स्थानत: समाकलनीय फलन

गणित में, समष्टित: समाकलनीय फलन (जिसे कभी-कभी समष्टित: सारांशित फलन भी कहा जाता है) एक ऐसा फलन (गणित) है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फलन का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका फलन समष्टि L^p समष्टि के समान है रिक्त

समष्टि, किन्तु इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है सीमा अनंत पर): दूसरे शब्दों में, समष्टित: समाकलनीय फलन डोमेन सीमा पर इच्छानुसार तेजी से बढ़ सकते हैं, किन्तु अभी भी सामान्य समाकलनीय फलनों के समान ही प्रबंधनीय हैं।

परिभाषा

मानक परिभाषा

परिभाषा 1. मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में Ω विवृत समुच्चय बनें $\mathbb {R} ^{n}$ और f : Ω → $\mathbb {C}$ लेब्सेग माप मापने योग्य फलन बनें। यदि Ω पर f इस प्रकार कि

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

अर्थात इसका लेब्सग इंटीग्रल Ω के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K पर परिमित है, तब f को समष्टित: इंटीग्रेबल कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) L_1,loc(Ω) द्वारा दर्शाया जाता है :

$L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},$

जहां${\textstyle \left.f\right|_{K}}$ के फलन समुच्चय K पर f के प्रतिबंध को दर्शाता है।

समष्टित: समाकलनीय फलन की मौलिक परिभाषा में केवल सैद्धांतिक और टोपोलॉजिकल अवधारणाओं को मापना सम्मिलित है और इसे टोपोलॉजिकल माप समष्टि (X, Σ, μ) पर समष्टि-मूल्यवान फलनों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है : चूँकि , चूँकि ऐसे फलन का सबसे सामान्य अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त समष्टि पर वितरण सिद्धांत के लिए है, इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण स्थितियों से संबंधित हैं।

एक वैकल्पिक परिभाषा

परिभाषा 2. मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में Ω विवृत समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$. फिर फलन (गणित) f : Ω → $\mathbb {C}$ ऐसा है कि

$\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए φ ∈ C ∞
c (Ω) को समष्टित: पूर्णांक कहा जाता है, और ऐसे फलनों के समुच्चय को L_1,loc(Ω) कें द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ C ∞
c (Ω) सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय φ : Ω → $\mathbb {R}$ को दर्शाता है समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ Ω सम्मिलित है।

इस परिभाषा की जड़ें निकोलस बॉर्बकी स्कूल द्वारा विकसित टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि पर सतत रैखिक फलनात्मक की अवधारणा के आधार पर माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं: यह स्ट्रिचर्ट्ज़ (2003) और द्वारा भी अपनाया गया है। माज़्या & शापोशनिकोवा (2009, p. 34). यह "वितरण सिद्धांत" संबंधी परिभाषा मानक के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित लेम्मा प्रमेय सिद्ध करता है:

लेम्मा 1. दिया गया फलन f : Ω → $\mathbb {C}$ परिभाषा 1 के अनुसार समष्टित: समाकलनीय है यदि और केवल यदि यह परिभाषा 2 के अनुसार समष्टित: पूर्णीकृत है, अर्थात।

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).$

लेम्मा 1 का प्रमाण

यदि भाग: मान लीजिए φ ∈ C ∞
c (Ω) एक परीक्षण फलन हो। यह अपने सर्वोच्च मानदंड ||φ||_∞ से चरम मूल्य प्रमेय है , मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन है, इसलिए इसे K कहते हैं।

$\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty$

द्वारा परिभाषा 1.

केवल यदि भाग: मान लीजिए K विवृत समुच्चय Ω का एक संहत उपसमुच्चय है। हम पहले परीक्षण फलन φ_K ∈ C ∞
c (Ω) का निर्माण करेंगे जो K के संकेतक फ़ंक्शन χ_K को प्रमुखता देता है। K और सीमा ∂Ω के बीच सामान्य निर्धारित दूरी सख्ती से शून्य से अधिक है, अर्थात।

$\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,$

इसलिए वास्तविक संख्या δ चुनना संभव है जैसे कि Δ > 2δ > 0 (यदि ∂Ω खाली समुच्चय है, तब Δ = ∞ लें). मान लीजिए कि K_δ और K_2δ क्रमशः K के बंद δ-पड़ोस और 2δ-पड़ोस को दर्शाते हैं। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं

$K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.$

अब फलन φ_K : Ω → $\mathbb {R}$ को परिभाषित करने के लिए कनवल्शन का उपयोग करें‚

$\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,$

जहां φ_δ मानक सकारात्मक सममिति का उपयोग करके निर्मित एक मोलिफ़ायर है। स्पष्ट रूप से φ_K इस अर्थ में गैर-ऋणात्मक है कि φ_K ≥ 0, असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन K_2δ में निहित है , विशेष रूप से यह परीक्षण फलन है। चूँकि सभी x ∈ K के लिए φ_K(x) = 1 हमारे पास वह χ_K ≤ φ_K. है।

मान लीजिए परिभाषा 2 के अनुसार f एक समष्टित: समाकलनीय फलन बनें . तब

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .$

चूँकि यह Ω के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K के लिए प्रयुक्त होता है, फ़ंक्शन f परिभाषा 1 के अनुसार समष्टित: पूर्णांकित है। □

सामान्यीकरण: समष्टित: पी-अभिन्न फलन

परिभाषा 3. मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में Ω विवृत समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ और f : Ω → $\mathbb {C}$ एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य फलन हो। यदि, 1 ≤ p ≤ +∞ के साथ दिए गए p के लिए, f संतुष्ट करता है

$\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

अर्थात, यह Ω के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K के लिए L_p(K) से संबंधित है, तो f को समष्टित: p-इंटीग्रेबल या p-समष्टित: इंटीग्रेबल भी कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय L_p,loc(Ω) द्वारा दर्शाया गया है:

$L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.$

एक वैकल्पिक परिभाषा, जो पूरी तरह से समष्टित: समाकलनीय फलनों के लिए दी गई परिभाषा के समान है, समष्टित: पी-पूर्णांक फलनों के लिए भी दी जा सकती है: यह इस खंड में दी गई परिभाषा के समतुल्य भी हो सकती है और सिद्ध भी हो सकती है। उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के अतिरिक्त, समष्टित: पी-अभिन्न फलन प्रत्येक पी के लिए समष्टित: पूर्णांक फलन का एक उपसमूह बनाते हैं जैसे कि 1 < p ≤ +∞.

संकेतन

विभिन्न ग्लिफ़ के अतिरिक्त जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है, समष्टित: समाकलनीय फलनों के समुच्चय के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं

• $L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (होर्मेंडर 1990, p. 37), (स्ट्रिचर्ट्ज़ 2003, pp. 12–13) और (व्लादिमीरोव 2002, p. 3).
• $L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) और Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44).
• $L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ja 1985, p. 6) और (Maz'ya 2011, p. 2).

गुण

एल_p,loc सभी p ≥ 1 के लिए पूर्ण मीट्रिक समष्टि है

प्रमेय 1. L_p,loc एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:

$d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$

जहां{ω_k}_k≥1 ऐसे गैर खाली विवृत समुच्चयों का परिवार है

• ω_k ⊂⊂ ω_k+1, कारण है कि ω_k को कॉम्पैक्ट रूप से सम्मिलित किया गया है ω_k+1 अर्थात यह समुच्चय है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के समुच्चय में सख्ती से सम्मिलित किया गया है।
• ∪_kω_k = Ω.
• $\scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}$, के ∈ $\mathbb {N}$ सेमिनोर्म का अनुक्रमित परिवार है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).$

सन्दर्भों में (गिल्बर्ग & ट्रूडिंगर 1998, p. 147), (माज़्या & पोबोर्ची 1997, p. 5), (माज़्या 1985, p. 6) और (माज़्या 2011, p. 2), यह प्रमेय बताया गया है किन्तु औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है: अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी सम्मिलित है, (मीस & वोग्ट 1997, p. 40) में पाया जाता है .

L_p सभी p ≥ 1 के लिए L_1,loc का एक उपसमष्टि है

प्रमेय 2. L_p(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ से संबंधित प्रत्येक फलन f जहां Ω का विवृत उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$, समष्टित: समाकलनीय है।

प्रमाण । स्थिति p = 1 तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है कि 1 < p ≤ +∞. के एक सघन उपसमुच्चय K के विशिष्ट फलन χ_K पर विचार करें: फिर, p ≤ +∞ के लिए,

$\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,$

कहाँ

• q धनात्मक संख्या है जैसे कि 1/p + 1/q = 1 किसी प्रदत्त के लिए 1 ≤ p ≤ +∞
• |K| कॉम्पैक्ट समुच्चय का लेबेस्ग माप है K

फिर L_p(Ω) से संबंधित किसी भी f के लिए, होल्डर की असमानता से, गुणनफल(गणित) fχ_K समाकलनीय फलन है अर्थात L₁(Ω) संबंधित है और

${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,$

इसलिए

$f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).$

ध्यान दें कि चूँकि निम्नलिखित असमानता सत्य है

${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,$

प्रमेय केवल समष्टित: पी-अभिन्न फलनों के समष्टि से संबंधित फलनों f के लिए भी सत्य है, इसलिए प्रमेय निम्नलिखित परिणाम का भी तात्पर्य करता है।

परिणाम 1. प्रत्येक फलन $f$ में $L_{p,loc}(\Omega )$, $1<p\leq \infty$, समष्टित: समाकलनीय है, i. इ। से संबंधित $L_{1,loc}(\Omega )$.

नोट: यदि $\Omega$ का विवृत उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ वह भी परिबद्ध है, सीमा में मानक समावेशन होता है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है $L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$. किन्तु इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि $\Omega$ परिबद्ध नहीं है; सीमा यह अभी भी सच है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ किसी के लिए $p$, किन्तु ऐसा नहीं $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$. इसे देखने के लिए, सामान्यतः फलन पर विचार किया जाता है $u(x)=1$, जो इसमें है $L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ किन्तु अंदर नहीं $L_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ किसी भी परिमित के लिए $p$.

L_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का समष्टि है

प्रमेय 3. फलन f पूर्ण निरंतरता का घनत्व फलन (माप सिद्धांत) है उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि $f\in L_{1,loc}$.

इस परिणाम का प्रमाण (श्वार्ट्ज 1998, p. 18) द्वारा चित्रित किया गया है। अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक समष्टित: पूर्णांकीय फलन एक बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय एक समष्टित: पूर्णांकीय फलन को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।

उदाहरण

• वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थिर फलन 1 समष्टित: पूर्णांकीय है किन्तु विश्व स्तर पर पूर्णांकित नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, स्थिरांक (गणित), निरंतर फलन और पूर्णांकीय फलन समष्टित: समाकलनीय होते हैं।
• फलनक्रम $f(x)=1/x$ x ∈ (0, 1) के लिए समष्टित: है किन्तु वैश्विक रूप से (0, 1) पर समाकलनीय नहीं है। यह समष्टित: समाकलनीय है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K ⊆ (0, 1) की 0 से धनात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाहरण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि समष्टित: समाकलनीय फलनों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
• फलनक्रम

$f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R}$

समष्टित: x = 0 समाकलनीय नहीं है : यह वास्तव में इस बिंदु के निकट समष्टित: पूर्णांकित है क्योंकि इसे सम्मिलित किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, 1/x ∈ L_1,loc($\mathbb {R}$ \ 0): चूँकि , इस फलन को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है $\mathbb {R}$ कॉची प्रमुख मूल्य के रूप में है।

• पिछला उदाहरण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक फलन जो Ω ⊊ $\mathbb {R}$ में समष्टित: समाकलनीय है संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें $\mathbb {R}$ वितरण के रूप में? उत्तर ऋणात्मक है, और प्रतिउदाहरण निम्नलिखित फलन द्वारा प्रदान किया गया है:

$f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}$

किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है $\mathbb {R}$.

• निम्नलिखित उदाहरण , पिछले उदाहरण के समान, फलन से संबंधित है L_1,loc($\mathbb {R}$\ 0) जो अनियमित विलक्षणता वाले अवकल ऑपरेटरों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाहरण के रूप में फलन करता है:

$f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}$

जहां k₁ और k₂ समष्टि संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण

$x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.$

फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है $\mathbb {R}$, यदि k₁ या k₂ शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।

अनुप्रयोग

समष्टित: समाकलनीय फलन वितरण (गणित) में प्रमुख भूमिका निभाते हैं और वह फलन (गणित) और फलन समष्टि के विभिन्न वर्गों की परिभाषा में होते हैं, जैसे कि बाध्य भिन्नता। इसके अतिरिक्त, वह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में प्रत्येक माप के बिल्कुल निरंतर भाग को चिह्नित करके प्रकट होते हैं।

यह भी देखें

• कॉम्पैक्ट समुच्चय
• वितरण (गणित)
• लेब्सग्यू का घनत्व प्रमेय
• लेब्सेग विभेदन प्रमेय
• लेब्सग इंटीग्रल
• एलपी समष्टि

संदर्भ

• कैफ़ीरो, फेडरिको (1959), मिसुरा और एकीकरण, मोनोग्राफी माटेमाटिचे डेल कंसिग्लियो नाज़ियोनेल डेले रिसरचे (in यह), vol. 5, Roma: एडिज़ियोनी क्रेमोनीज़, pp. VII+451, MR 0215954, Zbl 0171.01503{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). माप और एकीकरण (जैसा कि शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद पढ़ता है) एकीकरण और माप सिद्धांत पर एक निश्चित मोनोग्राफ है: माप-संबंधित संरचनाओं (मापने योग्य फलन, मापने योग्य समुच्चय, माप) के विभिन्न प्रकार के अनुक्रमों के अभिन्न अंग के सीमित व्यवहार का उपचार और उनका संयोजन) कुछ सीमा तक निर्णायक है।
• जेल'फैंड, I. M.; शिलोव, जी. ई. (1964) [1958], सामान्यीकृत कार्य. वॉल्यूम. मैं: गुण और संचालन, न्यूयॉर्क-लंदन: अकादमिक प्रेस, pp. xviii+423, ISBN 978-0-12-279501-5, MR 0166596, Zbl 0115.33101. यूजीन सालेतन द्वारा मूल 1958 के रूसी संस्करण से अनुवादित, यह सामान्यीकृत फलनों के सिद्धांत पर एक महत्वपूर्ण मोनोग्राफ है, जो वितरण और विश्लेषणात्मक फलनात्मकता दोनों से संबंधित है।
• गिल्बर्ग, डेविड; ट्रूडिंगर, नील एस. (2001) [1998], दूसरे क्रम के अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरण, गणित में क्लासिक्स (द्वितीय की संशोधित तीसरी छपाई ed.), बर्लिन-हीडलबर्ग-न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर वेरलाग, pp. xiv+517, ISBN 3-540-41160-7, MR 1814364, Zbl 1042.35002.
• होर्मेंडर, लार्स (1990), रैखिक आंशिक अंतर ऑपरेटरों का विश्लेषण I, ग्रुंडलेह्रेन डेर मैथेमेटिसचेन विसेनशाफ्ट, vol. 256 (2nd ed.), बर्लिन-हीडलबर्ग-न्यूयॉर्क शहर: स्प्रिंगर-वेरलाग, pp. xii+440, ISBN 0-387-52343-X, MR 1065136, Zbl 0712.35001 (ISBN 3-540-52343-X के रूप में भी उपलब्ध है).
• Maz'ja, व्लादिमीर जी. (1985), सोबोलेव स्पेस, बर्लिन-हीडलबर्ग-न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर-वेरलाग, pp. xix+486, ISBN 3-540-13589-8, MR 0817985, Zbl 0692.46023 (ISBN 0-387-13589-8 के रूप में भी उपलब्ध है).
• Maz'ya, व्लादिमीर जी. (2011) [1985], सोबोलेव स्पेस। अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोगों के साथ।, ग्रुंडलेह्रेन डेर मैथेमेटिसचेन विसेंसचाफ्टन, vol. 342 (दूसरा संशोधित और संवर्धित ed.), बर्लिन-हीडलबर्ग-न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर वेरलाग, pp. xxviii+866, ISBN 978-3-642-15563-5, MR 2777530, Zbl 1217.46002.
• माज़िया, व्लादिमीर जी.; पोबोरची, सर्गेई वी. (1997), ख़राब डोमेन पर विभेदित कार्य, सिंगापुर-न्यू जर्सी-लंदन-हांगकांग: विश्व वैज्ञानिक, pp. xx+481, ISBN 981-02-2767-1, MR 1643072, Zbl 0918.46033.
• माज़िया, व्लादिमीर जी.; शापोश्निकोवा, तात्याना ओ. (2009), सोबोलेव मल्टीप्लायरों का सिद्धांत। विभेदक और अभिन्न ऑपरेटरों के लिए अनुप्रयोगों के साथ, ग्रुंडलेह्रेन डेर मैथेमेटिसचेन विसेनशाफ्ट, vol. 337, हीडलबर्ग: स्प्रिंगर-वेरलाग, pp. xiii+609, ISBN 978-3-540-69490-8, MR 2457601, Zbl 1157.46001.
• मीस, रेनहोल्ड; वोग्ट, डिटमार (1997), कार्यात्मक विश्लेषण का परिचय, गणित में ऑक्सफोर्ड स्नातक ग्रंथ, vol. 2, ऑक्सफ़ोर्ड: क्लेरेंडन प्रेस, pp. x+437, ISBN 0-19-851485-9, MR 1483073, Zbl 0924.46002.
• साक्स, स्टैनिस्लाव (1937), अभिन्नता का सिद्धांत, मोनोग्रैफी मैटेमैटिक्ज़ने, vol. 7 (2nd ed.), वारसज़ावा-ल्वो: जी.ई. स्टीचर्ट एंड कंपनी, pp. VI+347, JFM 63.0183.05, MR 0167578, Zbl 0017.30004. लॉरेंस चिशोल्म यंग द्वारा अंग्रेजी अनुवाद, स्टीफन बानाच द्वारा दो अतिरिक्त नोट्स के साथ: गणितीय समीक्षा संख्या डोवर प्रकाशन 1964 संस्करण को संदर्भित करती है, जो मूल रूप से एक पुनर्मुद्रण है।
• श्वार्ट्ज, लॉरेंट (1998) [1966], थियोरी डेस वितरण, प्रकाशन डे ल'इंस्टीट्यूट डी मैथेमैटिक डे ल'यूनिवर्सिटी डी स्ट्रासबर्ग (in français), vol. No. IX–X (नौवेल्ले ed.), पेरिस: हरमन एडिटर्स, pp. xiii+420, ISBN 2-7056-5551-4, MR 0209834, Zbl 0149.09501.
• स्ट्रिचर्ट्ज़, रॉबर्ट एस. (2003), वितरण सिद्धांत और फूरियर रूपांतरण के लिए एक गाइड (दूसरी छपाई ed.), नदी का किनारा, एनजे: विश्व वैज्ञानिक प्रकाशक, pp. x+226, ISBN 981-238-430-8, MR 2000535, Zbl 1029.46039.
• व्लादिमीरोव, वी. एस. (2002), सामान्यीकृत कार्यों के सिद्धांत के तरीके, विश्लेषणात्मक तरीके और विशेष कार्य, vol. 6, लंदन-न्यूयॉर्क: टेलर और फ्रांसिस, pp. XII+353, ISBN 0-415-27356-0, MR 2012831, Zbl 1078.46029. A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.

बाप्रत्येकी संबंध

• रोलैंड, टॉड. रूप से एकीकृत.html "स्थानीय रूप से एकीकृत". MathWorld. {{cite web}}: Check |url= value (help)
• विनोग्रादोवा, I.A. (2001) [1994], "स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press