प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत): Difference between revisions

Latest revision as of 16:24, 12 October 2023

समुच्चय सिद्धांत में, दो समुच्चय का प्रतिच्छेदन $A$ तथा $B,$ द्वारा चिह्नित है^[1] $A\cap B,$ के सभी तत्वों से युक्त समुच्चय है I $A$ , $B$ से संबंधित है या समकक्ष है, $B$ के सभी तत्व $A$ के भी हैI^[2]

संकेतन एवं शब्दावली

प्रतिच्छेदन प्रतीक $\cap$ का उपयोग करके लिखा गया है, अर्थात् इंफिक्स नोटेशन के, उदाहरण निम्नलिखित है:

\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}

\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing

\mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N}

\{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}

दो से अधिक समुच्चयो के सामान्यीकृत प्रतिच्छेदन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}

जो कैपिटल-सिग्मा नोटेशन के समान होते है।

इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की सारणी देखें।

परिभाषा

तीन समुच्चय का परस्पर:

~A\cap B\cap C

केवल अक्षरों के आकार पर विचार करते हुए एवं उनके उच्चारण की उपेक्षा करते हुए, बिना उच्चारण वाले आधुनिक ग्रीक वर्णमाला, लैटिन लिपि एवं सिरिलिक लिपियों का परस्पर

समुच्चय के साथ परस्पर का उदाहरण

दो समुच्चयो का परस्पर $A$ तथा $B,$ द्वारा चिह्नित $A\cap B$ ,^[3] उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों $A$ तथा $B.$ के सदस्य होते हैं I

यह प्रतीकों में इस प्रकार प्रदर्शित हैं I

A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.

x

का परस्पर तत्व

A\cap B

है, एवं

x

का समान तत्व

A

एवं

B.

^[3] हैI

उदाहरण के लिए:

समुच्चय {1, 2, 3} एवं {2, 3, 4} का प्रतिच्छेदन {2, 3} है।
अंक 9 अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} एवं विषम संख्याओं के समुच्चय {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} के प्रतिच्छेदन में, 9 प्रधान नहीं है।

इंटरसेक्टिंग एवं डिसजॉइंट समुच्चय

कहा जाता है कि, यदि $B$ उपस्थित हो तो, $A$ प्रतिच्छेद करता है I $x$ का तत्व $A$ तथा $B,$ है I जिस स्थिति में $A$ प्रतिच्छेद करता है, $B$ at $x$ प्राप्त होता है , समान रूप से, $A$ , $B$ को प्रतिच्छेद करता हैI यदि उनका परस्पर $A\cap B$ वसित समुच्चय है, जिसे $x$ द्वारा $x\in A\cap B.$ प्रदर्शित करते हैं I यदि $A$ , $B.$ को प्रतिच्छेद नहीं करता है, तो इसे सरल भाषा में सामान्य तत्व नहीं मानते हैं। यदि $A$ तथा $B$ असंयुक्त हैं और परस्पर रिक्त समुच्चय है, तो इस प्रकार $A\cap B=\varnothing .$ द्वारा प्रदर्शित करते है, उदाहरण के लिए, समुच्चयो $\{1,2\}$ तथा $\{3,4\}$ असम्बद्ध हैं, जबकि सम संख्याओं का समुच्चय 3 के गुणज के समुच्चय को 6 के गुणज में विभक्त करता है।

बीजगणितीय गुण

बाइनरी परस्पर साहचर्य ऑपरेशन है; अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए $A,B,$ तथा $C,$ निम्नलिखित है:

A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.

इस प्रकार अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को त्यागा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी को भी लिखा जा सकता है

A\cap B\cap C

. परस्पर भी कम्यूटेटिव संपत्ति है। अर्थात किसी के लिए

A

तथा

B,

निम्नलिखित है:

A\cap B=B\cap A.

अतिरिक्त समुच्चय के साथ किसी भी समुच्चय का प्रतिच्छेदन अतिरिक्त समुच्चय में परिणाम देता है; अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए

A

, इस प्रकार है:

A\cap \varnothing =\varnothing

इसके अतिरिक्त, परस्पर ऑपरेशन निःशक्तता है; अर्थात समुच्चय

A

संतुष्ट

A\cap A=A

करता है I ये सभी गुण तार्किक संयोजन के विषय में समान तथ्यों का अनुसरण करते हैं।

परस्पर संघ पर वितरित करता है एवं संघ प्रतिच्छेदन पर वितरित करता है। अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए $A,B,$ तथा $C,$ निम्नलिखित है

{\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}

विश्व के अंदर

U,

पूरक (समुच्चय सिद्धांत) को परिभाषित कर सकता है I

A^{c}

को

A

के सभी तत्वों का समुच्चय होना है, किन्तु

U

अंदर नही होना चाहिए I

A.

का परस्पर

A

तथा

B

को उनके पूरक के संघ के रूप में लिखा जा सकता है, जो डी मॉर्गन के नियम द्वारा सरलता से प्राप्त होता है:

A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}

इच्छानुसार प्रतिच्छेदन

सामान्य धारणा समुच्चयो के स्वेच्छानुसार अतिरिक्त संग्रह का प्रतिच्छेदन है। यदि $M$ अतिरिक्त समुच्चय है जिसके तत्व स्वयं समुच्चय होते हैं I $x$ परस्पर का तत्व $M$ है I यदि केवल सार्वभौमिक परिमाणीकरण तत्व $A$ का $M,$ $x$ का तत्व है, $A.$ प्रतीकों में इस प्रकार है:

\left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).

इस अंतिम अवधारणा के लिए नोटेशन अधिक भिन्न हो सकते हैं। समुच्चय सिद्धांत कभी

\cap M

लिखते है, इसके अतिरिक्त

\cap _{A\in M}A

भी लिखते है, इसके पश्चात नोटेशन को सामान्यीकृत किया जा सकता है I

\cap _{i\in I}A_{i}

, जो संग्रह के प्रतिच्छेदन को संदर्भित करता है I

\left\{A_{i}:i\in I\right\}.

यहां

I

गैर-अतिरिक्त समुच्चय है, एवं

A_{i}

प्रत्येक के लिए समुच्चय

i\in I.

है I हानि में सूचकांक समुच्चय

I

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, इसमें अनंत गुणनफल के अनुरूप नोटेशन देखा जा सकता है:

\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.

जब स्वरूपण कठिन हो, तो इसे इस प्रकार

A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots

लिखा जा सकता है I यह अंतिम उदाहरण, अनगिनत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन, वास्तव में अधिक सामान्य है; उदाहरण के लिए, सिग्मा (σ- ) बीजगणितय पर लेख देखें।

शून्य प्रतिच्छेदन

कोष्ठकों में तर्कों का तार्किक संयोजन बिना किसी तर्क का संयोजन टॉटोलॉजी है (तुलना करें: अतिरिक्त उत्पाद); तदनुसार बिना समुच्चय का प्रतिच्छेदन ब्रह्मांड (समुच्चय सिद्धांत) है।

ध्यान दें कि पूर्व अनुभाग में, हमने उस हानि को बाहर कर दिया था जहाँ $M$ रिक्त ( $\varnothing$ ) समुच्चय था I जिसका कारण इस प्रकार है: संग्रह का प्रतिच्छेदन $M$ समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है (समुच्चय -बिल्डर नोटेशन देखें)

\bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.

यदि

M

रिक्त समुच्चय है, तो

A

में

M,

तो प्रश्न बन जाता है कौन सा

x

कथित सारणी को पूर्ण करते हैं? $x$ . जब

M

रिक्त समुच्चय है, ऊपर दी गई सारणी रिक्त समुच्चय का उदाहरण है। रिक्त समुच्चय का परस्पर सार्वभौमिक समुच्चय होना चाहिए,^[4] परन्तु मानक (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत) समुच्चय सिद्धांत में, सार्वभौमिक समुच्चय नहीं है।

प्रकार सिद्धांत में चूँकि, $x$ निर्धारित प्रकार का है I इसलिए $\tau ,$ परस्पर प्रकार का समझा जाता है I $\mathrm {set} \ \tau$ (समुच्चय का प्रकार जिसके तत्व $\tau$ अंदर हैं ), को हम परिभाषित कर सकते हैं I $\bigcap _{A\in \emptyset }A$ का सार्वभौमिक समुच्चय $\mathrm {set} \ \tau$ होना I (वह समुच्चय जिसके तत्व सभी प्रकार के पद $\tau$ हैं |)

यह भी देखें

समुच्चयों का बीजगणित – Identities and relationships involving sets
प्रमुखता
पूरक – Set of the elements not in a given subset
इंटरसेक्शन (यूक्लिडियन ज्यामिति)
इंटरसेक्शन ग्राफ
इंटरसेक्शन सिद्धांत
समुच्चय पहचान एवं संबंधों की सूची
तार्किक संयोजन – Logical connective AND
मिनहाश
समुच्चय सिद्धांत
[[

सममित अंतर| सममित अंतर]] – Elements in exactly one of two sets

संघ

संदर्भ

↑ "सेट्स का चौराहा". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.
↑ "आँकड़े: संभाव्यता नियम". People.richland.edu. Retrieved 2012-05-08.
↑ ^3.0 ^3.1 "सेट ऑपरेशंस | यूनियन | चौराहे | पूरक | अंतर | पारस्परिक रूप से अनन्य | विभाजन | डी मॉर्गन का नियम | वितरण नियम | कार्तीय उत्पाद". www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-04.
↑ Megginson, Robert E. (1998). "Chapter 1". बनच अंतरिक्ष सिद्धांत का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183. New York: Springer-Verlag. pp. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.

अग्रिम पठन

Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.

[1] "सेट्स का चौराहा". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.

[2] "आँकड़े: संभाव्यता नियम". People.richland.edu. Retrieved 2012-05-08.

[:1-3] 3.0 ^3.1 "सेट ऑपरेशंस | यूनियन | चौराहे | पूरक | अंतर | पारस्परिक रूप से अनन्य | विभाजन | डी मॉर्गन का नियम | वितरण नियम | कार्तीय उत्पाद". www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-04.

[4] Megginson, Robert E. (1998). "Chapter 1". बनच अंतरिक्ष सिद्धांत का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183. New York: Springer-Verlag. pp. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Set of elements common to all of some sets}}
-{{broader|Intersection (mathematics)}}
+समुच्चय सिद्धांत में, दो समुच्चय का '''प्रतिच्छेदन''' <math>A</math> तथा <math>B,</math> द्वारा चिह्नित है<ref>{{Cite web|title=सेट्स का चौराहा|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S3/Intersection4.htm|access-date=2020-09-04|website=web.mnstate.edu}}</ref> <math>A \cap B,</math> के सभी तत्वों से युक्त समुच्चय है I <math>A</math>, <math>B</math> से संबंधित है या समकक्ष है, <math>B</math> के सभी तत्व <math>A</math> के भी हैI<ref>{{cite web|url=http://people.richland.edu/james/lecture/m170/ch05-rul.html|title=आँकड़े: संभाव्यता नियम|publisher=People.richland.edu|access-date=2012-05-08}}</ref>
-{{Infobox mathematical statement
+== संकेतन एवं शब्दावली ==
-| name = Intersection
-| image = Venn0001.svg
-| caption = The intersection of two sets <math>A</math> and <math>B,</math> represented by circles. <math>A \cap B</math> is in red.
-| type = [[Set (mathematics)#Basic operations|Set operation]]
-| field = [[Set (mathematics)|Set theory]]
-| statement = The intersection is the set of elements that exists in both set <math>A</math> and set <math>B</math>.
-| symbolic statement = <math>A \cap B = \{ x: x \in A \text{ and } x \in B\}</math>
-}}
-समुच्चय सिद्धांत में, दो समुच्चय का प्रतिच्छेदन (गणित) <math>A</math> तथा <math>B,</math> द्वारा चिह्नित <math>A \cap B,</math><ref>{{Cite web|title=सेट्स का चौराहा|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S3/Intersection4.htm|access-date=2020-09-04|website=web.mnstate.edu}}</ref> के सभी तत्वों से युक्त सेट है <math>A</math> वह भी संबंधित है <math>B</math> या समकक्ष, के सभी तत्व <math>B</math> वह भी संबंधित है <math>A.</math><ref>{{cite web|url=http://people.richland.edu/james/lecture/m170/ch05-rul.html|title=आँकड़े: संभाव्यता नियम|publisher=People.richland.edu|access-date=2012-05-08}}</ref>
+प्रतिच्छेदन प्रतीक <math>\cap</math> का उपयोग करके लिखा गया है, अर्थात् इंफिक्स नोटेशन के, उदाहरण निम्नलिखित है:<math display=block>\{1,2,3\}\cap\{2,3,4\}=\{2,3\}</math><math display=block>\{1,2,3\}\cap\{4,5,6\}=\varnothing</math><math display=block>\Z\cap\N=\N</math><math display=block>\{x\in\R:x^2=1\}\cap\N=\{1\}</math>दो से अधिक समुच्चयो के सामान्यीकृत  प्रतिच्छेदन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<math display=block>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>जो कैपिटल-सिग्मा नोटेशन के समान होते है।
-== संकेतन और शब्दावली ==
-चौराहा प्रतीक का उपयोग करके लिखा गया है<math>\cap</math>शर्तों के बीच; यानी इंफिक्स नोटेशन में। उदाहरण के लिए:
+इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की सारणी देखें।
-<math display=block>\{1,2,3\}\cap\{2,3,4\}=\{2,3\}</math>
-<math display=block>\{1,2,3\}\cap\{4,5,6\}=\varnothing</math>
-<math display=block>\Z\cap\N=\N</math>
-<math display=block>\{x\in\R:x^2=1\}\cap\N=\{1\}</math>
-दो से अधिक सेटों के प्रतिच्छेदन (सामान्यीकृत प्रतिच्छेदन) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
-<math display=block>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>
-जो कैपिटल-सिग्मा नोटेशन के समान है।
-इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की तालिका देखें।
 == परिभाषा ==
-[[File:Venn 0000 0001.svg|thumb|तीन सेटों का इंटरसेक्शन:<br><math>~A \cap B \cap C</math>]]
+[[File:Venn 0000 0001.svg|thumb|तीन समुच्चय का परस्पर:<br><math>~A \cap B \cap C</math>]]
-[[File:Venn diagram gr la ru.svg|thumb|केवल अक्षरों के आकार पर विचार करते हुए और उनके उच्चारण की उपेक्षा करते हुए, बिना उच्चारण वाले आधुनिक ग्रीक वर्णमाला, लैटिन लिपि और सिरिलिक लिपि लिपियों का चौराहा]]
+[[File:Venn diagram gr la ru.svg|thumb|केवल अक्षरों के आकार पर विचार करते हुए एवं उनके उच्चारण की उपेक्षा करते हुए, बिना उच्चारण वाले आधुनिक ग्रीक वर्णमाला, लैटिन लिपि एवं सिरिलिक लिपियों का परस्पर ]]
-[[File:PolygonsSetIntersection.svg|thumb|सेट के साथ चौराहे का उदाहरण]]दो सेटों का चौराहा <math>A</math> तथा <math>B,</math> द्वारा चिह्नित <math>A \cap B</math>,<ref name=":1">{{Cite web|title=सेट ऑपरेशंस {{!}} यूनियन {{!}} चौराहे {{!}} पूरक {{!}} अंतर {{!}} पारस्परिक रूप से अनन्य {{!}} विभाजन {{!}} डी मॉर्गन का नियम {{! }} वितरण नियम {{!}} कार्तीय उत्पाद|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php|access-date=2020-09-04|website=www.probabilitycourse.com}}</ref> उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों के सदस्य हैं <math>A</math> तथा <math>B.</math>
+[[File:PolygonsSetIntersection.svg|thumb|समुच्चय  के साथ परस्पर का उदाहरण]]दो समुच्चयो का परस्पर <math>A</math> तथा <math>B,</math> द्वारा चिह्नित <math>A \cap B</math>,<ref name=":1">{{Cite web|title=सेट ऑपरेशंस {{!}} यूनियन {{!}} चौराहे {{!}} पूरक {{!}} अंतर {{!}} पारस्परिक रूप से अनन्य {{!}} विभाजन {{!}} डी मॉर्गन का नियम {{! }} वितरण नियम {{!}} कार्तीय उत्पाद|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php|access-date=2020-09-04|website=www.probabilitycourse.com}}</ref> उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों <math>A</math> तथा <math>B.</math> के सदस्य होते हैं I
-प्रतीकों में:
+यह प्रतीकों में इस प्रकार प्रदर्शित हैं I<math display=block>A \cap B = \{ x: x \in A \text{ and } x \in B\}.</math><math>x</math> का परस्पर तत्व <math>A \cap B</math> है, एवं <math>x</math> का समान तत्व <math>A</math> एवं <math>B.</math><ref name=":1" /> हैI
-<math display=block>A \cap B = \{ x: x \in A \text{ and } x \in B\}.</math>
-वह है, <math>x</math> चौराहे का एक तत्व है <math>A \cap B</math> अगर और केवल अगर <math>x</math> दोनों का एक तत्व है <math>A</math> और का एक तत्व <math>B.</math><ref name=":1" />
 उदाहरण के लिए:
-* समुच्चय {1, 2, 3} और {2, 3, 4} का प्रतिच्छेदन {2, 3} है।
+* समुच्चय {1, 2, 3} एवं {2, 3, 4} का प्रतिच्छेदन {2, 3} है।
-* अंक 9 है {{em|not}} अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} और विषम संख्याओं के समुच्चय {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} के प्रतिच्छेदन में, क्योंकि 9 प्रधान नहीं है।
+* अंक 9 अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} एवं विषम संख्याओं के समुच्चय {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} के प्रतिच्छेदन में, 9 प्रधान नहीं है।
-=== इंटरसेक्टिंग और डिसजॉइंट सेट ===
+=== इंटरसेक्टिंग एवं डिसजॉइंट समुच्चय ===
-हम कहते हैं {{em|{{visible anchor|<math>A</math> intersects (meets) <math>B</math>|Intersects|To intersect|Meets|To meet}}}} अगर कुछ मौजूद है <math>x</math> वह दोनों का एक तत्व है <math>A</math> तथा <math>B,</math> ऐसे में हम भी यही कहते हैं {{em|<math>A</math> intersects (meets) <math>B</math> '''at''' <math>x</math>}}. समान रूप से, <math>A</math> काटती है <math>B</math> अगर उनका चौराहा <math>A \cap B</math> एक {{em|[[inhabited set]]}}, जिसका अर्थ है कि कुछ मौजूद है <math>x</math> ऐसा है कि <math>x \in A \cap B.</math> हम कहते हैं {{em|<math>A</math> and <math>B</math> are [[Disjoint sets|disjoint]]}} यदि <math>A</math> प्रतिच्छेद नहीं करता <math>B.</math> सरल भाषा में, उनके पास सामान्य तत्व नहीं हैं। <math>A</math> तथा <math>B</math> असंयुक्त हैं यदि उनका चौराहा खाली सेट है, चिह्नित है <math>A \cap B = \varnothing.</math>
+कहा जाता है कि, {{em|यदि {{visible anchor|<math>B</math> उपस्थित हो तो, <math>A</math>|Intersects|To intersect|Meets|To meet}} प्रतिच्छेद करता है}} I <math>x</math> का तत्व <math>A</math> तथा <math>B,</math> है I जिस स्थिति में {{em|<math>A</math> प्रतिच्छेद करता है, <math>B</math> '''at''' <math>x</math> प्राप्त होता है }}, समान रूप से, <math>A</math>, <math>B</math> को प्रतिच्छेद करता हैI यदि उनका परस्पर <math>A \cap B</math> {{em|[[वसित समुच्चय]]}} है, जिसे <math>x</math> द्वारा <math>x \in A \cap B.</math> प्रदर्शित करते हैं I यदि <math>A</math>,  <math>B.</math> को प्रतिच्छेद नहीं करता है, तो इसे सरल भाषा में सामान्य तत्व नहीं मानते हैं। यदि <math>A</math> तथा <math>B</math> असंयुक्त हैं और परस्पर रिक्त समुच्चय है, तो इस प्रकार <math>A \cap B = \varnothing.</math> द्वारा प्रदर्शित करते है, उदाहरण के लिए, समुच्चयो <math>\{1, 2\}</math> तथा <math>\{3, 4\}</math> असम्बद्ध हैं, जबकि सम संख्याओं का समुच्चय 3 के गुणज के समुच्चय को 6 के गुणज में विभक्त करता है।
-उदाहरण के लिए, सेट्स <math>\{1, 2\}</math> तथा <math>\{3, 4\}</math> असम्बद्ध हैं, जबकि सम संख्याओं का समुच्चय 3 के गुणक (गणित) के समुच्चय को 6 के गुणज में काटता है।
 == बीजगणितीय गुण ==
-{{See also|List of set identities and relations|Algebra of sets}}
+{{See also|समुच्चय पहचान एवं संबंधों की सूची|समुच्चयों का बीजगणित}}
-बाइनरी चौराहा एक साहचर्य ऑपरेशन है; यानी किसी भी सेट के लिए <math>A, B,</math> तथा <math>C,</math> किसी के पास
-<math display=block>A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C.</math>इस प्रकार अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी को भी लिखा जा सकता है <math>A \cap B \cap C</math>. चौराहा भी कम्यूटेटिव संपत्ति है। यानी किसी के लिए <math>A</math> तथा <math>B,</math> किसी के पास<math display=block>A \cap B = B \cap A.</math>
+बाइनरी परस्पर साहचर्य ऑपरेशन है; अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए <math>A, B,</math> तथा <math>C,</math> निम्नलिखित है:<math display="block">A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C.</math>इस प्रकार अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को त्यागा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी को भी लिखा जा सकता है <math>A \cap B \cap C</math>. परस्पर  भी कम्यूटेटिव संपत्ति है। अर्थात किसी के लिए <math>A</math> तथा <math>B,</math> निम्नलिखित है:<math display="block">A \cap B = B \cap A.</math>अतिरिक्त  समुच्चय के साथ किसी भी समुच्चय का प्रतिच्छेदन अतिरिक्त समुच्चय में परिणाम देता है; अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए <math>A</math>, इस प्रकार है:<math display="block">A \cap \varnothing = \varnothing</math>इसके अतिरिक्त, परस्पर ऑपरेशन निःशक्तता है; अर्थात समुच्चय <math>A</math> संतुष्ट <math>A \cap A = A</math> करता है I ये सभी गुण तार्किक संयोजन के विषय में समान तथ्यों का अनुसरण करते हैं।
-खाली सेट के साथ किसी भी सेट का प्रतिच्छेदन खाली सेट में परिणाम देता है; यानी कि किसी भी सेट के लिए <math>A</math>,
-<math display=block>A \cap \varnothing = \varnothing</math>
-इसके अलावा, चौराहा ऑपरेशन Idempotence है; यानी कोई भी सेट <math>A</math> संतुष्ट करता है <math>A \cap A = A</math>. ये सभी गुण तार्किक संयोजन के बारे में समान तथ्यों से अनुसरण करते हैं।
-इंटरसेक्शन डिस्ट्रीब्यूटिव प्रॉपर्टी ओवर यूनियन (सेट थ्योरी) और यूनियन डिस्ट्रीब्यूट ओवर इंटरसेक्शन। यानी किसी भी सेट के लिए <math>A, B,</math> तथा <math>C,</math> किसी के पास
-<math display=block>\begin{align}
+परस्पर संघ पर वितरित करता है एवं संघ प्रतिच्छेदन पर वितरित करता है। अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए <math>A, B,</math> तथा <math>C,</math> निम्नलिखित है<math display="block">\begin{align}
 A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\
 A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>विश्व के अंदर <math>U,</math> पूरक (समुच्चय  सिद्धांत) को परिभाषित कर सकता है I <math>A^c</math> को <math>A</math> के सभी तत्वों का समुच्चय होना है, किन्तु  <math>U</math> अंदर नही होना चाहिए I <math>A.</math> का परस्पर <math>A</math> तथा <math>B</math> को उनके पूरक के संघ के रूप में लिखा जा सकता है, जो डी मॉर्गन के नियम द्वारा सरलता से प्राप्त होता है:<math display="block">A \cap B = \left(A^{c} \cup B^{c}\right)^c</math>
-एक ब्रह्मांड के अंदर <math>U,</math> कोई पूरक (सेट सिद्धांत) को परिभाषित कर सकता है <math>A^c</math> का <math>A</math> के सभी तत्वों का समुच्चय होना <math>U</math> अंदर नही <math>A.</math> इसके अलावा, का चौराहा <math>A</math> तथा <math>B</math> डी मॉर्गन के कानूनों से आसानी से प्राप्त उनके पूरक के संघ (सेट सिद्धांत) के पूरक के रूप में लिखा जा सकता है:<math display="block">A \cap B = \left(A^{c} \cup B^{c}\right)^c</math>
+== इच्छानुसार प्रतिच्छेदन ==
+{{Further information|पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन}}
-== मनमाना चौराहा ==
+सामान्य धारणा समुच्चयो के स्वेच्छानुसार अतिरिक्त संग्रह का प्रतिच्छेदन है। यदि <math>M</math> अतिरिक्त समुच्चय है जिसके तत्व स्वयं समुच्चय  होते हैं I <math>x</math> परस्पर का तत्व <math>M</math> है I यदि केवल सार्वभौमिक परिमाणीकरण तत्व <math>A</math> का <math>M,</math> <math>x</math> का तत्व है, <math>A.</math> प्रतीकों में इस प्रकार है:<math display=block>\left( x \in \bigcap_{A \in M} A \right) \Leftrightarrow \left( \forall A \in M, \ x \in A \right).</math>इस अंतिम अवधारणा के लिए नोटेशन अधिक भिन्न हो सकते हैं। समुच्चय सिद्धांत कभी <math>\cap M</math> लिखते है, इसके अतिरिक्त <math>\cap_{A \in M} A</math> भी लिखते है, इसके पश्चात नोटेशन को सामान्यीकृत किया जा सकता है I <math>\cap_{i \in I} A_i</math>, जो संग्रह के प्रतिच्छेदन को संदर्भित करता है I <math>\left\{ A_i : i \in I \right\}.</math>यहां <math>I</math> गैर-अतिरिक्त समुच्चय है, एवं  <math>A_i</math> प्रत्येक के लिए समुच्चय <math>i \in I.</math> है I हानि में सूचकांक समुच्चय  <math>I</math> प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, इसमें अनंत गुणनफल के अनुरूप नोटेशन देखा जा सकता है:<math display="block">\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i.</math>जब स्वरूपण कठिन हो, तो इसे इस प्रकार <math>A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots</math> लिखा जा सकता है I यह अंतिम उदाहरण, अनगिनत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन, वास्तव में अधिक सामान्य है; उदाहरण के लिए, सिग्मा (σ- ) बीजगणितय पर लेख देखें।
-{{Further information|Iterated binary operation}}
-सबसे सामान्य धारणा मनमाना का प्रतिच्छेदन है {{em|nonempty}} सेट का संग्रह।
-यदि <math>M</math> एक खाली सेट सेट है जिसके तत्व स्वयं सेट होते हैं <math>x</math> का एक तत्व है {{em|intersection}} का <math>M</math> अगर और केवल अगर सार्वभौमिक परिमाणीकरण तत्व <math>A</math> का <math>M,</math> <math>x</math> का एक तत्व है <math>A.</math>
-प्रतीकों में:
-<math display=block>\left( x \in \bigcap_{A \in M} A \right) \Leftrightarrow \left( \forall A \in M, \ x \in A \right).</math>
-इस अंतिम अवधारणा के लिए अंकन काफी भिन्न हो सकते हैं। सेट थ्योरी कभी लिखेंगे<math>\cap M</math>, जबकि अन्य इसके बजाय लिखेंगे<math>\cap_{A \in M} A</math>.
-बाद के अंकन को सामान्यीकृत किया जा सकता है<math>\cap_{i \in I} A_i</math>, जो संग्रह के प्रतिच्छेदन को संदर्भित करता है <math>\left\{ A_i : i \in I \right\}.</math>
-यहां <math>I</math> एक गैर-खाली सेट है, और <math>A_i</math> प्रत्येक के लिए एक सेट है <math>i \in I.</math>
-मामले में कि सूचकांक सेट <math>I</math> प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, अनंत गुणनफल के अनुरूप अंकन देखा जा सकता है:
-<math display=block>\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i.</math>
-जब स्वरूपण कठिन हो, तो इसे भी लिखा जा सकता है<math>A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots</math>. यह अंतिम उदाहरण, अनगिनत सेटों का प्रतिच्छेदन, वास्तव में बहुत सामान्य है; उदाहरण के लिए, सिग्मा बीजगणित|σ-अलजेब्रा पर लेख देखें।
-== शून्य चौराहा ==
+== शून्य प्रतिच्छेदन ==
-[[File:Multigrade operator AND.svg|thumb|कोष्ठकों में तर्कों का तार्किक संयोजन<br><br>बिना किसी तर्क का संयोजन टॉटोलॉजी (तर्क) है (तुलना करें: खाली उत्पाद); तदनुसार बिना सेट का प्रतिच्छेदन ब्रह्मांड (सेट सिद्धांत) है।]]ध्यान दें कि पिछले अनुभाग में, हमने उस मामले को बाहर कर दिया था जहाँ <math>M</math> खाली सेट था (<math>\varnothing</math>). कारण इस प्रकार है: संग्रह का प्रतिच्छेदन <math>M</math> सेट के रूप में परिभाषित किया गया है (सेट-बिल्डर नोटेशन देखें)
+[[File:Multigrade operator AND.svg|thumb|कोष्ठकों में तर्कों का तार्किक संयोजन बिना किसी तर्क का संयोजन टॉटोलॉजी है (तुलना करें: अतिरिक्त उत्पाद); तदनुसार बिना समुच्चय का प्रतिच्छेदन ब्रह्मांड (समुच्चय सिद्धांत) है।]]ध्यान दें कि पूर्व अनुभाग में, हमने उस हानि को बाहर कर दिया था जहाँ <math>M</math> रिक्त (<math>\varnothing</math>) समुच्चय था I जिसका कारण इस प्रकार है: संग्रह का प्रतिच्छेदन <math>M</math> समुच्चय  के रूप में परिभाषित किया गया है (समुच्चय -बिल्डर नोटेशन देखें)<math display=block>\bigcap_{A \in M} A = \{x : \text{ for all } A \in M, x \in A\}.</math>यदि <math>M</math> रिक्त समुच्चय है, तो <math>A</math> में <math>M,</math> तो प्रश्न बन जाता है कौन सा  <math>x</math> कथित सारणी को पूर्ण करते हैं? {{em|  <math>x</math>}}. जब <math>M</math> रिक्त समुच्चय है, ऊपर दी गई सारणी रिक्त समुच्चय का उदाहरण है। रिक्त समुच्चय का परस्पर सार्वभौमिक समुच्चय होना चाहिए,<ref>{{cite book|last=Megginson|first=Robert E.|author-link=Robert Megginson|title=बनच अंतरिक्ष सिद्धांत का परिचय|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=183|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1998|pages=xx+596|isbn=0-387-98431-3|chapter=Chapter 1}}</ref> परन्तु मानक (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत) समुच्चय सिद्धांत में, सार्वभौमिक समुच्चय नहीं है।
-<math display=block>\bigcap_{A \in M} A = \{x : \text{ for all } A \in M, x \in A\}.</math>
-यदि <math>M</math> खाली है, कोई सेट नहीं है <math>A</math> में <math>M,</math> तो सवाल बन जाता है कौन सा <math>x</math><nowiki>'</nowiki>कथित शर्तों को पूरा करते हैं? उत्तर लगता है {{em|every possible <math>x</math>}}. कब <math>M</math> खाली है, ऊपर दी गई शर्त एक खाली सच्चाई का उदाहरण है। तो खाली परिवार का चौराहा सार्वभौमिक सेट होना चाहिए (प्रतिच्छेदन के संचालन के लिए पहचान तत्व),<ref>{{cite book|last=Megginson|first=Robert E.|author-link=Robert Megginson|title=बनच अंतरिक्ष सिद्धांत का परिचय|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=183|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1998|pages=xx+596|isbn=0-387-98431-3|chapter=Chapter 1}}</ref>
-लेकिन मानक (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) सेट सिद्धांत में, सार्वभौमिक सेट मौजूद नहीं है।
-प्रकार सिद्धांत में हालांकि, <math>x</math> निर्धारित प्रकार का है <math>\tau,</math> इसलिए चौराहा प्रकार का समझा जाता है <math>\mathrm{set}\ \tau</math> (सेट का प्रकार जिसके तत्व अंदर हैं <math>\tau</math>), और हम परिभाषित कर सकते हैं <math>\bigcap_{A \in \empty} A</math> का सार्वभौमिक सेट होना <math>\mathrm{set}\ \tau</math> (वह समुच्चय जिसके तत्व सभी प्रकार के पद हैं <math>\tau</math>).
+प्रकार सिद्धांत में चूँकि, <math>x</math> निर्धारित प्रकार का है I इसलिए <math>\tau,</math> परस्पर प्रकार का समझा जाता है I <math>\mathrm{set}\ \tau</math> (समुच्चय  का प्रकार जिसके तत्व <math>\tau</math> अंदर हैं ), को हम परिभाषित कर सकते हैं I <math>\bigcap_{A \in \empty} A</math> का सार्वभौमिक समुच्चय  <math>\mathrm{set}\ \tau</math> होना I (वह समुच्चय जिसके तत्व सभी प्रकार के पद <math>\tau</math> हैं |)
 == यह भी देखें ==
+* {{annotated link|समुच्चयों का बीजगणित}}
-{{commons category}}
+* {{annotated link|प्रमुखता}}
-* {{annotated link|Algebra of sets}}
+* {{annotated link|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)|पूरक}}
-* {{annotated link|Cardinality}}
+* {{annotated link|इंटरसेक्शन (यूक्लिडियन ज्यामिति)}}
-* {{annotated link|Complement (set theory)|Complement}}
+* {{annotated link|इंटरसेक्शन ग्राफ}}
-* {{annotated link|Intersection (Euclidean geometry)}}
+* {{annotated link|इंटरसेक्शन सिद्धांत}}
-* {{annotated link|Intersection graph}}
+* {{annotated link|समुच्चय पहचान एवं संबंधों की सूची}}
-* {{annotated link|Intersection theory}}
+* {{annotated link|तार्किक संयोजन}}
-* {{annotated link|List of set identities and relations}}
+* {{annotated link|मिनहाश}}
-* {{annotated link|Logical conjunction}}
+* {{annotated link| समुच्चय सिद्धांत}}
-* {{annotated link|MinHash}}
+* {{annotated link|
-* {{annotated link|Naive set theory}}
+सममित अंतर}}
-* {{annotated link|Symmetric difference}}
+* {{annotated link|संघ (समुच्चय सिद्धांत)| संघ}}
-* {{annotated link|Union (set theory)|Union}}
 ==संदर्भ==
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 * {{cite book|last=Munkres|first=James R.|author-link=James Munkres|title=Topology|edition=Second|location=Upper Saddle River|publisher=Prentice Hall|chapter=Set Theory and Logic|year=2000|isbn=0-13-181629-2}}
 * {{cite book|title=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Kenneth|last=Rosen|location=Boston|publisher=McGraw-Hill|year=2007|edition=Sixth|isbn=978-0-07-322972-0|chapter=Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums}}
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
 ==बाहरी संबंध==
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 {{Set theory}}
 {{Mathematical logic}}
-[[Category: समुच्चय सिद्धांत में मूलभूत अवधारणा]]
-[[Category: सेट पर संचालन]]
-[[Category: चौराहा]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Collapse templates]]
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+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:चौराहा]]
+[[Category:समुच्चय सिद्धांत में मूलभूत अवधारणा]]
+[[Category:सेट पर संचालन]]

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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संकेतन एवं शब्दावली

परिभाषा

इंटरसेक्टिंग एवं डिसजॉइंट समुच्चय

बीजगणितीय गुण

इच्छानुसार प्रतिच्छेदन

शून्य प्रतिच्छेदन

यह भी देखें

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बाहरी संबंध

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