्य है
 :<math> \Delta_h[f](x) =  f(x + h) - f(x). </math>
-आवेदन के आधार पर, रिक्ति {{mvar|h}} परिवर्तनशील या स्थिर हो सकता है। जब छोड़ा गया, {{mvar|h}} 1 लिया जाता है; वह है,
+अनुप्रयोग के आधार पर, रिक्ति {{mvar|h}} परिवर्तनशील या स्थिर हो सकता है। जब छोड़ा गया, {{mvar|h}} 1 लिया जाता है, वह है,
 :<math> \Delta[f](x) =  \Delta_1[f](x) =f(x+1)-f(x) .</math>
-एक पश्च अंतर फ़ंक्शन मानों का उपयोग करता है {{mvar|x}} और {{math|''x'' − ''h''}}, मूल्यों के बजाय पर {{math|''x'' + ''h''}} और{{mvar|x}}:
+पश्च अंतर फलन मानों {{mvar|x}} और {{math|''x'' − ''h''}} का उपयोग करता है ,  {{math|''x'' + ''h''}} और{{mvar|x}} के मानों के अतिरिक्त::
 :<math> \nabla_h[f](x) =  f(x) - f(x-h)=\Delta_h[f](x-h). </math>
-{{anchor|central difference}}
 अंत में, केंद्रीय अंतर द्वारा दिया जाता है
 :<math> \delta_h[f](x) = f(x+\tfrac{h}2)-f(x-\tfrac{h}2)=\Delta_{h/2}[f](x)+\nabla_{h/2}[f](x).</math>
+== अवकलज के साथ संबंध ==
+परिमित अंतर अधिकांशतः व्युत्पन्न के सन्निकटन के रूप में प्रयोग किया जाता है, सामान्यतः संख्यात्मक अवकलन में।
+फलन का व्युत्पन्न {{mvar|f}}  एक बिंदु पर {{mvar|x}} फलन की सीमा द्वारा परिभाषित किया गया है।
-== डेरिवेटिव्स के साथ संबंध ==
-{{anchor|finite difference approximation}}
-परिमित अंतर अक्सर व्युत्पन्न के सन्निकटन के रूप में प्रयोग किया जाता है, आमतौर पर संख्यात्मक भिन्नता में।
-एक समारोह का व्युत्पन्न {{mvar|f}} एक बिंदु पर {{mvar|x}} एक फ़ंक्शन की सीमा द्वारा परिभाषित किया गया है।
 :<math> f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. </math>
-यदि {{mvar|h}} शून्य के करीब पहुंचने के बजाय एक निश्चित (गैर-शून्य) मान है, तो उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर लिखा जाएगा
+यदि {{mvar|h}} शून्य के करीब पहुंचने के अतिरिक्त निश्चित (गैर-शून्य) मान है, तो उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर लिखा जाएगा
 :<math> \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\Delta_h[f](x)}{h}. </math>
-इसलिए, आगे के अंतर से विभाजित {{mvar|h}} डेरिवेटिव का अनुमान लगाता है जब  {{mvar|h}} छोटा है। इस सन्निकटन में त्रुटि टेलर के प्रमेय से प्राप्त की जा सकती है। ये मानते हुए {{mvar|f}} दो बार अवकलनीय है, हमारे पास है
+इसलिए,  जब  {{mvar|h}} छोटा है अग्र के अंतर से विभाजित {{mvar|h}} अवकलज का अनुमान लगाता है। इस सन्निकटन में त्रुटि टेलर के प्रमेय से प्राप्त की जा सकती है। ये मानते हुए {{mvar|f}}  दो बार अवकलनीय है, हमारे पास है
 :<math> \frac{\Delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h)\to 0 \quad  \text{as }h \to 0. </math>
-पिछड़े अंतर के लिए समान सूत्र है:
+पश्च अंतर के लिए समान सूत्र है:
 :<math> \frac{\nabla_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h)\to 0 \quad  \text{as }h \to 0. </math>
-हालांकि, केंद्रीय (जिसे केंद्रित भी कहा जाता है) अंतर अधिक सटीक सन्निकटन पैदा करता है। यदि {{mvar|f}} तीन गुना अवकलनीय है,
+चूंकि, केंद्रीय (जिसे केंद्रित भी कहा जाता है) अंतर अधिक सटीक सन्निकटन पैदा करता है। यदि {{mvar|f}}  तीन गुना अवकलनीय है,
 :<math> \frac{\delta_h[f](x)}{h} - f'(x) =  O\left(h^2\right) . </math>
-मुख्य समस्या{{citation needed|date=December 2017}} हालांकि, केंद्रीय अंतर विधि के साथ, यह है कि दोलन कार्य शून्य व्युत्पन्न प्राप्त कर सकते हैं। यदि  {{math|''f''&thinsp;(''nh'') {{=}} 1}} के लिए {{mvar|n}} विषम, और {{math|''f''&thinsp;(''nh'') {{=}} 2}} के लिए {{mvar|n}} फिर भी {{math|''f''&thinsp;′(''nh'') {{=}} 0}} यदि इसकी गणना [[ केंद्रीय अंतर योजना ]] से की जाती है। यह विशेष रूप से परेशानी भरा है अगर का डोमेन {{mvar|f}} असतत है। [[ सममित व्युत्पन्न ]] भी देखें
+मुख्य समस्या केंद्रीय अंतर विधि के साथ, चूंकि, यह है कि दोलन कार्य शून्य व्युत्पन्न प्राप्त कर सकते हैं। यदि  {{math|''f''&thinsp;(''nh'') {{=}} 1}},  {{mvar|n}} विषम के लिए, और {{math|''f''&thinsp;(''nh'') {{=}} 2}},  {{mvar|n}}  के लिए भी फिर भी {{math|''f''&thinsp;′(''nh'') {{=}} 0}} यदि इसकी गणना[[ केंद्रीय अंतर योजना | केंद्रीय अंतर योजना]] से की जाती है। यदि {{mvar|f}}  का प्रांत असतत है तो यह विशेष रूप से कठिन है।[[ सममित व्युत्पन्न | सममित व्युत्पन्न]] भी देखें
-लेखक जिनके लिए परिमित अंतर का अर्थ है परिमित अंतर सन्निकटन आगे/पीछे/केंद्रीय अंतर को इस खंड में दिए गए भागफल के रूप में परिभाषित करते हैं (पिछले खंड में दी गई परिभाषाओं को नियोजित करने के बजाय)।<ref name="WilmottHowison1995"/><ref name="Olver2013"/><ref name="Chaudhry2007"/>
+लेखक जिनके लिए परिमित अंतर का अर्थ है परिमित अंतर सन्निकटन अग्र/पश्च/केंद्रीय अंतर को इस खंड में दिए गए भागफल के रूप में परिभाषित करता है (पिछले खंड में दी गई परिभाषाओं को नियोजित करने के अतिरिक्त)।<ref name="WilmottHowison1995"/><ref name="Olver2013"/><ref name="Chaudhry2007"/>
 == उच्च-क्रम अंतर ==
-{{more citations needed|date=July 2018}}  <!-- this section is linked to further down in the article -->
+  एक समान तरीके से, उच्चतर क्रम अवकलज और अंतर संकारक के लिए परिमित अंतर सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त केंद्रीय अंतर सूत्र का उपयोग करके {{math|''f''&thinsp;′(''x'' + {{sfrac|''h''|2}})}} और {{math|''f''&thinsp;′(''x'' − {{sfrac|''h''|2}})}} और {{mvar|x}} पर {{math|''f''&thinsp;′}} के अवकलज के लिए केंद्रीय अंतर सूत्र लागू करते हुए, हम {{mvar|f}}  के दूसरे अवकलज का केंद्रीय अंतर सन्निकटन प्राप्त करते हैं:
-एक समान तरीके से, उच्च ऑर्डर डेरिवेटिव्स और अंतर ऑपरेटरों के लिए परिमित अंतर सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त केंद्रीय अंतर सूत्र का उपयोग करके {{math|''f''&thinsp;′(''x'' + {{sfrac|''h''|2}})}} और {{math|''f''&thinsp;′(''x'' − {{sfrac|''h''|2}})}} और के व्युत्पन्न के लिए एक केंद्रीय अंतर सूत्र लागू करना {{math|''f''&thinsp;′}} पर {{mvar|x}}, हम के दूसरे व्युत्पन्न का केंद्रीय अंतर सन्निकटन प्राप्त करते हैं {{mvar|f}}:
+; दूसरा क्रम केंद्रीय
-; दूसरे क्रम का केंद्रीय
 :<math> f''(x) \approx \frac{\delta_h^2[f](x)}{h^2} = \frac{ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h} }{h} =  \frac{f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)}{h^{2}} . </math>
 इसी तरह हम अन्य भिन्न सूत्रों को पुनरावर्ती तरीके से लागू कर सकते हैं।
-;दूसरा आदेश आगे
+;दूसरा क्रम अग्र
 :<math> f''(x) \approx \frac{\Delta_h^2[f](x)}{h^2} = \frac{ \frac{f(x+2h) - f(x+h)}{h} - \frac{f(x+h) - f(x)}{h} }{h} =  \frac{f(x+2h) - 2 f(x+h) + f(x)}{h^{2}} . </math>
-;दूसरा क्रम पिछड़ा
+;दूसरा क्रम पश्च
 :<math> f''(x) \approx \frac{\nabla_h^2[f](x)}{h^2} = \frac{ \frac{f(x) - f(x-h)}{h} - \frac{f(x-h) - f(x-2h)}{h} }{h} = \frac{f(x) - 2 f(x-h) + f(x - 2h)}{h^{2}} . </math>
-अधिक आम तौर पर,{{mvar|n}}वें क्रम आगे, पीछे, और केंद्रीय अंतर क्रमशः द्वारा दिए गए हैं,
+अधिक सामान्यतः,{{mvar|n}} वें क्रम अग्र, पश्च, और केंद्रीय अंतर क्रमशः द्वारा दिए गए हैं,
-;आगे
+;अग्र
 :<math>\Delta^n_h[f](x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} f\bigl(x + i h\bigr),</math>
-या के लिए {{math|''h'' {{=}} 1}},
+या  {{math|''h'' {{=}} 1}} के लिए,
 :<math>\Delta^n [f](x)= \sum_{i=0}^n\binom ni(-1)^{n-i}f(x + i)</math>
-पिछड़ा
+पश्च
 :<math>\nabla^n_h[f](x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x - ih),</math>
 ;केंद्रीय
 :<math>\delta^n_h[f](x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f\left(x + \left(\frac{n}{2} - i\right) h\right).</math>
-योग चिह्न के रूप में दिखाए जाने के बाद ये समीकरण [[ द्विपद गुणांक ]] का उपयोग करते हैं {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''n''|b=''i''|a=c}}<big><big>)</big></big>}}. पास्कल के त्रिभुज की प्रत्येक पंक्ति के प्रत्येक मान के लिए गुणांक प्रदान करती है {{mvar|i}}.
+इन समीकरणों में योग चिह्न के बाद [[ द्विपद गुणांक |द्विपद गुणांक]] का उपयोग किया जाता है, जैसा कि दिखाया गया है {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''n''|b=''i''|a=c}}<big><big>)</big></big>}}। पास्कल के त्रिभुज की प्रत्येक पंक्ति i के प्रत्येक मान के लिए गुणांक प्रदान करती है।
-ध्यान दें कि विषम के लिए केंद्रीय अंतर होगा {{mvar|n}}, पास होना {{mvar|h}} गैर-पूर्णांक से गुणा। यह अक्सर एक समस्या होती है क्योंकि यह विवेक के अंतराल को बदलने के बराबर होती है। का औसत लेकर समस्या का समाधान किया जा सकता है {{math|''δ<sup>n</sup>''[&thinsp;''f''&thinsp;](''x'' − {{sfrac|''h''|2}})}} और {{math|''δ<sup>n</sup>''[&thinsp;''f''&thinsp;](''x'' + {{sfrac|''h''|2}})}}.
+ध्यान दें कि केंद्रीय अंतर, विषम {{mvar|n}} के लिए, {{mvar|h}} को गैर-पूर्णांक से गुणा करेगा। यह अधिकांशतः एक समस्या होती है क्योंकि यह विवेक के अंतराल को बदलने के बराबर होती है। {{math|''δ<sup>n</sup>''[&thinsp;''f''&thinsp;](''x'' − {{sfrac|''h''|2}})}} और {{math|''δ<sup>n</sup>''[&thinsp;''f''&thinsp;](''x'' + {{sfrac|''h''|2}})}} का औसत लेकर समस्या का समाधान किया जा सकता है
-एक अनु[[ क्रम ]] पर लागू किए गए आगे के अंतर को कभी-कभी अनुक्रम का [[ द्विपद परिवर्तन ]] कहा जाता है, और इसमें कई दिलचस्प संयोजी गुण होते हैं। नॉर्लंड-राइस इंटीग्रल का उपयोग करके आगे के अंतर का मूल्यांकन किया जा सकता है। इस प्रकार की श्रृंखलाओं के लिए अभिन्न प्रतिनिधित्व दिलचस्प है, क्योंकि अभिन्न का मूल्यांकन अक्सर [[ स्पर्शोन्मुख विस्तार ]] या [[ लादने की सीमा ]] तकनीकों का उपयोग करके किया जा सकता है; इसके विपरीत, आगे की अंतर श्रृंखला संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन करने के लिए बेहद कठिन हो सकती है, क्योंकि द्विपद गुणांक बड़े के लिए तेजी से बढ़ते हैं {{mvar|n}}.
+[[ क्रम |अनुक्रम]] पर लागू किए गए अग्र अंतर को कभी-कभी अनुक्रम का [[ द्विपद परिवर्तन | द्विपद परिवर्तन]] कहा जाता है, और इसमें कई रोचक संयोजी गुण होते हैं। नॉर्लंड-राइस इंटीग्रल का उपयोग करके आगे के अंतर का मूल्यांकन किया जा सकता है। इस प्रकार की श्रृंखलाओं के लिए अभिन्न प्रतिनिधित्व रोचक है, क्योंकि अभिन्न का मूल्यांकन अधिकांशतः [[ स्पर्शोन्मुख विस्तार |स्पर्शोन्मुख विस्तार]] या सैडल-पॉइंट तकनीकों का उपयोग करके किया जा सकता है, इसके विपरीत, आगे की अंतर श्रृंखला संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन करने के लिए बेहद कठिन हो सकती है, क्योंकि बड़े {{mvar|n}} के लिए द्विपद गुणांक तेजी से बढ़ते हैं।
-संबंधित डेरिवेटिव के साथ इन उच्च-क्रम के अंतरों का संबंध सीधा है,
+संबंधित अवकलज के साथ इन उच्च-क्रम के अंतरों का संबंध सीधा है,
 :<math>\frac{d^n f}{d x^n}(x) = \frac{\Delta_h^n[f](x)}{h^n}+O(h) = \frac{\nabla_h^n[f](x)}{h^n}+O(h) = \frac{\delta_h^n[f](x)}{h^n} + O\left(h^2\right).</math>
-बेहतर सन्निकटन बनाने के लिए उच्च-क्रम के अंतर का भी उपयोग किया जा सकता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रथम-क्रम अंतर आदेश की अवधि तक प्रथम-क्रम व्युत्पन्न का अनुमान लगाता है {{mvar|h}}. हालाँकि, संयोजन
+बेहतर सन्निकटन बनाने के लिए उच्च-क्रम के अंतर का भी उपयोग किया जा सकता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रथम-क्रम अंतर क्रम {{mvar|h}} की अवधि तक प्रथम-क्रम व्युत्पन्न  का अनुमान लगाता है। हालाँकि, संयोजन
 :<math> \frac{\Delta_h[f](x) - \frac12 \Delta_h^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h} </math>
-अनुमानित {{math|''f''&thinsp;′(''x'')}} आदेश की अवधि तक {{math|''h''<sup>2</sup>}}. यह [[ टेलर श्रृंखला ]] में उपरोक्त अभिव्यक्ति का विस्तार करके या परिमित अंतरों के कलन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जिसे नीचे समझाया गया है।
+अनुमानित {{math|''f''&thinsp;′(''x'')}} क्रम {{math|''h''<sup>2</sup>}} की अवधि तक। यह [[ टेलर श्रृंखला |टेलर श्रृंखला]] में उपरोक्त अभिव्यक्ति का विस्तार करके या परिमित अंतरों के कलन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जिसे नीचे समझाया गया है।
-यदि आवश्यक हो, तो आगे, पीछे और केंद्रीय अंतरों को मिलाकर परिमित अंतर को किसी भी बिंदु पर केंद्रित किया जा सकता है।
+यदि आवश्यक हो, तो अग्र, पश्च और केंद्रीय अंतरों को मिलाकर परिमित अंतर को किसी भी बिंदु पर केंद्रित किया जा सकता है।
 == [[ बहुपद ]] ==
-डिग्री के दिए गए बहुपद के लिए {{math|''n'' &ge; 1}}समारोह में व्यक्त किया {{math|''P(x)''}}, वास्तविक संख्या के साथ {{math|''a'' &ne; 0}} और {{math|''b''}} और निचले क्रम की शर्तें (यदि कोई हो) के रूप में चिह्नित {{math|''l.o.t.''}}:
+घात के दिए गए बहुपद के लिए {{math|''n'' &ge; 1}} फलन {{math|''P(x)''}} में व्यक्त किया, वास्तविक संख्या के साथ {{math|''a'' &ne; 0}} और {{math|''b''}} और निचले क्रम की शर्तें (यदि कोई हो) के रूप में चिह्नित {{math|''l.o.t.''}}:
 <math>P(x) = ax^n + bx^{n-1} + l.o.t.</math>
-बाद में {{math|''n''}} जोड़ो में मतभेद, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, जहां {{math|''h'' &ne; 0}} अंकगणितीय अंतर को चिह्नित करने वाली एक वास्तविक संख्या है:<ref>{{cite web | url=https://divisbyzero.com/2018/02/13/finite-differences-of-polynomials/ | title=बहुपदों के परिमित अंतर| date=February 13, 2018 }}</ref>
+{{math|''n''}} युग्‍मानूसार अंतरों के बाद, निम्न परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ {{math|''h'' &ne; 0}} अंकगणितीय अंतर को चिह्नित करने वाली एक वास्तविक संख्या है:<ref>{{cite web | url=https://divisbyzero.com/2018/02/13/finite-differences-of-polynomials/ | title=बहुपदों के परिमित अंतर| date=February 13, 2018 }}</ref>
 <math>\Delta_h^n [P](x) = ah^nn!</math>
-केवल उच्चतम-क्रम पद का गुणांक रहता है। चूंकि यह परिणाम के संबंध में स्थिर है {{math|''x''}}, किसी भी जोड़ीवार अंतर का मान होगा {{math|0}}.
+केवल उच्चतम-क्रम पद का गुणांक रहता है। चूंकि यह परिणाम {{math|''x''}} के संबंध में स्थिर है , किसी भी युग्‍मानूसार अंतर का मान {{math|0}} होगा।
 === आगमनात्मक प्रमाण ===
-==== बेस केस ====
+==== आधार मामले ====
-होने देना {{math|''Q(x)''}} डिग्री का बहुपद हो {{math|1}}:
+मान लीजिए {{math|''Q(x)''}} घात {{math|1}}का एक बहुपद है:
-<math>\Delta_h [Q](x) = Q(x + h) - Q(x) = [a(x + h) + b] - [ax + b] = ah = ah^11!</math>
+<math>\Delta_h [Q](x) = Q(x + h) - Q(x) = [a(x + h) + b] - [ax + b] = ah = ah^11!</math>यह इसे आधार मामले के लिए सिद्ध करता है।
-यह इसे आधार मामले के लिए साबित करता है।
 ==== स्टेप केस ====
-होने देना {{math|''R(x)''}} डिग्री का बहुपद हो {{math|''m''-1}} कहां {{math|''m'' &ge; 2}} और उच्चतम-क्रम पद का गुणांक हो {{math|''a'' &ne; 0}}. निम्नलिखित को घात के सभी बहुपदों के लिए सत्य मानते हुए {{math|''m''-1}}:
+मान लें कि {{math|''R(x)''}} घात {{math|''m''-1}} का बहुपद है जहाँ {{math|''m'' &ge; 2}} और उच्चतम क्रम वाले पद का गुणांक {{math|''a'' &ne; 0}} है। यह मानते हुए कि घात {{math|''m''-1}} के सभी बहुपदों के लिए निम्नलिखित सही है:
 <math>\Delta_h^{m-1} [R](x) = ah^{m-1}(m-1)!</math>
-होने देना {{math|''S(x)''}} डिग्री का बहुपद हो {{math|''m''}}. एक जोड़ो में अंतर के साथ:
-<math>\Delta_h [S](x) = [a(x+h)^{m} + b(x+h)^{m-1} + l.o.t.] - [ax^m + bx^{m-1} + l.o.t.] = ahmx^{m-1} + l.o.t. = T(x)</math>
+मान लीजिए कि {{math|''S(x)''}} घात {{math|''m''}} का एक बहुपद है। एक युग्‍मानूसार अंतर के साथ:
-जैसा {{math|''ahm'' &ne; 0}}, इसका परिणाम एक बहुपद में होता है {{math|''T(x)''}} डिग्री का {{math|''m''-1}}, साथ {{math|''ahm''}} उच्चतम-क्रम अवधि के गुणांक के रूप में। उपरोक्त धारणा को देखते हुए और {{math|''m''-1}} जोड़ीदार अंतर (जिसके परिणामस्वरूप कुल {{math|''m''}} जोड़ीदार अंतर के लिए {{math|''S(x)''}}), यह पाया जा सकता है कि:
+<math>\Delta_h [S](x) = [a(x+h)^{m} + b(x+h)^{m-1} + l.o.t.] - [ax^m + bx^{m-1} + l.o.t.] = ahmx^{m-1} + l.o.t. = T(x)</math> {{math|''ahm'' &ne; 0}},के रूप में, इसका परिणाम {{math|''m''-1}} घात के बहुपद {{math|''T(x)''}} में होता है, जिसमें {{math|''ahm''}} उच्चतम-क्रम पद का गुणांक होता है। उपरोक्त धारणा और {{math|''m''-1}} युग्‍मानूसार अंतरों को देखते हुए (परिणामस्वरूप {{math|''S(x)''}} के लिए कुल {{math|''m''}} युग्‍मानूसार अंतर), यह पाया जा सकता है कि:
 <math>\Delta_h^{m-1} [T](x) = ahm \cdot h^{m-1}(m-1)! = ah^mm!</math>
 यह प्रमाण को पूरा करता है।
-=== आवेदन ===
+=== अनुप्रयोग ===
-इस पहचान का उपयोग सबसे कम-डिग्री वाले बहुपद को खोजने के लिए किया जा सकता है जो कई बिंदुओं को रोकता है {{math|(x, y)}} जहाँ x-अक्ष पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु का अंतर एक स्थिरांक है {{math|h &ne; 0}}. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बिंदु दिए गए हैं:
+इस पहचान का उपयोग सबसे कम-घात वाले बहुपद को खोजने के लिए किया जा सकता है जो कई बिंदुओं {{math|(x, y)}} को रोकता है  जहाँ x-अक्ष पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु का अंतर एक स्थिरांक{{math|h &ne; 0}} है,  उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बिंदु दिए गए हैं:
 {| class="wikitable"
@@ Line 132: / Line 123: @@
 | 13 || 6364
 |}
-हम अंतर तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहां सभी कक्ष पहले के दाईं ओर होते हैं {{math|y}}, सेल के लिए तुरंत बाईं ओर कॉलम में सेल्स के लिए निम्न संबंध मौजूद है {{math|(a+1, b+1)}}, शीर्ष-बाएँ सेल समन्वय पर होने के साथ {{math|(0, 0)}}:
+हम अंतर तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहां पहले {{math|y}}, के दाईं ओर सभी सेल, कॉलम में सेल के लिए निम्न संबंध तुरंत बाईं ओर सेल {{math|(a+1, b+1)}} के लिए सम्मलित है, सबसे ऊपर-बाएं सेल निर्देशांक पर है {{math|(0, 0)}}:
 <math>(a+1, b+1) = (a, b) - (a, b+1)</math>
 पहला पद ज्ञात करने के लिए, निम्न तालिका का उपयोग किया जा सकता है:
@@ Line 156: / Line 148: @@
 | 6364 || 3723 || 1854 || 648
 |}
-यह एक स्थिरांक पर आता है {{math|648}}. अंकगणितीय अंतर है {{math|h{{=}}3}}, जैसा कि ऊपर स्थापित किया गया है। स्थिरांक तक पहुँचने के लिए जोड़ीदार अंतरों की संख्या को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि यह डिग्री का बहुपद है {{math|3}}. इस प्रकार, उपरोक्त पहचान का उपयोग करना:
+यह स्थिरांक {{math|648}} पर आता है। अंकगणितीय अंतर {{math|h{{=}}3}} है, जैसा कि ऊपर स्थापित किया गया है। स्थिरांक तक पहुँचने के लिए युग्‍मानूसार अंतरों की संख्या को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि यह घात {{math|3}} का बहुपद है। इस प्रकार, उपरोक्त पहचान का उपयोग करना:
 <math>648 = a \cdot 3^3 \cdot 3! = a \cdot 27 \cdot 6 = a \cdot 162</math>
-के लिए हल करना {{math|a}}, इसका मान पाया जा सकता है {{math|4}}. इस प्रकार, बहुपद का पहला पद है {{math|'''4x<sup>3</sup>'''}}.
+{{math|a}} को हल करने पर, इसका मान 4 पाया जा सकता है। इस प्रकार, बहुपद का पहला पद है {{math|'''4x<sup>3</sup>'''}}.
 फिर, पहले पद को घटाकर, जो बहुपद की घात को कम करता है, और परिमित अंतर को फिर से ज्ञात करता है:
@@ Line 182: / Line 175: @@
 | {{math|6364 - 4(13)<sup>3</sup> {{=}} 6364 - 8788 {{=}} -2424}} || -1065 || -306
 |}
-यहाँ, स्थिरांक केवल 2 जोड़ीदार अंतरों के बाद प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार निम्न परिणाम:
+यहाँ, स्थिरांक केवल 2 युग्‍मानूसार अंतरों के बाद प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार निम्न परिणाम:
 <math>-306 = a \cdot 3^2 \cdot 2! = a \cdot 18</math>
-के लिए हल करना {{math|a}}, जो है {{math|-17}}, बहुपद का दूसरा पद है {{math|'''-17x<sup>2</sup>'''}}.
+{{math|a}} को हल करने पर, जो {{math|-17}} है, बहुपद का दूसरा पद {{math|'''-17x<sup>2</sup>'''}} है .
 दूसरे पद को घटाकर, अगले पद पर जाना:
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 |}
-इस प्रकार स्थिर केवल 1 जोड़ीदार अंतर के बाद प्राप्त किया जाता है:
+इस प्रकार स्थिर केवल 1 युग्‍मानूसार अंतर के बाद प्राप्त किया जाता है:
 <math>108 = a \cdot 3^1 \cdot 1! = a \cdot 3</math>
-यह पाया जा सकता है {{math|a {{=}} 36}} और इस प्रकार बहुपद का तीसरा पद है {{math|'''36x'''}}. तीसरे पद को घटाना:
+यह पाया जा सकता है {{math|a {{=}} 36}} और इस प्रकार बहुपद का तीसरा पद{{math|'''36x'''}} है, तीसरे पद को घटाना:
 {| class="wikitable"
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 | {{math|449 - 36(13) {{=}} 449 - 468 {{=}} -19}}
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-बिना किसी युग्मवार अंतर के, यह पाया जाता है कि बहुपद का चौथा और अंतिम पद अचर है {{math|-19}}. इस प्रकार, पहली तालिका में सभी बिंदुओं को इंटरसेप्ट करने वाला निम्नतम-डिग्री बहुपद पाया जाता है:
+बिना किसी युग्मवार अंतर के, यह पाया जाता है कि बहुपद का चौथा और अंतिम पद अचर {{math|-19}} है, इस प्रकार, पहली तालिका में सभी बिंदुओं को अंतर्रोधक करने वाला निम्नतम-घात बहुपद पाया जाता है:
 <math>4x^3 - 17x^2 + 36x - 19</math>
+== अव्यवस्थित आकार  मूल ==
+{{main|परिमित अंतर गुणांक}}
+{{further|पांच सूत्री स्टैंसिल}}
+रेखीय बीजगणित का उपयोग करके परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण किया जा सकता है जो किसी भी क्रम व्युत्पन्न के लिए बाईं ओर बिंदुओं की अव्यवस्थित संख्या और मूल्यांकन बिंदु के दाईं ओर (संभवतः भिन्न) अंकों की संख्या का उपयोग करता है। इसमें रेखीय प्रणाली को हल करना सम्मलित है जैसे कि मूल्यांकन बिंदु के चारों ओर उन बिंदुओं के योग का [[ टेलर विस्तार |टेलर विस्तार]] वांछित व्युत्पन्न के टेलर विस्तार का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है। इस तरह के सूत्रों को हेक्सागोनल या हीरे के आकार के ग्रिड पर रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Fraser|first1=Duncan C.|title=इंटरपोलेशन फॉर्मूले के ग्राफिक चित्रण पर|journal=Journal of the Institute of Actuaries|date=1 January 1909|volume=43|issue=2|pages=235–241|doi=10.1017/S002026810002494X|url=https://archive.org/stream/journal43instuoft#page/236/mode/2up|access-date=17 April 2017}}</ref>
-== मनमाने ढंग से गुठली का आकार ==
+यह ग्रिड पर फलन को अलग करने के लिए उपयोगी है, जहां एक ग्रिड के किनारे तक पहुंचता है, उसे एक तरफ कम और कम बिंदुओं का नमूना लेना चाहिए।
-{{main|Finite difference coefficient}}
-{{further|Five-point stencil}}
-रेखीय बीजगणित का उपयोग करके परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण किया जा सकता है जो किसी भी आदेश व्युत्पन्न के लिए बाईं ओर बिंदुओं की मनमानी संख्या और मूल्यांकन बिंदु के दाईं ओर (संभवतः भिन्न) अंकों की संख्या का उपयोग करता है। इसमें एक रेखीय प्रणाली को हल करना शामिल है जैसे कि मूल्यांकन बिंदु के चारों ओर उन बिंदुओं के योग का [[ टेलर विस्तार ]] वांछित व्युत्पन्न के टेलर विस्तार का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है। इस तरह के सूत्रों को हेक्सागोनल या हीरे के आकार के ग्रिड पर रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Fraser|first1=Duncan C.|title=इंटरपोलेशन फॉर्मूले के ग्राफिक चित्रण पर|journal=Journal of the Institute of Actuaries|date=1 January 1909|volume=43|issue=2|pages=235–241|doi=10.1017/S002026810002494X|url=https://archive.org/stream/journal43instuoft#page/236/mode/2up|access-date=17 April 2017}}</ref>
-यह एक ग्रिड पर एक फ़ंक्शन को अलग करने के लिए उपयोगी है, जहां एक व्यक्ति ग्रिड के किनारे तक पहुंचता है, उसे एक तरफ कम और कम बिंदुओं का नमूना लेना चाहिए।
 विवरण इन [http://commons.wikimedia.org/wiki/File:FDnotes.djvu नोट्स] में दिए गए हैं।
-[http://web.media.mit.edu/~crtaylor/calculator.html परिमित अंतर गुणांक कैलक्यूलेटर] गैर-मानक (और यहां तक कि गैर-पूर्णांक) स्टेंसिल के लिए परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण करता है जिसे मनमाना स्टैंसिल और वांछित व्युत्पन्न क्रम दिया जाता है .
+[http://web.media.mit.edu/~crtaylor/calculator.html परिमित अंतर गुणांक कैलक्यूलेटर] गैर-मानक (और यहां तक कि गैर-पूर्णांक) स्टेंसिल के लिए परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण करता है जिसे अव्यवस्थित स्टैंसिल और वांछित व्युत्पन्न क्रम दिया जाता है .
 === गुण ===
-* सभी सकारात्मक के लिए {{mvar|k}} और {{mvar|n}} <math display="block">\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} \cdots \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h \left(f, x+i_1h+i_2h+\cdots+i_nh\right).</math>
+* सभी घनात्मक {{mvar|k}} और {{mvar|n}} के लिए<math display="block">\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} \cdots \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h \left(f, x+i_1h+i_2h+\cdots+i_nh\right).</math>
 * [[ लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) ]]: <math display="block">\Delta^n_h (fg, x) = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^k_h (f, x) \Delta^{n-k}_h(g, x+kh).</math>
+== अवकल समीकरण में ==
+{{main article|परिमित अंतर विधि}}
+परिमित अंतरों का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग संख्यात्मक विश्लेषण में है, विशेष रूप से [[ संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरण |संख्यात्मक आंशिक अवकल समीकरण]] में, जो [[ साधारण अंतर समीकरण |साधारण अवकल समीकरण]] और आंशिक अवकल समीकरण के संख्यात्मक समाधान का लक्ष्य रखता है। विचार यह है [[ आंशिक विभेदक समीकरण |आंशिक विभेदक समीकरण]] में दिखाई देने वाले अवकलज को परिमित अंतर से बदल दिया जाए जो उन्हें अनुमानित करता है। परिणामी विधियों को परिमित अंतर विधियाँ कहा जाता है।
+कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग विषयों में परिमित अंतर विधि के सामान्य अनुप्रयोग हैं, जैसे [[ थर्मल इंजीनियरिंग |ऊष्मा इंजीनियरी]], द्रव यांत्रिकी, आदि।
-== अंतर समीकरणों में ==
-{{main article|Finite difference method}}
-परिमित अंतरों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग संख्यात्मक विश्लेषण में है, विशेष रूप से [[ संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरण ]]ों में, जो [[ साधारण अंतर समीकरण ]] और आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान का लक्ष्य रखता है। विचार यह है [[ आंशिक विभेदक समीकरण ]] में दिखाई देने वाले डेरिवेटिव को परिमित अंतर से बदल दिया जाए जो उन्हें अनुमानित करता है। परिणामी विधियों को परिमित अंतर विधियाँ कहा जाता है।
-कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग विषयों में परिमित अंतर विधि के सामान्य अनुप्रयोग हैं, जैसे [[ थर्मल इंजीनियरिंग ]], द्रव यांत्रिकी, आदि।
 == न्यूटन की श्रृंखला ==
-[[ न्यूटन बहुपद ]] में न्यूटन फ़ॉरवर्ड डिफ़रेंस समीकरण की शर्तें शामिल हैं, जिसका नाम इसहाक न्यूटन के नाम पर रखा गया है; संक्षेप में, यह न्यूटन इंटरपोलेशन फॉर्मूला है, जो पहली बार 1687 में उनके 'फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका' में प्रकाशित हुआ था।<ref>Newton, Isaac, (1687). [https://archive.org/details/bub_gb_KaAIAAAAIAAJ/page/n459 <!-- pg=466 quote=sir isaac newton principia mathematica. --> ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref> अर्थात् निरंतर टेलर विस्तार का असतत अनुरूप,
+[[ न्यूटन बहुपद |न्यूटन बहुपद]] में न्यूटन अग्रांतर समीकरण की शर्तें सम्मलित हैं, जिसका नाम इसहाक न्यूटन के नाम पर रखा गया है, संक्षेप में, यह न्यूटन अंतर्वेशन सूत्र है, जो पहली बार 1687 में उनके 'फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका' में प्रकाशित हुआ था।<ref>Newton, Isaac, (1687). [https://archive.org/details/bub_gb_KaAIAAAAIAAJ/page/n459 <!-- pg=466 quote=sir isaac newton principia mathematica. --> ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref> अर्थात् निरंतर टेलर विस्तार का असतत अनुरूप,
 {{Equation box 1
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 |border colour = #0073CF
 |background colour=#F9FFF7}}
-जो किसी भी बहुपद समारोह के लिए है {{mvar|f}} और कई (लेकिन सभी नहीं) [[ विश्लेषणात्मक कार्य ]]ों के लिए। (यह कब पकड़ में नहीं आता है {{mvar|f}} चरघातांकी प्रकार है <math>\pi</math>. यह आसानी से देखा जा सकता है, क्योंकि साइन फ़ंक्शन के पूर्णांक गुणकों पर गायब हो जाता है <math>\pi</math>; संबंधित न्यूटन श्रृंखला समान रूप से शून्य है, क्योंकि इस मामले में सभी परिमित अंतर शून्य हैं। फिर भी स्पष्ट रूप से, ज्या फलन शून्य नहीं है।) यहाँ, व्यंजक
+जो किसी भी बहुपद फलन {{mvar|f}}  के लिए और कई (लेकिन सभी नहीं) [[ विश्लेषणात्मक कार्य |विश्लेषणात्मक फलन]] के लिए है। (यह धारण नहीं करता है जब {{mvar|f}}  चरघातांकी प्रकार <math>\pi</math> है ,इसे आसानी से देखा जा सकता है, क्योंकि <math>\pi</math>, संबंधित न्यूटन श्रृंखला समान रूप से शून्य है, क्योंकि इस मामले में सभी परिमित अंतर शून्य हैं। फिर भी स्पष्ट रूप से, ज्या फलन शून्य नहीं है।) यहाँ, व्यंजक
 :<math>\binom{x}{k} = \frac{(x)_k}{k!}</math>
 द्विपद गुणांक है, और
 :<math>(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)</math>
-[[ खाली उत्पाद ]] होने पर फैक्टोरियल या लोअर [[ फैक्टोरियल गिर रहा है ]] {{math|(''x'')<sub>0</sub>}} 1 के रूप में परिभाषित किया गया है। इस विशेष मामले में, के मूल्यों में परिवर्तन के लिए इकाई चरणों की धारणा है {{math|''x'', ''h'' {{=}} 1}} नीचे दिए गए सामान्यीकरण का।
+"फॉलिंग फैक्टोरियल" या "लोअर फैक्टोरियल" है, जबकि खाली उत्पाद {{math|(''x'')<sub>0</sub>}} को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है। इस विशेष मामले में, {{math|''x'', ''h'' {{=}} 1}} के मान में परिवर्तन के लिए इकाई चरणों की धारणा है। नीचे दिए गए सामान्यीकरण का।
-टेलर के प्रमेय के इस परिणाम के औपचारिक पत्राचार पर ध्यान दें। ऐतिहासिक रूप से, यह, साथ ही चू-वंडरमोंड पहचान,
+टेलर के प्रमेय के इस परिणाम के औपचारिक पत्राचार पर ध्यान दें। ऐतिहासिक रूप से, यह, साथ ही चू-वंडरमोंड पहचान हैं,
 :<math>(x+y)_n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x)_{n-k} \,(y)_k ,</math>
-(इससे अनुसरण करते हुए, और [[ द्विपद प्रमेय ]] के अनुरूप), उन टिप्पणियों में शामिल हैं जो [[ अम्ब्रल कैलकुलस ]] की प्रणाली के लिए परिपक्व हैं।
+(इससे अनुसरण करते हुए, और [[ द्विपद प्रमेय |द्विपद प्रमेय]] के अनुरूप), उन टिप्पणियों में सम्मलित हैं जो [[ अम्ब्रल कैलकुलस | अम्ब्रल कैलकुलस]] की प्रणाली के लिए परिपक्व हैं।
-न्यूटन श्रृंखला विस्तार टेलर श्रृंखला विस्तार से बेहतर हो सकता है जब क्वांटम स्पिन (होल्स्टीन-प्रिमाकॉफ परिवर्तन देखें), नॉर्मल_ऑर्डर#बोसोनिक_ऑपरेटर_फंक्शन या असतत गिनती के आंकड़ों जैसी असतत मात्राओं पर लागू किया जाता है।<ref name="Hucht">Jürgen König and Alfred Hucht, [https://scipost.org/10.21468/SciPostPhys.10.1.007 ''SciPost Phys. ''  '''10''', 007 (2021)] {{doi| 10.21468/SciPostPhys.10.1.007}}</ref>
+न्यूटन श्रृंखला विस्तार टेलर श्रृंखला विस्तार से बेहतर हो सकता है जब क्वांटम स्पिन (होल्स्टीन-प्रिमाकॉफ परिवर्तन देखें), बोसोनिक ऑपरेटर फलन या असतत गिनती सांख्यिकी जैसी असतत मात्राओं पर लागू किया जाता है।<ref name="Hucht">Jürgen König and Alfred Hucht, [https://scipost.org/10.21468/SciPostPhys.10.1.007 ''SciPost Phys. ''  '''10''', 007 (2021)] {{doi| 10.21468/SciPostPhys.10.1.007}}</ref>
-वास्तविक अभ्यास में कोई न्यूटन के सूत्र का उपयोग कैसे कर सकता है, यह समझाने के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम को दोगुना करने के पहले कुछ शब्दों पर विचार करें। {{math|''f'' {{=}} 2,&nbsp;2,&nbsp;4,&nbsp;...}} कोई एक बहुपद खोज सकता है जो पहले एक अंतर तालिका की गणना करके, और उसके बाद के अंतरों को प्रतिस्थापित करके इन मानों को पुन: उत्पन्न करता है {{math|''x''<sub>0</sub>}} (रेखांकित) सूत्र में निम्नानुसार है,
-:<math>
+वास्तविक अभ्यास में कोई न्यूटन के सूत्र का उपयोग कैसे कर सकता है, यह समझाने के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम को दोगुना करने के पहले कुछ शब्दों पर विचार करें। {{math|''f'' {{=}} 2,&nbsp;2,&nbsp;4,&nbsp;...}} कोई बहुपद खोज सकता है जो पहले एक अंतर तालिका की गणना करके, और फिर {{math|''x''<sub>0</sub>}} (रेखांकित) के अनुरूप अंतर को सूत्र में निम्नानुसार प्रतिस्थापित करना,<math>
 \begin{matrix}
@@ Line 308: / Line 301: @@
 \end{matrix}
 </math>
-के मूल्यों में गैर-समान चरणों के मामले में {{mvar|x}}, न्यूटन विभाजित अंतरों की गणना करता है,
+{{mvar|x}} के मानों में असमान चरणों के मामले में, न्यूटन विभाजित अंतरों की गणना करता है,
 :<math>\Delta _{j,0}=y_j,\qquad \Delta _{j,k}=\frac{\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_j}\quad \ni \quad \left\{ k>0,\; j\le \max \left( j \right)-k \right\},\qquad \Delta 0_k=\Delta _{0,k}</math>
 उत्पादों की श्रृंखला,
@@ Line 315: / Line 309: @@
 :<math>f(\xi ) = \Delta 0 \cdot P\left( \xi  \right)</math> .
-पी-एडिक संख्या के साथ विश्लेषण में |{{mvar|p}}-आदिक संख्या, Mahler के प्रमेय में कहा गया है कि धारणा है कि {{mvar|f}} एक बहुपद समारोह है कि धारणा के लिए सभी तरह से कमजोर किया जा सकता है {{mvar|f}} केवल निरंतर है।
+पी-एडिक संख्याओं के विश्लेषण में, महलर के प्रमेय में कहा गया है कि यह धारणा कि {{mvar|f}}  बहुपद फलन है इस धारणा के लिए सभी तरह से कमजोर हो सकती है कि {{mvar|f}}  केवल निरंतर है।
-कार्लसन की प्रमेय न्यूटन श्रृंखला के अद्वितीय होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें प्रदान करती है, यदि यह मौजूद है। हालाँकि, न्यूटन श्रृंखला सामान्य रूप से मौजूद नहीं है।
+कार्लसन की प्रमेय न्यूटन श्रृंखला के अद्वितीय होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें प्रदान करती है, यदि यह सम्मलित है। हालाँकि, न्यूटन श्रृंखला सामान्य रूप से सम्मलित नहीं है।
-न्यूटन श्रृंखला, [[ स्टर्लिंग श्रृंखला ]] और [[ सेलबर्ग वर्ग ]] के साथ, सामान्य [[ अंतर श्रृंखला ]] का एक विशेष मामला है, जिनमें से सभी को उपयुक्त रूप से आगे बढ़ने वाले अंतरों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
+न्यूटन श्रृंखला, [[ स्टर्लिंग श्रृंखला |स्टर्लिंग श्रृंखला]] और [[ सेलबर्ग वर्ग |सेलबर्ग वर्ग]] के साथ, सामान्य [[ अंतर श्रृंखला |अंतर श्रृंखला]] का एक विशेष मामला है, जिनमें से सभी को उपयुक्त रूप से अग्र बढ़ने वाले अंतरों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
 एक संकुचित और थोड़ा अधिक सामान्य रूप और समदूरस्थ नोड्स में सूत्र पढ़ता है
 :<math>f(x)=\sum_{k=0}\binom{\frac{x-a}h}{k} \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j}f(a+j h).</math>
 == परिमित अंतरों की गणना ==
-आगे के अंतर को एक ऑपरेटर (गणित) के रूप में माना जा सकता है, जिसे अंतर ऑपरेटर कहा जाता है, जो फ़ंक्शन को मैप करता है {{mvar|f}} को {{math|Δ<sub>''h''</sub>[&thinsp;''f''&thinsp;]}}.<ref>[[George Boole|Boole, George]], (1872). ''A Treatise On The Calculus of Finite Differences'', 2nd ed., Macmillan and Company. [https://archive.org/details/cu31924031240934   On line]. Also, [Dover edition 1960]</ref><ref>Jordan, Charles, (1939/1965). "Calculus of Finite Differences", Chelsea Publishing. On-line: [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=3RfZOsDAyQsC&oi=fnd&pg=PA1&ots=AqSuAgOKs3&sig=fzPpAdvnzp7sG6PorqIe5qFjD2Q#v=onepage]</ref> इस ऑपरेटर की राशि है
+अग्र के अंतर को संकारक (गणित) के रूप में माना जा सकता है, जिसे अंतरसंकारक कहा जाता है, जो फलन को  {{mvar|f}}  को {{math|Δ<sub>''h''</sub>[&thinsp;''f''&thinsp;]}} मैप करता है<ref>[[George Boole|Boole, George]], (1872). ''A Treatise On The Calculus of Finite Differences'', 2nd ed., Macmillan and Company. [https://archive.org/details/cu31924031240934   On line]. Also, [Dover edition 1960]</ref><ref>Jordan, Charles, (1939/1965). "Calculus of Finite Differences", Chelsea Publishing. On-line: [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=3RfZOsDAyQsC&oi=fnd&pg=PA1&ots=AqSuAgOKs3&sig=fzPpAdvnzp7sG6PorqIe5qFjD2Q#v=onepage]</ref> इस संकारक की राशि है
 ::<math>\Delta_h = T_h-I, </math>
-कहां {{math|''T''<sub>''h''</sub>}} द्वारा परिभाषित चरण एच के साथ [[ शिफ्ट ऑपरेटर ]] है {{math|''T''<sub>''h''</sub>[&thinsp;''f''&thinsp;](''x'') {{=}} ''f''&thinsp;(''x'' + ''h'')}},  और {{mvar|I}} [[ पहचान ऑपरेटर ]] है।
+जहाँ {{math|''T''<sub>''h''</sub>}}  चरण ''h''वाला[[ शिफ्ट ऑपरेटर | शिफ्ट ऑपरेटर]] है जिसे {{math|''T''<sub>''h''</sub>[&thinsp;''f''&thinsp;](''x'') {{=}} ''f''&thinsp;(''x'' + ''h'')}} द्वारा परिभाषित किया गया है, और {{mvar|I}} [[ पहचान ऑपरेटर | पहचान]] [[ शिफ्ट ऑपरेटर |ऑपरेटर]] है।
+उच्च आदेशों के परिमित अंतर को पुनरावर्ती तरीके से परिभाषित किया जा सकता है {{math|Δ{{su|b=''h''|p=''n''}} ≡ Δ<sub>''h''</sub>(Δ{{su|b=''h''|p=''n'' − 1}})}}, एक अन्य समकक्ष परिभाषा है {{math|Δ{{su|b=''h''|p=''n''}} {{=}} [''T''<sub>''h''</sub> − ''I'']<sup>''n''</sup>}}.
-उच्च आदेशों के परिमित अंतर को पुनरावर्ती तरीके से परिभाषित किया जा सकता है {{math|Δ{{su|b=''h''|p=''n''}} ≡ Δ<sub>''h''</sub>(Δ{{su|b=''h''|p=''n'' − 1}})}}. एक अन्य समकक्ष परिभाषा है {{math|Δ{{su|b=''h''|p=''n''}} {{=}} [''T''<sub>''h''</sub> − ''I'']<sup>''n''</sup>}}.
+अंतरसंकारक {{math|Δ<sub>''h''</sub>}}  रैखिक संकारक है, इसलिए यह संतुष्ट करता है {{math|Δ<sub>''h''</sub>[''αf'' + ''βg''](''x'') {{=}} ''α'' Δ<sub>''h''</sub>[&thinsp;''f''&thinsp;](''x'') + ''β'' Δ<sub>''h''</sub>[''g''](''x'')}}.
-अंतर ऑपरेटर {{math|Δ<sub>''h''</sub>}} एक रैखिक संकारक है, इसलिए यह संतुष्ट करता है {{math|Δ<sub>''h''</sub>[''αf'' + ''βg''](''x'') {{=}} ''α'' Δ<sub>''h''</sub>[&thinsp;''f''&thinsp;](''x'') + ''β'' Δ<sub>''h''</sub>[''g''](''x'')}}.
+यह ऊपर बताए गए विशेष लीबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) को भी संतुष्ट करता है,
-यह ऊपर बताए गए एक विशेष लीबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) को भी संतुष्ट करता है,
+{{math|Δ<sub>''h''</sub>(''f''&thinsp;(''x'')''g''(''x'')) {{=}} (Δ<sub>''h''</sub>''f''&thinsp;(''x'')) ''g''(''x''+''h'') + ''f''&thinsp;(''x'') (Δ<sub>''h''</sub>''g''(''x''))}}, इसी तरह के बयान पश्च और केंद्रीय अंतर के लिए हैं।
-{{math|Δ<sub>''h''</sub>(''f''&thinsp;(''x'')''g''(''x'')) {{=}} (Δ<sub>''h''</sub>''f''&thinsp;(''x'')) ''g''(''x''+''h'') + ''f''&thinsp;(''x'') (Δ<sub>''h''</sub>''g''(''x''))}}. इसी तरह के बयान पिछड़े और केंद्रीय मतभेदों के लिए हैं।
-औपचारिक रूप से टेलर श्रृंखला के संबंध में आवेदन करना {{mvar|h}}, सूत्र देता है
+{{mvar|h}} के संबंध में टेलर श्रृंखला को औपचारिक रूप से लागू करने से सूत्र प्राप्त होता है
 :<math> \Delta_h = hD + \frac{1}{2!} h^2D^2 + \frac{1}{3!} h^3D^3 + \cdots = \mathrm{e}^{hD} - I , </math>
-कहां {{mvar|D}} निरंतर व्युत्पन्न ऑपरेटर, मैपिंग को दर्शाता है {{mvar|f}} इसके व्युत्पन्न के लिए {{math|''f''&thinsp;′}}. विस्तार तब मान्य होता है जब दोनों पक्ष पर्याप्त रूप से छोटे के लिए विश्लेषणात्मक कार्यों पर कार्य करते हैं {{mvar|h}}. इस प्रकार, {{math|''T''<sub>''h''</sub> {{=}} ''e''<sup>''hD''</sup>}}, और औपचारिक रूप से घातीय पैदावार को उलटा करना
+जहाँ {{mvar|D}} निरंतर व्युत्पन्न संकारक, मैपिंग को दर्शाता है {{mvar|f}}  को इसके डेरिवेटिव {{math|''f''&thinsp;′}} मैपिंग करता है। विस्तार तब मान्य होता है जब दोनों पक्ष पर्याप्त रूप से छोटे {{mvar|h}} के लिए विश्लेषणात्मक फलन पर कार्य करते हैं। इस प्रकार, {{math|''T''<sub>''h''</sub> {{=}} ''e''<sup>''hD''</sup>}}, और औपचारिक रूप से घातांकीय प्रतिफल को उलटा करना
 :<math> hD = \log(1+\Delta_h) = \Delta_h - \tfrac{1}{2} \Delta_h^2 + \tfrac{1}{3} \Delta_h^3 - \cdots. </math>
 यह सूत्र इस अर्थ में है कि बहुपद पर लागू होने पर दोनों संकारक समान परिणाम देते हैं।
-विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए भी, दाईं ओर की श्रृंखला को अभिसरण की गारंटी नहीं है; यह एक [[ स्पर्शोन्मुख श्रृंखला ]] हो सकती है। हालांकि, इसका उपयोग व्युत्पन्न के लिए अधिक सटीक सन्निकटन प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला के पहले दो पदों को बनाए रखने से दूसरे क्रम का सन्निकटन प्राप्त होता है {{math|''f''&nbsp;′(''x'')}} #उच्च-क्रम अंतर|अनुभाग उच्च-क्रम अंतर के अंत में उल्लेख किया गया है।
+विश्लेषणात्मक फलन के लिए भी, दाईं ओर की श्रृंखला को अभिसरण की गारंटी नहीं है, यह[[ स्पर्शोन्मुख श्रृंखला |स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] हो सकती है। चूंकि, इसका उपयोग व्युत्पन्न के लिए अधिक सटीक सन्निकटन प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला के पहले दो शब्दों को बनाए रखने से खंड उच्च-क्रम के अंतर के अंत में उल्लिखित {{math|''f''&nbsp;′(''x'')}} के लिए दूसरे क्रम का सन्निकटन प्राप्त होता है।
-पिछड़े और केंद्रीय अंतर ऑपरेटरों के लिए समान सूत्र हैं
+पश्च और केंद्रीय अंतर संकारक के लिए समान सूत्र हैं
 :<math> hD = -\log(1-\nabla_h) \quad\text{and}\quad hD = 2 \operatorname{arsinh}\left(\tfrac12\delta_h\right). </math>
-परिमित अंतरों की गणना कॉम्बिनेटरिक्स के अम्ब्रल कैलकुलस से संबंधित है। यह उल्लेखनीय रूप से व्यवस्थित पत्राचार अम्ब्रल मात्रा के [[ commutators ]] की पहचान के कारण उनके निरंतर अनुरूप है ({{math|''h'' → 0}} सीमाएं),
+परिमित अंतरों की गणना कॉम्बिनेटरिक्स के अम्ब्रल कैलकुलस से संबंधित है। यह उल्लेखनीय रूप से व्यवस्थित पत्राचार अम्ब्रल मात्रा के [[ commutators |कम्यूटेटरों]] की पहचान के कारण उनके निरंतर अनुरूप है ({{math|''h'' → 0}} सीमाएं),
 {{Equation box 1
@@ Line 358: / Line 351: @@
 |border colour = #0073CF
 |background colour=#F9FFF7}}
-बड़ी संख्या में मानक कलन के औपचारिक अंतर संबंध शामिल हैं
+फलन {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} वाले मानक कैलकुलस के औपचारिक अंतर संबंधों की बड़ी संख्या इस प्रकार व्यवस्थित रूप से {{math|''f''&thinsp;(''xT''{{su|b=''h''|p=−1}})}} वाले अम्ब्रल परिमित-अंतर एनालॉग के लिए मैप करती है
-कार्यों {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} इस प्रकार अम्ब्रल परिमित-अंतर एनालॉग्स को शामिल करने के लिए व्यवस्थित रूप से मैप करें {{math|''f''&thinsp;(''xT''{{su|b=''h''|p=−1}})}}.
-उदाहरण के लिए, एक मोनोमियल का उम्ब्रल एनालॉग {{mvar|x<sup>n</sup>}} उपरोक्त गिरने वाले फैक्टोरियल (पोचममेर के-प्रतीक) का सामान्यीकरण है,
+उदाहरण के लिए, एकपद {{mvar|x<sup>n</sup>}} का उम्ब्रल एनालॉग  उपरोक्त फॉलिंग फैक्टोरियल (पोचममेर के-प्रतीक) का सामान्यीकरण है,
-:<math>~(x)_n\equiv  \left(xT_h^{-1}\right)^n=x (x-h) (x-2h) \cdots \bigl(x-(n-1)h\bigr),</math> ताकि
+:<math>~(x)_n\equiv  \left(xT_h^{-1}\right)^n=x (x-h) (x-2h) \cdots \bigl(x-(n-1)h\bigr),</math> जिससे कि
 :<math>\frac{\Delta_h}{h} (x)_n=n (x)_{n-1} ,</math>
-इसलिए उपरोक्त न्यूटन इंटरपोलेशन फॉर्मूला (मनमाने कार्य के विस्तार में गुणांक मिलान करके {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} ऐसे प्रतीकों में), और इसी तरह।
+इसलिए उपरोक्त न्यूटन अंतर्वेशन सूत्र (इस तरह के प्रतीकों में मनमाने फलन {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} के विस्तार में गुणांक मिलान करके), और इसी तरह।
-उदाहरण के लिए, उम्ब्रल साइन है
+उदाहरण के लिए, उम्ब्रल ज्या है
 :<math>\sin \left(x\,T_h^{-1}\right) = x -\frac{(x)_3}{3!} +  \frac{(x)_5}{5!} - \frac{(x)_7}{7!} + \cdots</math>
-सातत्य सीमा के रूप में, का आइजनफंक्शन  {{math|{{sfrac|Δ<sub>''h''</sub>|''h''}}}} भी एक घातीय होता है,
+सातत्य सीमा के रूप में, का आइजनफंक्शन  {{math|{{sfrac|Δ<sub>''h''</sub>|''h''}}}} भी घातीय होता है,
 :<math>\frac{\Delta_h}{h}(1+\lambda h)^\frac{x}{h} =\frac{\Delta_h}{h} e^{\ln (1+\lambda h) \frac{x}{h}}= \lambda e^{\ln (1+\lambda h) \frac{x}{h}} ,</math>
-और इसलिए निरंतर कार्यों के फूरियर योगों को आसानी से अम्ब्रल फूरियर योगों के लिए मैप किया जाता है, यानी, इन umbral आधार घातांकों को गुणा करने वाले समान फूरियर गुणांकों को शामिल करना।<ref>{{cite journal |last =Zachos|first =C.| author-link =Cosmas Zachos| year =2008| title =डिस्क्रीट स्पेस-टाइम पर अम्ब्रल विरूपण| journal =International Journal of Modern Physics A| volume =23 | issue=13| pages =2005&ndash;2014  | doi = 10.1142/S0217751X08040548  | arxiv =0710.2306| bibcode =2008IJMPA..23.2005Z|s2cid =16797959}}</ref> यह उम्ब्रल एक्सपोनेंशियल इस प्रकार पोचममेर प्रतीकों के एक्सपोनेंशियल [[ जनरेटिंग फ़ंक्शन ]] की मात्रा है।
+और इसलिए निरंतर फलन के फूरियर योगों को आसानी से अंब्रल फूरियर योगों के लिए मैप किया जाता है, अर्थात, समान फूरियर गुणांकों को सम्मलित करते हुए इन अम्ब्रल आधार घातांकों को गुणा करते हैं।<ref>{{cite journal |last =Zachos|first =C.| author-link =Cosmas Zachos| year =2008| title =डिस्क्रीट स्पेस-टाइम पर अम्ब्रल विरूपण| journal =International Journal of Modern Physics A| volume =23 | issue=13| pages =2005&ndash;2014  | doi = 10.1142/S0217751X08040548  | arxiv =0710.2306| bibcode =2008IJMPA..23.2005Z|s2cid =16797959}}</ref> यह उम्ब्रल घातीय इस प्रकार पोचममेर प्रतीकों के घातीय [[ जनरेटिंग फ़ंक्शन |जनरेटिंग फलन]] की मात्रा है।
-इस प्रकार, उदाहरण के लिए, [[ डिराक डेल्टा समारोह ]] मैप्स को इसके उम्ब्रल संवाददाता, [[ सिंक समारोह ]],
+इस प्रकार, उदाहरण के लिए, [[ डिराक डेल्टा समारोह |डिराक डेल्टा फलन]] मैप्स को इसके उम्ब्रल संवाददाता, [[ सिंक समारोह | कार्डिनल साइन फ़ंक्शन]] ,
 :<math>\delta (x) \mapsto \frac{\sin \left[ \frac{\pi}{2}\left(1+\frac{x}{h}\right) \right]}{ \pi (x+h) },</math>
-इत्यादि।<ref>{{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. L. | last2 = Zachos | first2 = C. K. | doi = 10.3389/fphy.2013.00015 | title = अम्ब्राल वेड मेकुम| journal = Frontiers in Physics | volume = 1 | year = 2013 | pages = 15 | arxiv = 1304.0429 | bibcode = 2013FrP.....1...15C | s2cid = 14106142 | doi-access = free }}</ref> अंतर समीकरणों को अक्सर उन तकनीकों के साथ हल किया जा सकता है जो अंतर समीकरणों को हल करने के लिए बहुत समान हैं।
+इत्यादि।<ref>{{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. L. | last2 = Zachos | first2 = C. K. | doi = 10.3389/fphy.2013.00015 | title = अम्ब्राल वेड मेकुम| journal = Frontiers in Physics | volume = 1 | year = 2013 | pages = 15 | arxiv = 1304.0429 | bibcode = 2013FrP.....1...15C | s2cid = 14106142 | doi-access = free }}</ref> अवकल समीकरण को अधिकांशतः उन तकनीकों के साथ हल किया जा सकता है जो अवकल समीकरण को हल करने के लिए बहुत समान हैं।
-फ़ॉरवर्ड डिफ़रेंस ऑपरेटर का व्युत्क्रम संकारक, इसलिए फिर उम्ब्रल इंटीग्रल, अनिश्चित योग या प्रतिपक्ष संकारक है।
+अग्रांतर संकारक का व्युत्क्रम संकारक, इसलिए फिर उम्ब्रल इंटीग्रल, अनिश्चित योग या प्रतिपक्ष संकारक है।
-=== परिमित अंतर ऑपरेटरों की गणना के लिए नियम ===
+=== परिमित अंतर संकारक की गणना के लिए नियम ===
-भेदभाव नियमों के अनुरूप, हमारे पास है:
+अवकलजों की सूची के अनुरूप, हमारे पास है:
-*निरंतर नियम : यदि {{mvar|c}} एक स्थिरांक (गणित) है, तब
+*निरंतर नियम : यदि {{mvar|c}} स्थिरांक (गणित) है, तब
 ::<math>\Delta c = 0</math>
-* विभेदन की रैखिकता: यदि {{mvar|a}} और {{mvar|b}} स्थिर हैं (गणित),
+* भेदन की रैखिकता: यदि {{mvar|a}} और {{mvar|b}} स्थिर हैं (गणित),
 ::<math>\Delta (a f + b g) = a \,\Delta f + b \,\Delta g</math>
-उपरोक्त सभी नियम किसी भी अंतर ऑपरेटर पर समान रूप से अच्छी तरह से लागू होते हैं, जिनमें शामिल हैं {{math|∇}} के रूप में {{math|Δ}}.
+उपरोक्त सभी नियम किसी भी अंतरसंकारक पर समान रूप से अच्छी तरह से लागू होते हैं, जिनमें {{math|∇}} के रूप में {{math|Δ}} सम्मलित हैं
-* [[ प्रॉडक्ट नियम ]]:
+* [[ प्रॉडक्ट नियम | गुणन नियम]] :
 ::<math> \begin{align} \Delta (f g) &= f \,\Delta g + g \,\Delta f + \Delta f \,\Delta g \\ \nabla (f g) &= f \,\nabla g + g \,\nabla f - \nabla f \,\nabla g \end{align}</math>
 * [[ भागफल नियम ]]:
@@ Line 395: / Line 387: @@
 * [[ कलन का मौलिक प्रमेय ]]:
 ::<math>\begin{align} \sum_{n=a}^{b} \Delta f(n) &= f(b+1)-f(a) \\ \sum_{n=a}^{b} \nabla f(n) &= f(b)-f(a-1) \end{align}</math>
-संदर्भ देखें।<ref>{{cite book|last=Levy|first=H.|author2=Lessman, F.|title=परिमित अंतर समीकरण|year=1992|publisher=Dover|isbn=0-486-67260-3}}</ref><ref>Ames, W. F., (1977).  ''Numerical Methods for Partial Differential Equations'', Section 1.6. Academic Press, New York. {{ISBN|0-12-056760-1}}.</ref><ref>[[Francis B. Hildebrand|Hildebrand, F. B.]], (1968). ''Finite-Difference Equations and Simulations'', Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.</ref><ref>{{Cite journal
+== संदर्भ देखें।<ref>{{cite book|last=Levy|first=H.|author2=Lessman, F.|title=परिमित अंतर समीकरण|year=1992|publisher=Dover|isbn=0-486-67260-3}}</ref><ref>Ames, W. F., (1977).  ''Numerical Methods for Partial Differential Equations'', Section 1.6. Academic Press, New York. {{ISBN|0-12-056760-1}}.</ref><ref>[[Francis B. Hildebrand|Hildebrand, F. B.]], (1968). ''Finite-Difference Equations and Simulations'', Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.</ref><ref>{{Cite journal
   | first1 = Philippe | last1 = Flajolet
   | author-link2 = Robert Sedgewick (computer scientist) | first2 = Robert | last2 = Sedgewick
@@ Line 402: / Line 395: @@
   | volume = 144 | issue = 1–2 | year = 1995 | pages = 101–124
   | doi = 10.1016/0304-3975(94)00281-M
-  }}.</ref>
+  }}.</ref> ==
 == सामान्यीकरण ==
-*एक सामान्यीकृत परिमित अंतर को आमतौर पर इस रूप में परिभाषित किया जाता है <math display="block">\Delta_h^\mu[f](x) = \sum_{k=0}^N \mu_k f(x+kh),</math> कहां {{math|1=''μ'' = (''μ''<sub>0</sub>, …, ''μ<sub>N</sub>'')}} इसका गुणांक वेक्टर है। एक अनंत अंतर एक और सामान्यीकरण है, जहां ऊपर परिमित योग को एक [[ श्रृंखला (गणित) ]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। सामान्यीकरण का दूसरा तरीका गुणांक बना रहा है {{math|''μ<sub>k</sub>''}} बिन्दु पर निर्भर है {{mvar|x}}: {{math|1=''μ<sub>k</sub>'' = ''μ<sub>k</sub>''(''x'')}}, इस प्रकार भारित परिमित अंतर पर विचार करना। कोई कदम भी उठा सकता है {{mvar|h}} बिन्दु पर निर्भर है {{mvar|x}}: {{math|1=''h'' = ''h''(''x'')}}. इस तरह के सामान्यीकरण निरंतरता के विभिन्न मापांकों के निर्माण के लिए उपयोगी होते हैं।
+*सामान्यीकृत परिमित अंतर को सामान्यतः इस रूप में परिभाषित किया जाता है <math display="block">\Delta_h^\mu[f](x) = \sum_{k=0}^N \mu_k f(x+kh),</math> जहाँ {{math|1=''μ'' = (''μ''<sub>0</sub>, …, ''μ<sub>N</sub>'')}} इसका गुणांक सदिश है। अनंत अंतर एक और सामान्यीकरण है, जहां ऊपर परिमित योग को अनंत[[ श्रृंखला (गणित) ]]से बदल दिया जाता है। सामान्यीकरण का अन्य तरीका गुणांक बना रहा है {{math|''μ<sub>k</sub>''}} बिन्दु पर निर्भर है {{mvar|x}}: {{math|1=''μ<sub>k</sub>'' = ''μ<sub>k</sub>''(''x'')}}, इस प्रकार भारित परिमित अंतर पर विचार किया जाता है। साथ ही कोई चरण {{mvar|h}} को बिंदु {{mvar|x}}: {{math|1=''h'' = ''h''(''x'')}} पर निर्भर कर सकता है। इस तरह के सामान्यीकरण निरंतरता के विभिन्न मापांकों के निर्माण के लिए उपयोगी होते हैं।
-* सामान्यीकृत अंतर को बहुपद के छल्ले के रूप में देखा जा सकता है {{math|''R''[''T<sub>h</sub>'']}}. यह अंतर बीजगणित की ओर जाता है।
+* सामान्यीकृत अंतर को बहुपद के रिंग {{math|''R''[''T<sub>h</sub>'']}} के रूप में देखा जा सकता है, यह अंतर बीजगणित की ओर जाता है।
-* डिफरेंस ऑपरेटर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर मोबियस इनवर्जन का सामान्यीकरण करता है।
+* अंतरसंकारक आंशिक ऑर्डर समुच्चय पर मोबियस इनवर्जन का सामान्यीकरण करता है।
-*[[ घुमाव ]] ऑपरेटर के रूप में: [[ घटना बीजगणित ]] की औपचारिकता के माध्यम से, अंतर ऑपरेटर और अन्य मोबियस व्युत्क्रम को पोसेट पर एक फ़ंक्शन के साथ कनवल्शन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे मोबियस फ़ंक्शन कहा जाता है {{mvar|μ}}; अंतर ऑपरेटर के लिए {{mvar|μ}} क्रम है {{nowrap|(1, −1, 0, 0, 0, …)}}.
+*[[ घुमाव | घुमाव]] संकारक के रूप में: [[ घटना बीजगणित | आपतन बीजगणित]] की औपचारिकता के माध्यम से, अंतरसंकारक और अन्य मोबियस व्युत्क्रम को पोसेट पर फलन के साथ संवलन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे मोबियस फलन कहा जाता है {{mvar|μ}}, अंतरसंकारक के लिए {{mvar|μ}} क्रम {{nowrap|(1, −1, 0, 0, 0, …)}}है।
 == बहुभिन्नरूपी परिमित अंतर ==
-परिमित अंतरों को एक से अधिक चरों में माना जा सकता है। वे कई चरों में आंशिक डेरिवेटिव के अनुरूप हैं।
+परिमित अंतरों को एक से अधिक चरों में माना जा सकता है। वे कई चरों में आंशिक अवकलज के अनुरूप हैं।
-कुछ [[ आंशिक व्युत्पन्न ]] सन्निकटन हैं:
+कुछ [[ आंशिक व्युत्पन्न |आंशिक व्युत्पन्न]] सन्निकटन हैं:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 425: / Line 417: @@
 f_{xy}(x,y) &\approx  \frac{f(x+h,y+k) - f(x+h,y-k) - f(x-h,y+k) + f(x-h,y-k)}{4hk} .
 \end{align}</math>
-वैकल्पिक रूप से, उन अनुप्रयोगों के लिए जिनमें की गणना {{mvar|f}} सबसे महंगा कदम है, और पहले और दूसरे डेरिवेटिव दोनों की गणना की जानी चाहिए, अंतिम मामले के लिए एक अधिक कुशल सूत्र है
+वैकल्पिक रूप से, उन अनुप्रयोगों के लिए जिनमें की गणना {{mvar|f}}  सबसे महंगा कदम है, और पहले और दूसरे अवकलज दोनों की गणना की जानी चाहिए, अंतिम मामले के लिए अधिक कुशल सूत्र है
 :<math> f_{xy}(x,y) \approx \frac{f(x+h, y+k) - f(x+h, y) - f(x, y+k) + 2 f(x,y) - f(x-h, y) - f(x, y-k) + f(x-h, y-k)}{2hk},</math>
-चूंकि गणना करने के लिए केवल वही मान हैं जिनकी पहले से ही पिछले चार समीकरणों के लिए आवश्यकता नहीं है {{math|''f''&thinsp;(''x'' + ''h'', ''y'' + ''k'')}} और {{math|''f''&thinsp;(''x'' − ''h'', ''y'' − ''k'')}}.
+चूंकि गणना करने के लिए केवल वही मान हैं जिनकी पहले से ही पिछले चार समीकरणों {{math|''f''&thinsp;(''x'' + ''h'', ''y'' + ''k'')}} और {{math|''f''&thinsp;(''x'' − ''h'', ''y'' − ''k'')}}  के लिए आवश्यकता नहीं है
 == यह भी देखें ==
 {{columns-list|colwidth=20em|
-* [[Discrete calculus]]
+* [[असतत कलन]]
-* [[Divided differences]]
+* [[विभाजित अंतर]]
-* [[Finite-difference time-domain method]] (FDTD)
+* [[परिमित-अंतर समय-डोमेन विधि]] (एफडीटीडी)
-* [[Finite volume method]]
+* [[परिमित मात्रा विधि]]
-* [[FTCS scheme]]
+* [[एफटीसीएस योजना]]
-* [[Gilbreath's conjecture]]
+* [[एफटीसीएस योजना]]
-* [[Sheffer sequence]]
+* [[शेफर अनुक्रम]]
-* [[Summation by parts]]
+* [[भागों द्वारा योग]]
-* [[Time scale calculus]]
+* [[समय पैमाने की गणना]]
-* [[Upwind differencing scheme for convection]]
+* [[संवहन के लिए अपविंड विभेदक योजना]]
 }}
@@ Line 450: / Line 442: @@
 * Mickens, R. E. (1991): ''Difference Equations: Theory and Applications'' (Chapman and Hall/CRC) {{ISBN|978-0442001360}}
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*गणना
-*बहुत छोता
-*समारोह (गणित)
-*संख्यात्मक विभेदन
-*एक समारोह की सीमा
-*तरल यांत्रिकी
-*घातीय प्रकार
-*फिबोनाची अनुक्रम
-*विभाजित मतभेद
-*अदिश उत्पाद
-*रैखिक ऑपरेटर
-*पोछाम्मेर क-सिंबल
-*निरंतरता की सीमा
-*पोछाम्मेर सिंबल
-*मैं अनिश्चित काल के लिए हूं
-*विभेदन नियम
-*निरंतर (गणित)
-*भेदभाव की रैखिकता
-*निरंतरता का मापांक
-*आंशिक रूप से आदेशित सेट
 == बाहरी कड़ियाँ ==
 * {{springer|title=Finite-difference calculus|id=p/f040230}}
@@ Line 481: / Line 449: @@
 {{Calculus topics}}
-[[श्रेणी:सीमित अंतर| ]]
-[[श्रेणी: संख्यात्मक अंतर समीकरण]]
-[[श्रेणी:गणितीय विश्लेषण]]
-[[श्रेणी: क्रमगुणित और द्विपद विषय]]
-[[श्रेणी: कैलकुलस में लीनियर ऑपरेटर्स]]
-[[श्रेणी: संख्यात्मक विश्लेषण]]
-[[श्रेणी: गैर-न्यूटोनियन कलन]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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परिमित अंतर: Difference between revisions

Latest revision as of 17:16, 25 August 2023

मूल प्रकार

अवकलज के साथ संबंध

उच्च-क्रम अंतर

बहुपद

आगमनात्मक प्रमाण

आधार मामले

स्टेप केस

अनुप्रयोग

अव्यवस्थित आकार मूल

गुण

अवकल समीकरण में

न्यूटन की श्रृंखला

परिमित अंतरों की गणना

परिमित अंतर संकारक की गणना के लिए नियम

संदर्भ देखें।[14][15][16][17]

सामान्यीकरण

बहुभिन्नरूपी परिमित अंतर

यह भी देखें

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