अंतःक्षेपक मॉड्यूल: Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में अंतःक्षेपक मॉड्यूल को सामान्यतः मॉड्यूल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। अंतःक्षेपक मॉड्यूल Q वह मॉड्यूल है जो सभी तर्कसंगत संख्याओं के Z मॉड्यूल Q के साथ कुछ वांछनीय गुणों को साझा करता है। विशेष रूप से यदि Q किसी अन्य मॉड्यूल का उपमॉड्यूल है तो यह पहले से ही उस मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग होता है। इसके अतिरिक्त मॉड्यूल Y का एक उपमॉड्यूल दिया जाता है तो इस उपमॉड्यूल से Q तक किसी भी मॉड्यूल समरूपता को सभी Y से Q तक एक समान रूप से बढ़ाया जा सकता है। यह अवधारणा प्रक्षेपीय मॉड्यूल के लिए दोहरी है। अंतःक्षेपक मॉड्यूल को (बेयर 1940) और (लेयम 1999, §3) ने प्रस्तुत किया था। जिनकी पाठ्यपुस्तक में विस्तार से चर्चा की गई है।

अंतःक्षेपक मॉड्यूल का अत्यधिक अध्ययन किया गया है और विभिन्न प्रकार की अतिरिक्त धारणाओं को उनके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अंतःक्षेपक के उपनिर्माता अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं जो ईमानदारी से मॉड्यूल की पूरी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह मॉड्यूल अंतःक्षेपी विश्लेषण को मापता है कि अंतःक्षेपण आयाम के संदर्भ में एक मॉड्यूल अंतःक्षेपण से कितनी दूर है और व्युत्पन्न श्रेणी में मॉड्यूल का प्रतिनिधित्व करता है। अंतःक्षेपक हल्स अधिकतम आवश्यक विस्तार हैं और न्यूनतम अंतःक्षेपक भी विस्तार बन जाते हैं। नोथेरियन वलय पर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से अविघटनीय मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है और उनकी संरचना अच्छी तरह से समझी जाती है। एक वलय पर अंतःक्षेपक मॉड्यूल, दूसरे पर अंतःक्षेपक नहीं हो सकता है। लेकिन वलयों को रूपांतरण की अच्छी तरह से समझी जाने वाली विधियां हैं जो विशेष स्थितियों को संभालती हैं। वलय जो स्वयं अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं उसमे कई विशेष गुण हैं और इसमें क्षेत्र पर परिमित समूहों के समूह वलय जैसे वलय सम्मिलित हैं। अंतःक्षेपक मॉड्यूल में विभाज्य समूह सम्मिलित होते हैं जो श्रेणी सिद्धांत में अंतःक्षेपक वाली वस्तुओं की धारणा से सामान्यीकृत होते हैं।

परिभाषा

वलय R के ऊपर बायाँ मॉड्यूल Q अंतःक्षेपी होता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से एक (और इसलिए सभी) को संतुष्ट करता है:

यदि Q किसी अन्य बाएँ R मॉड्यूल M का उपमॉड्यूल है, तो M का एक और उपमॉड्यूल K उपस्थित होता है। जैसे M, Q और K का आंतरिक प्रत्यक्ष Q + K = M और Q ∩ K = {0} योग है।
कोई भी छोटा शुद्ध क्रम 0 →Q → M → K → 0 बाएँ R-मॉड्यूल को विभाजित करता है।
बाएँ R मॉड्यूल की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी के लिए प्रतिपरिवर्ती फलन Hom(-,Q) उपयुक्त है।
यदि X और Y को R-मॉड्यूल के लिए छोड़ दिया जाए, तो f: X → Y अंतःक्षेपी मॉड्यूल समाकारिता है और g : X → Q अपेक्षाकृत मॉड्यूल समाकारिता है तो मॉड्यूल समाकारिता h : Y → Q सम्मिलित होती है जैसे कि hf = g को निम्न आरेख मे दर्शाया गया है:

अंतःक्षेपक दाएँ R मॉड्यूल को पूर्ण सादृश्य में परिभाषित किया गया है।

उदाहरण

प्रथम उदाहरण

तुच्छ रूप से शून्य मॉड्यूल {0} अंतःक्षेपक मॉड्यूल है।

एक क्षेत्र k दिया गया है जहां प्रत्येक k-सदिश समष्टि, Q अंतःक्षेपी और k मॉड्यूल है। यदि Q, V की उपसमष्टि है तो हम Q का एक आधार खोज सकते हैं और इसे V के आधार पर विस्तारित कर सकते हैं। नए विस्तारित आधार सदिशों में V की उपसमष्टि K है और V, Q और K का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है। ध्यान दे कि Q का प्रत्यक्ष पूरक K विशिष्ट रूप से Q द्वारा निर्धारित नहीं किया गया है। इसी प्रकार उपरोक्त परिभाषा में विस्तारित मानचित्र h विशिष्ट रूप से अद्वितीय नहीं है।

तर्कसंगत Q (जोड़ के साथ) एक अंतःक्षेपक एबेलियन समूह (अर्थात अंतःक्षेपक Z-मॉड्यूल) बनाते हैं। कारक समूह Q/Z और वृत्तीय समूह अंतःक्षेपक Z-मॉड्यूल हैं। जो n> 1 के लिए कारक समूह ${\mathfrak {Z/nZ}}$ एक Z/nZ-मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक है, लेकिन एक एबेलियन समूह के रूप में अंतःक्षेपक नहीं है।

क्रमविनिमेय उदाहरण

सामान्यतः किसी भी समाकल डोमेन R के लिए अंश K के क्षेत्र के साथ R-मॉड्यूल K का अंतःक्षेपक R-मॉड्यूल है। वास्तव में R युक्त सबसे छोटा अंतःक्षेपक R-मॉड्यूल है। किसी भी डेडेकाइंड डोमेन के लिए भागफल मॉड्यूल K/R है। व्यंजक और इसका अविघटनीय योग स्थानीयकरण हैं। गैर-अभाज्य $R_{\mathfrak {p}}/R$ अभाज्य अनुक्रम ${\mathfrak {p}}$ के लिए शून्य आदर्श भी प्रमुख है और अंतःक्षेपक के के अनुरूप है। इस प्रकार से प्रमुख आदर्शों और अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच 1-1 सहसंबंध होता है।

एबेन मैटलिस (लैम 1999, §3I) के कारण क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलयों के लिए विशेष रूप से समृद्ध सिद्धांत उपलब्ध है। प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है और अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल को विशिष्ट रूप से भागफल $R_{\mathfrak {p}}/R$ के अंतःक्षेपक हल्स के रूप में पहचाना जाता है जहां ${\mathfrak {p}}$ वलय के प्रमुख स्पेक्ट्रम पर भिन्न होता है। R मॉड्यूल के रूप में $R_{\mathfrak {p}}/R$ का अंतःक्षेपक हल्स कैनोनिक रूप से R_P मॉड्यूल है और R_P का आरपी-अंतःक्षेपक हल्स है। दूसरे शब्दों में यह स्थानीय वलय पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। R/P के अंतःक्षेपक हल्स का अंतःरूपांतरण वलय, P पर R का पूरा ${\hat {R}}_{P}$ है।

दो उदाहरण Z-मॉड्यूल Z/pZ (प्रूफ़र समूह) के अंतःक्षेपक हल्स हैं और k[x] मॉड्यूल k (व्युत्क्रम बहुपदों की वलय) के अंतःक्षेपक हल्स हैं। उत्तरार्द्ध को आसानी से k[x,x⁻¹]/xk[x] के रूप में वर्णित किया गया है। इस मॉड्यूल का आधार "व्युत्क्रम एकपदीय" है, जो कि n = 0, 1, 2, ... के लिए x⁻ⁿ है। अदिश द्वारा गुणन अपेक्षित है और x द्वारा गुणा सामान्य रूप से x·1 = 0 को छोड़कर व्यवहार करता है। अंतःरूपांतरण वलय केवल औपचारिक घात श्रृंखला वलय है।

आर्टिनियन उदाहरण

यदि G परिमित समूह है और k विशेषता (बीजगणित) 0 के साथ एक क्षेत्र है तो समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत प्रदर्शित करता है कि किसी दिए गए उप-प्रतिनिधित्व पहले से ही दिए गए मॉड्यूल भाषा में अनुवादित एक का प्रत्यक्ष योग है। इसका अर्थ है कि समूह बीजगणित kG पर सभी मॉड्यूल अंतःक्षेपक हैं। यदि k का अभिलाक्षणिक मान शून्य नहीं है तो निम्न उदाहरण सहायता कर सकते है।

यदि A, k पर परिमित आयाम के साथ क्षेत्र k पर इकाई साहचर्य बीजगणित है तो Hom_k(-, k) अंतिम रूप से उत्पन्न बाएं A मॉड्यूल और अंतिम रूप से उत्पन्न दाएं A मॉड्यूल के बीच एक द्वैत है। इसलिए सूक्ष्म रूप से निर्मित किए गए अंतःक्षेपक बाएं A मॉड्यूल पूर्णतः Hom_k(P, k) के रूप में मॉड्यूल हैं जहां P अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेपीय सही A मॉड्यूल है। सममित बीजगणित के लिए अनुरूप विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है। प्रक्षेपीय मॉड्यूल और अंतःक्षेपक मॉड्यूल एक दूसरे के अनुरूप हैं।

किसी भी आर्टिनियन वलय के लिए जैसे कि कम्यूटेटिव वलय के लिए, अभाज्य क्रम और अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच 1-1 सहसंबंध होता है। इस स्थिति में सहसंबंध लगभग और भी सरल है। एक प्रमुख आदर्श अद्वितीय सरल मॉड्यूल का विनाशक है और संबंधित अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल इसके अंतःक्षेपक हल्स है। क्षेत्र पर परिमित-आयामी बीजगणित के लिए ये अंतःक्षेपक हल्स सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल (लैम 1999, §3G, §3J) हैं।

कम्प्यूटिंग अंतःक्षेपक हल्स

यदि $R$ एक नोथेरियन वलय है और ${\mathfrak {p}}$ मुख्य आदर्श समुच्चय $E=E(R/{\mathfrak {p}})$ अंतःक्षेपक हल्स के रूप में है। आर्टिनियन वलय के ऊपर $R/{\mathfrak {p}}$ का अंतःक्षेपक हल्स { $R/{\mathfrak {p}}^{k}$ की गणना मॉड्यूल $(0:_{E}{\mathfrak {p}}^{k})$ के रूप में की जा सकती है। यह $R/{\mathfrak {p}}^{k}$ के समान लंबाई का एक मॉड्यूल है।^[1] विशेष रूप से मानक ग्रेडेड वलय के लिए $R_{\bullet }=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{\bullet }$ और ${\mathfrak {p}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $E=\oplus _{i}{\text{Hom}}(R_{i},k)$ अंतःक्षेपक मॉड्यूल है जो $k$ से अधिक आर्टिनियन वलय के लिए अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल की गणना के लिए उपकरण है।

स्व अंतःक्षेपक

आर्टिन स्थानीय वलय $(R,{\mathfrak {m}},K)$ यदि और केवल यदि स्व अंतःक्षेपक $soc(R)$ है। एक 1-आयामी सदिश समष्टि $K$ है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक स्थानीय गोरेंस्टीन वलय जो कि आर्टिन भी है। अपने आप में अंतःक्षेपक है क्योंकि इसमें 1-आयामी सोसल है।^[2] $R=\mathbb {C} [x,y]/(x^{2},xy,y^{2})$ साधारण गैर-उदाहरण वलय है। जिसका अधिकतम आदर्श $(x,y)$ और अवशेष क्षेत्र $\mathbb {C}$ इसका सोसल $\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y$ है जो द्वि-आयामी है। अवशेष क्षेत्र ${\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y,\mathbb {C} )$ में अंतःक्षेपक हल्स है।

लाई बीजगणित मॉड्यूल

लाई बीजगणित के लिए ${\mathfrak {g}}$ विशेषता 0 के क्षेत्र $k$ पर मॉड्यूल की श्रेणी ${\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})$ का अपेक्षाकृत प्रत्यक्ष वर्णन है अंतःक्षेपक मॉड्यूल सार्वभौमिक लाई बीजगणित का उपयोग करके किसी भी अंतःक्षेपक ${\mathfrak {g}}$ -मॉड्यूल का निर्माण ${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$ निम्न मॉड्यूल से किया जा सकता है:^[3]

${\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})$

वास्तव में प्रत्येक ${\mathfrak {g}}$ -मॉड्यूल में कुछ में अंतःक्षेपक ${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$ है और प्रत्येक अंतःक्षेपक ${\mathfrak {g}}$ -मॉड्यूल कुछ का प्रत्यक्ष योग ${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$ है।

सिद्धांत

क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के लिए संरचना प्रमेय

एक कम्यूटेटिव नोथेरियन वलय $R$ पर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग होता है और प्रत्येक अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल अभाज्य ${\mathfrak {p}}$ पर अवशेष क्षेत्र का अंतःक्षेपक हल्स होता है। अर्थात् एक अंतःक्षेपक $I\in {\text{Mod}}(R)$ के लिए समरूपता है:

$I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})$

जहां $E(R/{\mathfrak {p}}_{i})$ मॉड्यूल के अंतःक्षेपक हल्स $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ हैं।^[4] इसके अतिरिक्त यदि $I$ मॉड्यूल $M$ का अंतःक्षेपक हल्स है तो ${\mathfrak {p}}_{i}$ , $M$ के संबंधित अभाज्य संख्याएँ हैं।^[1]

उपमॉड्यूल, भागफल, उत्पाद और योग

अंतःक्षेपक मॉड्यूल (यहां तक कि अपरिमित रूप से कई) अंतःक्षेपक मॉड्यूल का कोई भी उत्पाद अंतःक्षेपक है। इसके विपरीत यदि मॉड्यूल का प्रत्यक्ष उत्पाद अंतःक्षेपक है, तो प्रत्येक मॉड्यूल (लैम 1999, p. 61) अंतःक्षेपक है। सूक्ष्म रूप से अनेक अंतःक्षेपी मॉड्यूलों का प्रत्येक प्रत्यक्ष योग अंतःक्षेपी होता है। सामान्य रूप से उपमॉड्यूल्स, गणनांक मॉड्यूल या अंतःक्षेपक मॉड्यूल के अनंत प्रत्यक्ष योगों को अंतःक्षेपक नहीं होना चाहिए। प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक उपमॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि वलय आर्टिनियन अर्ध साधारण है तब (गोलान & हेड 1991, p. 152) प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक कारक मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि वलय वंशानुगत है तब (लैम 1999, Th. 3.22) अंतःक्षेपी मॉड्यूल का प्रत्येक अनंत प्रत्यक्ष योग अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि वलय नोथेरियन (लैम 1999, Th 3.46) है।^[5]

बेयर मानदंड

बेयर के मूल पेपर में उन्होंने एक उपयोगी परिणाम को सिद्ध किया है जिसे सामान्यतः बेयर के मानदंड के रूप में जाना जाता है। यह जांचने के लिए कि क्या मॉड्यूल अंतःक्षेपक है एक बायां R मॉड्यूल Q अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि कोई समरूपता g : I → Q बाएं आदर्श वलय से परिभाषित R का सभी R तक विस्तार किया जा सकता है।

इस मानदंड का उपयोग करके कोई भी यह दिखा सकता है कि Q एक अंतःक्षेपी एबेलियन समूह है अर्थात Z पर एक अंतःक्षेपी मॉड्यूल अधिक सामान्यतः एक एबेलियन समूह अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि यह विभाज्य है। अधिक सामान्यतः अभी भी प्रमुख आदर्श डोमेन पर एक मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि यह विभाज्य है सदिश रिक्त समष्टि कि स्थिति इस प्रमेय का एक उदाहरण है, क्योंकि प्रत्येक क्षेत्र का प्रमुख आदर्श डोमेन है और प्रत्येक सदिश समष्टि विभाज्य है। सामान्य समाकल डोमेन पर हमारे पास अभी भी निहितार्थ है। समाकल डोमेन पर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विभाज्य होता है।

बेयर के मानदंड को कई प्रकार (गोलान & हेड 1991, p. 119) से परिष्कृत किया गया है जिसमें (समित 1981) और (वामोस 1983) का परिणाम भी सम्मिलित है कि एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के लिए यह केवल प्रमुख आदर्शों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। दोहरी बेयर मानदंड जो प्रक्षेपीय मॉड्यूल के लिए परीक्षण सामान्य रूप से गलत है। उदाहरण के लिए Z-मॉड्यूल Q बेयर मानदंड के दोहरे नियम को संतुष्ट करता है लेकिन प्रक्षेपी नहीं है।

अंतःक्षेपक सह निर्माता

लगभग सबसे महत्वपूर्ण अंतःक्षेपक मॉड्यूल एबेलियन समूह Q/Z है। यह एबेलियन समूहों की श्रेणी में एक अंतःक्षेपक उपनिर्माता है। जिसका अर्थ है कि यह अंतःक्षेपक है और कोई अन्य मॉड्यूल Q/Z की प्रतियों के उपयुक्त बड़े उत्पाद में निहित है। तो विशेष रूप से प्रत्येक एबेलियन समूह के अंतःक्षेपक का एक उपसमूह है। यह अपेक्षाकृत महत्वपूर्ण है कि यह किसी भी वलय पर भी सत्य है। प्रत्येक मॉड्यूल अंतःक्षेपक का एक उपसमूह है या बाएं R-मॉड्यूल की श्रेणी में पर्याप्त अंतःक्षेपक हैं। इसे सिद्ध करने के लिए बाएं R मॉड्यूल की श्रेणी में एक अंतःक्षेपक उपनिर्माता बनाने के लिए एबेलियन समूह Q/Z के अपेक्षाकृत गुणों का उपयोग किया जाता है।

बाएं R-मॉड्यूल M के लिए तथाकथित चरित्र मॉड्यूल M⁺ = Hom_Z(M,Q/Z) एक सही R मॉड्यूल है जो अंतःक्षेपक मॉड्यूल और प्रक्षेपीय मॉड्यूल के बीच नहीं बल्कि अंतःक्षेपक मॉड्यूल और समतल मॉड्यूल के बीच रोचक द्विविधता (हनोक & जेंड़ा 2001, pp. 78–80) प्रदर्शित करता है। किसी भी वलय R के लिए एक बायां R मॉड्यूल समतल है यदि और केवल यदि इसका चरित्र मॉड्यूल अंतःक्षेपक है। यदि R नोथेरियन को छोड़ दिया गया है तो बाएं R मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि इसका चरित्र मॉड्यूल समतल है।

अंतःक्षेपक हल्स

मॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल्स सबसे छोटा अंतःक्षेपक मॉड्यूल है जिसमें दिए गए (एकमैनन & शॉपफ 1953) को इसमें वर्णित किया गया था। एक न्यूनतम अंतःक्षेपक विश्लेषण (नीचे देखें) को परिभाषित करने के लिए अंतःक्षेपक हल्स का उपयोग कर सकते हैं। यदि अंतःक्षेपी समाकल का प्रत्येक पद पिछले मानचित्र के कोकर्नेल का अंतःक्षेपी हल्स है तो अंतःक्षेपी मॉड्यूल समाकल की न्यूनतम लंबाई होती है।

अंतःक्षेपक विश्लेषण

प्रत्येक मॉड्यूल M में एक अंतःक्षेपक विश्लेषण भी होता है जो निम्न रूप का उपयुक्त अनुक्रम है:

0 → M → I⁰ → I¹ → I² → ...

जहां I ^j अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं। व्युत्पन्न प्रस्तावों को परिभाषित करने के लिए अंतःक्षेपक विश्लेषण का उपयोग किया जा सकता है जैसे कि एक्सट गुणनाक एक परिमित अंतःक्षेपी समाकल की लंबाई सूचकांक n है जैसे कि Iⁿ शून्य नहीं है और Iⁱ = 0 के लिए n से अधिक है। यदि एक मॉड्यूल M एक परिमित अंतःक्षेपण संकल्प को स्वीकृत करता है, तो M के सभी परिमित अंतःक्षेपी संकल्पों के बीच न्यूनतम लंबाई को इसके अंतःक्षेपी आयाम और निरूपित id(M) कहा जाता है। यदि M परिमित अंतःक्षेपी संकल्प को स्वीकृत नहीं करता है तो मॉड्यूल द्वारा अंतःक्षेपी आयाम को अनंत कहा जाता है। उदाहरण के रूप में मॉड्यूल M पर विचार करें जैसे कि id(M) = 0 की इस स्थिति में अनुक्रम 0 → M → I⁰ → 0 की शुद्धता इंगित करती है कि केंद्र में (→) एक समरूपता है और इसलिए M स्वयं अंतःक्षेपी है।^[6]

समान रूप से M का अंतःक्षेपी आयाम न्यूनतम पूर्णांक ∞ या n है जैसे कि Ext^N
_A(–,M) = 0 सभी N > n के लिए A(–, M) = 0 है।

अविघटनीय

अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक अंतःक्षेपक उपमॉड्यूल एक प्रत्यक्ष योग है। इसलिए अविघटनीय मॉड्यूल अंतःक्षेपक मॉड्यूल (लैम 1999, §3F) को समझना महत्वपूर्ण है।

प्रत्येक अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल में स्थानीय अंतःरूपांतरण वलय होती है। मॉड्यूल को एक समान मॉड्यूल कहा जाता है यदि प्रत्येक दो गैर-शून्य उपमॉड्यूल में गैर-शून्य प्रतिच्छेद होते है। एक अंतःक्षेपक मॉड्यूल M के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं:

M अविघटनीय है।
M गैर-शून्य है और प्रत्येक गैर-शून्य उपमॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल है।
M एकसमान है।
M एक समान मॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल है।
M एक समान चक्रीय मॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल है।
M में एक स्थानीय अंतःरूपांतरण वलय है

नोथेरियन वलय के ऊपर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल (विशिष्ट रूप से निर्धारित) अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है। क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के ऊपर यह (मैटलिस 1958) में वर्णित सभी अंतःक्षेपक मॉड्यूल की विशेष रूप से अच्छी समझ देता है। अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल वलय R के प्रमुख आदर्श के लिए मॉड्यूल R/P के अंतःक्षेपक हल्स हैं। इसके अतिरिक्त R/P के अंतःक्षेपक हल्स M में आदर्श pⁿ के एनीहिलेटर द्वारा दिए गए मॉड्यूल M_n द्वारा बढ़ते निस्पंदन हैं और M_n₊₁/M_n समरूपता है, जो R/p से Hom_R/p(pⁿ/pⁿ⁺¹, k(p)) के भागफल क्षेत्र k(p) पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि के रूप में है।

वलय का परिवर्तन

विशेष रूप से बहुपद वलयों के लिए उपवलय या भागफल के वलय या मॉड्यूल पर विचार करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। सामान्यतः यह कठिन है, लेकिन कई परिणाम ज्ञात हैं। माना कि (लैम 1999, p. 62) S और R को वलय P के बाए R, दाए S द्विमाड्यूल है जो बाए-R मॉड्यूल के रूप में समतल मॉड्यूल है। किसी भी अंतःक्षेपक दाए S मॉड्यूल M के लिए मॉड्यूल समरूपता Hom_S( P, M ) एक अंतःक्षेपक सही R मॉड्यूल है। बाएँ और दाएँ गुणों के आदान-प्रदान के बाद निश्चित रूप से यही कथन प्रयुक्त होता है।

उदाहरण के लिए यदि R, S का उपवलय है जैसे कि S समतल R-मॉड्यूल है तो प्रत्येक अंतःक्षेपक S-मॉड्यूल अंतःक्षेपक R मॉड्यूल है। विशेष रूप से यदि R एक समाकल डोमेन है और S इसके अंशों का क्षेत्र है, तो S पर प्रत्येक सदिश समष्टि अंतःक्षेपी R-मॉड्यूल है। इसी प्रकार प्रत्येक अंतःक्षेपक R[x] -मॉड्यूल अंतःक्षेपक R मॉड्यूल है।

विपरीत दिशा में वलय समरूपता $f:S\to R$ बाएँ और दाएँ गुणन द्वारा R को बाएँ-R, दाएँ-S द्विमॉड्यूल में बनाता है। अपने आप में मुक्त मॉड्यूल होने के कारण R भी मुफ्त मॉड्यूल और प्रक्षेपीय मॉड्यूल बाएं R मॉड्यूल के रूप में है। P = R के लिए उपरोक्त कथन की विशेषज्ञता यह कहती है कि जब M अंतःक्षेपक सही S मॉड्यूल का सह-प्रेरित मॉड्यूल है। $f_{*}M=\mathrm {Hom} _{S}(R,M)$ एक अंतःक्षेपक सही R मॉड्यूल है। इस प्रकार f पर संयोग अंतःक्षेपक S मॉड्यूल से अंतःक्षेपक R मॉड्यूल उत्पन्न करता है।

भागफल वलय R/I के लिए वलय का परिवर्तन भी बहुत स्पष्ट है। एक R मॉड्यूल ठीक उसी सम R/I-मॉड्यूल होता है जब इसे I द्वारा विलोपित किया जाता है। उपमॉड्यूल ann_I(M) = { m in M : im = 0 बाएं R मॉड्यूल का एक बायां उपमॉड्यूल है। M और M का सबसे बड़ा उपमॉड्यूल है जो एक R/I-मॉड्यूल है। यदि M अंतःक्षेपी बायाँ R-मॉड्यूल है तो ann_I(M) अंतःक्षेपी बायाँ R/I-मॉड्यूल है। इसे R=Z, I=nZ और M=Q/Z पर लागू करने पर, एक परिचित तथ्य प्राप्त होता है कि Z/nZ अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक है। हालांकि अंतःक्षेपक R मॉड्यूल को अंतःक्षेपक R/I-मॉड्यूल में परिवर्तित करना आसान होता है लेकिन यह प्रक्रिया अंतःक्षेपक वाले R विश्लेषण को अंतःक्षेपक वाले R/I-विश्लेषण में परिवर्तित नहीं करती है जो परिणामी समिश्र की होमोलॉजी अध्ययन के प्रारंभिक और मौलिक क्षेत्रों में से एक है। सहसंबंध समरूप बीजगणित की पाठ्यपुस्तक (रोटमैन 1979, p. 103) के पास एक गलत प्रमाण है कि वलय का स्थानीयकरण अंतःक्षेपक को संरक्षित करता है, लेकिन इसमें एक गणना (डेड 1981) उदाहरण दिया गया है।

स्व-अंतःक्षेपक वलय

समरूपता के साथ प्रत्येक वलय एक स्वतंत्र मॉड्यूल है और इसलिए अपने आप में मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेपी है, लेकिन यह वलय के लिए अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक होना दुर्लभ है। यदि एक वलय सही मॉड्यूल के रूप में स्वयं पर अंतःक्षेपक है, तो इसे दायां स्व-अंतःक्षेपक वलय कहा जाता है। प्रत्येक फ्रोबेनियस बीजगणित स्व-अंतःक्षेपी है, लेकिन कोई भी समाकल डोमेन जो एक क्षेत्र नहीं है वह स्व-अंतःक्षेपी है। डेडेकाइंड डोमेन का प्रत्येक उपयुक्त भागफल स्व-अंतःक्षेपक है।

एक दाएँ नोएथेरियन, दाएँ स्व-अंतःक्षेपक वाले वलय को अर्ध-फ्रोबेनियस वलय कहा जाता है यदि यह दो तरफा आर्टिनियन और दो तरफा अंतःक्षेपक वाला होता है। अर्ध-फ्रोबेनियस वलयों का एक महत्वपूर्ण मॉड्यूल सैद्धांतिक गुण यह है कि प्रक्षेपी मॉड्यूल प्रायः अंतःक्षेपक मॉड्यूल होते हैं।

सामान्यीकरण और विशेषज्ञता

अंतःक्षेपक वस्तुएं

मॉड्यूल श्रेणियों की तुलना में अधिक सामान्य श्रेणियों में अंतःक्षेपक वस्तुओ के विषय में भी चर्चा करता है, उदाहरण के लिए गुणनांक श्रेणियों में या कुछ वलय वाले समष्टि (X,O_X) पर O_X मॉड्यूल के शेव सिद्धांत की श्रेणियों में निम्नलिखित सामान्य परिभाषा का उपयोग श्रेणी C की एक वस्तु Q के लिए किया जाता है, यदि किसी समरूपता f: X → Y में C और किसी भी आकारिकी g: X → Q के लिए समरूपता h: Y → Q hf = g के साथ सम्मिलित है।

विभाज्य समूह

एबेलियन समूहों की श्रेणी में अंतःक्षेपक वस्तु की धारणा को विभाज्य समूह शब्द के अंतर्गत अंतःक्षेपक मॉड्यूल से कुछ स्थिति तक स्वतंत्र रूप से अध्ययन किया गया था। यहां एक Z-मॉड्यूल M अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि n⋅M = M प्रत्येक गैर-शून्य पूर्णांक N के लिए यहां समतल मॉड्यूल, शुद्ध उपमॉड्यूल और अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच संबंध अधिक स्पष्ट हैं क्योंकि यह केवल पूर्णांक द्वारा मॉड्यूल तत्वों के कुछ विभाज्य गुणों को संदर्भित करता है।

शुद्ध अंतःक्षेपक मॉड्यूल

सहसंबंध समरूपता बीजगणित में समरूपता के विस्तारण गुण के अतिरिक्त केवल उपमॉड्यूल के लिए आवश्यक हो सकती है। उदाहरण के लिए एक शुद्ध अंतःक्षेपी मॉड्यूल ऐसा मॉड्यूल होता है, जिसमें शुद्ध उपमॉड्यूल से समरूपता को समष्टि मॉड्यूल तक विस्तृत किया जा सकता है।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Eisenbud. क्रमविनिमेय बीजगणित का परिचय. pp. 624, 625.
↑ "इंजेक्शन मॉड्यूल" (PDF). p. 10.
↑ Vogan, David. "झूठ बीजगणित कोहोलॉजी" (PDF).
↑ "Structure of injective modules over Noetherian rings".
↑ This is the Bass-Papp theorem, see (Papp 1959) and (Chase 1960)
↑ A module isomorphic to an injective module is of course injective.

पाठ्यपुस्तकें

Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Rings and Categories of Modules, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97845-1, retrieved 30 July 2016
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Golan, Jonathan S.; Head, Tom (1991), Modules and the structure of rings, Monographs and पाठ्यपुस्तकें in Pure and Applied Mathematics, vol. 147, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0, MR 1201818
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Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, vol. 85, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-599250-3, MR 0538169

प्राथमिक स्रोत

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Chase, Stephen U. (1960), "Direct products of modules", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, Vol. 97, No. 3, 97 (3): 457–473, doi:10.2307/1993382, JSTOR 1993382, MR 0120260
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श्रेणी:समरूप बीजगणित श्रेणी:मॉड्यूल सिद्धांत

[:0-1] 1.0 ^1.1 Eisenbud. क्रमविनिमेय बीजगणित का परिचय. pp. 624, 625.

[2] "इंजेक्शन मॉड्यूल" (PDF). p. 10.

[3] Vogan, David. "झूठ बीजगणित कोहोलॉजी" (PDF).

[4] "Structure of injective modules over Noetherian rings".

[5] This is the Bass-Papp theorem, see (Papp 1959) and (Chase 1960)

[6] A module isomorphic to an injective module is of course injective.

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 {{Short description|Mathematical object in abstract algebra}}
-गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में '''अंतःक्षेपक मॉड्यूल''' को सामान्यतः [[मॉड्यूल सिद्धांत]] के रूप में जाना जाता है, एक अंतःक्षेपक मॉड्यूल एक मॉड्यूल Q है जो सभी [[तर्कसंगत संख्या]]ओं के Z-मॉड्यूल Q के साथ कुछ वांछनीय गुणों को साझा करता है। विशेष रूप से, यदि Q किसी अन्य मॉड्यूल का उपमॉड्यूल है, तो यह पहले से ही उस मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है; इसके अतिरिक्त, एक मॉड्यूल Y का एक उपमॉड्यूल दिया जाता है, तो इस उपमॉड्यूल से Q तक किसी भी [[मॉड्यूल समरूपता]] को सभी Y से Q तक एक समान तक बढ़ाया जा सकता है। यह अवधारणा प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के लिए दोहरी है। अंतःक्षेपक मॉड्यूल {{harv|Baer|1940}} और {{harv|Lam|1999|loc=§3}} में पेश किए गए थे और पाठ्यपुस्तक में कुछ विस्तार से चर्चा की गई है।
+गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में '''अंतःक्षेपक मॉड्यूल''' को सामान्यतः [[मॉड्यूल सिद्धांत]] के रूप में जाना जाता है। अंतःक्षेपक मॉड्यूल Q वह मॉड्यूल है जो सभी [[तर्कसंगत संख्या|तर्कसंगत संख्याओं]] के Z मॉड्यूल Q के साथ कुछ वांछनीय गुणों को साझा करता है। विशेष रूप से यदि Q किसी अन्य मॉड्यूल का उपमॉड्यूल है तो यह पहले से ही उस मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग होता है। इसके अतिरिक्त मॉड्यूल Y का एक उपमॉड्यूल दिया जाता है तो इस उपमॉड्यूल से Q तक किसी भी [[मॉड्यूल समरूपता]] को सभी Y से Q तक एक समान रूप से बढ़ाया जा सकता है। यह अवधारणा प्रक्षेपीय मॉड्यूल के लिए दोहरी है। अंतःक्षेपक मॉड्यूल को {{harv|बेयर|1940}} और {{harv|लेयम|1999|loc=§3}} ने प्रस्तुत किया था। जिनकी पाठ्यपुस्तक में विस्तार से चर्चा की गई है।
-अंतःक्षेपक मॉड्यूल का गहन अध्ययन किया गया है, और विभिन्न प्रकार की अतिरिक्त धारणाओं को उनके संदर्भ में परिभाषित किया गया है: [[इंजेक्शन कोजेनरेटर|अंतःक्षेपक कोजेनरेटर]] अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं जो ईमानदारी से मॉड्यूल की पूरी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंतःक्षेपी संकल्प मापता है कि अंतःक्षेपण आयाम के संदर्भ में एक मॉड्यूल अंतःक्षेपण से कितनी दूर है और व्युत्पन्न श्रेणी में मॉड्यूल का प्रतिनिधित्व करता है। अंतःक्षेपक हल्स अधिकतम आवश्यक एक्सटेंशन हैं, और न्यूनतम अंतःक्षेपक एक्सटेंशन बन जाते हैं। [[नोथेरियन रिंग|नोथेरियन वलय]] पर, प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से अविघटनीय मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है, और उनकी संरचना अच्छी तरह से समझी जाती है। एक वलय पर एक अंतःक्षेपक मॉड्यूल, दूसरे पर अंतःक्षेपक नहीं हो सकता है, लेकिन वलयों को बदलने की अच्छी तरह से समझी जाने वाली विधियां हैं जो विशेष मामलों को संभालती हैं। वलय्स जो स्वयं अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं, में कई दिलचस्प गुण हैं और इसमें फ़ील्ड्स पर [[परिमित समूह|परिमित समू]]हों के समूह वलय जैसे वलय सम्मिलित हैं। अंतःक्षेपक मॉड्यूल में [[विभाज्य समूह]] सम्मिलित होते हैं और [[श्रेणी सिद्धांत]] में अंतःक्षेपक वाली वस्तुओं की धारणा से सामान्यीकृत होते हैं।
+अंतःक्षेपक मॉड्यूल का अत्यधिक अध्ययन किया गया है और विभिन्न प्रकार की अतिरिक्त धारणाओं को उनके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। [[इंजेक्शन कोजेनरेटर|अंतःक्षेपक के उपनिर्माता]] अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं जो ईमानदारी से मॉड्यूल की पूरी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह मॉड्यूल अंतःक्षेपी विश्लेषण को मापता है कि अंतःक्षेपण आयाम के संदर्भ में एक मॉड्यूल अंतःक्षेपण से कितनी दूर है और व्युत्पन्न श्रेणी में मॉड्यूल का प्रतिनिधित्व करता है। अंतःक्षेपक हल्स अधिकतम आवश्यक विस्तार हैं और न्यूनतम अंतःक्षेपक भी विस्तार बन जाते हैं। [[नोथेरियन रिंग|नोथेरियन वलय]] पर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से अविघटनीय मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है और उनकी संरचना अच्छी तरह से समझी जाती है। एक वलय पर अंतःक्षेपक मॉड्यूल, दूसरे पर अंतःक्षेपक नहीं हो सकता है। लेकिन वलयों को रूपांतरण की अच्छी तरह से समझी जाने वाली विधियां हैं जो विशेष स्थितियों को संभालती हैं। वलय जो स्वयं अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं उसमे कई विशेष गुण हैं और इसमें क्षेत्र पर [[परिमित समूह|परिमित समूहों]] के समूह वलय जैसे वलय सम्मिलित हैं। अंतःक्षेपक मॉड्यूल में [[विभाज्य समूह]] सम्मिलित होते हैं जो [[श्रेणी सिद्धांत]] में अंतःक्षेपक वाली वस्तुओं की धारणा से सामान्यीकृत होते हैं।
 == परिभाषा ==
-वलय R के ऊपर एक बायाँ मॉड्यूल Q अंतःक्षेपी होता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से एक (और इसलिए सभी) को संतुष्ट करता है:
+वलय R के ऊपर बायाँ मॉड्यूल Q अंतःक्षेपी होता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से एक (और इसलिए सभी) को संतुष्ट करता है:
-* यदि Q किसी अन्य बाएँ R-मॉड्यूल M का एक उपमॉड्यूल है, तो M का एक और उपमॉड्यूल K मौजूद है, जैसे M, Q और K का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है, अर्थात Q + K = M और Q ∩ K = {0}।
+* यदि Q किसी अन्य बाएँ R मॉड्यूल M का उपमॉड्यूल है, तो M का एक और उपमॉड्यूल K उपस्थित होता है। जैसे M, Q और K का आंतरिक प्रत्यक्ष Q + K = M और Q ∩ K = {0} योग है।
-* कोई भी छोटा सटीक क्रम 0 →Q → M → K → 0 बाएँ R-मॉड्यूल विभाजित करता है।
+* कोई भी छोटा शुद्ध क्रम 0 →Q → M → K → 0 बाएँ R-मॉड्यूल को विभाजित करता है।
-* वाम आर-मॉड्यूल के श्रेणी सिद्धांत से [[एबेलियन समूह]]ों की श्रेणी के लिए प्रतिपरिवर्ती गुणांक [[मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं]] होम (-, क्यू) सटीक फ़ंक्टर है।
+* बाएँ R मॉड्यूल की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी के लिए प्रतिपरिवर्ती फलन Hom(-,''Q'') उपयुक्त है।
-*यदि एक्स और वाई शेष आर-मॉड्यूल हैं, तो ''f'' : ''X'' → ''Y'' एक अंतःक्षेपक मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म है और ''g'' : ''X'' → ''Q'' एक मनमाना मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म है, फिर एक मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म ''h'' : ''Y'' → ''Q'' मौजूद है जैसे कि ''hf'' = ''g'' यानी ऐसा कि निम्न आरेख यात्रा करता है:
+*यदि X और Y को R-मॉड्यूल के लिए छोड़ दिया जाए, तो f: X → Y अंतःक्षेपी मॉड्यूल समाकारिता है और g : X → Q अपेक्षाकृत मॉड्यूल समाकारिता है तो मॉड्यूल समाकारिता ''h'' : ''Y'' → ''Q'' सम्मिलित होती है जैसे कि hf = g को निम्न आरेख मे दर्शाया गया है:
-[[index.php?title=File:Injective_module.svg|center|193x193px]]
+[[File:Injective module.svg|center|thumb|196x196px]]
+अंतःक्षेपक दाएँ R मॉड्यूल को पूर्ण सादृश्य में परिभाषित किया गया है।
-अंतःक्षेपक राइट आर-मॉड्यूल को पूर्ण सादृश्य में परिभाषित किया गया है।
 == उदाहरण ==
-=== पहला उदाहरण ===
+=== प्रथम उदाहरण ===
-तुच्छ रूप से, शून्य मॉड्यूल {0} अंतःक्षेपक है।
+तुच्छ रूप से शून्य मॉड्यूल {0} अंतःक्षेपक मॉड्यूल है।
-एक क्षेत्र k दिया गया है, प्रत्येक k-[[ सदिश स्थल |सदिश समष्टि]] Q एक अंतःक्षेपी k-मॉड्यूल है। कारण: यदि Q, V की एक उपसमष्टि है, तो हम Q का एक आधार खोज सकते हैं और इसे V के आधार पर विस्तारित कर सकते हैं। नए विस्तारित आधार सदिशों में V की एक उपसमष्टि K है और V, Q और K का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है। नोट कि Q का प्रत्यक्ष पूरक K विशिष्ट रूप से Q द्वारा निर्धारित नहीं किया गया है, और इसी तरह उपरोक्त परिभाषा में विस्तारित मानचित्र h विशिष्ट रूप से अद्वितीय नहीं है।
+एक क्षेत्र k दिया गया है जहां प्रत्येक k-[[ सदिश स्थल |सदिश समष्टि]], Q अंतःक्षेपी और k मॉड्यूल है। यदि Q, V की उपसमष्टि है तो हम Q का एक आधार खोज सकते हैं और इसे V के आधार पर विस्तारित कर सकते हैं। नए विस्तारित आधार सदिशों में V की उपसमष्टि K है और V, Q और K का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है। ध्यान दे कि Q का प्रत्यक्ष पूरक K विशिष्ट रूप से Q द्वारा निर्धारित नहीं किया गया है। इसी प्रकार उपरोक्त परिभाषा में विस्तारित मानचित्र h विशिष्ट रूप से अद्वितीय नहीं है।
-तर्कसंगत Q (जोड़ के साथ) एक अंतःक्षेपक एबेलियन समूह (यानी एक अंतःक्षेपक Z-मॉड्यूल) बनाते हैं। कारक समूह Q/Z और सर्कल समूह अंतःक्षेपक Z-मॉड्यूल भी हैं। n> 1 के लिए कारक समूह Z/nZ एक Z/nZ-मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक है, लेकिन एक एबेलियन समूह के रूप में अंतःक्षेपक नहीं है।
+तर्कसंगत Q (जोड़ के साथ) एक अंतःक्षेपक एबेलियन समूह (अर्थात अंतःक्षेपक Z-मॉड्यूल) बनाते हैं। कारक समूह Q/Z और वृत्तीय समूह अंतःक्षेपक Z-मॉड्यूल हैं। जो n> 1 के लिए कारक समूह <math>\mathfrak{Z/nZ}</math> एक Z/nZ-मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक है, लेकिन एक एबेलियन समूह के रूप में अंतःक्षेपक नहीं है।
 === क्रमविनिमेय उदाहरण ===
-अधिक आम तौर पर, किसी भी [[ अभिन्न डोमेन |अभिन्न डोमेन]] R के लिए अंश K के क्षेत्र के साथ, R-मॉड्यूल K एक अंतःक्षेपक R-मॉड्यूल है, और वास्तव में R युक्त सबसे छोटा अंतःक्षेपक R-मॉड्यूल है। किसी भी Dedekind डोमेन के लिए, [[भागफल मॉड्यूल]] K/R भी है व्यंजक, और इसके अविघटनीय योग स्थानीयकरण हैं <math>R_{\mathfrak{p}}/R</math> गैर-अभाज्य अभाज्य आदर्शों <math>\mathfrak{p}</math> के लिए शून्य आदर्श भी प्रमुख है और अंतःक्षेपक के के अनुरूप है। इस तरह से प्रमुख आदर्शों और अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच 1-1 पत्राचार होता है।
+सामान्यतः किसी भी [[ अभिन्न डोमेन |समाकल डोमेन]] R के लिए अंश K के क्षेत्र के साथ R-मॉड्यूल K का अंतःक्षेपक R-मॉड्यूल है। वास्तव में R युक्त सबसे छोटा अंतःक्षेपक R-मॉड्यूल है। किसी भी डेडेकाइंड डोमेन के लिए [[भागफल मॉड्यूल]] K/R है। व्यंजक और इसका अविघटनीय योग स्थानीयकरण हैं। गैर-अभाज्य <math>R_{\mathfrak{p}}/R</math> अभाज्य अनुक्रम <math>\mathfrak{p}</math> के लिए शून्य आदर्श भी प्रमुख है और अंतःक्षेपक के के अनुरूप है। इस प्रकार से प्रमुख आदर्शों और अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच 1-1 सहसंबंध होता है।
-[[एबेन मैटलिस]], (लैम 1999, §3I) के कारण क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलयों के लिए एक विशेष रूप से समृद्ध सिद्धांत उपलब्ध है। प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है, और अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल को विशिष्ट रूप से भागफल आर/पी के अंतःक्षेपक हल्स के रूप में पहचाना जाता है जहां पी वलय के प्रमुख स्पेक्ट्रम पर भिन्न होता है। आर-मॉड्यूल के रूप में आर/पी का अंतःक्षेपक हल कैनोनिक रूप से एक आरपी मॉड्यूल है, और आर/पी का आरपी-अंतःक्षेपक हल है। दूसरे शब्दों में, यह स्थानीय छल्लों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। R/P के अंतःक्षेपक हल का [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|एंडोमोर्फिज्म वलय]], P पर R का पूरा <math>\hat R_P</math> है।
+[[एबेन मैटलिस]] (लैम 1999, §3I) के कारण क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलयों के लिए विशेष रूप से समृद्ध सिद्धांत उपलब्ध है। प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है और अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल को विशिष्ट रूप से भागफल <math>R_{\mathfrak{p}}/R</math> के अंतःक्षेपक हल्स के रूप में पहचाना जाता है जहां <math>\mathfrak{p}</math> वलय के प्रमुख स्पेक्ट्रम पर भिन्न होता है। R मॉड्यूल के रूप में <math>R_{\mathfrak{p}}/R</math> का अंतःक्षेपक हल्स कैनोनिक रूप से ''R<sub>P</sub>'' मॉड्यूल है और ''R<sub>P</sub>'' का आरपी-अंतःक्षेपक हल्स है। दूसरे शब्दों में यह स्थानीय वलय पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। R/P के अंतःक्षेपक हल्स का [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|अंतःरूपांतरण वलय]], P पर R का पूरा <math>\hat R_P</math> है।
-दो उदाहरण Z-मॉड्यूल Z/pZ (प्रूफ़र समूह) के अंतःक्षेपक हल हैं, और k[x]-मॉड्यूल k (उलटा बहुपदों की वलय) के अंतःक्षेपक हल हैं। उत्तरार्द्ध को आसानी से k[x,x−1]/xk[x] के रूप में वर्णित किया गया है। इस मॉड्यूल का आधार "उलटा मोनोमियल्स" है, जो कि n = 0, 1, 2, ... के लिए x−n है। स्केलर्स द्वारा गुणन अपेक्षित है, और x द्वारा गुणा सामान्य रूप से x·1 = 0 को छोड़कर व्यवहार करता है। एंडोमोर्फिज्म वलय केवल [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] की वलय है।
+दो उदाहरण Z-मॉड्यूल Z/pZ (प्रूफ़र समूह) के अंतःक्षेपक हल्स हैं और k[x] मॉड्यूल k (व्युत्क्रम बहुपदों की वलय) के अंतःक्षेपक हल्स हैं। उत्तरार्द्ध को आसानी से ''k''[''x'',''x''<sup>−1</sup>]/''xk''[''x''] के रूप में वर्णित किया गया है। इस मॉड्यूल का आधार "व्युत्क्रम एकपदीय" है, जो कि n = 0, 1, 2, ... के लिए x<sup>−n</sup> है। अदिश द्वारा गुणन अपेक्षित है और x द्वारा गुणा सामान्य रूप से x·1 = 0 को छोड़कर व्यवहार करता है। [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|अंतःरूपांतरण वलय]] केवल [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक घात श्रृंखला]] वलय है।
 === आर्टिनियन उदाहरण ===
-यदि G एक परिमित समूह है और k [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 के साथ एक क्षेत्र है, तो एक [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में दिखाता है कि किसी दिए गए उप-प्रतिनिधित्व पहले से ही दिए गए एक का प्रत्यक्ष योग है। मॉड्यूल भाषा में अनुवादित, इसका मतलब है कि समूह बीजगणित केजी पर सभी मॉड्यूल अंतःक्षेपक हैं। यदि k का अभिलाक्षणिक शून्य नहीं है, तो निम्न उदाहरण मदद कर सकता है।
+यदि G परिमित समूह है और k [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 के साथ एक क्षेत्र है तो [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत प्रदर्शित करता है कि किसी दिए गए उप-प्रतिनिधित्व पहले से ही दिए गए मॉड्यूल भाषा में अनुवादित एक का प्रत्यक्ष योग है। इसका अर्थ है कि समूह बीजगणित ''kG'' पर सभी मॉड्यूल अंतःक्षेपक हैं। यदि k का अभिलाक्षणिक मान शून्य नहीं है तो निम्न उदाहरण सहायता कर सकते है।
-यदि A k पर परिमित आयाम के साथ क्षेत्र k पर एक इकाई [[साहचर्य बीजगणित]] है, तो Homk (-, k) अंतिम रूप से उत्पन्न बाएं A-मॉड्यूल और अंतिम रूप से उत्पन्न दाएं A-मॉड्यूल के बीच एक द्वैत है। इसलिए, सूक्ष्म रूप से जेनरेट किए गए अंतःक्षेपक बाएं ए-मॉड्यूल बिल्कुल होमक (पी, के) के रूप में मॉड्यूल हैं जहां पी एक अंतिम रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव सही ए-मॉड्यूल है। सममित बीजगणित के लिए, द्वंद्व विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल और अंतःक्षेपक मॉड्यूल मेल खाते हैं।
+यदि A, k पर परिमित आयाम के साथ क्षेत्र k पर इकाई [[साहचर्य बीजगणित]] है तो Hom<sub>k</sub>(-, k) अंतिम रूप से उत्पन्न बाएं A मॉड्यूल और अंतिम रूप से उत्पन्न दाएं A मॉड्यूल के बीच एक द्वैत है। इसलिए सूक्ष्म रूप से निर्मित किए गए अंतःक्षेपक बाएं A मॉड्यूल पूर्णतः Hom<sub>''k''</sub>(''P'', ''k'') के रूप में मॉड्यूल हैं जहां P अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेपीय सही A मॉड्यूल है। सममित बीजगणित के लिए अनुरूप विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है। प्रक्षेपीय मॉड्यूल और अंतःक्षेपक मॉड्यूल एक दूसरे के अनुरूप हैं।
-किसी भी [[आर्टिनियन रिंग|आर्टिनियन वलय]] के लिए, जैसे कि कम्यूटेटिव वलय के लिए, प्राइम आइडियल्स और इंडिकंपोज़ेबल अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच 1-1 पत्राचार होता है। इस मामले में पत्राचार शायद और भी सरल है: एक प्रमुख आदर्श एक अद्वितीय सरल मॉड्यूल का विनाशक है, और संबंधित अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल इसकी अंतःक्षेपक हल है। खेतों पर परिमित-आयामी बीजगणित के लिए, ये अंतःक्षेपक हल्स सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल {{harv|Lam|1999|loc=§3G, §3J}} हैं।
+किसी भी [[आर्टिनियन रिंग|आर्टिनियन वलय]] के लिए जैसे कि कम्यूटेटिव वलय के लिए, अभाज्य क्रम और अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच 1-1 सहसंबंध होता है। इस स्थिति में सहसंबंध लगभग और भी सरल है। एक प्रमुख आदर्श अद्वितीय सरल मॉड्यूल का विनाशक है और संबंधित अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल इसके अंतःक्षेपक हल्स है। क्षेत्र पर परिमित-आयामी बीजगणित के लिए ये अंतःक्षेपक हल्स सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल {{harv|लैम|1999|loc=§3G, §3J}} हैं।
 ==== कम्प्यूटिंग अंतःक्षेपक हल्स ====
-यदि <math>R</math> एक नोथेरियन वलय है और<math>\mathfrak{p}</math> एक प्रधान आदर्श समुच्चय है <math>E = E(R/\mathfrak{p})</math> अंतःक्षेपक हल के रूप में। आर्टिनियन वलय के ऊपर <math>R/\mathfrak{p}</math> का अंतःक्षेपक हल {<math>R/\mathfrak{p}^k</math> की गणना मॉड्यूल के रूप में की जा सकती है <math>(0:_E\mathfrak{p}^k)</math> यह <math>R/\mathfrak{p}^k</math> के समान लंबाई का एक मॉड्यूल है।<ref name=":0">{{Cite book|last=Eisenbud|title=क्रमविनिमेय बीजगणित का परिचय|pages=624, 625}}</ref> विशेष रूप से, मानक ग्रेडेड वलय के लिए <math>R_\bullet = k[x_1,\ldots,x_n]_\bullet</math> और <math>\mathfrak{p}=(x_1,\ldots, x_n)</math>, <math>E = \oplus_i \text{Hom}(R_i, k)</math> एक अंतःक्षेपक मॉड्यूल है, जो देता है <math>k</math> से अधिक आर्टिनियन वलय्स के लिए अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल की गणना के लिए उपकरण।
+यदि <math>R</math> एक नोथेरियन वलय है और <math>\mathfrak{p}</math> मुख्य आदर्श समुच्चय <math>E = E(R/\mathfrak{p})</math> अंतःक्षेपक हल्स के रूप में है। आर्टिनियन वलय के ऊपर <math>R/\mathfrak{p}</math> का अंतःक्षेपक हल्स {<math>R/\mathfrak{p}^k</math> की गणना मॉड्यूल <math>(0:_E\mathfrak{p}^k)</math> के रूप में की जा सकती है। यह <math>R/\mathfrak{p}^k</math> के समान लंबाई का एक मॉड्यूल है।<ref name=":0">{{Cite book|last=Eisenbud|title=क्रमविनिमेय बीजगणित का परिचय|pages=624, 625}}</ref> विशेष रूप से मानक ग्रेडेड वलय के लिए <math>R_\bullet = k[x_1,\ldots,x_n]_\bullet</math> और <math>\mathfrak{p}=(x_1,\ldots, x_n)</math>, <math>E = \oplus_i \text{Hom}(R_i, k)</math> अंतःक्षेपक मॉड्यूल है जो <math>k</math> से अधिक आर्टिनियन वलय के लिए अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल की गणना के लिए उपकरण है।
 ==== स्व अंतःक्षेपक ====
-एक आर्टिन स्थानीय वलय <math>(R, \mathfrak{m}, K)</math> यदि और केवल यदि खुद पर अंतःक्षेपक है <math>soc(R)</math> एक 1-आयामी वेक्टर स्पेस ओवर है <math>K</math>. इसका मतलब है कि हर स्थानीय गोरेंस्टीन वलय जो कि आर्टिन भी है, अपने आप में अंतःक्षेपक है क्योंकि इसमें 1-आयामी सोसल है।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.purdue.edu/~walther/snowbird/inj.pdf|title=इंजेक्शन मॉड्यूल|page=10}}</ref> एक साधारण गैर-उदाहरण वलय है <math>R = \mathbb{C}[x,y]/(x^2,xy,y^2)</math> जिसका अधिकतम आदर्श है <math>(x,y)</math> और अवशेष क्षेत्र <math>\mathbb{C}</math>. इसका सोसल है <math>\mathbb{C}\cdot x \oplus\mathbb{C}\cdot y</math>, जो द्वि-आयामी है। अवशेष क्षेत्र में अंतःक्षेपक हल है <math>\text{Hom}_\mathbb{C}(\mathbb{C}\cdot x\oplus\mathbb{C}\cdot y, \mathbb{C})</math>.
+आर्टिन स्थानीय वलय <math>(R, \mathfrak{m}, K)</math> यदि और केवल यदि स्व अंतःक्षेपक <math>soc(R)</math> है। एक 1-आयामी सदिश समष्टि <math>K</math> है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक स्थानीय गोरेंस्टीन वलय जो कि आर्टिन भी है। अपने आप में अंतःक्षेपक है क्योंकि इसमें 1-आयामी सोसल है।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.purdue.edu/~walther/snowbird/inj.pdf|title=इंजेक्शन मॉड्यूल|page=10}}</ref> <math>R = \mathbb{C}[x,y]/(x^2,xy,y^2)</math> साधारण गैर-उदाहरण वलय है। जिसका अधिकतम आदर्श <math>(x,y)</math> और अवशेष क्षेत्र <math>\mathbb{C}</math> इसका सोसल <math>\mathbb{C}\cdot x \oplus\mathbb{C}\cdot y</math> है जो द्वि-आयामी है। अवशेष क्षेत्र <math>\text{Hom}_\mathbb{C}(\mathbb{C}\cdot x\oplus\mathbb{C}\cdot y, \mathbb{C})</math> में अंतःक्षेपक हल्स है।
-एक आर्टिन लोकल वलय <math>(R, \mathfrak{m}, K)</math> अपने आप में अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि<math>soc(R)</math> <math>K</math> के ऊपर एक 1-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस है। इसका मतलब है हर स्थानीय गोरेंस्टीन वलय जो कि आर्टिन भी है, अपने आप में अंतःक्षेपक है क्योंकि इसमें 1-आयामी सोसल है। [3] एक साधारण गैर-उदाहरण वलय है <math>R = \mathbb{C}[x,y]/(x^2,xy,y^2)</math> जिसमें अधिकतम आदर्श <math>(x,y)</math> है और अवशेष क्षेत्र <math>\mathbb{C}</math> इसका सॉकल<math>\mathbb{C}\cdot x \oplus\mathbb{C}\cdot y</math>, जो द्वि-आयामी है। अवशेष क्षेत्र <math>\text{Hom}_\mathbb{C}(\mathbb{C}\cdot x\oplus\mathbb{C}\cdot y, \mathbb{C})</math> में अंतःक्षेपक हल है।
+==== लाई बीजगणित मॉड्यूल ====
+लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g}</math> विशेषता 0 के क्षेत्र <math>k</math> पर मॉड्यूल की श्रेणी <math>\mathcal{M}(\mathfrak{g})</math> का अपेक्षाकृत प्रत्यक्ष वर्णन है अंतःक्षेपक मॉड्यूल सार्वभौमिक लाई बीजगणित का उपयोग करके किसी भी अंतःक्षेपक <math>\mathfrak{g}</math>-मॉड्यूल का निर्माण <math>\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)</math> निम्न मॉड्यूल से किया जा सकता है:<ref>{{Cite web|last=Vogan|first=David|title=झूठ बीजगणित कोहोलॉजी|url=http://www-math.mit.edu/~dav/cohom.pdf}}</ref><blockquote><math>\mathfrak{g} \hookrightarrow U(\mathfrak{g})</math></blockquote>वास्तव में प्रत्येक <math>\mathfrak{g}</math>-मॉड्यूल में कुछ में अंतःक्षेपक <math>\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)</math> है और प्रत्येक अंतःक्षेपक <math>\mathfrak{g}</math>-मॉड्यूल कुछ का प्रत्यक्ष योग <math>\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)</math> है।
-==== लाई बीजगणित पर मॉड्यूल ====
+== सिद्धांत ==
-लाई बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g}</math> विशेषता 0 के क्षेत्र <math>k</math> पर, मॉड्यूल की श्रेणी <math>\mathcal{M}(\mathfrak{g})</math> का अपेक्षाकृत सीधा वर्णन है अंतःक्षेपक मॉड्यूल। [4] सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित का उपयोग करके किसी भी अंतःक्षेपक <math>\mathfrak{g}</math>-मॉड्यूल का निर्माण <math>\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)</math>-मॉड्यूल से किया जा सकता है<ref>{{Cite web|last=Vogan|first=David|title=झूठ बीजगणित कोहोलॉजी|url=http://www-math.mit.edu/~dav/cohom.pdf}}</ref><blockquote><math>\mathfrak{g} \hookrightarrow U(\mathfrak{g})</math></blockquote>वास्तव में, हर <math>\mathfrak{g}</math>-मॉड्यूल में कुछ में अंतःक्षेपक है <math>\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)</math> और हर अंतःक्षेपक <math>\mathfrak{g}</math>-मॉड्यूल कुछ का प्रत्यक्ष योग है <math>\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)</math>.
-== सिद्धांत ==
+=== क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के लिए संरचना प्रमेय ===
+एक कम्यूटेटिव नोथेरियन वलय <math>R</math> पर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग होता है और प्रत्येक अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल अभाज्य <math>\mathfrak{p}</math> पर अवशेष क्षेत्र का अंतःक्षेपक हल्स होता है। अर्थात् एक अंतःक्षेपक <math>I \in \text{Mod}(R)</math> के लिए समरूपता है:
-=== क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय्स के लिए संरचना प्रमेय ===
-एक कम्यूटेटिव नोथेरियन वलय <math>R</math> पर, प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग होता है और प्रत्येक अपरिवर्तनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल प्राइम <math>\mathfrak{p}</math> पर अवशेष क्षेत्र का अंतःक्षेपक हल होता है। अर्थात्, एक अंतःक्षेपक <math>I \in \text{Mod}(R)</math> के लिए, एक समरूपता है:
 <math>I \cong \bigoplus_{i} E(R/\mathfrak{p}_i)</math>
-जहां <math>E(R/\mathfrak{p}_i)</math> मॉड्यूल के अंतःक्षेपक हल्स हैं <math>R/\mathfrak{p}_i</math>.<ref>{{Cite web|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/08YA|title=Structure of injective modules over Noetherian rings}}</ref> इसके अतिरिक्त, यदि <math>I</math> मॉड्यूल <math>M</math> का अंतःक्षेपक हल हूं तो <math>\mathfrak{p}_i</math> <math>M</math> के संबंधित अभाज्य संख्याएँ हैं।<ref name=":0" />
+जहां <math>E(R/\mathfrak{p}_i)</math> मॉड्यूल के अंतःक्षेपक हल्स <math>R/\mathfrak{p}_i</math> हैं।<ref>{{Cite web|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/08YA|title=Structure of injective modules over Noetherian rings}}</ref> इसके अतिरिक्त यदि <math>I</math> मॉड्यूल <math>M</math> का अंतःक्षेपक हल्स है तो <math>\mathfrak{p}_i</math>, <math>M</math> के संबंधित अभाज्य संख्याएँ हैं।<ref name=":0" />
 === उपमॉड्यूल, भागफल, उत्पाद और योग ===
-अंतःक्षेपक मॉड्यूल (यहां तक कि असीम रूप से कई) अंतःक्षेपक मॉड्यूल का कोई भी उत्पाद अंतःक्षेपक है; इसके विपरीत, यदि मॉड्यूल का प्रत्यक्ष उत्पाद अंतःक्षेपक है, तो प्रत्येक मॉड्यूल अंतःक्षेपक है {{harv|Lam|1999|p=61}} सूक्ष्म रूप से अनेक अंतःक्षेपी मॉड्यूलों का प्रत्येक प्रत्यक्ष योग अंतःक्षेपी होता है। सामान्य रूप पर, उपमॉड्यूल्स, फैक्टर मॉड्यूल या अंतःक्षेपक मॉड्यूल के अनंत प्रत्यक्ष योगों को अंतःक्षेपक नहीं होना चाहिए। प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक उपमॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि वलय आर्टिनियन सेमीसिम्पल है {{harv|Golan|Head|1991|p=152}} प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक कारक मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि वलय वंशानुगत है, {{harv|Lam|1999|loc=Th. 3.22}} अंतःक्षेपी मॉड्यूल का प्रत्येक अनंत प्रत्यक्ष योग अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि वलय नोथेरियन है, {{harv|Lam|1999|loc=Th 3.46}}<ref>This is the [[Hyman Bass|Bass]]-Papp theorem, see {{harv|Papp|1959}} and {{harv|Chase|1960}}</ref>
+अंतःक्षेपक मॉड्यूल (यहां तक कि अपरिमित रूप से कई) अंतःक्षेपक मॉड्यूल का कोई भी उत्पाद अंतःक्षेपक है। इसके विपरीत यदि मॉड्यूल का प्रत्यक्ष उत्पाद अंतःक्षेपक है, तो प्रत्येक मॉड्यूल {{harv|लैम|1999|p=61}} अंतःक्षेपक है। सूक्ष्म रूप से अनेक अंतःक्षेपी मॉड्यूलों का प्रत्येक प्रत्यक्ष योग अंतःक्षेपी होता है। सामान्य रूप से उपमॉड्यूल्स, गणनांक मॉड्यूल या अंतःक्षेपक मॉड्यूल के अनंत प्रत्यक्ष योगों को अंतःक्षेपक नहीं होना चाहिए। प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक उपमॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि वलय आर्टिनियन अर्ध साधारण है तब {{harv|गोलान|हेड|1991|p=152}} प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक कारक मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि वलय वंशानुगत है तब {{harv|लैम|1999|loc=Th. 3.22}} अंतःक्षेपी मॉड्यूल का प्रत्येक अनंत प्रत्यक्ष योग अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि वलय नोथेरियन {{harv|लैम|1999|loc=Th 3.46}} है।<ref>This is the [[Hyman Bass|Bass]]-Papp theorem, see {{harv|Papp|1959}} and {{harv|Chase|1960}}</ref>
-=== बायर की कसौटी ===
+=== बेयर मानदंड ===
-बेयर के मूल पेपर में, उन्होंने एक उपयोगी परिणाम साबित किया, जिसे आमतौर पर बेयर के मानदंड के रूप में जाना जाता है, यह जांचने के लिए कि क्या मॉड्यूल अंतःक्षेपक है: एक बायां आर-मॉड्यूल Q अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि कोई होमोमोर्फिज्म जी: I → Q बाएं आदर्श I पर परिभाषित R का सभी R तक विस्तार किया जा सकता है।
+बेयर के मूल पेपर में उन्होंने एक उपयोगी परिणाम को सिद्ध किया है जिसे सामान्यतः बेयर के मानदंड के रूप में जाना जाता है। यह जांचने के लिए कि क्या मॉड्यूल अंतःक्षेपक है एक बायां R मॉड्यूल Q अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि कोई समरूपता g : I → Q बाएं आदर्श वलय से परिभाषित R का सभी R तक विस्तार किया जा सकता है।
-इस कसौटी का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि Q एक अंतःक्षेपी एबेलियन समूह है (अर्थात Z पर एक अंतःक्षेपी मॉड्यूल)। अधिक आम तौर पर, एक एबेलियन समूह अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि यह विभाज्य है। अधिक आम तौर पर अभी भी: एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर एक मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि यह विभाज्य है (वेक्टर रिक्त स्थान का मामला इस प्रमेय का एक उदाहरण है, क्योंकि प्रत्येक क्षेत्र एक प्रमुख आदर्श डोमेन है और प्रत्येक सदिश स्थान विभाज्य है)। एक सामान्य अभिन्न डोमेन पर, हमारे पास अभी भी एक निहितार्थ है: एक अभिन्न डोमेन पर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विभाज्य है।
+इस मानदंड का उपयोग करके कोई भी यह दिखा सकता है कि Q एक अंतःक्षेपी एबेलियन समूह है अर्थात Z पर एक अंतःक्षेपी मॉड्यूल अधिक सामान्यतः एक एबेलियन समूह अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि यह विभाज्य है। अधिक सामान्यतः अभी भी प्रमुख आदर्श डोमेन पर एक मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि यह विभाज्य है सदिश रिक्त समष्टि कि स्थिति इस प्रमेय का एक उदाहरण है, क्योंकि प्रत्येक क्षेत्र का प्रमुख आदर्श डोमेन है और प्रत्येक सदिश समष्टि विभाज्य है। सामान्य समाकल डोमेन पर हमारे पास अभी भी निहितार्थ है। समाकल डोमेन पर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल विभाज्य होता है।
-बेयर की कसौटी को कई तरह से परिष्कृत किया गया है {{harv|Golan|Head|1991|p=119}}, जिसमें {{harv|Smith|1981}} और {{harv|Vamos|1983}} का एक परिणाम भी सम्मिलित है कि एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के लिए, यह केवल प्रमुख आदर्शों I पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। दोहरी बायर की कसौटी, जो प्रोजेक्टिविटी के लिए एक परीक्षा देगी, सामान्य रूप से गलत है। उदाहरण के लिए, Z-मॉड्यूल Q बायर की कसौटी के दोहरे को संतुष्ट करता है लेकिन प्रक्षेपी नहीं है।
+बेयर के मानदंड को कई प्रकार {{harv|गोलान|हेड|1991|p=119}} से परिष्कृत किया गया है जिसमें {{harv|समित|1981}} और {{harv|वामोस|1983}} का परिणाम भी सम्मिलित है कि एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के लिए यह केवल प्रमुख आदर्शों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। दोहरी बेयर मानदंड जो प्रक्षेपीय मॉड्यूल के लिए परीक्षण सामान्य रूप से गलत है। उदाहरण के लिए Z-मॉड्यूल Q बेयर मानदंड के दोहरे नियम को संतुष्ट करता है लेकिन प्रक्षेपी नहीं है।
-=== अंतःक्षेपक सहजनरेटर ===
+=== अंतःक्षेपक सह निर्माता ===
-{{Main|इंजेक्शन कोजेनरेटर
+{{Main|सह निर्माता}}
-}}
-शायद सबसे महत्वपूर्ण अंतःक्षेपक मॉड्यूल एबेलियन समूह Q/Z है। यह [[एबेलियन समूहों की श्रेणी]] में एक अंतःक्षेपक कोजेनरेटर है, जिसका अर्थ है कि यह अंतःक्षेपक है और कोई अन्य मॉड्यूल Q/Z की प्रतियों के उपयुक्त बड़े उत्पाद में निहित है। तो विशेष रूप से, प्रत्येक एबेलियन समूह एक अंतःक्षेपक का एक उपसमूह है। यह काफी महत्वपूर्ण है कि यह किसी भी वलय पर भी सच है: प्रत्येक मॉड्यूल अंतःक्षेपक का एक सबमिशन है, या "बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी में पर्याप्त अंतःक्षेपक हैं।" इसे साबित करने के लिए, बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी में एक अंतःक्षेपक कोजेनरेटर बनाने के लिए एबेलियन ग्रुप Q/Z के अजीबोगरीब गुणों का उपयोग किया जाता है।
+लगभग सबसे महत्वपूर्ण अंतःक्षेपक मॉड्यूल एबेलियन समूह Q/Z है। यह [[एबेलियन समूहों की श्रेणी]] में एक अंतःक्षेपक उपनिर्माता है। जिसका अर्थ है कि यह अंतःक्षेपक है और कोई अन्य मॉड्यूल Q/Z की प्रतियों के उपयुक्त बड़े उत्पाद में निहित है। तो विशेष रूप से प्रत्येक एबेलियन समूह के अंतःक्षेपक का एक उपसमूह है। यह अपेक्षाकृत महत्वपूर्ण है कि यह किसी भी वलय पर भी सत्य है। प्रत्येक मॉड्यूल अंतःक्षेपक का एक उपसमूह है या बाएं R-मॉड्यूल की श्रेणी में पर्याप्त अंतःक्षेपक हैं। इसे सिद्ध करने के लिए बाएं R मॉड्यूल की श्रेणी में एक अंतःक्षेपक उपनिर्माता बनाने के लिए एबेलियन समूह Q/Z के अपेक्षाकृत गुणों का उपयोग किया जाता है।
-बाएं ''आर''-मॉड्यूल ''एम'' के लिए, तथाकथित कैरेक्टर मॉड्यूल ''एम''<sup>+</sup> = होम<sub>'''Z'''</sub>(एम, 'क्यू'/'Z') एक सही आर-मॉड्यूल है जो अंतःक्षेपक मॉड्यूल और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के बीच नहीं बल्कि अंतःक्षेपक मॉड्यूल और [[फ्लैट मॉड्यूल]] के बीच एक दिलचस्प द्वंद्व प्रदर्शित करता है। {{harv|Enochs|Jenda|2001|pp=78–80}}. किसी भी वलय आर के लिए, एक बायां आर-मॉड्यूल समतल है यदि और केवल यदि इसका कैरेक्टर मॉड्यूल अंतःक्षेपक है। यदि आर नोथेरियन छोड़ दिया गया है, तो एक बाएं आर-मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि इसका चरित्र मॉड्यूल फ्लैट है।
+बाएं R-मॉड्यूल M के लिए तथाकथित चरित्र मॉड्यूल ''M''<sup>+</sup> = Hom<sub>'''Z'''</sub>(''M'','''Q'''/'''Z''') एक सही R मॉड्यूल है जो अंतःक्षेपक मॉड्यूल और प्रक्षेपीय मॉड्यूल के बीच नहीं बल्कि अंतःक्षेपक मॉड्यूल और [[फ्लैट मॉड्यूल|समतल मॉड्यूल]] के बीच रोचक द्विविधता {{harv|हनोक|जेंड़ा|2001|pp=78–80}} प्रदर्शित करता है। किसी भी वलय R के लिए एक बायां R मॉड्यूल समतल है यदि और केवल यदि इसका चरित्र मॉड्यूल अंतःक्षेपक है। यदि R नोथेरियन को छोड़ दिया गया है तो बाएं R मॉड्यूल अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि इसका चरित्र मॉड्यूल समतल है।
 === अंतःक्षेपक हल्स ===
-{{Main|injective hull}}
+{{Main|अंतःक्षेपक हल्स}}
-मॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल सबसे छोटा अंतःक्षेपक मॉड्यूल है जिसमें दिया गया है और इसमें वर्णित किया गया था {{harv|Eckmann|Shopf|1953}}.
-एक न्यूनतम अंतःक्षेपक रिज़ॉल्यूशन (नीचे देखें) को परिभाषित करने के लिए अंतःक्षेपक हल्स का उपयोग कर सकते हैं। यदि अंतःक्षेपी विभेदन का प्रत्येक पद पिछले मानचित्र के कोकर्नेल का अंतःक्षेपी हल है, तो अंतःक्षेपी विभेदन की न्यूनतम लंबाई होती है।
+मॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल्स सबसे छोटा अंतःक्षेपक मॉड्यूल है जिसमें दिए गए {{harv|एकमैनन|शॉपफ|1953}} को इसमें वर्णित किया गया था। एक न्यूनतम अंतःक्षेपक विश्लेषण (नीचे देखें) को परिभाषित करने के लिए अंतःक्षेपक हल्स का उपयोग कर सकते हैं। यदि अंतःक्षेपी समाकल का प्रत्येक पद पिछले मानचित्र के कोकर्नेल का अंतःक्षेपी हल्स है तो अंतःक्षेपी मॉड्यूल समाकल की न्यूनतम लंबाई होती है।
-=== अंतःक्षेपक संकल्प ===
+=== अंतःक्षेपक विश्लेषण ===
-प्रत्येक मॉड्यूल एम में एक अंतःक्षेपक रिज़ॉल्यूशन भी होता है जो फॉर्म का सटीक अनुक्रम होता है
+प्रत्येक मॉड्यूल M में एक अंतःक्षेपक विश्लेषण भी होता है जो निम्न रूप का उपयुक्त अनुक्रम है:
 : 0 → ''M'' → ''I''<sup>0</sup> → ''I''<sup>1</sup> → ''I''<sup>2</sup> → ...
-जहां मैं<sup>j</sup> अंतःक्षेपक वाले मॉड्यूल हैं। व्युत्पन्न प्रस्तावों को परिभाषित करने के लिए अंतःक्षेपक रेजोल्यूशन का उपयोग किया जा सकता है जैसे कि [[Ext functor]]।
+जहां ''I'' <sup>''j''</sup> अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं। व्युत्पन्न प्रस्तावों को परिभाषित करने के लिए अंतःक्षेपक विश्लेषण का उपयोग किया जा सकता है जैसे कि [[Ext functor|एक्सट गुणनाक]] एक परिमित अंतःक्षेपी समाकल की लंबाई सूचकांक n है जैसे कि I<sup>n</sup> शून्य नहीं है और I<sup>i</sup> = 0 के लिए n से अधिक है। यदि एक मॉड्यूल M एक परिमित अंतःक्षेपण संकल्प को स्वीकृत करता है, तो M के सभी परिमित अंतःक्षेपी संकल्पों के बीच न्यूनतम लंबाई को इसके अंतःक्षेपी आयाम और निरूपित id(''M'') कहा जाता है। यदि M परिमित अंतःक्षेपी संकल्प को स्वीकृत नहीं करता है तो मॉड्यूल द्वारा अंतःक्षेपी आयाम को अनंत कहा जाता है। उदाहरण के रूप में मॉड्यूल M पर विचार करें जैसे कि id(M) = 0 की इस स्थिति में अनुक्रम 0 → ''M'' → ''I''<sup>0</sup> → 0 की शुद्धता इंगित करती है कि केंद्र में (→) एक समरूपता है और इसलिए M स्वयं अंतःक्षेपी है।<ref>A module isomorphic to an injective module is of course injective.</ref>
-एक परिमित अंतःक्षेपी विभेदन की लंबाई पहला सूचकांक n है जैसे कि In शून्य नहीं है और Ii = 0 के लिए n से अधिक है। यदि एक मॉड्यूल एम एक परिमित अंतःक्षेपण संकल्प को स्वीकार करता है, तो एम के सभी परिमित अंतःक्षेपी संकल्पों के बीच न्यूनतम लंबाई को इसके अंतःक्षेपी आयाम और निरूपित आईडी (एम) कहा जाता है। यदि एम परिमित अंतःक्षेपी संकल्प को स्वीकार नहीं करता है, तो परिपाटी द्वारा अंतःक्षेपी आयाम को अनंत कहा जाता है। {{harv|Lam|1999|loc=§5C}} एक उदाहरण के रूप में, एक मॉड्यूल M पर विचार करें जैसे कि id(M) = 0. इस स्थिति में, अनुक्रम 0 → M → I0 → 0 की सटीकता इंगित करती है कि केंद्र में तीर एक समरूपता है , और इसलिए M स्वयं अंतःक्षेपी है।<ref>A module isomorphic to an injective module is of course injective.</ref>
+समान रूप से M का अंतःक्षेपी आयाम न्यूनतम पूर्णांक ∞ या n है जैसे कि Ext{{su|p=''N''|b=''A''}}(–,M) = 0 सभी N > n के लिए A(–, M) = 0 है।
-समान रूप से, M का अंतःक्षेपी आयाम न्यूनतम पूर्णांक है (यदि ऐसा अन्यथा ∞) n ऐसा है कि Ext{{su|p=''N''|b=''A''}}(–,M) = 0 सभी N > n के लिए A(–, M) = 0
 === अविघटनीय ===
-एक अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक अंतःक्षेपक उपमॉड्यूल एक सीधा योग है, इसलिए अविघटनीय मॉड्यूल अंतःक्षेपक मॉड्यूल को समझना महत्वपूर्ण है, {{harv|Lam|1999|loc=§3F}}.
+अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्येक अंतःक्षेपक उपमॉड्यूल एक प्रत्यक्ष योग है। इसलिए अविघटनीय मॉड्यूल अंतःक्षेपक मॉड्यूल {{harv|लैम|1999|loc=§3F}} को समझना महत्वपूर्ण है।
-प्रत्येक अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल में एक स्थानीय एंडोमोर्फिज्म वलय होती है। एक मॉड्यूल को एक समान मॉड्यूल कहा जाता है यदि प्रत्येक दो गैर-शून्य उपमॉड्यूल में गैर-शून्य चौराहा होता है। एक अंतःक्षेपक मॉड्यूल एम के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं:
+प्रत्येक अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल में स्थानीय अंतःरूपांतरण वलय होती है। मॉड्यूल को एक समान मॉड्यूल कहा जाता है यदि प्रत्येक दो गैर-शून्य उपमॉड्यूल में गैर-शून्य प्रतिच्छेद होते है। एक अंतःक्षेपक मॉड्यूल M के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं:
-* एम अविघटनीय है
+* M अविघटनीय है।
-* M नॉनज़रो है और हर नॉनज़रो उपमॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल है
+* M गैर-शून्य है और प्रत्येक गैर-शून्य उपमॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल है।
-* एम एकसमान है
+* M एकसमान है।
-* एम एक समान मॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल है
+* M एक समान मॉड्यूल का अंतःक्षेपक हल है।
-* एम एक समान [[चक्रीय मॉड्यूल]] का अंतःक्षेपक पतवार है
+* M एक समान [[चक्रीय मॉड्यूल]] का अंतःक्षेपक हल है।
-* एम में एक स्थानीय एंडोमोर्फिज्म वलय है
+* M में एक स्थानीय अंतःरूपांतरण वलय है
-नोथेरियन वलय के ऊपर, प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल (विशिष्ट रूप से निर्धारित) अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है। एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के ऊपर, यह (मैटलिस 1958) में वर्णित सभी अंतःक्षेपक मॉड्यूल की विशेष रूप से अच्छी समझ देता है। अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल, वलय आर के एक प्रमुख आदर्श के लिए मॉड्यूल आर/पी के अंतःक्षेपक हल्स हैं। इसके अतिरिक्त, आर/पी के अंतःक्षेपक हल एम में आदर्श पीएन के एनीहिलेटर द्वारा दिए गए मॉड्यूल एमएन द्वारा बढ़ते निस्पंदन हैं, और Mn+1/Mn आइसोमॉर्फिक है, जो R/p से HomR/p(pn/pn+1, k(p)) के भागफल क्षेत्र k(p) पर परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस के रूप में है।
+नोथेरियन वलय के ऊपर प्रत्येक अंतःक्षेपक मॉड्यूल (विशिष्ट रूप से निर्धारित) अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है। क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के ऊपर यह (मैटलिस 1958) में वर्णित सभी अंतःक्षेपक मॉड्यूल की विशेष रूप से अच्छी समझ देता है। अविघटनीय अंतःक्षेपक मॉड्यूल वलय R के प्रमुख आदर्श के लिए मॉड्यूल R/P के अंतःक्षेपक हल्स हैं। इसके अतिरिक्त R/P के अंतःक्षेपक हल्स M में आदर्श ''p<sup>n</sup>'' के एनीहिलेटर द्वारा दिए गए मॉड्यूल ''M<sub>n</sub>'' द्वारा बढ़ते निस्पंदन हैं और ''M<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>/''M<sub>n</sub>'' समरूपता है, जो R/p से Hom<sub>''R''/''p''</sub>(''p<sup>n</sup>''/''p<sup>n</sup>''<sup>+1</sup>, ''k''(''p'')) के भागफल क्षेत्र k(p) पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि के रूप में है।
-=== अंगूठियों का परिवर्तन ===
+=== वलय का परिवर्तन ===
-विशेष रूप से बहुपद वलयों के लिए [[सबरिंग|सबवलय]]्स या भागफल के छल्ले पर मॉड्यूल पर विचार करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। सामान्य तौर पर, यह कठिन है, लेकिन कई परिणाम ज्ञात हैं, {{harv|Lam|1999|p=62}}.
+विशेष रूप से बहुपद वलयों के लिए [[सबरिंग|उपवलय]] या भागफल के वलय या मॉड्यूल पर विचार करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। सामान्यतः यह कठिन है, लेकिन कई परिणाम ज्ञात हैं। माना कि {{harv|लैम |1999|p=62}} S और R को वलय P के बाए R, दाए S [[bimodule|द्विमाड्यूल]] है जो बाए-R मॉड्यूल के रूप में समतल मॉड्यूल है। किसी भी अंतःक्षेपक दाए S मॉड्यूल M के लिए मॉड्यूल समरूपता Hom<sub>''S''</sub>( ''P'', ''M'' ) एक अंतःक्षेपक सही R मॉड्यूल है। बाएँ और दाएँ गुणों के आदान-प्रदान के बाद निश्चित रूप से यही कथन प्रयुक्त होता है।
-S और R को वलय होने दें, और P एक लेफ्ट-R, राइट-S [[bimodule]] है जो लेफ्ट-R मॉड्यूल के रूप में फ्लैट मॉड्यूल है। किसी भी अंतःक्षेपक राइट एस-मॉड्यूल एम के लिए, मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म होम का सेट<sub>''S''</sub>(पी, एम) एक अंतःक्षेपक सही आर-मॉड्यूल है। बाएँ और दाएँ गुणों के आदान-प्रदान के बाद निश्चित रूप से यही कथन लागू होता है।
+उदाहरण के लिए यदि R, S का उपवलय है जैसे कि S समतल R-मॉड्यूल है तो प्रत्येक अंतःक्षेपक S-मॉड्यूल अंतःक्षेपक R मॉड्यूल है। विशेष रूप से यदि R एक समाकल डोमेन है और S इसके [[अंशों का क्षेत्र]] है, तो S पर प्रत्येक सदिश समष्टि अंतःक्षेपी R-मॉड्यूल है। इसी प्रकार प्रत्येक अंतःक्षेपक ''R''[''x''] -मॉड्यूल अंतःक्षेपक R मॉड्यूल है।
-उदाहरण के लिए, यदि R, S का एक सबवलय है जैसे कि S एक फ्लैट R-मॉड्यूल है, तो प्रत्येक अंतःक्षेपक S-मॉड्यूल एक अंतःक्षेपक R-मॉड्यूल है। विशेष रूप से, यदि R एक अभिन्न डोमेन है और S इसके [[अंशों का क्षेत्र]] है, तो S पर प्रत्येक सदिश स्थान एक अंतःक्षेपी R-मॉड्यूल है। इसी तरह, प्रत्येक अंतःक्षेपक आर [एक्स] -मॉड्यूल एक अंतःक्षेपक आर-मॉड्यूल है।
+विपरीत दिशा में वलय समरूपता <math>f: S\to R</math> बाएँ और दाएँ गुणन द्वारा R को बाएँ-R, दाएँ-S द्विमॉड्यूल में बनाता है। अपने आप में मुक्त मॉड्यूल होने के कारण R भी [[मुफ्त मॉड्यूल]] और प्रक्षेपीय मॉड्यूल बाएं R मॉड्यूल के रूप में है। P = R के लिए उपरोक्त कथन की विशेषज्ञता यह कहती है कि जब M अंतःक्षेपक सही S मॉड्यूल का सह-प्रेरित मॉड्यूल है।<math> f_* M = \mathrm{Hom}_S(R, M)</math> एक अंतःक्षेपक सही R मॉड्यूल है। इस प्रकार f पर संयोग अंतःक्षेपक S मॉड्यूल से अंतःक्षेपक R मॉड्यूल उत्पन्न करता है।
-विपरीत दिशा में, एक वलय समरूपता <math>f: S\to R</math> बाएँ और दाएँ गुणन द्वारा R को बाएँ-R, दाएँ-S द्विमॉड्यूल में बनाता है। अपने आप में मुक्त मॉड्यूल होने के नाते आर भी [[मुफ्त मॉड्यूल]] # फ्री और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल बाएं आर-मॉड्यूल के रूप में है। पी = आर के लिए उपरोक्त कथन की विशेषज्ञता, यह कहता है कि जब एम एक अंतःक्षेपक सही एस-मॉड्यूल सह-प्रेरित मॉड्यूल है <math> f_* M = \mathrm{Hom}_S(R, M)</math> एक अंतःक्षेपक सही आर-मॉड्यूल है। इस प्रकार, च पर संयोग अंतःक्षेपक एस-मॉड्यूल से अंतःक्षेपक आर-मॉड्यूल पैदा करता है।
+भागफल वलय R/I के लिए वलय का परिवर्तन भी बहुत स्पष्ट है। एक R मॉड्यूल ठीक उसी सम R/I-मॉड्यूल होता है जब इसे '''''I''''' द्वारा विलोपित किया जाता है। उपमॉड्यूल ann<sub>''I''</sub>(''M'') = { ''m'' in ''M'' : ''im'' = 0 बाएं R मॉड्यूल का एक बायां उपमॉड्यूल है। M और M का सबसे बड़ा उपमॉड्यूल है जो एक R/I-मॉड्यूल है। यदि M अंतःक्षेपी बायाँ R-मॉड्यूल है तो ann<sub>''I''</sub>(M) अंतःक्षेपी बायाँ R/I-मॉड्यूल है। इसे R=Z, I=nZ और M=Q/Z पर लागू करने पर, एक परिचित तथ्य प्राप्त होता है कि Z/nZ अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक है। हालांकि अंतःक्षेपक R मॉड्यूल को अंतःक्षेपक R/I-मॉड्यूल में परिवर्तित करना आसान होता है लेकिन यह प्रक्रिया अंतःक्षेपक वाले R विश्लेषण को अंतःक्षेपक वाले R/I-विश्लेषण में परिवर्तित नहीं करती है जो परिणामी समिश्र की होमोलॉजी अध्ययन के प्रारंभिक और मौलिक क्षेत्रों में से एक है। सहसंबंध समरूप बीजगणित की पाठ्यपुस्तक {{harv|रोटमैन|1979|p=103}} के पास एक गलत प्रमाण है कि वलय का स्थानीयकरण अंतःक्षेपक को संरक्षित करता है, लेकिन इसमें एक गणना {{harv| डेड|1981}} उदाहरण दिया गया है।
-भागफल वलय R/I के लिए, वलय का परिवर्तन भी बहुत स्पष्ट है। एक आर-मॉड्यूल ठीक उसी समय एक आर/आई-मॉड्यूल होता है जब इसे I द्वारा विलोपित किया जाता है। उपमॉड्यूल annI(M) = {m in M: im = 0 for all i in I} बाएं आर-मॉड्यूल का एक बायां उपमॉड्यूल है M, और M का सबसे बड़ा उपमॉड्यूल है जो एक R/I-मॉड्यूल है। यदि M एक अंतःक्षेपी बायाँ R-मॉड्यूल है, तो annI(M) एक अंतःक्षेपी बायाँ R/I-मॉड्यूल है। इसे R=Z, I=nZ और M=Q/Z पर लागू करने पर, एक परिचित तथ्य प्राप्त होता है कि Z/nZ अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक है। हालांकि अंतःक्षेपक आर-मॉड्यूल को अंतःक्षेपक आर/आई-मॉड्यूल में परिवर्तित करना आसान है, लेकिन यह प्रक्रिया अंतःक्षेपक वाले आर-रिज़ॉल्यूशन को अंतःक्षेपक वाले आर/आई-रेज़ोल्यूशन में परिवर्तित नहीं करती है और परिणामी कॉम्प्लेक्स की होमोलॉजी अध्ययन के प्रारंभिक और मौलिक क्षेत्रों में से एक है। रिश्तेदार समरूप बीजगणित की।
+=== स्व-अंतःक्षेपक वलय ===
+समरूपता के साथ प्रत्येक वलय एक स्वतंत्र मॉड्यूल है और इसलिए अपने आप में मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेपी है, लेकिन यह वलय के लिए अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक होना दुर्लभ है। यदि एक वलय सही मॉड्यूल के रूप में स्वयं पर अंतःक्षेपक है, तो इसे दायां स्व-अंतःक्षेपक वलय कहा जाता है। प्रत्येक फ्रोबेनियस बीजगणित स्व-अंतःक्षेपी है, लेकिन कोई भी समाकल डोमेन जो एक क्षेत्र नहीं है वह स्व-अंतःक्षेपी है। डेडेकाइंड डोमेन का प्रत्येक उपयुक्त भागफल स्व-अंतःक्षेपक है।
-पाठ्यपुस्तक {{harv|Rotman|1979|p=103}} के पास एक गलत सबूत है कि वलय का स्थानीयकरण अंतःक्षेपक को संरक्षित करता है, लेकिन इसमें एक काउंटर उदाहरण दिया गया था {{harv|Dade|1981}}.
+एक दाएँ नोएथेरियन, दाएँ स्व-अंतःक्षेपक वाले वलय को [[अर्ध-फ्रोबेनियस रिंग|अर्ध-फ्रोबेनियस वलय]] कहा जाता है यदि यह दो तरफा आर्टिनियन और दो तरफा अंतःक्षेपक वाला होता है। अर्ध-फ्रोबेनियस वलयों का एक महत्वपूर्ण मॉड्यूल सैद्धांतिक गुण यह है कि प्रक्षेपी मॉड्यूल प्रायः अंतःक्षेपक मॉड्यूल होते हैं।
-=== सेल्फ-अंतःक्षेपक वलय्स ===
+== सामान्यीकरण और विशेषज्ञता ==
-एकता के साथ प्रत्येक वलय एक स्वतंत्र मॉड्यूल है और इसलिए अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में एक प्रक्षेपी है, लेकिन यह एक वलय के लिए अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में अंतःक्षेपक होना दुर्लभ है, (लैम 1999, §3B)। यदि एक वलय सही मॉड्यूल के रूप में खुद पर अंतःक्षेपक है, तो इसे राइट सेल्फ-अंतःक्षेपक वलय कहा जाता है। प्रत्येक फ्रोबेनियस बीजगणित स्व-अंतःक्षेपी है, लेकिन कोई भी अभिन्न डोमेन जो एक क्षेत्र नहीं है, स्व-अंतःक्षेपी है। डेडेकाइंड डोमेन का प्रत्येक उचित भागफल स्व-अंतःक्षेपक है।
-एक दाएँ नोएथेरियन, दाएँ आत्म-अंतःक्षेपक वाले वलय को [[अर्ध-फ्रोबेनियस रिंग|अर्ध-फ्रोबेनियस वलय]] कहा जाता है, और यह दो तरफा आर्टिनियन और दो तरफा अंतःक्षेपक वाला होता है, {{harv|Lam|1999|loc=Th. 15.1}} अर्ध-फ्रोबेनियस वलयों का एक महत्वपूर्ण मॉड्यूल सैद्धांतिक गुण यह है कि प्रक्षेपी मॉड्यूल बिल्कुल अंतःक्षेपक मॉड्यूल हैं।
+=== अंतःक्षेपक वस्तुएं ===
-== सामान्यीकरण और विशेषज्ञता ==
+{{Main|अंतःक्षेपक वस्तुएं}}
-=== अंतःक्षेपक वाली वस्तुएं ===
-{{Main|injective object}}
+मॉड्यूल श्रेणियों की तुलना में अधिक सामान्य श्रेणियों में अंतःक्षेपक वस्तुओ के विषय में भी चर्चा करता है, उदाहरण के लिए गुणनांक श्रेणियों में या कुछ वलय वाले समष्टि (''X'',O<sub>''X''</sub>) पर O<sub>''X''</sub> मॉड्यूल के शेव सिद्धांत की श्रेणियों में निम्नलिखित सामान्य परिभाषा का उपयोग श्रेणी C की एक वस्तु Q के लिए किया जाता है, यदि किसी समरूपता f: X → Y में C और किसी भी आकारिकी g: X → Q के लिए समरूपता h: Y → Q hf = g के साथ सम्मिलित है।
-एक मॉड्यूल श्रेणियों की तुलना में अधिक सामान्य श्रेणियों में अंतःक्षेपक ऑब्जेक्ट्स के बारे में भी बात करता है, उदाहरण के लिए फ़ंक्टर श्रेणियों में या कुछ वलय वाले स्थान (एक्स, ओएक्स) पर ओएक्स-मॉड्यूल के शेवों की श्रेणियों में। निम्नलिखित सामान्य परिभाषा का उपयोग श्रेणी C की एक वस्तु Q के लिए किया जाता है, यदि किसी मोनोमोर्फिज्म f: X → Y में C और किसी भी आकारिकी g: X → Q के लिए एक morphism h: Y → Q hf = g के साथ मौजूद है।
 === विभाज्य समूह ===
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 {{Main|विभाज्य समूह}}
-एबेलियन समूहों की श्रेणी में अंतःक्षेपक ऑब्जेक्ट की धारणा को विभाज्य समूह शब्द के तहत अंतःक्षेपक मॉड्यूल से कुछ हद तक स्वतंत्र रूप से अध्ययन किया गया था। यहां एक Z-मॉड्यूल एम अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि ''n''⋅''M'' = ''M'' प्रत्येक गैर-शून्य पूर्णांक N के लिए। यहां फ्लैट मॉड्यूल, शुद्ध उपमॉड्यूल और अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच संबंध अधिक स्पष्ट हैं, क्योंकि यह केवल पूर्णांक द्वारा मॉड्यूल तत्वों के कुछ विभाज्य गुणों को संदर्भित करता है।
+एबेलियन समूहों की श्रेणी में अंतःक्षेपक वस्तु की धारणा को विभाज्य समूह शब्द के अंतर्गत अंतःक्षेपक मॉड्यूल से कुछ स्थिति तक स्वतंत्र रूप से अध्ययन किया गया था। यहां एक Z-मॉड्यूल M अंतःक्षेपक है यदि और केवल यदि ''n''⋅''M'' = ''M'' प्रत्येक गैर-शून्य पूर्णांक N के लिए यहां समतल मॉड्यूल, शुद्ध उपमॉड्यूल और अंतःक्षेपक मॉड्यूल के बीच संबंध अधिक स्पष्ट हैं क्योंकि यह केवल पूर्णांक द्वारा मॉड्यूल तत्वों के कुछ विभाज्य गुणों को संदर्भित करता है।
+=== शुद्ध अंतःक्षेपक मॉड्यूल ===
-=== शुद्ध अंतःक्षेपक ===
+{{Main|शुद्ध अंतःक्षेपक मॉड्यूल}}
-{{Main|pure injective module}}
+सहसंबंध समरूपता बीजगणित में समरूपता के विस्तारण गुण के अतिरिक्त केवल उपमॉड्यूल के लिए आवश्यक हो सकती है। उदाहरण के लिए एक शुद्ध अंतःक्षेपी मॉड्यूल ऐसा मॉड्यूल होता है, जिसमें शुद्ध उपमॉड्यूल से समरूपता को समष्टि मॉड्यूल तक विस्तृत किया जा सकता है।
-सहसंबंध समरूपता बीजगणित में, समरूपता की विस्तार संपत्ति सभी के अतिरिक्त केवल कुछ उपमॉड्यूल के लिए आवश्यक हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक शुद्ध अंतःक्षेपी मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल होता है जिसमें शुद्ध उपमॉड्यूल से समरूपता को पूरे मॉड्यूल तक बढ़ाया जा सकता है।
 == संदर्भ ==
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 श्रेणी:मॉड्यूल सिद्धांत
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-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Created On 25/05/2023|Injective Module]]
-[[Category:Created On 25/05/2023]]
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अंतःक्षेपक मॉड्यूल: Difference between revisions

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