शून्य समुच्चय: Difference between revisions

Latest revision as of 07:17, 20 October 2023

सिएरपिंस्की त्रिकोण

\mathbb {R} ^{2}

में बिंदुओं के शून्य समुच्चय का एक उदाहरण है।

गणितीय विश्लेषण में, शून्य समुच्चय वास्तविक संख्याओं का लेबेस्ग्यू् मापनीय समुच्चय होता है जिसमें लेबेस्ग्यू् का माप शून्य होता है। इसे समुच्चय के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसे यादृच्छिक रूप से छोटी कुल लंबाई के अंतराल (गणित) के गणनीय संघ द्वारा आच्छादित (टोपोलॉजी) किया जा सकता है।

जैसा कि समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित है, शून्य समुच्चय की धारणा को रिक्त समुच्चय के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। यद्यपि रिक्त समुच्चय में लेबेस्ग्यू का माप शून्य है, फिर भी ऐसे गैर-रिक्त समुच्चय भी हैं जो शून्य हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त गणनीय समुच्चय में लेबेस्ग्यू का माप शून्य है, और इसलिए वह शून्य है।

अतः अधिक सामान्यतः, किसी दिए गए माप समष्टि $M=(X,\Sigma ,\mu )$ पर शून्य समुच्चय एक ऐसा समुच्चय $S\in \Sigma$ होता है जैसे कि $\mu (S)=0.$

उदाहरण

इस प्रकार से वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक परिमित या गणनीय अनंत उपसमुच्चय शून्य समुच्चय है। अतः इस प्रकार से उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय और परिमेय संख्याओं का समुच्चय दोनों ही गणनीय रूप से अनंत हैं और इसलिए वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय माने जाने पर शून्य समुच्चय हैं।

इस प्रकार से कैंटर समुच्चय अगणनीय शून्य समुच्चय का उदाहरण है।

परिभाषा

अतः मान लीजिए $A$ वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ का उपसमुच्चय है जैसे कि प्रत्येक $\varepsilon >0$ के लिए, विवृत अंतरालों का एक अनुक्रम $U_{1},U_{2},\ldots$ स्थित होता है (जहां अंतराल $U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R}$ की लंबाई $\operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}$ ) है जैसे कि

A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ ~{\textrm {and}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (U_{n})<\varepsilon \,,

तो

A

शून्य समुच्चय है,^[1] जिसे शून्य-विवरण के समुच्चय के रूप में भी जाना जाता है।

इस प्रकार से गणितीय विश्लेषण की शब्दावली में, इस परिभाषा के लिए आवश्यक है कि $A$ के विवृत आवरणों का एक क्रम हो जिसके लिए आवरणों की लम्बाई अनुक्रम की सीमा शून्य है।

गुण

अतः रिक्त समुच्चय सदैव शून्य समुच्चय होता है। अधिक सामान्यतः, अशक्त समुच्चयों का कोई भी गणनीय संघ (समुच्चय सिद्धांत) अशक्त होता है। शून्य समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय स्वयं शून्य समुच्चय होता है। इस प्रकार से साथ में, ये तथ्य दर्शाते हैं कि $X$ के $m$ -शून्य समुच्चय $X$ पर सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इसी प्रकार, मापनीय $m$ -शून्य समुच्चय मापनीय समुच्चयों के सिग्मा-बीजगणित का सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इस प्रकार, शून्य समुच्चय की व्याख्या नगण्य समुच्चय के रूप में की जा सकती है, जो लगभग प्रत्येक समष्टिकी धारणा को परिभाषित करता है।

लेबेस्ग्यू माप

इस प्रकार से लेबेस्ग्यू माप यूक्लिडियन समष्टि के उपसमुच्चय को लंबाई, क्षेत्र या आयतन निर्दिष्ट करने की मानक विधि है।

अतः $\mathbb {R}$ के एक उपसमुच्चय $N$ में शून्य लेबेस्ग्यू माप है और इसे $\mathbb {R}$ में एक शून्य समुच्चय माना जाता है यदि और मात्र यदि:

कोई भी धनात्मक संख्या

\varepsilon

को देखते हुए

\mathbb {R}

में अंतरालों अस्तित्वगत परिमाणीकरण का क्रम

I_{1},I_{2},\ldots

होता है, जैसे कि

N

,

I_{1},I_{2},\ldots

के मिलान में समाहित होता है और मिलन की कुल लंबाई

\varepsilon

से कम होती है।

इस प्रकार से अंतराल के अतिरिक्त $n$ - घन (ज्यामिति) इका उपयोग करके इस स्थिति को $\mathbb {R} ^{n}$ में सामान्यीकृत किया जा सकता है। वस्तुतः, इस विचार को किसी भी स्तर पर अर्थपूर्ण बनाया जा सकता है, भले ही वहां कोई लेबेस्ग्यू माप न हो।

इस प्रकार से उदाहरण के लिए:

$\mathbb {R} ^{n}$ के संबंध में सभी एकलक (गणित) शून्य हैं, और इसलिए सभी गणनीय समुच्चय शून्य हैं। विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ में संहत (टोपोलॉजी) होने के अतिरिक्त एक शून्य समुच्चय है।
कैंटर समुच्चय का मानक निर्माण $\mathbb {R}$ में शून्य अगणनीय समुच्चय का उदाहरण है; यद्यपि अन्य निर्माण भी संभव हैं जो कैंटर को कोई भी माप निर्धारित करते हैं।
$\mathbb {R} ^{n}$ के सभी उपसमुच्चय जिनका आयाम $n$ से छोटा है, $\mathbb {R} ^{n}$ में शून्य लेबेस्ग्यू माप है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए सीधी रेखाएँ या वृत्त $\mathbb {R} ^{2}$ में शून्य समुच्चय है।
सार्ड की लेम्मा: सुचारु फलन के महत्वपूर्ण मानों के समुच्चय का माप शून्य होता है।

यदि $\lambda$ , $\mathbb {R}$ के लिए लेबेस्ग्यू माप है और π, $\mathbb {R} ^{2}$ के लिए लेबेस्ग्यू माप है, तो गुणनफल माप $\lambda \times \lambda =\pi$ है। अशक्त समुच्चयों के संदर्भ में, निम्नलिखित तुल्यता को फ़ुबिनी के प्रमेय की शैली दी गई है:^[2]

$A\subset \mathbb {R} ^{2}$ और $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$

\pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0

के लिए।

उपयोग

इस प्रकार से शून्य समुच्चय लेबेस्ग्यू एकीकरण की परिभाषा में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि फलन $f$ और $g$ एक शून्य समुच्चय को छोड़कर सभी बराबर हैं, तो $f$ पूर्णांक है, यदि और मात्र यदि $g$ है, और उनके अभिन्न अंग बराबर हैं। अतः यह फलनों के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में $L^{p}$ रिक्त समष्टि की औपचारिक परिभाषा को प्रेरित करता है जो मात्र शून्य समुच्चय पर भिन्न होता है।

एक माप जिसमें शून्य समुच्चय के सभी उपसमुच्चय मापनीय होते हैं, पूर्ण माप होता है। इस प्रकार से किसी भी गैर-पूर्ण माप को यह अनुरोध करके पूर्ण माप बनाने के लिए पूर्ण किया जा सकता है कि शून्य समुच्चय के उपसमुच्चय का माप शून्य है। लेबेस्ग्यू माप पूर्ण माप का उदाहरण है; कुछ निर्माणों में, इसे अपूर्ण बोरेल माप के पूर्ण होने के रूप में परिभाषित किया गया है।

कैंटर समुच्चय का उपसमुच्चय जो बोरेल मापनीय नहीं है

इस प्रकार से बोरेल माप पूर्ण नहीं हुआ है। अतः एक सरल निर्माण मानक कैंटर सेट $K$ से प्रारंभ करना है, जो संवृत है इसलिए बोरेल मापनीय है, और जिसका माप शून्य है, और $K$ का एक उपसमुच्चय $F$ जो बोरेल मापनीय नहीं है। (चूंकि लेबेस्ग्यू माप पूर्ण हो गया है, यह $F$ निश्चित रूप से लेबेस्ग्यू मापनीय है।)

अतः सबसे पहले, हमें यह जानना होगा कि धनात्मक माप के प्रत्येक समुच्चय में गैर-मापनीय उपसमुच्चय होता है। मान लीजिए कि $f$ कैंटर फलन है, सतत फलन जो $K^{c}$ पर स्थानीय रूप से स्थिर है, और $f(0)=0$ और $f(1)=1$ के साथ $[0,1]$ पर एकदिष्ट रूप से बढ़ रहा है। स्पष्ट रुप से, $f(K^{c})$ गणनीय है, क्योंकि इसमें $K^{c}$ के प्रति घटक एक बिंदु होता है। इसलिए $f(K^{c})$ का माप शून्य है, इसलिए $f(K)$ का माप एक है। इस प्रकार से हमें दृढ़ता से एकदिष्ट फलन की आवश्यकता है, इसलिए $g(x)=f(x)+x$ पर विचार करें। चूँकि $f(x)$ पूर्णतया एकदिष्ट और सतत है, यह एक समरूपता है। इसके अतिरिक्त, $g(K)$ का माप एक है। मान लीजिए कि $E\subseteq g(K)$ गैर-मापनीय है, और मान लीजिए कि $F=g^{-1}(E)$ है। क्योंकि $g$ अन्तःक्षेपक है, हमारे निकट $F\subseteq K$ है, और इसलिए $F$ शून्य समुच्चय है।यद्यपि, यदि यह बोरेल मापनीय होता, तो $f(F)$ बोरेल भी मापनीय होता है (यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि सतत फलन द्वारा निर्धारित बोरेल का पूर्व प्रतिचित्र (गणित) मापनीय है; $g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)$ निरंतर फ़ंक्शन $h=g^{-1}$ के माध्यम से $F$ का पूर्व प्रतिचित्र है ।) इसलिए, $F$ शून्य, परन्तु गैर-बोरेल मापनीय समुच्चय है।

हार शून्य

इस प्रकार से एक वियोज्य बानाच समष्टि $(X,+)$ में, समूह संक्रियक किसी भी उपसमुच्चय $A\subseteq X$ को किसी भी $x\in X$ के लिए अनुवादित $A+x$ में ले जाता है। अतः जब $X$ के बोरेल उपसमुच्चय के σ-बीजगणित पर संभाव्यता माप $μ$ होता है, जैसे कि सभी $x,$ $\mu (A+x)=0$ के लिए $A$ एक हार शून्य समुच्चय है।^[3]

इस प्रकार से यह शब्द अनुवाद के मापों की शून्य अपरिवर्तनशीलता को संदर्भित करता है, इसे हार माप के साथ पाए जाने वाले पूर्ण अपरिवर्तन्य के साथ जोड़ता है।

अतः टोपोलॉजिकल समूहों के कुछ बीजगणितीय गुण उपसमुच्चय और हार नल समुच्चय के आकार से संबंधित हैं।^[4] इस प्रकार से हार नल समुच्चय का उपयोग पोलिश समूहों में यह दिखाने के लिए किया गया है कि जब $A$ कोई छोटा समुच्चय नहीं है, तो $A^{-1}A$ तत्समक अवयव का एक विवृत निकटवर्ती होता है।^[5] अतः इस गुण के नाम ह्यूगो स्टीनहॉस के नाम पर रखा गया है क्योंकि यह स्टीनहॉस प्रमेय का निष्कर्ष है।

यह भी देखें

कैंटर फलन – Continuous function that is not absolutely continuous
रिक्त समुच्चय – Mathematical set containing no elements
माप (गणित) – Generalization of mass, length, area and volume
कुछ नहीं – German mathematician

संदर्भ

↑ Franks, John (2009). ए (संक्षिप्त) लेब्सग एकीकरण का परिचय. The Student Mathematical Library. Vol. 48. American Mathematical Society. p. 28. doi:10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
↑ van Douwen, Eric K. (1989). "शून्य सेट के लिए फ़ुबिनी का प्रमेय". American Mathematical Monthly. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. MR 1019152.
↑ Matouskova, Eva (1997). "उत्तलता और हार शून्य सेट" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090/S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.
↑ Solecki, S. (2005). "समूहों के उपसमुच्चय और हार शून्य सेट के आकार". Geometric and Functional Analysis. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007/s00039-005-0505-z. MR 2140632. S2CID 11511821.
↑ Dodos, Pandelis (2009). "स्टीनहॉस संपत्ति और हार-नल सेट". Bulletin of the London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112/blms/bdp014. MR 4296513. S2CID 119174196.

अग्रिम पठन

Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Measure, Integral and Probability. Springer. p. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
Jones, Frank (1993). Lebesgue Integration on Euclidean Spaces. Jones & Bartlett. p. 107. ISBN 978-0-86720-203-8.
Oxtoby, John C. (1971). Measure and Category. Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.

[1] Franks, John (2009). ए (संक्षिप्त) लेब्सग एकीकरण का परिचय. The Student Mathematical Library. Vol. 48. American Mathematical Society. p. 28. doi:10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.

[2] van Douwen, Eric K. (1989). "शून्य सेट के लिए फ़ुबिनी का प्रमेय". American Mathematical Monthly. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. MR 1019152.

[3] Matouskova, Eva (1997). "उत्तलता और हार शून्य सेट" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090/S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.

[4] Solecki, S. (2005). "समूहों के उपसमुच्चय और हार शून्य सेट के आकार". Geometric and Functional Analysis. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007/s00039-005-0505-z. MR 2140632. S2CID 11511821.

[5] Dodos, Pandelis (2009). "स्टीनहॉस संपत्ति और हार-नल सेट". Bulletin of the London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112/blms/bdp014. MR 4296513. S2CID 119174196.

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[2]

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Measurable set whose measure is zero}}
-{{For|बिना तत्वों वाला सेट|खाली सेट}}{{For|किसी फ़ंक्शन के शून्य का सेट|शून्य सेट}}
+{{For|बिना किसी अवयव वाला  समुच्चय|रिक्त समुच्चय}}{{For|किसी फलन के शून्य का समुच्चय|शून्य समुच्चय}}
-[[File:Sierpinski triangle.svg|thumb|<math>\mathbb R^2</math>सिएर्पिंस्की त्रिभुज रूपांतर में एक नुल बिंदु समुच्चय का एक उदाहरण है।]][[गणितीय विश्लेषण]] में, एक शून्य समुच्चय <math>N \subset \mathbb{R}</math> एक [[मापने योग्य सेट|मापने योग्य]] समुच्चय है जिसका माप शून्य है। इसे एक समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो इच्छानुसार से छोटी कुल लंबाई के [[अंतराल (गणित)]] के एक [[गणनीय]] संघ  के माध्यम से कवर (टोपोलॉजी) हो सकता है।
+[[File:Sierpinski triangle.svg|thumb|सिएरपिंस्की त्रिकोण <math>\mathbb R^2</math> में बिंदुओं के शून्य समुच्चय का एक उदाहरण है।]][[गणितीय विश्लेषण]] में, '''शून्य समुच्चय''' वास्तविक संख्याओं का लेबेस्ग्यू् मापनीय समुच्चय होता है जिसमें लेबेस्ग्यू् का माप '''शून्य''' होता है। इसे समुच्चय के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसे यादृच्छिक रूप से छोटी कुल लंबाई के [[अंतराल (गणित)]] के [[गणनीय]] संघ द्वारा [[कवर (टोपोलॉजी)|'''आच्छादित (टोपोलॉजी)''']] किया जा सकता है।
-शून्य समुच्चय की धारणा को [[खाली सेट|रिक्त]] समुच्चय के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित किया गया है। चूंकि खाली समुच्चय में लेबेस्ग का माप शून्य होता है, फिर भी गैर-खाली समुच्चय होते हैं जो शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त गणनीय समुच्चय में लेबेस्ग का माप शून्य है और इसलिए यह शून्य है।
+जैसा कि समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित है, शून्य समुच्चय की धारणा को [[खाली सेट|'''रिक्त समुच्चय''']] के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। यद्यपि रिक्त समुच्चय में लेबेस्ग्यू का माप शून्य है, फिर भी ऐसे गैर-रिक्त समुच्चय भी हैं जो शून्य हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त गणनीय समुच्चय में लेबेस्ग्यू का माप शून्य है, और इसलिए वह शून्य है।
-अधिक सामान्य रूप से, दिए गए माप स्थान <math>M = (X, \Sigma, \mu)</math> एक शून्य समुच्चय उस समुच्चय को कहा जाता है जिसके लिए<math>S\in\Sigma</math> ऐसा है कि <math>\mu(S) = 0</math>. होता है।
+अतः अधिक सामान्यतः, किसी दिए गए माप समष्टि<math>M = (X, \Sigma, \mu)</math> पर शून्य समुच्चय एक ऐसा समुच्चय <math>S \in \Sigma</math> होता है जैसे कि <math>\mu(S) = 0.</math>
+==उदाहरण==
-== उदाहरण ==
+इस प्रकार से वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक परिमित या गणनीय अनंत उपसमुच्चय शून्य समुच्चय है। अतः इस प्रकार से उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय और परिमेय संख्याओं का समुच्चय दोनों ही गणनीय रूप से अनंत हैं और इसलिए वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय माने जाने पर शून्य समुच्चय हैं।
-समयी या गणितीय असीमित संख्या के समुच्चय के लिए नुल समुच्चय है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय और राशियों का समुच्चय दोनों समयी असीमित होते हैं और इसलिए यदि वे रीयल संख्याओं के सबसेट के रूप में विचार किए जाएं तो वे नुल समुच्चय होते हैं।
+इस प्रकार से [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] अगणनीय शून्य समुच्चय का उदाहरण है।
-[[कैंटर सेट|कैंटर]] समुच्चय एक अगणित नुल समुच्चय का एक उदाहरण है।{{Explain|reason=elaboration on how an uncountable set can be null and/or how the countability of a set may interact with its nullity is needed|date=November 2021}}
+==परिभाषा==
-== परिभाषा ==
+अतः मान लीजिए <math>A</math> वास्तविक रेखा <math>\Reals</math> का उपसमुच्चय है जैसे कि प्रत्येक <math>\varepsilon > 0</math> के लिए, विवृत अंतरालों का एक अनुक्रम <math>U_1, U_2, \ldots</math> स्थित होता है (जहां अंतराल <math>U_n = (a_n, b_n) \subseteq \Reals</math> की लंबाई <math>\operatorname{length}(U_n) = b_n - a_n</math>) है जैसे कि
-यदि <math>A</math> [[वास्तविक रेखा]]  <math>\mathbb{R}</math> के एक सबसेट है जिसके लिए
 <math display="block">
-\forall \varepsilon > 0, \ \exists \left\{U_n\right\}_n : U_n=(a_n,b_n)\subset \mathbb{R}: \quad
+A \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty U_n \ ~\textrm{and}~ \ \sum_{n=1}^\infty \operatorname{length}(U_n) < \varepsilon \,,
-A \subset \bigcup_{n = 1}^\infty U_n \ \textrm{and}\ \sum_{n = 1}^\infty \left|U_n\right| < \varepsilon \,,
 </math>
-जहां {{math|''U''<sub>n</sub>}} अंतराल (गणित) हैं और {{math|{{!}}''U''{{!}}}} की लंबाई है {{mvar|U}}, तो {{mvar|A}} एक शून्य समुच्चय है,<ref>{{cite book | first=John | last=Franks | date=2009 | title=A (संक्षिप्त) Lebesgue एकीकरण का परिचय| volume=48 | page=28 | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0-8218-4862-3 | doi=10.1090/stml/048| series=The Student Mathematical Library }}</ref> शून्य-सामग्री के समुच्चय के रूप में भी जाना जाता है।
+तो <math>A</math> शून्य समुच्चय है,<ref>{{cite book | first=John | last=Franks | date=2009 | title=ए (संक्षिप्त) लेब्सग एकीकरण का परिचय| volume=48 | page=28 | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0-8218-4862-3 | doi=10.1090/stml/048| series=The Student Mathematical Library }}</ref> जिसे शून्य-विवरण के समुच्चय के रूप में भी जाना जाता है।
-गणितीय विश्लेषण की शब्दावली में, इस परिभाषा के लिए आवश्यक है कि इसके खुले आवरणों का एक क्रम हो {{mvar|A}} जिसके लिए कवर की लंबाई के [[अनुक्रम की सीमा]] शून्य है।
+इस प्रकार से गणितीय विश्लेषण की शब्दावली में, इस परिभाषा के लिए आवश्यक है कि <math>A</math> के विवृत आवरणों का एक क्रम हो जिसके लिए आवरणों की लम्बाई [[अनुक्रम की सीमा]] शून्य है।
-== गुण ==
+==गुण==
-रिक्त समुच्चय सदैव शून्य समुच्चय होता है। अधिक सामान्यतः, अशक्त सेटों का कोई भी गणनीय [[संघ (सेट सिद्धांत)]] शून्य होता  है। किसी भी शून्य समुच्चय के  उपसमुच्चय अपने आप में शून्य समुच्चय होता है।सभी तथ्यों के साथ, यह बात साबित करती है कि एक्स के m-शून्य[{{explain|reason=What is m? An arbitrary measure? Its meaning should be made explicit.|date=December 2020}}  समुच्चय X पर एक [[सिग्मा-आदर्श]] बनाते हैं। इसी प्रकार, मापने योग्य m-शून्य समुच्चय औसत अंकिते के समुच्चय के [[सिग्मा-बीजगणित]] का सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इस प्रकार, अशक्त समुच्चय की व्याख्या नगण्य समुच्चय के रूप में की जा सकती है, जो [[लगभग हर जगह|अधिकतर हर जगह]] की धारणा को परिभाषित करता है।
-== लेबेस्ग उपाय ==
+अतः रिक्त समुच्चय सदैव शून्य समुच्चय होता है। अधिक सामान्यतः, अशक्त समुच्चयों का कोई भी गणनीय संघ (समुच्चय सिद्धांत) अशक्त होता है। शून्य समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय स्वयं शून्य समुच्चय होता है। इस प्रकार से साथ में, ये तथ्य दर्शाते हैं कि <math>X</math> के <math>m</math>-शून्य समुच्चय <math>X</math> पर [[सिग्मा-आदर्श]] बनाते हैं। इसी प्रकार, मापनीय <math>m</math>-शून्य समुच्चय मापनीय समुच्चयों के [[सिग्मा-बीजगणित]] का सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इस प्रकार, शून्य समुच्चय की व्याख्या [[नगण्य सेट|नगण्य समुच्चय]] के रूप में की जा सकती है, जो [[लगभग हर जगह|लगभग प्रत्येक]] समष्टिकी धारणा को परिभाषित करता है।
-[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के सबसेट के लिए [[लंबाई]], [[क्षेत्र]] या मात्रा निर्दिष्ट करने का मानक प्रणाली लेबेस्गु माप है।
-<math>\mathbb{R}</math> का एक उपसमुच्चय N का लेबेस्ग माप शून्य है और इसे एक शून्य समुच्चय माना जाता है <math>\mathbb{R}</math> यदि और एकमात्र यदि:
+==लेबेस्ग्यू माप==
-: किसी भी धनात्मक संख्या ε को देखते हुए, अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव एक अनुक्रम {{math|{''I''<sub>''n''</sub>}<nowiki/>}} अंतराल (गणित) में <math>\mathbb{R}</math> ऐसा है कि एन के मिलन में निहित है {{math|{''I''<sub>''n''</sub>}<nowiki/>}} और संघ की कुल लंबाई ε से कम है।
-इस स्थिति को सामान्यीकृत किया जा सकता है <math>\mathbb{R}^{n}</math>, अंतरालों के अतिरिक्त n-क्यूब (ज्यामिति) का उपयोग करना। वास्तव में, किसी भी [[कई गुना]] पर विचार करने के लिए विचार किया जा सकता है, के होने पर भी वहां कोई लेबेस्गु उपाय न हो।
-उदाहरण के लिए:
+इस प्रकार से लेबेस्ग्यू माप यूक्लिडियन समष्टि के उपसमुच्चय को [[लंबाई]], [[क्षेत्र]] या [[आयतन]] निर्दिष्ट करने की मानक विधि है।
-* इसके संबंध में <math>\mathbb{R}^n</math>, सभी [[सिंगलटन (गणित)]] शून्य हैं, और इसलिए सभी [[गणनीय सेट|गणनीय]] समुच्चय शून्य हैं। विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, में [[सघन (टोपोलॉजी)]] होने के अतिरिक्त एक रिक्त समुच्चय है <math>\mathbb{R}</math>.
-* कैंटर समुच्चय का मानक निर्माण शून्य [[बेशुमार सेट|बेशुमार]] समुच्चय का एक उदाहरण है <math>\mathbb{R}</math>; चूँकि अन्य निर्माण संभव हैं जो कैंटर को किसी भी उपाय को निर्धारित करते हैं।
-* के सभी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}^n</math> जिसका [[आयाम]] n से छोटा है, में अशक्त लेबेस्ग माप है <math>\mathbb{R}^n</math>. उदाहरण के लिए सीधी रेखाएँ या वृत्त अशक्त समुच्चय हैं <math>\mathbb{R}^2</math>.
-* सार्ड्स लेम्मा: एक सुचारू कार्य के महत्वपूर्ण मूल्यों के समुच्चय का माप शून्य है।
+अतः <math>\Reals</math> के एक उपसमुच्चय <math>N</math> में शून्य लेबेस्ग्यू माप है और इसे <math>\Reals</math> में एक शून्य समुच्चय माना जाता है यदि और मात्र यदि:
+: कोई भी धनात्मक संख्या <math>\varepsilon</math> को देखते हुए <math>\Reals</math> में अंतरालों [[अस्तित्वगत परिमाणीकरण]] का क्रम <math>I_1, I_2, \ldots</math> होता है, जैसे कि <math>N</math>, <math>I_1, I_2, \ldots</math> के मिलान में समाहित होता है और मिलन की कुल लंबाई <math>\varepsilon</math> से कम होती है।
+इस प्रकार से अंतराल के अतिरिक्त <math>n</math>- [[घन (ज्यामिति)]] इका उपयोग करके इस स्थिति को <math>\Reals^n</math> में सामान्यीकृत किया जा सकता है। वस्तुतः, इस विचार को किसी भी स्तर पर अर्थपूर्ण बनाया जा सकता है, भले ही वहां कोई लेबेस्ग्यू माप न हो।
-यदि λ के लिए लेबेस्गु माप है <math>\mathbb{R}</math> और π के लिए लेबेस्ग माप है <math>\mathbb{R}^{2}</math>, फिर [[उत्पाद माप]] <math>\lambda \times \lambda = \pi</math>. अशक्त समुच्चयों के संदर्भ में, निम्नलिखित तुल्यता को फ़ुबिनी के प्रमेय की शैली दी गई है:<ref>{{cite journal | first=Eric K. | last=van Douwen | date=1989 | title=अशक्त समुच्चयों के लिए फ़ुबिनी का प्रमेय| journal=[[American Mathematical Monthly]] | volume=96 | issue=8 | pages=718–21 | mr=1019152 | jstor=2324722| doi=10.1080/00029890.1989.11972270 }}</ref> * के लिए <math>A \subset \mathbb{R}^{2}</math> और <math>A_x = \{y : (x , y) \isin A \} ,</math> <math display="block">\pi(A) = 0 \iff \lambda \left(\left\{ x : \lambda\left(A_x\right) > 0 \right\}\right) = 0 .</math>
+इस प्रकार से उदाहरण के लिए:
+* <math>\Reals^n</math> के संबंध में सभी [[सिंगलटन (गणित)|एकलक (गणित)]] शून्य हैं, और इसलिए सभी गणनीय समुच्चय शून्य हैं। विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का समुच्चय <math>\Q</math>, <math>\Reals</math> में [[सघन (टोपोलॉजी)|संहत (टोपोलॉजी)]] होने के अतिरिक्त एक शून्य समुच्चय है।
+* कैंटर समुच्चय का मानक निर्माण <math>\Reals</math> में शून्य [[बेशुमार सेट|अगणनीय समुच्चय]] का उदाहरण है; यद्यपि अन्य निर्माण भी संभव हैं जो कैंटर को कोई भी माप निर्धारित करते हैं।
+* <math>\Reals^n</math> के सभी उपसमुच्चय जिनका [[आयाम]] <math>n</math> से छोटा है, <math>\Reals^n</math> में शून्य लेबेस्ग्यू माप है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए सीधी रेखाएँ या वृत्त <math>\Reals^2</math> में शून्य समुच्चय है।
+* सार्ड की लेम्मा: सुचारु फलन के [[महत्वपूर्ण मान|महत्वपूर्ण मानों]] के समुच्चय का माप शून्य होता है।
+यदि <math>\lambda</math>, <math>\Reals</math> के लिए लेबेस्ग्यू माप है और π, <math>\Reals^2</math> के लिए लेबेस्ग्यू माप है, तो [[उत्पाद माप|गुणनफल माप]] <math>\lambda \times \lambda = \pi</math> है। अशक्त समुच्चयों के संदर्भ में, निम्नलिखित तुल्यता को फ़ुबिनी के प्रमेय की शैली दी गई है:<ref>{{cite journal | first=Eric K. | last=van Douwen | date=1989 | title=शून्य सेट के लिए फ़ुबिनी का प्रमेय| journal=[[American Mathematical Monthly]] | volume=96 | issue=8 | pages=718–21 | mr=1019152 | jstor=2324722| doi=10.1080/00029890.1989.11972270 }}</ref>
-== उपयोग ==
+* <math>A \subset \Reals^2</math> और <math>A_x = \{y : (x , y) \isin A\},</math>
-नल सेट लेबेस्ग इंटीग्रल की परिभाषा में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि फ़ंक्शंस है {{math|''f''}} और {{math|''g''}}  नुल सेट को छोड़कर बराबर होते हैं, तो  {{math|''f''}}  इंटीग्रेबल है यदि और केवल यदि {{math|''g''}} है, इंटीग्रेबल है, और उनका इंटीग्रल भी बराबर होता है। इससे एलपी स्पेस की औपचारिक परिभाषा को भी समझने में मदद मिलती है, जिसमें फ़ंक्शंस के एक्विवलेंस क्लासों का सेट बनाया जाता है जो केवल नल सेटों पर अलग-अलग होते हैं।
+<math display="block">\pi(A) = 0 \iff \lambda \left(\left\{x : \lambda\left(A_x\right) > 0\right\}\right) = 0</math> के लिए।
+==उपयोग==
-जो माप में हर नल सेट के सभी उपसेट मापनीय होते हैं, वह पूर्ण है। कोई भी गैर-पूर्ण माप पूर्ण माप के रूप में पूरा किया जा सकता है, जिसमें नल सेटों के उपसेटों का माप शून्य होना सुनिश्चित किया जाता है। लेबेस्ग माप पूर्ण माप का एक उदाहरण है; कुछ निर्माणों में, यह गैर-पूर्ण बोरेल माप के पूरण माप के रूप में परिभाषित किया जाता है।
+इस प्रकार से शून्य समुच्चय लेबेस्ग्यू एकीकरण की परिभाषा में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि फलन <math>f</math> और <math>g</math> एक शून्य समुच्चय को छोड़कर सभी बराबर हैं, तो <math>f</math> पूर्णांक है, यदि और मात्र यदि <math>g</math> है, और उनके अभिन्न अंग बराबर हैं। अतः यह फलनों के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में <math>L^p</math> रिक्त समष्टि की औपचारिक परिभाषा को प्रेरित करता है जो मात्र शून्य समुच्चय पर भिन्न होता है।
-=== कैंटर समुच्चय का एक उपसमुच्चय जो बोरेल मापने योग्य नहीं है ===
+एक माप जिसमें शून्य समुच्चय के सभी उपसमुच्चय मापनीय होते हैं, पूर्ण माप होता है। इस प्रकार से किसी भी गैर-पूर्ण माप को यह अनुरोध करके पूर्ण माप बनाने के लिए पूर्ण किया जा सकता है कि शून्य समुच्चय के उपसमुच्चय का माप शून्य है। लेबेस्ग्यू माप पूर्ण माप का उदाहरण है; कुछ निर्माणों में, इसे अपूर्ण [[बोरेल माप]] के पूर्ण होने के रूप में परिभाषित किया गया है।
-बोरेल माप पूर्ण नहीं है। एक सरल निर्माण यह है कि मानक कैंटर सेट {{math|''K''}},  शुरू करें, जो बंद है इसलिए बोरेल मापनीय है, और जिसका माप शून्य है, और {{math|''K''}} का एक उपसेट {{mvar|F}} ढूंढें जो बोरेल मापनीय नहीं है। (क्योंकि लेबेग माप पूर्ण है, इसलिए यह {{mvar|F}} लेबेग मापनीय है।)
-सबसे पहले, हमें जानना होगा कि सकारात्मक माप के प्रत्येक समुच्चय में गैर-मापने योग्य उपसमुच्चय होता है।  {{math|''f''}}  [[कैंटर समारोह|कैंटर फ़ंक्शन]] होती है, जो {{math|''K<sup>c</sup>''}},पर स्थानांतरित एक स्थिर फ़ंक्शन है, और [0, 1] पर एकतांत बढ़ती है, जिसमें {{math|1=''f''(0) = 0}} और {{math|1=''f''(1) = 1}}. होता है। स्पष्ट है कि {{math|''f''(''K<sup>c</sup>'')}} गणनीय होगा, क्योंकि यह {{math|''K<sup>c</sup>''}} के प्रत्येक घटक में एक बिंदु शामिल करता है। इसलिए {{math|''f''(''K<sup>c</sup>'')}} का माप शून्य होगा, इसलिए  {{math|''f''(''K'')}} का माप एक होगा। हमें एक सख्त [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] की आवश्यकता है, इसलिए  {{math|1=''g''(''x'') = ''f''(''x'') + ''x''}}का विवेचन करें।  {{math|''g''(''x'')}} सख्ती से मोनोटोनिक और निरंतर है, यह [[होमियोमोर्फिज्म]] है। आगे, {{math|''g''(''K'')}} का माप एक है। होने देना {{math|''E'' ⊂ ''g''(''K'')}} गैर-मापने योग्य हो, और चलो {{math|1=''F'' = ''g''<sup>−1</sup>(''E'')}}. क्योंकि {{mvar|g}} इंजेक्शन है, हमारे पास वह है {{math|''F'' ⊂ ''K''}}, इसलिए {{mvar|F}} एक शून्य समुच्चय है। चूंकि, यदि यह बोरेल औसत अंकिते का था, तो {{math|''g''(''F'')}} बोरेल मापने योग्य भी होगा (यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि निरंतर कार्य  के माध्यम से समुच्चय किए गए बोरेल की [[छवि (गणित)]] मापने योग्य है; {{math|1=''g''(''F'') = (''g''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>(''F'')}} निरंतर कार्य के माध्यम से F की पूर्वछवि है {{math|1=''h'' = ''g''<sup>−1</sup>}}।) इसलिए, {{mvar|F}} एक अशक्त, किन्तु गैर-बोरेल औसत अंकिते का समुच्चय है।
+===कैंटर समुच्चय का उपसमुच्चय जो बोरेल मापनीय नहीं है===
-== हार नल ==
+इस प्रकार से बोरेल माप पूर्ण नहीं हुआ है। अतः एक सरल निर्माण मानक कैंटर सेट <math>K</math> से प्रारंभ करना है, जो संवृत है इसलिए बोरेल मापनीय है, और जिसका माप शून्य है, और <math>K</math> का एक उपसमुच्चय <math>F</math> जो बोरेल मापनीय नहीं है। (चूंकि लेबेस्ग्यू माप पूर्ण हो गया है, यह <math>F</math> निश्चित रूप से लेबेस्ग्यू मापनीय है।)
-एक [[वियोज्य स्थान|वियोज्य स्थान {{math|(''X'', +)}}]] में [[बनच स्थान]] , समूह संचालन किसी भी सबसेट को स्थानांतरित करता है {{math|''A'' ⊂ ''X''}} अनुवाद करने के लिए {{math|''A'' + ''x''}} किसी के लिए {{math|''x'' ∈ ''X''}}. जब कोई [[संभाव्यता माप]] होती है {{math|''μ''}} के [[बोरेल सबसेट]] के σ-बीजगणित पर {{mvar|X}}, ऐसा कि सभी के लिए {{mvar|x}}, {{math|1=''μ''(''A'' + ''x'') = 0}}, तब {{mvar|A}} उसका शून्य समुच्चय है।<ref>{{cite journal | first=Eva | last=Matouskova | date=1997 | url=https://www.ams.org/journals/proc/1997-125-06/S0002-9939-97-03776-3/S0002-9939-97-03776-3.pdf | title=उत्तलता और हार नल सेट| journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | volume=125 | issue=6 | pages=1793–1799 | jstor=2162223| doi=10.1090/S0002-9939-97-03776-3 | doi-access=free }}</ref>
-यह शब्द अनुवाद के उपायों के अशक्त व्युत्क्रम को संदर्भित करता है, इसे हार माप के साथ मिले पूर्ण व्युत्क्रम के साथ जोड़ता है।
+अतः सबसे पहले, हमें यह जानना होगा कि धनात्मक माप के प्रत्येक समुच्चय में गैर-मापनीय उपसमुच्चय होता है। मान लीजिए कि <math>f</math> [[कैंटर फ़ंक्शन|कैंटर फलन]] है, सतत फलन जो <math>K^c</math> पर स्थानीय रूप से स्थिर है, और <math>f(0) = 0</math> और <math>f(1) = 1</math> के साथ <math>[0, 1]</math> पर एकदिष्ट रूप से बढ़ रहा है। स्पष्ट रुप से, <math>f(K^c)</math> गणनीय है, क्योंकि इसमें <math>K^c</math> के प्रति घटक एक बिंदु होता है। इसलिए <math>f(K^c)</math> का माप शून्य है, इसलिए <math>f(K)</math> का माप एक है। इस प्रकार से हमें दृढ़ता से [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|एकदिष्ट फलन]] की आवश्यकता है, इसलिए <math>g(x) = f(x) + x</math> पर विचार करें। चूँकि <math>f(x)</math> पूर्णतया एकदिष्ट और सतत है, यह एक समरूपता है। इसके अतिरिक्त, <math>g(K)</math> का माप एक है। मान लीजिए कि <math>E \subseteq g(K)</math> गैर-मापनीय है, और मान लीजिए कि <math>F = g^{-1}(E)</math> है। क्योंकि <math>g</math> अन्तःक्षेपक है, हमारे निकट <math>F \subseteq K</math> है, और इसलिए <math>F</math> शून्य समुच्चय है।यद्यपि, यदि यह बोरेल मापनीय होता, तो <math>f(F)</math> बोरेल भी मापनीय होता है (यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि सतत फलन द्वारा निर्धारित बोरेल का पूर्व [[छवि (गणित)|प्रतिचित्र (गणित)]] मापनीय है; <math>g(F) = (g^{-1})^{-1}(F)</math> निरंतर फ़ंक्शन <math>h = g^{-1}</math> के माध्यम से <math>F</math> का पूर्व प्रतिचित्र है ।) इसलिए, <math>F</math> शून्य, परन्तु गैर-बोरेल मापनीय समुच्चय है।
-[[टोपोलॉजिकल समूह|टोपोलॉजिकल समूहों]] के कुछ बीजगणितीय गुणों को सबसेट के आकार और हार नल समुच्चय से संबंधित किया गया है।<ref>{{cite journal | first=S. | last=Solecki | date=2005 | title=समूहों के सबसेट के आकार और हार नल सेट| journal=Geometric and Functional Analysis | volume=15 | pages=246–73 | mr=2140632 | doi=10.1007/s00039-005-0505-z| citeseerx=10.1.1.133.7074 | s2cid=11511821 }}</ref>
+==हार शून्य==
-[[पोलिश समूह|पोलिश समूहों]] में हार नल समुच्चय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया है कि जब {{mvar|A}} अल्प समुच्चय नहीं है {{math|''A''<sup>−1</sup>''A''}} में [[पहचान तत्व]] का एक खुला पड़ोस होता है।<ref>{{cite journal | first=Pandelis | last=Dodos | date=2009 | title=स्टाइनहॉस संपत्ति और हार-नल सेट| journal=[[Bulletin of the London Mathematical Society]] | volume=41 | issue=2 | pages=377–44 | mr=4296513| bibcode=2010arXiv1006.2675D | arxiv=1006.2675 | doi=10.1112/blms/bdp014 | s2cid=119174196 }}</ref> इस संपत्ति का नाम [[ह्यूगो स्टीनहॉस]] के नाम पर रखा गया है क्योंकि यह स्टीनहॉस प्रमेय का निष्कर्ष है।
+इस प्रकार से एक वियोज्य बानाच समष्टि <math>(X, +)</math> में, समूह संक्रियक किसी भी उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> को किसी भी <math>x \in X</math> के लिए अनुवादित <math>A + x</math> में ले जाता है। अतः जब <math>X</math> के [[बोरेल उपसमुच्चय]] के σ-बीजगणित पर [[संभाव्यता माप]] {{math|''μ''}} होता है, जैसे कि सभी <math>x,</math> <math>\mu(A + x) = 0</math> के लिए <math>A</math> एक हार शून्य समुच्चय है।<ref>{{cite journal | first=Eva | last=Matouskova | date=1997 | url=https://www.ams.org/journals/proc/1997-125-06/S0002-9939-97-03776-3/S0002-9939-97-03776-3.pdf | title=उत्तलता और हार शून्य सेट| journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | volume=125 | issue=6 | pages=1793–1799 | jstor=2162223| doi=10.1090/S0002-9939-97-03776-3 | doi-access=free }}</ref>
-== यह भी देखें ==
+इस प्रकार से यह शब्द अनुवाद के मापों की शून्य अपरिवर्तनशीलता को संदर्भित करता है, इसे हार माप के साथ पाए जाने वाले पूर्ण अपरिवर्तन्य के साथ जोड़ता है।
-* कैंटर फ़ंक्शन
-* [[उपाय (गणित)]]
+अतः [[टोपोलॉजिकल समूह|टोपोलॉजिकल समूहों]] के कुछ बीजगणितीय गुण उपसमुच्चय और हार नल समुच्चय के आकार से संबंधित हैं।<ref>{{cite journal | first=S. | last=Solecki | date=2005 | title=समूहों के उपसमुच्चय और हार शून्य सेट के आकार| journal=Geometric and Functional Analysis | volume=15 | pages=246–73 | mr=2140632 | doi=10.1007/s00039-005-0505-z| citeseerx=10.1.1.133.7074 | s2cid=11511821 }}</ref> इस प्रकार से हार नल समुच्चय का उपयोग [[पोलिश समूह|पोलिश समूहों]] में यह दिखाने के लिए किया गया है कि जब {{mvar|A}} कोई छोटा समुच्चय नहीं है, तो <math>A^{-1} A</math> [[पहचान तत्व|तत्समक अवयव]] का एक विवृत निकटवर्ती होता है।<ref>{{cite journal | first=Pandelis | last=Dodos | date=2009 | title=स्टीनहॉस संपत्ति और हार-नल सेट| journal=[[Bulletin of the London Mathematical Society]] | volume=41 | issue=2 | pages=377–44 | mr=4296513| bibcode=2010arXiv1006.2675D | arxiv=1006.2675 | doi=10.1112/blms/bdp014 | s2cid=119174196 }}</ref> अतः इस गुण के नाम [[ह्यूगो स्टीनहॉस]] के नाम पर रखा गया है क्योंकि यह स्टीनहॉस प्रमेय का निष्कर्ष है।
-* खाली सेट
-* [[कुछ नहीं]]
+==यह भी देखें==
+* {{annotated link|कैंटर फलन}}
+* {{annotated link|रिक्त समुच्चय}}
+* {{annotated link|माप (गणित)}}
+* {{annotated link|कुछ नहीं}}
 ==संदर्भ==
-{{Reflist}}
+{{reflist}}
 ==अग्रिम पठन==
@@ Line 79: / Line 82: @@
 * {{cite book|last=Oxtoby|first=John C.|date=1971|title=Measure and Category|page=3|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-05349-3}}
-{{Measure theory}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: माप सिद्धांत]] [[Category: समुच्चय सिद्धान्त]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:Collapse templates]]
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 [[Category:Created On 21/03/2023]]
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कैंटर समुच्चय का उपसमुच्चय जो बोरेल मापनीय नहीं है

हार शून्य

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शून्य समुच्चय: Difference between revisions

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परिभाषा

गुण

लेबेस्ग्यू माप

उपयोग

कैंटर समुच्चय का उपसमुच्चय जो बोरेल मापनीय नहीं है

हार शून्य

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