हाइपरफैक्टोरियल: Difference between revisions
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Latest revision as of 11:08, 8 September 2023
गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, एक धनात्मक पूर्णांक n का हाइपरफैक्टोरियल से लेकर तक के रूप की संख्याओं का गुणनफल होता है।
परिभाषा
एक धनात्मक पूर्णांक का हाइपरफैक्टोरियल संख्याओं का गुणनफल होता है। वह है,[1][2]
प्रक्षेप और सन्निकटन
हाइपरफैक्टोरियल का अध्ययन 19वीं सदी की प्रारंभ में हरमन किंकेलिन द्वारा किया गया था [3][4] और जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर [5][4] जैसा कि किंकेलिन ने दिखाया, जिस तरह भाज्य को गामा फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह हाइपरफैक्टोरियल को K-फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है।[3]
ग्लैशर ने हाइपरफैक्टोरियल के लिए एसिम्प्टोटिक विश्लेषण सूत्र प्रदान किया, जो फैक्टरियल के लिए स्टर्लिंग के सूत्र के अनुरूप है:
अन्य गुण
फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब समता (गणित) अभाज्य संख्या है
हाइपरफैक्टोरियल्स उनके संभाव्य सूत्रीकरण में हर्माइट बहुपद के विभेदक का अनुक्रम देते हैं।[1]
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A002109 (Hyperfactorials: Product_{k = 1..n} k^k)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation
- ↑ 2.0 2.1 Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018), Summability Calculus: A Comprehensive Theory of Fractional Finite Sums, Cham: Springer, pp. 5–6, doi:10.1007/978-3-319-74648-7, ISBN 978-3-319-74647-0, MR 3752675, S2CID 119580816
- ↑ 3.0 3.1 Kinkelin, H. (1860), "Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechung" [On a transcendental variation of the gamma function and its application to the integral calculus], Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch), 1860 (57): 122–138, doi:10.1515/crll.1860.57.122, S2CID 120627417
- ↑ 4.0 4.1 4.2 Aebi, Christian; Cairns, Grant (2015), "Generalizations of Wilson's theorem for double-, hyper-, sub- and superfactorials", The American Mathematical Monthly, 122 (5): 433–443, doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, MR 3352802, S2CID 207521192
- ↑ 5.0 5.1 Glaisher, J. W. L. (1877), "On the product 11.22.33... nn[[Category: Templates Vigyan Ready]]", Messenger of Mathematics, 7: 43–47
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