एनीपर सतह

एन्नेपर सतह का एक भाग

अंतर ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में, एनीपर सतह एक आत्म-प्रतिच्छेदन सतह है जिसे पैरामीटर रूप से वर्णित की जा सकती है

$${\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}$$

यह न्यूनतम सतह सिद्धांत के संबंध में 1864 में अल्फ्रेड एन्नेपर के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था। वायरश्ट्रास-एनेपर पैरामीट्रिकरण बहुत सरल है, $f(z)=1,g(z)=z$, और वास्तविक पैरामीट्रिक फॉर्म की आसानी से गणना की जा सकती है। सतह खुद से संबद्ध परिवार है।

बीजगणितीय ज्यामिति के निहितार्थ विधियों का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जा सकता है कि ऊपर दी गई एन्नेपर सतह के बिंदु डिग्री -9 बहुपद समीकरण को संतुष्ट करते हैं

$${\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}$$

वास्तव में, दिए गए मापदंडों के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा तल है $a+bx+cy+dz=0,\$ कहाँ

$${\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}$$

इसके गुणांक अंतर्निहित डिग्री -6 बहुपद समीकरण को संतुष्ट करते हैं

$${\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}$$

जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक, गॉसियन वक्रता और माध्य वक्रता हैं

$${\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}$$

कुल वक्रता $-4\pi$ है रॉबर्ट ओसरमैन ने सिद्ध किया कि $\mathbb {R} ^{3}$पूर्ण न्यूनतम सतह जिसकी कुल वक्रता के साथ या तो कैटेनॉइड या एनीपर सतह $-4\pi$ है।

एक अन्य गुण यह है कि सभी बाइक्यूबिकल मिनिमम बेज़ियर सरफेस, एक अफाइन परिवर्तन तक, सतह के टुकड़े होते हैं।

वीयरस्ट्रैस-एनीपर पैरामीटराइजेशन का उपयोग करके इसे उच्च क्रम घूर्णी समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ पूर्णांक के> 1 के लिए।इसे उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है; n तक एनेपर-जैसी सतहें ज्ञात हैं $\mathbb {R} ^{n}$ में, जहां n से 7 तक हो सकता है।

बाहरी संबंध

• "Enneper surface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
• https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html