एनीपर सतह: Difference between revisions

Latest revision as of 14:50, 26 October 2023

एन्नेपर सतह का एक भाग

अंतर ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में, एनीपर सतह एक आत्म-प्रतिच्छेदन सतह है जिसे पैरामीटर रूप से वर्णित की जा सकती है

{\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}

यह न्यूनतम सतह सिद्धांत के संबंध में 1864 में अल्फ्रेड एन्नेपर के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था।^[1]^[2]^[3]^[4] वायरश्ट्रास-एनेपर पैरामीट्रिकरण बहुत सरल है,

f(z)=1,g(z)=z

, और वास्तविक पैरामीट्रिक फॉर्म की आसानी से गणना की जा सकती है। सतह खुद से संबद्ध परिवार है।

बीजगणितीय ज्यामिति के निहितार्थ विधियों का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जा सकता है कि ऊपर दी गई एन्नेपर सतह के बिंदु डिग्री -9 बहुपद समीकरण को संतुष्ट करते हैं^{[citation needed]}

{\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}

वास्तव में, दिए गए मापदंडों के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा तल है

a+bx+cy+dz=0,\

कहाँ

{\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}

इसके गुणांक अंतर्निहित डिग्री -6 बहुपद समीकरण को संतुष्ट करते हैं

{\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}

जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक, गॉसियन वक्रता और माध्य वक्रता हैं

{\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}

कुल वक्रता

-4\pi

है रॉबर्ट ओसरमैन ने सिद्ध किया कि

\mathbb {R} ^{3}

पूर्ण न्यूनतम सतह जिसकी कुल वक्रता के साथ या तो कैटेनॉइड या एनीपर सतह

-4\pi

है।^[5]

एक अन्य गुण यह है कि सभी बाइक्यूबिकल मिनिमम बेज़ियर सरफेस, एक अफाइन परिवर्तन तक, सतह के टुकड़े होते हैं।^[6]

वीयरस्ट्रैस-एनीपर पैरामीटराइजेशन का उपयोग करके इसे उच्च क्रम घूर्णी समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ पूर्णांक के> 1 के लिए।^[3]इसे उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है; n तक एनेपर-जैसी सतहें ज्ञात हैं $\mathbb {R} ^{n}$ में, जहां n से 7 तक हो सकता है।^[7]

संदर्भ

↑ J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen" , Springer (1975)
↑ Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3
↑ ^3.0 ^3.1 Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-11697-1.
↑ Weisstein, Eric W. "Enneper's Minimal Surface". MathWorld.
↑ R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).
↑ Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8
↑ Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569

बाहरी संबंध

[1] J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen" , Springer (1975)

[2] Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3

[dierkes-3] 3.0 ^3.1 Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-11697-1.

[4] Weisstein, Eric W. "Enneper's Minimal Surface". MathWorld.

[5] R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).

[6] Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8

[7] Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569

[1]

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[3]

[4]

[5]

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-[[File:EnneperSurfaceAnimated.gif|frame|एन्नेपर सतह का एक भाग]][[अंतर ज्यामिति]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एननेपर सतह एक आत्म-प्रतिच्छेदन सतह है जिसे [[पैरामीटर]] रूप से वर्णित की जा सकती है
+[[File:EnneperSurfaceAnimated.gif|frame|एन्नेपर सतह का एक भाग]]अंतर ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में, '''एनीपर सतह''' एक आत्म-प्रतिच्छेदन सतह है जिसे [[पैरामीटर]] रूप से वर्णित की जा सकती है
 <math display="block">\begin{align}
   x &= \tfrac{1}{3} u \left(1 - \tfrac{1}{3}u^2 + v^2\right), \\
   y &= \tfrac{1}{3} v \left(1 - \tfrac{1}{3}v^2 + u^2\right), \\
-  z & = \tfrac{1}{3} \left(u^2 - v^2\right). \end{align}</math> यह [[न्यूनतम सतह]] सिद्धांत के संबंध में 1864 में [[अल्फ्रेड एन्नेपर]] द्वारा पेश किया गया था।<ref>J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen" , Springer (1975)</ref><ref>[http://www.ugr.es/~fmartin/dvi/survey.pdf Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3]</ref><ref name="dierkes">Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. {{ISBN|978-3-642-11697-1}}.</ref><ref>{{MathWorld|title=Enneper's Minimal Surface | urlname=EnnepersMinimalSurface}}</ref>
+  z & = \tfrac{1}{3} \left(u^2 - v^2\right). \end{align}</math> यह न्यूनतम सतह सिद्धांत के संबंध में 1864 में अल्फ्रेड एन्नेपर के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था।<ref>J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen" , Springer (1975)</ref><ref>[http://www.ugr.es/~fmartin/dvi/survey.pdf Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3]</ref><ref name="dierkes">Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. {{ISBN|978-3-642-11697-1}}.</ref><ref>{{MathWorld|title=Enneper's Minimal Surface | urlname=EnnepersMinimalSurface}}</ref>
 वायरश्ट्रास-एनेपर पैरामीट्रिकरण बहुत सरल है, <math>f(z)=1, g(z)=z</math>, और वास्तविक पैरामीट्रिक फॉर्म की आसानी से गणना की जा सकती है। सतह खुद से संबद्ध परिवार है।
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   H &= 0.
 \end{align}</math>
-[[कुल वक्रता]] <math>-4\pi</math> है [[रॉबर्ट ओसरमैन]] ने सिद्ध किया कि <math>\R^3</math>पूर्ण न्यूनतम सतह जिसकी  कुल वक्रता के साथ  या तो [[कैटेनॉइड]] या एनीपर सतह <math>-4\pi</math> है।<ref>R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).</ref>
+कुल वक्रता <math>-4\pi</math> है [[रॉबर्ट ओसरमैन]] ने सिद्ध किया कि <math>\R^3</math>पूर्ण न्यूनतम सतह जिसकी  कुल वक्रता के साथ  या तो [[कैटेनॉइड]] या एनीपर सतह <math>-4\pi</math> है।<ref>R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).</ref>
-एक अन्य गुण यह है कि सभी बाइक्यूबिकल मिनिमम बेज़ियर सरफेस | बेज़ियर सरफेस, एक [[affine परिवर्तन]] तक, सतह के टुकड़े होते हैं।<ref>Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 {{ISBN|978-3-540-43593-8}}</ref>
+एक अन्य गुण यह है कि सभी बाइक्यूबिकल मिनिमम बेज़ियर सरफेस, एक [[affine परिवर्तन|अफाइन परिवर्तन]] तक, सतह के टुकड़े होते हैं।<ref>Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 {{ISBN|978-3-540-43593-8}}</ref>
-वीयरस्ट्रैस-एननेपर पैरामीटराइजेशन का उपयोग करके इसे उच्च क्रम घूर्णी समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है <math>f(z) = 1, g(z) = z^k</math> पूर्णांक के> 1 के लिए।<ref name="dierkes" />इसे उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है; n तक एनेपर-जैसी सतहें ज्ञात हैं <math>\R^n</math> में, जहां n से 7 तक हो सकता है।<ref>Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569</ref>
+वीयरस्ट्रैस-एनीपर पैरामीटराइजेशन का उपयोग करके इसे उच्च क्रम घूर्णी समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है <math>f(z) = 1, g(z) = z^k</math> पूर्णांक के> 1 के लिए।<ref name="dierkes" />इसे उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है; n तक एनेपर-जैसी सतहें ज्ञात हैं <math>\R^n</math> में, जहां n से 7 तक हो सकता है।<ref>Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569</ref>
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 {{DEFAULTSORT:Enneper Surface}}
-{{Minimal surfaces}}[[Category: बीजगणितीय सतहें]] [[Category: न्यूनतम सतहें]]
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