स्थानत: समाकलनीय फलन: Difference between revisions

Revision as of 08:32, 17 August 2023

गणित में, स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल (जिसे कभी-कभी स्थानीय रूप से सारांशित वेरिएबल भी कहा जाता है)^[1] एक ऐसा वेरिएबल (गणित) है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फ़ंक्शंस का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका कार्य स्थान $L p$ स्पेस के समान है रिक्त

स्थान, किन्तु इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है सीमा अनंत पर): दूसरे शब्दों में, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य डोमेन सीमा पर इच्छानुसार तेजी से बढ़ सकते हैं, किन्तु अभी भी सामान्य एकीकृत कार्यों के समान ही प्रबंधनीय हैं।

परिभाषा

मानक परिभाषा

परिभाषा 1.^[2] मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में $Ω$ खुला समुच्चय बनें $\mathbb {R} ^{n}$ और $\mathbb {C}$ लेब्सेग माप मापने योग्य वेरिएबल बनें। यदि $Ω$ पर $f$ इस प्रकार कि

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,

अर्थात इसका लेब्सग इंटीग्रल $Ω$ के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $K$ पर परिमित है,^[3] तब $f$ को स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल कहा जाता है। ऐसे सभी कार्यों का समुच्चय (गणित) $L 1,loc (Ω)$ द्वारा दर्शाया जाता है :

L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},

जहां ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$ के कार्य समुच्चय K पर f के प्रतिबंध को दर्शाता है।

स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल की मौलिक परिभाषा में केवल सैद्धांतिक और टोपोलॉजिकल अवधारणाओं को मापना सम्मिलित है^[4] और इसे टोपोलॉजिकल माप स्थान $(X, Σ, μ)$ पर समष्टि-मूल्यवान कार्यों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है :^[5] चूँकि , चूँकि ऐसे फ़ंक्शंस का सबसे सामान्य अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर वितरण सिद्धांत के लिए है,^[2] इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण स्थितियों से संबंधित हैं।

एक वैकल्पिक परिभाषा

परिभाषा 2.^[6] मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में $Ω$ खुला समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ . फिर वेरिएबल (गणित) $\mathbb {C}$ ऐसा है कि

\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,

प्रत्येक परीक्षण वेरिएबल के लिए $φ \in C \infty c (Ω)$ को स्थानीय रूप से पूर्णांक कहा जाता है, और ऐसे कार्यों के समुच्चय को $L 1,loc (Ω)$ कें द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ $C \infty c (Ω)$ सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय $\mathbb {R}$ को दर्शाता है समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ $Ω$ सम्मिलित है।

इस परिभाषा की जड़ें निकोलस बॉर्बकी स्कूल द्वारा विकसित टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस पर सतत रैखिक कार्यात्मक की अवधारणा के आधार पर माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं:^[7] यह स्ट्रिचर्ट्ज़ (2003) और द्वारा भी अपनाया गया है। माज़्या & शापोशनिकोवा (2009, p. 34).^[8] यह "वितरण सिद्धांत" संबंधी परिभाषा मानक के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित लेम्मा प्रमेय सिद्ध करता है:

लेम्मा 1. दिया गया वेरिएबल $\mathbb {C}$ परिभाषा 1 के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है यदि और केवल यदि यह परिभाषा 2 के अनुसार स्थानीय रूप से पूर्णीकृत है, अर्थात।

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).

लेम्मा 1 का प्रमाण

यदि भाग: मान लीजिए $φ \in C \infty c (Ω)$ एक परीक्षण वेरिएबल हो। यह अपने सर्वोच्च मानदंड $|| φ || \infty$ से चरम मूल्य प्रमेय है , मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन है, इसलिए इसे K कहते हैं।

\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty

द्वारा परिभाषा 1.

केवल यदि भाग: मान लीजिए $K$ खुले समुच्चय $Ω$ का एक संहत उपसमुच्चय है। हम पहले परीक्षण वेरिएबल $φ K \in C \infty c (Ω)$ का निर्माण करेंगे जो K के संकेतक फ़ंक्शन $χ K$ को प्रमुखता देता है। $K$ और सीमा $\partialΩ$ के बीच सामान्य निर्धारित दूरी सख्ती से शून्य से अधिक है, अर्थात।

\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,

इसलिए वास्तविक संख्या $δ$ चुनना संभव है जैसे कि $Δ > 2 δ > 0$ (यदि $\partialΩ$ खाली समुच्चय है, तब $Δ = \infty$ लें). मान लीजिए कि $K δ$ और $K 2 δ$ क्रमशः K के बंद $δ$ -पड़ोस और $2 δ$ -पड़ोस को दर्शाते हैं। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं

K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.

अब वेरिएबल $\mathbb {R}$ को परिभाषित करने के लिए कनवल्शन का उपयोग करें‚

\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,

जहां $φ δ$ मानक सकारात्मक सममिति का उपयोग करके निर्मित एक मोलिफ़ायर है। स्पष्ट रूप से $φ K$ इस अर्थ में गैर-ऋणात्मक है कि $φ K \geq 0$ , असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन $K 2 δ$ में निहित है , विशेष रूप से यह परीक्षण वेरिएबल है। चूँकि सभी $x \in K$ के लिए $φ K (x) = 1$ हमारे पास वह $χ K \leq φ K$ . है।

मान लीजिए परिभाषा 2 के अनुसार $f$ एक स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल बनें . तब

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .

चूँकि यह $Ω$ के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $K$ के लिए प्रयुक्त होता है, फ़ंक्शन $f$ परिभाषा 1 के अनुसार स्थानीय रूप से पूर्णांकित है। □

सामान्यीकरण: स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य

परिभाषा 3.^[9] मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में $Ω$ खुला समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ और $f : Ω \to$ $\mathbb {C}$ एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य वेरिएबल हो। यदि, $1 \leq p \leq +\infty$ के साथ दिए गए $p$ के लिए, $f$ संतुष्ट करता है

\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,

अर्थात, यह $Ω$ के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $K$ के लिए $L p (K)$ से संबंधित है, तो f को स्थानीय रूप से p-इंटीग्रेबल या p-स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल भी कहा जाता है।^[9] ऐसे सभी फलनों का समुच्चय $L p,loc (Ω)$ द्वारा दर्शाया गया है:

L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.

एक वैकल्पिक परिभाषा, जो पूरी तरह से स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के लिए दी गई परिभाषा के समान है, स्थानीय रूप से पी-पूर्णांक कार्यों के लिए भी दी जा सकती है: यह इस खंड में दी गई परिभाषा के समतुल्य भी हो सकती है और सिद्ध भी हो सकती है।^[10] उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के अतिरिक्त, स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य प्रत्येक पी के लिए स्थानीय रूप से पूर्णांक कार्य का एक उपसमूह बनाते हैं जैसे कि $1 < p \leq +\infty$ .^[11]

संकेतन

विभिन्न ग्लिफ़ के अतिरिक्त जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है,^[12] स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के समुच्चय के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं

$L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (होर्मेंडर 1990, p. 37), (स्ट्रिचर्ट्ज़ 2003, pp. 12–13) और (व्लादिमीरोव 2002, p. 3).
$L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) और Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44).
$L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ja 1985, p. 6) और (Maz'ya 2011, p. 2).

गुण

एल_p,loc सभी p ≥ 1 के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान है

प्रमेय 1.^[13] $L p,loc$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:

d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),

जहां ${ω k} k \geq1$ ऐसे गैर खाली खुले समुच्चयों का परिवार है

$ω k \subset\subset ω k +1$ , कारण है कि $ω k$ को कॉम्पैक्ट रूप से सम्मिलित किया गया है $ω k +1$ अर्थात यह समुच्चय है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के समुच्चय में सख्ती से सम्मिलित किया गया है।
$\cup k ω k = Ω$ .
$\scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}$ , के ∈ $\mathbb {N}$ सेमिनोर्म का अनुक्रमित परिवार है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

{\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).

सन्दर्भों में (गिल्बर्ग & ट्रूडिंगर 1998, p. 147), (माज़्या & पोबोर्ची 1997, p. 5), (माज़्या 1985, p. 6) और (माज़्या 2011, p. 2), यह प्रमेय बताया गया है किन्तु औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है:^[14] अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी सम्मिलित है, (मीस & वोग्ट 1997, p. 40) में पाया जाता है .

L_p सभी p ≥ 1 के लिए L_1,loc का एक उपसमष्टि है

प्रमेय 2. $L p (Ω)$ , $1 \leq p \leq +\infty$ से संबंधित प्रत्येक फलन $f$ जहां $Ω$ का खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ , स्थानीय रूप से एकीकृत है।

प्रमाण । स्थिति $p = 1$ तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है कि $1 < p \leq +\infty$ . के एक सघन उपसमुच्चय K के विशिष्ट फलन $χ K$ पर विचार करें: फिर, $p \leq +\infty$ के लिए,

\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,

कहाँ

$q$ धनात्मक संख्या है जैसे कि $1/ p + 1/ q$ = $1$ किसी प्रदत्त के लिए $1 \leq p \leq +\infty$
$| K |$ कॉम्पैक्ट समुच्चय का लेबेस्ग माप है $K$

फिर $L p (Ω)$ से संबंधित किसी भी $f$ के लिए, होल्डर की असमानता से, उत्पाद (गणित) $fχ K$ एकीकृत कार्य है अर्थात $L 1 (Ω)$ संबंधित है और

{\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,

इसलिए

f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).

ध्यान दें कि चूँकि निम्नलिखित असमानता सत्य है

{\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,

प्रमेय केवल स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्यों के स्थान से संबंधित कार्यों $f$ के लिए भी सत्य है, इसलिए प्रमेय निम्नलिखित परिणाम का भी तात्पर्य करता है।

परिणाम 1. प्रत्येक फलन $f$ में $L_{p,loc}(\Omega )$ , $1<p\leq \infty$ , स्थानीय रूप से एकीकृत है, i. इ। से संबंधित $L_{1,loc}(\Omega )$ .

नोट: यदि $\Omega$ का खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ वह भी परिबद्ध है, सीमा में मानक समावेशन होता है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है $L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ . किन्तु इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि $\Omega$ परिबद्ध नहीं है; सीमा यह अभी भी सच है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ किसी के लिए $p$ , किन्तु ऐसा नहीं $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ . इसे देखने के लिए, सामान्यतः वेरिएबल पर विचार किया जाता है $u(x)=1$ , जो इसमें है $L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ किन्तु अंदर नहीं $L_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ किसी भी परिमित के लिए $p$ .

L_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है

प्रमेय 3. फलन $f$ पूर्ण निरंतरता का घनत्व वेरिएबल (माप सिद्धांत) है उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि $f\in L_{1,loc}$ .

इस परिणाम का प्रमाण (श्वार्ट्ज 1998, p. 18) द्वारा चित्रित किया गया है। अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल एक बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय एक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।^[15]

उदाहरण

निरंतर कार्य $1$ वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थानीय रूप से एकीकृत है किन्तु विश्व स्तर पर एकीकृत नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, स्थिरांक (गणित), निरंतर कार्य^[16] और एकीकृत कार्य स्थानीय रूप से एकीकृत होते हैं।^[17]
कार्यक्रम $f(x)=1/x$ x ∈ (0, 1) के लिए स्थानीय रूप से है किन्तु वैश्विक रूप से (0, 1) पर एकीकृत नहीं है। यह स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K ⊆ (0, 1) की 0 से धनात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाप्रत्येकण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
कार्यक्रम

f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R}

स्थानीय रूप से एकीकृत नहीं है

x = 0

: यह वास्तव में इस बिंदु के निकट स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि इसे सम्मिलित किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए,

1/ x \in L 1,loc

(

\mathbb {R}

\ 0):^[18] चूँकि , इस वेरिएबल को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है

\mathbb {R}

कॉची प्रमुख मूल्य के रूप में।^[19]

पिछला उदाप्रत्येकण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक वेरिएबल जो स्थानीय रूप से एकीकृत है $Ω$ ⊊ $\mathbb {R}$ संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें $\mathbb {R}$ वितरण के रूप में? उत्तर ऋणात्मक है, और प्रतिउदाप्रत्येकण निम्नलिखित वेरिएबल द्वारा प्रदान किया गया है:

f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}

किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है

\mathbb {R}

.^[20]

निम्नलिखित उदाप्रत्येकण, पिछले उदाप्रत्येकण के समान, वेरिएबल से संबंधित है $L 1,loc$ ( $\mathbb {R}$ \ 0) जो अनियमित विलक्षणता वाले विभेदक ऑपरेटरों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाप्रत्येकण के रूप में कार्य करता है:

f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}

जहां

k 1

और

k 2

समष्टि संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण

x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.

फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है

\mathbb {R}

, यदि

k 1

या

k 2

शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।^[21]

अनुप्रयोग

स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल वितरण (गणित) में प्रमुख भूमिका निभाते हैं और वह वेरिएबल (गणित) और वेरिएबल स्पेस के विभिन्न वर्गों की परिभाषा में होते हैं, जैसे कि बाध्य भिन्नता। इसके अतिरिक्त, वह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में प्रत्येक माप के बिल्कुल निरंतर भाग को चिह्नित करके प्रकट होते हैं।

यह भी देखें

कॉम्पैक्ट समुच्चय
वितरण (गणित)
लेब्सग्यू का घनत्व प्रमेय
लेब्सेग विभेदन प्रमेय
लेब्सग इंटीग्रल
एलपी स्पेस

↑ According to Gel'fand & Shilov (1964, p. 3).
↑ ^2.0 ^2.1 See for example (Schwartz 1998, p. 18) and (Vladimirov 2002, p. 3).
↑ Another slight variant of this definition, chosen by Vladimirov (2002, p. 1), is to require only that $K ⋐ Ω$ (or, using the notation of Gilbarg & Trudinger (2001, p. 9), $K \subset\subset Ω$ ), meaning that $K$ is strictly included in $Ω$ i.e. it is a set having compact closure strictly included in the given ambient set.
↑ The notion of compactness must obviously be defined on the given abstract measure space.
↑ This is the approach developed for example by Cafiero (1959, pp. 285–342) and by Saks (1937, chapter I), without dealing explicitly with the locally integrable case.
↑ See for example (Strichartz 2003, pp. 12–13).
↑ This approach was praised by Schwartz (1998, pp. 16–17) who remarked also its usefulness, however using Definition 1 to define locally integrable functions.
↑ Be noted that Maz'ya and Shaposhnikova define explicitly only the "localized" version of the Sobolev space $W k, p (Ω)$ , nevertheless explicitly asserting that the same method is used to define localized versions of all other Banach spaces used in the cited book: in particular, $L p,loc (Ω)$ is introduced on page 44.
↑ ^9.0 ^9.1 See for example (Vladimirov 2002, p. 3) and (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4).
↑ As remarked in the previous section, this is the approach adopted by Maz'ya & Shaposhnikova (2009), without developing the elementary details.
↑ Precisely, they form a vector subspace of $L 1,loc (Ω)$ : see Corollary 1 to Theorem 2.
↑ See for example (Vladimirov 2002, p. 3), where a calligraphic ℒ is used.
↑ See (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5) for a statement of this results, and also the brief notes in (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2).
↑ Gilbarg & Trudinger (1998, p. 147) and Maz'ya & Poborchi (1997, p. 5) only sketch very briefly the method of proof, while in (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2) it is assumed as a known result, from which the subsequent development starts.
↑ According to Saks (1937, p. 36), "If $E$ is a set of finite measure, or, more generally the sum of a sequence of sets of finite measure ( $μ$ ), then, in order that an additive function of a set ( $𝔛$ ) on $E$ be absolutely continuous on $E$ , it is necessary and sufficient that this function of a set be the indefinite integral of some integrable function of a point of $E$ ". Assuming ( $μ$ ) to be the Lebesgue measure, the two statements can be seen to be equivalent.
↑ See for example (Hörmander 1990, p. 37).
↑ See (Strichartz 2003, p. 12).
↑ See (Schwartz 1998, p. 19).
↑ See (Vladimirov 2002, pp. 19–21).
↑ See (Vladimirov 2002, p. 21).
↑ For a brief discussion of this example, see (Schwartz 1998, pp. 131–132).

संदर्भ

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Saks, Stanisław (1937), Theory of the Integral, Monografie Matematyczne, vol. 7 (2nd ed.), Warszawa-Lwów: G.E. Stechert & Co., pp. VI+347, JFM 63.0183.05, MR 0167578, Zbl 0017.30004. English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach: the Mathematical Reviews number refers to the Dover Publications 1964 edition, which is basically a reprint.
Schwartz, Laurent (1998) [1966], Théorie des distributions, Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (in français), vol. No. IX–X (Nouvelle ed.), Paris: Hermann Éditeurs, pp. xiii+420, ISBN 2-7056-5551-4, MR 0209834, Zbl 0149.09501.
Strichartz, Robert S. (2003), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms (2nd printing ed.), River Edge, NJ: World Scientific Publishers, pp. x+226, ISBN 981-238-430-8, MR 2000535, Zbl 1029.46039.
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बाप्रत्येकी संबंध

रोलैंड, टॉड. रूप से एकीकृत.html "स्थानीय रूप से एकीकृत". MathWorld. {{cite web}}: Check |url= value (help)
विनोग्रादोवा, I.A. (2001) [1994], "स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

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[1] According to Gel'fand & Shilov (1964, p. 3).

[ScVl-2] 2.0 ^2.1 See for example (Schwartz 1998, p. 18) and (Vladimirov 2002, p. 3).

[3] Another slight variant of this definition, chosen by Vladimirov (2002, p. 1), is to require only that $K ⋐ Ω$ (or, using the notation of Gilbarg & Trudinger (2001, p. 9), $K \subset\subset Ω$ ), meaning that $K$ is strictly included in $Ω$ i.e. it is a set having compact closure strictly included in the given ambient set.

[4] The notion of compactness must obviously be defined on the given abstract measure space.

[5] This is the approach developed for example by Cafiero (1959, pp. 285–342) and by Saks (1937, chapter I), without dealing explicitly with the locally integrable case.

[6] See for example (Strichartz 2003, pp. 12–13).

[7] This approach was praised by Schwartz (1998, pp. 16–17) who remarked also its usefulness, however using Definition 1 to define locally integrable functions.

[8] Be noted that Maz'ya and Shaposhnikova define explicitly only the "localized" version of the Sobolev space $W k, p (Ω)$ , nevertheless explicitly asserting that the same method is used to define localized versions of all other Banach spaces used in the cited book: in particular, $L p,loc (Ω)$ is introduced on page 44.

[Vlp3-9] 9.0 ^9.1 See for example (Vladimirov 2002, p. 3) and (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4).

[10] As remarked in the previous section, this is the approach adopted by Maz'ya & Shaposhnikova (2009), without developing the elementary details.

[11] Precisely, they form a vector subspace of $L 1,loc (Ω)$ : see Corollary 1 to Theorem 2.

[12] See for example (Vladimirov 2002, p. 3), where a calligraphic ℒ is used.

[13] See (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5) for a statement of this results, and also the brief notes in (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2).

[14] Gilbarg & Trudinger (1998, p. 147) and Maz'ya & Poborchi (1997, p. 5) only sketch very briefly the method of proof, while in (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2) it is assumed as a known result, from which the subsequent development starts.

[15] According to Saks (1937, p. 36), "If $E$ is a set of finite measure, or, more generally the sum of a sequence of sets of finite measure ( $μ$ ), then, in order that an additive function of a set ( $𝔛$ ) on $E$ be absolutely continuous on $E$ , it is necessary and sufficient that this function of a set be the indefinite integral of some integrable function of a point of $E$ ". Assuming ( $μ$ ) to be the Lebesgue measure, the two statements can be seen to be equivalent.

[16] See for example (Hörmander 1990, p. 37).

[17] See (Strichartz 2003, p. 12).

[18] See (Schwartz 1998, p. 19).

[19] See (Vladimirov 2002, pp. 19–21).

[20] See (Vladimirov 2002, p. 21).

[21] For a brief discussion of this example, see (Schwartz 1998, pp. 131–132).

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-गणित में, '''स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल''' (कभी-कभी इसे स्थानीय रूप से सारांशित वेरिएबल भी कहा जाता है)<ref>According to {{harvtxt|Gel'fand|Shilov|1964|p=3}}.</ref> [[फ़ंक्शन (गणित)|वेरिएबल (गणित)]] है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फ़ंक्शंस का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका [[कार्य स्थान]] Lp स्पेस के समान है{{math|''L''<sup>''p''</sup>}} रिक्त स्थान, किन्तु    इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है सीमा  अनंत पर): दूसरे शब्दों में, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य डोमेन सीमा पर इच्छानुसार    से तेजी से बढ़ सकते हैं, किन्तु    अभी भी सामान्य एकीकृत कार्यों के समान ही प्रबंधनीय हैं।
+गणित में, '''स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल''' (जिसे कभी-कभी '''स्थानीय रूप से सारांशित वेरिएबल''' भी कहा जाता है)<ref>According to {{harvtxt|Gel'fand|Shilov|1964|p=3}}.</ref> एक ऐसा [[फ़ंक्शन (गणित)|वेरिएबल (गणित)]] है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फ़ंक्शंस का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका [[कार्य स्थान]] {{math|''L''<sup>''p''</sup>}} स्पेस के समान है रिक्त
+स्थान, किन्तु इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है सीमा अनंत पर): दूसरे शब्दों में, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य डोमेन सीमा पर इच्छानुसार तेजी से बढ़ सकते हैं, किन्तु अभी भी सामान्य एकीकृत कार्यों के समान ही प्रबंधनीय हैं।
 == '''परिभाषा''' ==
 ===मानक परिभाषा===
-{{EquationRef|1|Definition 1}}.<ref name="ScVl">See for example {{Harv|Schwartz|1998|p=18}} and {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}}.</ref> होने देना {{math|Ω}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष में [[खुला सेट|खुला समुच्चय]] बनें <math>\mathbb{R}^n</math> और {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} [[लेब्सेग माप]] मापने योग्य वेरिएबल बनें। अगर {{math|''f''}} पर {{math|Ω}} इस प्रकार कि
+{{EquationRef|1|परिभाषा 1}}.<ref name="ScVl">See for example {{Harv|Schwartz|1998|p=18}} and {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}}.</ref> मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में {{math|Ω}} [[खुला सेट|खुला समुच्चय]] बनें <math>\mathbb{R}^n</math> और {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} [[लेब्सेग माप]] मापने योग्य वेरिएबल बनें। यदि  {{math|Ω}}  पर {{math|''f''}}  इस प्रकार कि
 :<math> \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty,</math>
-अर्थात इसका [[लेब्सग इंटीग्रल]] सभी [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] पर सीमित है {{math|''K''}} का {{math|Ω}},<ref>Another slight variant of this definition, chosen by {{harvtxt|Vladimirov|2002|p=1}}, is to require only that {{math|''K'' ⋐ Ω}} (or, using the notation of {{harvtxt|Gilbarg|Trudinger|2001|p=9}}, {{math|''K'' ⊂⊂ Ω}}), meaning that {{math|''K''}} ''is strictly included in'' {{math|Ω}} i.e. it is a set having compact [[Closure (topology)|closure]] [[subset|strictly included]] in the given ambient set.</ref> तब {{math|''f''}} को स्थानीय रूप से एकीकृत कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}}:
+अर्थात इसका [[लेब्सग इंटीग्रल]] {{math|Ω}} के सभी [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय]] {{math|''K''}} पर परिमित है,<ref>Another slight variant of this definition, chosen by {{harvtxt|Vladimirov|2002|p=1}}, is to require only that {{math|''K'' ⋐ Ω}} (or, using the notation of {{harvtxt|Gilbarg|Trudinger|2001|p=9}}, {{math|''K'' ⊂⊂ Ω}}), meaning that {{math|''K''}} ''is strictly included in'' {{math|Ω}} i.e. it is a set having compact [[Closure (topology)|closure]] [[subset|strictly included]] in the given ambient set.</ref> तब {{math|''f''}}  को स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल कहा जाता है। ऐसे सभी कार्यों का समुच्चय (गणित) {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}} द्वारा दर्शाया जाता है :
 :<math>L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)=\bigl\{f\colon \Omega\to\mathbb{C}\text{ measurable} : f|_K \in L_1(K)\ \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compact}\bigr\},</math>
-कहाँ <math display=inline>\left.f\right|_K</math> के कार्य के प्रतिबंध को दर्शाता है {{math|''f''}} समुच्चय पर {{math|''K''}}.
+जहां<math display=inline>\left.f\right|_K</math> के कार्य समुच्चय K पर f के प्रतिबंध को दर्शाता है।
-स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल की मौलिक   परिभाषा में केवल [[माप सिद्धांत]] और [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] सम्मिलित है<ref>The notion of compactness must obviously be defined on the given abstract measure space.</ref> अवधारणाओं और टोपोलॉजिकल माप स्थान पर [[जटिल संख्या|समष्टि संख्या]] | समष्टि-मूल्यवान कार्यों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है {{math|(''X'', Σ, ''μ'')}}:<ref>This is the approach developed for example by {{harvtxt|Cafiero|1959|pp=285–342}} and by {{harvtxt|Saks|1937|loc = chapter I}}, without dealing explicitly with the locally integrable case.</ref> चूँकि   , चूँकि ऐसे फ़ंक्शंस का सबसे आम अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर [[वितरण (गणित)]] के लिए है,<ref name="ScVl"/> इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण स्थितियों   से संबंधित हैं।
+स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल की मौलिक परिभाषा में केवल [[माप सिद्धांत|सैद्धांतिक]] और [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] अवधारणाओं को मापना सम्मिलित है<ref>The notion of compactness must obviously be defined on the given abstract measure space.</ref> और इसे टोपोलॉजिकल माप स्थान {{math|(''X'', Σ, ''μ'')}} पर समष्टि-मूल्यवान कार्यों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है :<ref>This is the approach developed for example by {{harvtxt|Cafiero|1959|pp=285–342}} and by {{harvtxt|Saks|1937|loc = chapter I}}, without dealing explicitly with the locally integrable case.</ref> चूँकि , चूँकि ऐसे फ़ंक्शंस का सबसे सामान्य अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर [[वितरण (गणित)|वितरण सिद्धांत]] के लिए है,<ref name="ScVl"/> इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण स्थितियों से संबंधित हैं।
 ===एक वैकल्पिक परिभाषा===
-{{EquationRef|2|Definition 2}}.<ref>See for example {{Harv|Strichartz|2003|pp=12–13}}.</ref> होने देना {{math|Ω}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष में खुला समुच्चय बनें <math>\mathbb{R}^n</math>. फिर वेरिएबल (गणित) {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} ऐसा है कि
+{{EquationRef|2|परिभाषा 2}}.<ref>See for example {{Harv|Strichartz|2003|pp=12–13}}.</ref> मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में  {{math|Ω}} खुला समुच्चय है <math>\mathbb{R}^n</math>. फिर वेरिएबल (गणित) {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} ऐसा है कि
 :<math> \int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty,</math>
-प्रत्येक परीक्षण वेरिएबल के लिए {{math|''φ'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} को स्थानीय रूप से एकीकृत कहा जाता है, और ऐसे कार्यों के समुच्चय को इसके द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}}. यहाँ {{math|{{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय को दर्शाता है {{math|''φ'' : Ω → <math>\mathbb{R}</math>}} समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सम्मिलित है {{math|Ω}}.
+प्रत्येक परीक्षण वेरिएबल के लिए {{math|''φ'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} को स्थानीय रूप से पूर्णांक कहा जाता है, और ऐसे कार्यों के समुच्चय को {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}} कें द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ {{math|{{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय {{math|''φ'' : Ω → <math>\mathbb{R}</math>}} को दर्शाता है  समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ {{math|Ω}} सम्मिलित है।
-इस परिभाषा की जड़ें माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं, जो [[निकोलस बॉर्बकी]] स्कूल द्वारा विकसित [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस]] पर सतत रैखिक कार्यात्मक सतत रैखिक कार्यात्मक की अवधारणा पर आधारित है:<ref>This approach was praised by {{harvtxt|Schwartz|1998|pp=16–17}} who remarked also its usefulness, however using {{EquationNote|1|Definition&nbsp;1}} to define locally integrable functions.</ref> यह वह भी है जिसे अपनाया गया है {{Harvtxt|स्ट्रिचर्ट्ज़|2003}} और तक {{Harvtxt|Maz'ya|Shaposhnikova|2009|p=34}}.<ref>Be noted that Maz'ya and Shaposhnikova define explicitly only the "localized" version of the [[Sobolev space]] {{math|''W''<sup>''k'',''p''</sup>(Ω)}}, nevertheless explicitly asserting that the same method is used to define localized versions of all other [[Banach space]]s used in the cited book: in particular,  {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>(Ω)}} is introduced on page 44.</ref> यह वितरण सिद्धांत संबंधी परिभाषा मानक परिभाषा के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध करता है:
+इस परिभाषा की जड़ें [[निकोलस बॉर्बकी]] स्कूल द्वारा विकसित [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस]] पर सतत रैखिक कार्यात्मक की अवधारणा के आधार पर माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं:<ref>This approach was praised by {{harvtxt|Schwartz|1998|pp=16–17}} who remarked also its usefulness, however using {{EquationNote|1|Definition&nbsp;1}} to define locally integrable functions.</ref> यह {{Harvtxt|स्ट्रिचर्ट्ज़|2003}} और द्वारा भी अपनाया गया है।  {{Harvtxt|माज़्या|शापोशनिकोवा|2009|p=34}}.<ref>Be noted that Maz'ya and Shaposhnikova define explicitly only the "localized" version of the [[Sobolev space]] {{math|''W''<sup>''k'',''p''</sup>(Ω)}}, nevertheless explicitly asserting that the same method is used to define localized versions of all other [[Banach space]]s used in the cited book: in particular,  {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>(Ω)}} is introduced on page 44.</ref> यह '''"वितरण सिद्धांत"''' संबंधी परिभाषा मानक के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित लेम्मा प्रमेय सिद्ध करता है:
-{{EquationRef|3|Lemma 1}}. दिया गया वेरिएबल {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}} यदि और केवल यदि यह स्थानीय रूप से एकीकृत है {{EquationNote|2|परिभाषा&nbsp;2}}, अर्थात।
+{{EquationRef|3|लेम्मा 1}}. दिया गया वेरिएबल {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}} के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है  यदि और केवल यदि यह {{EquationNote|2|परिभाषा&nbsp;2}} के अनुसार स्थानीय रूप से पूर्णीकृत है, अर्थात।
 :<math> \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compact} \quad \Longleftrightarrow \quad
 \int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, \varphi \in C^\infty_{\mathrm{c}}(\Omega).</math>
-===का प्रमाण {{EquationNote|3|Lemma&nbsp;1}}===
+==={{EquationNote|3|लेम्मा&nbsp;1}} का प्रमाण ===
-यदि भाग: चलो {{math|''φ'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} परीक्षण वेरिएबल बनें। यह अपने सर्वोच्च मानदंड से [[चरम मूल्य प्रमेय]] है {{math|<nowiki>||</nowiki>''φ''<nowiki>||</nowiki><sub>∞</sub>}}, मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित)#कॉम्पैक्ट समर्थन है, आइए इसे कॉल करें {{math|''K''}}. इस तरह
+'''यदि भाग:''' मान लीजिए {{math|''φ'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} एक परीक्षण वेरिएबल हो। यह अपने सर्वोच्च मानदंड {{math|<nowiki>||</nowiki>''φ''<nowiki>||</nowiki><sub>∞</sub>}} से [[चरम मूल्य प्रमेय]] है , मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन है, इसलिए इसे K कहते हैं।
 :<math>\int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x = \int_K |f|\,|\varphi|\, \mathrm{d}x \le\|\varphi\|_\infty\int_K | f |\, \mathrm{d}x<\infty</math>
 द्वारा {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}}.
-केवल यदि भाग: चलो {{math|''K''}} खुले समुच्चय का संहत उपसमुच्चय बनें {{math|Ω}}. हम पहले परीक्षण वेरिएबल का निर्माण करेंगे {{math|''φ<sub>K</sub>'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} जो संकेतक वेरिएबल को प्रमुखता देता है {{math|''χ<sub>K</sub>''}} का {{math|''K''}}.
+'''केवल यदि भाग:''' मान लीजिए {{math|''K''}} खुले समुच्चय {{math|Ω}} का एक संहत उपसमुच्चय है। हम पहले परीक्षण वेरिएबल {{math|''φ<sub>K</sub>'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} का निर्माण करेंगे जो K के संकेतक फ़ंक्शन {{math|''χ<sub>K</sub>''}} को प्रमुखता देता है। {{math|''K''}} और सीमा {{math|∂Ω}} के बीच सामान्य निर्धारित दूरी सख्ती से शून्य से अधिक है, अर्थात।
-दूरी समुच्चय के मध्य  और बिंदु और समुच्चय के मध्य  की दूरी<ref>Not to be confused with the [[Hausdorff distance]].</ref> मध्य  में {{math|''K''}} और [[सीमा (टोपोलॉजी)]] {{math|∂Ω}} पूर्णतया शून्य से बड़ा है, अर्थात
 :<math>\Delta:=d(K,\partial\Omega)>0,</math>
-इसलिए [[वास्तविक संख्या]] चुनना संभव है {{math|''δ''}} ऐसा है कि {{math|Δ > 2''δ'' > 0}} (अगर {{math|∂Ω}} खाली समुच्चय है, ले लो {{math|Δ {{=}} ∞}}). होने देना {{math|''K<sub>δ</sub>''}} और {{math|''K''<sub>2''δ''</sub>}} क्लोजर (टोपोलॉजी) समुच्चय नेबरहुड का क्लोजर (गणित) मीट्रिक स्पेस में|{{math|''δ''}}-पड़ोस और {{math|2''δ''}}-का पड़ोस {{math|''K''}}, क्रमश। वह वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं
+इसलिए [[वास्तविक संख्या]] {{math|''δ''}} चुनना संभव है  जैसे कि {{math|Δ > 2''δ'' > 0}} (यदि  {{math|∂Ω}} खाली समुच्चय है, तब  {{math|Δ {{=}} ∞}} लें). मान लीजिए कि  {{math|''K<sub>δ</sub>''}} और {{math|''K''<sub>2''δ''</sub>}} क्रमशः K के बंद {{math|''δ''}}-पड़ोस और {{math|2''δ''}}-पड़ोस को दर्शाते हैं। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं
 :<math>K\subset K_\delta\subset K_{2\delta}\subset\Omega,\qquad d(K_\delta,\partial\Omega)=\Delta-\delta>\delta>0.</math>
-अब वेरिएबल को परिभाषित करने के लिए [[कनवल्शन]] का उपयोग करें {{math|''φ<sub>K</sub>'' : Ω → <math>\mathbb{R}</math>}} द्वारा
+अब वेरिएबल {{math|''φ<sub>K</sub>'' : Ω → <math>\mathbb{R}</math>}} को परिभाषित करने के लिए [[कनवल्शन]] का उपयोग करें‚
 :<math>\varphi_K(x)={\chi_{K_\delta}\ast\varphi_\delta(x)}=
 \int_{\mathbb{R}^n}\chi_{K_\delta}(y)\,\varphi_\delta(x-y)\,\mathrm{d}y,</math>
-कहाँ {{math|''φ<sub>δ</sub>''}} [[शांत करनेवाला]] है जिसका निर्माण मोलिफ़ायर#कंक्रीट उदाहरण का उपयोग करके किया गया है। ज़ाहिर तौर से {{math|''φ<sub>K</sub>''}} इस अर्थ में गैर-ऋणात्मक है {{math|''φ<sub>K</sub>'' ≥ 0}}, असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन निहित है {{math|''K''<sub>2''δ''</sub>}}, विशेष रूप से यह परीक्षण वेरिएबल है। तब से {{math|''φ<sub>K</sub>''(''x'') {{=}} 1}} सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''K''}}, हमारे पास वह है {{math|''χ<sub>K</sub>'' ≤ ''φ<sub>K</sub>''}}.
+जहां {{math|''φ<sub>δ</sub>''}} मानक सकारात्मक सममिति का उपयोग करके निर्मित एक मोलिफ़ायर है। स्पष्ट रूप से {{math|''φ<sub>K</sub>''}} इस अर्थ में गैर-ऋणात्मक है कि {{math|''φ<sub>K</sub>'' ≥ 0}}, असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन {{math|''K''<sub>2''δ''</sub>}} में निहित है , विशेष रूप से यह परीक्षण वेरिएबल है। चूँकि सभी {{math|''x'' ∈ ''K''}}  के लिए {{math|''φ<sub>K</sub>''(''x'') {{=}} 1}} हमारे पास वह  {{math|''χ<sub>K</sub>'' ≤ ''φ<sub>K</sub>''}}. है।
-होने देना {{math|''f''}} के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल बनें {{EquationNote|2|परिभाषा&nbsp;2}}. तब
+मान लीजिए {{EquationNote|2|परिभाषा&nbsp;2}} के अनुसार   {{math|''f''}}  एक स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल बनें . तब
 :<math>\int_K|f|\,\mathrm{d}x=\int_\Omega|f|\chi_K\,\mathrm{d}x
 \le\int_\Omega|f|\varphi_K\,\mathrm{d}x<\infty.
 </math>
-चूँकि यह प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के लिए प्रयुक्त    होता है {{math|''K''}} का {{math|Ω}}, कार्यक्रम {{math|''f''}} के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}}. □
+चूँकि यह {{math|Ω}} के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय {{math|''K''}} के लिए प्रयुक्त होता है, फ़ंक्शन {{math|''f''}}  {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}} के अनुसार स्थानीय रूप से पूर्णांकित है। □
 ===सामान्यीकरण: स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य===
-{{EquationRef|4|Definition 3}}.<ref name="Vlp3">See for example {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}} and {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=4}}.</ref> होने देना {{math|Ω}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष में खुला समुच्चय बनें <math>\mathbb{R}^n</math> और {{math|''f'' : Ω → }}<math>\mathbb{C}</math> लेबेस्ग्यू मापने योग्य वेरिएबल बनें। यदि, किसी दिए गए के लिए {{math|''p''}} साथ {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}}, {{math|''f''}} संतुष्ट करता है
+{{EquationRef|4|परिभाषा 3}}.<ref name="Vlp3">See for example {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}} and {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=4}}.</ref> मान लीजिए कि   यूक्लिडियन स्थान में {{math|Ω}} खुला समुच्चय है  <math>\mathbb{R}^n</math> और {{math|''f'' : Ω → }}<math>\mathbb{C}</math> एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य वेरिएबल हो। यदि, {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}} के साथ दिए गए  {{math|''p''}} के लिए, {{math|''f''}} संतुष्ट करता है
 :<math> \int_K | f|^p \,\mathrm{d}x <+\infty,</math>
-अर्थात, यह का है {{math|[[Lp space|''L''<sub>''p''</sub>(''K'')]]}} सभी कॉम्पैक्ट समुच्चय के लिए {{math|''K''}} का {{math|Ω}}, तब {{math|''f''}} को स्थानीय रूप से कहा जाता है {{math|''p''}}-अभिन्न या भी {{math|''p''}}-स्थानीय रूप से एकीकृत।<ref name="Vlp3"/> ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>(Ω)}}:
+अर्थात, यह {{math|Ω}} के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय {{math|''K''}} के लिए  {{math|[[Lp space|''L''<sub>''p''</sub>(''K'')]]}} से संबंधित है, तो f को स्थानीय रूप से p-इंटीग्रेबल या p-स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल भी कहा जाता है।<ref name="Vlp3"/>  ऐसे सभी फलनों का समुच्चय  {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>(Ω)}} द्वारा दर्शाया गया है:
 :<math>L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C}\text{ measurable }\left|\ f|_K \in L_p(K),\ \forall\, K \subset \Omega, K \text{ compact}\right.\right\}.</math>
-स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के लिए दी गई वैकल्पिक परिभाषा, पूरी तरह से अनुरूप, स्थानीय रूप से भी दी जा सकती है {{math|''p''}}-अभिन्न कार्य: यह इस खंड के समतुल्य भी हो सकता है और सिद्ध भी हो सकता है।<ref>As remarked in the previous section, this is the approach adopted by {{harvtxt|Maz'ya|Shaposhnikova|2009}}, without developing the elementary details.</ref> स्थानीय स्तर पर उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के अतिरिक्त    {{math|''p''}}-अभिन्न कार्य प्रत्येक के लिए स्थानीय रूप से पूर्ण करने योग्य कार्यों का उपसमूह बनाते हैं {{math|''p''}} ऐसा है कि {{math|1 < ''p'' ≤ +∞}}.<ref>Precisely, they form a [[vector subspace]] of {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}}: see {{EquationNote|7|Corollary&nbsp;1}} to {{EquationNote|6|Theorem&nbsp;2}}.</ref>
+एक वैकल्पिक परिभाषा, जो पूरी तरह से स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के लिए दी गई परिभाषा के समान है, स्थानीय रूप से पी-पूर्णांक कार्यों के लिए भी दी जा सकती है: यह इस खंड में दी गई परिभाषा के समतुल्य भी हो सकती है और सिद्ध भी हो सकती है।<ref>As remarked in the previous section, this is the approach adopted by {{harvtxt|Maz'ya|Shaposhnikova|2009}}, without developing the elementary details.</ref> उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के अतिरिक्त, स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य प्रत्येक पी के लिए स्थानीय रूप से पूर्णांक कार्य का एक उपसमूह बनाते हैं जैसे कि {{math|1 < ''p'' ≤ +∞}}.<ref>Precisely, they form a [[vector subspace]] of {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}}: see {{EquationNote|7|Corollary&nbsp;1}} to {{EquationNote|6|Theorem&nbsp;2}}.</ref>
 === संकेतन ===
 विभिन्न [[ग्लिफ़]] के अतिरिक्त जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है,<ref>See for example {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}}, where a calligraphic '''ℒ''' is used.</ref> स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के समुच्चय के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं
@@ Line 69: / Line 69: @@
 == '''गुण''' ==
-===एल<sub>''p'',loc</sub> सभी p ≥ 1=== के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान है
+'''एल<sub>''p'',loc</sub> सभी p ≥ 1 के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान है'''
-{{EquationRef|5|Theorem 1}}.<ref>See {{harv|Gilbarg|Trudinger|1998|p=147}}, {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}} for a statement of this results, and also the brief notes in {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} and {{harv|Maz'ya|2011|p=2}}.</ref> {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>}} [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:
+{{EquationRef|5|प्रमेय 1}}.<ref>See {{harv|Gilbarg|Trudinger|1998|p=147}}, {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}} for a statement of this results, and also the brief notes in {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} and {{harv|Maz'ya|2011|p=2}}.</ref> {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>}} एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:
 :<math>d(u,v)=\sum_{k\geq 1}\frac{1}{2^k}\frac{\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}{1+\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}\qquad u, v\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega),</math>
-कहाँ {{math|{''ω''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''≥1</sub>}} ऐसे गैर खाली खुले समुच्चयों का परिवार है
+जहां{{math|{''ω''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''≥1</sub>}} ऐसे गैर खाली खुले समुच्चयों का परिवार है
-* {{math|''ω''<sub>''k''</sub> ⊂⊂ ''ω''<sub>''k''+1</sub>}}, कारण   है कि {{math|''ω''<sub>''k''</sub>}} को कॉम्पैक्ट रूप से सम्मिलित किया गया है {{math|''ω''<sub>''k''+1</sub>}} अर्थात यह समुच्चय है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के समुच्चय में सख्ती से सम्मिलित किया गया है।
+* {{math|''ω''<sub>''k''</sub> ⊂⊂ ''ω''<sub>''k''+1</sub>}}, कारण है कि {{math|''ω''<sub>''k''</sub>}} को कॉम्पैक्ट रूप से सम्मिलित किया गया है {{math|''ω''<sub>''k''+1</sub>}} अर्थात यह समुच्चय है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के समुच्चय में सख्ती से सम्मिलित किया गया है।
 * {{math|∪<sub>''k''</sub>''ω''<sub>''k''</sub> {{=}} Ω}}.
 * <math>\scriptstyle{\Vert\cdot\Vert_{p,\omega_k}}\to\mathbb{R}^+</math>, के ∈ <math>\mathbb{N}</math> [[सेमिनोर्म]] का [[अनुक्रमित परिवार]] है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 ::<math> {\Vert u \Vert_{p,\omega_k}} = \left (\int_{\omega_k} | u(x)|^p \,\mathrm{d}x\right)^{1/p}\qquad\forall\, u\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega).</math>
-सन्दर्भों में {{harv|गिल्बर्ग|ट्रूडिंगर|1998|p=147}}, {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}}, {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} और {{harv|Maz'ya|2011|p=2}}, यह प्रमेय बताया गया है किन्तु    औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है:<ref>{{harvtxt|Gilbarg|Trudinger|1998|p=147}} and {{harvtxt|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}} only sketch very briefly the method of proof, while in {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} and {{harv|Maz'ya|2011|p=2}} it is assumed as a known result, from which the subsequent development starts.</ref> अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी सम्मिलित है, पाया जाता है {{harv|मीस|वोग्ट|1997|p=40}}.
+सन्दर्भों में {{harv|गिल्बर्ग|ट्रूडिंगर|1998|p=147}}, {{harv|माज़्या|पोबोर्ची|1997|p=5}}, {{harv|माज़्या|1985|p=6}} और {{harv|माज़्या|2011|p=2}}, यह प्रमेय बताया गया है किन्तु औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है:<ref>{{harvtxt|Gilbarg|Trudinger|1998|p=147}} and {{harvtxt|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}} only sketch very briefly the method of proof, while in {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} and {{harv|Maz'ya|2011|p=2}} it is assumed as a known result, from which the subsequent development starts.</ref> अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी सम्मिलित है, {{harv|मीस|वोग्ट|1997|p=40}} में पाया जाता है .
-===एल<sub>''p''</sub> L का उपस्थान है<sub>1,loc</sub> सभी p ≥ 1=== के लिए
+'''''L<sub>p</sub>'' सभी p ≥ 1 के लिए ''L''<sub>1,loc</sub> का एक उपसमष्टि है'''
-{{EquationRef|6|Theorem 2}}. हर फलन  {{math|''f''}} से संबंधित {{math|''L''<sub>''p''</sub>(Ω)}}, {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}}, कहाँ {{math|Ω}} का [[खुला उपसमुच्चय]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, स्थानीय रूप से एकीकृत है।
+{{EquationRef|6|प्रमेय 2}}. {{math|''L''<sub>''p''</sub>(Ω)}}, {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}} से संबंधित प्रत्येक फलन {{math|''f''}}  जहां {{math|Ω}} का [[खुला उपसमुच्चय]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, स्थानीय रूप से एकीकृत है।
-प्रमाण । मामला {{math|''p'' {{=}} 1}} तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है {{math|1 < ''p'' ≤ +∞}}. संकेतक वेरिएबल पर विचार करें {{math|''χ''<sub>''K''</sub>}} सघन उपसमुच्चय का {{math|''K''}} का {{math|Ω}}: फिर, के लिए {{math|''p'' ≤ +∞}},
+प्रमाण । स्थिति {{math|''p'' {{=}} 1}} तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है कि {{math|1 < ''p'' ≤ +∞}}. के एक सघन उपसमुच्चय K के विशिष्ट फलन {{math|''χ''<sub>''K''</sub>}} पर विचार करें: फिर, {{math|''p'' ≤ +∞}} के लिए,
 :<math>\left|{\int_\Omega|\chi_K|^q\,\mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty,</math>
@@ Line 90: / Line 90: @@
 *{{math|''q''}} धनात्मक संख्या है जैसे कि {{math|1/''p'' + 1/''q''}} = {{math|1}} किसी प्रदत्त के लिए {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}}
 *{{math|<nowiki>|</nowiki>''K''<nowiki>|</nowiki>}} कॉम्पैक्ट समुच्चय का लेबेस्ग माप है {{math|''K''}}
-फिर किसी के लिए {{math|''f''}} से संबंधित {{math|''L''<sub>''p''</sub>(Ω)}}, होल्डर की असमानता से, [[उत्पाद (गणित)]] {{math|''fχ''<sub>''K''</sub>}} [[एकीकृत कार्य]] है अर्थात संबंधित है {{math|''L''<sub>1</sub>(Ω)}} और
+फिर {{math|''L''<sub>''p''</sub>(Ω)}} से संबंधित किसी भी  {{math|''f''}}  के लिए, होल्डर की असमानता से, [[उत्पाद (गणित)]] {{math|''fχ''<sub>''K''</sub>}} [[एकीकृत कार्य]] है अर्थात {{math|''L''<sub>1</sub>(Ω)}} संबंधित है  और
 :<math>{\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_\Omega|f|^p\,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f\|_p|K|^{1/q}<+\infty,</math>
@@ Line 99: / Line 99: @@
 :<math>{\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_K|f|^p \,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f \chi_K\|_p|K|^{1/q}<+\infty,</math>
-प्रमेय कार्यों के लिए भी सत्य है {{math|''f''}} केवल स्थानीय स्तर के स्थान से संबंधित {{math|''p''}}-अभिन्न कार्य, इसलिए प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित परिणाम से भी है।
+प्रमेय केवल स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्यों के स्थान से संबंधित कार्यों {{math|''f''}} के लिए भी सत्य है, इसलिए प्रमेय निम्नलिखित परिणाम का भी तात्पर्य करता है।
-{{EquationRef|7|परिणाम 1}}. हर फलन  <math> f </math> में <math>L_{p,loc}(\Omega)</math>, <math> 1<p\leq\infty </math>, स्थानीय रूप से एकीकृत है, i. इ। से संबंधित <math> L_{1,loc}(\Omega) </math>.
+{{EquationRef|7|परिणाम 1}}. प्रत्येक फलन <math> f </math> में <math>L_{p,loc}(\Omega)</math>, <math> 1<p\leq\infty </math>, स्थानीय रूप से एकीकृत है, i. इ। से संबंधित <math> L_{1,loc}(\Omega) </math>.
-नोट: यदि <math> \Omega </math> का खुला उपसमुच्चय है <math> \mathbb{R}^n</math> वह भी परिबद्ध है, सीमा  में मानक समावेशन होता है <math> L_p(\Omega) \subset L_1(\Omega)</math> जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है <math> L_1(\Omega)\subset L_{1,loc}(\Omega)</math>. किन्तु    इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि <math> \Omega </math> परिबद्ध नहीं है; सीमा  यह अभी भी सच है <math> L_p(\Omega) \subset L_{1,loc}(\Omega)</math> किसी के लिए <math>p</math>, किन्तु    ऐसा नहीं <math> L_p(\Omega)\subset L_1(\Omega) </math>. इसे देखने के लिए, सामान्यतः वेरिएबल पर विचार किया जाता है <math> u(x)=1 </math>, जो इसमें है <math> L_{\infty}(\mathbb{R}^n) </math> किन्तु    अंदर नहीं <math> L_p(\mathbb{R}^n)</math> किसी भी परिमित के लिए <math>p</math>.
+नोट: यदि <math> \Omega </math> का खुला उपसमुच्चय है <math> \mathbb{R}^n</math> वह भी परिबद्ध है, सीमा में मानक समावेशन होता है <math> L_p(\Omega) \subset L_1(\Omega)</math> जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है <math> L_1(\Omega)\subset L_{1,loc}(\Omega)</math>. किन्तु इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि <math> \Omega </math> परिबद्ध नहीं है; सीमा यह अभी भी सच है <math> L_p(\Omega) \subset L_{1,loc}(\Omega)</math> किसी के लिए <math>p</math>, किन्तु ऐसा नहीं <math> L_p(\Omega)\subset L_1(\Omega) </math>. इसे देखने के लिए, सामान्यतः वेरिएबल पर विचार किया जाता है <math> u(x)=1 </math>, जो इसमें है <math> L_{\infty}(\mathbb{R}^n) </math> किन्तु अंदर नहीं <math> L_p(\mathbb{R}^n)</math> किसी भी परिमित के लिए <math>p</math>.
-=== एल<sub>1,loc</sub> बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है ===
+=== L<sub>1,loc</sub> बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है ===
-{{EquationRef|7|प्रमेय 3}}. फलन  {{math|''f''}} पूर्ण निरंतरता का घनत्व वेरिएबल (माप सिद्धांत) है  उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि <math> f\in L_{1,loc}</math>.
+{{EquationRef|7|प्रमेय 3}}. फलन {{math|''f''}} पूर्ण निरंतरता का घनत्व वेरिएबल (माप सिद्धांत) है उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि <math> f\in L_{1,loc}</math>.
-इस परिणाम का प्रमाण रेखाचित्र द्वारा दिया गया है {{harv|श्वार्ट्ज|1998|p=18}}. अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय प्रामाणित    करता है कि प्रत्येक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।<ref>According to {{harvtxt|Saks|1937|p=36}}, "''If {{math|E}} is a set of finite measure, or, more generally the sum of a sequence of sets of finite measure ''(''{{math|μ}}'')'', then, in order that an additive function of a set ''({{math|𝔛}})'' on {{math|E}} be absolutely continuous on {{math|E}}, it is necessary and sufficient that this function of a set be the indefinite integral of some integrable function of a point of {{math|E}}''". Assuming ({{math|''μ''}}) to be the Lebesgue measure, the two statements can be seen to be equivalent.</ref>
+इस परिणाम का प्रमाण {{harv|श्वार्ट्ज|1998|p=18}} द्वारा चित्रित किया गया है। अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल एक बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय एक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।<ref>According to {{harvtxt|Saks|1937|p=36}}, "''If {{math|E}} is a set of finite measure, or, more generally the sum of a sequence of sets of finite measure ''(''{{math|μ}}'')'', then, in order that an additive function of a set ''({{math|𝔛}})'' on {{math|E}} be absolutely continuous on {{math|E}}, it is necessary and sufficient that this function of a set be the indefinite integral of some integrable function of a point of {{math|E}}''". Assuming ({{math|''μ''}}) to be the Lebesgue measure, the two statements can be seen to be equivalent.</ref>
 =='''उदाहरण'''==
-*निरंतर कार्य {{math|1}} वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थानीय रूप से एकीकृत है किन्तु    विश्व स्तर पर एकीकृत नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, [[स्थिरांक (गणित)]], निरंतर कार्य<ref>See for example {{harv|Hörmander|1990|p=37}}.</ref> और एकीकृत कार्य स्थानीय रूप से एकीकृत होते हैं।<ref>See {{harv|Strichartz|2003|p=12}}.</ref>
+*निरंतर कार्य {{math|1}} वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थानीय रूप से एकीकृत है किन्तु विश्व स्तर पर एकीकृत नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, [[स्थिरांक (गणित)]], निरंतर कार्य<ref>See for example {{harv|Hörmander|1990|p=37}}.</ref> और एकीकृत कार्य स्थानीय रूप से एकीकृत होते हैं।<ref>See {{harv|Strichartz|2003|p=12}}.</ref>
-*कार्यक्रम <math>f(x) = 1/x</math> x ∈ (0, 1) के लिए स्थानीय रूप से है किन्तु    वैश्विक रूप से (0, 1) पर एकीकृत नहीं है। यह स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K ⊆ (0, 1) की 0 से धनात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाहरण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
+*कार्यक्रम <math>f(x) = 1/x</math> x ∈ (0, 1) के लिए स्थानीय रूप से है किन्तु वैश्विक रूप से (0, 1) पर एकीकृत नहीं है। यह स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K ⊆ (0, 1) की 0 से धनात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाप्रत्येकण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
 * कार्यक्रम
@@ Line 122: / Line 122: @@
 \end{cases} \quad x \in \mathbb R
 </math>
-: स्थानीय रूप से एकीकृत नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}: यह वास्तव में इस बिंदु के निकट स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि इसे सम्मिलित किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, {{math|1/''x'' ∈ ''L''<sub>1,loc</sub>}}(<math>\mathbb{R}</math> \ 0):<ref>See {{harv|Schwartz|1998|p=19}}.</ref> चूँकि   , इस वेरिएबल को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है <math>\mathbb{R}</math> [[कॉची प्रमुख मूल्य]] के रूप में।<ref>See {{Harv|Vladimirov|2002|pp=19–21}}.</ref>
+: स्थानीय रूप से एकीकृत नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}: यह वास्तव में इस बिंदु के निकट स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि इसे सम्मिलित किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, {{math|1/''x'' ∈ ''L''<sub>1,loc</sub>}}(<math>\mathbb{R}</math> \ 0):<ref>See {{harv|Schwartz|1998|p=19}}.</ref> चूँकि , इस वेरिएबल को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है <math>\mathbb{R}</math> [[कॉची प्रमुख मूल्य]] के रूप में।<ref>See {{Harv|Vladimirov|2002|pp=19–21}}.</ref>
-* पिछला उदाहरण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक वेरिएबल जो स्थानीय रूप से एकीकृत है {{math|Ω}} ⊊ <math>\mathbb{R}</math> संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें <math>\mathbb{R}</math> वितरण के रूप में? उत्तर ऋणात्मक है, और प्रतिउदाहरण निम्नलिखित वेरिएबल द्वारा प्रदान किया गया है:
+* पिछला उदाप्रत्येकण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक वेरिएबल जो स्थानीय रूप से एकीकृत है {{math|Ω}} ⊊ <math>\mathbb{R}</math> संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें <math>\mathbb{R}</math> वितरण के रूप में? उत्तर ऋणात्मक है, और प्रतिउदाप्रत्येकण निम्नलिखित वेरिएबल द्वारा प्रदान किया गया है:
 :: <math>
 f(x)=
@@ Line 132: / Line 132: @@
 </math>
 : किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है <math>\mathbb{R}</math>.<ref>See {{Harv|Vladimirov|2002|p=21}}.</ref>
-:* निम्नलिखित उदाहरण, पिछले उदाहरण के समान, वेरिएबल से संबंधित है {{math|''L''<sub>1,loc</sub>}}(<math>\mathbb{R}</math>\ 0) जो [[अनियमित विलक्षणता]] वाले [[विभेदक ऑपरेटर]]ों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाहरण के रूप में कार्य करता है:
+:* निम्नलिखित उदाप्रत्येकण, पिछले उदाप्रत्येकण के समान, वेरिएबल से संबंधित है {{math|''L''<sub>1,loc</sub>}}(<math>\mathbb{R}</math>\ 0) जो [[अनियमित विलक्षणता]] वाले [[विभेदक ऑपरेटर]]ों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाप्रत्येकण के रूप में कार्य करता है:
 :: <math>
 f(x)=
@@ Line 141: / Line 141: @@
 \end{cases}
 </math>
-:कहाँ {{math|''k''<sub>1</sub>}} और {{math|''k''<sub>2</sub>}} समष्टि संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण
+:जहां{{math|''k''<sub>1</sub>}} और {{math|''k''<sub>2</sub>}} समष्टि संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण
 ::<math>x^3\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+2f=0.</math>
-:फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है <math>\mathbb{R}</math>, अगर {{math|''k''<sub>1</sub>}} या {{math|''k''<sub>2</sub>}} शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।<ref>For a brief discussion of this example, see {{harv|Schwartz|1998|pp=131–132}}.</ref>
+:फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है <math>\mathbb{R}</math>, यदि  {{math|''k''<sub>1</sub>}} या {{math|''k''<sub>2</sub>}} शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।<ref>For a brief discussion of this example, see {{harv|Schwartz|1998|pp=131–132}}.</ref>
 == '''अनुप्रयोग''' ==
@@ Line 173: / Line 173: @@
 | zbl = 0171.01503
 | language = यह
-}}. माप और एकीकरण (जैसा कि शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद पढ़ता है) एकीकरण और माप सिद्धांत पर एक निश्चित मोनोग्राफ है: माप-संबंधित संरचनाओं (मापने योग्य कार्य, [[मापने योग्य सेट|मापने योग्य समुच्चय]], माप) के विभिन्न प्रकार के [[अनुक्रमों]] के अभिन्न अंग के सीमित व्यवहार का उपचार और उनका संयोजन) कुछ सीमा  तक निर्णायक है।
+}}. माप और एकीकरण (जैसा कि शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद पढ़ता है) एकीकरण और माप सिद्धांत पर एक निश्चित मोनोग्राफ है: माप-संबंधित संरचनाओं (मापने योग्य कार्य, [[मापने योग्य सेट|मापने योग्य समुच्चय]], माप) के विभिन्न प्रकार के [[अनुक्रमों]] के अभिन्न अंग के सीमित व्यवहार का उपचार और उनका संयोजन) कुछ सीमा तक निर्णायक है।
 *{{Citation
   | last1 = जेल'फैंड
@@ Line 369: / Line 369: @@
 | zbl = 1078.46029
 | isbn = 0-415-27356-0}}. A monograph on the theory of [[generalized function]]s written with an eye towards their applications to [[several complex variables]] and [[mathematical physics]], as is customary for the Author.
-== '''बाहरी संबंध''' ==
+== '''बाप्रत्येकी संबंध''' ==
 *{{MathWorld |title=स्थानीय रूप से एकीकृत|author=रोलैंड, टॉड|urlname=स्थानीय रूप से एकीकृत}}
 *{{springer

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परिभाषा

मानक परिभाषा

एक वैकल्पिक परिभाषा

लेम्मा 1 का प्रमाण

सामान्यीकरण: स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य

संकेतन

गुण

L_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है

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स्थानत: समाकलनीय फलन: Difference between revisions

Revision as of 08:32, 17 August 2023

परिभाषा

मानक परिभाषा

एक वैकल्पिक परिभाषा

लेम्मा 1 का प्रमाण

सामान्यीकरण: स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य

संकेतन

गुण

L1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है

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L_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है