समुच्चय सिद्धान्त: Difference between revisions

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समुच्चय (सेट) सिद्धांत गणितीय तर्क की वह शाखा है जो अध्ययन समुच्चय (सेट) करती है, जिसे अनौपचारिक रूप से वस्तुओं के संग्रह के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यद्यपि किसी भी प्रकार की वस्तुओं को एक समुच्चय (सेट) में एकत्र किया जा सकता है,समुच्चय (सेट) सिद्धांत, गणित की एक शाखा के रूप में, ज्यादातर उन लोगों से संबंधित है जो समग्र रूप से गणित के लिए प्रासंगिक हैं।
समुच्चय (सेट) सिद्धांत गणितीय तर्क की वह शाखा है जो अध्ययन समुच्चय करती है, जिसे अनौपचारिक रूप से वस्तुओं के संग्रह के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यद्यपि किसी भी प्रकार की वस्तुओं को एक समुच्चय में एकत्र किया जा सकता है,समुच्चय सिद्धांत, गणित की एक शाखा के रूप में, ज्यादातर उन लोगों से संबंधित है जो समग्र रूप से गणित के लिए प्रासंगिक हैं।


1870 के दशक में जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर द्वारा समुच्चय (सेट) सिद्धांत का आधुनिक अध्ययन शुरू किया गया था। विशेष रूप से, जॉर्ज कैंटर को आमतौर पर समुच्चय (सेट) सिद्धांत का संस्थापक माना जाता है। इस प्रारंभिक चरण के दौरान जांच की गई गैर-स्वरूपित प्रणालियों को '' भोले समुच्चय (सेट) सिद्धांत '' के नाम से जाना जाता है। भोले ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत (जैसे कि रसेल के विरोधाभास, कैंटर के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास) के भीतर विरोधाभासों की खोज के बाद, बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में विभिन्न स्वयंसिद्ध प्रणालियों का प्रस्ताव किया गया था, जिनमें से ज़रमेलो-फ्रेनकेल ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या बिना) निर्धारित किया था अभी भी सबसे प्रसिद्ध और सबसे अधिक अध्ययन किया गया है।
1870 के दशक में जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर द्वारा समुच्चय सिद्धांत का आधुनिक अध्ययन प्रारम्भ किया गया था। विशेष रूप से, जॉर्ज कैंटर को सामान्यतः समुच्चय सिद्धांत का संस्थापक माना जाता है। इस प्रारंभिक चरण के दौरान जांच की गई गैर-स्वरूपित प्रणालियों को '' भोले समुच्चय सिद्धांत '' के नाम से जाना जाता है। भोले ''समुच्चय'' सिद्धांत (जैसे कि रसेल के विरोधाभास, कैंटर के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास) के भीतर विरोधाभासों की खोज के बाद, बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में विभिन्न स्वयंसिद्ध प्रणालियों का प्रस्ताव किया गया था, जिनमें से ज़रमेलो-फ्रेनकेल ''समुच्चय'' सिद्धांत (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या बिना) निर्धारित किया था अभी भी सबसे प्रसिद्ध और सबसे अधिक अध्ययन किया गया है।


''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत को आमतौर पर पूरे गणित के लिए एक मूलभूत प्रणाली के रूप में नियोजित किया जाता है, विशेष रूप से ज़रमेलो -फ्रेनकेल ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ।{{sfn|Kunen|1980|p=[https://archive.org/details/settheoryintrodu0000kune/page/n13/mode/2up xi]|ps=: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics may be derived."}} इसकी मूलभूत भूमिका के अलावा, ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत भी अनंत के एक गणितीय सिद्धांत को विकसित करने के लिए रूपरेखा प्रदान करता है, और संगणक (कंप्यूटर) विज्ञान (जैसे कि संबंधपरक बीजगणित के सिद्धांत में), दर्शन और औपचारिक अर्थशास्त्र में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। इसकी मूलभूत प्रार्थना, इसके विरोधाभासों के साथ, अनंत की अवधारणा और इसके कई अनुप्रयोगों के लिए इसके निहितार्थ, ने सिद्धांत को गणित के तर्कशास्त्रियों (लॉजिशियन) और दार्शनिकों के लिए प्रमुख रुचि का एक क्षेत्र बना दिया है। ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत में समकालीन शोध में विषयों की एक विशाल सरणी शामिल है, जिसमें वास्तविक संख्या रेखा की संरचना से लेकर बड़े आधारभूत (कार्डिनल्स) की स्थिरता के अध्ययन तक के विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है।
''समुच्चय'' सिद्धांत को सामान्यतः पूरे गणित के लिए एक मूलभूत प्रणाली के रूप में नियोजित किया जाता है, विशेष रूप से ज़रमेलो -फ्रेनकेल ''समुच्चय'' सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ।{{sfn|Kunen|1980|p=[https://archive.org/details/settheoryintrodu0000kune/page/n13/mode/2up xi]|ps=: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics may be derived."}} इसकी मूलभूत भूमिका के अलावा, ''समुच्चय'' सिद्धांत भी अनंत के एक गणितीय सिद्धांत को विकसित करने के लिए रूपरेखा प्रदान करता है, और संगणक (कंप्यूटर) विज्ञान (जैसे कि संबंधपरक बीजगणित के सिद्धांत में), दर्शन और औपचारिक अर्थशास्त्र में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। इसकी मूलभूत प्रार्थना, इसके विरोधाभासों के साथ, अनंत की अवधारणा और इसके कई अनुप्रयोगों के लिए इसके निहितार्थ, ने सिद्धांत को गणित के तर्कशास्त्रियों (लॉजिशियन) और दार्शनिकों के लिए प्रमुख रुचि का एक क्षेत्र बना दिया है। ''समुच्चय'' सिद्धांत में समकालीन शोध में विषयों की एक विशाल सरणी सम्मिलितहै, जिसमें वास्तविक संख्या रेखा की संरचना से लेकर बड़े आधारभूत (कार्डिनल्स) की स्थिरता के अध्ययन तक के विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला सम्मिलितहै।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
[[File:Georg Cantor 1894.jpg|thumb|160px|जॉर्ज कैंटर]]
[[File:Georg Cantor 1894.jpg|thumb|160px|जॉर्ज कैंटर]]
गणितीय विषय आमतौर पर कई शोधकर्ताओं के बीच बातचीत के माध्यम से उभरते और विकसित होते हैं। ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत, हालांकि, 1874 में जॉर्ज कैंटर द्वारा एक एकल लेख द्वारा स्थापित किया गया था: "सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं के संग्रह की एक संपत्ति पर।"<ref name="cantor1874">{{citation|last=Cantor|first=Georg|author-link=Georg Cantor|year=1874|title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen|url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|language=de|volume=1874|issue=77|pages=258–262|doi=10.1515/crll.1874.77.258|s2cid=199545885}}</ref><ref>{{citation |first=Philip |last=Johnson |year=1972 |title=A History of Set Theory |publisher=Prindle, Weber & Schmidt |isbn=0-87150-154-6 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6 }}</ref>
गणितीय विषय सामान्यतः कई शोधकर्ताओं के बीच बातचीत के माध्यम से उभरते और विकसित होते हैं। ''समुच्चय'' सिद्धांत, हालांकि, 1874 में जॉर्ज कैंटर द्वारा एक एकल लेख द्वारा स्थापित किया गया था: "सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं के संग्रह की एक संपत्ति पर।"<ref name="cantor1874">{{citation|last=Cantor|first=Georg|author-link=Georg Cantor|year=1874|title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen|url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|language=de|volume=1874|issue=77|pages=258–262|doi=10.1515/crll.1874.77.258|s2cid=199545885}}</ref><ref>{{citation |first=Philip |last=Johnson |year=1972 |title=A History of Set Theory |publisher=Prindle, Weber & Schmidt |isbn=0-87150-154-6 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6 }}</ref>


5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व से, पश्चिम में एलेया के ग्रीक गणितज्ञ ज़ेनो के साथ और पूर्व में प्रारंभिक भारतीय गणितज्ञों के साथ शुरुआत करते हुए, गणितज्ञों ने अनंत की अवधारणा के साथ संघर्ष किया था। 19वीं सदी के पूर्वार्द्ध में बर्नार्ड बोलजानो का काम विशेष रूप से उल्लेखनीय है।<ref>{{Citation|last=Bolzano|first=Bernard|author-link=Bernard Bolzano|editor-last=Berg|editor-first=Jan|title=Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|page=152|series=Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al.|volume=II, A, 7|publisher=Friedrich Frommann Verlag|location=Stuttgart, Bad Cannstatt|isbn=3-7728-0466-7|year=1975}}</ref> अनंत की आधुनिक समझ 1870-1874 में शुरू हुई, और वास्तविक विश्लेषण में कैंटर के काम से प्रेरित थी।<ref>{{Citation|last=Dauben|first=Joseph|author-link=Joseph Dauben|title=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite|publisher=Harvard University Press|year=1979|isbn=0-674-34871-0|pages=30–54}}.</ref> कैंटर और रिचर्ड डेडेकिंड के बीच 1872 की एक बैठक ने कैंटर की सोच को प्रभावित किया, और कैंटर के 1874 लेख में इसका समापन हुआ।
5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व से, पश्चिम में एलेया के ग्रीक गणितज्ञ ज़ेनो के साथ और पूर्व में प्रारंभिक भारतीय गणितज्ञों के साथ शुरुआत करते हुए, गणितज्ञों ने अनंत की अवधारणा के साथ संघर्ष किया था। 19वीं सदी के पूर्वार्द्ध में बर्नार्ड बोलजानो का काम विशेष रूप से उल्लेखनीय है।<ref>{{Citation|last=Bolzano|first=Bernard|author-link=Bernard Bolzano|editor-last=Berg|editor-first=Jan|title=Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|page=152|series=Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al.|volume=II, A, 7|publisher=Friedrich Frommann Verlag|location=Stuttgart, Bad Cannstatt|isbn=3-7728-0466-7|year=1975}}</ref> अनंत की आधुनिक समझ 1870-1874 में प्रारम्भ हुई, और वास्तविक विश्लेषण में कैंटर के काम से प्रेरित थी।<ref>{{Citation|last=Dauben|first=Joseph|author-link=Joseph Dauben|title=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite|publisher=Harvard University Press|year=1979|isbn=0-674-34871-0|pages=30–54}}.</ref> कैंटर और रिचर्ड डेडेकिंड के बीच 1872 की एक बैठक ने कैंटर की सोच को प्रभावित किया, और कैंटर के 1874 लेख में इसका समापन हुआ।


कैंटर के काम ने शुरू में अपने समय के गणितज्ञों का ध्रुवीकरण किया। जबकि कार्ल वेयरस्ट्रास और डेडेकिंड ने कैंटर का समर्थन किया, लियोपोल्ड क्रोनकर, जिसे अब गणितीय रचनावाद के संस्थापक के रूप में देखा गया था, ने नहीं किया। कैंटोरियन ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत अंततः व्यापक हो गया, कैंटोरियन अवधारणाओं की उपयोगिता के कारण, जैसे कि ''समुच्चय'' के बीच एक-से-एक पत्राचार, उनका प्रमाण है कि पूर्णांक की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं हैं, और सत्ता से उत्पन्न होने वाली "अनंत की अनंतता" (कैंटर का स्वर्ग) संचालन ''समुच्चय'' करें। ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत की इस उपयोगिता ने लेख मेंगेनलेहेरे के लिए नेतृत्व किया, 1898 में आर्थर शॉनफ्लिस द्वारा क्लेन के विश्वकोश (एनसाइक्लोपीडिया) में योगदान दिया।
कैंटर के काम ने प्रारम्भ में अपने समय के गणितज्ञों का ध्रुवीकरण किया। जबकि कार्ल वेयरस्ट्रास और डेडेकिंड ने कैंटर का समर्थन किया, लियोपोल्ड क्रोनकर, जिसे अब गणितीय रचनावाद के संस्थापक के रूप में देखा गया था, ने नहीं किया। कैंटोरियन ''समुच्चय'' सिद्धांत अंततः व्यापक हो गया, कैंटोरियन अवधारणाओं की उपयोगिता के कारण, जैसे कि ''समुच्चय'' के बीच एक-से-एक पत्राचार, उनका प्रमाण है कि पूर्णांक की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं हैं, और सत्ता से उत्पन्न होने वाली "अनंत की अनंतता" (कैंटर का स्वर्ग) संचालन ''समुच्चय'' करें। ''समुच्चय'' सिद्धांत की इस उपयोगिता ने लेख मेंगेनलेहेरे के लिए नेतृत्व किया, 1898 में आर्थर शॉनफ्लिस द्वारा क्लेन के विश्वकोश (एनसाइक्लोपीडिया) में योगदान दिया।


''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत में उत्साह की अगली लहर 1900 के आसपास आई, जब यह पता चला कि कैंटोरियन ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत की कुछ व्याख्याओं ने कई विरोधाभासों को जन्म दिया, जिसे अधिकार-विरोध (एंटिनोमी) या विरोधाभास कहा जाता है। बर्ट्रेंड रसेल और अर्नस्ट ज़रमेलो ने स्वतंत्र रूप से सबसे सरल और सबसे प्रसिद्ध विरोधाभास पाया, जिसे अब रसेल का विरोधाभास कहा जाता है: "उन सभी ''समुच्चयों''  के ''समुच्चय'' पर विचार करें जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं", जो एक विरोधाभास की ओर जाता है क्योंकि यह स्वयं का सदस्य होना चाहिए और कोई सदस्य नहीं होना चाहिए। 1899 में, कैंटर ने खुद सवाल उठाया था कि सभी ''समुच्चयों''  के ''समुच्चय''  का कार्डिनल नंबर क्या है? , और एक संबंधित विरोधाभास प्राप्त किया। रसेल ने 1903 में अपने गणित के सिद्धांतों में महाद्वीपीय गणित की समीक्षा में अपने विरोधाभास को एक विषय के रूप में इस्तेमाल किया। ''समुच्चय (''सेट) शब्द के बजाय, रसेल ने वर्ग शब्द का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में तकनीकी रूप से अधिक इस्तेमाल किया गया।
''समुच्चय'' सिद्धांत में उत्साह की अगली लहर 1900 के आसपास आई, जब यह पता चला कि कैंटोरियन ''समुच्चय'' सिद्धांत की कुछ व्याख्याओं ने कई विरोधाभासों को जन्म दिया, जिसे अधिकार-विरोध (एंटिनोमी) या विरोधाभास कहा जाता है। बर्ट्रेंड रसेल और अर्नस्ट ज़रमेलो ने स्वतंत्र रूप से सबसे सरल और सबसे प्रसिद्ध विरोधाभास पाया, जिसे अब रसेल का विरोधाभास कहा जाता है: "उन सभी ''समुच्चयों''  के ''समुच्चय'' पर विचार करें जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं", जो एक विरोधाभास की ओर जाता है क्योंकि यह स्वयं का सदस्य होना चाहिए और कोई सदस्य नहीं होना चाहिए। 1899 में, कैंटर ने खुद सवाल उठाया था कि सभी ''समुच्चयों''  के ''समुच्चय''  का कार्डिनल नंबर क्या है? , और एक संबंधित विरोधाभास प्राप्त किया। रसेल ने 1903 में अपने गणित के सिद्धांतों में महाद्वीपीय गणित की समीक्षा में अपने विरोधाभास को एक विषय के रूप में इस्तेमाल किया। ''समुच्चय'' शब्द के बजाय, रसेल ने वर्ग शब्द का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में तकनीकी रूप से अधिक इस्तेमाल किया गया।


1906 में, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस द्वारा प्रकाशित पति और पत्नी विलियम हेनरी यंग और ग्रेस चिशोल्म यंग की पुस्तक थ्योरी ऑफ़ सेट्स ऑफ़ पॉइंट्स<ref>{{citation|url=https://archive.org/stream/theoryofsetsofpo00youniala#page/n3/mode/2up|title=Theory of Sets of Points|last1=Young|first1=William|last2=Young|first2=Grace Chisholm|publisher=Cambridge University Press|year=1906|author-link=William Henry Young|author-link2=Grace Chisholm Young}}</ref> में सेट शब्द दिखाई दिया।
1906 में, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस द्वारा प्रकाशित पति और पत्नी विलियम हेनरी यंग और ग्रेस चिशोल्म यंग की पुस्तक थ्योरी ऑफ़ सेट्स ऑफ़ पॉइंट्स<ref>{{citation|url=https://archive.org/stream/theoryofsetsofpo00youniala#page/n3/mode/2up|title=Theory of Sets of Points|last1=Young|first1=William|last2=Young|first2=Grace Chisholm|publisher=Cambridge University Press|year=1906|author-link=William Henry Young|author-link2=Grace Chisholm Young}}</ref> में सेट शब्द दिखाई दिया।


''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत की गति ऐसी थी कि विरोधाभासों पर बहस ने इसके परित्याग को जन्म नहीं दिया।1908 में ज़र्मेलो का काम और 1922 में अब्राहम फ्रेंकेल और थोरलफ स्कोलेम के काम के परिणामस्वरूप स्वयंसिद्ध जेडएफसी का ''समुच्चय''  बन गया, जो ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला ''समुच्चय (सेट)'' बन गया। विश्लेषकों का काम, जैसे कि हेनरी लेबेसग ने, ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत की महान गणितीय उपयोगिता का प्रदर्शन किया, जो तब से आधुनिक गणित के ताने-बाने में बुना गया है। ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत का उपयोग आमतौर पर एक मूलभूत प्रणाली के रूप में किया जाता है, हालांकि कुछ क्षेत्रों में - जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय सांस्थिति (टोपोलॉजी) -श्रेणी सिद्धांत को एक पसंदीदा आधार माना जाता है।
''समुच्चय'' सिद्धांत की गति ऐसी थी कि विरोधाभासों पर बहस ने इसके परित्याग को जन्म नहीं दिया।1908 में ज़र्मेलो का काम और 1922 में अब्राहम फ्रेंकेल और थोरलफ स्कोलेम के काम के परिणामस्वरूप स्वयंसिद्ध जेडएफसी का ''समुच्चय''  बन गया, जो ''समुच्चय'' सिद्धांत के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला ''समुच्चय'' बन गया। विश्लेषकों का काम, जैसे कि हेनरी लेबेसग ने, ''समुच्चय'' सिद्धांत की महान गणितीय उपयोगिता का प्रदर्शन किया, जो तब से आधुनिक गणित के ताने-बाने में बुना गया है। ''समुच्चय'' सिद्धांत का उपयोग सामान्यतः एक मूलभूत प्रणाली के रूप में किया जाता है, हालांकि कुछ क्षेत्रों में - जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय सांस्थिति (टोपोलॉजी) -श्रेणी सिद्धांत को एक पसंदीदा आधार माना जाता है।


== बुनियादी अवधारणाएं और संकेतन ==
== बुनियादी अवधारणाएं और संकेतन ==
{{Main|Set (mathematics)|Algebra of sets}}
{{Main|समुच्चय (गणित)|समुच्चयों के बीजगणित}}
''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत एक वस्तु o और समुच्चय A के बीच एक मौलिक द्विआधारी संबंध से शुरू होता है। यदि {{math|''o''}} का एक सदस्य (या तत्व) है {{math|''A''}}, संकेतन {{math|''o'' ∈ ''A''}} उपयोग किया जाता है। एक ''समुच्चय (सेट)'' को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए तत्वों को सूचीबद्ध करके, या इसके तत्वों की एक विशेषता संपत्ति द्वारा, ब्रेसिज़ {} के भीतर वर्णित किया जाता है।<ref>{{Cite web|title=Introduction to Sets|url=https://www.mathsisfun.com/sets/sets-introduction.html|access-date=2020-08-20|website=www.mathsisfun.com}}</ref> चूंकि ''समुच्चय (सेट)'' वस्तुएँ हैं, इसलिए सदस्यता संबंध समुच्चयों (सेटों) से भी संबंधित हो सकता है।
''समुच्चय'' सिद्धांत एक वस्तु o और समुच्चय A के बीच एक मौलिक द्विआधारी संबंध से प्रारम्भ होता है। यदि {{math|''o''}} का एक सदस्य (या तत्व) है {{math|''A''}}, संकेतन {{math|''o'' ∈ ''A''}} उपयोग किया जाता है। एक ''समुच्चय'' को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए तत्वों को सूचीबद्ध करके, या इसके तत्वों की एक विशेषता संपत्ति द्वारा, ब्रेसिज़ {} के भीतर वर्णित किया जाता है।<ref>{{Cite web|title=Introduction to Sets|url=https://www.mathsisfun.com/sets/sets-introduction.html|access-date=2020-08-20|website=www.mathsisfun.com}}</ref> चूंकि ''समुच्चय'' वस्तुएँ हैं, इसलिए सदस्यता संबंध समुच्चयों से भी संबंधित हो सकता है।


दो सेटों के बीच एक व्युत्पन्न द्विआधारी संबंध उप''समुच्चय  (''सबसेट) संबंध है, जिसे ''समुच्चय (सेट)'' समावेशन भी कहा जाता है। यदि ''समुच्चय (सेट) {{math|''A''}}'' के सभी सदस्य भी ''समुच्चय (सेट)'' {{math|''B''}} के सदस्य हैं , तो A, B का एक उपसमुच्चय है, जिसे A ⊆ B निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{math|{1, 2<nowiki>}</nowiki>}} {1, 2, 3} का उपसमुच्चय है, और ऐसे ही {{math|{2<nowiki>}</nowiki>}} लेकिन {{math|{1, 4<nowiki>}</nowiki>}} नहीं है। जैसा कि इस परिभाषा से निहित है, एक ''समुच्चय (सेट)'' स्वयं का एक उप''समुच्चय (''सबसेट) है। ऐसे मामलों के लिए जहां यह संभावना अनुपयुक्त है या उन्हें अस्वीकार करने के लिए समझ में आता है, उचित उप''समुच्चय (''सबसेट) शब्द को परिभाषित किया गया है। A को B का उचित उपसमुच्चय कहा जाता है यदि और केवल यदि A, B का उपसमुच्चय है, लेकिन A, B के बराबर नहीं है। साथ ही, 1, 2, और 3 समुच्चय {1, 2, 3} के सदस्य (तत्व) हैं, लेकिन इसके उप''समुच्चय (''सबसेट) नहीं हैं;और बदले में,उप''समुच्चय (''सबसेट), जैसे {{math|{1<nowiki>}</nowiki>}}, समुच्चय {1, 2, 3} के सदस्य नहीं हैं।
दो सेटों के बीच एक व्युत्पन्न द्विआधारी संबंध उप''समुच्चय  (''सबसेट) संबंध है, जिसे ''समुच्चय'' समावेशन भी कहा जाता है। यदि ''समुच्चय {{math|''A''}}'' के सभी सदस्य भी ''समुच्चय'' {{math|''B''}} के सदस्य हैं , तो A, B का एक उपसमुच्चय है, जिसे A ⊆ B निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{math|{1, 2<nowiki>}</nowiki>}} {1, 2, 3} का उपसमुच्चय है, और ऐसे ही {{math|{2<nowiki>}</nowiki>}} लेकिन {{math|{1, 4<nowiki>}</nowiki>}} नहीं है। जैसा कि इस परिभाषा से निहित है, एक ''समुच्चय'' स्वयं का एक उप''समुच्चय'' है। ऐसे मामलों के लिए जहां यह संभावना अनुपयुक्त है या उन्हें अस्वीकार करने के लिए समझ में आता है, उचित उप''समुच्चय (''सबसेट) शब्द को परिभाषित किया गया है। A को B का उचित उपसमुच्चय कहा जाता है यदि और केवल यदि A, B का उपसमुच्चय है, लेकिन A, B के बराबर नहीं है। साथ ही, 1, 2, और 3 समुच्चय {1, 2, 3} के सदस्य (तत्व) हैं, लेकिन इसके उप''समुच्चय'' नहीं हैं;और बदले में,उप''समुच्चय'' , जैसे {{math|{1<nowiki>}</nowiki>}}, समुच्चय {1, 2, 3} के सदस्य नहीं हैं।


जिस तरह अंकगणित संख्याओं पर द्विचर (बाइनरी) ऑपरेशन की सुविधा देता है, उसी तरह ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत में सेट पर द्विचर (बाइनरी) ऑपरेशन होते हैं।<ref>{{citation|url=https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0/page/2|title=Introductory Real Analysis|last1=Kolmogorov|first1=A.N.|last2=Fomin|first2=S.V.|publisher=Dover Publications|year=1970|isbn=0486612260|edition=Rev. English|location=New York|pages=[https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0/page/2 2–3]|oclc=1527264|author-link=Andrey Kolmogorov|author-link2=Sergei Fomin|url-access=registration}}</ref> उनमें से एक आंशिक सूची निम्नलिखित है:
जिस तरह अंकगणित संख्याओं पर द्विचर (बाइनरी) ऑपरेशन की सुविधा देता है, उसी तरह ''समुच्चय'' सिद्धांत में समूह पर द्विचर ऑपरेशन होते हैं।<ref>{{citation|url=https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0/page/2|title=Introductory Real Analysis|last1=Kolmogorov|first1=A.N.|last2=Fomin|first2=S.V.|publisher=Dover Publications|year=1970|isbn=0486612260|edition=Rev. English|location=New York|pages=[https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0/page/2 2–3]|oclc=1527264|author-link=Andrey Kolmogorov|author-link2=Sergei Fomin|url-access=registration}}</ref> उनमें से एक आंशिक सूची निम्नलिखित है:
*सेट का संघ {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}}, निरूपित {{math|''A'' ∪ ''B''}}, उन सभी वस्तुओं का ''समुच्चय (सेट)'' है जो एक सदस्य हैं {{math|''A''}}, या {{math|''B''}}, अथवा दोनों।<ref>{{Cite web|title=set theory {{!}} Basics, Examples, & Formulas|url=https://www.britannica.com/science/set-theory|access-date=2020-08-20|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> उदाहरण के लिए, संघ {{math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} तथा {{math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} ''समुच्चय (सेट)'' {{math|{1, 2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} है।
*सेट का संघ {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}}, निरूपित {{math|''A'' ∪ ''B''}}, उन सभी वस्तुओं का ''समुच्चय'' है जो एक सदस्य हैं {{math|''A''}}, या {{math|''B''}}, अथवा दोनों।<ref>{{Cite web|title=set theory {{!}} Basics, Examples, & Formulas|url=https://www.britannica.com/science/set-theory|access-date=2020-08-20|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> उदाहरण के लिए, संघ {{math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} तथा {{math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} ''समुच्चय'' {{math|{1, 2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} है।
*समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन, निरूपित {{math|''A'' ∩ ''B''}}, उन सभी वस्तुओं का ''समुच्चय (सेट)'' है जो {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}} दोनों के सदस्य हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदन का {{math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} तथा {{math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} ''समुच्चय (सेट)'' है {{math|{2, 3<nowiki>}</nowiki>}}।
*समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन, निरूपित {{math|''A'' ∩ ''B''}}, उन सभी वस्तुओं का ''समुच्चय'' है जो {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}} दोनों के सदस्य हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदन का {{math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} तथा {{math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} ''समुच्चय'' है {{math|{2, 3<nowiki>}</nowiki>}}।
*का अंतर निर्धारित करें {{math|''U''}} तथा {{math|''A''}}, निरूपित {{math|''U'' \ ''A''}}, के सभी सदस्यों का सेट है {{math|''U''}} इसके सदस्य नहीं हैं {{math|''A''}}।निर्धारित अंतर {{math|{1, 2, 3} \ {2, 3, 4} }} है {{math|{1<nowiki>}</nowiki>}}, जबकि इसके विपरीत, निर्धारित अंतर {{math|{2, 3, 4} \ {1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} है {{math|{4<nowiki>}</nowiki>}}।कब {{math|''A''}} का एक सबसेट है {{math|''U''}}, निर्धारित अंतर {{math|''U'' \ ''A''}} का पूरक भी कहा जाता है {{math|''A''}} में {{math|''U''}}।इस मामले में, अगर का विकल्प {{math|''U''}} संदर्भ से स्पष्ट है, संकेतन {{math|''A''<sup>''c''</sup>}} के बजाय कभी -कभी उपयोग किया जाता है {{math|''U'' \ ''A''}}, खासकर अगर {{math|''U''}} वेन आरेखों के अध्ययन में एक सार्वभौमिक सेट है।
*U और A का समुच्चय अंतर, जिसे U \ A कहा जाता है, U के उन सभी सदस्यों का समुच्चय है जो A के सदस्य नहीं हैं। निर्धारित अंतर {{math|{1, 2, 3} \ {2, 3, 4} }}है{{math|{1<nowiki>}</nowiki>}}, जबकि इसके विपरीत, निर्धारित अंतर {{math|{2, 3, 4} \ {1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} है {{math|{4<nowiki>}</nowiki>}}।जब A, U का एक उपसमुच्चय है, तो ''समुच्चय'' अंतर U\ A को U में A का पूरक भी कहा जाता है। इस मामले में, यदि U का विकल्प संदर्भ से स्पष्ट है, तो कभी-कभी U \ A के बजाय संकेतन {{math|''A''<sup>''c''</sup>}} का उपयोग किया जाता है , खासकर अगर {{math|''U''}} वेन आरेखों के अध्ययन में एक सार्वभौमिक ''समुच्चय''  है।
*सेट का सममित अंतर {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}}, निरूपित {{math|''A'' △ ''B''}} या {{math|''A'' ⊖ ''B''}}, उन सभी वस्तुओं का सेट है जो बिल्कुल एक के सदस्य हैं {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}} (तत्व जो सेट में से एक में हैं, लेकिन दोनों में नहीं)।उदाहरण के लिए, सेट के लिए {{math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} तथा {{math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}}, सममित अंतर सेट है {{math|{1, 4<nowiki>}</nowiki>}}।यह संघ और चौराहे का निर्धारित अंतर है, {{math|(''A'' ∪ ''B'') \ (''A'' ∩ ''B'')}} या {{math|(''A'' \ ''B'') ∪ (''B'' \ ''A'')}}।
*सेट का सममित अंतर {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}}, निरूपित {{math|''A'' △ ''B''}} या {{math|''A'' ⊖ ''B''}}, उन सभी वस्तुओं का सेट है जो बिल्कुल एक के सदस्य हैं {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}} (तत्व जो सेट में से एक में हैं, लेकिन दोनों में नहीं)। उदाहरण के लिए, ''समुच्चय''  {{math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} तथा {{math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}}, सममित अंतर ''समुच्चय''  है {{math|{1, 4<nowiki>}</nowiki>}}। यह संघ और चौराहे का निर्धारित अंतर है, {{math|(''A'' ∪ ''B'') \ (''A'' ∩ ''B'')}} या {{math|(''A'' \ ''B'') ∪ (''B'' \ ''A'')}}।
*कार्टेशियन उत्पाद {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}}, निरूपित {{math|''A'' × ''B''}}, वह सेट है जिसके सदस्य सभी संभव ऑर्डर किए गए जोड़े हैं {{math|(''a'', ''b'')}}, कहाँ पे {{math|''a''}} का सदस्य है {{math|''A''}} तथा {{math|''b''}} का सदस्य है {{math|''B''}}।उदाहरण के लिए, कार्टेशियन उत्पाद {{nowrap|1={1, 2} and {red, white} is {(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}.}}
*कार्टेशियन उत्पाद {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}}, निरूपित {{math|''A'' × ''B''}}, वह ''समुच्चय''  है जिसके सदस्य सभी संभव ऑर्डर किए गए जोड़े हैं {{math|(''a'', ''b'')}}, जहां पे {{math|''a''}} का सदस्य है {{math|''A''}} तथा {{math|''b''}} का सदस्य है {{math|''B''}}। उदाहरण के लिए, कार्टेशियन उत्पाद {{nowrap|1={1, 2} and {लाल, सफेद} is {(1, लाल), (1, सफेद), (2, लाल), (2, सफेद)}.}}
*एक सेट का पावर सेट {{math|''A''}}, निरूपित <math>\mathcal{P}(A)</math>, वह सेट है जिसके सदस्य सभी संभावित सबसेट हैं {{math|''A''}}।उदाहरण के लिए, का पावर सेट {{math|{1, 2<nowiki>}</nowiki>}} है {{math|{ {}, {1}, {2}, {1, 2} <nowiki>}</nowiki>}}।
*एक ''समुच्चय'' का पावर ''समुच्चय'' {{math|''A''}}, निरूपित <math>\mathcal{P}(A)</math>, वह ''समुच्चय''  है जिसके सदस्य {{math|''A''}} के सभी संभावित उप''समुच्चय''  हैं । उदाहरण के लिए, का पावर सेट {{math|{1, 2<nowiki>}</nowiki>}} है {{math|{ {}, {1}, {2}, {1, 2} <nowiki>}</nowiki>}}।


केंद्रीय महत्व के कुछ बुनियादी सेट प्राकृतिक संख्याओं का सेट हैं, वास्तविक संख्याओं का सेट और खाली सेट - अद्वितीय सेट जिसमें कोई तत्व नहीं है।खाली सेट को कभी -कभी नल सेट भी कहा जाता है,<ref>{{Citation|last=Bagaria|first=Joan|title=Set Theory|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2020/entries/set-theory/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Spring 2020|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2020-08-20}}</ref> हालांकि यह नाम अस्पष्ट है और कई व्याख्याओं को जन्म दे सकता है।
केंद्रीय महत्व के कुछ बुनियादी ''समुच्चय (सेट)'' प्राकृतिक संख्याओं का ''समुच्चय (सेट)'' हैं, वास्तविक संख्याओं का ''समुच्चय''  और खाली ''समुच्चय''  - अद्वितीय ''समुच्चय''  जिसमें कोई तत्व नहीं है। खाली ''समुच्चय''  को कभी -कभी शून्य (नल) ''समुच्चय''  भी कहा जाता है,<ref>{{Citation|last=Bagaria|first=Joan|title=Set Theory|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2020/entries/set-theory/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Spring 2020|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2020-08-20}}</ref> हालांकि यह नाम अस्पष्ट है और इसकी कई व्याख्याएं हो सकती हैं।


== ontology ==
== सत्व शास्त्र (आंटलजी) ==
{{Main|von Neumann universe}}
{{Main|वान न्युमन}}
[[Image:Von Neumann Hierarchy.svg|thumb|right|300px|वॉन न्यूमैन पदानुक्रम का एक प्रारंभिक खंड]]
[[Image:Von Neumann Hierarchy.svg|thumb|right|300px|वॉन न्यूमैन पदानुक्रम का एक प्रारंभिक खंड]]
एक सेट शुद्ध है यदि उसके सभी सदस्य सेट हैं, तो उसके सभी सदस्यों के सदस्य सेट हैं, और इसी तरह।उदाहरण के लिए, सेट {{math|<nowiki>{{}}</nowiki>}} केवल खाली सेट युक्त एक गैर -शुद्ध शुद्ध सेट है।आधुनिक सेट सिद्धांत में, शुद्ध सेटों के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड पर ध्यान देने के लिए यह आम है, और स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के कई प्रणालियों को केवल शुद्ध सेटों को स्वयंसिद्ध करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।इस प्रतिबंध के कई तकनीकी लाभ हैं, और बहुत कम सामान्यता खो जाती है, क्योंकि अनिवार्य रूप से सभी गणितीय अवधारणाओं को शुद्ध सेट द्वारा मॉडलिंग की जा सकती है।वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में सेट एक संचयी पदानुक्रम में आयोजित किए जाते हैं, इस आधार पर कि उनके सदस्य, सदस्यों के सदस्य आदि को नेस्टेड करते हैं।इस पदानुक्रम में प्रत्येक सेट को (ट्रांसफ़िनाइट रिकर्सेशन द्वारा) एक ऑर्डिनल नंबर सौंपा गया है <math>\alpha</math>, इसके रैंक के रूप में जाना जाता है।एक शुद्ध सेट का रैंक <math>X</math> सबसे कम क्रमिक रूप से परिभाषित किया गया है जो इसके किसी भी तत्व के रैंक से अधिक है।उदाहरण के लिए, खाली सेट को रैंक 0 सौंपा गया है, जबकि सेट {{math| <nowiki>{{}}</nowiki> }} केवल खाली सेट युक्त रैंक 1 को सौंपा गया है। प्रत्येक अध्यादेश के लिए <math>\alpha</math>, सेट <math>V_{\alpha}</math> से कम रैंक के साथ सभी शुद्ध सेटों से मिलकर परिभाषित किया गया है <math>\alpha</math>।पूरे वॉन न्यूमैन यूनिवर्स को निरूपित किया गया है & nbsp;<math>V</math>।
एक ''समुच्चय''  शुद्ध है यदि उसके सभी सदस्य ''समुच्चय''  हैं, तो उसके सभी सदस्यों के सदस्य तैयार हैं। उदाहरण के लिए, ''समुच्चय''  {{math|<nowiki>{{}}</nowiki>}} केवल खाली ''समुच्चय''  युक्त एक गैर -शुद्ध शुद्ध ''समुच्चय''  है। आधुनिक ''समुच्चय''  सिद्धांत में, शुद्ध समुच्चयों के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड पर ध्यान देना आम बात है, और स्वयंसिद्ध ''समुच्चय''  सिद्धांत के कई प्रणालियों को केवल शुद्ध समुच्चयों को स्वयंसिद्ध करने के लिए बनावट किया गया है।इस प्रतिबंध के कई तकनीकी लाभ हैं, और थोड़ी व्यापकता खो जाती है, क्योंकि अनिवार्य रूप से सभी गणितीय अवधारणाओं को शुद्ध ''समुच्चय''  द्वारा तैयार किया जा सकता है। वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में ''समुच्चय''  एक संचयी पदानुक्रम में आयोजित किए जाते हैं, इस आधार पर कि उनके सदस्य, सदस्यों के सदस्य आदि कितनी गहराई से स्थिर करते हैं। इस पदानुक्रम में प्रत्येक ''समुच्चय''  को (ट्रांसफ़िनाइट रिकर्सेशन द्वारा) एक ऑर्डिनल नंबर सौंपा गया है <math>\alpha</math>, इसके पद के रूप में जाना जाता है। एक शुद्ध ''समुच्चय''  का पद <math>X</math> सबसे कम क्रमिक रूप से परिभाषित किया गया है जो इसके किसी भी तत्व के पद से अधिक है। उदाहरण के लिए, खाली ''समुच्चय''  को रैंक 0 सौंपा गया है, जबकि ''समुच्चय'' {{math| <nowiki>{{}}</nowiki> }} केवल खाली ''समुच्चय''  युक्त पद 1 को सौंपा गया है। प्रत्येक अध्यादेश के लिए <math>\alpha</math>, ''समुच्चय''  <math>V_{\alpha}</math> से कम रैंक के साथ सभी शुद्ध समुच्चयों  से मिलकर परिभाषित किया गया है <math>\alpha</math>।पूरे वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को <math>V</math> निरूपित किया है ।


== औपचारिक रूप से सेट सिद्धांत<!--'Axiomatic सेट थ्योरी' यहाँ रीडायरेक्ट्स-->==
== औपचारिक ''समुच्चय''  सिद्धांत==
प्राथमिक सेट सिद्धांत को अनौपचारिक और सहज रूप से अध्ययन किया जा सकता है, और इसलिए वेन आरेखों का उपयोग करके प्राथमिक स्कूलों में पढ़ाया जा सकता है।सहज ज्ञान युक्त दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से मानता है कि किसी विशेष परिभाषित स्थिति को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तुओं के वर्ग से एक सेट बन सकता है।यह धारणा विरोधाभासों को जन्म देती है, सबसे सरल और सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है, जो रसेल के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास हैं।स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत<!--Wp: R#PLA प्रति बोल्डफेस-->मूल रूप से इस तरह के विरोधाभासों के सेट सिद्धांत से छुटकारा पाने के लिए तैयार किया गया था।{{NoteTag|In his 1925 paper ""An Axiomatization of Set Theory", [[John von Neumann]] observed that "set theory in its first, "naive" version, due to Cantor, led to contradictions. These are the well-known [[antinomy|antinomies]] of the set of all sets that do not contain themselves (Russell), of the set of all transfinite ordinal numbers (Burali-Forti), and the set of all finitely definable real numbers (Richard)." He goes on to observe that two "tendencies" were attempting to "rehabilitate" set theory. Of the first effort, exemplified by [[Bertrand Russell]], [[Julius König]], [[Hermann Weyl]] and [[L. E. J. Brouwer]], von Neumann called the "overall effect of their activity . . . devastating". With regards to the axiomatic method employed by second group composed of Zermelo, Fraenkel and Schoenflies, von Neumann worried that "We see only that the known modes of inference leading to the antinomies fail, but who knows where there are not others?" and he set to the task, "in the spirit of the second group", to "produce, by means of a finite number of purely formal operations . . . all the sets that we want to see formed" but not allow for the antinomies. (All quotes from von Neumann 1925 reprinted in van Heijenoort, Jean (1967, third printing 1976), ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931'', Harvard University Press, Cambridge MA, {{ISBN|0-674-32449-8}} (pbk). A synopsis of the history, written by van Heijenoort, can be found in the comments that precede von Neumann's 1925 paper.}}
प्राथमिक ''समुच्चय''  सिद्धांत को अनौपचारिक और सहज रूप से अध्ययन किया जा सकता है, और इसलिए प्राथमिक विद्यालयों में वेन आरेखों का उपयोग करके पढ़ाया जा सकता है। सहज ज्ञान युक्त दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से मानता है कि किसी विशेष परिभाषित स्थिति को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तुओं के वर्ग से एक ''समुच्चय''  बन सकता है। यह धारणा विरोधाभासों को जन्म देती है, सबसे सरल और सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है, जो रसेल के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास हैं। स्वयंसिद्ध ''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत मूल रूप से इस तरह के विरोधाभासों के ''समुच्चय''  सिद्धांत से छुटकारा पाने के लिए तैयार किया गया था।{{NoteTag|In his 1925 paper ""An Axiomatization of Set Theory", [[John von Neumann]] observed that "set theory in its first, "naive" version, due to Cantor, led to contradictions. These are the well-known [[antinomy|antinomies]] of the set of all sets that do not contain themselves (Russell), of the set of all transfinite ordinal numbers (Burali-Forti), and the set of all finitely definable real numbers (Richard)." He goes on to observe that two "tendencies" were attempting to "rehabilitate" set theory. Of the first effort, exemplified by [[Bertrand Russell]], [[Julius König]], [[Hermann Weyl]] and [[L. E. J. Brouwer]], von Neumann called the "overall effect of their activity . . . devastating". With regards to the axiomatic method employed by second group composed of Zermelo, Fraenkel and Schoenflies, von Neumann worried that "We see only that the known modes of inference leading to the antinomies fail, but who knows where there are not others?" and he set to the task, "in the spirit of the second group", to "produce, by means of a finite number of purely formal operations . . . all the sets that we want to see formed" but not allow for the antinomies. (All quotes from von Neumann 1925 reprinted in van Heijenoort, Jean (1967, third printing 1976), ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931'', Harvard University Press, Cambridge MA, {{ISBN|0-674-32449-8}} (pbk). A synopsis of the history, written by van Heijenoort, can be found in the comments that precede von Neumann's 1925 paper.}}
स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए सिस्टम का अर्थ है कि सभी सेट एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं। इस तरह की प्रणालियाँ दो स्वादों में आती हैं, जिनके ऑन्कोलॉजी में शामिल हैं:
*अकेले सेट। इसमें सबसे आम स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत, Zermelo -fraenkel सेट सिद्धांत शामिल है। 'ZFC' के टुकड़ों में शामिल हैं:
** Zermelo सेट सिद्धांत, जो अलगाव के साथ प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा को बदल देता है;
** जनरल सेट थ्योरी, पीनो एंसिओम्स और परिमित सेटों के लिए ज़रमेलो सेट सिद्धांत का एक छोटा सा टुकड़ा;
** Kripke -Platek सेट सिद्धांत, जो अनंत, पॉवरसेट और पसंद के स्वयंसिद्धों को छोड़ देता है, और पृथक्करण और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमाटा को कमजोर करता है।
*सेट और उचित कक्षाएं। इनमें वॉन न्यूमैन -बेरनेज़ -गोडेल सेट थ्योरी शामिल हैं, जिसमें अकेले सेट के बारे में प्रमेय के लिए ZFC के रूप में एक ही ताकत है, और मोर्स -केली सेट थ्योरी और टार्स्की -ग्रोथेन्डिएक सेट थ्योरी, दोनों ZFC से अधिक मजबूत हैं।
उपरोक्त प्रणालियों को urelements, वस्तुओं की अनुमति देने के लिए संशोधित किया जा सकता है जो सेट के सदस्य हो सकते हैं लेकिन यह स्वयं सेट नहीं हैं और उनके पास कोई सदस्य नहीं है।


'एनएफयू' की नई नींव प्रणाली (यूरेलमेंट्स की अनुमति) और 'एनएफ' (उनकी कमी) एक संचयी पदानुक्रम पर आधारित नहीं हैं। एनएफ और एनएफयू में हर चीज का एक सेट शामिल है, जिसके सापेक्ष प्रत्येक सेट का पूरक है। इन प्रणालियों में urelements मायने रखता है, क्योंकि NF, लेकिन NFU नहीं, ऐसे सेट का उत्पादन करता है जिसके लिए पसंद का स्वयंसिद्ध नहीं होता है। एनएफ की ऑन्कोलॉजी पारंपरिक संचयी पदानुक्रम को प्रतिबिंबित नहीं करने और अच्छी तरह से स्थापितता का उल्लंघन करने के बावजूद, थॉमस फोर्स्टर ने तर्क दिया है कि यह सेट के एक पुनरावृत्ति अवधारणा को दर्शाता है।<ref>{{cite journal | last=Forster |first=T. E. |date=2008 | title = The iterative conception of set | journal = The Review of Symbolic Logic | volume = 1 | pages = 97–110 |doi=10.1017/S1755020308080064 |s2cid=15231169 |url=https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tf/iterativeconception.pdf}}</ref>
स्वयंसिद्ध ''समुच्चय'' सिद्धांत के सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए प्रणाली का अर्थ है कि सभी ''समुच्चय'' एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं। इस तरह की प्रणालियाँ दो स्वादों में आती हैं, जिनके सत्व शास्त्र (ऑन्कोलॉजी) में सम्मिलितहैं:
CST, CZF, और IZF जैसे रचनात्मक सेट सिद्धांत के सिस्टम, शास्त्रीय तर्क के बजाय अंतर्ज्ञानवादी में अपने सेट स्वयंसिद्ध को एम्बेड करते हैं।फिर भी अन्य प्रणालियां शास्त्रीय तर्क को स्वीकार करती हैं, लेकिन एक गैर -मानक सदस्यता संबंध की सुविधा देती हैं।इनमें रफ सेट थ्योरी और फजी सेट थ्योरी शामिल हैं, जिसमें सदस्यता संबंध को मूर्त रूप देने वाले परमाणु सूत्र का मूल्य केवल सही या गलत नहीं है।ZFC के बूलियन-मूल्यवान मॉडल एक संबंधित विषय हैं।
*अकेले ''समुच्चय'' । इसमें सबसे आम स्वयंसिद्ध ''समुच्चय''  सिद्धांत, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल ''समुच्चय''  सिद्धांत सम्मिलितहै। 'जेडएफसी' के अंशों में सम्मिलितहैं:
** ज़र्मेलो ''समुच्चय''  सिद्धांत, जो पृथक्करण के साथ प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना को प्रतिस्थापित करता है;
** सामान्य ''समुच्चय''  सिद्धांत, पीनो एंसिओम्स और परिमित समुच्चयों  के लिए ज़रमेलो ''समुच्चय''  सिद्धांत का एक छोटा सा टुकड़ा;
** क्रिपके-प्लेटेक ''समुच्चय''  सिद्धांत, जो अनंत, शक्तियों और पसंद के सिद्धांतों को छोड़ देता है, और अलगाव और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना को कमजोर करता है।
*''समुच्चय'' और उचित कक्षाएं। इनमें वॉन न्यूमैन -बेरनेज़ -गोडेल ''समुच्चय''  सिद्धांत सम्मिलितहैं, जिसमें अकेले ''समुच्चय''  के बारे में प्रमेय के लिए जेडएफसी के रूप में एक ही ताकत है, और मोर्स -केली ''समुच्चय''  सिद्धांत और टार्स्की -ग्रोथेन्डिएक ''समुच्चय''  सिद्धांत, दोनों जेडएफसी से अधिक मजबूत हैं।
उपरोक्त प्रणालियों को मूल तत्व (यूरेलेमेंट्स), वस्तुओं की अनुमति देने के लिए संशोधित किया जा सकता है जो ''समुच्चय''  के सदस्य हो सकते हैं लेकिन यह स्वयं ''समुच्चय''  नहीं हैं और उनके पास कोई सदस्य नहीं है।


1977 में एडवर्ड नेल्सन द्वारा आंतरिक सेट थ्योरी नामक ZFC का एक संवर्धन प्रस्तावित किया गया था।{{Citation needed|date=July 2021}}
'एनएफयू' की नई नींव प्रणाली (यूरेलमेंट्स की अनुमति) और 'एनएफ' (उनकी कमी) एक संचयी पदानुक्रम पर आधारित नहीं हैं। एनएफ और एनएफयू में हर चीज का एक ''समुच्चय''  सम्मिलितहै, जिसके सापेक्ष प्रत्येक ''समुच्चय''  का पूरक है। इन प्रणालियों में मूल तत्व मायने रखता है, क्योंकि एनएफ, लेकिन एनएफयू नहीं, ऐसे ''समुच्चय''  का उत्पादन करता है जिसके लिए पसंद का स्वयंसिद्ध नहीं होता है। एनएफ की सत्व शास्त्र पारंपरिक संचयी पदानुक्रम को प्रतिबिंबित नहीं करने और अच्छी तरह से स्थापितता का उल्लंघन करने के बावजूद, थॉमस फोर्स्टर ने तर्क दिया है कि यह ''समुच्चय''  के एक पुनरावृत्ति अवधारणा को दर्शाता है।<ref>{{cite journal | last=Forster |first=T. E. |date=2008 | title = The iterative conception of set | journal = The Review of Symbolic Logic | volume = 1 |  pages = 97–110 |doi=10.1017/S1755020308080064 |s2cid=15231169 |url=https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tf/iterativeconception.pdf}}</ref>


सीएसटी, सीजेडएफ, और आईजेडएफ जैसे रचनात्मक ''समुच्चय''  सिद्धांत के व्यवस्था, शास्त्रीय तर्क के बजाय अंतर्ज्ञानवादी में अपने ''समुच्चय'' स्वयंसिद्ध को अंतर्निहित करते हैं। फिर भी अन्य प्रणालियां शास्त्रीय तर्क को स्वीकार करती हैं, लेकिन एक गैर -मानक सदस्यता संबंध पेश करती हैं। इनमें रूखा (रफ) ''समुच्चय''  सिद्धांत और फजी ''समुच्चय''  सिद्धांत सम्मिलितहैं, जिसमें सदस्यता संबंध को मूर्त रूप देने वाले परमाणु सूत्र का मूल्य केवल सही या गलत नहीं है। जेडएफसी के बूलियन-मूल्यवान नमूना एक संबंधित विषय हैं।


1977 में एडवर्ड नेल्सन द्वारा आंतरिक ''समुच्चय''  सिद्धांत नामक जेडएफसी का एक संवर्धन प्रस्तावित किया गया था।
== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==
कई गणितीय अवधारणाओं को केवल सेट थियोरेटिक अवधारणाओं का उपयोग करके सटीक रूप से परिभाषित किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, ग्राफ़, मैनिफोल्ड्स, रिंग, वेक्टर रिक्त स्थान और संबंधपरक बीजगणित के रूप में विविध गणितीय संरचनाएं सभी को विभिन्न (स्वयंसिद्ध) गुणों को संतुष्ट करने वाले सेट के रूप में परिभाषित की जा सकती हैं।समतुल्यता और आदेश संबंध गणित में सर्वव्यापी हैं, और गणितीय संबंधों के सिद्धांत को सेट सिद्धांत में वर्णित किया जा सकता है। {{Citation needed|date=July 2021}}
कई गणितीय अवधारणाओं को केवल ''समुच्चय''  सैद्धांतिक (थियोरेटिक0 अवधारणाओं का उपयोग करके सटीक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लेखाचित्र (ग्राफ़), विविध (मैनिफोल्ड्स), वृत्त (रिंग), वेक्टर रिक्त स्थान और संबंधपरक बीजगणित के रूप में विविध गणितीय संरचनाएं सभी को विभिन्न (स्वयंसिद्ध) गुणों को संतुष्ट करने वाले ''समुच्चय''  के रूप में परिभाषित की जा सकती हैं।समतुल्यता और आदेश संबंध गणित में सर्वव्यापी हैं, और गणितीय संबंधों के सिद्धांत को ''समुच्चय''  सिद्धांत में वर्णित किया जा सकता है।  
सेट सिद्धांत गणित के अधिकांश के लिए एक आशाजनक मूलभूत प्रणाली भी है।प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के पहले खंड के प्रकाशन के बाद से, यह दावा किया गया है कि अधिकांश (या सभी) गणितीय प्रमेयों को सेट सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के एक उपयुक्त रूप से डिज़ाइन किए गए सेट का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, कई परिभाषाओं के साथ संवर्धित, प्रथम-क्रम लॉजिक का उपयोग करते हुए।या दूसरा-आदेश तर्क।उदाहरण के लिए, प्राकृतिक और वास्तविक संख्याओं के गुणों को सेट सिद्धांत के भीतर प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक संख्या प्रणाली को एक उपयुक्त तुल्यता संबंध के तहत तुल्यता वर्गों के एक सेट के साथ पहचाना जा सकता है जिसका क्षेत्र कुछ अनंत सेट है।{{Citation needed|date=July 2021}}
गणितीय विश्लेषण, टोपोलॉजी, अमूर्त बीजगणित और असतत गणित के लिए एक नींव के रूप में सिद्धांत निर्धारित करें, इसी तरह अनियंत्रित है;गणितज्ञ स्वीकार करते हैं (सिद्धांत रूप में) कि इन क्षेत्रों में प्रमेय प्रासंगिक परिभाषाओं और सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।हालांकि, यह बना हुआ है कि सेट सिद्धांत से जटिल गणितीय प्रमेयों के कुछ पूर्ण व्युत्पन्न को औपचारिक रूप से सत्यापित किया गया है, क्योंकि इस तरह के औपचारिक व्युत्पन्न अक्सर प्राकृतिक भाषा प्रमाण गणितज्ञों की तुलना में अधिक लंबे होते हैं जो आमतौर पर मौजूद होते हैं।एक सत्यापन परियोजना, मेटामैथ में ZFC सेट सिद्धांत, प्रथम-क्रम तर्क और प्रस्ताव तर्क से शुरू होने वाले 12,000 से अधिक प्रमेयों के मानव-लिखित, कंप्यूटर-सत्यापित व्युत्पन्न शामिल हैं।{{Citation needed|date=July 2021}}


''समुच्चय (सेट)'' सिद्धांत गणित के लिए एक आशाजनक आधारभूत प्रणाली भी है। प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के पहले खंड के प्रकाशन के बाद से, यह दावा किया गया है कि अधिकांश (या सभी) गणितीय प्रमेयों को ''समुच्चय''  सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के एक उपयुक्त रूप से डिज़ाइन किए गए ''समुच्चय''  का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जो पहले या दूसरे क्रम के तर्क का उपयोग करके कई परिभाषाओं के साथ संवर्धित है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक और वास्तविक संख्याओं के गुणों को ''समुच्चय''  सिद्धांत के भीतर प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक संख्या प्रणाली को एक उपयुक्त तुल्यता संबंध के तहत तुल्यता वर्गों के एक ''समुच्चय''  के साथ पहचाना जा सकता है जिसका क्षेत्र कुछ अनंत ''समुच्चय''  है।


गणितीय विश्लेषण, सांस्थिति, अमूर्त बीजगणित और असतत गणित के लिए एक नींव के रूप में सिद्धांत निर्धारित करें, वैसे ही विवादास्पद है; गणितज्ञ स्वीकार करते हैं (सिद्धांत रूप में) कि इन क्षेत्रों में प्रमेय प्रासंगिक परिभाषाओं और ''समुच्चय''  सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं। हालांकि, यह बना हुआ है कि ''समुच्चय''  सिद्धांत से जटिल गणितीय प्रमेयों के कुछ पूर्ण व्युत्पन्न को औपचारिक रूप से सत्यापित किया गया है, क्योंकि इस तरह के औपचारिक व्युत्पन्न प्रायः प्राकृतिक भाषा प्रमाण गणितज्ञों की तुलना में अधिक लंबे होते हैं जो सामान्यतः मौजूद होते हैं। एक सत्यापन परियोजना, मेटागणित में जेडएफसी ''समुच्चय''  सिद्धांत, प्रथम-क्रम तर्क और प्रस्ताव तर्क से प्रारम्भ होने वाले 12,000 से अधिक प्रमेयों के मानव-लिखित, संगणक-सत्यापित व्युत्पन्न सम्मिलितहैं।
== अध्ययन के क्षेत्र ==
== अध्ययन के क्षेत्र ==
सेट सिद्धांत गणित में अनुसंधान का एक प्रमुख क्षेत्र है, जिसमें कई परस्पर संबंधित उप -क्षेत्र हैं।
''समुच्चय''  सिद्धांत गणित में अनुसंधान का एक प्रमुख क्षेत्र है, जिसमें कई परस्पर संबंधित उप -क्षेत्र हैं।


=== कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी ===
=== मिश्रित ''समुच्चय''  सिद्धांत (कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी) ===
{{Main|Infinitary combinatorics}}
{{Main|इन्फिनिटरी क्रमचय-संचय}}
कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी अनंत सेटों के लिए परिमित कॉम्बीनेटरिक्स के एक्सटेंशन की चिंता करता है।इसमें कार्डिनल अंकगणित का अध्ययन और रामसे के प्रमेय के विस्तार का अध्ययन जैसे एर्ड -रादो प्रमेय शामिल है।
मिश्रित ''समुच्चय'' सिद्धांत (कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी) अनंत समुच्चयों के लिए परिमित साहचर्य (कॉम्बीनेटरिक्स) के विस्तार (एक्सटेंशन) की चिंता करता है। इसमें कार्डिनल अंकगणित का अध्ययन और रामसे के प्रमेय के विस्तार का अध्ययन जैसे एर्ड -रादो प्रमेय सम्मिलितहै।


=== वर्णनात्मक सेट सिद्धांत ===
=== वर्णनात्मक ''समुच्चय''  सिद्धांत ===
{{Main|Descriptive set theory}}
{{Main|वर्णनात्मक तर्क सिद्धांत}}
वर्णनात्मक सेट सिद्धांत वास्तविक रेखा के सबसेट का अध्ययन है और, अधिक आम तौर पर, पोलिश रिक्त स्थान के सबसेट। यह बोरेल पदानुक्रम में पॉइंटक्लास के अध्ययन के साथ शुरू होता है और प्रक्षेप्य पदानुक्रम और वाडगे पदानुक्रम जैसे अधिक जटिल पदानुक्रमों के अध्ययन तक फैलता है। बोरेल सेट के कई गुणों को ZFC में स्थापित किया जा सकता है, लेकिन अधिक जटिल सेटों के लिए इन गुणों को साबित करने के लिए नियुक्ति और बड़े कार्डिनल्स से संबंधित अतिरिक्त स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है।
वर्णनात्मक ''समुच्चय'' सिद्धांत वास्तविक रेखा के उपसमुच्चय का अध्ययन है और, अधिक सामान्यतः पोलिश रिक्त स्थान के उपसमुच्चय । यह बोरेल पदानुक्रम में बिंदु वर्गों (पॉइंटक्लास) के अध्ययन के साथ प्रारम्भ होता है और प्रक्षेप्य पदानुक्रम और वाडगे पदानुक्रम जैसे अधिक जटिल पदानुक्रमों के अध्ययन तक विस्तारित होता है। बोरेल ''समुच्चय''  के कई गुणों को जेडएफसी में स्थापित किया जा सकता है, लेकिन अधिक जटिल समुच्चयों के लिए इन गुणों को साबित करने के लिए नियुक्ति और बड़े कार्डिनल्स से संबंधित अतिरिक्त स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है।


प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत का क्षेत्र सेट सिद्धांत और पुनरावृत्ति सिद्धांत के बीच है। इसमें लाइटफेस पॉइंटक्लास का अध्ययन शामिल है, और हाइपरएरिथिक सिद्धांत से निकटता से संबंधित है। कई मामलों में, शास्त्रीय वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के परिणामों में प्रभावी संस्करण हैं; कुछ मामलों में, नए परिणाम पहले प्रभावी संस्करण को साबित करके प्राप्त किए जाते हैं और फिर इसे और अधिक व्यापक रूप से लागू करने के लिए (रिलेटिवाइज़िंग) का विस्तार करते हैं।
प्रभावी वर्णनात्मक ''समुच्चय''  सिद्धांत का क्षेत्र ''समुच्चय''  सिद्धांत और पुनरावृत्ति सिद्धांत के बीच है। इसमें लाइटफेस पॉइंटक्लास का अध्ययन सम्मिलितहै, और अति अंकगणितीय (हाइपरएरिथिक) सिद्धांत से निकटता से संबंधित है। कई मामलों में, शास्त्रीय वर्णनात्मक ''समुच्चय''  सिद्धांत के परिणामों में प्रभावी संस्करण हैं; कुछ मामलों में, नए परिणाम पहले प्रभावी संस्करण को साबित करके प्राप्त किए जाते हैं और फिर इसे और अधिक व्यापक रूप से लागू करने के लिए सापेक्ष (रिलेटिवाइज़िंग) का विस्तार किया जाता है।


अनुसंधान का एक हालिया क्षेत्र बोरेल तुल्यता संबंधों और अधिक जटिल निश्चित समतुल्यता संबंधों की चिंता करता है। यह गणित के कई क्षेत्रों में आक्रमणकारियों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
अनुसंधान का एक हालिया क्षेत्र बोरेल तुल्यता संबंधों और अधिक जटिल निश्चित समतुल्यता संबंधों की चिंता करता है। यह गणित के कई क्षेत्रों में अपरिवर्तनीयों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।


=== फजी सेट थ्योरी ===
=== धुंधला ''समुच्चय''  सिद्धांत (फजी सेट थ्योरी) ===
{{Main|Fuzzy set theory}}
{{Main|फुज्जी समुच्चय सिद्धांत}}
कैंटर परिभाषित और ज़रमेलो और फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध के रूप में सेट सिद्धांत में, एक वस्तु या तो एक सेट का सदस्य है या नहीं।फ़ज़ी सेट थ्योरी में इस स्थिति को LoTfi A. Zadeh द्वारा आराम दिया गया था, इसलिए एक ऑब्जेक्ट में एक सेट में सदस्यता की डिग्री है, 0 और 1 के बीच की संख्या। उदाहरण के लिए, लम्बे लोगों के सेट में एक व्यक्ति की सदस्यता की डिग्री अधिक हैएक साधारण हां या नहीं उत्तर की तुलना में लचीला और 0.75 जैसी वास्तविक संख्या हो सकती है।
''समुच्चय''  सिद्धांत (सेट थ्योरी) में जैसा कि कैंटर ने परिभाषित किया और ज़र्मेलो और फ्रेंकेल ने स्वयंसिद्ध किया, एक वस्तु या तो एक ''समुच्चय (सेट)'' का सदस्य है या नहीं। धुंधला ''समुच्चय''  सिद्धांत (फजी सेट थ्योरी) में इस स्थिति को लोटफी ए  ज़ादेह द्वारा शिथिल किया गया था, इसलिए एक वस्तु में एक ''समुच्चय (सेट)'' में सदस्यता की डिग्री होती है, 0 और 1 के बीच की संख्या। उदाहरण के लिए, लम्बे लोगों के ''समुच्चय (सेट)'' में एक व्यक्ति की सदस्यता की उपाधि सरल हां या ना में उत्तर की तुलना में अधिक लचीला है और 0.75 जैसी वास्तविक संख्या हो सकती है।


=== इनर मॉडल थ्योरी ===
=== आंतरिक प्रतिरूप सिद्धांत (इनर मॉडल थ्योरी) ===
{{Main|Inner model theory}}
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल ''समुच्चय''  सिद्धांत (जेडएफ) का एक आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) एक सकर्मक वर्ग है जिसमें सभी गणनसंख्या (ऑर्डिनल) सम्मिलितहैं और जेडएफ के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। विहित (कैनोनिकल) उदाहरण गोडेल द्वारा विकसित रचनात्मक ब्रह्मांड एल है। एक कारण यह है कि आंतरिक प्रतिरूप का अध्ययन रुचि का है कि इसका उपयोग निरंतरता परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि जेडएफ का एक प्रतिरूप V, सातत्य परिकल्पना या पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, मूल प्रतिरूप के अंदर निर्मित आंतरिक प्रतिरूप L सामान्यीकृत निरंतरता परिकल्पना और पसंद के स्वयंसिद्ध दोनों को संतुष्ट करेगा। इस प्रकार यह धारणा कि जेडएफ सुसंगत है (कम से कम एक प्रतिरूप  है) का अर्थ है कि जेडएफ इन दो सिद्धांतों के साथ मिलकर सुसंगत है।
Zermelo -Fraenkel Set थ्योरी (ZF) का एक आंतरिक मॉडल एक सकर्मक वर्ग है जिसमें सभी ऑर्डिनल शामिल हैं और ZF के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। कैनोनिकल उदाहरण गोडेल द्वारा विकसित रचनात्मक ब्रह्मांड एल है।
एक कारण यह है कि आंतरिक मॉडल का अध्ययन रुचि का है कि इसका उपयोग निरंतरता परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि ZF का एक मॉडल V, निरंतरता परिकल्पना या पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, मूल मॉडल के अंदर निर्मित आंतरिक मॉडल L सामान्यीकृत निरंतरता परिकल्पना और पसंद के स्वयंसिद्ध दोनों को संतुष्ट करेगा। इस प्रकार यह धारणा कि ZF सुसंगत है (कम से कम एक मॉडल है) का अर्थ है कि ZF इन दो सिद्धांतों के साथ मिलकर सुसंगत है।


आंतरिक मॉडलों का अध्ययन नियतता और बड़े कार्डिनल्स के अध्ययन में आम है, खासकर जब स्वयंसिद्धता के स्वयंसिद्धता जैसे स्वयंसिद्धता पर विचार करते हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध को विरोधाभास करते हैं। यहां तक ​​कि अगर सेट सिद्धांत का एक निश्चित मॉडल पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, तो एक आंतरिक मॉडल के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने में विफल होना संभव है। उदाहरण के लिए, पर्याप्त रूप से बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व का तात्पर्य है कि एक आंतरिक मॉडल है जो नियतता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है (और इस तरह पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।<ref>{{citation | last1=Jech | first1=Thomas | author1-link=Thomas Jech | title=Set Theory | edition= Third Millennium | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer Monographs in Mathematics | isbn=978-3-540-44085-7 | year=2003 | zbl=1007.03002 | page=642 | url=https://books.google.com/books?id=CZb-CAAAQBAJ&pg=PA642 }}</ref>
नियति और बड़े गणनसंख्या के अध्ययन में आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) का अध्ययन आम है, खासकर जब स्वयंसिद्धता के स्वयंसिद्ध जैसे स्वयंसिद्धों पर विचार करते हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध का खंडन करते हैं। यहां तक ​​कि अगर ''समुच्चय''  सिद्धांत का एक निश्चित प्रतिरूप  पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, यह संभव है कि एक आंतरिक प्रतिरूप पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने में विफल हो। उदाहरण के लिए, पर्याप्त रूप से बड़े गणनसंख्या  के अस्तित्व का तात्पर्य है कि एक आंतरिक प्रतिरूप  है जो नियतता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है (और इस प्रकार पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।<ref>{{citation | last1=Jech | first1=Thomas | author1-link=Thomas Jech | title=Set Theory | edition= Third Millennium | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer Monographs in Mathematics | isbn=978-3-540-44085-7 | year=2003 | zbl=1007.03002 | page=642 | url=https://books.google.com/books?id=CZb-CAAAQBAJ&pg=PA642 }}</ref>
=== बड़े  गणनसंख्या ===
{{Main|लार्ज कार्डिनल प्रॉपर्टी}}
एक बड़ा गणनसंख्या एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक गणनसंख्या  नंबर है। इस तरह के कई गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिसमें दुर्गम गणनसंख्या, औसत दर्जे का गणनसंख्या और कई और सम्मिलितहैं।ये गुण सामान्यतः इंगित करते हैं कि गणनसंख्या संख्या बहुत बड़ी होनी चाहिए, जिसमें गणनसंख्या के अस्तित्व के साथ ज़रमेलो -फ्रेनकेल ''समुच्चय''  सिद्धांत में निर्दिष्ट संपत्ति के साथ अप्राप्य है।


=== निर्धारण ===
{{Main|नियति}}
निर्धारण इस तथ्य को संदर्भित करता है कि,उपयुक्त मान्यताओं के तहत, सही जानकारी के कुछ दो-खिलाड़ी खेल इस अर्थ में प्रारम्भ से निर्धारित किए जाते हैं कि एक खिलाड़ी के पास एक जीतने की रणनीति होनी चाहिए। वर्णनात्मक ''समुच्चय''  सिद्धांत में इन रणनीतियों के अस्तित्व के महत्वपूर्ण परिणाम हैं, क्योंकि यह धारणा कि खेलों का एक व्यापक वर्ग निर्धारित किया जाता है, प्रायः इसका अर्थ है कि ''समुच्चय''  के एक व्यापक वर्ग में एक संस्थानिक (टोपोलॉजिकल) संपत्ति होगी। निर्धारण (एडी) का स्वयंसिद्ध अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है;यद्यपि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ असंगत, एडी का तात्पर्य है कि वास्तविक रेखा के सभी उपसमुच्चय अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं (विशेष रूप से, मापने योग्य और पूर्ण ''समुच्चय''  संपत्ति के साथ)। एडी का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि वैज उपाधि में एक सुरुचिपूर्ण संरचना है।


=== बड़े कार्डिनल्स ===
=== प्रणोदन ===
{{Main|Large cardinal property}}
{{Main|फोर्सिंग (गणित)}}
एक बड़ा कार्डिनल एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक कार्डिनल नंबर है।इस तरह के कई गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिसमें दुर्गम कार्डिनल, औसत दर्जे का कार्डिनल और कई और शामिल हैं।ये गुण आम तौर पर कार्डिनल नंबर बहुत बड़े होने चाहिए, जिसमें कार्डिनल के अस्तित्व के साथ ज़रमेलो -फ्रेनकेल सेट सिद्धांत में निर्दिष्ट संपत्ति के साथ अप्राप्य है।
पॉल कोहेन ने जेडएफसी के एक प्रतिरूप  की खोज करते हुए विवश करने की विधि का आविष्कार किया, जिसमें निरंतरता परिकल्पना विफल हो जाती है, या जेडएफ का एक प्रतिरूप जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध विफल हो जाता है। निर्माण और मूल प्रतिरूप द्वारा निर्धारित गुणों (यानी प्रणोदन) के साथ एक बड़ा प्रतिरूप बनाने के लिए ''समुच्चय''  सिद्धांत अतिरिक्त ''समुच्चय''  के कुछ दिए गए प्रतिरूप के अतिरिक्त ''समुच्चय''  को विवश करना। उदाहरण के लिए, कोहेन का निर्माण मूल प्रतिरूप के किसी भी गणनसंख्या संख्या को बदलने के बिना प्राकृतिक संख्याओं के अतिरिक्त उपसमुच्चय को जोड़ता है। प्रणोदन (फोर्सिंग) भी परिमित तरीकों से सापेक्ष स्थिरता साबित करने के लिए दो तरीकों में से एक है, दूसरी विधि बूलियन-मूल्यवान प्रतिरूप है।


=== निर्धारण ===
=== गणनसंख्या अपरिवर्तनशीलताओं (कार्डिनल इनवेरिएंट्स) ===
{{Main|Determinacy}}
एक गणनसंख्या अपरिवर्तनीय एक गणनसंख्या  नंबर द्वारा मापी गई वास्तविक रेखा का गुण है। उदाहरण के लिए, एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया अपरिवर्तनीय वास्तविक के अल्प ''समुच्चय''  के संग्रह का सबसे छोटा गणनसंख्या  है, जिसका मिलन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। ये इस अर्थ में अपरिवर्तनीय हैं कि ''समुच्चय''  सिद्धांत के किसी भी दो समरूपी (आइसोमॉर्फिक) प्रतिरूप को प्रत्येक अपरिवर्तनीय के लिए एक ही गणनसंख्या  देना चाहिए। कई गणनसंख्या अपरिवर्तनीय (इनवेरिएंट्स) का अध्ययन किया गया है, और उनके बीच संबंध प्रायः जटिल होते हैं और''समुच्चय''  सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से संबंधित होते हैं।
नियतता इस तथ्य को संदर्भित करती है कि, उचित मान्यताओं के तहत, सही जानकारी के कुछ दो-खिलाड़ी गेम इस अर्थ में शुरू से निर्धारित किए जाते हैं कि एक खिलाड़ी के पास एक जीत की रणनीति होनी चाहिए।इन रणनीतियों के अस्तित्व के वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणाम हैं, क्योंकि यह धारणा कि खेलों का एक व्यापक वर्ग निर्धारित किया जाता है, अक्सर यह अर्थ है कि सेट के एक व्यापक वर्ग में एक टोपोलॉजिकल संपत्ति होगी।नियतता (AD) का स्वयंसिद्ध अध्ययन का एक महत्वपूर्ण वस्तु है;यद्यपि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ असंगत, AD का तात्पर्य है कि वास्तविक लाइन के सभी सबसेट अच्छी तरह से व्यवहार किए जाते हैं (विशेष रूप से, औसत दर्जे का और सही सेट संपत्ति के साथ)।AD का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि Wadge डिग्री में एक सुरुचिपूर्ण संरचना है।


=== मजबूर ===
=== ''समुच्चय'' -सिद्धांतिक सांस्थिति ===
{{Main|Forcing (mathematics)}}
''समुच्चय'' -सिद्धांतिक सांस्थिति  सामान्य सांस्थिति  के प्रश्नों का अध्ययन करती है जो प्रकृति में ''समुच्चय'' -सिद्धांतीय हैं या जिनके समाधान के लिए ''समुच्चय''  सिद्धांत के उन्नत तरीकों की आवश्यकता होती है। इनमें से कई प्रमेय जेडएफसी से स्वतंत्र हैं, उनके प्रमाण के लिए मजबूत स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है। एक प्रसिद्ध समस्या सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न है, सामान्य सांस्थिति में एक प्रश्न जो गहन अनुसंधान का विषय था। सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न का उत्तर अंततः जेडएफसी से स्वतंत्र साबित हुआ।
पॉल कोहेन ने ZFC के एक मॉडल की खोज करते हुए मजबूर करने की विधि का आविष्कार किया, जिसमें निरंतरता परिकल्पना विफल हो जाती है, या ZF का एक मॉडल जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध विफल हो जाता है।निर्माण और मूल मॉडल द्वारा निर्धारित गुणों (यानी मजबूर) के साथ एक बड़ा मॉडल बनाने के लिए सेट थ्योरी अतिरिक्त सेट के कुछ दिए गए मॉडल के लिए निकटता को मजबूर करना।उदाहरण के लिए, कोहेन का निर्माण मूल मॉडल के किसी भी कार्डिनल संख्या को बदलने के बिना प्राकृतिक संख्याओं के अतिरिक्त सबसेट से जुड़ा हुआ है।फोर्सिंग भी परिमित तरीकों से सापेक्ष स्थिरता साबित करने के लिए दो तरीकों में से एक है, दूसरी विधि बूलियन-मूल्यवान मॉडल है।


=== कार्डिनल इनवेरिएंट्स ===
== सिद्धांत स्थापित करने पर आपत्ति ==
{{Main|Cardinal characteristics of the continuum}}
''समुच्चय''  सिद्धांत की स्थापना से ही, कुछ गणितज्ञों ने गणित की नींव के रूप में इसका विरोध किया है। ''समुच्चय''  सिद्धांत के लिए सबसे आम आपत्ति, एक क्रोनकर ने ''समुच्चय''  सिद्धांत के शुरुआती वर्षों में आवाज उठाई, रचनात्मक दृष्टिकोण से प्रारम्भ होता है कि गणित की गणना से शिथिल रूप से संबंधित है। यदि यह दृश्य प्रदान किया जाता है, तो भोले और स्वयंसिद्ध ''समुच्चय''  सिद्धांत दोनों में अनंत समुच्चयों  का उपचार, गणित के तरीकों और वस्तुओं का परिचय देता है जो सिद्धांत रूप में भी गणना योग्य नहीं हैं। गणित के विकल्प के रूप में रचनावाद की व्यवहार्यता को इरेट बिशप की प्रभावशाली पुस्तक फाउंडेशन ऑफ कंस्ट्रक्टिव एनालिसिस द्वारा काफी बढ़ा दिया गया था।<ref>{{citation|title=Foundations of Constructive Analysis|last=Bishop|first=Errett|publisher=Academic Press|year=1967|isbn=4-87187-714-0|location=New York|author-link=Errett Bishop|url=https://books.google.com/books?id=o2mmAAAAIAAJ}}</ref>
एक कार्डिनल अपरिवर्तनीय एक कार्डिनल नंबर द्वारा मापी गई वास्तविक लाइन की एक संपत्ति है।उदाहरण के लिए, एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया अपरिवर्तनीय रियल के अल्प सेट के संग्रह का सबसे छोटा कार्डिनलिटी है, जिसका संघ पूरी वास्तविक रेखा है।ये इस अर्थ में आक्रमणकारी हैं कि सेट सिद्धांत के किसी भी दो आइसोमॉर्फिक मॉडल को प्रत्येक अपरिवर्तनीय के लिए एक ही कार्डिनल देना होगा।कई कार्डिनल इनवेरिएंट्स का अध्ययन किया गया है, और उनके बीच संबंध अक्सर जटिल होते हैं और सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से संबंधित होते हैं।


=== सेट-सिद्धांतिक टोपोलॉजी ===
हेनरी पोइंकेरे द्वारा रखी गई एक अलग आपत्ति यह है कि विनिर्देश और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना का उपयोग करके ''समुच्चय''  को परिभाषित करना, साथ ही साथ शक्ति ''समुच्चय''  का स्वयंसिद्ध, गणितीय वस्तुओं की परिभाषाओं में अभेद्यता, एक प्रकार की वृत्ताकारता का परिचय देता है। अनुमानित रूप से स्थापित गणित की गुंजाइश, जबकि सामान्य रूप से स्वीकृत ज़रमेलो -फ्रेनकेल सिद्धांत की तुलना में कम है, रचनात्मक गणित की तुलना में बहुत अधिक है, इस बिंदु पर कि सोलोमन फफरमैन ने कहा है कि "वैज्ञानिक रूप से लागू सभी विश्लेषण विकसित किए जा सकते हैं [ विधेय का उपयोग करके तरीके]"।।<ref>{{citation|title=In the Light of Logic|last=Feferman|first=Solomon|publisher=Oxford University Press|year=1998|isbn=0-195-08030-0|location=New York|pages=280–283, 293–294|author-link=Solomon Feferman|url=https://books.google.com/books?id=1rjnCwAAQBAJ}}</ref>
{{Main|Set-theoretic topology}}
सेट-थ्योरिटिक टोपोलॉजी सामान्य टोपोलॉजी के प्रश्नों का अध्ययन करती है जो प्रकृति में सेट-सिद्धांतीय हैं या जिन्हें उनके समाधान के लिए सेट सिद्धांत के उन्नत तरीकों की आवश्यकता होती है।इनमें से कई प्रमेय ZFC से स्वतंत्र हैं, उनके प्रमाण के लिए मजबूत स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है।एक प्रसिद्ध समस्या सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न है, सामान्य टोपोलॉजी में एक प्रश्न जो गहन अनुसंधान का विषय था।सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न का उत्तर अंततः ZFC से स्वतंत्र साबित हुआ।


== थ्योरी सेट करने के लिए आपत्तियां ==
लुडविग विट्गेन्स्टाइन ने गणितीय प्‍लैटोवाद  (प्लैटोनिज्म) के अपने अर्थों के लिए दार्शनिक रूप से ''समुच्चय''  सिद्धांत की निंदा की।<ref>{{Cite SEP|url-id=wittgenstein-mathematics|last=Rodych|first=Victor|date=Jan 31, 2018|title=Wittgenstein's Philosophy of Mathematics|edition=Spring 2018}}</ref> उन्होंने लिखा है कि "''समुच्चय'' सिद्धांत गलत है", क्योंकि यह काल्पनिक प्रतीकवाद की "बकवास" पर आधारित है, इसमें "खतरनाक मुहावरे" हैं, और यह "सभी संख्याओं" के बारे में बात करना निरर्थक है।<ref>{{citation |last=Wittgenstein |first=Ludwig |year=1975 |title=Philosophical Remarks, §129, §174 |publisher=Oxford: Basil Blackwell |isbn=0-631-19130-5 }}</ref> विट्गेन्स्टाइन ने कलन विधि (एल्गोरिथम) मानव कटौती के साथ साथ पहचाना;{{Sfn|Rodych|2018|loc=[https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittInteConsForm §2.1]|ps=: "When we prove a theorem or decide a proposition, we operate in a purely formal, syntactical manner. In doing mathematics, we do not discover pre-existing truths that were 'already there without one knowing' (PG 481)—we invent mathematics, bit-by-little-bit."  Note, however, that Wittgenstein does ''not'' identify such deduction with [[philosophical logic]]; c.f. Rodych [https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittMathTrac §1], paras. 7-12.}} गणित के लिए एक सुरक्षित नींव की आवश्यकता, उसे, निरर्थक लगती थी।{{Sfn|Rodych|2018|loc=[https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittLateCritSetTheoNonEnumVsNonDenu §3.4]|ps=: "Given that mathematics is a '{{small caps|motley}} of techniques of proof' (RFM III, §46), it does not require a foundation (RFM VII, §16) and it cannot be given a self-evident foundation (PR §160; WVC 34 & 62; RFM IV, §3). Since set theory was invented to provide mathematics with a foundation, it is, minimally, unnecessary."}} इसके अलावा, चूंकि मानव प्रयास आवश्यक रूप से परिमित है, विट्गेन्स्टाइन के दर्शन को कट्टरपंथी रचनावाद और परिमितता के लिए एक सत्तामूलक (ऑन्कोलॉजिकल) प्रतिबद्धता की आवश्यकता थी। मेटा-गणितीय (मैथेमेटिकल)  कथन  (स्टेटमेंट्स)-जो, विट्गेन्स्टाइन के लिए, अनंत डोमेन पर किसी भी कथन को सम्मिलितकरते हैं, और इस प्रकार लगभग सभी आधुनिक सेट सिद्धांत-गणित नहीं हैं।{{Sfn|Rodych|2018|loc=[https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittInteFini §2.2]|ps=: "An expression quantifying over an infinite domain is never a meaningful proposition, not even when we have proved, for instance, that a particular number {{mvar|n}} has a particular property."}} कुछ आधुनिक दार्शनिकों ने गणित की नींव पर टिप्पणी में शानदार गड़बड़ी के बाद विट्गेन्स्टाइन के विचारों को अपनाया है: विट्गेन्स्टाइन ने केवल सार पढ़ने के बाद गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों का खंडन करने का प्रयास किया। समीक्षकों के रूप में क्रेसेल, बर्नेज़, डुमेट, और आर। एल। गुडस्टीन | गुडस्टीन ने सभी को इंगित किया, उनके कई आलोचकों ने कागज पर पूर्ण रूप से लागू नहीं किया। केवल हाल ही में दार्शनिकों जैसे क्रिस्पिन राइट ने विट्गेन्स्टाइन के तर्कों का पुनर्वास करना प्रारम्भ कर दिया।{{Sfn|Rodych|2018|loc=[https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittGodeUndeMathProp §3.6]}}
सेट थ्योरी की स्थापना से, कैंटर के सिद्धांत पर कुछ गणितज्ञों का विवाद | गणित के लिए एक नींव के रूप में इस पर आपत्ति है।सेट थ्योरी के लिए सबसे आम आपत्ति, एक क्रोनकर ने सेट थ्योरी के शुरुआती वर्षों में आवाज दी, रचनात्मक दृष्टिकोण से शुरू होता है कि गणित की गणना की गणना से संबंधित है।यदि यह दृश्य प्रदान किया जाता है, तो अनंत सेट का उपचार, दोनों में भोले और स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, गणित के तरीकों और वस्तुओं में परिचय देता है जो सिद्धांत रूप में भी कम्प्यूटेशनल नहीं हैं।गणित के लिए एक स्थानापन्न नींव के रूप में कंस्ट्रक्टिविज्म की व्यवहार्यता को रचनात्मक विश्लेषण के एरट बिशप की प्रभावशाली पुस्तक नींव द्वारा बहुत बढ़ा दिया गया था।<ref>{{citation|title=Foundations of Constructive Analysis|last=Bishop|first=Errett|publisher=Academic Press|year=1967|isbn=4-87187-714-0|location=New York|author-link=Errett Bishop|url=https://books.google.com/books?id=o2mmAAAAIAAJ}}</ref>
हेनरी पोइंकेरे द्वारा एक अलग आपत्ति की गई एक अलग आपत्ति यह है कि विनिर्देश और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमाओं का उपयोग करके सेट को परिभाषित करना, साथ ही साथ पावर सेट के स्वयंसिद्धता, गणितीय वस्तुओं की परिभाषाओं में प्रभाव, एक प्रकार की वृत्ताकारता का परिचय देता है।पूर्ववर्ती रूप से स्थापित गणित की गुंजाइश, जबकि आमतौर पर स्वीकृत ज़रमेलो -फ्रेनकेल सिद्धांत की तुलना में कम, रचनात्मक गणित की तुलना में बहुत अधिक है, इस बिंदु पर कि सोलोमन फफरमैन ने कहा है कि सभी वैज्ञानिक रूप से लागू विश्लेषण विकसित किए जा सकते हैं]।<ref>{{citation|title=In the Light of Logic|last=Feferman|first=Solomon|publisher=Oxford University Press|year=1998|isbn=0-195-08030-0|location=New York|pages=280–283, 293–294|author-link=Solomon Feferman|url=https://books.google.com/books?id=1rjnCwAAQBAJ}}</ref>
लुडविग विट्गेन्स्टाइन ने गणितीय प्लैटोनिज्म के अपने अर्थों के लिए दार्शनिक रूप से सेट सिद्धांत की निंदा की।<ref>{{Cite SEP|url-id=wittgenstein-mathematics|last=Rodych|first=Victor|date=Jan 31, 2018|title=Wittgenstein's Philosophy of Mathematics|edition=Spring 2018}}</ref> उन्होंने लिखा है कि सेट सिद्धांत गलत है, क्योंकि यह काल्पनिक प्रतीकवाद की बकवास पर बनाता है, इसमें खतरनाक मुहावरे हैं, और यह सभी संख्याओं के बारे में बात करना निरर्थक है।<ref>{{citation |last=Wittgenstein |first=Ludwig |year=1975 |title=Philosophical Remarks, §129, §174 |publisher=Oxford: Basil Blackwell |isbn=0-631-19130-5 }}</ref> विट्गेन्स्टाइन ने एल्गोरिथम मानव कटौती के साथ गणित की पहचान की;{{Sfn|Rodych|2018|loc=[https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittInteConsForm §2.1]|ps=: "When we prove a theorem or decide a proposition, we operate in a purely formal, syntactical manner. In doing mathematics, we do not discover pre-existing truths that were 'already there without one knowing' (PG 481)—we invent mathematics, bit-by-little-bit."  Note, however, that Wittgenstein does ''not'' identify such deduction with [[philosophical logic]]; c.f. Rodych [https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittMathTrac §1], paras. 7-12.}} गणित के लिए एक सुरक्षित नींव की आवश्यकता, उसे, निरर्थक लग रहा था।{{Sfn|Rodych|2018|loc=[https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittLateCritSetTheoNonEnumVsNonDenu §3.4]|ps=: "Given that mathematics is a '{{small caps|motley}} of techniques of proof' (RFM III, §46), it does not require a foundation (RFM VII, §16) and it cannot be given a self-evident foundation (PR §160; WVC 34 & 62; RFM IV, §3). Since set theory was invented to provide mathematics with a foundation, it is, minimally, unnecessary."}} इसके अलावा, चूंकि मानव प्रयास आवश्यक रूप से परिमित है, विट्गेन्स्टाइन के दर्शन को कट्टरपंथी रचनावाद और परिमितता के लिए एक ऑन्कोलॉजिकल प्रतिबद्धता की आवश्यकता थी।मेटा-मैथेमेटिकल स्टेटमेंट्स-जो, विट्गेन्स्टाइन के लिए, अनंत डोमेन पर किसी भी कथन को शामिल करते हैं, और इस प्रकार लगभग सभी आधुनिक सेट सिद्धांत-गणित नहीं हैं।{{Sfn|Rodych|2018|loc=[https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittInteFini §2.2]|ps=: "An expression quantifying over an infinite domain is never a meaningful proposition, not even when we have proved, for instance, that a particular number {{mvar|n}} has a particular property."}} कुछ आधुनिक दार्शनिकों ने गणित की नींव पर टिप्पणी में शानदार गड़बड़ी के बाद विट्गेन्स्टाइन के विचारों को अपनाया है: विट्गेन्स्टाइन ने केवल सार पढ़ने के बाद गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों का खंडन करने का प्रयास किया।समीक्षकों के रूप में क्रेसेल, बर्नेज़, डुमेट, और आर। एल। गुडस्टीन | गुडस्टीन ने सभी को इंगित किया, उनके कई आलोचकों ने कागज पर पूर्ण रूप से लागू नहीं किया।केवल हाल ही में दार्शनिकों जैसे क्रिस्पिन राइट ने विट्गेन्स्टाइन के तर्कों का पुनर्वास करना शुरू कर दिया।{{Sfn|Rodych|2018|loc=[https://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/#WittGodeUndeMathProp §3.6]}}
श्रेणी सिद्धांतकारों ने टॉपोस सिद्धांत को पारंपरिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के विकल्प के रूप में प्रस्तावित किया है।TOPOS सिद्धांत उस सिद्धांत के लिए विभिन्न विकल्पों की व्याख्या कर सकता है, जैसे कि निर्माणवाद, परिमित सेट सिद्धांत और कम्प्यूटेबल सेट सिद्धांत।<ref>{{citation|last1=Ferro|first1=Alfredo|last2=Omodeo|first2=Eugenio G.|last3=Schwartz|first3=Jacob T.|date=September 1980|title=Decision Procedures for Elementary Sublanguages of Set Theory. I. Multi-Level Syllogistic and Some Extensions|journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]|volume=33|issue=5|pages=599–608|doi=10.1002/cpa.3160330503}}</ref><ref>{{citation|url=https://archive.org/details/computablesetthe00cant/page/|title=Computable Set Theory|last1=Cantone|first1=Domenico|last2=Ferro|first2=Alfredo|last3=Omodeo|first3=Eugenio G.|publisher=[[Clarendon Press]]|year=1989|isbn=0-198-53807-3|series=International Series of Monographs on Computer Science, Oxford Science Publications|location=Oxford, UK|pages=[https://archive.org/details/computablesetthe00cant/page/ xii, 347]|url-access=registration}}</ref> टोपोई भी ZF से पसंद की स्वतंत्रता के लिए मजबूर करने और चर्चा के लिए एक प्राकृतिक सेटिंग देता है, साथ ही साथ व्यर्थ टोपोलॉजी और पत्थर के स्थानों के लिए रूपरेखा प्रदान करता है।<ref>{{citation|title=Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory|last1=Mac Lane|first1=Saunders|last2=Moerdijk|first2=leke|publisher=Springer-Verlag|year=1992|isbn=978-0-387-97710-2|author-link=Saunders Mac Lane|url=https://books.google.com/books?id=SGwwDerbEowC}}</ref>
अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र एकतरफा नींव है और यह होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत से संबंधित है।होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत के भीतर, एक सेट को होमोटॉपी 0-प्रकार के रूप में माना जा सकता है, जिसमें उच्च आगमनात्मक प्रकारों के आगमनात्मक और पुनरावर्ती गुणों से उत्पन्न होने वाले सेट के सार्वभौमिक गुण होते हैं।पसंद के स्वयंसिद्ध और बहिष्कृत मध्य के कानून जैसे सिद्धांतों को सेट सिद्धांत में शास्त्रीय सूत्रीकरण के अनुरूप या शायद अलग -अलग तरीकों के एक स्पेक्ट्रम में टाइप थ्योरी के लिए अद्वितीय तरीके से तैयार किया जा सकता है।इनमें से कुछ सिद्धांत अन्य सिद्धांतों का परिणाम साबित हो सकते हैं।इन स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के योगों की विविधता विभिन्न गणितीय परिणामों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक योगों के विस्तृत विश्लेषण के लिए अनुमति देती है।<ref>{{nlab|id=homotopy+type+theory|title=homotopy type theory}}</ref><ref>[http://homotopytypetheory.org/book/ ''Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics'']. The Univalent Foundations Program. [[Institute for Advanced Study]].</ref>


श्रेणी सिद्धांतकारों ने टॉपोस सिद्धांत को पारंपरिक स्वयंसिद्ध ''समुच्चय''  सिद्धांत के विकल्प के रूप में प्रस्तावित किया है। टोपोस सिद्धांत उस सिद्धांत के लिए विभिन्न विकल्पों की व्याख्या कर सकता है, जैसे कि निर्माणवाद, परिमित ''समुच्चय''  सिद्धांत और संगणनीय (कम्प्यूटेबल) ''समुच्चय''  सिद्धांत।<ref>{{citation|last1=Ferro|first1=Alfredo|last2=Omodeo|first2=Eugenio G.|last3=Schwartz|first3=Jacob T.|date=September 1980|title=Decision Procedures for Elementary Sublanguages of Set Theory. I. Multi-Level Syllogistic and Some Extensions|journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]|volume=33|issue=5|pages=599–608|doi=10.1002/cpa.3160330503}}</ref><ref>{{citation|url=https://archive.org/details/computablesetthe00cant/page/|title=Computable Set Theory|last1=Cantone|first1=Domenico|last2=Ferro|first2=Alfredo|last3=Omodeo|first3=Eugenio G.|publisher=[[Clarendon Press]]|year=1989|isbn=0-198-53807-3|series=International Series of Monographs on Computer Science, Oxford Science Publications|location=Oxford, UK|pages=[https://archive.org/details/computablesetthe00cant/page/ xii, 347]|url-access=registration}}</ref> टोपोई भी जेडएफ से पसंद की स्वतंत्रता के लिए विवश करने और चर्चा के लिए एक प्राकृतिक स्थापना देता है, साथ ही साथ व्यर्थ सांस्थिति और पत्थर के स्थानों के लिए रूपरेखा प्रदान करता है।<ref>{{citation|title=Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory|last1=Mac Lane|first1=Saunders|last2=Moerdijk|first2=leke|publisher=Springer-Verlag|year=1992|isbn=978-0-387-97710-2|author-link=Saunders Mac Lane|url=https://books.google.com/books?id=SGwwDerbEowC}}</ref>


अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र एकतरफा नींव है और यह होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत से संबंधित है। होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत के भीतर, एक ''समुच्चय'' को होमोटॉपी 0-प्रकार के रूप में माना जा सकता है, जिसमें उच्च अपरिवर्तनीय प्रकारों के आगमनात्मक और पुनरावर्ती गुणों से उत्पन्न होने वाले सेट के सार्वभौमिक गुण हैं। पसंद के स्वयंसिद्ध और बहिष्कृत मध्य के कानून जैसे सिद्धांतों को ''समुच्चय''  सिद्धांत में शास्त्रीय सूत्रीकरण के अनुरूप या शायद सिद्धांत को मुद्रलेख (टाइप) करने के लिए विशिष्ट तरीकों के एक तरंग (स्पेक्ट्रम) में तैयार किया जा सकता है। इनमें से कुछ सिद्धांत अन्य सिद्धांतों का परिणाम साबित हो सकते हैं। इन स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के योगों (फॉर्मूलेशन) की विविधता विभिन्न गणितीय परिणामों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक योगों (फॉर्मूलेशन) के विस्तृत विश्लेषण के लिए अनुमति देती है।<ref>{{nlab|id=homotopy+type+theory|title=homotopy type theory}}</ref><ref>[http://homotopytypetheory.org/book/ ''Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics'']. The Univalent Foundations Program. [[Institute for Advanced Study]].</ref>
== गणितीय शिक्षा में सिद्धांत निर्धारित करें ==
== गणितीय शिक्षा में सिद्धांत निर्धारित करें ==
जैसा कि सेट थ्योरी ने आधुनिक गणित के लिए एक नींव के रूप में लोकप्रियता हासिल की है, गणित की शिक्षा में शुरुआती भोले सेट सिद्धांत की मूल बातें शुरू करने के विचार के लिए समर्थन किया गया है।
जैसा कि ''समुच्चय''  सिद्धांत ने आधुनिक गणित के लिए एक नींव के रूप में लोकप्रियता हासिल की है, गणित की शिक्षा में शुरुआती भोले ''समुच्चय'' सिद्धांत की मूल बातें प्रारम्भ करने के विचार का समर्थन किया गया है।


1960 के दशक में अमेरिका में, नए गणित प्रयोग का उद्देश्य प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए अन्य अमूर्त अवधारणाओं के बीच बुनियादी सेट सिद्धांत को पढ़ाना था, लेकिन बहुत आलोचना के साथ मिला था।यूरोपीय स्कूलों में गणित के पाठ्यक्रम ने इस प्रवृत्ति का पालन किया, और वर्तमान में सभी ग्रेडों में विभिन्न स्तरों पर विषय शामिल है।वेन आरेखों को प्राथमिक स्कूल के छात्रों को बुनियादी सेट-सिद्धांत संबंधों को समझाने के लिए व्यापक रूप से नियोजित किया जाता है (भले ही जॉन वेन ने मूल रूप से उन्हें टर्म लॉजिक में अनुमानों की वैधता का आकलन करने के लिए एक प्रक्रिया के हिस्से के रूप में तैयार किया)।
1960 के दशक में अमेरिका में, नए गणित प्रयोग का उद्देश्य प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए अन्य अमूर्त अवधारणाओं के साथ बुनियादी ''समुच्चय''  सिद्धांत को पढ़ाना था, लेकिन इसकी बहुत आलोचना हुई। यूरोपीय विद्यालय में गणित के पाठ्यक्रम ने इस प्रवृत्ति का अनुसरण किया, और वर्तमान में सभी श्रेणी में विभिन्न स्तरों पर विषय सम्मिलितहै। प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को बुनियादी ''समुच्चय'' -सिद्धांत संबंधों को समझाने के लिए वेन आरेखों का व्यापक रूप सेउपयोग किया जाता है (भले ही जॉन वेन ने मूल रूप से उन्हें शब्द तर्क (टर्म लॉजिक) में अनुमानों की वैधता का आकलन करने के लिए एक प्रक्रिया के हिस्से के रूप में तैयार किया था)।


सेट थ्योरी का उपयोग छात्रों को तार्किक ऑपरेटरों (नहीं, और, या), और सिमेंटिक या नियम विवरण (तकनीकी रूप से अंतरंग परिभाषा (नहीं) के लिए किया जाता है<ref name="Ruda2011">{{cite book|author=Frank Ruda|title=Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right|url=https://books.google.com/books?id=VV0SBwAAQBAJ&pg=PA151|date=6 October 2011|publisher=Bloomsbury Publishing|isbn=978-1-4411-7413-0|page=151}}</ref>सेट्स के) (जैसे कि अक्षर ए से शुरू होने वाले महीने), जो कंप्यूटर प्रोग्रामिंग सीखते समय उपयोगी हो सकता है, क्योंकि बूलियन लॉजिक का उपयोग विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में किया जाता है।इसी तरह, सेट और अन्य संग्रह जैसी वस्तुएं, जैसे कि मल्टीसेट और सूचियाँ, कंप्यूटर विज्ञान और प्रोग्रामिंग में सामान्य डेटाटाइप हैं।
''समुच्चय'' सिद्धांत का उपयोग छात्रों को तार्किक प्रचालक (ऑपरेटरों) (नहीं, और, या), और अर्थ (सिमेंटिक) या नियम विवरण (तकनीकी रूप से गहन परिभाषा (नहीं)से परिचित कराने  के लिए किया जाता है<ref name="Ruda2011">{{cite book|author=Frank Ruda|title=Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right|url=https://books.google.com/books?id=VV0SBwAAQBAJ&pg=PA151|date=6 October 2011|publisher=Bloomsbury Publishing|isbn=978-1-4411-7413-0|page=151}}</ref> (जैसे कि अक्षर ए से प्रारम्भ होने वाले महीने), जो संगणक कार्यक्रम (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) सीखते समय उपयोगी हो सकता है, क्योंकि बूलियन लॉजिक का उपयोग विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में किया जाता है।इसी तरह, ''समुच्चय (सेट)'' और अन्य संग्रह जैसी वस्तुएं, जैसे कि बहु ''समुच्चय''  और सूचियाँ, संगणक  विज्ञान और प्रोग्रामिंग में सामान्य तथ्य प्रकार (डेटाटाइप)  हैं।


इसके अलावा, सेट को आमतौर पर गणितीय शिक्षण में संदर्भित किया जाता है जब विभिन्न प्रकार के नंबरों के बारे में बात करते हैं ({{math|[[Natural number|'''N''']]}}, {{math|[[Integer|'''Z''']]}}, {{math|[[Real number|'''R''']]}}, ...), और जब एक सेट (डोमेन) से दूसरे सेट (रेंज) से संबंध के रूप में गणितीय फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।
इसके अलावा, ''समुच्चय''  को सामान्यतः गणितीय शिक्षण में संदर्भित किया जाता है जब विभिन्न प्रकार के नंबरों के बारे में बात करते हैं ({{math|[[Natural number|'''N''']]}}, {{math|[[Integer|'''Z''']]}}, {{math|[[Real number|'''R''']]}}, ...), और जब एक ''समुच्चय''  (डोमेन) से दूसरे ''समुच्चय''  (रेंज) से संबंध के रूप में गणितीय कार्य (फ़ंक्शन) को परिभाषित करते हैं।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
{{Portal|Mathematics}}
{{Portal|Mathematics}}
* सेट थ्योरी की शब्दावली
* ''समुच्चय''  सिद्धांत की शब्दावली
* वर्ग (सेट सिद्धांत)
* वर्ग ''समुच्चय''  सिद्धांत
* सेट सिद्धांत विषयों की सूची
* ''समुच्चय''  सिद्धांत विषयों की सूची
* संबंधपरक मॉडल & nbsp; - सेट थ्योरी से उधार
* संबंधपरक प्रतिरूप  - ''समुच्चय''  सिद्धांत  से उधार
* वेन आरेख
* वेन आरेख


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
{{NoteFoot}}
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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
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*{{citation|last1=Smullyan|first1=Raymond M.|author-link=Raymond Smullyan|last2=Fitting|first2=Melvin|isbn=978-0-486-47484-7|publisher=[[Dover Publications]]|title=Set Theory And The Continuum Problem|year=2010}}
*{{citation|last1=Smullyan|first1=Raymond M.|author-link=Raymond Smullyan|last2=Fitting|first2=Melvin|isbn=978-0-486-47484-7|publisher=[[Dover Publications]]|title=Set Theory And The Continuum Problem|year=2010}}
*{{citation|last=Tiles|first=Mary|author-link=Mary Tiles|isbn=978-0-486-43520-6|publisher=[[Dover Publications]]|title=The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise|url=https://books.google.com/books?id=02ASV8VB4gYC|year=2004}}
*{{citation|last=Tiles|first=Mary|author-link=Mary Tiles|isbn=978-0-486-43520-6|publisher=[[Dover Publications]]|title=The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise|url=https://books.google.com/books?id=02ASV8VB4gYC|year=2004}}


==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
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{{Wikibooks|Discrete mathematics/Set theory}}
* Daniel Cunningham, [http://www.iep.utm.edu/set-theo/ Set Theory] article in the ''[[Internet Encyclopedia of Philosophy]]''.
* Daniel Cunningham, [http://www.iep.utm.edu/set-theo/ Set Theory] article in the ''[[Internet Encyclopedia of Philosophy]]''.
* Jose Ferreiros, [https://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/ The Early Development of Set Theory] article in the ''[Stanford Encyclopedia of Philosophy]''.
* Jose Ferreiros, [https://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/ The Early Development of Set Theory] article in the ''[Stanford Encyclopedia of Philosophy]''.
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Latest revision as of 12:28, 27 October 2023

This article is about the branch of mathematics. For other uses, see समुच्चय सिद्धान्त (disambiguation).
एक वेन आरेख दो सेटों के चौराहे को दर्शाता है
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समुच्चय (सेट) सिद्धांत गणितीय तर्क की वह शाखा है जो अध्ययन समुच्चय करती है, जिसे अनौपचारिक रूप से वस्तुओं के संग्रह के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यद्यपि किसी भी प्रकार की वस्तुओं को एक समुच्चय में एकत्र किया जा सकता है,समुच्चय सिद्धांत, गणित की एक शाखा के रूप में, ज्यादातर उन लोगों से संबंधित है जो समग्र रूप से गणित के लिए प्रासंगिक हैं।

1870 के दशक में जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर द्वारा समुच्चय सिद्धांत का आधुनिक अध्ययन प्रारम्भ किया गया था। विशेष रूप से, जॉर्ज कैंटर को सामान्यतः समुच्चय सिद्धांत का संस्थापक माना जाता है। इस प्रारंभिक चरण के दौरान जांच की गई गैर-स्वरूपित प्रणालियों को भोले समुच्चय सिद्धांत के नाम से जाना जाता है। भोले समुच्चय सिद्धांत (जैसे कि रसेल के विरोधाभास, कैंटर के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास) के भीतर विरोधाभासों की खोज के बाद, बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में विभिन्न स्वयंसिद्ध प्रणालियों का प्रस्ताव किया गया था, जिनमें से ज़रमेलो-फ्रेनकेल समुच्चय सिद्धांत (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या बिना) निर्धारित किया था अभी भी सबसे प्रसिद्ध और सबसे अधिक अध्ययन किया गया है।

समुच्चय सिद्धांत को सामान्यतः पूरे गणित के लिए एक मूलभूत प्रणाली के रूप में नियोजित किया जाता है, विशेष रूप से ज़रमेलो -फ्रेनकेल समुच्चय सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ।[1] इसकी मूलभूत भूमिका के अलावा, समुच्चय सिद्धांत भी अनंत के एक गणितीय सिद्धांत को विकसित करने के लिए रूपरेखा प्रदान करता है, और संगणक (कंप्यूटर) विज्ञान (जैसे कि संबंधपरक बीजगणित के सिद्धांत में), दर्शन और औपचारिक अर्थशास्त्र में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। इसकी मूलभूत प्रार्थना, इसके विरोधाभासों के साथ, अनंत की अवधारणा और इसके कई अनुप्रयोगों के लिए इसके निहितार्थ, ने सिद्धांत को गणित के तर्कशास्त्रियों (लॉजिशियन) और दार्शनिकों के लिए प्रमुख रुचि का एक क्षेत्र बना दिया है। समुच्चय सिद्धांत में समकालीन शोध में विषयों की एक विशाल सरणी सम्मिलितहै, जिसमें वास्तविक संख्या रेखा की संरचना से लेकर बड़े आधारभूत (कार्डिनल्स) की स्थिरता के अध्ययन तक के विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला सम्मिलितहै।

इतिहास

जॉर्ज कैंटर

गणितीय विषय सामान्यतः कई शोधकर्ताओं के बीच बातचीत के माध्यम से उभरते और विकसित होते हैं। समुच्चय सिद्धांत, हालांकि, 1874 में जॉर्ज कैंटर द्वारा एक एकल लेख द्वारा स्थापित किया गया था: "सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं के संग्रह की एक संपत्ति पर।"[2][3]

5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व से, पश्चिम में एलेया के ग्रीक गणितज्ञ ज़ेनो के साथ और पूर्व में प्रारंभिक भारतीय गणितज्ञों के साथ शुरुआत करते हुए, गणितज्ञों ने अनंत की अवधारणा के साथ संघर्ष किया था। 19वीं सदी के पूर्वार्द्ध में बर्नार्ड बोलजानो का काम विशेष रूप से उल्लेखनीय है।[4] अनंत की आधुनिक समझ 1870-1874 में प्रारम्भ हुई, और वास्तविक विश्लेषण में कैंटर के काम से प्रेरित थी।[5] कैंटर और रिचर्ड डेडेकिंड के बीच 1872 की एक बैठक ने कैंटर की सोच को प्रभावित किया, और कैंटर के 1874 लेख में इसका समापन हुआ।

कैंटर के काम ने प्रारम्भ में अपने समय के गणितज्ञों का ध्रुवीकरण किया। जबकि कार्ल वेयरस्ट्रास और डेडेकिंड ने कैंटर का समर्थन किया, लियोपोल्ड क्रोनकर, जिसे अब गणितीय रचनावाद के संस्थापक के रूप में देखा गया था, ने नहीं किया। कैंटोरियन समुच्चय सिद्धांत अंततः व्यापक हो गया, कैंटोरियन अवधारणाओं की उपयोगिता के कारण, जैसे कि समुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार, उनका प्रमाण है कि पूर्णांक की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं हैं, और सत्ता से उत्पन्न होने वाली "अनंत की अनंतता" (कैंटर का स्वर्ग) संचालन समुच्चय करें। समुच्चय सिद्धांत की इस उपयोगिता ने लेख मेंगेनलेहेरे के लिए नेतृत्व किया, 1898 में आर्थर शॉनफ्लिस द्वारा क्लेन के विश्वकोश (एनसाइक्लोपीडिया) में योगदान दिया।

समुच्चय सिद्धांत में उत्साह की अगली लहर 1900 के आसपास आई, जब यह पता चला कि कैंटोरियन समुच्चय सिद्धांत की कुछ व्याख्याओं ने कई विरोधाभासों को जन्म दिया, जिसे अधिकार-विरोध (एंटिनोमी) या विरोधाभास कहा जाता है। बर्ट्रेंड रसेल और अर्नस्ट ज़रमेलो ने स्वतंत्र रूप से सबसे सरल और सबसे प्रसिद्ध विरोधाभास पाया, जिसे अब रसेल का विरोधाभास कहा जाता है: "उन सभी समुच्चयों के समुच्चय पर विचार करें जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं", जो एक विरोधाभास की ओर जाता है क्योंकि यह स्वयं का सदस्य होना चाहिए और कोई सदस्य नहीं होना चाहिए। 1899 में, कैंटर ने खुद सवाल उठाया था कि सभी समुच्चयों के समुच्चय का कार्डिनल नंबर क्या है? , और एक संबंधित विरोधाभास प्राप्त किया। रसेल ने 1903 में अपने गणित के सिद्धांतों में महाद्वीपीय गणित की समीक्षा में अपने विरोधाभास को एक विषय के रूप में इस्तेमाल किया। समुच्चय शब्द के बजाय, रसेल ने वर्ग शब्द का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में तकनीकी रूप से अधिक इस्तेमाल किया गया।

1906 में, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस द्वारा प्रकाशित पति और पत्नी विलियम हेनरी यंग और ग्रेस चिशोल्म यंग की पुस्तक थ्योरी ऑफ़ सेट्स ऑफ़ पॉइंट्स[6] में सेट शब्द दिखाई दिया।

समुच्चय सिद्धांत की गति ऐसी थी कि विरोधाभासों पर बहस ने इसके परित्याग को जन्म नहीं दिया।1908 में ज़र्मेलो का काम और 1922 में अब्राहम फ्रेंकेल और थोरलफ स्कोलेम के काम के परिणामस्वरूप स्वयंसिद्ध जेडएफसी का समुच्चय बन गया, जो समुच्चय सिद्धांत के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला समुच्चय बन गया। विश्लेषकों का काम, जैसे कि हेनरी लेबेसग ने, समुच्चय सिद्धांत की महान गणितीय उपयोगिता का प्रदर्शन किया, जो तब से आधुनिक गणित के ताने-बाने में बुना गया है। समुच्चय सिद्धांत का उपयोग सामान्यतः एक मूलभूत प्रणाली के रूप में किया जाता है, हालांकि कुछ क्षेत्रों में - जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय सांस्थिति (टोपोलॉजी) -श्रेणी सिद्धांत को एक पसंदीदा आधार माना जाता है।

बुनियादी अवधारणाएं और संकेतन

Main articles: समुच्चय (गणित) and समुच्चयों के बीजगणित

समुच्चय सिद्धांत एक वस्तु o और समुच्चय A के बीच एक मौलिक द्विआधारी संबंध से प्रारम्भ होता है। यदि o का एक सदस्य (या तत्व) है A, संकेतन o ∈ A उपयोग किया जाता है। एक समुच्चय को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए तत्वों को सूचीबद्ध करके, या इसके तत्वों की एक विशेषता संपत्ति द्वारा, ब्रेसिज़ {} के भीतर वर्णित किया जाता है।[7] चूंकि समुच्चय वस्तुएँ हैं, इसलिए सदस्यता संबंध समुच्चयों से भी संबंधित हो सकता है।

दो सेटों के बीच एक व्युत्पन्न द्विआधारी संबंध उपसमुच्चय (सबसेट) संबंध है, जिसे समुच्चय समावेशन भी कहा जाता है। यदि समुच्चय A के सभी सदस्य भी समुच्चय B के सदस्य हैं , तो A, B का एक उपसमुच्चय है, जिसे A ⊆ B निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, {1, 2} {1, 2, 3} का उपसमुच्चय है, और ऐसे ही {2} लेकिन {1, 4} नहीं है। जैसा कि इस परिभाषा से निहित है, एक समुच्चय स्वयं का एक उपसमुच्चय है। ऐसे मामलों के लिए जहां यह संभावना अनुपयुक्त है या उन्हें अस्वीकार करने के लिए समझ में आता है, उचित उपसमुच्चय (सबसेट) शब्द को परिभाषित किया गया है। A को B का उचित उपसमुच्चय कहा जाता है यदि और केवल यदि A, B का उपसमुच्चय है, लेकिन A, B के बराबर नहीं है। साथ ही, 1, 2, और 3 समुच्चय {1, 2, 3} के सदस्य (तत्व) हैं, लेकिन इसके उपसमुच्चय नहीं हैं;और बदले में,उपसमुच्चय , जैसे {1}, समुच्चय {1, 2, 3} के सदस्य नहीं हैं।

जिस तरह अंकगणित संख्याओं पर द्विचर (बाइनरी) ऑपरेशन की सुविधा देता है, उसी तरह समुच्चय सिद्धांत में समूह पर द्विचर ऑपरेशन होते हैं।[8] उनमें से एक आंशिक सूची निम्नलिखित है:

  • सेट का संघ A तथा B, निरूपित A ∪ B, उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो एक सदस्य हैं A, या B, अथवा दोनों।[9] उदाहरण के लिए, संघ {1, 2, 3} तथा {2, 3, 4} समुच्चय {1, 2, 3, 4} है।
  • समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन, निरूपित A ∩ B, उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो A तथा B दोनों के सदस्य हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदन का {1, 2, 3} तथा {2, 3, 4} समुच्चय है {2, 3}।
  • U और A का समुच्चय अंतर, जिसे U \ A कहा जाता है, U के उन सभी सदस्यों का समुच्चय है जो A के सदस्य नहीं हैं। निर्धारित अंतर {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} है{1}, जबकि इसके विपरीत, निर्धारित अंतर {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} है {4}।जब A, U का एक उपसमुच्चय है, तो समुच्चय अंतर U\ A को U में A का पूरक भी कहा जाता है। इस मामले में, यदि U का विकल्प संदर्भ से स्पष्ट है, तो कभी-कभी U \ A के बजाय संकेतन Ac का उपयोग किया जाता है , खासकर अगर U वेन आरेखों के अध्ययन में एक सार्वभौमिक समुच्चय है।
  • सेट का सममित अंतर A तथा B, निरूपित A △ B या A ⊖ B, उन सभी वस्तुओं का सेट है जो बिल्कुल एक के सदस्य हैं A तथा B (तत्व जो सेट में से एक में हैं, लेकिन दोनों में नहीं)। उदाहरण के लिए, समुच्चय {1, 2, 3} तथा {2, 3, 4}, सममित अंतर समुच्चय है {1, 4}। यह संघ और चौराहे का निर्धारित अंतर है, (A ∪ B) \ (A ∩ B) या (A \ B) ∪ (B \ A)।
  • कार्टेशियन उत्पाद A तथा B, निरूपित A × B, वह समुच्चय है जिसके सदस्य सभी संभव ऑर्डर किए गए जोड़े हैं (a, b), जहां पे a का सदस्य है A तथा b का सदस्य है B। उदाहरण के लिए, कार्टेशियन उत्पाद {1, 2} and {लाल, सफेद} is {(1, लाल), (1, सफेद), (2, लाल), (2, सफेद)}.
  • एक समुच्चय का पावर समुच्चय A, निरूपित , वह समुच्चय है जिसके सदस्य A के सभी संभावित उपसमुच्चय हैं । उदाहरण के लिए, का पावर सेट {1, 2} है { {}, {1}, {2}, {1, 2} }।

केंद्रीय महत्व के कुछ बुनियादी समुच्चय (सेट) प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय (सेट) हैं, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और खाली समुच्चय - अद्वितीय समुच्चय जिसमें कोई तत्व नहीं है। खाली समुच्चय को कभी -कभी शून्य (नल) समुच्चय भी कहा जाता है,[10] हालांकि यह नाम अस्पष्ट है और इसकी कई व्याख्याएं हो सकती हैं।

सत्व शास्त्र (आंटलजी)

Main article: वान न्युमन
वॉन न्यूमैन पदानुक्रम का एक प्रारंभिक खंड

एक समुच्चय शुद्ध है यदि उसके सभी सदस्य समुच्चय हैं, तो उसके सभी सदस्यों के सदस्य तैयार हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय {{}} केवल खाली समुच्चय युक्त एक गैर -शुद्ध शुद्ध समुच्चय है। आधुनिक समुच्चय सिद्धांत में, शुद्ध समुच्चयों के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड पर ध्यान देना आम बात है, और स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के कई प्रणालियों को केवल शुद्ध समुच्चयों को स्वयंसिद्ध करने के लिए बनावट किया गया है।इस प्रतिबंध के कई तकनीकी लाभ हैं, और थोड़ी व्यापकता खो जाती है, क्योंकि अनिवार्य रूप से सभी गणितीय अवधारणाओं को शुद्ध समुच्चय द्वारा तैयार किया जा सकता है। वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में समुच्चय एक संचयी पदानुक्रम में आयोजित किए जाते हैं, इस आधार पर कि उनके सदस्य, सदस्यों के सदस्य आदि कितनी गहराई से स्थिर करते हैं। इस पदानुक्रम में प्रत्येक समुच्चय को (ट्रांसफ़िनाइट रिकर्सेशन द्वारा) एक ऑर्डिनल नंबर सौंपा गया है , इसके पद के रूप में जाना जाता है। एक शुद्ध समुच्चय का पद सबसे कम क्रमिक रूप से परिभाषित किया गया है जो इसके किसी भी तत्व के पद से अधिक है। उदाहरण के लिए, खाली समुच्चय को रैंक 0 सौंपा गया है, जबकि समुच्चय {{}} केवल खाली समुच्चय युक्त पद 1 को सौंपा गया है। प्रत्येक अध्यादेश के लिए , समुच्चय से कम रैंक के साथ सभी शुद्ध समुच्चयों से मिलकर परिभाषित किया गया है ।पूरे वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को निरूपित किया है ।

औपचारिक समुच्चय सिद्धांत

प्राथमिक समुच्चय सिद्धांत को अनौपचारिक और सहज रूप से अध्ययन किया जा सकता है, और इसलिए प्राथमिक विद्यालयों में वेन आरेखों का उपयोग करके पढ़ाया जा सकता है। सहज ज्ञान युक्त दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से मानता है कि किसी विशेष परिभाषित स्थिति को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तुओं के वर्ग से एक समुच्चय बन सकता है। यह धारणा विरोधाभासों को जन्म देती है, सबसे सरल और सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है, जो रसेल के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास हैं। स्वयंसिद्ध समुच्चय (सेट) सिद्धांत मूल रूप से इस तरह के विरोधाभासों के समुच्चय सिद्धांत से छुटकारा पाने के लिए तैयार किया गया था।[note 1]

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए प्रणाली का अर्थ है कि सभी समुच्चय एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं। इस तरह की प्रणालियाँ दो स्वादों में आती हैं, जिनके सत्व शास्त्र (ऑन्कोलॉजी) में सम्मिलितहैं:

  • अकेले समुच्चय । इसमें सबसे आम स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत सम्मिलितहै। 'जेडएफसी' के अंशों में सम्मिलितहैं:
    • ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत, जो पृथक्करण के साथ प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना को प्रतिस्थापित करता है;
    • सामान्य समुच्चय सिद्धांत, पीनो एंसिओम्स और परिमित समुच्चयों के लिए ज़रमेलो समुच्चय सिद्धांत का एक छोटा सा टुकड़ा;
    • क्रिपके-प्लेटेक समुच्चय सिद्धांत, जो अनंत, शक्तियों और पसंद के सिद्धांतों को छोड़ देता है, और अलगाव और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना को कमजोर करता है।
  • समुच्चय और उचित कक्षाएं। इनमें वॉन न्यूमैन -बेरनेज़ -गोडेल समुच्चय सिद्धांत सम्मिलितहैं, जिसमें अकेले समुच्चय के बारे में प्रमेय के लिए जेडएफसी के रूप में एक ही ताकत है, और मोर्स -केली समुच्चय सिद्धांत और टार्स्की -ग्रोथेन्डिएक समुच्चय सिद्धांत, दोनों जेडएफसी से अधिक मजबूत हैं।

उपरोक्त प्रणालियों को मूल तत्व (यूरेलेमेंट्स), वस्तुओं की अनुमति देने के लिए संशोधित किया जा सकता है जो समुच्चय के सदस्य हो सकते हैं लेकिन यह स्वयं समुच्चय नहीं हैं और उनके पास कोई सदस्य नहीं है।

'एनएफयू' की नई नींव प्रणाली (यूरेलमेंट्स की अनुमति) और 'एनएफ' (उनकी कमी) एक संचयी पदानुक्रम पर आधारित नहीं हैं। एनएफ और एनएफयू में हर चीज का एक समुच्चय सम्मिलितहै, जिसके सापेक्ष प्रत्येक समुच्चय का पूरक है। इन प्रणालियों में मूल तत्व मायने रखता है, क्योंकि एनएफ, लेकिन एनएफयू नहीं, ऐसे समुच्चय का उत्पादन करता है जिसके लिए पसंद का स्वयंसिद्ध नहीं होता है। एनएफ की सत्व शास्त्र पारंपरिक संचयी पदानुक्रम को प्रतिबिंबित नहीं करने और अच्छी तरह से स्थापितता का उल्लंघन करने के बावजूद, थॉमस फोर्स्टर ने तर्क दिया है कि यह समुच्चय के एक पुनरावृत्ति अवधारणा को दर्शाता है।[11]

सीएसटी, सीजेडएफ, और आईजेडएफ जैसे रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत के व्यवस्था, शास्त्रीय तर्क के बजाय अंतर्ज्ञानवादी में अपने समुच्चय स्वयंसिद्ध को अंतर्निहित करते हैं। फिर भी अन्य प्रणालियां शास्त्रीय तर्क को स्वीकार करती हैं, लेकिन एक गैर -मानक सदस्यता संबंध पेश करती हैं। इनमें रूखा (रफ) समुच्चय सिद्धांत और फजी समुच्चय सिद्धांत सम्मिलितहैं, जिसमें सदस्यता संबंध को मूर्त रूप देने वाले परमाणु सूत्र का मूल्य केवल सही या गलत नहीं है। जेडएफसी के बूलियन-मूल्यवान नमूना एक संबंधित विषय हैं।

1977 में एडवर्ड नेल्सन द्वारा आंतरिक समुच्चय सिद्धांत नामक जेडएफसी का एक संवर्धन प्रस्तावित किया गया था।

अनुप्रयोग

कई गणितीय अवधारणाओं को केवल समुच्चय सैद्धांतिक (थियोरेटिक0 अवधारणाओं का उपयोग करके सटीक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लेखाचित्र (ग्राफ़), विविध (मैनिफोल्ड्स), वृत्त (रिंग), वेक्टर रिक्त स्थान और संबंधपरक बीजगणित के रूप में विविध गणितीय संरचनाएं सभी को विभिन्न (स्वयंसिद्ध) गुणों को संतुष्ट करने वाले समुच्चय के रूप में परिभाषित की जा सकती हैं।समतुल्यता और आदेश संबंध गणित में सर्वव्यापी हैं, और गणितीय संबंधों के सिद्धांत को समुच्चय सिद्धांत में वर्णित किया जा सकता है।

समुच्चय (सेट) सिद्धांत गणित के लिए एक आशाजनक आधारभूत प्रणाली भी है। प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के पहले खंड के प्रकाशन के बाद से, यह दावा किया गया है कि अधिकांश (या सभी) गणितीय प्रमेयों को समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के एक उपयुक्त रूप से डिज़ाइन किए गए समुच्चय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जो पहले या दूसरे क्रम के तर्क का उपयोग करके कई परिभाषाओं के साथ संवर्धित है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक और वास्तविक संख्याओं के गुणों को समुच्चय सिद्धांत के भीतर प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक संख्या प्रणाली को एक उपयुक्त तुल्यता संबंध के तहत तुल्यता वर्गों के एक समुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है जिसका क्षेत्र कुछ अनंत समुच्चय है।

गणितीय विश्लेषण, सांस्थिति, अमूर्त बीजगणित और असतत गणित के लिए एक नींव के रूप में सिद्धांत निर्धारित करें, वैसे ही विवादास्पद है; गणितज्ञ स्वीकार करते हैं (सिद्धांत रूप में) कि इन क्षेत्रों में प्रमेय प्रासंगिक परिभाषाओं और समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं। हालांकि, यह बना हुआ है कि समुच्चय सिद्धांत से जटिल गणितीय प्रमेयों के कुछ पूर्ण व्युत्पन्न को औपचारिक रूप से सत्यापित किया गया है, क्योंकि इस तरह के औपचारिक व्युत्पन्न प्रायः प्राकृतिक भाषा प्रमाण गणितज्ञों की तुलना में अधिक लंबे होते हैं जो सामान्यतः मौजूद होते हैं। एक सत्यापन परियोजना, मेटागणित में जेडएफसी समुच्चय सिद्धांत, प्रथम-क्रम तर्क और प्रस्ताव तर्क से प्रारम्भ होने वाले 12,000 से अधिक प्रमेयों के मानव-लिखित, संगणक-सत्यापित व्युत्पन्न सम्मिलितहैं।

अध्ययन के क्षेत्र

समुच्चय सिद्धांत गणित में अनुसंधान का एक प्रमुख क्षेत्र है, जिसमें कई परस्पर संबंधित उप -क्षेत्र हैं।

मिश्रित समुच्चय सिद्धांत (कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी)

Main article: इन्फिनिटरी क्रमचय-संचय

मिश्रित समुच्चय सिद्धांत (कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी) अनंत समुच्चयों के लिए परिमित साहचर्य (कॉम्बीनेटरिक्स) के विस्तार (एक्सटेंशन) की चिंता करता है। इसमें कार्डिनल अंकगणित का अध्ययन और रामसे के प्रमेय के विस्तार का अध्ययन जैसे एर्ड -रादो प्रमेय सम्मिलितहै।

वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत

Main article: वर्णनात्मक तर्क सिद्धांत

वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत वास्तविक रेखा के उपसमुच्चय का अध्ययन है और, अधिक सामान्यतः पोलिश रिक्त स्थान के उपसमुच्चय । यह बोरेल पदानुक्रम में बिंदु वर्गों (पॉइंटक्लास) के अध्ययन के साथ प्रारम्भ होता है और प्रक्षेप्य पदानुक्रम और वाडगे पदानुक्रम जैसे अधिक जटिल पदानुक्रमों के अध्ययन तक विस्तारित होता है। बोरेल समुच्चय के कई गुणों को जेडएफसी में स्थापित किया जा सकता है, लेकिन अधिक जटिल समुच्चयों के लिए इन गुणों को साबित करने के लिए नियुक्ति और बड़े कार्डिनल्स से संबंधित अतिरिक्त स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है।

प्रभावी वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत का क्षेत्र समुच्चय सिद्धांत और पुनरावृत्ति सिद्धांत के बीच है। इसमें लाइटफेस पॉइंटक्लास का अध्ययन सम्मिलितहै, और अति अंकगणितीय (हाइपरएरिथिक) सिद्धांत से निकटता से संबंधित है। कई मामलों में, शास्त्रीय वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत के परिणामों में प्रभावी संस्करण हैं; कुछ मामलों में, नए परिणाम पहले प्रभावी संस्करण को साबित करके प्राप्त किए जाते हैं और फिर इसे और अधिक व्यापक रूप से लागू करने के लिए सापेक्ष (रिलेटिवाइज़िंग) का विस्तार किया जाता है।

अनुसंधान का एक हालिया क्षेत्र बोरेल तुल्यता संबंधों और अधिक जटिल निश्चित समतुल्यता संबंधों की चिंता करता है। यह गणित के कई क्षेत्रों में अपरिवर्तनीयों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

धुंधला समुच्चय सिद्धांत (फजी सेट थ्योरी)

Main article: फुज्जी समुच्चय सिद्धांत

समुच्चय सिद्धांत (सेट थ्योरी) में जैसा कि कैंटर ने परिभाषित किया और ज़र्मेलो और फ्रेंकेल ने स्वयंसिद्ध किया, एक वस्तु या तो एक समुच्चय (सेट) का सदस्य है या नहीं। धुंधला समुच्चय सिद्धांत (फजी सेट थ्योरी) में इस स्थिति को लोटफी ए ज़ादेह द्वारा शिथिल किया गया था, इसलिए एक वस्तु में एक समुच्चय (सेट) में सदस्यता की डिग्री होती है, 0 और 1 के बीच की संख्या। उदाहरण के लिए, लम्बे लोगों के समुच्चय (सेट) में एक व्यक्ति की सदस्यता की उपाधि सरल हां या ना में उत्तर की तुलना में अधिक लचीला है और 0.75 जैसी वास्तविक संख्या हो सकती है।

आंतरिक प्रतिरूप सिद्धांत (इनर मॉडल थ्योरी)

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफ) का एक आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) एक सकर्मक वर्ग है जिसमें सभी गणनसंख्या (ऑर्डिनल) सम्मिलितहैं और जेडएफ के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। विहित (कैनोनिकल) उदाहरण गोडेल द्वारा विकसित रचनात्मक ब्रह्मांड एल है। एक कारण यह है कि आंतरिक प्रतिरूप का अध्ययन रुचि का है कि इसका उपयोग निरंतरता परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि जेडएफ का एक प्रतिरूप V, सातत्य परिकल्पना या पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, मूल प्रतिरूप के अंदर निर्मित आंतरिक प्रतिरूप L सामान्यीकृत निरंतरता परिकल्पना और पसंद के स्वयंसिद्ध दोनों को संतुष्ट करेगा। इस प्रकार यह धारणा कि जेडएफ सुसंगत है (कम से कम एक प्रतिरूप है) का अर्थ है कि जेडएफ इन दो सिद्धांतों के साथ मिलकर सुसंगत है।

नियति और बड़े गणनसंख्या के अध्ययन में आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) का अध्ययन आम है, खासकर जब स्वयंसिद्धता के स्वयंसिद्ध जैसे स्वयंसिद्धों पर विचार करते हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध का खंडन करते हैं। यहां तक ​​कि अगर समुच्चय सिद्धांत का एक निश्चित प्रतिरूप पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, यह संभव है कि एक आंतरिक प्रतिरूप पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने में विफल हो। उदाहरण के लिए, पर्याप्त रूप से बड़े गणनसंख्या के अस्तित्व का तात्पर्य है कि एक आंतरिक प्रतिरूप है जो नियतता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है (और इस प्रकार पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।[12]

बड़े गणनसंख्या

Main article: लार्ज कार्डिनल प्रॉपर्टी

एक बड़ा गणनसंख्या एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक गणनसंख्या नंबर है। इस तरह के कई गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिसमें दुर्गम गणनसंख्या, औसत दर्जे का गणनसंख्या और कई और सम्मिलितहैं।ये गुण सामान्यतः इंगित करते हैं कि गणनसंख्या संख्या बहुत बड़ी होनी चाहिए, जिसमें गणनसंख्या के अस्तित्व के साथ ज़रमेलो -फ्रेनकेल समुच्चय सिद्धांत में निर्दिष्ट संपत्ति के साथ अप्राप्य है।

निर्धारण

Main article: नियति

निर्धारण इस तथ्य को संदर्भित करता है कि,उपयुक्त मान्यताओं के तहत, सही जानकारी के कुछ दो-खिलाड़ी खेल इस अर्थ में प्रारम्भ से निर्धारित किए जाते हैं कि एक खिलाड़ी के पास एक जीतने की रणनीति होनी चाहिए। वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में इन रणनीतियों के अस्तित्व के महत्वपूर्ण परिणाम हैं, क्योंकि यह धारणा कि खेलों का एक व्यापक वर्ग निर्धारित किया जाता है, प्रायः इसका अर्थ है कि समुच्चय के एक व्यापक वर्ग में एक संस्थानिक (टोपोलॉजिकल) संपत्ति होगी। निर्धारण (एडी) का स्वयंसिद्ध अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है;यद्यपि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ असंगत, एडी का तात्पर्य है कि वास्तविक रेखा के सभी उपसमुच्चय अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं (विशेष रूप से, मापने योग्य और पूर्ण समुच्चय संपत्ति के साथ)। एडी का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि वैज उपाधि में एक सुरुचिपूर्ण संरचना है।

प्रणोदन

Main article: फोर्सिंग (गणित)

पॉल कोहेन ने जेडएफसी के एक प्रतिरूप की खोज करते हुए विवश करने की विधि का आविष्कार किया, जिसमें निरंतरता परिकल्पना विफल हो जाती है, या जेडएफ का एक प्रतिरूप जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध विफल हो जाता है। निर्माण और मूल प्रतिरूप द्वारा निर्धारित गुणों (यानी प्रणोदन) के साथ एक बड़ा प्रतिरूप बनाने के लिए समुच्चय सिद्धांत अतिरिक्त समुच्चय के कुछ दिए गए प्रतिरूप के अतिरिक्त समुच्चय को विवश करना। उदाहरण के लिए, कोहेन का निर्माण मूल प्रतिरूप के किसी भी गणनसंख्या संख्या को बदलने के बिना प्राकृतिक संख्याओं के अतिरिक्त उपसमुच्चय को जोड़ता है। प्रणोदन (फोर्सिंग) भी परिमित तरीकों से सापेक्ष स्थिरता साबित करने के लिए दो तरीकों में से एक है, दूसरी विधि बूलियन-मूल्यवान प्रतिरूप है।

गणनसंख्या अपरिवर्तनशीलताओं (कार्डिनल इनवेरिएंट्स)

एक गणनसंख्या अपरिवर्तनीय एक गणनसंख्या नंबर द्वारा मापी गई वास्तविक रेखा का गुण है। उदाहरण के लिए, एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया अपरिवर्तनीय वास्तविक के अल्प समुच्चय के संग्रह का सबसे छोटा गणनसंख्या है, जिसका मिलन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। ये इस अर्थ में अपरिवर्तनीय हैं कि समुच्चय सिद्धांत के किसी भी दो समरूपी (आइसोमॉर्फिक) प्रतिरूप को प्रत्येक अपरिवर्तनीय के लिए एक ही गणनसंख्या देना चाहिए। कई गणनसंख्या अपरिवर्तनीय (इनवेरिएंट्स) का अध्ययन किया गया है, और उनके बीच संबंध प्रायः जटिल होते हैं औरसमुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से संबंधित होते हैं।

समुच्चय -सिद्धांतिक सांस्थिति

समुच्चय -सिद्धांतिक सांस्थिति सामान्य सांस्थिति के प्रश्नों का अध्ययन करती है जो प्रकृति में समुच्चय -सिद्धांतीय हैं या जिनके समाधान के लिए समुच्चय सिद्धांत के उन्नत तरीकों की आवश्यकता होती है। इनमें से कई प्रमेय जेडएफसी से स्वतंत्र हैं, उनके प्रमाण के लिए मजबूत स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है। एक प्रसिद्ध समस्या सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न है, सामान्य सांस्थिति में एक प्रश्न जो गहन अनुसंधान का विषय था। सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न का उत्तर अंततः जेडएफसी से स्वतंत्र साबित हुआ।

सिद्धांत स्थापित करने पर आपत्ति

समुच्चय सिद्धांत की स्थापना से ही, कुछ गणितज्ञों ने गणित की नींव के रूप में इसका विरोध किया है। समुच्चय सिद्धांत के लिए सबसे आम आपत्ति, एक क्रोनकर ने समुच्चय सिद्धांत के शुरुआती वर्षों में आवाज उठाई, रचनात्मक दृष्टिकोण से प्रारम्भ होता है कि गणित की गणना से शिथिल रूप से संबंधित है। यदि यह दृश्य प्रदान किया जाता है, तो भोले और स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत दोनों में अनंत समुच्चयों का उपचार, गणित के तरीकों और वस्तुओं का परिचय देता है जो सिद्धांत रूप में भी गणना योग्य नहीं हैं। गणित के विकल्प के रूप में रचनावाद की व्यवहार्यता को इरेट बिशप की प्रभावशाली पुस्तक फाउंडेशन ऑफ कंस्ट्रक्टिव एनालिसिस द्वारा काफी बढ़ा दिया गया था।[13]

हेनरी पोइंकेरे द्वारा रखी गई एक अलग आपत्ति यह है कि विनिर्देश और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना का उपयोग करके समुच्चय को परिभाषित करना, साथ ही साथ शक्ति समुच्चय का स्वयंसिद्ध, गणितीय वस्तुओं की परिभाषाओं में अभेद्यता, एक प्रकार की वृत्ताकारता का परिचय देता है। अनुमानित रूप से स्थापित गणित की गुंजाइश, जबकि सामान्य रूप से स्वीकृत ज़रमेलो -फ्रेनकेल सिद्धांत की तुलना में कम है, रचनात्मक गणित की तुलना में बहुत अधिक है, इस बिंदु पर कि सोलोमन फफरमैन ने कहा है कि "वैज्ञानिक रूप से लागू सभी विश्लेषण विकसित किए जा सकते हैं [ विधेय का उपयोग करके तरीके]"।।[14]

लुडविग विट्गेन्स्टाइन ने गणितीय प्‍लैटोवाद (प्लैटोनिज्म) के अपने अर्थों के लिए दार्शनिक रूप से समुच्चय सिद्धांत की निंदा की।[15] उन्होंने लिखा है कि "समुच्चय सिद्धांत गलत है", क्योंकि यह काल्पनिक प्रतीकवाद की "बकवास" पर आधारित है, इसमें "खतरनाक मुहावरे" हैं, और यह "सभी संख्याओं" के बारे में बात करना निरर्थक है।[16] विट्गेन्स्टाइन ने कलन विधि (एल्गोरिथम) मानव कटौती के साथ साथ पहचाना;[17] गणित के लिए एक सुरक्षित नींव की आवश्यकता, उसे, निरर्थक लगती थी।[18] इसके अलावा, चूंकि मानव प्रयास आवश्यक रूप से परिमित है, विट्गेन्स्टाइन के दर्शन को कट्टरपंथी रचनावाद और परिमितता के लिए एक सत्तामूलक (ऑन्कोलॉजिकल) प्रतिबद्धता की आवश्यकता थी। मेटा-गणितीय (मैथेमेटिकल) कथन (स्टेटमेंट्स)-जो, विट्गेन्स्टाइन के लिए, अनंत डोमेन पर किसी भी कथन को सम्मिलितकरते हैं, और इस प्रकार लगभग सभी आधुनिक सेट सिद्धांत-गणित नहीं हैं।[19] कुछ आधुनिक दार्शनिकों ने गणित की नींव पर टिप्पणी में शानदार गड़बड़ी के बाद विट्गेन्स्टाइन के विचारों को अपनाया है: विट्गेन्स्टाइन ने केवल सार पढ़ने के बाद गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों का खंडन करने का प्रयास किया। समीक्षकों के रूप में क्रेसेल, बर्नेज़, डुमेट, और आर। एल। गुडस्टीन | गुडस्टीन ने सभी को इंगित किया, उनके कई आलोचकों ने कागज पर पूर्ण रूप से लागू नहीं किया। केवल हाल ही में दार्शनिकों जैसे क्रिस्पिन राइट ने विट्गेन्स्टाइन के तर्कों का पुनर्वास करना प्रारम्भ कर दिया।[20]

श्रेणी सिद्धांतकारों ने टॉपोस सिद्धांत को पारंपरिक स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के विकल्प के रूप में प्रस्तावित किया है। टोपोस सिद्धांत उस सिद्धांत के लिए विभिन्न विकल्पों की व्याख्या कर सकता है, जैसे कि निर्माणवाद, परिमित समुच्चय सिद्धांत और संगणनीय (कम्प्यूटेबल) समुच्चय सिद्धांत।[21][22] टोपोई भी जेडएफ से पसंद की स्वतंत्रता के लिए विवश करने और चर्चा के लिए एक प्राकृतिक स्थापना देता है, साथ ही साथ व्यर्थ सांस्थिति और पत्थर के स्थानों के लिए रूपरेखा प्रदान करता है।[23]

अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र एकतरफा नींव है और यह होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत से संबंधित है। होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत के भीतर, एक समुच्चय को होमोटॉपी 0-प्रकार के रूप में माना जा सकता है, जिसमें उच्च अपरिवर्तनीय प्रकारों के आगमनात्मक और पुनरावर्ती गुणों से उत्पन्न होने वाले सेट के सार्वभौमिक गुण हैं। पसंद के स्वयंसिद्ध और बहिष्कृत मध्य के कानून जैसे सिद्धांतों को समुच्चय सिद्धांत में शास्त्रीय सूत्रीकरण के अनुरूप या शायद सिद्धांत को मुद्रलेख (टाइप) करने के लिए विशिष्ट तरीकों के एक तरंग (स्पेक्ट्रम) में तैयार किया जा सकता है। इनमें से कुछ सिद्धांत अन्य सिद्धांतों का परिणाम साबित हो सकते हैं। इन स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के योगों (फॉर्मूलेशन) की विविधता विभिन्न गणितीय परिणामों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक योगों (फॉर्मूलेशन) के विस्तृत विश्लेषण के लिए अनुमति देती है।[24][25]

गणितीय शिक्षा में सिद्धांत निर्धारित करें

जैसा कि समुच्चय सिद्धांत ने आधुनिक गणित के लिए एक नींव के रूप में लोकप्रियता हासिल की है, गणित की शिक्षा में शुरुआती भोले समुच्चय सिद्धांत की मूल बातें प्रारम्भ करने के विचार का समर्थन किया गया है।

1960 के दशक में अमेरिका में, नए गणित प्रयोग का उद्देश्य प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए अन्य अमूर्त अवधारणाओं के साथ बुनियादी समुच्चय सिद्धांत को पढ़ाना था, लेकिन इसकी बहुत आलोचना हुई। यूरोपीय विद्यालय में गणित के पाठ्यक्रम ने इस प्रवृत्ति का अनुसरण किया, और वर्तमान में सभी श्रेणी में विभिन्न स्तरों पर विषय सम्मिलितहै। प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को बुनियादी समुच्चय -सिद्धांत संबंधों को समझाने के लिए वेन आरेखों का व्यापक रूप सेउपयोग किया जाता है (भले ही जॉन वेन ने मूल रूप से उन्हें शब्द तर्क (टर्म लॉजिक) में अनुमानों की वैधता का आकलन करने के लिए एक प्रक्रिया के हिस्से के रूप में तैयार किया था)।

समुच्चय सिद्धांत का उपयोग छात्रों को तार्किक प्रचालक (ऑपरेटरों) (नहीं, और, या), और अर्थ (सिमेंटिक) या नियम विवरण (तकनीकी रूप से गहन परिभाषा (नहीं)से परिचित कराने के लिए किया जाता है[26] (जैसे कि अक्षर ए से प्रारम्भ होने वाले महीने), जो संगणक कार्यक्रम (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) सीखते समय उपयोगी हो सकता है, क्योंकि बूलियन लॉजिक का उपयोग विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में किया जाता है।इसी तरह, समुच्चय (सेट) और अन्य संग्रह जैसी वस्तुएं, जैसे कि बहु समुच्चय और सूचियाँ, संगणक विज्ञान और प्रोग्रामिंग में सामान्य तथ्य प्रकार (डेटाटाइप) हैं।

इसके अलावा, समुच्चय को सामान्यतः गणितीय शिक्षण में संदर्भित किया जाता है जब विभिन्न प्रकार के नंबरों के बारे में बात करते हैं (N, Z, R, ...), और जब एक समुच्चय (डोमेन) से दूसरे समुच्चय (रेंज) से संबंध के रूप में गणितीय कार्य (फ़ंक्शन) को परिभाषित करते हैं।

यह भी देखें

  • समुच्चय सिद्धांत की शब्दावली
  • वर्ग समुच्चय सिद्धांत
  • समुच्चय सिद्धांत विषयों की सूची
  • संबंधपरक प्रतिरूप - समुच्चय सिद्धांत से उधार
  • वेन आरेख

टिप्पणियाँ

  1. ↑ In his 1925 paper ""An Axiomatization of Set Theory", John von Neumann observed that "set theory in its first, "naive" version, due to Cantor, led to contradictions. These are the well-known antinomies of the set of all sets that do not contain themselves (Russell), of the set of all transfinite ordinal numbers (Burali-Forti), and the set of all finitely definable real numbers (Richard)." He goes on to observe that two "tendencies" were attempting to "rehabilitate" set theory. Of the first effort, exemplified by Bertrand Russell, Julius König, Hermann Weyl and L. E. J. Brouwer, von Neumann called the "overall effect of their activity . . . devastating". With regards to the axiomatic method employed by second group composed of Zermelo, Fraenkel and Schoenflies, von Neumann worried that "We see only that the known modes of inference leading to the antinomies fail, but who knows where there are not others?" and he set to the task, "in the spirit of the second group", to "produce, by means of a finite number of purely formal operations . . . all the sets that we want to see formed" but not allow for the antinomies. (All quotes from von Neumann 1925 reprinted in van Heijenoort, Jean (1967, third printing 1976), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). A synopsis of the history, written by van Heijenoort, can be found in the comments that precede von Neumann's 1925 paper.

संदर्भ

  1. ↑ Kunen 1980, p. xi: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics may be derived."
  2. ↑ Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch), 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, S2CID 199545885
  3. ↑ Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
  4. ↑ Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan (ed.), Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., vol. II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, p. 152, ISBN 3-7728-0466-7
  5. ↑ Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, pp. 30–54, ISBN 0-674-34871-0.
  6. ↑ Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Theory of Sets of Points, Cambridge University Press
  7. ↑ "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-20.
  8. ↑ Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1970), Introductory Real Analysis (Rev. English ed.), New York: Dover Publications, pp. 2–3, ISBN 0486612260, OCLC 1527264
  9. ↑ "set theory | Basics, Examples, & Formulas". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2020-08-20.
  10. ↑ Bagaria, Joan (2020), "Set Theory", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2020 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2020-08-20
  11. ↑ Forster, T. E. (2008). "The iterative conception of set" (PDF). The Review of Symbolic Logic. 1: 97–110. doi:10.1017/S1755020308080064. S2CID 15231169.
  12. ↑ Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 642, ISBN 978-3-540-44085-7, Zbl 1007.03002
  13. ↑ Bishop, Errett (1967), Foundations of Constructive Analysis, New York: Academic Press, ISBN 4-87187-714-0
  14. ↑ Feferman, Solomon (1998), In the Light of Logic, New York: Oxford University Press, pp. 280–283, 293–294, ISBN 0-195-08030-0
  15. ↑ Rodych, Victor (Jan 31, 2018). "Wittgenstein's Philosophy of Mathematics". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2018 ed.).
  16. ↑ Wittgenstein, Ludwig (1975), Philosophical Remarks, §129, §174, Oxford: Basil Blackwell, ISBN 0-631-19130-5
  17. ↑ Rodych 2018, §2.1: "When we prove a theorem or decide a proposition, we operate in a purely formal, syntactical manner. In doing mathematics, we do not discover pre-existing truths that were 'already there without one knowing' (PG 481)—we invent mathematics, bit-by-little-bit." Note, however, that Wittgenstein does not identify such deduction with philosophical logic; c.f. Rodych §1, paras. 7-12.
  18. ↑ Rodych 2018, §3.4: "Given that mathematics is a 'motley of techniques of proof' (RFM III, §46), it does not require a foundation (RFM VII, §16) and it cannot be given a self-evident foundation (PR §160; WVC 34 & 62; RFM IV, §3). Since set theory was invented to provide mathematics with a foundation, it is, minimally, unnecessary."
  19. ↑ Rodych 2018, §2.2: "An expression quantifying over an infinite domain is never a meaningful proposition, not even when we have proved, for instance, that a particular number n has a particular property."
  20. ↑ Rodych 2018, §3.6.
  21. ↑ Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G.; Schwartz, Jacob T. (September 1980), "Decision Procedures for Elementary Sublanguages of Set Theory. I. Multi-Level Syllogistic and Some Extensions", Communications on Pure and Applied Mathematics, 33 (5): 599–608, doi:10.1002/cpa.3160330503
  22. ↑ Cantone, Domenico; Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G. (1989), Computable Set Theory, International Series of Monographs on Computer Science, Oxford Science Publications, Oxford, UK: Clarendon Press, pp. xii, 347, ISBN 0-198-53807-3
  23. ↑ Mac Lane, Saunders; Moerdijk, leke (1992), Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2
  24. ↑ homotopy type theory at the nLab
  25. ↑ Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. The Univalent Foundations Program. Institute for Advanced Study.
  26. ↑ Frank Ruda (6 October 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. p. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.


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