बोहर-वान लीउवेन प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:05, 11 December 2023

बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय में कहा गया है कि जब सांख्यिकीय यांत्रिकी और मौलिक यांत्रिकी को निरंतर प्रयुक्त किया जाता है, तब इसका चुंबकीयकरण का थर्मल औसत सदैव शून्य होता है। ^[1] यह ठोस पदार्थों में चुंबकत्व को केवल क्वांटम यांत्रिक प्रभाव बनाता है और इसका कारण है कि मौलिक भौतिकी अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व की गणना नहीं कर सकते है। ट्राइबोइलेक्ट्रिसिटी की व्याख्या करने में मौलिक भौतिकी की अक्षमता भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से उत्पन्न होती है।^[2]

इतिहास

जिसे आज बोहर-वान लीउवेन प्रमेय के नाम से जाना जाता है, उसकी खोज नील्स बोह्र ने 1911 में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में की थी। ^[3] और इसके पश्चात् इसमें हेंड्रिका जोहाना वान लीउवेन द्वारा 1919 में अपने डॉक्टरेट थीसिस में इसे फिर से खोजा गया। ^[4] 1932 में,जे. एच. वान वेलेक ने विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता पर लिखी पुस्तक में बोह्र के प्रारंभिक प्रमेय को औपचारिक रूप दिया और इसको विस्तारित किया। ^[5]

इस खोज का महत्व यह है कि मौलिक भौतिकी अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व जैसी चीजों की अनुमति नहीं देती है और इस प्रकार चुंबकीय घटनाओं को समझाने के लिए क्वांटम भौतिकी की आवश्यकता होती है।^[6] यह परिणाम, संभवतः अब तक का सबसे अधिक अपस्फीतिकारी प्रकाशन है, ^[7] 1913 में बोह्र के हाइड्रोजन परमाणु के अर्ध- मौलिक बोह्र मॉडल के विकास में योगदान दिया होगा।

प्रमाण

सहज प्रमाण

बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय पृथक प्रणाली पर प्रयुक्त होता है जो घूम नहीं सकती हैं। यदि पृथक प्रणाली को बाहरी रूप से प्रयुक्त चुंबकीय क्षेत्र की प्रतिक्रिया में घूमने की अनुमति दी जाती है, तब यह प्रमेय प्रयुक्त नहीं होता है। ^[8] यदि, इसके अतिरिक्त, किसी दिए गए तापमान और क्षेत्र में थर्मल संतुलन की केवल स्थिति है, और प्रणाली के क्षेत्र प्रयुक्त होने के पश्चात् इसको संतुलन में लौटने का समय दिया जाता है, तब इसमें कोई चुंबकीयकरण नहीं होता हैं।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के अनुसार सिस्टम के गति की दी गई स्थिति में होने की संभावना $\exp(-U/k_{\text{B}}T)$ के आनुपातिक होने की पुर्वानुमान की गई है, जहाँ $U$ प्रणाली की ऊर्जा है,वही $k_{\text{B}}$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और $T$ पूर्ण तापमान है। यह ऊर्जा गतिज ऊर्जा $mv^{2}/2$ द्रव्यमान $m$ और गति $v$ वाले कण के लिए) और संभावित ऊर्जा के योग के सामान्य है।^[8]

चुंबकीय क्षेत्र संभावित ऊर्जा में योगदान नहीं करता है। विद्युत आवेश $q$ और वेग $\mathbf {v}$ वाले कण पर लोरेंत्ज़ बल होता है |

\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),

जहां $\mathbf {E}$ विद्युत क्षेत्र है और $\mathbf {B}$ चुंबकीय प्रवाह घनत्व है. किये गये कार्य (भौतिकी) की दर $\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v}$ है और यह $\mathbf {B}$ पर निर्भर नहीं है. इसलिए, ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए गति का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है। ^[8]

शून्य क्षेत्र में, आवेशित कणों की कोई शुद्ध गति नहीं होती हैं क्योंकि प्रणाली घूमने में सक्षम नहीं है। इसलिए इसका औसत चुंबकीय क्षण शून्य होता हैं। चूँकि गतियों का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए किसी भी चुंबकीय क्षेत्र में तापीय संतुलन में क्षण शून्य रहता है।^[8]

अधिक औपचारिक प्रमाण

प्रमाण की सम्मिष्टता को कम करने के लिए, $N$ इलेक्ट्रॉनों वाली प्रणाली का उपयोग किया जाएगा।

यह उचित है, क्योंकि किसी ठोस में अधिकांश चुंबकत्व इलेक्ट्रॉनों द्वारा वहन किया जाता है, और प्रमाण को इससे अधिक प्रकार के आवेशित कणों के लिए सरलता से सामान्यीकृत किया जाता है।

प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश $e$ और द्रव्यमान $m_{\text{e}}$ होता है।

यदि इसकी स्थिति $\mathbf {r}$ है और वेग $\mathbf {v}$ है, तब यह विद्युत धारा $\mathbf {j} =e\mathbf {v}$ और चुंबकीय क्षण को उत्पन्न करता है ^[6]

\mathbf {\mu } ={\frac {1}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {j} ={\frac {e}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {v} .

उपरोक्त समीकरण से पता चलता है कि चुंबकीय क्षण वेग निर्देशांक का रैखिक कार्य है, इसलिए किसी दिए गए दिशा में कुल चुंबकीय क्षण रूप का रैखिक कार्य होना चाहिए

\mu =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {a} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i},

जहां बिंदु समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {a} _{i}$ स्थिति निर्देशांक $\{\mathbf {r} _{i},i=1\ldots N\}$ के आधार पर सदिश गुणांक हैं।^[6]

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े संभावना देते हैं कि nवें कण का संवेग $\mathbf {p} _{n}$ है और निर्देशांक $\mathbf {r} _{n}$ है जैसे

dP\propto \exp {\left[-{\frac {{\mathcal {H}}(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}{k_{\text{B}}T}}\right]}d\mathbf {p} _{1},\ldots ,d\mathbf {p} _{N}d\mathbf {r} _{1},\ldots ,d\mathbf {r} _{N},

जहां ${\mathcal {H}}$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी या विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण, प्रणाली की कुल ऊर्जा है।^[6]

इन सामान्यीकृत निर्देशांको के किसी भी फलन $f(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})$ का थर्मल औसत तब होता है

\langle f\rangle ={\frac {\int fdP}{\int dP}}.

चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में,

{\mathcal {H}}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}\right)^{2}+e\phi (\mathbf {q} ),

जहाँ $\mathbf {A} _{i}$ चुंबकीय सदिश क्षमता है और $\phi (\mathbf {q} )$ विद्युत अदिश क्षमता है। प्रत्येक कण के लिए संवेग $\mathbf {p} _{i}$ और स्थिति $\mathbf {r} _{i}$ के घटक हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समीकरणों से संबंधित हैं

{\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {r} _{i}\\{\dot {\mathbf {r} }}_{i}&=\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}

इसलिए,

{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\propto \mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i},

अतः क्षण $\mu$ क्षण $\mathbf {p} _{i}$ का रैखिक फलन है।^[6]

थर्मली औसत क्षण,

\langle \mu \rangle ={\frac {\int \mu dP}{\int dP}},

रूप के अभिन्नों के आनुपातिक शब्दों का योग है

\int _{-\infty }^{\infty }(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i})dP,

जहाँ $p$ गति निर्देशांकों में से का प्रतिनिधित्व करता है।

इंटीग्रैंड $p$ का विषम कार्य है, इसलिए यह विलुप्त हो जाता है।

इसलिए, $\langle \mu \rangle =0$ .^[6]

अनुप्रयोग

बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय प्लाज्मा (भौतिकी) सहित अनेक अनुप्रयोगों में उपयोगी है: ये सभी संदर्भ नील्स बोह्र के भौतिक मॉडल पर बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय की चर्चा को आधार बनाते हैं, जिसमें पूर्णता से प्रतिबिंबित करने वाली दीवारें उन धाराओं को प्रदान करने के लिए आवश्यक हैं जो इसे व्यर्थ कर देती हैं प्लाज्मा के अवयव के आंतरिक भाग से शुद्ध योगदान, और परिणामस्वरूप प्लाज्मा अवयव के लिए शून्य शुद्ध प्रतिचुम्बकत्व होता है।^[9]

विशुद्ध रूप से मौलिक प्रकृति का प्रतिचुंबकत्व प्लाज़्मा में होता है, किन्तु यह थर्मल असंतुलन का परिणाम है, जैसे कि प्लाज़्मा घनत्व में स्लोप होता हैं। वैद्युतयांत्रिकी और विद्युत अभियन्त्रण को भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से व्यावहारिक लाभ मिलता है।

संदर्भ

↑ John Hasbrouck van Vleck stated the Bohr–Van Leeuwen theorem as "At any finite temperature, and in all finite applied electrical or magnetical fields, the net magnetization of a collection of electrons in thermal equilibrium vanishes identically." (Van Vleck, 1932)
↑ Alicki, Robert; Jenkins, Alejandro (2020-10-30). "ट्राइबोइलेक्ट्रिसिटी का क्वांटम सिद्धांत". Physical Review Letters (in English). 125 (18): 186101. arXiv:1904.11997. Bibcode:2020PhRvL.125r6101A. doi:10.1103/PhysRevLett.125.186101. hdl:10669/82347. ISSN 0031-9007. PMID 33196235. S2CID 139102854.
↑ Bohr, Niehls (1972) [originally published as "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911)]. "The Doctor's Dissertation (Text and Translation)". In Rosenfeld, L.; Nielsen, J. Rud (eds.). Early Works (1905-1911). Niels Bohr Collected Works. Vol. 1. Elsevier. pp. 163, 165–393. doi:10.1016/S1876-0503(08)70015-X. ISBN 978-0-7204-1801-9.
↑ Van Leeuwen, Hendrika Johanna (1921). "Problèmes de la théorie électronique du magnétisme". Journal de Physique et le Radium. 2 (12): 361–377. doi:10.1051/jphysrad:01921002012036100. S2CID 97259591.
↑ Van Vleck, J. H. (1932). विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता का सिद्धांत. Clarendon Press. ISBN 0-19-851243-0.
↑ ^6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 ^6.5 Aharoni, Amikam (1996). लौहचुम्बकत्व के सिद्धांत का परिचय. Clarendon Press. pp. 6–7. ISBN 0-19-851791-2.
↑ Van Vleck, J. H. (1992). "Quantum mechanics: The key to understanding magnetism (Nobel lecture, 8 December 1977)". In Lundqvist, Stig (ed.). Nobel Lectures in Physics 1971-1980. World Scientific. ISBN 981-02-0726-3.
↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2006). The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2. p. 34-8. ISBN 978-0465024940.
↑ Roth, Reece (1967). "Plasma Stability and the Bohr–Van Leeuwen Theorem" (PDF). NASA. Retrieved 2008-10-27.

बाहरी संबंध

The early 20th century: Relativity and quantum mechanics bring understanding at last

[1] John Hasbrouck van Vleck stated the Bohr–Van Leeuwen theorem as "At any finite temperature, and in all finite applied electrical or magnetical fields, the net magnetization of a collection of electrons in thermal equilibrium vanishes identically." (Van Vleck, 1932)

[2] Alicki, Robert; Jenkins, Alejandro (2020-10-30). "ट्राइबोइलेक्ट्रिसिटी का क्वांटम सिद्धांत". Physical Review Letters (in English). 125 (18): 186101. arXiv:1904.11997. Bibcode:2020PhRvL.125r6101A. doi:10.1103/PhysRevLett.125.186101. hdl:10669/82347. ISSN 0031-9007. PMID 33196235. S2CID 139102854.

[3] Bohr, Niehls (1972) [originally published as "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911)]. "The Doctor's Dissertation (Text and Translation)". In Rosenfeld, L.; Nielsen, J. Rud (eds.). Early Works (1905-1911). Niels Bohr Collected Works. Vol. 1. Elsevier. pp. 163, 165–393. doi:10.1016/S1876-0503(08)70015-X. ISBN 978-0-7204-1801-9.

[4] Van Leeuwen, Hendrika Johanna (1921). "Problèmes de la théorie électronique du magnétisme". Journal de Physique et le Radium. 2 (12): 361–377. doi:10.1051/jphysrad:01921002012036100. S2CID 97259591.

[vanVleck-5] Van Vleck, J. H. (1932). विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता का सिद्धांत. Clarendon Press. ISBN 0-19-851243-0.

[Aharoni-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 ^6.5 Aharoni, Amikam (1996). लौहचुम्बकत्व के सिद्धांत का परिचय. Clarendon Press. pp. 6–7. ISBN 0-19-851791-2.

[7] Van Vleck, J. H. (1992). "Quantum mechanics: The key to understanding magnetism (Nobel lecture, 8 December 1977)". In Lundqvist, Stig (ed.). Nobel Lectures in Physics 1971-1980. World Scientific. ISBN 981-02-0726-3.

[Feynman-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2006). The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2. p. 34-8. ISBN 978-0465024940.

[9] Roth, Reece (1967). "Plasma Stability and the Bohr–Van Leeuwen Theorem" (PDF). NASA. Retrieved 2008-10-27.

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संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Physical theorem}}
-बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय में कहा गया है कि जब [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] और [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] को लगातार लागू किया जाता है, तो चुंबकीयकरण का थर्मल औसत हमेशा शून्य होता है।<ref>[[John Hasbrouck van Vleck]] stated the Bohr–Van Leeuwen theorem as "At any finite temperature, and in all finite applied electrical or magnetical fields, the net magnetization of a collection of electrons in thermal equilibrium vanishes identically." (Van Vleck, 1932)</ref> यह ठोस पदार्थों में चुंबकत्व को केवल एक क्वांटम यांत्रिक प्रभाव बनाता है और इसका मतलब है कि शास्त्रीय भौतिकी [[अनुचुंबकत्व]], प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व का हिसाब नहीं दे सकती है। [[ triboelectricity ]] की व्याख्या करने में शास्त्रीय भौतिकी की अक्षमता भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से उत्पन्न होती है।<ref>{{Cite journal|last1=Alicki|first1=Robert|last2=Jenkins|first2=Alejandro|date=2020-10-30|title=ट्राइबोइलेक्ट्रिसिटी का क्वांटम सिद्धांत|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.125.186101|journal=Physical Review Letters|language=en|volume=125|issue=18|pages=186101|doi=10.1103/PhysRevLett.125.186101|pmid=33196235|issn=0031-9007|arxiv=1904.11997|bibcode=2020PhRvL.125r6101A|hdl=10669/82347 |s2cid=139102854}}</ref>
+'''बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय''' में कहा गया है कि जब [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] और [[शास्त्रीय यांत्रिकी|मौलिक यांत्रिकी]] को निरंतर प्रयुक्त किया जाता है, तब इसका चुंबकीयकरण का थर्मल औसत सदैव शून्य होता है। <ref>[[John Hasbrouck van Vleck]] stated the Bohr–Van Leeuwen theorem as "At any finite temperature, and in all finite applied electrical or magnetical fields, the net magnetization of a collection of electrons in thermal equilibrium vanishes identically." (Van Vleck, 1932)</ref> यह ठोस पदार्थों में चुंबकत्व को केवल क्वांटम यांत्रिक प्रभाव बनाता है और इसका कारण है कि मौलिक भौतिकी [[अनुचुंबकत्व]], प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व की गणना नहीं कर सकते है। [[ triboelectricity |ट्राइबोइलेक्ट्रिसिटी]] की व्याख्या करने में मौलिक भौतिकी की अक्षमता भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से उत्पन्न होती है।<ref>{{Cite journal|last1=Alicki|first1=Robert|last2=Jenkins|first2=Alejandro|date=2020-10-30|title=ट्राइबोइलेक्ट्रिसिटी का क्वांटम सिद्धांत|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.125.186101|journal=Physical Review Letters|language=en|volume=125|issue=18|pages=186101|doi=10.1103/PhysRevLett.125.186101|pmid=33196235|issn=0031-9007|arxiv=1904.11997|bibcode=2020PhRvL.125r6101A|hdl=10669/82347 |s2cid=139102854}}</ref>
+== इतिहास ==
+जिसे आज बोहर-वान लीउवेन प्रमेय के नाम से जाना जाता है, उसकी खोज [[ नील्स बोह्र |नील्स बोह्र]] ने 1911 में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में की थी। <ref>{{Cite book |last = Bohr |first = Niehls |contribution = The Doctor's Dissertation (Text and Translation) |year = 1972 |orig-year = originally published as "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911) |title = Early Works (1905-1911) |editor-last = Rosenfeld |editor-first = L. |editor2-last = Nielsen |editor2-first = J. Rud |publisher = [[Elsevier]] |volume = 1 |series = Niels Bohr Collected Works |pages = 163, 165–393 |doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X |isbn = 978-0-7204-1801-9}}</ref> और इसके पश्चात् इसमें [[हेंड्रिका जोहाना वान लीउवेन]] द्वारा 1919 में अपने डॉक्टरेट थीसिस में इसे फिर से खोजा गया। <ref>{{cite journal |first = Hendrika Johanna |last = Van Leeuwen |url = http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00204299/en/ |title = Problèmes de la théorie électronique du magnétisme |journal = [[Journal de Physique et le Radium]] |volume = 2 |issue = 12 |pages  = 361–377 |year = 1921|doi = 10.1051/jphysrad:01921002012036100 |s2cid = 97259591 }}</ref> 1932 में,जे. एच. वान वेलेक ने विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता पर लिखी पुस्तक में बोह्र के प्रारंभिक प्रमेय को औपचारिक रूप दिया और इसको विस्तारित किया। <ref name=vanVleck>{{cite book |last = Van Vleck |first = J. H. |title=विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता का सिद्धांत|publisher=[[Clarendon Press]] |year = 1932  |isbn = 0-19-851243-0}}</ref>
+इस खोज का महत्व यह है कि मौलिक भौतिकी अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व जैसी चीजों की अनुमति नहीं देती है और इस प्रकार चुंबकीय घटनाओं को समझाने के लिए [[क्वांटम भौतिकी]] की आवश्यकता होती है।<ref name="Aharoni">{{cite book |last=Aharoni |first=Amikam |author-link=Amikam Aharoni |title=लौहचुम्बकत्व के सिद्धांत का परिचय|publisher=[[Clarendon Press]] |year=1996 |isbn=0-19-851791-2 |pages=[https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 6–7] |url=https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 }}</ref> यह परिणाम, संभवतः अब तक का सबसे अधिक अपस्फीतिकारी प्रकाशन है, <ref>{{Cite book |last = Van Vleck |first = J. H. |author-link=John Hasbrouck Van Vleck |contribution = Quantum mechanics: The key to understanding magnetism (Nobel lecture, 8 December 1977) |title = Nobel Lectures in Physics 1971-1980 |editor-last = Lundqvist |editor-first = Stig |publisher = [[World Scientific]] |year = 1992 |url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1977/vleck-lecture.html |isbn = 981-02-0726-3
+}}</ref> 1913 में बोह्र के हाइड्रोजन परमाणु के अर्ध- मौलिक [[ बोह्र मॉडल |बोह्र मॉडल]] के विकास में योगदान दिया होगा।
+== प्रमाण ==
+===सहज प्रमाण===
+बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय पृथक प्रणाली पर प्रयुक्त होता है जो घूम नहीं सकती हैं। यदि पृथक प्रणाली को बाहरी रूप से प्रयुक्त चुंबकीय क्षेत्र की प्रतिक्रिया में घूमने की अनुमति दी जाती है, तब यह प्रमेय प्रयुक्त नहीं होता है। <ref name=Feynman>{{Cite book |last1 = Feynman |first1 = Richard P. |author-link = Richard Feynman |first2 = Robert B.  |last2 = Leighton |author2-link = Robert B. Leighton |first3 = Matthew |last3 = Sands |author3-link = Matthew Sands |title = [[The Feynman Lectures on Physics]] |volume = 2 |page=34-8 |year = 2006 |isbn = 978-0465024940}}</ref> यदि, इसके अतिरिक्त, किसी दिए गए तापमान और क्षेत्र में [[थर्मल संतुलन]] की केवल स्थिति है, और प्रणाली के क्षेत्र प्रयुक्त होने के पश्चात् इसको संतुलन में लौटने का समय दिया जाता है, तब इसमें कोई चुंबकीयकरण नहीं होता हैं।
+मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के अनुसार सिस्टम के गति की दी गई स्थिति में होने की संभावना <math>\exp(-U/k_\text{B} T)</math> के आनुपातिक होने की पुर्वानुमान की गई है, जहाँ <math>U</math> प्रणाली की ऊर्जा है,वही <math>k_\text{B}</math> बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और <math>T</math> पूर्ण तापमान है। यह ऊर्जा [[गतिज ऊर्जा]] <math>m v^2/2</math> द्रव्यमान <math>m</math> और गति <math>v</math> वाले कण के लिए) और [[संभावित ऊर्जा]] के योग के सामान्य है।<ref name=Feynman/>
+चुंबकीय क्षेत्र संभावित ऊर्जा में योगदान नहीं करता है। विद्युत आवेश <math>q</math> और [[वेग]] <math>\mathbf{v}                                                                                                                                                                                                                         </math> वाले कण पर [[लोरेंत्ज़ बल]] होता है |<br/>
+:<math>\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),</math>
+जहां <math>\mathbf{E}                                                                                                                                                                                                                      </math> [[विद्युत क्षेत्र]] है और <math>\mathbf{B}</math> चुंबकीय प्रवाह घनत्व है. किये गये [[कार्य (भौतिकी)]] की दर <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}</math> है और यह <math>\mathbf{B}
-== इतिहास ==
-जिसे आज बोहर-वान लीउवेन प्रमेय के नाम से जाना जाता है, उसकी खोज [[ नील्स बोह्र ]] ने 1911 में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में की थी।<ref>{{Cite book |last = Bohr |first = Niehls |contribution = The Doctor's Dissertation (Text and Translation) |year = 1972 |orig-year = originally published as "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911) |title = Early Works (1905-1911) |editor-last = Rosenfeld |editor-first = L. |editor2-last = Nielsen |editor2-first = J. Rud |publisher = [[Elsevier]] |volume = 1 |series = Niels Bohr Collected Works |pages = 163, 165–393 |doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X |isbn = 978-0-7204-1801-9}}</ref> और बाद में [[हेंड्रिका जोहाना वान लीउवेन]] द्वारा 1919 में अपने डॉक्टरेट थीसिस में इसे फिर से खोजा गया।<ref>{{cite journal |first = Hendrika Johanna |last = Van Leeuwen |url = http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00204299/en/ |title = Problèmes de la théorie électronique du magnétisme |journal = [[Journal de Physique et le Radium]] |volume = 2 |issue = 12 |pages  = 361–377 |year = 1921|doi = 10.1051/jphysrad:01921002012036100 |s2cid = 97259591 }}</ref> 1932 में, जॉन हैस्ब्रुक वान वेलेक|जे. एच. वान वेलेक ने विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता पर लिखी पुस्तक में बोह्र के प्रारंभिक प्रमेय को औपचारिक रूप दिया और विस्तारित किया।<ref name=vanVleck>{{cite book |last = Van Vleck |first = J. H. |title=विद्युत और चुंबकीय संवेदनशीलता का सिद्धांत|publisher=[[Clarendon Press]] |year = 1932  |isbn = 0-19-851243-0}}</ref>
-इस खोज का महत्व यह है कि शास्त्रीय भौतिकी अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व और लौहचुंबकत्व जैसी चीजों की अनुमति नहीं देती है और इस प्रकार चुंबकीय घटनाओं को समझाने के लिए [[क्वांटम भौतिकी]] की आवश्यकता होती है।<ref name=Aharoni>{{cite book |last=Aharoni |first=Amikam |author-link=Amikam Aharoni |title=लौहचुम्बकत्व के सिद्धांत का परिचय|publisher=[[Clarendon Press]] |year=1996 |isbn=0-19-851791-2 |pages=[https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 6–7] |url=https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 }}</ref> यह परिणाम, शायद अब तक का सबसे अधिक अपस्फीतिकारी प्रकाशन है,<ref>{{Cite book |last = Van Vleck |first = J. H. |author-link=John Hasbrouck Van Vleck |contribution = Quantum mechanics: The key to understanding magnetism (Nobel lecture, 8 December 1977) |title = Nobel Lectures in Physics 1971-1980 |editor-last = Lundqvist |editor-first = Stig |publisher = [[World Scientific]] |year = 1992 |url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1977/vleck-lecture.html |isbn = 981-02-0726-3
-}}</ref> 1913 में बोहर के अर्ध-शास्त्रीय [[ बोह्र मॉडल ]] के विकास में योगदान दिया हो सकता है।
-== प्रमाण ==
-{{Statistical mechanics}}
-===एक सहज प्रमाण===
-बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय एक पृथक प्रणाली पर लागू होता है जो घूम नहीं सकती। यदि पृथक प्रणाली को बाहरी रूप से लागू चुंबकीय क्षेत्र की प्रतिक्रिया में घूमने की अनुमति दी जाती है, तो यह प्रमेय लागू नहीं होता है।<ref name=Feynman>{{Cite book |last1 = Feynman |first1 = Richard P. |author-link = Richard Feynman |first2 = Robert B.  |last2 = Leighton |author2-link = Robert B. Leighton |first3 = Matthew |last3 = Sands |author3-link = Matthew Sands |title = [[The Feynman Lectures on Physics]] |volume = 2 |page=34-8 |year = 2006 |isbn = 978-0465024940}}</ref> यदि, इसके अलावा, किसी दिए गए तापमान और क्षेत्र में [[थर्मल संतुलन]] की केवल एक ही स्थिति है, और सिस्टम को क्षेत्र लागू होने के बाद संतुलन में लौटने का समय दिया जाता है, तो कोई चुंबकीयकरण नहीं होगा।
-संभावना है कि सिस्टम गति की एक निश्चित स्थिति में होगा, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आंकड़ों के अनुसार आनुपातिक होने की भविष्यवाणी की गई है <math>\exp(-U/k_\text{B} T)</math>, कहाँ <math>U</math> प्रणाली की ऊर्जा है, <math>k_\text{B}</math> बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और <math>T</math> परम तापमान है. यह ऊर्जा [[गतिज ऊर्जा]] के योग के बराबर है (<math>m v^2/2</math> द्रव्यमान वाले एक कण के लिए <math>m</math> और गति <math>v</math>) और [[संभावित ऊर्जा]]।<ref name=Feynman/>
-चुंबकीय क्षेत्र संभावित ऊर्जा में योगदान नहीं करता है। विद्युत आवेश वाले कण पर [[लोरेंत्ज़ बल]] <math>q</math> और [[वेग]] <math>\mathbf{v}</math> है<br/>
-:<math>\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),</math>
-कहाँ <math>\mathbf{E}</math> [[विद्युत क्षेत्र]] है और <math>\mathbf{B}</math> चुंबकीय प्रवाह घनत्व है. किये गये [[कार्य (भौतिकी)]] की दर है <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}</math> और पर निर्भर नहीं है <math>\mathbf{B}</math>. इसलिए, ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए गति का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है।<ref name=Feynman/>
-शून्य क्षेत्र में, आवेशित कणों की कोई शुद्ध गति नहीं होगी क्योंकि सिस्टम घूमने में सक्षम नहीं है। इसलिए औसत चुंबकीय क्षण शून्य होगा। चूँकि गतियों का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए किसी भी चुंबकीय क्षेत्र में तापीय संतुलन में क्षण शून्य रहता है।<ref name=Feynman/>
+</math> पर निर्भर नहीं है. इसलिए, ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए गति का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है। <ref name=Feynman/>
-===एक अधिक औपचारिक प्रमाण===
+शून्य क्षेत्र में, आवेशित कणों की कोई शुद्ध गति नहीं होती हैं क्योंकि प्रणाली घूमने में सक्षम नहीं है। इसलिए इसका औसत चुंबकीय क्षण शून्य होता हैं। चूँकि गतियों का वितरण चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए किसी भी चुंबकीय क्षेत्र में तापीय संतुलन में क्षण शून्य रहता है।<ref name=Feynman/>
+===अधिक औपचारिक प्रमाण===
-ताकि प्रमाण की जटिलता को कम किया जा सके, एक प्रणाली <math>N</math> इलेक्ट्रॉनों का उपयोग किया जाएगा.
+प्रमाण की सम्मिष्टता को कम करने के लिए, <math>N</math> इलेक्ट्रॉनों वाली प्रणाली का उपयोग किया जाएगा।
-यह उचित है, क्योंकि किसी ठोस में अधिकांश चुंबकत्व इलेक्ट्रॉनों द्वारा वहन किया जाता है, और प्रमाण को एक से अधिक प्रकार के आवेशित कणों के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।
+यह उचित है, क्योंकि किसी ठोस में अधिकांश चुंबकत्व इलेक्ट्रॉनों द्वारा वहन किया जाता है, और प्रमाण को इससे अधिक प्रकार के आवेशित कणों के लिए सरलता से सामान्यीकृत किया जाता है।
-प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है <math>e</math> और द्रव्यमान <math>m_\text{e}</math>.
+प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश <math>e                                                                                                                                                                                                                                 </math> और द्रव्यमान <math>m_\text{e}</math> होता है।
-यदि इसकी स्थिति है <math>\mathbf{r}</math> और वेग है <math>\mathbf{v}</math>, यह विद्युत धारा उत्पन्न करता है <math>\mathbf{j} = e\mathbf{v}</math> और एक चुंबकीय क्षण<ref name=Aharoni/><br/>
+यदि इसकी स्थिति <math>\mathbf{r}</math> है और वेग <math>\mathbf{v}</math> है, तब यह विद्युत धारा <math>\mathbf{j} = e\mathbf{v}</math> और चुंबकीय क्षण को उत्पन्न करता है <ref name=Aharoni/><br/>
 :<math> \mathbf{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}.</math>
-उपरोक्त समीकरण से पता चलता है कि चुंबकीय क्षण वेग निर्देशांक का एक रैखिक कार्य है, इसलिए किसी दिए गए दिशा में कुल चुंबकीय क्षण फॉर्म का एक रैखिक कार्य होना चाहिए<br/>
+उपरोक्त समीकरण से पता चलता है कि चुंबकीय क्षण वेग निर्देशांक का रैखिक कार्य है, इसलिए किसी दिए गए दिशा में कुल चुंबकीय क्षण रूप का रैखिक कार्य होना चाहिए<br/>
 :<math> \mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,</math>
-जहां बिंदु एक समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf{a}_i</math> स्थिति निर्देशांक के आधार पर वेक्टर गुणांक हैं <math>\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}</math>.<ref name=Aharoni/>
+जहां बिंदु समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf{a}_i                                                                                                                                                                                                               </math> स्थिति निर्देशांक <math>\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}</math> के आधार पर सदिश गुणांक हैं।<ref name=Aharoni/>
-मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े संभावना देते हैं कि nवें कण में गति है <math>\mathbf{p}_n</math> और समन्वय करें <math>\mathbf{r}_n</math> जैसे<br/>
+मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े संभावना देते हैं कि nवें कण का संवेग <math>\mathbf{p}_n</math> है और निर्देशांक <math>\mathbf{r}_n</math> है जैसे<br/>
 :<math> dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)}{k_\text{B}T}\right]}d\mathbf{p}_1,\ldots,d\mathbf{p}_Nd\mathbf{r}_1,\ldots,d\mathbf{r}_N, </math>
-कहाँ <math>\mathcal{H}</math> हैमिल्टनियन यांत्रिकी#विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण, प्रणाली की कुल ऊर्जा है।<ref name=Aharoni/>
+जहां <math>\mathcal{H}</math> हैमिल्टनियन यांत्रिकी या विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण, प्रणाली की कुल ऊर्जा है।<ref name=Aharoni/>
-किसी भी फ़ंक्शन का थर्मल औसत <math>f(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)</math> इन [[सामान्यीकृत निर्देशांक]]ों का तब <br /> है
+इन [[सामान्यीकृत निर्देशांक|सामान्यीकृत निर्देशांको]] के किसी भी फलन <math>f(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)</math> का थर्मल औसत तब होता है
 :<math>\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.</math>
 चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में,<br/>
 :<math> \mathcal{H} = \frac{1}{2m_\text{e}}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),</math>
-कहाँ <math>\mathbf{A}_i</math> [[चुंबकीय वेक्टर क्षमता]] है और <math>\phi(\mathbf{q})</math> विद्युत अदिश विभव है।
+जहाँ <math>\mathbf{A}_i</math> [[चुंबकीय वेक्टर क्षमता|चुंबकीय सदिश क्षमता]] है और <math>\phi(\mathbf{q})</math> विद्युत अदिश क्षमता है। प्रत्येक कण के लिए संवेग <math>\mathbf{p}_i</math>और स्थिति <math>\mathbf{r}_i                                                                                                                                                                                                        </math> के घटक [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] के समीकरणों से संबंधित हैं <br/>
-प्रत्येक कण के लिए संवेग के घटक <math>\mathbf{p}_i</math> और स्थिति <math>\mathbf{r}_i</math> [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] के समीकरणों से संबंधित हैं:<br/>
 :<math> \begin{align}
 \dot{\mathbf{p}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\
@@ Line 53: / Line 311: @@
 इसलिए,<br/>
 :<math> \dot{\mathbf{r}}_i \propto \mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i,</math>
-तो पल <math>\mu</math> संवेग का एक रैखिक फलन है <math>\mathbf{p}_i</math>.<ref name=Aharoni/>
+अतः क्षण <math>\mu</math> क्षण <math>\mathbf{p}_i</math> का रैखिक फलन है।<ref name=Aharoni/>
 थर्मली औसत क्षण,<br />
 :<math>\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},</math>
-फॉर्म के अभिन्नों के आनुपातिक शब्दों का योग है<br />
+रूप के अभिन्नों के आनुपातिक शब्दों का योग है<br />
 :<math> \int_{-\infty}^\infty (\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i) dP, </math>
-कहाँ <math>p</math> गति निर्देशांकों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है।
+जहाँ <math>p</math> गति निर्देशांकों में से का प्रतिनिधित्व करता है।
-इंटीग्रैंड का एक अजीब कार्य है <math>p</math>, तो यह गायब हो जाता है.
+इंटीग्रैंड <math>p</math> का विषम कार्य है, इसलिए यह विलुप्त हो जाता है।
 इसलिए, <math>\langle\mu\rangle=0</math>.<ref name=Aharoni/>
@@ Line 67: / Line 325: @@
 == अनुप्रयोग ==
-बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय [[प्लाज्मा (भौतिकी)]] सहित कई अनुप्रयोगों में उपयोगी है: ये सभी संदर्भ नील्स बोह्र के भौतिक मॉडल पर बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय की चर्चा को आधार बनाते हैं, जिसमें पूरी तरह से प्रतिबिंबित करने वाली दीवारें उन धाराओं को प्रदान करने के लिए आवश्यक हैं जो रद्द कर देती हैं प्लाज्मा के एक तत्व के आंतरिक भाग से शुद्ध योगदान, और परिणामस्वरूप प्लाज्मा तत्व के लिए शून्य शुद्ध प्रतिचुम्बकत्व होता है।<ref>{{cite web |url=https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19670013534_1967013534.pdf |first1=Reece |last1=Roth |title=Plasma Stability and the Bohr–Van Leeuwen Theorem |year=1967 |publisher=NASA |accessdate=2008-10-27}}</ref>
+बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय [[प्लाज्मा (भौतिकी)]] सहित अनेक अनुप्रयोगों में उपयोगी है: ये सभी संदर्भ नील्स बोह्र के भौतिक मॉडल पर बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय की चर्चा को आधार बनाते हैं, जिसमें पूर्णता से प्रतिबिंबित करने वाली दीवारें उन धाराओं को प्रदान करने के लिए आवश्यक हैं जो इसे व्यर्थ कर देती हैं प्लाज्मा के अवयव के आंतरिक भाग से शुद्ध योगदान, और परिणामस्वरूप प्लाज्मा अवयव के लिए शून्य शुद्ध प्रतिचुम्बकत्व होता है।<ref>{{cite web |url=https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19670013534_1967013534.pdf |first1=Reece |last1=Roth |title=Plasma Stability and the Bohr–Van Leeuwen Theorem |year=1967 |publisher=NASA |accessdate=2008-10-27}}</ref>
-विशुद्ध रूप से शास्त्रीय प्रकृति का प्रतिचुंबकत्व प्लाज़्मा में होता है, लेकिन यह थर्मल असंतुलन का परिणाम है, जैसे कि प्लाज़्मा घनत्व में ढाल। [[वैद्युतयांत्रिकी]] और [[ विद्युत अभियन्त्रण ]] को भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से व्यावहारिक लाभ मिलता है।
+विशुद्ध रूप से मौलिक प्रकृति का प्रतिचुंबकत्व प्लाज़्मा में होता है, किन्तु यह थर्मल असंतुलन का परिणाम है, जैसे कि प्लाज़्मा घनत्व में स्लोप होता हैं। [[वैद्युतयांत्रिकी]] और [[ विद्युत अभियन्त्रण |विद्युत अभियन्त्रण]] को भी बोह्र-वान लीउवेन प्रमेय से व्यावहारिक लाभ मिलता है।
 ==संदर्भ==
@@ Line 83: / Line 342: @@
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बोहर-वान लीउवेन प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:05, 11 December 2023

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