वक्र-रेखी निर्देश तन्त्र

कार्तीय (बाएं) द्वि-आयामी स्थान में निर्देशांक करता है

ज्यामिति में, वक्रीय निर्देशांक यूक्लिडियन समतल के लिए वह समन्वय प्रणाली है जिसमें समन्वय रेखाएं वक्रीय हो सकती हैं। ये निर्देशांक कार्टेशियन निर्देशांक के एक सेट से एक परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं जो प्रत्येक बिंदु पर व्युत्क्रम (यह एक नक्शा) है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिए गए बिंदु को उसके वक्रीय निर्देशांक और पीछे परिवर्तित कर सकता है। फ्रांसीसी गणितज्ञ गेब्रियल लैम द्वारा प्रचलित किया गया 'वक्रीय निर्देशांक' नाम इस तथ्य से निकला है कि वक्रीय प्रणालियों की समन्वय सतहें वक्रीय हैं।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन समतल (R³) बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली और गोलीय निर्देशांक निर्देशांक हैं। इस समतल में एक कार्टेशियन समन्वय सतह समतल है, उदाहरण के लिए z = 0 x-y तल को परिभाषित करता है। एक ही स्थान में, गोलाकार निर्देशांक में समन्वय सतह R = 1 उस इकाई क्षेत्र की सतह है, जो वक्रीय है। वक्रीय निर्देशांक की औपचारिकता मानक समन्वय प्रणालियों का एकीकृत और सामान्य विवरण प्रदान करती है।

कर्विलीनियर निर्देशांक अधिकांशतः भौतिक मात्रा के स्थान या वितरण को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, स्केलर (गणित), सदिश (ज्यामितीय) या टेन्सर इनके प्रमुख उदाहरण हैं। सदिश कैलकुलस और टेन्सर विश्लेषण (जैसे ढाल, विचलन, कर्ल (गणित), और लाप्लासियन) में इन राशियों को सम्मलित करने वाले गणितीय भावों को स्केलर, सदिश और टेन्सर के परिवर्तन नियमों के अनुसार समन्वय प्रणाली से दूसरे में बदला जा सकता है। ऐसे व्यंजक तब किसी भी वक्रीय निर्देशांक तंत्र के लिए मान्य हो जाते हैं।

कुछ अनुप्रयोगों के लिए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की तुलना में वक्रीय समन्वय प्रणाली का उपयोग करना आसान हो सकता है। केंद्रीय बल के प्रभाव में कणों की गति साधारणतयः कार्टेशियन निर्देशांक की तुलना में गोलाकार निर्देशांक में हल करना आसान होता है; यह R³ में परिभाषित परिपत्र समरूपता के साथ कई भौतिक समस्याओं का सच है। किसी विशेष वक्रीय समन्वय प्रणाली के लिए समन्वय सतहों का पालन करने वाली सीमा स्थितियों वाले समीकरणों को उस प्रणाली में हल करना आसान हो सकता है। जबकि कोई कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करके एक आयताकार बॉक्स में एक कण की गति का वर्णन कर सकता है, गोलाकार निर्देशांक के साथ एक क्षेत्र में गति का वर्णन करना आसान है। गोलाकार निर्देशांक सबसे सरल वक्रीय समन्वय प्रणाली हैं और इसका उपयोग भू विज्ञान, क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षता के सिद्धांत और अभियांत्रिकी में किया जाता है।

ऑर्थोगोनल कर्विलीनियर 3 आयामों में निर्देशांक

निर्देशांक, आधार और सदिश

चित्र 1 - सामान्य वक्रीय निर्देशांकों की निर्देशांक सतहें, समन्वय रेखाएँ और निर्देशांक अक्ष।

चित्र 2 - गोलीय निर्देशांकों की निर्देशांक सतहें, निर्देशांक रेखाएँ और निर्देशांक अक्ष। सतहें: R - गोले, θ - शंकु, φ - अर्ध-तल; रेखाएँ: R - सीधे बीम, θ - ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त, φ - क्षैतिज वृत्त; अक्ष: R - सीधे बीम, θ - ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त के लिए स्पर्शरेखा, φ - क्षैतिज मंडल के लिए स्पर्शरेखा

अभी के लिए, त्रि-आयामी समतल 3-डी समतल पर विचार करें। 3डी स्पेस (या इसकी स्थिति सदिश 'R') में एक बिंदु पी को कार्टेशियन निर्देशांक (x, वाई, जेड) का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है [समकक्ष रूप से लिखा गया (x¹, x², x³)], द्वारा $\mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}$, जहां e_x, e_y, e_z मानक आधार सदिश हैं।

इसे इसके 'वक्रीय निर्देशांक' द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है (q¹, q2</sup>, q3) यदि संख्याओं का यह त्रिक एक एकल बिंदु को एक स्पष्ट तरीके से परिभाषित करता है। निर्देशांकों के बीच संबंध तब व्युत्क्रमणीय परिवर्तन कार्यों द्वारा दिया जाता है:</sup>

$x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})$

$q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)$

सतहें q¹ = स्थिरांक,q² = स्थिरांक, q³ = स्थिरांक को निर्देशांक सतहें कहा जाता है; और जोड़े में उनके प्रतिच्छेदन द्वारा गठित समतल वक्र को समन्वय वक्र कहा जाता है। निर्देशांक अक्षों को तीन सतहों के प्रतिच्छेदन पर निर्देशांक वक्रों की स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। वे समतल में सामान्य निश्चित दिशाओं में नहीं होते हैं, जो सरल कार्टेशियन निर्देशांक के स्थिति में होता है, और इस प्रकार साधारणतयः वक्रीय निर्देशांक के लिए कोई प्राकृतिक वैश्विक आधार नहीं होता है।

कार्तीय प्रणाली में, स्थानीय समन्वय के संबंध में बिंदु 'p' के स्थान के व्युत्पन्न से मानक आधार सदिश प्राप्त किए जा सकते हैं

$\mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.$

बिंदु P पर स्थानीय रूप से वक्रीय प्रणाली के समान डेरिवेटिव को लागू करना प्राकृतिक आधार सदिश को परिभाषित करता है:

$\mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.$

ऐसे आधार, जिनके सदिश एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर अपनी दिशा और/या परिमाण बदलते हैं, स्थानीय आधार कहलाते हैं। वक्रीय निर्देशांक से जुड़े सभी आधार आवश्यक रूप से स्थानीय हैं। मौलिक सदिश जो सभी बिंदुओं पर समान हैं, वैश्विक आधार हैं, और केवल रैखिक या एफ़िन समन्वय प्रणालियों से जुड़े हो सकते हैं।

इस लेख के लिए e मानक आधार (कार्टेशियन) के लिए आरक्षित है और h या b वक्रीय आधार के लिए है।

इनमें इकाई लंबाई नहीं हो सकती है, और ये ऑर्थोगोनल भी नहीं हो सकते हैं। इस स्थिति में कि वे सभी बिंदुओं पर ऑर्थोगोनल हैं जहां डेरिवेटिव अच्छी तरह से परिभाषित हैं, हम लैम से संबंधित गुणकों को परिभाषित करते हैं। लैम गुणांक के अनुसार(गेब्रियल लेमे के पश्चात)

$h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|$

और कर्विलिनियर ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश द्वारा

$\mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.$

ये आधार सदिश P की स्थिति पर निर्भर हो सकते हैं; इसलिए यह आवश्यक है कि उन्हें एक क्षेत्र पर स्थिर न माना जाए। (इस तकनीकी के रूप से स्पर्शरेखा बंडल के लिए आधार बनाते हैं $\mathbb {R} ^{3}$ P पर, और इसलिए P के लिए स्थानीय हैं।)

सामान्य तौर पर, वक्रीय निर्देशांक प्राकृतिक आधार सदिश 'h' की अनुमति देते हैं_i सभी एक दूसरे के लिए परस्पर लंबवत नहीं हैं, और इकाई लंबाई के होने की आवश्यकता नहीं है: वे परिमाण और दिशा पर आधारित हो सकते हैं। ऑर्थोगोनल आधार का उपयोग गैर-ऑर्थोगोनल की तुलना में सदिश जोड़तोड़ को सरल बनाता है। चूंकि, भौतिकी और इंजीनियरिंग के कुछ क्षेत्रों, विशेष रूप से द्रव यांत्रिकी और सातत्य यांत्रिकी में, भौतिक मात्राओं की सम्मिश्र दिशात्मक निर्भरता के लिए विकृति और द्रव परिवहन का वर्णन करने के लिए गैर-ऑर्थोगोनल आधारों की आवश्यकता होती है। इस पृष्ठ पर पश्चात में सामान्य स्थिति की चर्चा दिखाई देती है।

सदिश कलन

See also: अवकल ज्यामिति

अवकल तत्व

ऑर्थोगोनल वक्रीय निर्देशांक में, चूंकि R में कुल अंतर परिवर्तन है

$d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}$

तो पैमाने कारक हैं $h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|$

गैर-ऑर्थोगोनल निर्देशांक में की लंबाई $d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}$ का धनात्मक वर्गमूल है $d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}$ (आइंस्टीन योग सम्मेलन के साथ)। छह स्वतंत्र स्केलर उत्पाद g_ij= 'h'_i।h_j प्राकृतिक आधार वाले सदिश ऑर्थोगोनल निर्देशांक के लिए ऊपर परिभाषित तीन पैमाने के कारकों का सामान्यीकरण करते हैं। नौ जी_ijमीट्रिक टेंसर के घटक हैं, जिनमें ऑर्थोगोनल निर्देशांक में केवल तीन गैर शून्य घटक हैं: g₁₁= g₁h₁, g₂₂= g₂h₂, g₃₃= g₃h₃.

सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार

Main articles: सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण and सूचकांकों को ऊपर उठाना और घटाना

एक सदिश v (red) द्वारा दर्शाया गया • एक सदिश आधार (पीला, बाएँ: e₁, तथा₂, तथा₃), टेंगेंट सदिश घटता समन्वय करने के लिए (काला) और • कोसदिश आधार या कोबेसिस (blue, right: e¹, और², और³), सतहों को समन्वयित करने के लिए सामान्य सदिश (धूसर) सामान्यतः (आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल निर्देशांक नहीं) वक्रीय निर्देशांक (q^{1</सुप>, q2</सुप>, q3). आधार और कोबासिस तब तक मेल नहीं खाते जब तक कि समन्वय प्रणाली ऑर्थोगोनल न हो।}

स्थानिक ग्रेडियेंट, दूरी, समय डेरिवेटिव और स्केल कारक आधार सदिश के दो समूहों द्वारा समन्वय प्रणाली के भीतर परस्पर जुड़े हुए हैं:

1. आधार सदिश जो स्थानीय रूप से उनके संबंधित समन्वय पथ के लिए स्पर्शरेखा हैं:
   $$\mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$$
   सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण हैं (निम्न सूचकांकों द्वारा चिह्नित), और
2. आधार सदिश जो स्थानीय रूप से अन्य निर्देशांक द्वारा बनाए गए आइसोसफेस के लिए सामान्य हैं:
   $$\mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}$$
   सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण हैं (बढ़े हुए सूचकांकों द्वारा निरूपित), ∇ डेल रैखिक संकारक है।

ध्यान दें कि, आइंस्टीन के संकलन परिपाटी के कारण, सदिशों के सूचकांकों की स्थिति निर्देशांकों के विपरीत है।

परिणाम स्वरुप, सामान्य वक्रीय समन्वय प्रणाली में प्रत्येक बिंदु के लिए आधार सदिश के दो सेट होते हैं: {b₁, b₂, b₃} प्रतिपरिवर्ती आधार है, और {b¹, b^{2, b3} सहपरिवर्ती (उर्फ पारस्परिक) आधार है। सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार सदिश प्रकार के लम्बकोणीय वक्ररेखीय समन्वय प्रणालियों के लिए समान दिशा होती है, लेकिन हमेशा की तरह एक दूसरे के संबंध में इसकी व्युत्क्रम इकाइयाँ होती हैं।}

निम्नलिखित महत्वपूर्ण समानता पर ध्यान दें:

$$\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}$$

जिसमें $\delta _{j}^{i}$ क्रोनकर डेल्टा क्रोनकर डेल्टा के सामान्यीकरण को दर्शाता है।

Proof

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में $(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})$, हम डॉट उत्पाद को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}$

एक अतिसूक्ष्म विस्थापन पर विचार करें $d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}$. Let dq₁, dq₂ and dq₃ denote the corresponding infinitesimal changes in curvilinear coordinates q₁, q₂ and q₃ respectively.

श्रृंखला नियम द्वारा, dq₁ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)$

यदि विस्थापन dr ऐसा है किdq₂ = dq₃ = 0,अर्ताथ स्थिति वेक्टर आर समन्वय अक्ष क्यू के साथ एक अपरिमेय राशि से चलता है₂=const and q₃=const, इस स्थिति में:

$dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}$

Dividing by dq₁, और इसकी सीमा dq₁ → 0:

$1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}$

or equivalently:

$\mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1$

अब यदि विस्थापन dr' ऐसा है किdq₁=dq₃=0, यानी स्थिति वेक्टर आर समन्वय अक्ष के साथ एक अपरिमेय राशि से चलता है q₁=const and q₃=const, then:

$0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}$

Dividing by dq₂, और इसकी सीमा dq₂ → 0:

$0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}$

or equivalently:

$\mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0$

और अन्य डॉट उत्पादों के लिए आगे।

वैकल्पिक प्रमाण:

$\delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}$

और आइंस्टीन योग सम्मेलन निहित है।

एक सदिश v को किसी भी आधार पर निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात,

<math> \mathbf{v} = v^1\mathbf{b}^1 + v^2\mathbf{b}_2 + v^3\mathbf{b}_3 = v_1\mathbf{b}^1 + v_2\mathbf {b}^2 + v_3\mathbf{b}^3 </math>

आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का उपयोग करते हुए, आधार सदिश घटकों से संबंधित होते हैं

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}$

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}$

तथा

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}$

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}$

जहाँ g मीट्रिक टेन्सर है (नीचे देखें)।

एक सदिश को सहसंयोजक निर्देशांक (कम किए गए सूचकांक, लिखित v.) के साथ निर्दिष्ट किया जा सकता है_k) या प्रतिपरिवर्ती निर्देशांक उपरोक्त सदिश योगों से, यह देखा जा सकता है कि प्रतिपरिवर्ती निर्देशांक सहपरिवर्ती आधार सदिशों से जुड़े होते हैं, और सहपरिवर्ती निर्देशांक प्रतिपरिवर्ती आधार सदिशों से जुड़े होते हैं।

अनुक्रमित घटकों और आधार सदिशों के संदर्भ में सदिश और टेन्सर के प्रतिनिधित्व की एक प्रमुख विशेषता इस अर्थ में अपरिवर्तनीय है कि सदिश घटक जो सहसंयोजक तरीके (या कॉन्ट्रावेरिएंट तरीके) में बदलते हैं, आधार सदिश के साथ जोड़े जाते हैं जो एक विपरीत तरीके से बदलते हैं।

एकीकरण

Main article: सहपरिवर्ती परिवर्तन

एक आयाम में एक सहपरिवर्ती आधार का निर्माण

चित्र 3 - सामान्य वक्रीय निर्देशांक के स्थिति में स्थानीय सहसंयोजक आधार का परिवर्तन

चित्र 3 में दिखाए गए एक-आयामी वक्र पर विचार करें। बिंदु P पर, उत्पत्ति (गणित) के रूप में लिया गया, x कार्तीय निर्देशांक में से एक है, और q¹ वक्रीय निर्देशांकों में से एक है। स्थानीय (गैर-इकाई) आधार सदिश b₁ है (अंकित h₁ ऊपर, b के साथ यूनिट सदिश के लिए आरक्षित है) और यह q¹ पर बनाया गया है अक्ष जो बिंदु P पर उस निर्देशांक रेखा की स्पर्श रेखा है। अक्ष q¹ और इस प्रकार सदिश b₁ एक कोण बनाओ $\alpha$ कार्तीय x अक्ष और कार्तीय आधार सदिश 'e' के साथ₁.

यह त्रिभुज PAB से देखा जा सकता है कि

$\cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha$

जहां | e₁|, |b₁| दो आधार सदिशों के परिमाण हैं, अर्ताथ, स्केलर pb और pa को रोकता है। pa भी x अक्ष पर 'b₁' का प्रक्षेपण है।

चूंकि, दिशात्मक कोसाइन का उपयोग करके आधार सदिश परिवर्तनों के लिए यह विधि निम्न कारणों से वक्रीय निर्देशांक के लिए अनुपयुक्त है:

1. P से दूरी बढ़ाने पर वक्र रेखा q¹ के बीच का कोण $\alpha$ और कार्तीय अक्ष x उत्तरोत्तर विचलन करता है .
2. दूरी PB पर सच्चा कोण $\alpha$ वह है जो x अक्ष के साथ स्पर्शरेखा 'बिंदु C' बनाता है और पश्चात $\alpha$ कोण स्पष्ट रूप से अलग है

वे कोण जो q¹ रेखा और x अक्ष के साथ वह अक्ष रूप मूल्य में निकट हो जाता है, निकट एक बिंदु P की ओर बढ़ता है और P पर बिल्कुल बराबर हो जाता है।

बता दें कि बिंदु E, P के बहुत निकट स्थित है, इतना निकट कि दूरी PE ज्यादा छोटी है। फिर pe को q¹ पर मापे गये अक्ष q¹ पर मापे गए PE के साथ पंक्ति से लगभग मेल खाती है। इसी समय, अनुपात pd/pe (pd x अक्ष पर pe का प्रक्षेपण है) $\cos \alpha$.लगभग बराबर हो जाता है

बता दें कि असीम रूप से छोटे इंटरसेप्ट pd¹ और pe को क्रमशः dx और dq के रूप में लेबल किया जाता है। फिर

$\cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}$.

इस प्रकार, दिशात्मक कोसाइन को स्थानांतरित करने में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसमें मुख्य रूप से छोटे निर्देशांक इंटरसेप्ट्स के बीच अधिक सही अनुपात होते हैं। यह इस प्रकार है कि b का घटक (प्रक्षेपण)।₁ x अक्ष पर है

$p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}$.

तीन आयामों में एक सहपरिवर्ती आधार का निर्माण

अन्य 2 आयामों में निर्देशांक के लिए ऐसा ही करना, b₁ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$\mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}$

समान समीकरण b₂ के लिए हैं और b₃ जिससे कि मानक आधार {e₁, e₂, e₃} एक स्थानीय (आदेशित और सामान्यीकृत) के आधार पर परिवर्तित हो जाता है {b₁, b₂, b₃} समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा:

${\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$

अनुरूप तर्क से, कोई स्थानीय आधार से मानक आधार पर व्युत्क्रम परिवर्तन प्राप्त कर सकता है:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}$

रूपांतरण का याकूबियन

रैखिक समीकरणों की उपरोक्त प्रणालियों को आइंस्टीन के योग करने में सम्मलित करने में आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है

${\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}$.

रैखिक प्रणाली का यह गुणांक आव्यूह परिवर्तन का जैकबियन आव्यूह (और इसका व्युत्क्रम) है। ये ऐसे समीकरण हैं जिनका उपयोग कार्तीय आधार को वक्रीय आधार में बदलने के लिए किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

तीन आयामों में, इन मैट्रिसेस के विस्तारित रूप हैं

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}$

व्युत्क्रम परिवर्तन (द्वितीय समीकरण प्रणाली) में, अज्ञात वक्रीय आधार सदिश हैं। किसी भी विशिष्ट स्थान के लिए केवल एक और केवल आधार सदिश का एक सेट सम्मलित हो सकता है (अन्यथा आधार उस बिंदु पर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है)। यह स्थिति तभी संतुष्ट होती है जब समीकरण प्रणाली का समान हल है। रेखीय बीजगणित में, रेखीय समीकरण प्रणाली का एकल समाधान होता है, यदि इसके सिस्टम आव्यूह का निर्धारक गैर-शून्य होता है:

$\det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0$

जो व्युत्क्रम जेकोबियन निर्धारक से संबंधित उपरोक्त आवश्यकता के पीछे के तर्क को दर्शाता है।

एन आयामों के लिए सामान्यीकरण

औपचारिकता निम्नानुसार किसी परिमित आयाम तक फैली हुई है।

वास्तविक संख्या यूक्लिडियन स्पेस एन-डायमेंशनल स्पेस पर विचार करें, जो 'R' हैⁿ = 'R' × 'R' × ... × 'R' (n बार) जहां 'R' वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (गणित) है और × कार्तीय गुणनफल को दर्शाता है, जो मुख्यतः सदिश स्थान है .

इस स्थान के निर्देशांक को निम्न द्वारा निरूपित किया जा सकता है: 'x' = (x₁, x₂,...,x_n). चूँकि यह एक सदिश (सदिश स्थान का एक तत्व) है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}$

जहां e¹ = (1,0,0...,0), e² = (0,1,0...,0), e³ = (0,0,1...,0),...,eⁿ = (0,0,0...,1) स्थान 'Rⁿ' के लिए सदिशों का मानक आधार सेट है, और i = 1, 2,...n अनुक्रमणिका लेबलिंग घटक है। प्रत्येक सदिश के प्रत्येक आयाम (या अक्ष) में बिल्कुल एक घटक होता है और वे पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल सदिश (लंबवत) और सामान्यीकृत (इकाई सदिश होते हैं)।

अधिक साधारणतयः, हम आधार सदिश 'बी' को परिभाषित कर सकते हैं_i जिससे कि वे q = (q पर निर्भर हों₁, q₂,...,q_n), अर्ताथ वे बिंदु से बिंदु में बदलते हैं: 'b'_i = b_i(q)। इस स्थिति में इस वैकल्पिक आधार के संदर्भ में एक ही बिंदु x को परिभाषित करना है: इस आधार पर इसके संबंध में 'समन्वय सदिश' 'v'_iभी आवश्यक रूप से 'x' पर भी निर्भर करता है, अर्थात v_i= वि_i('x')। फिर इस स्थान में एक सदिश 'v', इन वैकल्पिक निर्देशांक और आधार सदिश के संबंध में, इस आधार पर रैखिक संयोजन के रूप में इसे विस्तारित किया जाता है (जिसका अर्थ है प्रत्येक आधार कोऑर्डिनेट सदिश 'e_i' को गुणा करना) संख्या v_i द्वारा - स्केलर गुणज):

$\mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )$

नए आधार में v का वर्णन करने वाला सदिश योग विभिन्न सदिशों से बना है, चूंकि योग स्वयं समान रहता है।

निर्देशांक का परिवर्तन

अधिक सामान्य और अमूर्त दृष्टिकोण से, एक वक्रीय समन्वय प्रणाली अलग-अलग कई गुना ई पर बस एटलस (टोपोलॉजी) हैⁿ (एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस) जो कार्तीय समन्वय प्रणाली के लिए डिफियोमोर्फिज्म है जो कई गुना पर पैच को समन्वयित करता है। डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर दो डिफियोमॉर्फिक कोऑर्डिनेट पैच को अलग-अलग ओवरलैप करने की आवश्यकता नहीं है। वक्रीय समन्वय प्रणाली की इस सरल परिभाषा के साथ, नीचे आने वाले सभी परिणाम केवल अंतर टोपोलॉजी में मानक प्रमेय के अनुप्रयोग हैं।

परिवर्तन कार्य ऐसे होते हैं कि पुराने और नए निर्देशांक में बिंदुओं के बीच एक-से-एक संबंध होता है, अर्थात, वे कार्य द्विअर्थी होते हैं, और कार्यों के अपने डोमेन के भीतर निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करते हैं:

1. वे स्मूथ फंक्शन हैं: qⁱ = qⁱ(x)
2. व्युत्क्रम जैकोबियन निर्धारक:$J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0$

   शून्य नहीं है; अर्थ परिवर्तन है व्युत्क्रम:x_i(q).

   उलटा कार्य प्रमेय के अनुसार। यह स्थिति कि जेकोबियन निर्धारक शून्य नहीं है, इस तथ्य को दर्शाता है कि अलग-अलग परिवारों की तीन सतहें एक और केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस प्रकार इस बिंदु की स्थिति को एक अनोखे तरीके से निर्धारित करती हैं।

तीन आयामी वक्रीय निर्देशांक में सदिश और टेन्सर बीजगणित

वक्रीय निर्देशांक में प्राथमिक सदिश और टेन्सर बीजगणित यांत्रिकी और भौतिकी में कुछ पुराने वैज्ञानिक साहित्य में उपयोग किया जाता है और 1900 के दशक के प्रारंभ और मध्य से काम को समझने के लिए अपरिहार्य हो सकता है, उदाहरण के लिए ग्रीन और ज़र्ना द्वारा पाठ। सदिशों के बीजगणित और वक्रीय निर्देशांकों में दूसरे क्रम के टेंसरों में कुछ उपयोगी संबंध इस खंड में दिए गए हैं। अंकन और इसके मुख्य रूप से ओग्डेन से हैं, हम इन्हे साइमंड्स, हरा और ज़र्ना, बाजार और वीचर्ट, और सियारलेट। कहते हैं।

वक्रीय निर्देशांक में टेन्सर

Main article: वक्रीय निर्देशांक में टेन्सर

एक दूसरे क्रम के टेंसर को व्यक्त किया जा सकता है

${\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}$

जहाँ पर $\scriptstyle \otimes$ टेंसर उत्पाद को दर्शाता है। घटक s^ij को 'प्रतिपरिवर्ती' घटक कहा जाता है, S^{मैं _j'मिश्रित दाएँ-सहसंयोजक' घटक, s_i j 'मिक्स्ड लेफ्ट-कोवैरिएंट' घटक, और S_ijदूसरे क्रम के टेंसर के 'सहसंयोजक' घटक। दूसरे क्रम के टेन्सर के घटक किसके द्वारा संबंधित हैं}

$S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }$

लम्बवत वक्रीय निर्देशांकों में मीट्रिक टेन्सर

Main article: मीट्रिक टेंसर

प्रत्येक बिंदु पर, एक छोटी रेखा तत्व का निर्माण किया जा सकता है dx, इसलिए रेखा तत्व की लंबाई का वर्ग अदिश गुणनफल dx • dx होता है और इसे समतल का मीट्रिक (गणित) कहा जाता है, जिसके द्वारा दिया गया है:

$d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}$.

उपरोक्त समीकरण का निम्नलिखित भाग

${\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}$

सममित टेन्सर जिसे वक्रीय निर्देशांक में यूक्लिडियन स्पेस का 'मीट्रिक टेन्सर फंडामेंटल (या मैट्रिक) टेन्सर' कहा जाता है।

संकेतक मीट्रिक द्वारा सूचकांकों को बढ़ा और घटा सकते हैं:

$v^{i}=g^{ik}v_{k}$

लेमे गुणांकों से संबंध

स्केल कारकों को परिभाषित करना h_iद्वारा

$h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|$

मीट्रिक टेन्सर और लेमे गुणांकों के बीच एक संबंध देता है, और

$g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}$

जहां h_ijलमे गुणांक हैं। ऑर्थोगोनल आधार के लिए हमारे पास भी है:

$g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J$

उदाहरण: ध्रुवीय निर्देशांक

यदि हम R के लिए ध्रुवीय निर्देशांकों पर विचार करें^{2</सुप>,}

$(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$

(r, θ) वक्रीय निर्देशांक हैं, और रूपांतरण (r,θ) → (r cos θ, r sin θ) का जैकबियन निर्धारक r है।

ओर्थोगोनल आधार सदिश 'b' हैं_r = (cos θ, sin θ), b_θ = (−r sin θ, r cos θ). स्केल कारक h_r = 1 और h_θ= R हैं। मौलिक टेंसर g₁₁ =1 g₂₂ = R², g₁₂ = g₂₁ =0 है,

वैकल्पिक टेंसर

एक असामान्य दाएं हाथ के आधार पर, तीसरे क्रम के लेवी-सिविता प्रतीक को इस रूप में परिभाषित किया गया है

${\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}$

एक सामान्य वक्रीय आधार में उसी टेन्सर को व्यक्त किया जा सकता है

${\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}$

यह भी दिखाया जा सकता है

${\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}$

क्रिस्टोफेल प्रतीक

क्रिस्टोफेल का प्रतीक $\Gamma _{kij}$ है

$\mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}$

जहां अल्पविराम आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है (रिक्की कलन देखें)। g_kij व्यक्त करने के लिए g_ij के संदर्भ में,

${\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}$

इस प्रकार

$\mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}$

उपरोक्त संबंधों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए इनका उपयोग करना देता है

$\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]$

दूसरी तरह के क्रिस्टोफेल प्रतीक $\Gamma ^{k}{}_{ji}$:

$\Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}$

यह दर्शाता है कि

$\Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad$ जबसे $\quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0$.

अन्य संबंध जो अनुसरण करते हैं

${\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}$

सदिश संचालन

1. Dot product:

   वक्रीय निर्देशांक में दो सदिशों का अदिश गुणनफल है

   $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}$

2. Cross product:

   दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद दिया जाता है

   $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}$

   जहाँ $\epsilon _{ijk}$ is the permutation symbol and $\mathbf {e} _{i}$ कार्टेशियन आधार वेक्टर है। वक्रीय निर्देशांकों में, तुल्य व्यंजक है

   $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}$

   जहाँ ${\mathcal {E}}_{ijk}$ थर्ड-ऑर्डर अल्टरनेटिंग टेन्सर है।

तीन आयामी वक्रीय निर्देशांक में सदिश और टेन्सर कैलकुलस

रेखा अभिन्न, सतह अभिन्न और मात्रा अभिन्न समाकलन (गणित) की गणना में समायोजन करने की आवश्यकता है। सरलता के लिए, निम्नलिखित तीन आयामों और लंबकोणीय वक्रीय निर्देशांकों तक सीमित है। चूंकि, वही तर्क एन-आयामी रिक्त स्थान के लिए लागू होते हैं। जब निर्देशांक प्रणाली लंबकोणीय नहीं होती है, तो व्यंजकों में कुछ अतिरिक्त पद होते हैं।

साइमंड्स, टेंसर विश्लेषण पर अपनी पुस्तक में, अल्बर्ट आइंस्टीन को उद्धृत करते हैं

इस सिद्धांत का आशय किसी ऐसे व्यक्ति पर थोपने में असफल होगा जिसने इसे सही मायने में समझता हो; यह गॉस, रीमैन, रिक्की और लेवी-सिविता द्वारा स्थापित पूर्ण अंतर कलन की विधि की वास्तविक विजय का प्रतिनिधित्व करता है।

सामान्य वक्रीय निर्देशांक में सदिश और टेन्सर कैलकुलस का उपयोग सामान्य सापेक्षता में चार-आयामी वक्रीय कई गुना पर टेंसर विश्लेषण में किया जाता है, वक्रीय प्लेट सिद्धांत के ठोस यांत्रिकी में,मैक्सवेल के समीकरणों के अपरिवर्तनीय (गणित) गुणों की जांच करने में जो मेटामटेरियल में रुचि रखते हैं और कई अन्य क्षेत्रों में।

वक्रीय निर्देशांकों में सदिशों और दूसरे क्रम के टेंसरों की गणना में कुछ उपयोगी संबंध इस खंड में दिए गए हैं। अंकन और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन से हैं, साइमंड्स,हरा और ज़र्ना, बाजार और वीचर्ट,और सियारलेट।

φ = φ(x) एक अच्छी तरह से परिभाषित अदिश क्षेत्र और v = v(x) एक अच्छी तरह से परिभाषित सदिश क्षेत्र है, और λ₁, l₂... निर्देशांक के पैरामीटर बने

एकीकरण

ऑपरेटर	अदिश क्षेत्र	सदिश क्षेत्र
रेखा अभिन्न	$\int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|d\lambda$	$\int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda$
भूतल अभिन्न	$\int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right|d\lambda _{1}d\lambda _{2}$	$\int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}$
आयतन अभिन्न	$\iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$	$\iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$

भेद

ग्रेडिएंट, डायवर्जेंस और लाप्लासियन के भावों को सीधे n-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, चूंकि कर्ल को केवल 3D में परिभाषित किया गया है।

सदिश क्षेत्र 'b'_i qⁱ की स्पर्शरेखा है वक्र का समन्वय करता है और वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक 'प्राकृतिक आधार' बनाता है। यह आधार, जैसा कि इस लेख की प्रारंभ में चर्चा की गई है, को 'सहसंयोजक' वक्रीय आधार भी कहा जाता है। हम एक 'पारस्परिक आधार', या 'प्रतिपरिवर्ती' वक्रीय आधार, 'b' को भी परिभाषित कर सकते हैं।^{मैं । आधार सदिशों के बीच सभी बीजगणितीय संबंध, जैसा कि टेन्सर बीजगणित पर अनुभाग में चर्चा की गई है, प्रत्येक बिंदु 'x' पर प्राकृतिक आधार और इसके व्युत्क्रम के लिए लागू होते हैं।}

ऑपरेटर	अदिश क्षेत्र	सदिश क्षेत्र	दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र
प्रवणता	$\nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}$	$\nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}$	${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}$
विचलन	N/A	$\nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})$	$({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )$ जहाँ a एक मनमाना अचर सदिश है। वक्रीय निर्देशांक में,${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}$
लाप्लासियन	$\nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)$
वक्रीय	N/A	केवल 3D में सदिश क्षेत्रों के लिए,$\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}$जहाँ $\epsilon _{ijk}$ लेवी-सिटीवा का प्रतीक है.	टेंसर फील्ड का कर्ल देखें

सामान्य वक्रीय निर्देशांक में काल्पनिक बल

परिभाषा के अनुसार, यदि कोई कण जिस पर कोई बल कार्य नहीं करता है, उसकी स्थिति एक जड़त्वीय समन्वय प्रणाली में व्यक्त की जाती है, (x₁, x₂, x₃, टी), तो वहां इसका कोई त्वरण नहीं होगा d²x_j/ dt² = 0). इस संदर्भ में, एक समन्वय प्रणाली गैर-सीधे समय अक्ष या गैर-सीधे समतल अक्ष (या दोनों) के कारण "जड़त्वीय" होने में विफल हो सकती है। दूसरे शब्दों में, निर्देशांक के आधार सदिश निश्चित स्थिति में समय के साथ भिन्न हो सकते हैं, या वे निश्चित समय पर स्थिति के साथ भिन्न हो सकते हैं, या दोनों। जब गति के समीकरण किसी गैर-जड़त्वीय समन्वय प्रणाली (इस अर्थ में) के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं, तो अतिरिक्त शब्द दिखाई देते हैं, जिन्हें क्रिस्टोफेल प्रतीक कहा जाता है। सख्ती से बोलते हुए, ये शब्द पूर्ण त्वरण (शास्त्रीय यांत्रिकी में) के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन हम d²x_j/ dt² के संबंध में जारी रखना भी चुन सकते हैं तथा त्वरण के रूप में (जैसे कि निर्देशांक जड़त्वीय थे) और अतिरिक्त शर्तों को मानते हैं जैसे कि वे बल थे, जिस स्थिति में उन्हें काल्पनिक बल कहा जाता है। कण के पथ के सामान्य और पथ के वक्रता के समतल में किसी भी ऐसे काल्पनिक बल का घटक तब केन्द्रापसारक बल कहलाता है।

यह अधिक सामान्य संदर्भ घूर्णन संदर्भ फ्रेम और स्थिर वक्रीय समन्वय प्रणालियों में केन्द्रापसारक बल की अवधारणाओं के बीच पत्राचार को स्पष्ट करता है। (ये दोनों अवधारणाएँ साहित्य में अधिकांशतः दिखाई देती हैं।) एक सरल उदाहरण के लिए, द्रव्यमान m के एक कण पर कोणीय गति w के साथ घूमते हुए ध्रुवीय निर्देशांक की एक प्रणाली के सापेक्ष कोणीय गति w के साथ त्रिज्या r के एक चक्र पर विचार करें। गति का रेडियल समीकरण mr” = F_r है, (w + w)²। इस प्रकार केन्द्रापसारक बल कण की पूर्ण घूर्णी गति A = w + W के वर्ग का mr गुना है। यदि हम कण की गति से घूमने वाली एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं, तो W=A और w=0, इस स्थिति में केन्द्रापसारक बल mrA है², जबकि यदि हम एक स्थिर समन्वय प्रणाली चुनते हैं तो हमारे पास W = 0 और w = A होता है, इस स्थिति में केन्द्रापसारक बल फिर से mrA होता है²। परिणामों की इस समानता का कारण यह है कि दोनों ही स्थितियों में कण के स्थान पर आधार सदिश समय के साथ ठीक उसी तरह बदल रहे हैं। इसलिए ये वास्तव में एक ही चीज़ का वर्णन करने के दो अलग-अलग तरीके हैं, एक विवरण घूर्णन निर्देशांक के संदर्भ में है और दूसरा स्थिर वक्रीय निर्देशांक के संदर्भ में है, जो दोनों उस शब्द के अधिक अमूर्त अर्थ के अनुसार गैर-जड़त्वीय हैं .

सामान्य गति का वर्णन करते समय, एक कण पर कार्य करने वाली वास्तविक शक्तियों को अधिकांशतः गति के पथ पर तात्कालिक दोलन चक्र स्पर्शरेखा के रूप में संदर्भित किया जाता है, और सामान्य स्थिति में यह चक्र एक निश्चित स्थान पर केंद्रित नहीं होता है, और इसलिए केन्द्रापसारक और कोरिओलिस में अपघटन घटक लगातार बदल रहे हैं। यह इस बात पर ध्यान दिए बिना सत्य है कि गति को स्थिर या घूर्णन निर्देशांक के संदर्भ में वर्णित किया गया है या नहीं।

यह भी देखें

• सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
• सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
• विशेष स्थितियां:
  • ओर्थोगोनल निर्देशांक
  • तिरछा निर्देशांक
• वक्रीय निर्देशांक में टेन्सर
• फ्रेनेट-सीरेट सूत्र
• सहपरिवर्ती व्युत्पन्न
• टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)
• वक्रीय दृष्टिकोण
• डेल बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में

अग्रिम पठन

• Spiegel, M. R. (1959). Vector Analysis. New York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
• Arfken, George (1995). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.

बाहरी संबंध

• Planetmath.org Derivation of Unit vectors in curvilinear coordinates
• MathWorld's page on Curvilinear Coordinates
• Prof. R. Brannon's E-Book on Curvilinear Coordinates
• Wikiversity:Introduction to Elasticity/Tensors#The divergence of a tensor field – Wikiversity, Introduction to Elasticity/Tensors.