दशमलव: Difference between revisions

Latest revision as of 17:06, 19 October 2023

दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें

दशमलव अंक प्रणाली (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और /ˈdiːnəri/^[1] या दशकीय भी कहा जाता है) पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदी-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।^[2] दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने की विधि को अधिकांश दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[3]

दशमलव अंक (अधिकांश केवल दशमलव या, कम सही रूप से, दशमलव संख्या), सामान्यतः दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक दशमलव विभाजक (सामान्यतः। या, $25.9703$ या $3,1415$ के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।^[4] दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि $3.14$ में $π$ का अनुमान है। दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, $a /10 n$ के रूप का भिन्न (गणित) हैं, जहाँ $a$ पूर्णांक है, और $n$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

दशमलव विभाजक (दशमलव प्रतिनिधित्व देखें) के बाद अंकों के अनुक्रम (गणित) का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, $5.123144144144144... = 5.123 144$ )।^[5] एक अनंत दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल यदि यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।

मूल

ईमानदार = 1.2

प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना प्रारंभ किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले मिस्र के अंक हैं, फिर ब्राह्मी अंक, ग्रीक अंक, हिब्रू अंक, रोमन अंक और चीनी अंक इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना कठिन था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की प्रारंभ के साथ पूरी तरह से समाधान किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

दशमलव अंकन

संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक दशमलव चिह्न, और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक ऋणात्मक चिन्ह "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;^[6] दशमलव विभाजक डॉट " $.$ " है कई अन्य देशों में (अधिकांश अंग्रेजी बोलने वाले),^[7] और अल्पविराम " $,$ " का प्रयोग किया जाता है।^[4]

एक गैर-नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक दशमलव अंक होता है

या तो अंकों का एक (परिमित) अनुक्रम (जैसे 2017), जहां पूरा अनुक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है,
$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$
या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)

a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}

।

यदि $m > 0$ , अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह सामान्यतः माना जाता है कि पहला अंक $a m$ शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, $3.14 = 03.14 = 003.14$ । इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात्, तो, यदि $b n = 0$ इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; ^{[note 1]} उदाहरण के लिए, $15 = 15.0 = 15.00$ और $5.2 = 5.20 = 5.200$ ।

एक ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक ऋण चिह्न $a m$ से पहले रखा जाता है।

अंक $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है

a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}

।

दशमलव अंक का पूर्णांक भाग या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)। एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है। दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, सामान्यतः कम्प्यूटिंग में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, $.1234$ , के अतिरिक्त $0.1234$ )। सामान्य लेखन में, दशमलव चिन्ह और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण इसके प्रयोग से बचा जाता है ।

संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।

दशमलव अंश

दशमलव अंश (कभी -कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों को सम्मिलित करने वाले संदर्भों में) तर्कसंगत संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका भाजक दस का घातांक है।^[8] उदाहरण के लिए, दशमलव $0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159$ अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं और $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}4/5$ , $1489 / 100$ , $79 / 100000$ , $+ 809 / 500$ और $+ 314159 / 100000$ , इसलिए दशमलव संख्या हैं।

अधिक सामान्यतः, एक दशमलव के साथ $n$ दशमलव विभाजक (एक बिंदु या अल्पविराम) के बाद अंकों में हर $10 n$ , जिसका अंश विभाजक को हटाकर प्राप्त पूर्णांक है।

यह इस प्रकार है कि एक संख्या एक दशमलव अंश है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व है।

पूरी तरह से कम किए गए अंश के रूप में व्यक्त किया गया, दशमलव संख्या वे हैं जिनके भाजक 2 की घात और 5 की घात का एक उत्पाद है। इस प्रकार दशमलव संख्या के सबसे छोटे भाजक हैं

1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots

वास्तविक संख्या सन्निकटन

दशमलव अंक सभी वास्तविक संख्याओं के लिए एक त्रुटिहीन प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देते हैं, उदा. वास्तविक संख्या $π$ के लिए। फिर भी, वे किसी भी वांछित शुद्धता के साथ हर वास्तविक संख्या को अनुमानित करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव 3.14159 वास्तविक $π$ का अनुमान लगाता है, जो 10⁻⁵ से कम है; इसलिए दशमलव का व्यापक रूप से विज्ञान, अभियांत्रिकी और दैनिक जीवन में उपयोग किया जाता है।

अधिक त्रुटिहीन रूप से, हर वास्तविक संख्या $x$ के लिए और हर धनात्मक पूर्णांक $n$ , के लिए दो दशमलव $L$ और $u$ होते हैं जिनमें दशमलव चिह्न के बाद अधिक से $n$ अंक होते हैं जैसे कि $L \leq x \leq u$ और $(u - L) = 10 - n$ ।

माप के परिणाम के रूप में संख्या बहुत बार प्राप्त की जाती है। जैसा कि माप एक ज्ञात ऊपरी सीमा के साथ माप अनिश्चितता के अधीन हैं, जैसे ही पूर्ण माप त्रुटि ऊपर से बंधी हुई है $10 - n$ से ऊपर से घिरी होती है, माप का परिणाम दशमलव चिह्न के बाद $n$ अंकों के साथ दशमलव द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया जाता है। व्यवहार में, माप के परिणाम अधिकांश दशमलव बिंदु के बाद एक निश्चित संख्या में अंकों के साथ दिए जाते हैं, जो त्रुटि सीमा का संकेत देते हैं। उदाहरण के लिए, चूंकि 0.080 और 0.08 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, दशमलव अंक 0.080 0.001 से कम त्रुटि के साथ एक माप का सुझाव देता है, जबकि अंक 0.08 0.01 से बंधी एक पूर्ण त्रुटि को निरुपित करता है। दोनों स्थितियों में, मापा मात्रा का सही मान, उदाहरण के लिए, 0.0803 या 0.0796 (महत्वपूर्ण आंकड़े भी देखें) हो सकता है।

अनंत दशमलव विस्तार

एक वास्तविक संख्या $x$ और एक पूर्णांक $n \geq 0$ के लिए, मान लीजिए $[x] n$ सबसे बड़ी संख्या के (परिमित) दशमलव विस्तार को निरूपित करें जो कि $x$ से अधिक नहीं है जिसमें दशमलव चिह्न के बाद बिल्कुल $n$ अंक हैं। मना $d i$ के अंतिम अंक को $[x] i$ निरूपित करें। यह देखना सीधा है कि $[x] n$ को $[x] n -1$ के दाईं $d n$ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार एक है

[x] n = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n -1 d n

,

और $[x] n -1$ और $[x] n$ का अंतर

\left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}

,

जो या तो 0 है, यदि $d n = 0$ , या स्वैच्छिक रूप से छोटा हो जाता है क्योंकि $n$ अनंत की ओर जाता है। एक सीमा (गणित) की परिभाषा के अनुसार, $x$ $[x] n$ की सीमा है जब $n$ अनंत की ओर जाता है। यह के रूप में लिखा है

${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$

या

$x = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n ...$ ,

जिसे $x$ का अनंत दशमलव विस्तार कहा जाता है।

इसके विपरीत, किसी भी पूर्णांक के लिए $[x] 0$ और अंकों का कोई भी क्रम ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$ (अनंत) व्यंजक $[x] 0 . d 1 d 2 ... d n ...$ एक वास्तविक संख्या $x$ का एक अनंत दशमलव विस्तार है। यह विस्तार अद्वितीय है यदि पर्याप्त $n$ के लिये न तो सभी $d n$ 9 के बराबर हैं और न ही सभी $d n$ के लिए 0 के बराबर हैं (किसी प्राकृतिक संख्या $N$ से अधिक सभी $n$ के लिए)।

यदि $d n$ के लिए $n > N$ 9 के बराबर और $[x] n = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n$ , अनुक्रम की सीमा ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$ क्या दशमलव अंश अंतिम अंक को बदलकर प्राप्त किया गया है जो 9 नहीं है, अर्थात:: $d N$ , द्वारा $d N + 1$ , और बाद के सभी 9s को 0s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।

इस प्रकार के किसी भी दशमलव अंश, अर्थात्: $d n = 0$ के लिए $n > N$ , प्रतिस्थापित करके इसके समकक्ष अनंत दशमलव विस्तार में परिवर्तित किया जा सकता है $d N$ द्वारा $d N - 1$ और सभी बाद के 0s को 9s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।

सारांश में, प्रत्येक वास्तविक संख्या जो दशमलव अंश नहीं है, उसका एक अद्वितीय अनंत दशमलव विस्तार होता है।प्रत्येक दशमलव अंश में बिल्कुल दो अनंत दशमलव विस्तार होते हैं, जिनमें से केवल कुछ जगह के बाद 0s होता है, जो उपरोक्त परिभाषा $[x] n$ द्वारा प्राप्त किया जाता है, और दूसरा जिसमें कुछ जगह के बाद केवल 9s होते हैं, जो कि $[x] n$ को सबसे बड़ी संख्या के रूप में परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है जो कि $x$ से कम है, जिसमें दशमलव चिह्न के बाद ठीक $n$ अंक होते हैं।

तर्कसंगत संख्या

लम्बा विभाजन एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है। यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। चूंकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए। अर्थात्, एक को दोहराया दशमलव है। उदाहरण के लिए,

181 = 0।012345679012 ... (समूह के साथ 012345679 अनिश्चित काल के लिए)।

यह भी सच है: यदि, किसी संख्या के दशमलव प्रतिनिधित्व में कुछ बिंदु पर, अंकों के समान स्ट्रिंग अनिश्चित काल तक दोहराने लगती है, तो संख्या तर्कसंगत है।

उदाहरण के लिए, यदि x है	0.4156156156...
तो 10,000x है	4156.156156156...
और 10x है	4.156156156...
इसलिए 10,000x − 10x, अर्थात् 9,990x, है	4152.000000000...
और x है	4152/9990

या अंश और हर दोनों को 6 से भाग देने पर, 692/1665।

दशमलव गणना

दुनिया के सबसे पहले ज्ञात मल्टीप्लिका और शर्मीली का आरेख; tion टेबल (c. 305 BCE) युद्धरत राज्यों की अवधि से

अधिकांश आधुनिक संगणक हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर प्रणाली सामान्यतः आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (चूंकि कई प्रारंभिक कंप्यूटर, जैसे कि ईएनआईएसी या आईबीएम 650, आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)।^[9]

कंप्यूटर विशेषज्ञों द्वारा बाहरी उपयोग के लिए, यह बाइनरी प्रतिनिधित्व कभी -कभी संबंधित अष्टभुजाकार या हेक्साडेसिमल प्रणाली में प्रस्तुत किया जाता है।

अधिकांश उद्देश्यों के लिए, चूंकि, द्विआधारी मूल्यों को मनुष्यों से प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मूल्यों में या परिवर्तित किया जाता है;कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं।(123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस प्रकार लिखा जाता है, चाहे कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को ठीक से एनकोड करने में असमर्थ हों।)

कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं। अधिकांश यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो बाइनरी-कोडित दशमलव के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है,^[10]^[11] विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, किन्तु उपयोग में अन्य दशमलव प्रतिनिधित्व हैं (दशमलव अस्थायी बिंदु जैसे कि IEEE 754 के नए संशोधन में)।

Ref> दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट: कंप्यूटर के लिए अल्गोरिज्म, माइक काउलिशॉव | Cowlishaw, माइक एफ।, कार्यवाही 16 वीं IEEE संगोष्ठी कंप्यूटर अंकगणित पर, ISBN 0-7695-1894-X, पीपी। 104–11, IEEE COMP।Soc।, 2003 </ref>

दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटर में किया जाता है जिससे उनके आंशिक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मूल्यों को जोड़ने (या घटाने) के दशमलव आंशिक परिणाम हमेशा शुद्धता की समान लंबाई के लिए गणना की जाती हैं। यह विशेष रूप से वित्तीय गणना के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, उनके परिणामों की आवश्यकता होती है, जो कि पुस्तक रखने के उद्देश्यों के लिए सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है।यह बाइनरी में संभव नहीं है, क्योंकि नकारात्मक शक्तियां $10$ कोई परिमित द्विआधारी आंशिक प्रतिनिधित्व नहीं है;और सामान्यतः गुणा (या विभाजन) के लिए असंभव है।^[12]^[13] त्रुटिहीन गणना के लिए स्वैच्छिक-त्रुटिहीन अंकगणित देखें।

इतिहास

चीन में युद्धरत राज्यों की अवधि के समय दुनिया की सबसे पुरानी दशमलव गुणन तालिका को 305 ईसा पूर्व से डेटिंग, बांस की पर्चियों से बनाया गया था।

कई प्राचीन संस्कृतियों की गणना दस के आधार पर अंकों के साथ की जाती है, कभी -कभी मानव हाथों के कारण तर्क दिया जाता है कि सामान्यतः दस अंगुलियों/अंक होते हैं।^[14] सिंधु घाटी सभ्यता में उपयोग किए जाने वाले मानकीकृत भार (c. 3300–1300 BCE) अनुपात पर आधारित थे: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 100, 200, और 500, जबकि उनके मानकीकृत शासक- मोहनजो-दारो शासक - को दस समान भागों में विभाजित किया गया था।^[15]^[16]^[17] लगभग 3000 ईसा पूर्व के बाद से सबूतों में मिस्र के चित्रलिपि, एक विशुद्ध रूप से दशमलव प्रणाली का उपयोग करते हैं,^[18] जैसा कि क्रेटन हाइरोग्लिफ़्स (c. 1625−1500 BCE) उन मीनियों का जिनके अंक मिस्र के मॉडल पर बारीकी से आधारित हैं।^[19]^[20] और दशमलव प्रणाली कांस्य युग ग्रीस की लगातार कांस्य युग की संस्कृतियों को सौंपी गई थी, जिसमें रैखिक ए (सी. 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व bc1450 ईसा पूर्व) और रैखिक बी (सी। 1375−1200 ईसा पूर्व) सम्मिलित थे - मौलिक ग्रीस की संख्या प्रणाली ने दस की शक्तियों का भी उपयोग किया था,रोमन अंक 5 का एक मध्यवर्ती आधार है।^[21] विशेष रूप से, पॉलीमैथ आर्किमिडीज (सी। 287–212 ईसा पूर्व) ने अपने रेत रेकनर में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था⁸^[21] और बाद में जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस का नेतृत्व किया, जो कि हाइट्स साइंस ने अपने दिनों में पहले ही पहुंच लिया होगा यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से अनुभव किया होता हैं।^[22] हित्तियों (15 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद से) भी सख्ती से दशमलव थे।^[23]

कुछ गैर-पारिश्रमिक प्राचीन ग्रंथ जैसे कि वेदों, 1700-900 ईसा पूर्व में डेटिंग दशमलव और गणितीय दशमलव अंशों का उपयोग करते हैं।^[24]

मिस्र के हायरैटिक अंक, ग्रीक वर्णमाला अंक, हिब्रू वर्णमाला अंक, रोमन अंक, चीनी अंक और प्रारंभिक भारतीय ब्राह्मी अंक सभी गैर-स्थिति दशमलव प्रणालियों हैं, और बड़ी संख्या में प्रतीकों की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, मिस्र के अंकों ने 10, 20 से 90, 100, 200 से 900, 1000, 2000, 3000, 4000, से 10,000 के लिए अलग -अलग प्रतीकों का उपयोग किया।^[25]

दुनिया की सबसे पुरानी स्थिति दशमलव प्रणाली चीनी रॉड कैलकुलस थी।^[26]

दुनिया की सबसे पुरानी स्थिति दशमलव प्रणाली
ऊपरी पंक्ति ऊर्ध्वाधर रूप
निचली पंक्ति क्षैतिज रूप

दशमलव अंशों का इतिहास

गिनती रॉड दशमलव अंश 1/7

दशमलव अंशों को पहली बार 4 वीं शताब्दी के अंत में चीनी द्वारा विकसित और उपयोग किया गया था,^[27] और फिर मध्य पूर्व में और वहां से यूरोप तक फैल गया।^[26]^[28] लिखित चीनी दशमलव अंश गैर-स्थिति में थे।^[28] चूंकि, रॉड कैलकुलस अंश स्थितिगत थे।^[26]

नौ खंडों में अपनी पुस्तक गणितीय ग्रंथ (1247 (1247^[29]) 0.96644 को निरूपित किया था

寸

, अर्थ

寸

096644

जे. लेनार्ट बर्गग्रेन ने नोट किया कि 10 वीं शताब्दी में लिखे गए अरब गणितज्ञ अबू'ल-हसन अल-उक्लिडिसी की एक पुस्तक में पहली बार स्थित दशमलव अंश दिखाई देते हैं।^[30] यहूदी गणितज्ञ इमैनुएल बोनफिल्स ने साइमन स्टीविन की आशंका के साथ 1350 के आसपास दशमलव अंशों का उपयोग किया, किन्तु उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई संकेतन विकसित नहीं किया था।^[31] फारसी गणितज्ञ जमशिद अल-कशी ने प्रमाणित किया कि 15 वीं शताब्दी में स्वयं दशमलव अंशों की खोज की गई थी।^[30] अलखावरिज़्मी ने 9 वीं शताब्दी की प्रारंभ में इस्लामी देशों में अंश प्रस्तुत किया; एक चीनी लेखक ने आरोप लगाया है कि उनकी अंश प्रस्तुति सूरज बैंगनी सु शांत से पारंपरिक चीनी गणितीय अंश की एक त्रुटिहीन प्रति थी।^[26] एक क्षैतिज बार के बिना नीचे और नीचे की तरफ अंश पर अंश के साथ अंश का यह रूप अल-उक्लिडिसी द्वारा और अल-काशी द्वारा उनके कार्य अंकगणितीय कुंजी में भी उपयोग किया गया था।^[26]^[32]

16 वीं शताब्दी में साइमन स्टीविन द्वारा आधुनिक यूरोपीय दशमलव संकेतन का एक अग्रदूत प्रस्तुत किया गया था।^[33]

जॉन नेपियर ने 1620 में मरणोपरांत प्रकाशित, लॉगरिथम्स के निर्माण तालिकाओं पर अपनी पुस्तक में एक दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को अलग करने के लिए अवधि (।) का उपयोग करके प्रारंभ किया था।^[34]^{: p. 8, archive p. 32)}

प्राकृतिक भाषाएँ

भारत में दस प्रतीकों के एक सेट का उपयोग करके हर संभव प्राकृतिक संख्या को व्यक्त करने की एक विधि हैं। कई भारतीय भाषाएं एक सीधी दशमलव प्रणाली दिखाती हैं। कई इंडो-आर्यन भाषाएँ और द्रविड़ियन भाषाओं में 10 और 20 के बीच संख्या 10 के अतिरिक्त नियमित स्वरूप में व्यक्त की गई है।^[35]

हंगेरियन भाषा एक सीधी दशमलव प्रणाली का भी उपयोग करती है। 10 और 20 के बीच सभी संख्याएं नियमित रूप से बनती हैं (जैसे कि 11 को टिज़ेगी के रूप में शाब्दिक रूप से दस पर एक के रूप में व्यक्त किया जाता है), जैसे कि 20 से 100 (23 के बीच 23 के रूप में हुसोनह्रोम = 20 पर 3)।

प्रत्येक आदेश के लिए एक शब्द के साथ एक सीधा दशमलव रैंक प्रणाली (10) 十, 100 百, 1000 千, 10,000 万), और जिसमें 11 को दस-एक के रूप में और 23 को दो-दस-तीन के रूप में, और 89,345 को 8 (दस हजारों) के रूप में और 万 9 (हजार) 千 3 (सौ) 百 4 (दसियों) 十 5 चीनी भाषा में व्यक्त किया गया है, और वियतनामी भाषा में कुछ अनियमितताओं के साथ पाया जाता है। जापानी भाषा, कोरियाई भाषा और थाई भाषा ने चीनी दशमलव प्रणाली का आयात किया है। दशमलव प्रणाली वाली कई अन्य भाषाओं में 10 और 20 और दशकों के बीच संख्याओं के लिए विशेष शब्द हैं। उदाहरण के लिए, अंग्रेजी में 11 ग्यारह नहीं दस-एक या एक-किशोरावस्था है।

इंकान भाषाओं जैसे कि क्वेशुआ भाषाओं और आयमारा भाषा में लगभग सीधी दशमलव प्रणाली होती है, जिसमें 11 को दस के साथ एक और 23 के रूप में दो-दस के रूप में व्यक्त किया जाता है।

कुछ मनोवैज्ञानिक सुझाव देते हैं कि अंकों के अंग्रेजी नामों की अनियमितता बच्चों की गिनती की क्षमता में बाधा डाल सकती है।^[36]

अन्य आधार

कुछ संस्कृतियां संख्याओं के अन्य स्थानों का उपयोग करती हैं, या करती हैं।

पूर्व-कोलंबियन मेसोअमेरिका संस्कृतियों जैसे कि माया अंकों ने एक विजय का उपयोग किया। आधार -20 प्रणाली (संभवतः सभी बीस उंगलियों और पैर की उंगलियों का उपयोग करने के आधार पर)।
कैलिफोर्निया और पामियन भाषाओं में युकी जनजाति भाषा^[37] मेक्सिको में ऑक्टल ( सूत्र -8) प्रणाली हैं क्योंकि वक्ताओं ने अपनी उंगलियों के अतिरिक्त स्वयं को उंगलियों के अतिरिक्त रिक्त स्थान का उपयोग करके गिना है।^[38]
जर्मनिक भाषाओं के प्रारंभिक चिन्ह में एक गैर-दशमलव आधार का अस्तित्व शब्दों और शब्दावली की उपस्थिति से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि गिनती दशमलव में है (दस-गिनती या टेंटी-वार के लिए संज्ञानात्मक); इस प्रकार की आशा की जाएगी यदि सामान्य गिनती दशमलव नहीं है, और यदि यह असामान्य है।^[39]^[40] जहां यह गिनती प्रणाली ज्ञात है, यह लॉन्ग हंड्रेड = 120 पर आधारित है, और 1200 का एक लॉन्ग थाउजेंड पर आधारित है। लंबे समय के विवरण केवल छोटे सौ 100 के बाद दिखाई देते हैं जो ईसाइयों के साथ दिखाई देते हैं। गॉर्डन का परिचय पुराने नॉर्स के लिए] Archived 2016-04-15 at the Wayback Machine पी; 293, संख्या नाम देता है जो इस प्रणाली से संबंधित हैं। एक व्यंजक 'एक सौ अस्सी' का अनुवाद 200 हो जाता है, और 'दो सौ' का अनुवाद 240 हो जाता है। गुडारे मध्य युग में स्कॉटलैंड में लॉन्ग हंड्रेड के उपयोग का विवरण देते हैं, गणना जैसे उदाहरण देना जहां कैरी का तात्पर्य i C (अर्थात् एक सौ) 120 आदि के रूप में है। और सामान्य आबादी ऐसी संख्याओं का सामना करने के लिए चिंतित नहीं थी, सामान्य पर्याप्त उपयोग का सुझाव देती है। पाउंड की लंबी गिनती के अतिरिक्त मध्यवर्ती इकाइयों, जैसे पत्थर और पाउंड का उपयोग करके सौ जैसी संख्याओं से बचना भी संभव है। गुडारे vii स्कोर जैसी संख्याओं का उदाहरण देते हैं, जहां कोई विस्तारित स्कोर का उपयोग करके सौ से बचता है। लॉन्ग हंड्रेड और इंग्लैंड में इसके उपयोग पर डब्ल्यू.एच. स्टीवेंसन का एक पेपर भी है।^[41]^[42]
कई या सभी चुमाशान भाषाओं ने मूल रूप से एक चतुर्धातुक संख्यात्मक प्रणाली का उपयोग किया था। जिसमें संख्याओं के नाम 4 और 16 के गुणकों के अनुसार संरचित किए गए थे।^[43]
कई भाषाओं में^[44] गुमात्ज, नुंगगुबुयू, कुर्न कोपन नोट लैंग्वेज और सरवका सहित पांचवीं (आधार-5) संख्या प्रणाली का उपयोग किया जाता है |^[45] ^[46] इनमें से केवल गुमत्ज ही 5-25 भाषा ज्ञात है जिसमें 25 5 का उच्च समूह है।
कुछ नाइजीरियाई ग्रहणी प्रणाली का उपयोग करते हैं।^[47] इसी प्रकार भारत और नेपाल में कुछ छोटे समुदायों ने अपनी भाषाओं के संकेत के अनुसार किया था।^[48]
पापुआ न्यू गिनी की हुली भाषा में आधार -15 संख्या होने की सूचना है।^[49] जिसमे नगुई का अर्थ 15 है, नगुई "की" का अर्थ है 15 × 2 = 30 और नगुई नगुई का अर्थ 15 × 15 = 225 होता हैं।
उम्बु-उंगु, जिसे काकोली के नाम से भी जाना जाता है, के आधार 24 संख्या के लिए सूचना दी गई है।^[50] जिसमे टोकापू का अर्थ 24 है, टोकापू तालु का अर्थ 24 × 2 = 48 है, और टोकापू टोकापु का अर्थ 24 × 24 = 576 है।
नगीती भाषा में आधार - 4 चक्रों के साथ आधार 32 संख्या प्रणाली होने की सूचना है।^[44]
पापुआ न्यू गिनी की नडोम भाषा में आधार -6 अंक होने की सूचना है।^[51] जिसमे मेर का अर्थ 6 है, मेर एन थेफ का अर्थ 6 × 2 = 12 है, निफ का अर्थ 36 है, और निफ थेफ़ का अर्थ 36 × 2 = 72 है।

यह भी देखें

संदर्भ

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[8] Sometimes, the extra zeros are used for indicating the accuracy of a measurement. For example, "15.00 m" may indicate that the measurement error is less than one centimetre (0.01 m), while "15 m" may mean that the length is roughly fifteen metres and that the error may exceed 10 centimetres.

[1] "denary". Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press. (Subscription or participating institution membership required.)

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 {{Short description|Number in base-10 numeral system}}
-{{Other uses}}
+[[File:Decimal_digit.png|thumb|upright=1.2|दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें]]'''दशमलव''' [[अंक प्रणाली]] (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और {{IPAc-en|ˈ|d|iː|n|ər|i}}<ref>{{OED|denary}}</ref> या दशकीय भी कहा जाता है) [[पूर्णांक]] और गैर-पूर्णांक [[संख्या]]ओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदी-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।<ref>{{Cite journal |last=Cajori |first=Florian |date=Feb 1926 |title=The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/358384 |journal=Isis |publisher=[[University of Chicago Press]] |volume=8 |issue=1 |pages=231–232 |doi=10.1086/358384 |issn=0021-1753}}</ref> दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने की विधि को अधिकांश दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Yong |first=Lam Lay |url=http://dx.doi.org/10.1142/5425 |title=Fleeting Footsteps |last2=Se |first2=Ang Tian |date=April 2004 |publisher=[[World Scientific]] |isbn=978-981-238-696-0 |at=268 |doi=10.1142/5425 |access-date=March 17, 2022}}</ref>
-[[File:Decimal_digit.png|thumb|upright=1.2|दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें]]दशमलव [[अंक प्रणाली]] (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और {{IPAc-en|ˈ|d|iː|n|ər|i}}<ref>{{OED|denary}}</ref> या दशकीय भी कहा जाता है) [[पूर्णांक]] और गैर-पूर्णांक [[संख्या]]ओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।<ref>{{Cite journal |last=Cajori |first=Florian |date=Feb 1926 |title=The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/358384 |journal=Isis |publisher=[[University of Chicago Press]] |volume=8 |issue=1 |pages=231–232 |doi=10.1086/358384 |issn=0021-1753}}</ref> दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के तरीके को अक्सर दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Yong |first=Lam Lay |url=http://dx.doi.org/10.1142/5425 |title=Fleeting Footsteps |last2=Se |first2=Ang Tian |date=April 2004 |publisher=[[World Scientific]] |isbn=978-981-238-696-0 |at=268 |doi=10.1142/5425 |access-date=March 17, 2022}}</ref>
+दशमलव अंक (अधिकांश केवल दशमलव या, कम सही रूप से, दशमलव संख्या), सामान्यतः दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक [[दशमलव विभाजक]] (सामान्यतः। या, {{math|25.9703}} या {{math|3,1415}} के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।<ref name=":1">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=March 10, 2022 |title=Decimal Point |url=https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html |url-status=live |access-date=March 17, 2022 |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref> दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि {{math|3.14}} में {{pi}} का अनुमान है। दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।
-एक दशमलव अंक (अक्सर केवल दशमलव या, कम सही ढंग से, दशमलव संख्या), आम तौर पर दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक [[दशमलव विभाजक]] (आमतौर पर। या, {{math|25.9703}} या {{math|3,1415}} के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।<ref name=":1">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=March 10, 2022 |title=Decimal Point |url=https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html |url-status=live |access-date=March 17, 2022 |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref> दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि {{math|3.14}} में {{pi}} का अनुमान है  दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।
-दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, {{math|''a''/10<sup>''n''</sup>}} के रूप का [[अंश (गणित)|भिन्न (गणित)]] , जहाँ {{math|''a''}} एक पूर्णांक है, और {{math|''n''}} एक [[गैर-नकारात्मक पूर्णांक]] है।
+दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, {{math|''a''/10<sup>''n''</sup>}} के रूप का [[अंश (गणित)|भिन्न (गणित)]] हैं, जहाँ {{math|''a''}} पूर्णांक है, और {{math|''n''}} एक [[गैर-नकारात्मक पूर्णांक]] है।
-दशमलव विभाजक ([[दशमलव प्रतिनिधित्व]] देखें) के बाद अंकों के [[अनुक्रम (गणित)]] का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी [[वास्तविक संख्या]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, {{math|1=5.123144144144144... = 5.123{{overline|144}}}})।<ref>The [[Vinculum (symbol)|vinculum (overline)]] in 5.123<span style="text-decoration: overline;">144</span> indicates that the '144' sequence repeats indefinitely, i.e. {{val|5.123144144144144|s=...}}.</ref> एक अनंत दशमलव एक [[तर्कसंगत संख्या]] का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल अगर यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।
+दशमलव विभाजक ([[दशमलव प्रतिनिधित्व]] देखें) के बाद अंकों के [[अनुक्रम (गणित)]] का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी [[वास्तविक संख्या]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, {{math|1=5.123144144144144... = 5.123{{overline|144}}}})।<ref>The [[Vinculum (symbol)|vinculum (overline)]] in 5.123<span style="text-decoration: overline;">144</span> indicates that the '144' sequence repeats indefinitely, i.e. {{val|5.123144144144144|s=...}}.</ref> एक अनंत दशमलव एक [[तर्कसंगत संख्या]] का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल यदि यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।
 == मूल ==
-[[File:Two hand, ten fingers.jpg|thumb|right|दो हाथों पर दस अंक, दशमलव गिनती की संभावित उत्पत्ति | ईमानदार = 1.2]]प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना शुरू किया। जिसका उदाहरण  सबसे पहले [[मिस्र के अंक]] हैं, फिर [[ब्राह्मी अंक]], [[ग्रीक अंक]], [[हिब्रू अंक]], रोमन अंक और [[चीनी अंक]] इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की शुरूआत के साथ पूरी तरह से हल किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।
+[[File:Two hand, ten fingers.jpg|thumb|right|दो हाथों पर दस अंक, दशमलव गिनती की संभावित उत्पत्ति | ईमानदार = 1.2]]प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना प्रारंभ किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले [[मिस्र के अंक]] हैं, फिर [[ब्राह्मी अंक]], [[ग्रीक अंक]], [[हिब्रू अंक]], रोमन अंक और [[चीनी अंक]] इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना कठिन था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की प्रारंभ के साथ पूरी तरह से समाधान किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।
-== [[दशमलव अंक]]न ==
+== दशमलव अंकन ==
+संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक [[दशमलव चिह्न]], और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक [[ घटाव का चिन्ह |ऋणात्मक चिन्ह]] "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक [[0]], [[1]], 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;<ref>In some countries, such as [[Arab language|Arab speaking]] ones, other [[glyph]]s are used for the digits</ref> दशमलव विभाजक डॉट "{{math|.}}" है कई अन्य देशों में (अधिकांश अंग्रेजी बोलने वाले),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=दशमलव|url=https://mathworld.wolfram.com/दशमलव.html|access-date=2020-08-22|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> और अल्पविराम "{{math|,}}" का प्रयोग किया जाता है।<ref name=":1" />
-संख्या लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंकों का उपयोग करती है, एक [[दशमलव चिह्न]], और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक [[ घटाव का चिन्ह ]] -।दशमलव अंक [[0]], [[1]], 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;<ref>In some countries, such as [[Arab language|Arab speaking]] ones, other [[glyph]]s are used for the digits</ref> दशमलव विभाजक डॉट है{{math|.}}कई देशों में (ज्यादातर अंग्रेजी बोलने वाले),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=दशमलव|url=https://mathworld.wolfram.com/दशमलव.html|access-date=2020-08-22|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> और एक अल्पविराम{{math|,}}अन्य देशों में।<ref name=":1" />
 एक [[गैर-नकारात्मक संख्या]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक दशमलव अंक होता है
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 *या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)
 ::<math>a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n</math>।
-यदि {{math|''m'' > 0}}, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह आमतौर पर माना जाता है कि पहला अंक {{math|''a''<sub>''m''</sub>}} शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है;यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, {{math|1=3.14 = 03.14 = 003.14}}।इसी तरह, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - यानी, तो, अगर {{math|1=''b''<sub>''n''</sub> = 0}}- इसे हटाया जा सकता है;इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; {{NoteTag|text=Sometimes, the extra zeros are used for indicating the [[accuracy and precision|accuracy]] of a measurement. For example, "15.00&nbsp;m" may indicate that the measurement error is less than one centimetre (0.01&nbsp;m), while "15&nbsp;m" may mean that the length is roughly fifteen metres and that the error may exceed 10&nbsp;centimetres.}} उदाहरण के लिए, {{math|1=15 = 15.0 = 15.00}} और {{math|1=5.2 = 5.20 = 5.200}}।
+यदि {{math|''m'' > 0}}, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह सामान्यतः माना जाता है कि पहला अंक {{math|''a''<sub>''m''</sub>}} शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, {{math|1=3.14 = 03.14 = 003.14}}। इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात्, तो, यदि {{math|1=''b''<sub>''n''</sub> = 0}} इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; {{NoteTag|text=Sometimes, the extra zeros are used for indicating the [[accuracy and precision|accuracy]] of a measurement. For example, "15.00&nbsp;m" may indicate that the measurement error is less than one centimetre (0.01&nbsp;m), while "15&nbsp;m" may mean that the length is roughly fifteen metres and that the error may exceed 10&nbsp;centimetres.}} उदाहरण के लिए, {{math|1=15 = 15.0 = 15.00}} और {{math|1=5.2 = 5.20 = 5.200}}।
-एक नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक माइनस चिन्ह पहले रखा गया है {{math|''a''<sub>''m''</sub>}}।
+एक ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक ऋण चिह्न {{math|''a''<sub>''m''</sub>}} से पहले रखा जाता है।
 अंक <math>a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n</math> संख्या का प्रतिनिधित्व करता है
 :<math>a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_{0}10^0+\frac{b_1}{10^1}+\frac{b_2}{10^2}+\cdots+\frac{b_n}{10^n}</math>।
-दशमलव अंक का [[पूर्णांक भाग]] या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)।एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है।दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।
+दशमलव अंक का [[पूर्णांक भाग]] या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)। एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है। दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।
-जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, आमतौर पर [[ कम्प्यूटिंग ]] में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {{math|.1234}}, के बजाय {{math|0.1234}})।सामान्य लेखन में, यह आम तौर पर बचा जाता है, क्योंकि दशमलव निशान और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण।
+जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, सामान्यतः [[ कम्प्यूटिंग |कम्प्यूटिंग]] में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {{math|.1234}}, के अतिरिक्त {{math|0.1234}})। सामान्य लेखन में, दशमलव चिन्ह और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण इसके प्रयोग से बचा जाता है ।
-संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है।अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।
+संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।
 == दशमलव अंश ==
-{{Table Numeral Systems}}
+दशमलव अंश (कभी -कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों को सम्मिलित करने वाले संदर्भों में) तर्कसंगत संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका [[भाजक]] दस का [[घातांक]] है।<ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Decimal_fraction|title=Decimal Fraction|encyclopedia=[[Encyclopedia of Mathematics]]|access-date=2013-06-18}}</ref> उदाहरण के लिए, दशमलव <math>0.8, 14.89, 0.00079, 1.618, 3.14159</math> अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं और {{math|{{sfrac|4|5}}}}, {{math|{{sfrac|1489|100}}}}, {{math|{{sfrac|79|100000}}}}, {{Math|{{sfrac||809|500}}}} और {{Math|{{sfrac||314159|100000}}}}, इसलिए दशमलव संख्या हैं।
-दशमलव अंश (कभी -कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों को शामिल करने वाले संदर्भों में) तर्कसंगत संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका [[भाजक]] दस का [[घातांक]] है।<ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Decimal_fraction|title=Decimal Fraction|encyclopedia=[[Encyclopedia of Mathematics]]|access-date=2013-06-18}}</ref> उदाहरण के लिए, दशमलव <math>0.8, 14.89, 0.00079, 1.618, 3.14159</math> अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं {{math|{{sfrac|4|5}}}}, {{math|{{sfrac|1489|100}}}}, {{math|{{sfrac|79|100000}}}}, {{Math|{{sfrac||809|500}}}} और {{Math|{{sfrac||314159|100000}}}}, और इसलिए दशमलव संख्या हैं।
-अधिक आम तौर पर, एक दशमलव के साथ {{math|''n''}} दशमलव विभाजक (एक बिंदु या अल्पविराम) के बाद अंकों में हर {{math|10<sup>''n''</sup>}}, जिसका अंश विभाजक को हटाकर प्राप्त पूर्णांक है।
+अधिक सामान्यतः, एक दशमलव के साथ {{math|''n''}} दशमलव विभाजक (एक बिंदु या अल्पविराम) के बाद अंकों में हर {{math|10<sup>''n''</sup>}}, जिसका अंश विभाजक को हटाकर प्राप्त पूर्णांक है।
-यह इस प्रकार है कि एक संख्या एक दशमलव अंश है यदि और केवल अगर इसमें एक परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व है।
+यह इस प्रकार है कि एक संख्या एक दशमलव अंश है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व है।
-पूरी तरह से कम किए गए अंश के रूप में व्यक्त किया गया, दशमलव संख्या वे हैं जिनके भाजक 2 की शक्ति और 5 की शक्ति का एक उत्पाद है। इस प्रकार दशमलव संख्या के सबसे छोटे भाजक हैं
+पूरी तरह से कम किए गए अंश के रूप में व्यक्त किया गया, दशमलव संख्या वे हैं जिनके भाजक 2 की घात और 5 की घात का एक उत्पाद है। इस प्रकार दशमलव संख्या के सबसे छोटे भाजक हैं
 :<math>1=2^0\cdot 5^0, 2=2^1\cdot 5^0, 4=2^2\cdot 5^0, 5=2^0\cdot 5^1, 8=2^3\cdot 5^0, 10=2^1\cdot 5^1, 16=2^4\cdot 5^0, 20=2^2\cdot5^1, 25=2^0\cdot 5^2, \ldots</math>
 == वास्तविक संख्या सन्निकटन ==
-दशमलव अंक सभी वास्तविक संख्याओं के लिए एक सटीक प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देते हैं, उदा।असली नंबर के लिए PI |{{pi}}।फिर भी, वे किसी भी वांछित सटीकता के साथ हर वास्तविक संख्या को अनुमानित करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव 3.14159 वास्तविक का अनुमान लगाता है {{pi}}, 10 से कम होने के नाते<sup>−5 </sup> बंद;इसलिए [[विज्ञान]], [[ अभियांत्रिकी ]] और रोजमर्रा की जिंदगी में दशमलव का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
+दशमलव अंक सभी वास्तविक संख्याओं के लिए एक त्रुटिहीन प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देते हैं, उदा. वास्तविक संख्या {{pi}} के लिए। फिर भी, वे किसी भी वांछित शुद्धता के साथ हर वास्तविक संख्या को अनुमानित करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव 3.14159 वास्तविक {{pi}} का अनुमान लगाता है, जो 10<sup>−5</sup> से कम है; इसलिए दशमलव का व्यापक रूप से [[विज्ञान]], [[ अभियांत्रिकी |अभियांत्रिकी]] और दैनिक जीवन में उपयोग किया जाता है।
-अधिक सटीक रूप से, हर वास्तविक संख्या के लिए {{Mvar|x}} और हर सकारात्मक पूर्णांक {{Mvar|n}}, दो दशमलव हैं {{Mvar|''L''}} और {{Mvar|''u''}} सबसे अधिक{{Mvar|n}}दशमलव चिह्न के बाद अंक जैसे कि {{Math|''L'' ≤ ''x'' ≤ ''u''}} और {{Math|1=(''u'' − ''L'') = 10<sup>−''n''</sup>}}।
+अधिक त्रुटिहीन रूप से, हर वास्तविक संख्या {{Mvar|x}} के लिए और हर धनात्मक पूर्णांक {{Mvar|n}}, के लिए दो दशमलव {{Mvar|''L''}} और {{Mvar|''u''}} होते हैं जिनमें दशमलव चिह्न के बाद अधिक से {{Mvar|n}} अंक होते हैं जैसे कि {{Math|''L'' ≤ ''x'' ≤ ''u''}} और {{Math|1=(''u'' − ''L'') = 10<sup>−''n''</sup>}}।
-[[माप]] के परिणाम के रूप में संख्या बहुत बार प्राप्त की जाती है।जैसा कि माप एक ज्ञात [[ऊपरी सीमा]] के साथ [[माप अनिश्चितता]] के अधीन हैं, एक माप का परिणाम एक दशमलव द्वारा अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व किया जाता है {{math|''n''}} दशमलव चिह्न के बाद अंक, जैसे ही पूर्ण माप त्रुटि ऊपर से बंधी हुई है {{Math|10<sup>−''n''</sup>}}।व्यवहार में, माप के परिणाम अक्सर दशमलव बिंदु के बाद एक निश्चित संख्या में अंकों के साथ दिए जाते हैं, जो त्रुटि सीमा का संकेत देते हैं।उदाहरण के लिए, हालांकि 0.080 और 0.08 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, दशमलव अंक 0.080 0.001 से कम त्रुटि के साथ एक माप का सुझाव देता है, जबकि अंक 0.08 0.01 से बंधी एक पूर्ण त्रुटि को इंगित करता है।दोनों मामलों में, मापा मात्रा का सही मूल्य, उदाहरण के लिए, 0.0803 या 0.0796 ([[महत्वपूर्ण आंकड़े]] भी देखें) हो सकता है।
+[[माप]] के परिणाम के रूप में संख्या बहुत बार प्राप्त की जाती है। जैसा कि माप एक ज्ञात [[ऊपरी सीमा]] के साथ [[माप अनिश्चितता]] के अधीन हैं, जैसे ही पूर्ण माप त्रुटि ऊपर से बंधी हुई है {{Math|10<sup>−''n''</sup>}} से ऊपर से घिरी होती है, माप का परिणाम दशमलव चिह्न के बाद {{math|''n''}} अंकों के साथ दशमलव द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया जाता है। व्यवहार में, माप के परिणाम अधिकांश दशमलव बिंदु के बाद एक निश्चित संख्या में अंकों के साथ दिए जाते हैं, जो त्रुटि सीमा का संकेत देते हैं। उदाहरण के लिए, चूंकि 0.080 और 0.08 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, दशमलव अंक 0.080 0.001 से कम त्रुटि के साथ एक माप का सुझाव देता है, जबकि अंक 0.08 0.01 से बंधी एक पूर्ण त्रुटि को निरुपित करता है। दोनों स्थितियों में, मापा मात्रा का सही मान, उदाहरण के लिए, 0.0803 या 0.0796 ([[महत्वपूर्ण आंकड़े]] भी देखें) हो सकता है।
 == अनंत दशमलव विस्तार ==
-{{main|Decimal representation}}
+{{main|दशमलव प्रतिनिधित्व}}
-एक वास्तविक संख्या के लिए {{Mvar|x}} और एक पूर्णांक {{Math|''n'' ≥ 0}}, होने देना {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} सबसे बड़ी संख्या के (परिमित) दशमलव विस्तार को निरूपित करें जो इससे अधिक नहीं है{{Mvar|x}}यह बिल्कुल है {{Mvar|n}} दशमलव चिह्न के बाद अंक।होने देना {{Math|''d''<sub>''i''</sub>}} के अंतिम अंक को निरूपित करें {{Math|[''x'']<sub>''i''</sub>}}।यह देखना सीधा है {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} अपील करके प्राप्त किया जा सकता है {{Math|''d''<sub>''n''</sub>}} के अधिकार के लिए {{Math|[''x'']<sub>''n''−1</sub>}}।इस तरह से एक है
+एक वास्तविक संख्या {{Mvar|x}} और एक पूर्णांक {{Math|''n'' ≥ 0}} के लिए, मान लीजिए {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} सबसे बड़ी संख्या के (परिमित) दशमलव विस्तार को निरूपित करें जो कि {{Mvar|x}} से अधिक नहीं है जिसमें दशमलव चिह्न के बाद बिल्कुल {{Mvar|n}} अंक हैं। मना {{Math|''d''<sub>''i''</sub>}} के अंतिम अंक को {{Math|[''x'']<sub>''i''</sub>}} निरूपित करें। यह देखना सीधा है कि {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} को {{Math|[''x'']<sub>''n''−1</sub>}} के दाईं {{Math|''d''<sub>''n''</sub>}} जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार एक है
 :{{Math|1=[''x'']<sub>''n''</sub> = [''x'']<sub>0</sub>.''d''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub>...''d''<sub>''n''−1</sub>''d''<sub>''n''</sub>}},
-और का अंतर {{Math|[''x'']<sub>''n''−1</sub>}} और {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} के बराबर
+और {{Math|[''x'']<sub>''n''−1</sub>}} और {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} का अंतर
 :<math>\left\vert \left [ x \right ]_n-\left [ x \right ]_{n-1} \right\vert=d_n\cdot10^{-n}<10^{-n+1}</math>,
-जो या तो 0 है, अगर {{Math|1=''d''<sub>''n''</sub> = 0}}, या मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है{{Mvar|n}}अनंत की ओर जाता है।एक [[सीमा (गणित)]] की परिभाषा के अनुसार,{{Mvar|x}}की सीमा है {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} जब{{Mvar|n}}अनंत की ओर जाता है।यह के रूप में लिखा है<math display="inline">\; x = \lim_{n\rightarrow\infty} [x]_n \;</math>या
+जो या तो 0 है, यदि {{Math|1=''d''<sub>''n''</sub> = 0}}, या स्वैच्छिक रूप से छोटा हो जाता है क्योंकि {{Mvar|n}} अनंत की ओर जाता है। एक [[सीमा (गणित)]] की परिभाषा के अनुसार, {{Mvar|x}} {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} की सीमा है जब {{Mvar|n}} अनंत की ओर जाता है। यह के रूप में लिखा है
-: {{Math|1=''x'' = [''x'']<sub>0</sub>.''d''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub>...''d''<sub>''n''</sub>...}},
-जिसे '' का अनंत दशमलव विस्तार कहा जाता है{{Mvar|x}}।
+<math display="inline">\; x = \lim_{n\rightarrow\infty} [x]_n \;</math>
+या
+{{Math|1=''x'' = [''x'']<sub>0</sub>.''d''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub>...''d''<sub>''n''</sub>...}},
+जिसे ''{{Mvar|x}} का अनंत दशमलव विस्तार कहा जाता है।''
-इसके विपरीत, किसी भी पूर्णांक के लिए {{Math|[''x'']<sub>0</sub>}} और अंकों का कोई भी क्रम<math display="inline">\;(d_n)_{n=1}^{\infty}</math> (अनंत) अभिव्यक्ति {{Math|[''x'']<sub>0</sub>.''d''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub>...''d''<sub>''n''</sub>...}} एक वास्तविक संख्या का एक अनंत दशमलव विस्तार है{{Mvar|x}}।यह विस्तार अद्वितीय है अगर न तो सभी {{Math|''d''<sub>''n''</sub>}} 9 के बराबर हैं और न ही सभी {{Math|''d''<sub>''n''</sub>}} के लिए 0 के बराबर हैं{{Mvar|n}}पर्याप्त (सभी के लिए){{Mvar|n}}कुछ प्राकृतिक संख्या से अधिक {{Mvar|N}})।
-मैं गिरा {{Math|''d''<sub>''n''</sub>}} के लिए {{Math|''n'' > ''N''}} 9 के बराबर और {{Math|1=[''x'']<sub>''n''</sub> = [''x'']<sub>0</sub>.''d''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub>...''d''<sub>''n''</sub>}}, अनुक्रम की सीमा<math display="inline">\;([x]_n)_{n=1}^{\infty}</math> क्या दशमलव अंश अंतिम अंक को बदलकर प्राप्त किया गया है जो 9 नहीं है, अर्थात:: {{Math|''d''<sub>''N''</sub>}}, द्वारा {{Math|''d''<sub>''N''</sub> + 1}}, और बाद के सभी 9s को 0s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।
-इस तरह के किसी भी दशमलव अंश, यानी: {{Math|1=''d''<sub>''n''</sub> = 0}} के लिए {{Math|''n'' > ''N''}}, प्रतिस्थापित करके इसके समकक्ष अनंत दशमलव विस्तार में परिवर्तित किया जा सकता है {{Math|''d''<sub>''N''</sub>}} द्वारा  {{Math|''d''<sub>''N''</sub> − 1}} और सभी बाद के 0s को 9s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।
+इसके विपरीत, किसी भी पूर्णांक के लिए {{Math|[''x'']<sub>0</sub>}} और अंकों का कोई भी क्रम<math display="inline">\;(d_n)_{n=1}^{\infty}</math> (अनंत) व्यंजक {{Math|[''x'']<sub>0</sub>.''d''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub>...''d''<sub>''n''</sub>...}} एक वास्तविक संख्या {{Mvar|x}} का एक अनंत दशमलव विस्तार है। यह विस्तार अद्वितीय है यदि पर्याप्त {{Mvar|n}} के लिये न तो सभी {{Math|''d''<sub>''n''</sub>}} 9 के बराबर हैं और न ही सभी {{Math|''d''<sub>''n''</sub>}} के लिए 0 के बराबर हैं (किसी प्राकृतिक संख्या {{Mvar|N}} से अधिक सभी {{Mvar|n}} के लिए)।
-सारांश में, प्रत्येक वास्तविक संख्या जो दशमलव अंश नहीं है, उसका एक अद्वितीय अनंत दशमलव विस्तार होता है।प्रत्येक दशमलव अंश में बिल्कुल दो अनंत दशमलव विस्तार होते हैं, जिनमें से केवल कुछ जगह के बाद 0s होता है, जो उपरोक्त परिभाषा द्वारा प्राप्त किया जाता है {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}}, और दूसरा जिसमें कुछ जगह के बाद केवल 9s होते हैं, जो परिभाषित करके प्राप्त होता है {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} सबसे बड़ी संख्या के रूप में जो कम है {{Mvar|x}}, बिल्कुल हो रहा है{{Mvar|n}}दशमलव चिह्न के बाद अंक।
+यदि {{Math|''d''<sub>''n''</sub>}} के लिए {{Math|''n'' > ''N''}} 9 के बराबर और {{Math|1=[''x'']<sub>''n''</sub> = [''x'']<sub>0</sub>.''d''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub>...''d''<sub>''n''</sub>}}, अनुक्रम की सीमा<math display="inline">\;([x]_n)_{n=1}^{\infty}</math> क्या दशमलव अंश अंतिम अंक को बदलकर प्राप्त किया गया है जो 9 नहीं है, अर्थात:: {{Math|''d''<sub>''N''</sub>}}, द्वारा {{Math|''d''<sub>''N''</sub> + 1}}, और बाद के सभी 9s को 0s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।
+इस प्रकार के किसी भी दशमलव अंश, अर्थात्: {{Math|1=''d''<sub>''n''</sub> = 0}} के लिए {{Math|''n'' > ''N''}}, प्रतिस्थापित करके इसके समकक्ष अनंत दशमलव विस्तार में परिवर्तित किया जा सकता है {{Math|''d''<sub>''N''</sub>}} द्वारा {{Math|''d''<sub>''N''</sub> − 1}} और सभी बाद के 0s को 9s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।
+सारांश में, प्रत्येक वास्तविक संख्या जो दशमलव अंश नहीं है, उसका एक अद्वितीय अनंत दशमलव विस्तार होता है।प्रत्येक दशमलव अंश में बिल्कुल दो अनंत दशमलव विस्तार होते हैं, जिनमें से केवल कुछ जगह के बाद 0s होता है, जो उपरोक्त परिभाषा {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} द्वारा प्राप्त किया जाता है, और दूसरा जिसमें कुछ जगह के बाद केवल 9s होते हैं, जो कि {{Math|[''x'']<sub>''n''</sub>}} को सबसे बड़ी संख्या के रूप में परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है जो कि {{Mvar|x}} से कम है, जिसमें दशमलव चिह्न के बाद ठीक {{Mvar|n}} अंक होते हैं।
 === तर्कसंगत संख्या ===
-{{main|Repeating decimal}}
+{{main|दोहराए जाने वाले दशमलव}}
-[[ लम्बा विभाजन ]] एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है।यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है।हालांकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए।यानी, एक को दोहराया दशमलव है।उदाहरण के लिए,
+लम्बा विभाजन एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है। यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। चूंकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए। अर्थात्, एक को दोहराया दशमलव है। उदाहरण के लिए,
 :{{sfrac|81}} = 0।012345679012 ... (समूह के साथ 012345679 अनिश्चित काल के लिए)।
@@ Line 79: / Line 85: @@
 {|
 |-
-|For example, if ''x'' is || {{figure space|6}}0.4156156156...
+|उदाहरण के लिए, यदि x है || {{figure space|6}}0.4156156156...
 |-
-|then 10,000''x'' is || {{figure space|3}}4156.156156156...
+|तो 10,000x है
+| {{figure space|3}}4156.156156156...
 |-
-|and 10''x'' is|| {{figure space|6}}4.156156156...
+|और 10x है|| {{figure space|6}}4.156156156...
 |-
-|so 10,000''x'' − 10''x'', i.e. 9,990''x'', is||{{figure space|3}}4152.000000000...
+|इसलिए 10,000x − 10x, अर्थात् 9,990x, है||{{figure space|3}}4152.000000000...
 |-
-|and ''x'' is|| {{figure space|3}}{{sfrac|4152|9990}}
+|और ''x'' है|| {{figure space|3}}{{sfrac|4152|9990}}
 |}
-या, दोनों अंश और हर दोनों को विभाजित करना, 6, {{sfrac|692|1665}}।
+या अंश और हर दोनों को 6 से भाग देने पर, {{sfrac|692|1665}}।
 == दशमलव गणना ==
-[[File:Decimal multiplication table.JPG|thumb|right|300px|दुनिया के सबसे पहले ज्ञात मल्टीप्लिका और शर्मीली का आरेख; tion टेबल ({{circa|305 BCE}}) [[युद्धरत राज्यों की अवधि]] से]]अधिकांश आधुनिक [[ संगणक ]] हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर सिस्टम आमतौर पर आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (हालांकि कई शुरुआती कंप्यूटर, जैसे कि [[ENIAC]] या [[IBM 650]], आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)।<ref>"Fingers or Fists? (The Choice of Decimal or Binary Representation)", [[Werner Buchholz]], ''Communications of the ACM'', Vol. 2 #12, pp. 3–11, ACM Press, December 1959.</ref>
+[[File:Decimal multiplication table.JPG|thumb|right|300px|दुनिया के सबसे पहले ज्ञात मल्टीप्लिका और शर्मीली का आरेख; tion टेबल ({{circa|305 BCE}}) [[युद्धरत राज्यों की अवधि]] से]]अधिकांश आधुनिक [[ संगणक |संगणक]] हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर प्रणाली सामान्यतः आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (चूंकि कई प्रारंभिक कंप्यूटर, जैसे कि [[ENIAC|ईएनआईएसी]] या [[IBM 650|आईबीएम 650]], आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)।<ref>"Fingers or Fists? (The Choice of Decimal or Binary Representation)", [[Werner Buchholz]], ''Communications of the ACM'', Vol. 2 #12, pp. 3–11, ACM Press, December 1959.</ref>
-कंप्यूटर विशेषज्ञों द्वारा बाहरी उपयोग के लिए, यह बाइनरी प्रतिनिधित्व कभी -कभी संबंधित [[ अष्टभुजाकार ]] या [[हेक्साडेसिमल]] सिस्टम में प्रस्तुत किया जाता है।
+कंप्यूटर विशेषज्ञों द्वारा बाहरी उपयोग के लिए, यह बाइनरी प्रतिनिधित्व कभी -कभी संबंधित [[ अष्टभुजाकार |अष्टभुजाकार]] या [[हेक्साडेसिमल]] प्रणाली में प्रस्तुत किया जाता है।
-अधिकांश उद्देश्यों के लिए, हालांकि, द्विआधारी मूल्यों को मनुष्यों से प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मूल्यों में या परिवर्तित किया जाता है;कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं।(123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस तरह लिखा जाता है, भले ही कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को ठीक से एनकोड करने में असमर्थ हों।)
+अधिकांश उद्देश्यों के लिए, चूंकि, द्विआधारी मूल्यों को मनुष्यों से प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मूल्यों में या परिवर्तित किया जाता है;कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं।(123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस प्रकार लिखा जाता है, चाहे कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को ठीक से एनकोड करने में असमर्थ हों।)
-कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं।अक्सर यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो [[बाइनरी-कोडित दशमलव]] के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है,<ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, US --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, Florida |isbn=0-89874-318-4}}</ref><ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, USA --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1st |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, New York|isbn=0-471-76180-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref> विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, लेकिन उपयोग में अन्य दशमलव अभ्यावेदन हैं ([[दशमलव अस्थायी बिंदु]] जैसे कि [[IEEE 754]] के नए संशोधन में। फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए IEEE 754 मानक)। Ref> दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट: कंप्यूटर के लिए अल्गोरिज्म, माइक काउलिशॉव | Cowlishaw, माइक एफ।, कार्यवाही 16 वीं IEEE संगोष्ठी कंप्यूटर अंकगणित पर, {{isbn|0-7695-1894-X}}, पीपी। 104–11, IEEE COMP।Soc।, 2003 </ref>
+कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं। अधिकांश यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो [[बाइनरी-कोडित दशमलव]] के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है,<ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, US --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, Florida |isbn=0-89874-318-4}}</ref><ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, USA --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1st |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, New York|isbn=0-471-76180-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref> विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, किन्तु उपयोग में अन्य दशमलव प्रतिनिधित्व हैं ([[दशमलव अस्थायी बिंदु]] जैसे कि [[IEEE 754]] के नए संशोधन में)।
-दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटर में किया जाता है ताकि उनके आंशिक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मूल्यों को जोड़ने (या घटाने) के दशमलव आंशिक परिणाम हमेशा सटीकता की समान लंबाई के लिए गणना की जाती हैं।यह विशेष रूप से वित्तीय गणना के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, उनके परिणामों की आवश्यकता होती है, जो कि पुस्तक रखने के उद्देश्यों के लिए सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है।यह बाइनरी में संभव नहीं है, क्योंकि नकारात्मक शक्तियां <math>10</math> कोई परिमित द्विआधारी आंशिक प्रतिनिधित्व नहीं है;और आमतौर पर गुणा (या विभाजन) के लिए असंभव है।<ref>[http://speleotrove.com/decimal/decifaq.html Decimal Arithmetic – FAQ<!-- Bot generated title -->]</ref><ref>[http://www.dec.usc.es/arith16/papers/paper-107.pdf Decimal Floating-Point: Algorism for Computers], [[Cowlishaw]], M. F., ''Proceedings [[16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic]]'' ([http://www.dec.usc.es/arith16/ ARITH&nbsp;16]), {{isbn|0-7695-1894-X}}, pp.&nbsp;104–11, IEEE Comp. Soc., June 2003</ref> सटीक गणना के लिए मनमानी-सटीक अंकगणित देखें।
+Ref> दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट: कंप्यूटर के लिए अल्गोरिज्म, माइक काउलिशॉव | Cowlishaw, माइक एफ।, कार्यवाही 16 वीं IEEE संगोष्ठी कंप्यूटर अंकगणित पर, {{isbn|0-7695-1894-X}}, पीपी। 104–11, IEEE COMP।Soc।, 2003 <nowiki></ref></nowiki>
+दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटर में किया जाता है जिससे उनके आंशिक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मूल्यों को जोड़ने (या घटाने) के दशमलव आंशिक परिणाम हमेशा शुद्धता की समान लंबाई के लिए गणना की जाती हैं। यह विशेष रूप से वित्तीय गणना के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, उनके परिणामों की आवश्यकता होती है, जो कि पुस्तक रखने के उद्देश्यों के लिए सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है।यह बाइनरी में संभव नहीं है, क्योंकि नकारात्मक शक्तियां <math>10</math> कोई परिमित द्विआधारी आंशिक प्रतिनिधित्व नहीं है;और सामान्यतः गुणा (या विभाजन) के लिए असंभव है।<ref>[http://speleotrove.com/decimal/decifaq.html Decimal Arithmetic – FAQ<!-- Bot generated title -->]</ref><ref>[http://www.dec.usc.es/arith16/papers/paper-107.pdf Decimal Floating-Point: Algorism for Computers], [[Cowlishaw]], M. F., ''Proceedings [[16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic]]'' ([http://www.dec.usc.es/arith16/ ARITH&nbsp;16]), {{isbn|0-7695-1894-X}}, pp.&nbsp;104–11, IEEE Comp. Soc., June 2003</ref> त्रुटिहीन गणना के लिए स्वैच्छिक-त्रुटिहीन अंकगणित देखें।
 == इतिहास ==
-[[File:Qinghuajian, Suan Biao.jpg|thumb|upright|चीन में [[युद्धरत राज्य]]ों की अवधि के दौरान दुनिया की सबसे पुरानी दशमलव गुणन तालिका को 305 ईसा पूर्व से डेटिंग, बांस की पर्चियों से बनाया गया था।]]कई प्राचीन संस्कृतियों की गणना दस के आधार पर अंकों के साथ की जाती है, कभी -कभी मानव हाथों के कारण तर्क दिया जाता है कि आमतौर पर दस उंगलियां/अंक होते हैं।<ref>{{citation|first=Tobias|last=Dantzig|title=Number / The Language of Science |edition=4th |year=1954|publisher=The Free Press (Macmillan Publishing Co.) |isbn=0-02-906990-4|page=12}}</ref> [[सिंधु घाटी सभ्यता]] में उपयोग किए जाने वाले मानकीकृत भार ({{circa|3300–1300 BCE}}) अनुपात पर आधारित थे: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 100, 200, और 500, जबकि उनके मानकीकृत शासक- मोहनजो-दारो शासक - को दस समान भागों में विभाजित किया गया था।<ref>Sergent, Bernard (1997), ''Genèse de l'Inde'' (in French), Paris: Payot, p. 113, {{ISBN|2-228-89116-9}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Coppa | first1 = A. | display-authors = etal | year = 2006 | title = Early Neolithic tradition of dentistry: Flint tips were surprisingly effective for drilling tooth enamel in a prehistoric population | bibcode = 2006Natur.440..755C | journal = Nature | volume = 440 | issue = 7085| pages = 755–56 | doi = 10.1038/440755a | pmid = 16598247 | s2cid = 6787162 }}</ref><ref>Bisht, R. S. (1982), "Excavations at Banawali: 1974–77", in Possehl, Gregory L. (ed.), Harappan ''Civilisation: A Contemporary Perspective'', New Delhi: Oxford and IBH Publishing Co., pp. 113–24</ref> लगभग 3000 ईसा पूर्व के बाद से सबूतों में मिस्र के चित्रलिपि, एक विशुद्ध रूप से दशमलव प्रणाली का उपयोग करते हैं,<ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp.&nbsp;200–13 (Egyptian Numerals)</ref> जैसा कि [[क्रेटन हाइरोग्लिफ़्स]] ({{circa|1625−1500 BCE}}) उन [[ मीनियों का ]] जिनके अंक मिस्र के मॉडल पर बारीकी से आधारित हैं।<ref>Graham Flegg: Numbers: their history and meaning, Courier Dover Publications, 2002, {{isbn|978-0-486-42165-0}}, p.&nbsp;50</ref><ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp. 213–18 (Cretan numerals)</ref> दशमलव प्रणाली को लगातार [[कांस्य युग ग्रीस]] को सौंप दिया गया था, जिसमें [[रैखिक ए]] (सी। 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व bc1450 ईसा पूर्व) और [[रैखिक बी]] (सी। 1375−1200 ईसा पूर्व) शामिल थे - [[शास्त्रीय ग्रीस]] की संख्या प्रणाली ने दस की शक्तियों का भी इस्तेमाल किया,सहित, रोमन अंक, 5 का एक मध्यवर्ती आधार।<ref name="Greek numerals">{{Cite web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Greek_numbers.html |title=Greek numbers |access-date=2019-07-21}}</ref> विशेष रूप से, पॉलीमैथ [[आर्किमिडीज]] (सी। 287–212 ईसा पूर्व) ने अपने [[रेत रेकनर]] में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था<sup>8 </sup><ref name="Greek numerals"/>और बाद में जर्मन गणितज्ञ [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] का नेतृत्व किया, जो कि हाइट्स साइंस ने अपने दिनों में पहले ही पहुंच लिया होगा यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से महसूस किया होता।<ref>[[Karl Menninger (mathematics)|Menninger, Karl]]: ''Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl'', Vandenhoeck und Ruprecht, 3rd. ed., 1979, {{isbn|3-525-40725-4}}, pp.&nbsp;150–53</ref> [[हित्तियों]] (15 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद से) भी सख्ती से दशमलव थे।<ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp. 218f. (The Hittite hieroglyphic system)</ref>
+[[File:Qinghuajian, Suan Biao.jpg|thumb|upright|चीन में [[युद्धरत राज्य]]ों की अवधि के समय दुनिया की सबसे पुरानी दशमलव गुणन तालिका को 305 ईसा पूर्व से डेटिंग, बांस की पर्चियों से बनाया गया था।]]कई प्राचीन संस्कृतियों की गणना दस के आधार पर अंकों के साथ की जाती है, कभी -कभी मानव हाथों के कारण तर्क दिया जाता है कि सामान्यतः दस अंगुलियों/अंक होते हैं।<ref>{{citation|first=Tobias|last=Dantzig|title=Number / The Language of Science |edition=4th |year=1954|publisher=The Free Press (Macmillan Publishing Co.) |isbn=0-02-906990-4|page=12}}</ref> [[सिंधु घाटी सभ्यता]] में उपयोग किए जाने वाले मानकीकृत भार ({{circa|3300–1300 BCE}}) अनुपात पर आधारित थे: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 100, 200, और 500, जबकि उनके मानकीकृत शासक- मोहनजो-दारो शासक - को दस समान भागों में विभाजित किया गया था।<ref>Sergent, Bernard (1997), ''Genèse de l'Inde'' (in French), Paris: Payot, p. 113, {{ISBN|2-228-89116-9}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Coppa | first1 = A. | display-authors = etal | year = 2006 | title = Early Neolithic tradition of dentistry: Flint tips were surprisingly effective for drilling tooth enamel in a prehistoric population | bibcode = 2006Natur.440..755C | journal = Nature | volume = 440 | issue = 7085| pages = 755–56 | doi = 10.1038/440755a | pmid = 16598247 | s2cid = 6787162 }}</ref><ref>Bisht, R. S. (1982), "Excavations at Banawali: 1974–77", in Possehl, Gregory L. (ed.), Harappan ''Civilisation: A Contemporary Perspective'', New Delhi: Oxford and IBH Publishing Co., pp. 113–24</ref> लगभग 3000 ईसा पूर्व के बाद से सबूतों में मिस्र के चित्रलिपि, एक विशुद्ध रूप से दशमलव प्रणाली का उपयोग करते हैं,<ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp.&nbsp;200–13 (Egyptian Numerals)</ref> जैसा कि [[क्रेटन हाइरोग्लिफ़्स]] ({{circa|1625−1500 BCE}}) उन [[ मीनियों का |मीनियों का]] जिनके अंक मिस्र के मॉडल पर बारीकी से आधारित हैं।<ref>Graham Flegg: Numbers: their history and meaning, Courier Dover Publications, 2002, {{isbn|978-0-486-42165-0}}, p.&nbsp;50</ref><ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp. 213–18 (Cretan numerals)</ref> और दशमलव प्रणाली [[कांस्य युग ग्रीस]] की लगातार कांस्य युग की संस्कृतियों को सौंपी गई थी, जिसमें [[रैखिक ए]] (सी. 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व bc1450 ईसा पूर्व) और [[रैखिक बी]] (सी। 1375−1200 ईसा पूर्व) सम्मिलित थे - [[शास्त्रीय ग्रीस|मौलिक ग्रीस]] की संख्या प्रणाली ने दस की शक्तियों का भी उपयोग किया था,रोमन अंक 5 का एक मध्यवर्ती आधार है।<ref name="Greek numerals">{{Cite web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Greek_numbers.html |title=Greek numbers |access-date=2019-07-21}}</ref> विशेष रूप से, पॉलीमैथ [[आर्किमिडीज]] (सी। 287–212 ईसा पूर्व) ने अपने [[रेत रेकनर]] में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था<sup>8 </sup><ref name="Greek numerals"/> और बाद में जर्मन गणितज्ञ [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] का नेतृत्व किया, जो कि हाइट्स साइंस ने अपने दिनों में पहले ही पहुंच लिया होगा यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से अनुभव किया होता हैं।<ref>[[Karl Menninger (mathematics)|Menninger, Karl]]: ''Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl'', Vandenhoeck und Ruprecht, 3rd. ed., 1979, {{isbn|3-525-40725-4}}, pp.&nbsp;150–53</ref> [[हित्तियों]] (15 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद से) भी सख्ती से दशमलव थे।<ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp. 218f. (The Hittite hieroglyphic system)</ref>
 कुछ गैर-पारिश्रमिक प्राचीन ग्रंथ जैसे कि [[वेदों]], 1700-900 ईसा पूर्व में डेटिंग दशमलव और गणितीय दशमलव अंशों का उपयोग करते हैं।<ref>(Atharva Veda 5.15, 1–11)</ref>
-मिस्र के हायरैटिक अंक, ग्रीक वर्णमाला अंक, हिब्रू वर्णमाला अंक, रोमन अंक, चीनी अंक और प्रारंभिक भारतीय ब्राह्मी अंक सभी गैर-स्थिति दशमलव प्रणालियों हैं, और बड़ी संख्या में प्रतीकों की आवश्यकता है।उदाहरण के लिए, मिस्र के अंकों ने 10, 20 से 90, 100, 200 से 900, 1000, 2000, 3000, 4000, से 10,000 के लिए अलग -अलग प्रतीकों का उपयोग किया।<ref>[[Lam Lay Yong]] et al. The Fleeting Footsteps pp. 137–39</ref>
-दुनिया की सबसे पुरानी स्थिति दशमलव प्रणाली चीनी [[रॉड कैलकुलस]] थी।<ref name=Lam/>
+मिस्र के हायरैटिक अंक, ग्रीक वर्णमाला अंक, हिब्रू वर्णमाला अंक, रोमन अंक, चीनी अंक और प्रारंभिक भारतीय ब्राह्मी अंक सभी गैर-स्थिति दशमलव प्रणालियों हैं, और बड़ी संख्या में प्रतीकों की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, मिस्र के अंकों ने 10, 20 से 90, 100, 200 से 900, 1000, 2000, 3000, 4000, से 10,000 के लिए अलग -अलग प्रतीकों का उपयोग किया।<ref>[[Lam Lay Yong]] et al. The Fleeting Footsteps pp. 137–39</ref>
+दुनिया की सबसे पुरानी स्थिति दशमलव प्रणाली चीनी [[रॉड कैलकुलस]] थी।<ref name="Lam" />
 [[File:Chounumerals.svg|thumb|right|280px|दुनिया की सबसे पुरानी स्थिति दशमलव प्रणाली <br /> ऊपरी पंक्ति ऊर्ध्वाधर रूप <br /> निचली पंक्ति क्षैतिज रूप]]
 === दशमलव अंशों का इतिहास ===
-[[File:Rod fraction.jpg|thumb|right|150px|गिनती रॉड दशमलव अंश 1/7]]दशमलव अंशों को पहली बार 4 वीं शताब्दी के अंत में चीनी द्वारा विकसित और उपयोग किया गया था,<ref>{{cite web |url=http://www.kaogu.cn/en/News/New_discoveries/2017/0425/57954.html |title=Ancient bamboo slips for calculation enter world records book |language=en |website=The Institute of Archaeology, Chinese Academy of Social Sciences |access-date=10 May 2017}}</ref> और फिर मध्य पूर्व में और वहां से यूरोप तक फैल गया।<ref name=Lam/><ref name=jnfractn1>{{Cite book | author=Joseph Needham | author-link=Joseph Needham | chapter = Decimal System | title = Science and Civilisation in China, Volume III, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth | title-link=Science and Civilisation in China | year = 1959 | publisher = Cambridge University Press}}</ref> लिखित चीनी दशमलव अंश गैर-स्थिति में थे।<ref name=jnfractn1/>हालांकि, रॉड कैलकुलस#अंश स्थितिगत थे।<ref name=Lam>[[Lam Lay Yong]], "The Development of Hindu–Arabic and Traditional Chinese Arithmetic", ''Chinese Science'', 1996 p. 38, Kurt Vogel notation</ref>
+[[File:Rod fraction.jpg|thumb|right|150px|गिनती रॉड दशमलव अंश 1/7]]दशमलव अंशों को पहली बार 4 वीं शताब्दी के अंत में चीनी द्वारा विकसित और उपयोग किया गया था,<ref>{{cite web |url=http://www.kaogu.cn/en/News/New_discoveries/2017/0425/57954.html |title=Ancient bamboo slips for calculation enter world records book |language=en |website=The Institute of Archaeology, Chinese Academy of Social Sciences |access-date=10 May 2017}}</ref> और फिर मध्य पूर्व में और वहां से यूरोप तक फैल गया।<ref name=Lam/><ref name=jnfractn1>{{Cite book | author=Joseph Needham | author-link=Joseph Needham | chapter = Decimal System | title = Science and Civilisation in China, Volume III, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth | title-link=Science and Civilisation in China | year = 1959 | publisher = Cambridge University Press}}</ref> लिखित चीनी दशमलव अंश गैर-स्थिति में थे।<ref name=jnfractn1/> चूंकि, रॉड कैलकुलस अंश स्थितिगत थे।<ref name=Lam>[[Lam Lay Yong]], "The Development of Hindu–Arabic and Traditional Chinese Arithmetic", ''Chinese Science'', 1996 p. 38, Kurt Vogel notation</ref>
-नौ खंडों में अपनी पुस्तक गणितीय ग्रंथ (1247 (1247<ref>Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Springer 1997  {{isbn|3-540-33782-2}}</ref>) 0.96644 को निरूपित किया
+नौ खंडों में अपनी पुस्तक गणितीय ग्रंथ (1247 (1247<ref>Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Springer 1997  {{isbn|3-540-33782-2}}</ref>) 0.96644 को निरूपित किया था
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-जे। लेनार्ट बर्गग्रेन ने नोट किया कि 10 वीं शताब्दी में लिखे गए अरब गणितज्ञ अबू'ल-हसन अल-उक्लिडिसी की एक पुस्तक में पहली बार स्थित दशमलव अंश दिखाई देते हैं।<ref name=Berggren>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam |editor-first=Victor J.|editor-last=Katz|publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=530 }}</ref> यहूदी गणितज्ञ [[इमैनुएल बोनफिल्स]] ने [[साइमन स्टीविन]] की आशंका के साथ 1350 के आसपास दशमलव अंशों का इस्तेमाल किया, लेकिन उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई संकेतन विकसित नहीं किया।<ref>[[Solomon Gandz|Gandz, S.]]: The invention of the decimal fractions and the application of the exponential calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis 25 (1936), 16–45.</ref> फारसी गणितज्ञ जमशिद अल-कशी ने दावा किया कि 15 वीं शताब्दी में खुद दशमलव अंशों की खोज की गई थी।<ref name=Berggren />[[अलखावरिज़्मी]] ने 9 वीं शताब्दी की शुरुआत में इस्लामी देशों में अंश पेश किया;एक चीनी लेखक ने आरोप लगाया है कि उनकी अंश प्रस्तुति [[सूरज बैंगनी सु शांत]] से पारंपरिक चीनी गणितीय अंश की एक सटीक प्रति थी।<ref name=Lam/>एक क्षैतिज बार के बिना नीचे और नीचे की तरफ अंश पर अंश के साथ अंश का यह रूप अल-उक्लिडिसी द्वारा और अल-काशी द्वारा उनके कार्य अंकगणितीय कुंजी में भी उपयोग किया गया था।<ref name=Lam/><ref>{{cite journal | last1 = Lay Yong | first1 = Lam | author-link = Lam Lay Yong | title = A Chinese Genesis, Rewriting the history of our numeral system | journal = Archive for History of Exact Sciences | volume = 38 | pages = 101–08 }}</ref>
+जे. लेनार्ट बर्गग्रेन ने नोट किया कि 10 वीं शताब्दी में लिखे गए अरब गणितज्ञ अबू'ल-हसन अल-उक्लिडिसी की एक पुस्तक में पहली बार स्थित दशमलव अंश दिखाई देते हैं।<ref name=Berggren>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam |editor-first=Victor J.|editor-last=Katz|publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=530 }}</ref> यहूदी गणितज्ञ [[इमैनुएल बोनफिल्स]] ने [[साइमन स्टीविन]] की आशंका के साथ 1350 के आसपास दशमलव अंशों का उपयोग किया, किन्तु उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई संकेतन विकसित नहीं किया था।<ref>[[Solomon Gandz|Gandz, S.]]: The invention of the decimal fractions and the application of the exponential calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis 25 (1936), 16–45.</ref> फारसी गणितज्ञ जमशिद अल-कशी ने प्रमाणित किया कि 15 वीं शताब्दी में स्वयं दशमलव अंशों की खोज की गई थी।<ref name=Berggren /> [[अलखावरिज़्मी]] ने 9 वीं शताब्दी की प्रारंभ में इस्लामी देशों में अंश प्रस्तुत किया; एक चीनी लेखक ने आरोप लगाया है कि उनकी अंश प्रस्तुति [[सूरज बैंगनी सु शांत]] से पारंपरिक चीनी गणितीय अंश की एक त्रुटिहीन प्रति थी।<ref name=Lam/> एक क्षैतिज बार के बिना नीचे और नीचे की तरफ अंश पर अंश के साथ अंश का यह रूप अल-उक्लिडिसी द्वारा और अल-काशी द्वारा उनके कार्य अंकगणितीय कुंजी में भी उपयोग किया गया था।<ref name=Lam/><ref>{{cite journal | last1 = Lay Yong | first1 = Lam | author-link = Lam Lay Yong | title = A Chinese Genesis, Rewriting the history of our numeral system | journal = Archive for History of Exact Sciences | volume = 38 | pages = 101–08 }}</ref>
 <div style = float: सही;>[[File:Stevin-decimal notation.svg]]</div>
-वीं शताब्दी में साइमन स्टीविन द्वारा आधुनिक यूरोपीय दशमलव संकेतन का एक अग्रदूत पेश किया गया था।<ref name=van>{{Cite book | author = B. L. van der Waerden | author-link = Bartel Leendert van der Waerden | year = 1985 | title = A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether | publisher = Springer-Verlag | place = Berlin}}</ref>
+वीं शताब्दी में साइमन स्टीविन द्वारा आधुनिक यूरोपीय दशमलव संकेतन का एक अग्रदूत प्रस्तुत किया गया था।<ref name=van>{{Cite book | author = B. L. van der Waerden | author-link = Bartel Leendert van der Waerden | year = 1985 | title = A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether | publisher = Springer-Verlag | place = Berlin}}</ref>
-[[जॉन नेपियर]] ने 1620 में मरणोपरांत प्रकाशित, लॉगरिथम्स के निर्माण तालिकाओं पर अपनी पुस्तक में एक दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को अलग करने के लिए अवधि (।) का उपयोग करके शुरू किया।<ref name=constructionIA>{{cite book|title=[[Commons:File:The_Construction_of_the_Wonderful_Canon_of_Logarithms.djvu|The Construction of the Wonderful Canon of Logarithms]]|first=John|last=Napier|translator-last1=Macdonald|translator-first1= William Rae|date=1889|orig-date=1620|publisher=Blackwood & Sons|publication-place=Edinburgh|via=Internet Archive|quote=In numbers distinguished thus by a period in their midst, whatever is written after the period is a fraction, the denominator of which is unity with as many cyphers after it as there are figures after the period.}}</ref>{{rp|p. 8, archive p. 32)}}
+[[जॉन नेपियर]] ने 1620 में मरणोपरांत प्रकाशित, लॉगरिथम्स के निर्माण तालिकाओं पर अपनी पुस्तक में एक दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को अलग करने के लिए अवधि (।) का उपयोग करके प्रारंभ किया था।<ref name="constructionIA">{{cite book|title=[[Commons:File:The_Construction_of_the_Wonderful_Canon_of_Logarithms.djvu|The Construction of the Wonderful Canon of Logarithms]]|first=John|last=Napier|translator-last1=Macdonald|translator-first1= William Rae|date=1889|orig-date=1620|publisher=Blackwood & Sons|publication-place=Edinburgh|via=Internet Archive|quote=In numbers distinguished thus by a period in their midst, whatever is written after the period is a fraction, the denominator of which is unity with as many cyphers after it as there are figures after the period.}}</ref>{{rp|p. 8, archive p. 32)}}
 === प्राकृतिक भाषाएँ ===
-भारत में दस प्रतीकों के एक सेट का उपयोग करके हर संभव [[प्राकृतिक संख्या]] को व्यक्त करने की एक विधि।कई भारतीय भाषाएं एक सीधी दशमलव प्रणाली दिखाती हैं।कई [[इंडो-आर्यन भाषाएँ]] | इंडो-आर्यन और द्रविड़ियन भाषाओं में 10 और 20 के बीच संख्या 10 के अलावा नियमित पैटर्न में व्यक्त की गई है।<ref>{{cite web|url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html|title=Indian numerals|work=Ancient Indian mathematics|access-date=2015-05-22|archive-date=2007-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20070929131009/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Indian_numerals.html|url-status=dead}}</ref>
+भारत में दस प्रतीकों के एक सेट का उपयोग करके हर संभव [[प्राकृतिक संख्या]] को व्यक्त करने की एक विधि हैं। कई भारतीय भाषाएं एक सीधी दशमलव प्रणाली दिखाती हैं। कई [[इंडो-आर्यन भाषाएँ]] और द्रविड़ियन भाषाओं में 10 और 20 के बीच संख्या 10 के अतिरिक्त नियमित स्वरूप में व्यक्त की गई है।<ref>{{cite web|url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html|title=Indian numerals|work=Ancient Indian mathematics|access-date=2015-05-22|archive-date=2007-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20070929131009/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Indian_numerals.html|url-status=dead}}</ref>
-[[हंगेरियन भाषा]] एक सीधी दशमलव प्रणाली का भी उपयोग करती है।10 और 20 के बीच सभी संख्याएं नियमित रूप से बनती हैं (जैसे कि 11 को टिज़ेगी के रूप में शाब्दिक रूप से दस पर एक के रूप में व्यक्त किया जाता है), जैसे कि 20 से 100 (23 के बीच 23 के रूप में हुसोनह्रोम = बीस पर तीन)।
-प्रत्येक आदेश के लिए एक शब्द के साथ एक सीधा दशमलव रैंक प्रणाली (10) {{lang|zh|十}}, 100 {{lang|zh|百}}, 1000 {{lang|zh|千}}, 10,000 {{lang|zh|万}}), और जिसमें 11 को दस-एक के रूप में और 23 को दो-दस-तीन के रूप में व्यक्त किया गया है, और 89,345 को 8 (दस हजारों) के रूप में व्यक्त किया गया है {{lang|zh|万}} 9 (हजार) {{lang|zh|千}} 3 (सौ) {{lang|zh|百}} 4 (दसियों) {{lang|zh|十}} 5 [[चीनी भाषा]] में, और [[वियतनामी भाषा]] में कुछ अनियमितताओं के साथ पाया जाता है।[[जापानी भाषा]], कोरियाई भाषा और [[थाई भाषा]] ने चीनी दशमलव प्रणाली का आयात किया है।दशमलव प्रणाली वाली कई अन्य भाषाओं में 10 और 20 और दशकों के बीच संख्याओं के लिए विशेष शब्द हैं।उदाहरण के लिए, अंग्रेजी में 11 ग्यारह नहीं दस-एक या एक-किशोरावस्था है।
+[[हंगेरियन भाषा]] एक सीधी दशमलव प्रणाली का भी उपयोग करती है। 10 और 20 के बीच सभी संख्याएं नियमित रूप से बनती हैं (जैसे कि 11 को टिज़ेगी के रूप में शाब्दिक रूप से दस पर एक के रूप में व्यक्त किया जाता है), जैसे कि 20 से 100 (23 के बीच 23 के रूप में हुसोनह्रोम = 20 पर 3)।
-INCAN भाषाओं जैसे कि क्वेशुआ भाषाओं और आयमारा भाषा में लगभग सीधी दशमलव प्रणाली होती है, जिसमें 11 को दस के साथ एक और 23 के रूप में दो-दस के रूप में व्यक्त किया जाता है।
+प्रत्येक आदेश के लिए एक शब्द के साथ एक सीधा दशमलव रैंक प्रणाली (10) {{lang|zh|十}}, 100 {{lang|zh|百}}, 1000 {{lang|zh|千}}, 10,000 {{lang|zh|万}}), और जिसमें 11 को दस-एक के रूप में और 23 को दो-दस-तीन के रूप में, और 89,345 को 8 (दस हजारों) के रूप में और {{lang|zh|万}} 9 (हजार) {{lang|zh|千}} 3 (सौ) {{lang|zh|百}} 4 (दसियों) {{lang|zh|十}} 5 [[चीनी भाषा]] में व्यक्त किया गया है, और [[वियतनामी भाषा]] में कुछ अनियमितताओं के साथ पाया जाता है। [[जापानी भाषा]], कोरियाई भाषा और [[थाई भाषा]] ने चीनी दशमलव प्रणाली का आयात किया है। दशमलव प्रणाली वाली कई अन्य भाषाओं में 10 और 20 और दशकों के बीच संख्याओं के लिए विशेष शब्द हैं। उदाहरण के लिए, अंग्रेजी में 11 ग्यारह नहीं दस-एक या एक-किशोरावस्था है।
+इंकान भाषाओं जैसे कि क्वेशुआ भाषाओं और आयमारा भाषा में लगभग सीधी दशमलव प्रणाली होती है, जिसमें 11 को दस के साथ एक और 23 के रूप में दो-दस के रूप में व्यक्त किया जाता है।
 कुछ मनोवैज्ञानिक सुझाव देते हैं कि अंकों के अंग्रेजी नामों की अनियमितता बच्चों की गिनती की क्षमता में बाधा डाल सकती है।<ref>{{Cite journal| last=Azar| first=Beth| year=1999| title=English words may hinder math skills development| url=http://www.apa.org/monitor/apr99/english.html  |journal=American Psychological Association Monitor| volume=30| issue=4 |archive-url = https://web.archive.org/web/20071021015527/http://www.apa.org/monitor/apr99/english.html |archive-date = 2007-10-21}}</ref>
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 === अन्य आधार ===
-{{main | Positional notation}}
+{{main |स्थितीय संकेतन}}
-{{Fundamental info units}}
+कुछ संस्कृतियां संख्याओं के अन्य स्थानों का उपयोग करती हैं, या करती हैं।
-कुछ संस्कृतियां संख्याओं के अन्य ठिकानों का उपयोग करती हैं, या करती हैं।
+* पूर्व-कोलंबियन [[मेसोअमेरिका]] संस्कृतियों जैसे कि [[माया अंक|माया अंकों]] ने एक [[विजय]] का उपयोग किया। आधार -20 प्रणाली (संभवतः सभी बीस उंगलियों और पैर की उंगलियों का उपयोग करने के आधार पर)।
-* पूर्व-कोलंबियन [[मेसोअमेरिका]] संस्कृतियों जैसे कि [[माया अंक]]ों ने एक [[विजय]] का इस्तेमाल किया। बेस -20 सिस्टम (शायद सभी बीस उंगलियों और पैर की उंगलियों का उपयोग करने के आधार पर)।
 * [[कैलिफोर्निया]] और पामियन भाषाओं में [[युकी जनजाति]] भाषा<ref>{{Cite journal
   | last=Avelino
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   | doi=10.1515/LINGTY.2006.002
   | s2cid=20412558
-  }}</ref> [[मेक्सिको]] में ऑक्टल ([[ सूत्र ]] -8) सिस्टम हैं क्योंकि वक्ताओं ने अपनी उंगलियों के बजाय खुद को उंगलियों के बजाय रिक्त स्थान का उपयोग करके गिना है।<ref>{{cite news|jstor=2686959|title=Ethnomathematics: A Multicultural View of Mathematical Ideas|author=Marcia Ascher|author-link= Marcia Ascher |publisher=The College Mathematics Journal}}</ref>
+  }}</ref> [[मेक्सिको]] में ऑक्टल ([[ सूत्र | सूत्र]] -8) प्रणाली हैं क्योंकि वक्ताओं ने अपनी उंगलियों के अतिरिक्त स्वयं को उंगलियों के अतिरिक्त रिक्त स्थान का उपयोग करके गिना है।<ref>{{cite news|jstor=2686959|title=Ethnomathematics: A Multicultural View of Mathematical Ideas|author=Marcia Ascher|author-link= Marcia Ascher |publisher=The College Mathematics Journal}}</ref>
-* जर्मनिक भाषाओं के शुरुआती निशान में एक गैर-दशमलव आधार का अस्तित्व शब्दों और शब्दावली की उपस्थिति से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि गिनती दशमलव में है (दस-गिनती या टेंटी-वार के लिए संज्ञानात्मक);इस तरह की उम्मीद की जाएगी यदि सामान्य गिनती दशमलव नहीं है, और अगर यह असामान्य है।<ref>{{citation
+* जर्मनिक भाषाओं के प्रारंभिक चिन्ह में एक गैर-दशमलव आधार का अस्तित्व शब्दों और शब्दावली की उपस्थिति से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि गिनती दशमलव में है (दस-गिनती या टेंटी-वार के लिए संज्ञानात्मक); इस प्रकार की आशा की जाएगी यदि सामान्य गिनती दशमलव नहीं है, और यदि यह असामान्य है।<ref>{{citation
   | last = McClean | first = R. J.
   | date = July 1958
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   | pages = 487–95
   | title = The cardinal numerals in pre-and proto-Germanic
-  | volume = 86}}.</ref> जहां यह गिनती प्रणाली ज्ञात है, यह लंबे सौ = 120 पर आधारित है, और 1200 का एक लंबा हजार है। लंबे समय के विवरण केवल छोटे सौ 100 के बाद दिखाई देते हैं जो ईसाइयों के साथ दिखाई देते हैं।गॉर्डन का [https://www.scribd.com/doc/49127454/introduction-to-norse-by-by-e-gordon परिचय पुराने नॉर्स के लिए]] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160415205641/https://www.scribd.com/doc/49127454/Introduction-to-Old-Norse-by-E-V-Gordon |date=2016-04-15 }} p। & nbsp; 293, इस प्रणाली से संबंधित संख्या नाम देता है।'वन हंड्रेड एंड अस्सी' के लिए एक अभिव्यक्ति संज्ञानात्मक 200 का अनुवाद करती है, और 'टू हंड्रेड' का संज्ञानात्मक 240 पर अनुवाद करता है।/pdf/vol_123/123_395_418.pdf गुडारे] मध्य युग में स्कॉटलैंड में लंबे सौ के उपयोग का विवरण देते हैं, जैसे कि गणना जैसे कि कैरी का अर्थ है कि मैं (यानी एक सौ) 120 के रूप में, आदि।इस तरह के नंबरों का सामना करने के लिए चिंतित नहीं होने से सामान्य उपयोग का पता चलता है।पाउंड की लंबी गिनती के बजाय मध्यवर्ती इकाइयों, जैसे पत्थरों और पाउंड जैसे मध्यवर्ती इकाइयों का उपयोग करके सौ-जैसी संख्याओं से बचना भी संभव है।Goodare VII स्कोर जैसी संख्याओं का उदाहरण देता है, जहां कोई विस्तारित स्कोर का उपयोग करके सौ से बचता है।डब्ल्यू.एच। द्वारा एक पेपर भी है।स्टीवेन्सन, 'लॉन्ग हंड्रेड एंड इट्स यूज्स इन इंग्लैंड' पर।<ref>{{Cite journal|last=Stevenson|first=W.H.|date=1890|title=The Long Hundred and its uses in England|journal=Archaeological Review|volume=December 1889|pages=313–22}}</ref><ref>{{Cite book|last=Poole, Reginald Lane|title=The Exchequer in the twelfth century : the Ford lectures delivered in the University of Oxford in Michaelmas term, 1911|date=2006|publisher=Lawbook Exchange|isbn=1-58477-658-7|location=Clark, NJ|oclc=76960942}}</ref>
+  | volume = 86}}.</ref> जहां यह गिनती प्रणाली ज्ञात है, यह लॉन्ग हंड्रेड = 120 पर आधारित है, और 1200 का एक लॉन्ग थाउजेंड पर आधारित है। लंबे समय के विवरण केवल छोटे सौ 100 के बाद दिखाई देते हैं जो ईसाइयों के साथ दिखाई देते हैं। गॉर्डन का [https://www.scribd.com/doc/49127454/introduction-to-norse-by-by-e-gordon परिचय पुराने नॉर्स के लिए]] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160415205641/https://www.scribd.com/doc/49127454/Introduction-to-Old-Norse-by-E-V-Gordon |date=2016-04-15 }} पी; 293, संख्या नाम देता है जो इस प्रणाली से संबंधित हैं। एक व्यंजक 'एक सौ अस्सी' का अनुवाद 200 हो जाता है, और 'दो सौ' का अनुवाद 240 हो जाता है। गुडारे मध्य युग में स्कॉटलैंड में लॉन्ग हंड्रेड के उपयोग का विवरण देते हैं, गणना जैसे उदाहरण देना जहां कैरी का तात्पर्य i C (अर्थात् एक सौ) 120 आदि के रूप में है। और सामान्य आबादी ऐसी संख्याओं का सामना करने के लिए चिंतित नहीं थी, सामान्य पर्याप्त उपयोग का सुझाव देती है। पाउंड की लंबी गिनती के अतिरिक्त मध्यवर्ती इकाइयों, जैसे पत्थर और पाउंड का उपयोग करके सौ जैसी संख्याओं से बचना भी संभव है। गुडारे vii स्कोर जैसी संख्याओं का उदाहरण देते हैं, जहां कोई विस्तारित स्कोर का उपयोग करके सौ से बचता है। लॉन्ग हंड्रेड और इंग्लैंड में इसके उपयोग पर डब्ल्यू.एच. स्टीवेंसन का एक पेपर भी है।<ref>{{Cite journal|last=Stevenson|first=W.H.|date=1890|title=The Long Hundred and its uses in England|journal=Archaeological Review|volume=December 1889|pages=313–22}}</ref><ref>{{Cite book|last=Poole, Reginald Lane|title=The Exchequer in the twelfth century : the Ford lectures delivered in the University of Oxford in Michaelmas term, 1911|date=2006|publisher=Lawbook Exchange|isbn=1-58477-658-7|location=Clark, NJ|oclc=76960942}}</ref>
-* कई या सभी चुमाशान भाषाओं ने मूल रूप से एक चतुर्धातुक संख्यात्मक प्रणाली का उपयोग किया था। बेस -4 काउंटिंग सिस्टम, जिसमें संख्याओं के नाम 4 और हेक्साडेसिमल के गुणकों के अनुसार संरचित किए गए थे।<ref>There is a surviving list of [[Ventureño language]] number words up to 32 written down by a Spanish priest ca. 1819. "Chumashan Numerals" by Madison S. Beeler, in ''Native American Mathematics'', edited by Michael P. Closs (1986), {{isbn|0-292-75531-7}}.</ref>
+* कई या सभी चुमाशान भाषाओं ने मूल रूप से एक चतुर्धातुक संख्यात्मक प्रणाली का उपयोग किया था। जिसमें संख्याओं के नाम 4 और 16 के गुणकों के अनुसार संरचित किए गए थे।<ref>There is a surviving list of [[Ventureño language]] number words up to 32 written down by a Spanish priest ca. 1819. "Chumashan Numerals" by Madison S. Beeler, in ''Native American Mathematics'', edited by Michael P. Closs (1986), {{isbn|0-292-75531-7}}.</ref>
-* बहुत सारी भाषाएं<ref name="Hammarstrom 2010">{{Cite book
+* कई भाषाओं में<ref name="Hammarstrom 2010">{{Cite book
 | contribution=Rarities in Numeral Systems
 | first=Harald
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 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070819214057/http://www.cs.chalmers.se/~harald2/rarapaper.pdf
 | archive-date=19 August 2007
-}}</ref> [[ पाँच का ]] का उपयोग करें | क्विनरी (बेस -5) नंबर सिस्टम, जिसमें Gumatj Language, Nunggubuyu भाषा शामिल है,<ref>{{Cite journal
+}}</ref> गुमात्ज, नुंगगुबुयू, [[कुरन कोपन नोट लैंग्वेज|कुर्न कोपन नोट लैंग्वेज]] और सरवका सहित[[ पाँच का | पांचवीं]] (आधार-5) संख्या प्रणाली का उपयोग किया जाता है |<ref>{{Cite journal
   |title        = Facts and fallacies of aboriginal number systems
   |last         = Harris
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   |archive-url   = https://web.archive.org/web/20070831202737/http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0029743_v_a.pdf
   |archive-date  = 2007-08-31
-}}</ref> [[कुरन कोपन नोट लैंग्वेज]]<ref>Dawson, J. "[https://archive.org/details/australianabori00dawsgoog ''Australian Aborigines: The Languages and Customs of Several Tribes of Aborigines in the Western District of Victoria''] (1881), p.&nbsp;xcviii.</ref> और सरवका।इनमें से, Gumatj केवल 5-25 भाषा ज्ञात है, जिसमें 25 5 का उच्च समूह है।
+}}</ref> <ref>Dawson, J. "[https://archive.org/details/australianabori00dawsgoog ''Australian Aborigines: The Languages and Customs of Several Tribes of Aborigines in the Western District of Victoria''] (1881), p.&nbsp;xcviii.</ref> इनमें से केवल गुमत्ज ही 5-25 भाषा ज्ञात है जिसमें 25 5 का उच्च समूह है।
-* कुछ [[नाइजीरिया]]ई [[डुओडेसिमल]] सिस्टम का उपयोग करते हैं।<ref>{{Cite conference
+* कुछ [[नाइजीरिया]]ई [[डुओडेसिमल|ग्रहणी]] प्रणाली का उपयोग करते हैं।<ref>{{Cite conference
 | title=Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration
 | last=Matsushita
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 | archive-date=2008-10-05
 | access-date=2011-05-29
-}}</ref> इसलिए भारत और नेपाल में कुछ छोटे समुदायों ने उनकी भाषाओं द्वारा संकेत दिया।<ref>{{Cite book
+}}</ref> इसी प्रकार भारत और नेपाल में कुछ छोटे समुदायों ने अपनी भाषाओं के संकेत के अनुसार किया था।<ref>{{Cite book
 | contribution=Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes
 | first=Martine
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 | url-status=dead
 }}</ref>
-* [[पापुआ न्यू गिनी]] की हुली भाषा में [[ प्रशासक ]] | बेस -15 नंबर होने की सूचना है।<ref>{{Cite journal
+* [[पापुआ न्यू गिनी]] की हुली भाषा में [[ प्रशासक |आधार]] -15 संख्या होने की सूचना है।<ref>{{Cite journal
   | last=Cheetham
   | first=Brian
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   | archive-url=https://web.archive.org/web/20070928061238/http://www.uog.ac.pg/PUB08-Oct-03/cheetham.htm
   | archive-date=2007-09-28
-}}</ref> NGGUI का अर्थ है 15, NGUI KI MENS 15 × 2 2 = 30, और NGUI का अर्थ है 15 × 15 = 225।
+}}</ref> जिसमे नगुई का अर्थ 15 है, नगुई "की" का अर्थ है 15 × 2 = 30 और नगुई नगुई का अर्थ 15 × 15 = 225 होता हैं।
-* Urg-consage | gnow, यह भी काकोली के रूप में जानते हुए, [[आधार 24]] | बेस -24 नंबर के लिए सूचना दी गई है।<ref>{{Cite journal
+* उम्बु-उंगु, जिसे काकोली के नाम से भी जाना जाता है, के [[आधार 24]] संख्या के लिए सूचना दी गई है।<ref>{{Cite journal
   |last1        = Bowers
   |first1       = Nancy
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   |archive-url  = https://web.archive.org/web/20110604091351/http://www.ethnomath.org/resources/bowers-lepi1975.pdf
   |archive-date = 2011-06-04
-}}</ref> तोकापू का अर्थ 24 है, तोकापू तालु का अर्थ 24 × 2 = 48 है, और तोकापू टोकापु का अर्थ 24 × 24 = 576 है।
+}}</ref> जिसमे टोकापू का अर्थ 24 है, टोकापू तालु का अर्थ 24 × 2 = 48 है, और टोकापू टोकापु का अर्थ 24 × 24 = 576 है।
-* Ngiti भाषा में आधार -4 चक्रों के साथ [[आधार 32]] | बेस -32 नंबर सिस्टम होने की सूचना है।<ref name="Hammarstrom 2010"/>* पापुआ न्यू गिनी की ndom भाषा में बेस -6 अंक होने की सूचना है।<ref>{{ Citation | last=Owens | first=Kay | title=The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania | journal=Mathematics Education Research Journal | year=2001 | volume=13 | issue=1 | pages=47–71 | url=http://www.uog.ac.pg/glec/Key/Kay/owens131.htm | doi=10.1007/BF03217098 | bibcode=2001MEdRJ..13...47O | s2cid=161535519 | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20150926003303/http://www.uog.ac.pg/glec/Key/Kay/owens131.htm | archive-date=2015-09-26 }}</ref> मेर का अर्थ है 6, मेर एक thef का अर्थ है 6 × 2 = 12, NIF का अर्थ है 36, और NIF THEF का अर्थ है 36 × 2 = 72।
+* नगीती भाषा में आधार - 4 चक्रों के साथ [[आधार 32]] संख्या प्रणाली होने की सूचना है।<ref name="Hammarstrom 2010"/>
+*पापुआ न्यू गिनी की नडोम भाषा में आधार -6 अंक होने की सूचना है।<ref>{{Citation | last=Owens | first=Kay | title=The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania | journal=Mathematics Education Research Journal | year=2001 | volume=13 | issue=1 | pages=47–71 | url=http://www.uog.ac.pg/glec/Key/Kay/owens131.htm | doi=10.1007/BF03217098 | bibcode=2001MEdRJ..13...47O | s2cid=161535519 | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20150926003303/http://www.uog.ac.pg/glec/Key/Kay/owens131.htm | archive-date=2015-09-26 }}</ref> जिसमे मेर का अर्थ 6 है, मेर एन थेफ का अर्थ 6 × 2 = 12 है, निफ का अर्थ 36 है, और निफ थेफ़ का अर्थ 36 × 2 = 72 है।
 == यह भी देखें ==
-{{columns-list|colwidth=30em|
+{{columns-list|colwidth=30em|* [[एल्गोरिज्म]]
-* [[Algorism]]
+* [[बाइनरी-कोडित दशमलव]] (बीसीडी)
-* [[Binary-coded decimal]] (BCD)
+* [[दशमलव वर्गीकरण]]
-* [[Decimal classification]]
+* [[दशमलव कंप्यूटर]]
-* [[Decimal computer]]
+* [[दशमलव समय]]
-* [[Decimal time]]
+* [[दशमलव प्रतिनिधित्व]]
-* [[Decimal representation]]
+* [[दशमलव खंड क्रमांकन]]
-* [[Decimal section numbering]]
+* [[दशमलव विभाजक]]
-* [[Decimal separator]]
+* [[दशमलवीकरण]]
-* [[Decimalisation]]
+* [[घनी पैक दशमलव]] (डीपीडी)
-* [[Densely packed decimal]] (DPD)
+* [[डुओडेसिमल]]
-* [[Duodecimal]]
+* [[ऑक्टल]]
-* [[Octal]]
+* [[वैज्ञानिक संकेतन]]
-* [[Scientific notation]]
+* [[सीरियल दशमलव]]
-* [[Serial decimal]]
+* [[एसआई उपसर्ग]]}}
-* [[SI prefix]]
-}}
@@ Line 292: / Line 305: @@
 {{Reflist}}
-{{Orders of magnitude}}
+[[Category:Articles containing Chinese-language text]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: प्राथमिक अंकगणित]] [[Category: गणित (गणित)]] [[Category: स्थिति संख्या प्रणाली]]
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