आवधिक आरेख (ज्यामिति): Difference between revisions

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एक [[ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत]] (कुछ [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एम्बेडेड एक ग्राफ) आवधिक है यदि उस यूक्लिडियन स्थान का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] मौजूद है जिसका संबंधित [[अनुवाद (ज्यामिति)]] उस ग्राफ के [[समरूपता समूह]]ों को प्रेरित करता है (अर्थात, ऐसे किसी भी अनुवाद का अनुप्रयोग) यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडेड ग्राफ ग्राफ को अपरिवर्तित छोड़ देता है)। समतुल्य रूप से, एक आवधिक यूक्लिडियन ग्राफ एक परिमित ग्राफ पर एक एबेलियन कवरिंग ग्राफ का आवधिक अहसास है।<ref>{{Citation
एक [[ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत|यूक्लिडियन आरेख]] (कुछ [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] में अंतःस्थापित किया गया आरेख) आवधिक है यदि इस यूक्लिडियन समष्टि का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] उपस्थित है जिसका संबंधित [[अनुवाद (ज्यामिति)]] उस आरेख की [[समरूपता समूह|समरूपता]] को प्रेरित करता है (अर्थात, यूक्लिडियन समष्टि में अंतःस्थापित किए गए आरेख में ऐसे किसी भी अनुवाद के अनुप्रयोग आरेख को अपरिवर्तित छोड़ देता है)। समतुल्य रूप से, एक आवधिक यूक्लिडियन आरेख एक परिमित आरेख पर एक एबेलियन आवरण आरेख का आवधिक प्रतिफलन है।<ref>{{Citation
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}}</ref> एक यूक्लिडियन ग्राफ [[असतत स्थान]] है यदि किन्हीं दो शीर्षों के बीच न्यूनतम दूरी हो। आवधिक रेखांकन अंतरिक्ष के टेस्सेलेशन (या छत्ते) और उनके समरूपता समूहों की ज्यामिति से निकटता से संबंधित हैं, इसलिए [[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] के साथ-साथ [[असतत ज्यामिति]] और [[ polytope ]]्स के सिद्धांत और इसी तरह के क्षेत्रों से संबंधित हैं।
}}</ref> यूक्लिडियन आरेख समान रूप से [[असतत स्थान|असतत]] होता है यदि किन्हीं दो शीर्षों के मध्य न्यूनतम दूरी होती है। आवधिक रेखांकन समष्टि (या मधुकोष) के टेसलेशन और उनके समरूपता समूहों की ज्यामिति से निकटता से संबंधित हैं, इसलिए [[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] के साथ-साथ [[असतत ज्यामिति]] और [[बहुतलीय]] सिद्धांत और इसी तरह के क्षेत्रों से संबंधित हैं।
 
आवधिक रेखांकन में अधिकांश प्रयास प्राकृतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग के अनुप्रयोगों से प्रेरित होते हैं, विशेष रूप से [[क्रिस्टल इंजीनियरिंग]] के लिए त्रि-आयामी [[क्रिस्टल जाल]], [[क्रिस्टल संरचना भविष्यवाणी]] | क्रिस्टल भविष्यवाणी (डिजाइन), और मॉडलिंग क्रिस्टल व्यवहार। [[वीएलएसआई]]|वेरी-लार्ज-स्केल इंटीग्रेशन (वीएलएसआई) सर्किट मॉडलिंग में आवधिक ग्राफ का भी अध्ययन किया गया है।<ref>{{Citation|last1 = Cohen|first1 = E.|author1-link=Edith Cohen|last2 = Megiddo|first2 = N.|author2-link=Nimrod Megiddo|title = Recognizing Properties of Periodic Graphs|journal = DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 4: Applied Geometry and Discrete Mathematics|volume = 4|year = 1991|pages = 135–146|url = http://theory.stanford.edu/~megiddo/pdf/RecognizingX.pdf|accessdate = August 15, 2010|doi = 10.1090/dimacs/004/10|series = DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science|isbn = 9780821865934}}</ref>
 


आवधिक रेखांकन में अधिकांश प्रयास प्राकृतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी के अनुप्रयोगों से प्रेरित होता है, विशेष रूप से [[क्रिस्टल इंजीनियरिंग|क्रिस्टल अभियांत्रिकी,]] [[क्रिस्टल संरचना भविष्यवाणी|क्रिस्टल पूर्वानुमान]] (प्रारुप) और प्रतिदर्श क्रिस्टल आचरण के लिए त्रि-आयामी [[क्रिस्टल जाल|क्रिस्टल नेट]] से प्रेरित होता है। अति बृहत् एकीकरण (वीएलएसआई) परिपथ प्रतिदर्श में आवधिक आरेख का भी अध्ययन किया गया है।<ref>{{Citation|last1 = Cohen|first1 = E.|author1-link=Edith Cohen|last2 = Megiddo|first2 = N.|author2-link=Nimrod Megiddo|title = Recognizing Properties of Periodic Graphs|journal = DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 4: Applied Geometry and Discrete Mathematics|volume = 4|year = 1991|pages = 135–146|url = http://theory.stanford.edu/~megiddo/pdf/RecognizingX.pdf|accessdate = August 15, 2010|doi = 10.1090/dimacs/004/10|series = DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science|isbn = 9780821865934}}</ref>
== मूल सूत्रीकरण ==
== मूल सूत्रीकरण ==
एक ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत एक जोड़ी (वी, ई) है, जहां वी बिंदुओं का एक सेट है (कभी-कभी शिखर या नोड्स कहा जाता है) और ई किनारों का एक सेट होता है (कभी-कभी बांड कहा जाता है), जहां प्रत्येक किनारा दो शिखरों में शामिल होता है। जबकि दो शीर्षों u और v को जोड़ने वाले किनारे को आमतौर पर [[सेट (गणित)]] {u, v} के रूप में समझा जाता है, किनारे को कभी-कभी u और v को जोड़ने वाले [[रेखा खंड]] के रूप में व्याख्या किया जाता है ताकि परिणामी संरचना एक CW जटिल हो। ज्यामितीय रेखांकन को 'नेट' ([[नेट (पॉलीहेड्रॉन)]] के विपरीत) के रूप में संदर्भित करने के लिए पॉलीहेड्रल और रासायनिक साहित्य में एक प्रवृत्ति है, और रासायनिक साहित्य में नामकरण ग्राफ सिद्धांत से भिन्न है।<ref>{{Citation
एक ज्यामितीय आरेख सिद्धांत एक जोड़ी (V, E) है, जहां V बिंदुओं का एक समुच्चय है (कभी-कभी शीर्ष या नोड्स कहा जाता है) और E किनारों का एक समुच्चय होता है (कभी-कभी बांड कहा जाता है), जहां प्रत्येक किनारा दो शिखरों में सम्मलित होता है। जबकि दो शीर्षों u और v को जोड़ने वाले किनारे को सामान्यतः [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] {u, v} के रूप में समझा जाता है, किनारों को कभी-कभी u और v को जोड़ने वाले [[रेखा खंड]] के रूप में व्याख्या किया जाता है ताकि परिणामी संरचना एक CW सम्मिश्र हो जाता है। ज्यामितीय रेखांकन को 'नेट' ([[नेट (पॉलीहेड्रॉन)|बहुतलीय नेट]] के विपरीत) के रूप में संदर्भित करने के लिए बहुतलीय और रासायनिक साहित्य में एक प्रवृत्ति है, और रासायनिक साहित्य में नामपद्धति आरेख सिद्धांत से भिन्न है।<ref>{{Citation
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  }}</ref> अधिकांश साहित्य आवधिक रेखांकन पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो कि असतत स्थान हैं जिसमें मौजूद e> 0 ऐसा है कि किसी भी दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी अलग है |u – v| > ई।
  }}</ref> अधिकांश साहित्य आवधिक रेखांकन पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो कि असतत समष्टि हैं जिसमें e> 0 उपस्थित होता है जैसे कि किसी भी दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी |''u'' – ''v''| > ''e'' अलग होती है।


गणितीय दृष्टिकोण से, एक यूक्लिडियन आवधिक ग्राफ एक परिमित ग्राफ पर ग्राफ को कवर करने वाले अनंत-गुना एबेलियन का अहसास है।
गणितीय दृष्टिकोण से, एक यूक्लिडियन आवधिक आरेख एक परिमित आरेख पर आरेख को आच्छद करने वाले अनंत-गुना एबेलियन का प्रतिफलन है।


=== आवधिकता प्राप्त करना ===
=== आवधिकता प्राप्त करना ===
क्रिस्टलोग्राफिक अंतरिक्ष समूहों की पहचान और वर्गीकरण ने उन्नीसवीं सदी में बहुत कुछ लिया, और सूची की पूर्णता की पुष्टि [[एवग्राफ फेडोरोव]] और [[स्कोएनफ्लाइज़]] के प्रमेयों द्वारा समाप्त हो गई।<ref>{{Citation
क्रिस्टल संरचनात्मक समष्टि समूहों की पहचान और वर्गीकरण ने उन्नीसवीं सदी में बहुत समय लिया, और सूची की पूर्णता की पुष्टि [[एवग्राफ फेडोरोव|एवरग्राफ फेडोरोव]] और [[स्कोएनफ्लाइज़]] के प्रमेयों द्वारा समाप्त हो गई थी।<ref>{{Citation
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  |publisher = Kluwer}}</ref> समस्या को हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या में सामान्यीकृत किया गया था। डेविड हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या, और फेडोरोव-शॉनफ्लाइज़ प्रमेय को [[लुडविग बीबरबैक]] द्वारा उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया था।<ref>{{Citation
  |publisher = Kluwer}}</ref> डेविड हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या में समस्या का सामान्यीकृत किया गया था, और फेडोरोव-शॉनफ्लाइज़ प्रमेय को [[लुडविग बीबरबैक]] द्वारा उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया था।<ref>{{Citation
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फेडोरोव-शॉनफ्लाई प्रमेय निम्नलिखित का दावा करता है। मान लीजिए कि किसी को 3-स्पेस में एक यूक्लिडियन ग्राफ दिया गया है जैसे कि निम्नलिखित सत्य हैं:


# यह समान रूप से असतत है जिसमें मौजूद है e> 0 ऐसा कि किन्हीं दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी अलग है |u – v| > ई।
फेडोरोव-शॉनफ्लाई प्रमेय निम्नलिखित का दावा करता है। मान लीजिए कि किसी को 3-समष्टि में एक यूक्लिडियन आरेख दिया गया है जैसे कि निम्नलिखित सत्य हैं:
# यह अंतरिक्ष को इस अर्थ में भरता है कि 3-अंतरिक्ष में किसी भी विमान के लिए, विमान के दोनों किनारों पर ग्राफ के शिखर मौजूद होते हैं।
# प्रत्येक शीर्ष परिमित [[डिग्री (ग्राफ सिद्धांत)]] या 'वैलेंसी' का है।
# ज्यामितीय ग्राफ के समरूपता समूह के अंतर्गत शीर्षों की बहुत सी कक्षाएँ हैं।


फिर यूक्लिडियन ग्राफ आवधिक है जिसमें इसके समरूपता समूह में अनुवाद के वैक्टर अंतर्निहित यूक्लिडियन स्थान को फैलाते हैं, और इसका समरूपता समूह एक [[अंतरिक्ष समूह]] है।
# यह समान रूप से असतत है जिसमें e> 0 उपस्थित है जैसे कि किन्हीं दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी |''u'' – ''v''| > ''e अलग'' है।
# यह समष्टि को इस अर्थ में पूर्ण करता है कि 3-समष्टि में किसी भी सतह के लिए, सतह के दोनों किनारों पर आरेख के शीर्ष उपस्थित होते हैं।
# प्रत्येक शीर्ष परिमित [[डिग्री (ग्राफ सिद्धांत)|डिग्री (आरेख सिद्धांत)]] या संयोजकता का होता है।
# ज्यामितीय आरेख के समरूपता समूह के अंतर्गत शीर्षों की बहुत कक्षाएँ हैं।


विज्ञान और इंजीनियरिंग में व्याख्या यह है कि चूंकि एक यूक्लिडियन ग्राफ अंतरिक्ष के माध्यम से फैली हुई सामग्री का प्रतिनिधित्व करता है, उसे शर्तों (1), (2), और (3) को पूरा करना चाहिए, गैर-क्रिस्टलीय पदार्थ क्वासिक क्रिस्टल से ग्लास # एक सुपरकूल्ड तरल से गठन का उल्लंघन करना चाहिए (4)। हालांकि, पिछली तिमाही शताब्दी में, क्वासिक क्रिस्टल को क्रिस्टल के साथ पर्याप्त रूप से कई रासायनिक और भौतिक गुणों को साझा करने के लिए मान्यता दी गई है कि क्रिस्टल के रूप में क्वासिक क्रिस्टल को वर्गीकृत करने और तदनुसार क्रिस्टल की परिभाषा को समायोजित करने की प्रवृत्ति है।<ref>{{Citation
फिर यूक्लिडियन आरेख आवधिक है जिसमें इसके समरूपता समूह में अनुवाद के सदिश अंतर्निहित यूक्लिडियन समष्टि को विस्तृत करते हैं, और इसका समरूपता समूह एक क्रिस्टल संरचनात्मक [[अंतरिक्ष समूह|समष्टि समूह]] है।
 
विज्ञान और अभियांत्रिकी में व्याख्या यह है कि एक यूक्लिडियन आरेख समष्टि के माध्यम से विस्तृत हुए पदार्थ का प्रतिनिधित्व करने वाला एक यूक्लिडियन आलेख प्रतिबंध (1), (2), और (3) को पूरा करता है, क्वासिक क्रिस्टल से ग्लास तक गैर-क्रिस्टलीय पदार्थ (4) का उल्लंघन करना चाहिए। हालांकि, पिछली तिमाही शताब्दी में, क्वासिक क्रिस्टल को क्रिस्टल के साथ पर्याप्त रूप से कई रासायनिक और भौतिक गुणों को साझा करने के लिए मान्यता दी गई है कि क्वासिक क्रिस्टल को <nowiki>''</nowiki>क्रिस्टल<nowiki>''</nowiki> के रूप में वर्गीकृत करने और फलस्वरूप <nowiki>''</nowiki>क्रिस्टल<nowiki>''</nowiki> की परिभाषा को समायोजित करने की प्रवृत्ति दी गई है।<ref>{{Citation
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== गणित और संगणना ==
== गणित और संगणना ==
आवधिक रेखांकन की अधिकांश सैद्धांतिक जांच ने उन्हें उत्पन्न करने और वर्गीकृत करने की समस्याओं पर ध्यान केंद्रित किया है।
आवधिक रेखांकन की अधिकांश सैद्धांतिक जांच ने उन्हें उत्पन्न करने और वर्गीकृत करने की समस्याओं पर ध्यान केंद्रित किया है।


=== वर्गीकरण की समस्याएं ===
=== वर्गीकरण की समस्याएं ===
वर्गीकरण की समस्याओं पर अधिकांश कार्य तीन आयामों पर केंद्रित है, विशेष रूप से आवधिक ग्राफ़ (क्रिस्टलोग्राफी) के वर्गीकरण पर, अर्थात्, आवधिक ग्राफ़ जो परमाणुओं या आणविक वस्तुओं के प्लेसमेंट के लिए विवरण या डिज़ाइन के रूप में काम कर सकते हैं, किनारों से संकेतित बांड के साथ, एक क्रिस्टल में। अधिक लोकप्रिय वर्गीकरण मानदंडों में से एक ग्राफ आइसोमोर्फिज्म है, जिसे [[ समरूपता (क्रिस्टलोग्राफी) ]] के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। दो आवधिक रेखांकन को अक्सर समसामयिक रूप से समतुल्य कहा जाता है यदि वे आइसोमॉर्फिक हैं, हालांकि जरूरी नहीं कि [[होमोटोपिक]] हो। भले ही 'ग्राफ़ आइसोमोर्फिज़्म प्रॉब्लम' क्रिस्टल नेट टोपोलॉजिकल समतुल्यता के लिए बहुपद-समय की कमी है (सांस्थितिक समतुल्यता को बहुपद समय # बहुपद समय नहीं होने के अर्थ में कम्प्यूटेशनल रूप से अट्रैक्टिव होने के लिए एक उम्मीदवार बनाते हुए), एक क्रिस्टल नेट को आम तौर पर उपन्यास माना जाता है यदि और केवल अगर कोई सांस्थितिक रूप से समतुल्य नेट ज्ञात नहीं है। इसने टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट पर ध्यान केंद्रित किया है।
वर्गीकरण की समस्याओं पर अधिकांश कार्य तीन आयामों पर केंद्रित है, विशेष रूप से क्रिस्टल मूल्य के वर्गीकरण पर, अर्थात्, आवधिक रेखांकन जो एक क्रिस्टल में किनारों द्वारा इंगित बांड के साथ परमाणुओं या आणविक वस्तुओं के स्थान के लिए विवरण या प्रारुप के रूप में काम कर सकता हैं। अधिक लोकप्रिय वर्गीकरण मानदंडों में से एक आरेख समाकृतिकता है, जिसे क्रिस्टल संरचनात्मक[[ समरूपता (क्रिस्टलोग्राफी) | समाकृतिकता]] के साथ अस्पष्ट नहीं होना चाहिए। दो आवधिक रेखांकन को प्रायः समसामयिक रूप से समतुल्य कहा जाता है यदि वे समरूपीय हैं, हालांकि जरूरी नहीं कि [[होमोटोपिक|समस्थानी]] होता है। यद्यपि आरेख़ समाकृतिकता समस्या क्रिस्टल नेट सांस्थितिक समतुल्यता के लिए बहुपद-समय कम करने योग्य है (सांस्थितिक समतुल्यता को बहुपद समय गणना योग्य नहीं होने के अर्थ में <nowiki>''</nowiki>अभिकलनीयतः रूप से अट्रैक्टिव<nowiki>''</nowiki> होने के लिए एक अभ्यर्थी बनाते हुए), एक क्रिस्टल नेट को सामान्यतः उपन्यास के रूप में माना जाता है अगर और केवल अगर कोई सांस्थितिक रूप से समतुल्य नेट ज्ञात नहीं है। इसने सांस्थितिक निश्चर पर ध्यान केंद्रित किया है।


एक अपरिवर्तनीय न्यूनतम [[चक्र (ग्राफ सिद्धांत)]] (अक्सर रसायन विज्ञान साहित्य में छल्ले कहा जाता है) की सरणी है, जो कि सामान्य शीर्षों के बारे में है और श्लाफली प्रतीक में दर्शाया गया है। एक क्रिस्टल नेट के चक्र संबंधित हैं<ref>{{Citation
एक अपरिवर्तनीय न्यूनतम चक्रों की सरणी है (प्रायः रसायन विज्ञान साहित्य में वलय कहा जाता है) सामान्य शीर्षों के बारे में सरणी और श्लाफली प्रतीक में प्रतिनिधित्व किया जाता है। एक क्रिस्टल नेट का चक्र एक अन्य अपरिवर्तनीय से संबंधित <ref>{{Citation
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  |title = THE SHELL MAP: The structure of froths through a dynamical map
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  }}</ref>), जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, एक ग्राफ में एक शीर्ष ''v'' से एक दूरी अनुक्रम अनुक्रम ''n'' है<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, एन<sub>3</sub>, ..., जहां एन<sub>''i''</sub> v से दूरी i के शीर्षों की संख्या है। समन्वय अनुक्रम अनुक्रम s है<sub>1</sub>, एस<sub>2</sub>, एस<sub>3</sub>, ..., जहां एस<sub>''i''</sub> (कक्षाओं के) क्रिस्टल जालों के शीर्षों के दूरी अनुक्रमों की i-वें प्रविष्टियों का भारित माध्य है, जहाँ भार प्रत्येक कक्षा के शीर्षों का स्पर्शोन्मुख अनुपात है। समन्वय अनुक्रम के संचयी योग को 'टोपोलॉजिकल डेंसिटी' कहा जाता है, और पहले दस शब्दों का योग (शून्य-वें पद के लिए प्लस 1) - जिसे अक्सर TD10 कहा जाता है - क्रिस्टल नेट डेटाबेस में एक मानक खोज शब्द है। देखना<ref>M. Kotani and [[Toshikazu Sunada|T. Sunada]] "Geometric aspects of large deviations for random walks on crystal lattices"  In: ''Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis'' (T. Kawai and K. Fujita, Ed.), World Scientific, 2002, pp. 215&ndash;237.</ref>
  }}</ref>), जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, एक आरेख में एक शीर्ष ''v'' से एक दूरी अनुक्रम ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, ''n''<sub>3</sub>, ... है, जहां ''n<sub>i</sub>'' ''v'' से दूरी ''i'' के शीर्षों की संख्या है। समन्वय अनुक्रम ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>3</sub>, ...है, जहां ''s<sub>i</sub>'' क्रिस्टल नेट (कक्षाओं) के शीर्षों के दूरी अनुक्रमों की i-वें प्रविष्टियों का भारित माध्य है, जहाँ भार प्रत्येक कक्षा के शीर्षों का स्पर्शोन्मुख अनुपात है। समन्वय अनुक्रम के संचयी योग को सांस्थितिक घनत्व के रूप में दर्शाया गया है, और पहले दस शब्दों का योग (शून्य-वें पद के लिए धन 1) - जिसे प्रायः TD10 को निरूपित किया जाता है - क्रिस्टल नेट डेटाबेस में एक मानक अन्वेषण शब्द है। सांस्थितिक घनत्व के गणितीय स्वरूप के लिए देखें<ref>M. Kotani and [[Toshikazu Sunada|T. Sunada]] "Geometric aspects of large deviations for random walks on crystal lattices"  In: ''Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis'' (T. Kawai and K. Fujita, Ed.), World Scientific, 2002, pp. 215&ndash;237.</ref> जो सरल यादृच्छिक चलने की बड़ी विचलन गुण से निकटता से संबंधित है।
<ref>{{Citation
|last = Kotani
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|first2 = T.
|title = Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice
|journal = Math. Z.
|volume = 254
|issue = 4
|pages = 837–870
|year = 2006
|doi=10.1007/s00209-006-0951-9
}}</ref> टोपोलॉजिकल घनत्व के गणितीय पहलू के लिए जो सरल यादृच्छिक चलने की बड़ी विचलन संपत्ति से निकटता से संबंधित है।


टेसलेशन और यूक्लिडियन ग्राफ के बीच संबंध से एक और अपरिवर्तनीय उत्पन्न होता है। यदि हम एक टेसलेशन को (संभवतः पॉलीहेड्रल) ठोस क्षेत्रों, (संभवतः बहुभुज) चेहरों, (संभवतः रैखिक) घटता, और वर्टिकल के रूप में मानते हैं - यानी, सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स | सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के रूप में - तो कर्व और वर्टिकल एक बनाते हैं टेसलेशन का यूक्लिडियन ग्राफ (या [[एन-कंकाल]] | 1-कंकाल)। (इसके अलावा, टाइलों का आसन्न ग्राफ एक अन्य यूक्लिडियन ग्राफ को प्रेरित करता है।) यदि टेसलेशन में बारीक रूप से कई [[ प्रोटोटाइप के लिए ]] हैं, और टेसलेशन आवधिक है, तो परिणामी यूक्लिडियन ग्राफ आवधिक होगा। विपरीत दिशा में जाने पर, एक टेसेलेशन का प्रोटोटाइल जिसका 1-कंकाल दिए गए आवधिक ग्राफ (टोपोलॉजिकल रूप से समतुल्य) है, एक के पास एक और इनवेरिएंट है, और यह इनवेरिएंट है जिसकी गणना कंप्यूटर प्रोग्राम TOPOS द्वारा की जाती है।<ref>{{Citation
टेसलेशन और यूक्लिडियन आरेख के मध्य संबंध से एक और अपरिवर्तनीय उत्पन्न होता है। यदि हम एक टेसलेशन को (संभवतः बहुतलीय) ठोस क्षेत्रों, (संभवतः बहुभुज) विष्ठा, (संभवतः रैखिक) घटता, और शीर्ष-अर्थात, सीडब्ल्यू सम्मिश्र के रूप में मानते हैं - तो वक्र और शीर्ष टेसलेशन के यूक्लिडियन आरेख (या 1[[एन-कंकाल|-रूपरेखा]]) बनाते हैं। (इसके अलावा, टाइल्स का आसन्न आरेख एक अन्य यूक्लिडियन आरेख को प्रेरित करता है।) यदि टेसलेशन में बहुत[[ प्रोटोटाइप के लिए | प्रोटोटाइप]] हैं, तो परिणामी यूक्लिडियन आरेख आवधिक होते है। विपरीत दिशा में जाने पर, एक टेसलेशन का प्रोटोटाइल जिसकी 1-[[एन-कंकाल|रूपरेखा]] दिए गए आवधिक आरेख (सांस्थितिक रूप से समतुल्य) है, एक के पास एक और निश्चर है, और यह निश्चर है जिसकी गणना कंप्यूटर क्रमादेश TOPOS द्वारा की जाती है।<ref>{{Citation
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=== आवधिक रेखांकन उत्पन्न करना ===
 
कई उपस्थित आवधिक आरेख़ गणना कलनविधि हैं, जिनमें उपस्थित नेट को नए बनाने के लिए संशोधित करना सम्मलित है,<ref>{{Citation
=== आवधिक रेखांकन बनाना ===
कई मौजूदा आवधिक ग्राफ़ एन्यूमरेशन एल्गोरिदम हैं, जिनमें मौजूदा नेट को नए बनाने के लिए संशोधित करना शामिल है,<ref>{{Citation
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  }}</ref> लेकिन प्रगणकों के दो प्रमुख वर्ग प्रतीत होते हैं।
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प्रमुख व्यवस्थित क्रिस्टल नेट एन्यूमरेशन एल्गोरिदम में से एक मौजूद है<ref>{{ Citation
प्रमुख व्यवस्थित क्रिस्टल नेट गणना कलनविधि में से <ref>{{ Citation
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  }}</ref> [[बोरिस डेलौने]] और एंड्रियास ड्रेस द्वारा श्लाफली प्रतीक के सामान्यीकरण द्वारा टेसेलेशन के प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसके द्वारा किसी भी टेसेलेशन (किसी भी आयाम का) को एक परिमित संरचना द्वारा दर्शाया जा सकता है,<ref>{{Citation
  }}</ref> [[बोरिस डेलौने]] और एंड्रियास ड्रेस द्वारा श्लाफली प्रतीक के सामान्यीकरण द्वारा टेसलेशन के प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसके द्वारा किसी भी टेसलेशन (किसी भी आयाम) को एक परिमित संरचना द्वारा दर्शाया जा सकता है,<ref>{{Citation
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एक अन्य उपस्थित प्रगणक वर्तमान में जिओलाइट्स के प्रशंसनीय क्रिस्टल नेट बनाने पर केंद्रित है। 3-समष्टि में समरूपता समूह का विस्तार 3-समष्टि के एक [[मौलिक डोमेन|मौलिक प्रक्षेत्र]] (या क्षेत्र) के लक्षण वर्णन की अनुमति देता है, जिसका नेट के साथ प्रतिच्छेदन एक उपआरेख को प्रेरित करता है, जो सामान्य स्थिति में, शीर्ष की प्रत्येक कक्षा से एक शीर्ष होता है। यह उपआरेख संबद्ध हो सकता है, और यदि एक शीर्ष घूर्णन की धुरी या नेट के समरूपता के किसी अन्य निश्चित बिंदु पर स्थित है, तो शीर्ष किसी भी मौलिक क्षेत्र की सीमा पर अनिवार्य रूप से स्थित हो सकता है। इस प्रकरण में, समरूपता समूह को मौलिक क्षेत्र में उपआरेख पर उपयोजित करके नेट उत्पन्न किया जा सकता है।<ref>{{Citation
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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* डिजाइन के लिए क्रिस्टल के मॉडल के रूप में आवधिक रेखांकन (क्रिस्टलोग्राफी)।
* प्रारूप के लिए क्रिस्टल के प्रतिरूप के रूप में आवधिक रेखांकन।


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Latest revision as of 17:00, 17 October 2023

For other uses, see आवधिक आरेख.

एक यूक्लिडियन आरेख (कुछ यूक्लिडियन समष्टि में अंतःस्थापित किया गया आरेख) आवधिक है यदि इस यूक्लिडियन समष्टि का एक आधार (रैखिक बीजगणित) उपस्थित है जिसका संबंधित अनुवाद (ज्यामिति) उस आरेख की समरूपता को प्रेरित करता है (अर्थात, यूक्लिडियन समष्टि में अंतःस्थापित किए गए आरेख में ऐसे किसी भी अनुवाद के अनुप्रयोग आरेख को अपरिवर्तित छोड़ देता है)। समतुल्य रूप से, एक आवधिक यूक्लिडियन आरेख एक परिमित आरेख पर एक एबेलियन आवरण आरेख का आवधिक प्रतिफलन है।[1][2] यूक्लिडियन आरेख समान रूप से असतत होता है यदि किन्हीं दो शीर्षों के मध्य न्यूनतम दूरी होती है। आवधिक रेखांकन समष्टि (या मधुकोष) के टेसलेशन और उनके समरूपता समूहों की ज्यामिति से निकटता से संबंधित हैं, इसलिए ज्यामितीय समूह सिद्धांत के साथ-साथ असतत ज्यामिति और बहुतलीय सिद्धांत और इसी तरह के क्षेत्रों से संबंधित हैं।

आवधिक रेखांकन में अधिकांश प्रयास प्राकृतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी के अनुप्रयोगों से प्रेरित होता है, विशेष रूप से क्रिस्टल अभियांत्रिकी, क्रिस्टल पूर्वानुमान (प्रारुप) और प्रतिदर्श क्रिस्टल आचरण के लिए त्रि-आयामी क्रिस्टल नेट से प्रेरित होता है। अति बृहत् एकीकरण (वीएलएसआई) परिपथ प्रतिदर्श में आवधिक आरेख का भी अध्ययन किया गया है।[3]

मूल सूत्रीकरण

एक ज्यामितीय आरेख सिद्धांत एक जोड़ी (V, E) है, जहां V बिंदुओं का एक समुच्चय है (कभी-कभी शीर्ष या नोड्स कहा जाता है) और E किनारों का एक समुच्चय होता है (कभी-कभी बांड कहा जाता है), जहां प्रत्येक किनारा दो शिखरों में सम्मलित होता है। जबकि दो शीर्षों u और v को जोड़ने वाले किनारे को सामान्यतः समुच्चय (गणित) {u, v} के रूप में समझा जाता है, किनारों को कभी-कभी u और v को जोड़ने वाले रेखा खंड के रूप में व्याख्या किया जाता है ताकि परिणामी संरचना एक CW सम्मिश्र हो जाता है। ज्यामितीय रेखांकन को 'नेट' (बहुतलीय नेट के विपरीत) के रूप में संदर्भित करने के लिए बहुतलीय और रासायनिक साहित्य में एक प्रवृत्ति है, और रासायनिक साहित्य में नामपद्धति आरेख सिद्धांत से भिन्न है।[4] अधिकांश साहित्य आवधिक रेखांकन पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो कि असतत समष्टि हैं जिसमें e> 0 उपस्थित होता है जैसे कि किसी भी दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी |u – v| > e अलग होती है।

गणितीय दृष्टिकोण से, एक यूक्लिडियन आवधिक आरेख एक परिमित आरेख पर आरेख को आच्छद करने वाले अनंत-गुना एबेलियन का प्रतिफलन है।

आवधिकता प्राप्त करना

क्रिस्टल संरचनात्मक समष्टि समूहों की पहचान और वर्गीकरण ने उन्नीसवीं सदी में बहुत समय लिया, और सूची की पूर्णता की पुष्टि एवरग्राफ फेडोरोव और स्कोएनफ्लाइज़ के प्रमेयों द्वारा समाप्त हो गई थी।[5] डेविड हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या में समस्या का सामान्यीकृत किया गया था, और फेडोरोव-शॉनफ्लाइज़ प्रमेय को लुडविग बीबरबैक द्वारा उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया था।[6]

फेडोरोव-शॉनफ्लाई प्रमेय निम्नलिखित का दावा करता है। मान लीजिए कि किसी को 3-समष्टि में एक यूक्लिडियन आरेख दिया गया है जैसे कि निम्नलिखित सत्य हैं:

  1. यह समान रूप से असतत है जिसमें e> 0 उपस्थित है जैसे कि किन्हीं दो अलग-अलग शीर्षों के लिए, उनकी दूरी |u – v| > e अलग है।
  2. यह समष्टि को इस अर्थ में पूर्ण करता है कि 3-समष्टि में किसी भी सतह के लिए, सतह के दोनों किनारों पर आरेख के शीर्ष उपस्थित होते हैं।
  3. प्रत्येक शीर्ष परिमित डिग्री (आरेख सिद्धांत) या संयोजकता का होता है।
  4. ज्यामितीय आरेख के समरूपता समूह के अंतर्गत शीर्षों की बहुत कक्षाएँ हैं।

फिर यूक्लिडियन आरेख आवधिक है जिसमें इसके समरूपता समूह में अनुवाद के सदिश अंतर्निहित यूक्लिडियन समष्टि को विस्तृत करते हैं, और इसका समरूपता समूह एक क्रिस्टल संरचनात्मक समष्टि समूह है।

विज्ञान और अभियांत्रिकी में व्याख्या यह है कि एक यूक्लिडियन आरेख समष्टि के माध्यम से विस्तृत हुए पदार्थ का प्रतिनिधित्व करने वाला एक यूक्लिडियन आलेख प्रतिबंध (1), (2), और (3) को पूरा करता है, क्वासिक क्रिस्टल से ग्लास तक गैर-क्रिस्टलीय पदार्थ (4) का उल्लंघन करना चाहिए। हालांकि, पिछली तिमाही शताब्दी में, क्वासिक क्रिस्टल को क्रिस्टल के साथ पर्याप्त रूप से कई रासायनिक और भौतिक गुणों को साझा करने के लिए मान्यता दी गई है कि क्वासिक क्रिस्टल को ''क्रिस्टल'' के रूप में वर्गीकृत करने और फलस्वरूप ''क्रिस्टल'' की परिभाषा को समायोजित करने की प्रवृत्ति दी गई है।[7]

गणित और संगणना

आवधिक रेखांकन की अधिकांश सैद्धांतिक जांच ने उन्हें उत्पन्न करने और वर्गीकृत करने की समस्याओं पर ध्यान केंद्रित किया है।

वर्गीकरण की समस्याएं

वर्गीकरण की समस्याओं पर अधिकांश कार्य तीन आयामों पर केंद्रित है, विशेष रूप से क्रिस्टल मूल्य के वर्गीकरण पर, अर्थात्, आवधिक रेखांकन जो एक क्रिस्टल में किनारों द्वारा इंगित बांड के साथ परमाणुओं या आणविक वस्तुओं के स्थान के लिए विवरण या प्रारुप के रूप में काम कर सकता हैं। अधिक लोकप्रिय वर्गीकरण मानदंडों में से एक आरेख समाकृतिकता है, जिसे क्रिस्टल संरचनात्मक समाकृतिकता के साथ अस्पष्ट नहीं होना चाहिए। दो आवधिक रेखांकन को प्रायः समसामयिक रूप से समतुल्य कहा जाता है यदि वे समरूपीय हैं, हालांकि जरूरी नहीं कि समस्थानी होता है। यद्यपि आरेख़ समाकृतिकता समस्या क्रिस्टल नेट सांस्थितिक समतुल्यता के लिए बहुपद-समय कम करने योग्य है (सांस्थितिक समतुल्यता को बहुपद समय गणना योग्य नहीं होने के अर्थ में ''अभिकलनीयतः रूप से अट्रैक्टिव'' होने के लिए एक अभ्यर्थी बनाते हुए), एक क्रिस्टल नेट को सामान्यतः उपन्यास के रूप में माना जाता है अगर और केवल अगर कोई सांस्थितिक रूप से समतुल्य नेट ज्ञात नहीं है। इसने सांस्थितिक निश्चर पर ध्यान केंद्रित किया है।

एक अपरिवर्तनीय न्यूनतम चक्रों की सरणी है (प्रायः रसायन विज्ञान साहित्य में वलय कहा जाता है) सामान्य शीर्षों के बारे में सरणी और श्लाफली प्रतीक में प्रतिनिधित्व किया जाता है। एक क्रिस्टल नेट का चक्र एक अन्य अपरिवर्तनीय से संबंधित [8] हैं, जो कि समन्वय अनुक्रम (या टोपोलॉजी में शेल मानचित्र[9]), जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, एक आरेख में एक शीर्ष v से एक दूरी अनुक्रम n1, n2, n3, ... है, जहां ni v से दूरी i के शीर्षों की संख्या है। समन्वय अनुक्रम s1, s2, s3, ...है, जहां si क्रिस्टल नेट (कक्षाओं) के शीर्षों के दूरी अनुक्रमों की i-वें प्रविष्टियों का भारित माध्य है, जहाँ भार प्रत्येक कक्षा के शीर्षों का स्पर्शोन्मुख अनुपात है। समन्वय अनुक्रम के संचयी योग को सांस्थितिक घनत्व के रूप में दर्शाया गया है, और पहले दस शब्दों का योग (शून्य-वें पद के लिए धन 1) - जिसे प्रायः TD10 को निरूपित किया जाता है - क्रिस्टल नेट डेटाबेस में एक मानक अन्वेषण शब्द है। सांस्थितिक घनत्व के गणितीय स्वरूप के लिए देखें[10] जो सरल यादृच्छिक चलने की बड़ी विचलन गुण से निकटता से संबंधित है।

टेसलेशन और यूक्लिडियन आरेख के मध्य संबंध से एक और अपरिवर्तनीय उत्पन्न होता है। यदि हम एक टेसलेशन को (संभवतः बहुतलीय) ठोस क्षेत्रों, (संभवतः बहुभुज) विष्ठा, (संभवतः रैखिक) घटता, और शीर्ष-अर्थात, सीडब्ल्यू सम्मिश्र के रूप में मानते हैं - तो वक्र और शीर्ष टेसलेशन के यूक्लिडियन आरेख (या 1-रूपरेखा) बनाते हैं। (इसके अलावा, टाइल्स का आसन्न आरेख एक अन्य यूक्लिडियन आरेख को प्रेरित करता है।) यदि टेसलेशन में बहुत प्रोटोटाइप हैं, तो परिणामी यूक्लिडियन आरेख आवधिक होते है। विपरीत दिशा में जाने पर, एक टेसलेशन का प्रोटोटाइल जिसकी 1-रूपरेखा दिए गए आवधिक आरेख (सांस्थितिक रूप से समतुल्य) है, एक के पास एक और निश्चर है, और यह निश्चर है जिसकी गणना कंप्यूटर क्रमादेश TOPOS द्वारा की जाती है।[11]

आवधिक रेखांकन उत्पन्न करना

कई उपस्थित आवधिक आरेख़ गणना कलनविधि हैं, जिनमें उपस्थित नेट को नए बनाने के लिए संशोधित करना सम्मलित है,[12] लेकिन प्रगणकों के दो प्रमुख वर्ग प्रतीत होते हैं।

प्रमुख व्यवस्थित क्रिस्टल नेट गणना कलनविधि में से [13] बोरिस डेलौने और एंड्रियास ड्रेस द्वारा श्लाफली प्रतीक के सामान्यीकरण द्वारा टेसलेशन के प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसके द्वारा किसी भी टेसलेशन (किसी भी आयाम) को एक परिमित संरचना द्वारा दर्शाया जा सकता है,[14] जिसे हम ड्रेस-डेलानी का प्रतीक कह सकते हैं। ड्रेस-डेलानी प्रतीकों का कोई भी प्रभावी प्रगणक प्रभावी रूप से उन आवधिक नेट की गणना कर सकता है जो टेसलेशन के अनुरूप हैं। डेलगाडो-फ्रेडरिक्स एट अल के त्रि-आयामी ड्रेस-डेलानी प्रतीक प्रगणक ने कई उपन्यास क्रिस्टल नेट की भविष्यवाणी की है जो बाद में संश्लेषित किए गए थे।[15] इस मध्य, एक द्वि-आयामी ड्रेस-डेलानी प्रगणक द्वि-आयामी अतिपरवलयिक समष्टि के रेटिक्यूलेशन उत्पन्न करता है जो शल्यक्रिया चिकित्सा से विच्छेदित होते है और गायरॉइड, डायमंड या अभाज्य जैसे तीन गुना आवधिक न्यूनतम सतह के चारों ओर आच्छादित किया जाता है, जिसने कई उपन्यास क्रिस्टल नेट उत्पन्न किए जाते हैं।[16]

एक अन्य उपस्थित प्रगणक वर्तमान में जिओलाइट्स के प्रशंसनीय क्रिस्टल नेट बनाने पर केंद्रित है। 3-समष्टि में समरूपता समूह का विस्तार 3-समष्टि के एक मौलिक प्रक्षेत्र (या क्षेत्र) के लक्षण वर्णन की अनुमति देता है, जिसका नेट के साथ प्रतिच्छेदन एक उपआरेख को प्रेरित करता है, जो सामान्य स्थिति में, शीर्ष की प्रत्येक कक्षा से एक शीर्ष होता है। यह उपआरेख संबद्ध हो सकता है, और यदि एक शीर्ष घूर्णन की धुरी या नेट के समरूपता के किसी अन्य निश्चित बिंदु पर स्थित है, तो शीर्ष किसी भी मौलिक क्षेत्र की सीमा पर अनिवार्य रूप से स्थित हो सकता है। इस प्रकरण में, समरूपता समूह को मौलिक क्षेत्र में उपआरेख पर उपयोजित करके नेट उत्पन्न किया जा सकता है।[17] अन्य क्रमादेश विकसित किए गए हैं जो इसी तरह एक प्रारंभिक खंड की प्रतियां उत्पन्न करते हैं और उन्हें आवधिक आरेख में सरेस करते हैं।[18]

यह भी देखें

  • प्रारूप के लिए क्रिस्टल के प्रतिरूप के रूप में आवधिक रेखांकन।

संदर्भ

  1. ↑ Sunada, T. (2012), "Lecture on topological crystallography", Japan. J. Math., 7: 1–39, doi:10.1007/s11537-012-1144-4
  2. ↑ Sunada, T. (2012), Topological Crystallography With a View Towards Discrete Geometric Analysis, Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, vol. 6, Springer
  3. ↑ Cohen, E.; Megiddo, N. (1991), "Recognizing Properties of Periodic Graphs" (PDF), DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 4: Applied Geometry and Discrete Mathematics, DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 4: 135–146, doi:10.1090/dimacs/004/10, ISBN 9780821865934, retrieved August 15, 2010
  4. ↑ Delgado-Friedrichs, O.; O’Keeffe, M. (2005), "Crystal nets as graphs: Terminology and definitions", Journal of Solid State Chemistry, 178 (8): 2480–2485, Bibcode:2005JSSCh.178.2480D, doi:10.1016/j.jssc.2005.06.011
  5. ↑ Senechal, M. (1990), "A brief history of geometrical crystallography", in Lima-de-Faria, J. (ed.), Historical Atlas of Crystallography, Kluwer, pp. 43–59
  6. ↑ Vinberg, E. B.; Shvartsman, O. V. (1993), "Discrete Groups of Motions of Spaces of Constant Curvature", in Vinberg, E. B. (ed.), Geometry II: Spaces of Constant Curvature, Springer-Verlag
  7. ↑ Senechal, M. (1995), Quasicrystals and Geometry, Cambridge U. Pr., p. 27
  8. ↑ Eon, J. G. (2004), "Topological density of nets: a direct calculation", Acta Crystallogr. A, 60 (Pt 1): 7–18, Bibcode:2004AcCrA..60....7E, doi:10.1107/s0108767303022037, PMID 14691323.
  9. ↑ Aste, T. (1999), "The Shell Map", in Sadoc, J. F.; Rivier, N. (eds.), THE SHELL MAP: The structure of froths through a dynamical map, Foams and Emulsions, Kluwer, pp. 497–510, arXiv:cond-mat/9803183, Bibcode:1998cond.mat..3183A
  10. ↑ M. Kotani and T. Sunada "Geometric aspects of large deviations for random walks on crystal lattices" In: Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis (T. Kawai and K. Fujita, Ed.), World Scientific, 2002, pp. 215–237.
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  16. ↑ EPINET: Euclidean Patterns in Non-Euclidean Tilings, retrieved January 30, 2013
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अग्रिम पठन

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