योजनाओं का फाइबर उत्पाद: Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, '''योजनाओं का फाइबर उत्पाद''' एक मौलिक निर्माण है। इसकी कई व्याख्याएँ और विशेष स्तिथियाँ हैं। उदाहरण के लिए, फाइबर उत्पाद बताता है कि कैसे एक क्षेत्र में बीजीय विविधता (गणित) बड़े क्षेत्र में विविधता, या किस्मों के एक श्रेणी की वापसी, या किस्मों की श्रेणी का एक फाइबर निर्धारित करती है। आधार परिवर्तन एक अतिसंबद्‍ध धारणा है।
गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, '''अधियोजना का फाइबर उत्पाद''' एक मौलिक निर्माण है। इसकी कई व्याख्याएँ और विशेष स्तिथियाँ हैं। उदाहरण के लिए, फाइबर उत्पाद बताता है कि कैसे एक क्षेत्र में बीजीय विविधता (गणित) बड़े क्षेत्र में विविधता, या किस्मों के एक श्रेणी की वापसी, या किस्मों की श्रेणी का एक फाइबर निर्धारित करती है। आधार परिवर्तन एक अतिसंबद्‍ध धारणा है।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
[[योजना (गणित)|अधियोजना (गणित)]] की [[श्रेणी (गणित)]] बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक व्यापक समुच्चयन है। एक उपयोगी दर्शन (ग्रोथेंडिक के सापेक्ष दृष्टिकोण के रूप में जाना जाता है) यह है कि बीजगणितीय ज्यामिति का अधिकांश भाग एकल अधियोजना X के स्थान पर अधियोजना X → Y (जिसे अधियोजना, केवल [[बीजगणितीय वक्र]]ों का अध्ययन करने के स्थान पर, किसी आधार अधियोजना Y पर वक्रों के श्रेणी का अध्ययन कर सकता है। वास्तव में, दोनों दृष्टिकोण एक दूसरे को समृद्ध करते हैं।
[[योजना (गणित)]] की [[श्रेणी (गणित)]] बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक व्यापक समुच्चयन है। एक उपयोगी दर्शन (ग्रोथेंडिक के सापेक्ष दृष्टिकोण के रूप में जाना जाता है) यह है कि बीजगणितीय ज्यामिति का अधिकांश भाग एकल योजना X के स्थान पर योजना X → Y (जिसे योजना, केवल [[बीजगणितीय वक्र]]ों का अध्ययन करने के स्थान पर, किसी आधार योजना Y पर वक्रों के श्रेणी का अध्ययन कर सकता है। वास्तव में, दोनों दृष्टिकोण एक दूसरे को समृद्ध करते हैं।


विशेष रूप से, एक [[क्रमविनिमेय वलय]] R पर एक अधियोजना का अर्थ है एक अधियोजना फ़ील्ड k पर बीजगणितीय विविधता की पुरानी धारणा कुछ गुणों के साथ k पर एक अधियोजना के बराबर है। (वास्तव में किन अधियोजना को किस्में कहा जाना चाहिए, इसके लिए अलग-अलग अधिवेशन हैं। एक मानक विकल्प यह है कि किसी फ़ील्ड k पर विविधता का अर्थ k पर परिमित प्रकार की एक अभिन्न पृथक योजना है। <ref name=St020D>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 020D | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/020D}}.</ref>)
विशेष रूप से, एक [[क्रमविनिमेय वलय]] R पर एक योजना का अर्थ है एक योजना क्षेत्र k पर बीजगणितीय विविधता की पुरानी धारणा कुछ गुणों के साथ k पर एक योजना के बराबर है। (वास्तव में किन योजना को किस्में कहा जाना चाहिए, इसके लिए अलग-अलग अधिवेशन हैं। एक मानक विकल्प यह है कि किसी क्षेत्र k पर विविधता का अर्थ k पर परिमित प्रकार की एक अभिन्न पृथक योजना है। <ref name=St020D>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 020D | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/020D}}.</ref>)


सामान्यतः, अधियोजना के एक रूपवाद फाइबर उत्पाद ''X'' ×<sub>''Y''</sub> ''Z'' → ''Z है।''  
सामान्यतः, योजना के एक रूपवाद फाइबर उत्पाद ''X'' ×<sub>''Y''</sub> ''Z'' → ''Z है।''  


औपचारिक रूप से: यह अधियोजना की श्रेणी की एक उपयोगी विशेषता है जिसमें [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)|फाइबर उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)]] हमेशा उपस्थित रहता है। <ref>Grothendieck, EGA I, Théorème 3.2.6; Hartshorne (1977), Theorem II.3.3.</ref> अर्थात्, योजनाओं X → Y और Z → Y के किसी भी रूपवाद के लिए, X और Z के आकारिकी के साथ एक योजना, निम्न आरेख बनाते हुए
औपचारिक रूप से: यह योजना की श्रेणी की एक उपयोगी विशेषता है जिसमें [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)|फाइबर उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)]] हमेशा उपस्थित रहता है। <ref>Grothendieck, EGA I, Théorème 3.2.6; Hartshorne (1977), Theorem II.3.3.</ref> अर्थात्, योजनाओं X → Y और Z → Y के किसी भी रूपवाद के लिए, X और Z के आकारिकी के साथ एक योजना, निम्न आरेख बनाते हुए
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[[क्रमविनिमेय आरेख]], और जो उस विशेषता के साथ [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक विशेषता]] है। अर्थात्, किसी भी अधियोजना W के लिए रूपवाद के साथ X और Z जिसकी संरचना Y के बराबर है, W से X ×<sub>''Y''</sub> Z तक एक अद्वितीय रूपवाद है जो आरेख को लघु बनाता है। हमेशा की तरह सार्वभौमिक गुणों के साथ, यह स्थिति अधियोजना X ×<sub>''Y''</sub> Z निर्धारित करती है यदि एक अद्वितीय समरूपता तक यह उपस्थित है। इस बात का प्रमाण कि अधियोजना के फाइबर उत्पाद हमेशा उपस्थित रहते हैं, समस्या को बीजगणित के टेंसर उत्पाद (cf. [[ चिपकाने की योजनाएँ |ग्लूइंग योजनाएं]]) तक कम कर देता है। विशेष रूप से, जब [[एफ़िन योजना|एफ़िन अधियोजना]] है
[[क्रमविनिमेय आरेख]], और जो उस विशेषता के साथ [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक विशेषता]] है। अर्थात्, किसी भी योजना W के लिए रूपवाद के साथ X और Z जिसकी संरचना Y के बराबर है, W से X ×<sub>''Y''</sub> Z तक एक अद्वितीय रूपवाद है जो आरेख को लघु बनाता है। हमेशा की तरह सार्वभौमिक गुणों के साथ, यह स्थिति योजना X ×<sub>''Y''</sub> Z निर्धारित करती है यदि एक अद्वितीय समरूपता तक यह उपस्थित है। इस बात का प्रमाण कि योजना के फाइबर उत्पाद हमेशा उपस्थित रहते हैं, समस्या को बीजगणित के टेंसर उत्पाद (cf. [[ चिपकाने की योजनाएँ |ग्लूइंग योजनाएं]]) तक कम कर देता है। विशेष रूप से, जब [[एफ़िन योजना]] है
:<math>X\times_Y Z = \operatorname{Spec}(A\otimes_B C).</math>
:<math>X\times_Y Z = \operatorname{Spec}(A\otimes_B C).</math>
रूपवाद X ×<sub>''Y''</sub> Z → Z को रूपवाद Z → Y के माध्यम से रूपवाद X → Y का 'आधार परिवर्तन' या 'पुलबैक' कहा जाता है।
रूपवाद X ×<sub>''Y''</sub> Z → Z को रूपवाद Z → Y के माध्यम से रूपवाद X → Y का 'आधार परिवर्तन' या 'पुलबैक' कहा जाता है।


कुछ स्तिथियों में, अधियोजना के फाइबर उत्पाद में एक सही जोड़, वेइल प्रतिबंध होता है।
कुछ स्तिथियों में, योजना के फाइबर उत्पाद में एक सही जोड़, वेइल प्रतिबंध होता है।


==व्याख्याएँ और विशेष स्तिथियाँ==
==व्याख्याएँ और विशेष स्तिथियाँ==
*क्षेत्र k पर अधियोजना की श्रेणी में, 'उत्पाद' X × Y का अर्थ फाइबर उत्पाद X ×<sub>''k''</sub> Y है (जो Spec(k) के ऊपर फाइबर उत्पाद के लिए आशुलिपि है)। उदाहरण के लिए, फ़ील्ड k पर एफ़िन स्पेस A<sup>''m''</sup> और A<sup>''n''</sup> का गुणनफल, k पर एफ़िन स्पेस A<sup>''m''+''n''</sup> है।
*क्षेत्र k पर योजना की श्रेणी में, 'उत्पाद' X × Y का अर्थ फाइबर उत्पाद X ×<sub>''k''</sub> Y है (जो Spec(k) के ऊपर फाइबर उत्पाद के लिए आशुलिपि है)। उदाहरण के लिए, क्षेत्र k पर एफ़िन स्पेस A<sup>''m''</sup> और A<sup>''n''</sup> का गुणनफल, k पर एफ़िन स्पेस A<sup>''m''+''n''</sup> है।
* '''फ़ील्ड''' k पर स्कीम X और k के किसी [[फ़ील्ड विस्तार]] E के लिए, 'आधार परिवर्तन' X<sub>''E''</sub> इसका अर्थ फाइबर उत्पाद X × है<sub>Spec(''k'')</sub> विशिष्टता(ई). यहाँ एक्स<sub>''E''</sub> ई पर एक अधियोजना है। उदाहरण के लिए, यदि एक्स प्रक्षेप्य विमान 'पी' में वक्र है{{supsub|2|'''R'''}} समीकरण ''xy'' द्वारा परिभाषित [[वास्तविक संख्या]]ओं R पर<sup>2</sup> = 7z<sup>3</sup>, फिर X<sub>'''C'''</sub> P में सम्मिश्र संख्या वक्र है{{supsub|2|'''C'''}} उसी समीकरण द्वारा परिभाषित। किसी फ़ील्ड k पर बीजगणितीय विविधता के कई गुणों को इसके आधार परिवर्तन के आधार पर k के [[बीजगणितीय समापन]] के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो स्थिति को सरल बनाता है।
* क्षेत्र k पर योजना X और k के किसी [[फ़ील्ड विस्तार|क्षेत्र विस्तार]] E के लिए, 'आधार परिवर्तन' X<sub>''E''</sub> इसका अर्थ फाइबर उत्पाद ''X'' ×<sub>Spec(''k'')</sub> Spec(''E'') <sub>Spec(''k'')</sub> है। यहाँ ''X<sub>E</sub>'' E पर एक योजना है। उदाहरण के लिए, यदि X समीकरण ''xy''<sup>2</sup> = 7''z''<sup>3</sup> द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्या R पर प्रक्षेप्य तल P{{supsub|2|'''R'''}} में वक्र है, तो XC उसी समीकरण द्वारा परिभाषित P{{supsub|2|'''C'''}} में जटिल वक्र है। किसी क्षेत्र k पर बीजगणितीय विविधता के कई गुणों को इसके आधार परिवर्तन के आधार पर k के [[बीजगणितीय समापन]] के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो स्थिति को सरल बनाता है।
* मान लीजिए कि f: वाई y के ऊपर f के 'फाइबर' को फाइबर उत्पाद X × के रूप में परिभाषित किया गया है<sub>''Y''</sub> विशिष्टता(k(y)); यह फ़ील्ड k(y) पर एक अधियोजना है।<ref>Hartshorne (1977), section II.3.</ref> यह अवधारणा Y द्वारा पैरामीट्रिज्ड अधियोजना के एक श्रेणी के रूप में अधियोजना X → Y के रूपवाद के मोटे विचार को उचित ठहराने में मदद करती है।
* मान लीजिए कि f: X → Y योजनाओं का एक रूपवाद है, और y को Y में एक बिंदु होने दें। फिर छवि y के साथ एक रूपवाद Spec(k(y)) → Y है, जहां k(y) y का अवशेष क्षेत्र है। y के ऊपर f के फ़ाइबर को फ़ाइबर उत्पाद X ×Y Spec(k(y)) के रूप में परिभाषित किया गया है; यह छेत्र k(y) पर एक योजना है। <ref>Hartshorne (1977), section II.3.</ref> यह अवधारणा Y द्वारा पैरामीट्रिज्ड योजनाओं के एक श्रेणी के रूप में योजना X → Y के रूपवाद के स्थूल विचार को उचित ठहराने में सहायता करती है।
* मान लें कि X, Y और Z एक फ़ील्ड k पर स्कीम हैं, जिसमें k के ऊपर रूपवाद X → Y और Z → Y हैं। फिर फाइबर उत्पाद X x के k-[[तर्कसंगत बिंदु]]ओं का सेट<sub>''Y''</sub> Z का वर्णन करना आसान है:
* मान लें कि X, Y और Z एक क्षेत्र k पर योजना हैं, जिसमें k के ऊपर रूपवाद X → Y और Z → Y हैं। फिर फाइबर उत्पाद X x के k-<sub>''Y''</sub> Z [[तर्कसंगत बिंदु]]ओं का सम्मुच्चय का वर्णन करना आसान है:
::<math>(X\times_Y Z)(k)=X(k)\times_{Y(k)}Z(k).</math>
::<math>(X\times_Y Z)(k)=X(k)\times_{Y(k)}Z(k).</math>
:अर्थात, X x का एक k-बिंदु<sub>''Y''</sub> Z को X और Z के k-बिंदुओं की एक जोड़ी से पहचाना जा सकता है जिनकी Y में समान छवि है। यह अधियोजना के फाइबर उत्पाद की सार्वभौमिक विशेषता से तत्काल है।
:अर्थात, X x का एक k-<sub>''Y''</sub> Z बिंदु को X और Z के k-बिंदुओं की एक जोड़ी से पहचाना जा सकता है जिनकी Y में समान छवि है। यह योजना के फाइबर उत्पाद की सार्वभौमिक विशेषता से तत्काल है।
*यदि X और Z किसी अधियोजना Y की बंद उपयोजनाएं हैं, तो फाइबर उत्पाद X x<sub>''Y''</sub> Z अपनी प्राकृतिक अधियोजना संरचना के साथ बिल्कुल '[[योजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन|अधियोजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन]]' X ∩ Z है।<ref name=St0C4I>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 0C4I | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/0C4I}}.</ref> यही बात खुली उपअधियोजना के लिए भी लागू होती है।
*यदि X और Z किसी योजना Y की सवृत उपयोजनाएं हैं, तो फाइबर उत्पाद X x<sub>''Y''</sub> Z अपनी प्राकृतिक योजना संरचना के साथ बिल्कुल '[[योजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन]]' X ∩ Z है। <ref name=St0C4I>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 0C4I | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/0C4I}}.</ref> यही बात विवृत उपअधियोजना के लिए भी लागू होती है।


==आधार परिवर्तन और अवतरण==
==आधार परिवर्तन और अवतरण==
अधियोजना के आकारिकी के कुछ महत्वपूर्ण गुण P को मनमाने आधार परिवर्तन के तहत संरक्षित किया जाता है। अर्थात्, यदि ''X'' → ''Y'' में गुण P है और ''Z'' → ''Y'' अधियोजना का कोई रूप है, तो आधार परिवर्तन ''X'' x<sub>''Y''</sub> Z → Z में विशेषता P है। उदाहरण के लिए, फ्लैट आकारिकी, चिकनी आकारिकी, उचित आकारिकी और आकारिकी के कई अन्य वर्ग मनमाने आधार परिवर्तन के तहत संरक्षित हैं।<ref name=St02WE>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 02WE | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/02WE}}.</ref>
योजना के आकारिकी के कुछ महत्वपूर्ण गुण P को स्वेच्छाचारी आधार परिवर्तन के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है। अर्थात्, यदि ''X'' → ''Y'' में गुण P है और ''Z'' → ''Y'' योजना का कोई रूप है, तो आधार परिवर्तन ''X'' x<sub>''Y''</sub> Z → Z में विशेषता P है। उदाहरण के लिए, फ्लैट आकारिकी, निर्बाध आकारिकी, उचित आकारिकी और आकारिकी के कई अन्य वर्ग स्वेच्छाचारी आधार परिवर्तन के अंतर्गत संरक्षित हैं। <ref name=St02WE>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 02WE | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/02WE}}.</ref> वंश शब्द विपरीत प्रश्न को संदर्भित करता है: यदि पुल-बैक रूपवाद ''X'' x<sub>''Y''</sub> ''Z'' → ''Z''  के पास कुछ गुण P है, क्या मूल रूपवाद X → Y के पास गुण P होना चाहिए? स्पष्ट रूप से यह सामान्य रूप से असंभव है: उदाहरण के लिए, Z खाली योजना हो सकती है, जिस स्थिति में पुल-बैक रूपवाद मूल रूपवाद के बारे में सभी जानकारी खो देता है। लेकिन यदि रूपवाद Z → Y समतल और विशेषण है (जिसे 'विश्वसनीय सपाट' भी कहा जाता है) और [[अर्ध-कॉम्पैक्ट रूपवाद|अर्ध-सघन रूपवाद]] है, तो कई गुण Z से Y तक उतरते हैं। जो गुण उतरते हैं उनमें समतलता, निर्बाध, उचितता और रूपवाद के कई अन्य वर्ग सम्मिलित हैं। <ref name=St02YJ>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 02YJ | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/02YJ}}.</ref> ये परिणाम [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] के वंश सिद्धांत (गणित) का हिस्सा हैं।
वंश शब्द विपरीत प्रश्न को संदर्भित करता है: यदि पुल-बैक रूपवाद ''एक्स'' एक्स<sub>''Y''</sub> Z → Z के पास कुछ गुण P है, क्या मूल रूपवाद X → Y के पास गुण P होना चाहिए? स्पष्ट रूप से यह सामान्य रूप से असंभव है: उदाहरण के लिए, Z खाली अधियोजना हो सकती है, जिस स्थिति में पुल-बैक रूपवाद मूल रूपवाद के बारे में सभी जानकारी खो देता है। लेकिन यदि रूपवाद Z → Y समतल और विशेषण है (जिसे 'वफादारी से सपाट' भी कहा जाता है) और [[अर्ध-कॉम्पैक्ट रूपवाद]]|अर्ध-कॉम्पैक्ट है, तो कई गुण Z से Y तक उतरते हैं। जो गुण उतरते हैं उनमें समतलता, चिकनापन, उचितता और शामिल हैं रूपवाद के कई अन्य वर्ग।<ref name=St02YJ>{{Citation | title=Stacks Project, Tag 02YJ | url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/02YJ}}.</ref> ये परिणाम [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] के वंश सिद्धांत (गणित) का हिस्सा हैं।


उदाहरण: किसी भी फ़ील्ड एक्सटेंशन ''k'' ⊂ ''E'' के लिए, रूपवाद Spec(''E'') → Spec(''k'') ईमानदारी से सपाट और अर्ध-कॉम्पैक्ट है। तो उल्लेखित वंश परिणाम का अर्थ है कि एक अधियोजना ''X'' ओवर ''k'' ''k'' पर स्मूथ है यदि और केवल यदि आधार ''X'' बदलता है<sub>''E''</sub> ई पर चिकनी है। यही बात उचितता और कई अन्य गुणों के लिए भी लागू होती है।
उदाहरण: किसी भी क्षेत्र विस्तारण ''k'' ⊂ ''E'' के लिए, रूपवाद Spec(''E'') → Spec(''k'') विश्वसनीय सपाट और अर्ध-सघन है। तो उल्लेखित वंश परिणाम का अर्थ है कि एक योजना ''X'' बटा ''k'' ''k'' पर निर्बाध है यदि और केवल यदि आधार ''X<sub>E</sub>'' ई पर निर्बाध है। यही बात उचितता और कई अन्य गुणों के लिए भी लागू होती है।


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==संदर्भ==
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==बाहरी संबंध==
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Latest revision as of 12:01, 8 November 2023

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, योजनाओं का फाइबर उत्पाद एक मौलिक निर्माण है। इसकी कई व्याख्याएँ और विशेष स्तिथियाँ हैं। उदाहरण के लिए, फाइबर उत्पाद बताता है कि कैसे एक क्षेत्र में बीजीय विविधता (गणित) बड़े क्षेत्र में विविधता, या किस्मों के एक श्रेणी की वापसी, या किस्मों की श्रेणी का एक फाइबर निर्धारित करती है। आधार परिवर्तन एक अतिसंबद्‍ध धारणा है।

परिभाषा

योजना (गणित) की श्रेणी (गणित) बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक व्यापक समुच्चयन है। एक उपयोगी दर्शन (ग्रोथेंडिक के सापेक्ष दृष्टिकोण के रूप में जाना जाता है) यह है कि बीजगणितीय ज्यामिति का अधिकांश भाग एकल योजना X के स्थान पर योजना X → Y (जिसे योजना, केवल बीजगणितीय वक्रों का अध्ययन करने के स्थान पर, किसी आधार योजना Y पर वक्रों के श्रेणी का अध्ययन कर सकता है। वास्तव में, दोनों दृष्टिकोण एक दूसरे को समृद्ध करते हैं।

विशेष रूप से, एक क्रमविनिमेय वलय R पर एक योजना का अर्थ है एक योजना क्षेत्र k पर बीजगणितीय विविधता की पुरानी धारणा कुछ गुणों के साथ k पर एक योजना के बराबर है। (वास्तव में किन योजना को किस्में कहा जाना चाहिए, इसके लिए अलग-अलग अधिवेशन हैं। एक मानक विकल्प यह है कि किसी क्षेत्र k पर विविधता का अर्थ k पर परिमित प्रकार की एक अभिन्न पृथक योजना है। [1])

सामान्यतः, योजना के एक रूपवाद फाइबर उत्पाद X ×Y Z → Z है।

औपचारिक रूप से: यह योजना की श्रेणी की एक उपयोगी विशेषता है जिसमें फाइबर उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) हमेशा उपस्थित रहता है। [2] अर्थात्, योजनाओं X → Y और Z → Y के किसी भी रूपवाद के लिए, X और Z के आकारिकी के साथ एक योजना, निम्न आरेख बनाते हुए

Fiber product.png

क्रमविनिमेय आरेख, और जो उस विशेषता के साथ सार्वभौमिक विशेषता है। अर्थात्, किसी भी योजना W के लिए रूपवाद के साथ X और Z जिसकी संरचना Y के बराबर है, W से X ×Y Z तक एक अद्वितीय रूपवाद है जो आरेख को लघु बनाता है। हमेशा की तरह सार्वभौमिक गुणों के साथ, यह स्थिति योजना X ×Y Z निर्धारित करती है यदि एक अद्वितीय समरूपता तक यह उपस्थित है। इस बात का प्रमाण कि योजना के फाइबर उत्पाद हमेशा उपस्थित रहते हैं, समस्या को बीजगणित के टेंसर उत्पाद (cf. ग्लूइंग योजनाएं) तक कम कर देता है। विशेष रूप से, जब एफ़िन योजना है

रूपवाद X ×Y Z → Z को रूपवाद Z → Y के माध्यम से रूपवाद X → Y का 'आधार परिवर्तन' या 'पुलबैक' कहा जाता है।

कुछ स्तिथियों में, योजना के फाइबर उत्पाद में एक सही जोड़, वेइल प्रतिबंध होता है।

व्याख्याएँ और विशेष स्तिथियाँ

  • क्षेत्र k पर योजना की श्रेणी में, 'उत्पाद' X × Y का अर्थ फाइबर उत्पाद X ×k Y है (जो Spec(k) के ऊपर फाइबर उत्पाद के लिए आशुलिपि है)। उदाहरण के लिए, क्षेत्र k पर एफ़िन स्पेस Am और An का गुणनफल, k पर एफ़िन स्पेस Am+n है।
  • क्षेत्र k पर योजना X और k के किसी क्षेत्र विस्तार E के लिए, 'आधार परिवर्तन' XE इसका अर्थ फाइबर उत्पाद X ×Spec(k) Spec(E) Spec(k) है। यहाँ XE E पर एक योजना है। उदाहरण के लिए, यदि X समीकरण xy2 = 7z3 द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्या R पर प्रक्षेप्य तल P2
    R     में वक्र है, तो XC उसी समीकरण द्वारा परिभाषित P2
    C     में जटिल वक्र है। किसी क्षेत्र k पर बीजगणितीय विविधता के कई गुणों को इसके आधार परिवर्तन के आधार पर k के बीजगणितीय समापन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो स्थिति को सरल बनाता है।
  • मान लीजिए कि f: X → Y योजनाओं का एक रूपवाद है, और y को Y में एक बिंदु होने दें। फिर छवि y के साथ एक रूपवाद Spec(k(y)) → Y है, जहां k(y) y का अवशेष क्षेत्र है। y के ऊपर f के फ़ाइबर को फ़ाइबर उत्पाद X ×Y Spec(k(y)) के रूप में परिभाषित किया गया है; यह छेत्र k(y) पर एक योजना है। [3] यह अवधारणा Y द्वारा पैरामीट्रिज्ड योजनाओं के एक श्रेणी के रूप में योजना X → Y के रूपवाद के स्थूल विचार को उचित ठहराने में सहायता करती है।
  • मान लें कि X, Y और Z एक क्षेत्र k पर योजना हैं, जिसमें k के ऊपर रूपवाद X → Y और Z → Y हैं। फिर फाइबर उत्पाद X x के k-Y Z तर्कसंगत बिंदुओं का सम्मुच्चय का वर्णन करना आसान है:
अर्थात, X x का एक k-Y Z बिंदु को X और Z के k-बिंदुओं की एक जोड़ी से पहचाना जा सकता है जिनकी Y में समान छवि है। यह योजना के फाइबर उत्पाद की सार्वभौमिक विशेषता से तत्काल है।
  • यदि X और Z किसी योजना Y की सवृत उपयोजनाएं हैं, तो फाइबर उत्पाद X xY Z अपनी प्राकृतिक योजना संरचना के साथ बिल्कुल 'योजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन' X ∩ Z है। [4] यही बात विवृत उपअधियोजना के लिए भी लागू होती है।

आधार परिवर्तन और अवतरण

योजना के आकारिकी के कुछ महत्वपूर्ण गुण P को स्वेच्छाचारी आधार परिवर्तन के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है। अर्थात्, यदि X → Y में गुण P है और Z → Y योजना का कोई रूप है, तो आधार परिवर्तन X xY Z → Z में विशेषता P है। उदाहरण के लिए, फ्लैट आकारिकी, निर्बाध आकारिकी, उचित आकारिकी और आकारिकी के कई अन्य वर्ग स्वेच्छाचारी आधार परिवर्तन के अंतर्गत संरक्षित हैं। [5] वंश शब्द विपरीत प्रश्न को संदर्भित करता है: यदि पुल-बैक रूपवाद X xY Z → Z के पास कुछ गुण P है, क्या मूल रूपवाद X → Y के पास गुण P होना चाहिए? स्पष्ट रूप से यह सामान्य रूप से असंभव है: उदाहरण के लिए, Z खाली योजना हो सकती है, जिस स्थिति में पुल-बैक रूपवाद मूल रूपवाद के बारे में सभी जानकारी खो देता है। लेकिन यदि रूपवाद Z → Y समतल और विशेषण है (जिसे 'विश्वसनीय सपाट' भी कहा जाता है) और अर्ध-सघन रूपवाद है, तो कई गुण Z से Y तक उतरते हैं। जो गुण उतरते हैं उनमें समतलता, निर्बाध, उचितता और रूपवाद के कई अन्य वर्ग सम्मिलित हैं। [6] ये परिणाम अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के वंश सिद्धांत (गणित) का हिस्सा हैं।

उदाहरण: किसी भी क्षेत्र विस्तारण k ⊂ E के लिए, रूपवाद Spec(E) → Spec(k) विश्वसनीय सपाट और अर्ध-सघन है। तो उल्लेखित वंश परिणाम का अर्थ है कि एक योजना X बटा k k पर निर्बाध है यदि और केवल यदि आधार XE ई पर निर्बाध है। यही बात उचितता और कई अन्य गुणों के लिए भी लागू होती है।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Stacks Project, Tag 020D.
  2. ↑ Grothendieck, EGA I, Théorème 3.2.6; Hartshorne (1977), Theorem II.3.3.
  3. ↑ Hartshorne (1977), section II.3.
  4. ↑ Stacks Project, Tag 0C4I.
  5. ↑ Stacks Project, Tag 02WE.
  6. ↑ Stacks Project, Tag 02YJ.

संदर्भ

बाहरी संबंध

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