रिक्त समुच्चय: Difference between revisions

Latest revision as of 16:29, 3 December 2022

रिक्त समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं है।

गणित में, रिक्त समुच्चय अद्वितीय समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं है; इसका आकार या प्रमुखता (एक समुच्चय में अवयवों की गिनती) 0 है।^[1] कुछ स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत यह सुनिश्चित करते हैं कि रिक्त समुच्चय के एक स्वयंसिद्ध को सम्मलित करके रिक्त समुच्चय मौजूद है, जबकि अन्य सिद्धांतों में, इसके अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है। समुच्चय के कई संभावित गुण रिक्त समुच्चय के लिए रिक्त रूप से सत्य हैं।

रिक्त समुच्चय के अतिरिक्त कोई भी समुच्चय अरिक्त कहलाता है।

कुछ पाठ्यपुस्तकों और लोकप्रियकरणों में, रिक्त समुच्चय को नल समुच्चय के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[1] यद्यपि, शून्य समुच्चय माप सिद्धांत के संदर्भ में एक अलग धारणा है, जिसमें यह माप शून्य के एक समुच्चय का वर्णन करता है (जो आवश्यक रूप से रिक्त नहीं है)। रिक्त समुच्चय को शून्य समुच्चय भी कहा जा सकता है।

नोटेशन

रिक्त समुच्चय के लिए एक प्रतीक

रिक्त समुच्चय के लिए सामान्य संकेतन में {} , $\emptyset$ , और ∅ सम्मलित है। बाद के दो प्रतीकों को 1939 में बॉरबाकी समूह (विशेष रूप से आंद्रे वेइल) द्वारा पेश किया गया था, जो डेनिश वर्तनी और नॉर्वेजियन ऑर्थोग्राफी वर्णमाला के अक्षर Ø से प्रेरित था।^[2] अतीत में, 0 को कभी-कभी रिक्त समुच्चय के प्रतीक के रूप में इस्तेमाल किया जाता था, लेकिन अब इसे संकेतन का अनुचित उपयोग माना जाता है।^[3]

प्रतीक ∅ यूनिकोड बिंदु U+2205 पर उपलब्ध है।^[4] इसे HTML में कोडित किया जा सकता है जैसे ∅ और ∅. इसे LaTeX में कोडित किया जा सकता है जैसे : \varnothing. प्रतीक $\emptyset$ LaTeX में \emptyset.के रूप में कोडित है।

डेनिश और नॉर्वेजियन जैसी भाषाओं में लिखते समय, जहां रिक्त समुच्चय वर्ण को वर्णानुक्रमिक अक्षर Ø (भाषाविज्ञान में प्रतीक का उपयोग करते समय) के साथ भ्रमित किया जा सकता है, इसके अतिरिक्त, यूनिकोड वर्ण U+²⁹B₀ उलटे रिक्त समुच्चय का उपयोग किया जा सकता है।^[5]

गुण

मानक स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में, विस्तार के सिद्धांत द्वारा, दो समुच्चय समान होते हैं यदि उनके पास समान अवयव होते हैं। फलस्वरूप बिना किसी अवयव के केवल एक समुच्चय हो सकता है, इसलिए रिक्त समुच्चय के अतिरिक्त रिक्त समुच्चय का उपयोग किया जाता है।

रिक्त समुच्चय में निम्नलिखित गुण होते हैं:

इसका एकमात्र उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय ही है:
$\forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing$
रिक्त समुच्चय का सत्ता स्थापित वह समुच्चय होता है जिसमें केवल रिक्त समुच्चय होता है:
$2^{\varnothing }=\{\varnothing \}$
रिक्त समुच्चय के अवयवों की संख्या (अर्थात, इसकी कार्डिनैलिटी) शून्य है:
$\mathrm {|} \varnothing \mathrm {|} =0$

किसी समुच्चयAके लिए:

रिक्त समुच्चय $A,$ का सबसमुच्चय है:
$\forall A:\varnothing \subseteq A$
रिक्त समुच्चय के साथAका संघ (समुच्चय सिद्धांत) $A,$ है:
$\forall A:A\cup \varnothing =A$
रिक्त समुच्चय के साथ A का समुच्चय सिद्धांत रिक्त समुच्चय है:
$\forall A:A\cap \varnothing =\varnothing$
ए और रिक्त समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद रिक्त समुच्चय है:
$\forall A:A\times \varnothing =\varnothing$

किसी भी संपत्ति (दर्शन) के लिए पी:

$\varnothing$ के प्रत्येक अवयव के लिए, गुण पी धारण करती है (रिक्त सत्य)।
$\varnothing$ का कोई अवयव नहीं है जिसके लिए गुण पी धारण रखती है।

इसके विपरीत, यदि कुछ गुण पी और कुछ समुच्चय V के लिए, निम्नलिखित दो कथन धारण करते हैं:

V के प्रत्येक अवयव के लिए गुण पी धारण रखती है
V का कोई अवयव नहीं है जिसके लिए गुण पी धारण करता है

फिर $V=\varnothing .$ उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार, रिक्त समुच्चय किसी समुच्चय A का उपसमुच्चय होता है। $\varnothing$ का प्रत्येक अवयव x A से संबंधित है। वास्तव में, यदि यह सत्य नहीं होता कि $\varnothing$ का प्रत्येक अवयव A में है, तो $\varnothing$ का कम से कम एक अवयव ऐसा होगा जो A में मौजूद नहीं है।। चूंकि $\varnothing$ का कोई भी अवयव नहीं है, इसलिए $\varnothing$ का कोई अवयव ऐसा नहीं है जो A में न हो।। कोई भी कथन जो $\varnothing$ के प्रत्येक अवयव के लिए शुरू होता है कोई ठोस दावा नहीं कर रहा है; यह एक रिक्त सच है। यह अधिकांशतः व्याख्या की जाती है क्योंकि रिक्त समुच्चय के अवयवों के बारे में सब कुछ सच है।

प्राकृतिक संख्याओं की सामान्य समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषा में, शून्य को रिक्त समुच्चय द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है।

रिक्त समुच्चय पर संचालन

परिमित समुच्चय के अवयवों के योग की बात करते समय, एक अनिवार्य रूप से इस परिपाटी की ओर अग्रसर होता है कि रिक्त समुच्चय के अवयवों का योग शून्य है। इसका कारण यह है कि शून्य योग का तत्समक अवयव है। इसी तरह, रिक्त समुच्चय के अवयवों के गुणन को 1 (संख्या) माना जाना चाहिए ( रिक्त उत्पाद देखें), क्योंकि गुणन के लिए एक पहचान अवयव है।

एक अव्यवस्था निश्चित बिंदु (गणित) के बिना समुच्चय का क्रमचय है। रिक्त समुच्चय को स्वयं का विक्षोभ माना जा सकता है, क्योंकि इसमें केवल एक क्रमचय ( $0!=1$ ), और यह स्पष्ट रूप से सच है कि कोई भी अवयव (रिक्त समुच्चय का) नहीं पाया जा सकता है जो अपनी मूल स्थिति को स्थायी रखता है।

गणित के अन्य क्षेत्रों में

विस्तारित वास्तविक संख्या

चूंकि रिक्त समुच्चय में कोई सदस्य नहीं होता है, जब इसे किसी ऑर्डर किए गए समुच्चय के सबसमुच्चय के रूप में माना जाता है, तो उस समुच्चय का प्रत्येक सदस्य रिक्त समुच्चय के लिए ऊपरी बाउंड और निचला बाउंड होगा। उदाहरण के लिए, जब वास्तविक संख्याओं के सबसमुच्चय के रूप में माना जाता है, इसके सामान्य क्रम के साथ, वास्तविक संख्या रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, प्रत्येक वास्तविक संख्या रिक्त समुच्चय के लिए ऊपरी और निचली सीमा दोनों होती है।^[6] जब वास्तविक संख्याओं (अर्थात् $-\infty \!\,,$ निरूपित) में दो संख्याओं या बिंदुओं को जोड़कर गठित विस्तारित वास्तविक का एक उपसमुच्चय माना जाता है $-\infty \!\,,$ जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से कम के रूप में परिभाषित किया गया है, और $+\infty \!\,,$ , निरूपित किया गया है $+\infty \!\,,$ जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से अधिक के रूप में परिभाषित किया गया है), हमारे पास है:

\sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,

तथा

\inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .

अर्थात्, रिक्त समुच्चय की सबसे छोटी ऊपरी सीमा (ऊपर या सर्वोच्च)

-\infty \!\,,

है, जबकि सबसे बड़ी निचली सीमा (inf या infimum ) सकारात्मक अनंत है। उपरोक्त के अनुरूप, विस्तारित वास्तविक के क्षेत्र में,

-\infty \!\,,

अधिकतम और सर्वोच्च ऑपरेटरों के लिए पहचान अवयव है, जबकि सकारात्मक अनंत न्यूनतम और न्यूनतम ऑपरेटरों के लिए पहचान अवयव है।

टोपोलॉजी

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स में, रिक्त समुच्चय परिभाषा के अनुसार विवृत समुच्चय है, जैसा कि एक्स है। चूंकि एक खुले समुच्चय का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) बंद समुच्चय है और रिक्त समुच्चय और एक्स एक दूसरे के पूरक हैं, रिक्त समुच्चय भी है बंद, इसे एक क्लोपेन समुच्चय बनाते हैं। इसके अलावा, रिक्त समुच्चय इस तथ्य से कॉम्पैक्ट समुच्चय है कि हर परिमित समुच्चय कॉम्पैक्ट है।

रिक्त समुच्चय का क्लोजर (गणित) रिक्त है। इसे अशक्त संघ (समुच्चय सिद्धांत) के संरक्षण के रूप में जाना जाता है।

श्रेणी सिद्धांत

यदि $A$ एक समुच्चय है, तो ठीक एक फ़ंक्शन मौजूद है (गणित) $f$ से $\varnothing$ प्रति $A,$ रिक्त समारोह । फलस्वरूप, रिक्त समुच्चय समुच्चय और कार्यों के श्रेणी सिद्धांत की अद्वितीयप्रारंभिक वस्तु है।

रिक्त समुच्चय को एक टोपोलॉजिकल स्पेस में बदल दिया जा सकता है, जिसे रिक्त स्थान कहा जाता है, मात्र एक तरह से:रिक्त समुच्चय को ओपन समुच्चय के रूप में परिभाषित करके। यह रिक्त टोपोलॉजिकल स्पेस सतत कार्य (टोपोलॉजी) के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में अद्वितीय प्रारंभिक वस्तु है। वास्तव में, यह एक सख्त प्रारंभिक वस्तु है: मात्र रिक्त समुच्चय में रिक्त समुच्चय के लिए एक फ़ंक्शन होता है।

सिद्धांत समुच्चय करें

वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल में, 0 को रिक्त समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है, और एक ऑर्डिनल के उत्तराधिकारी को परिभाषित किया गया है $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ . इस प्रकार, हमारे पास है $0=\varnothing$ , $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ , $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ , और इसी तरह। वॉन न्यूमैन निर्माण, अनंत के स्वयंसिद्ध के साथ, जो कम से कम एक अनंत समुच्चय के अस्तित्व की गारंटी देता है, का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के निर्माण के लिए किया जा सकता है, $\mathbb {N} _{0}$ , जैसे कि अंकगणित के पीनो स्वयंसिद्ध संतुष्ट हैं।

संदिग्ध अस्तित्व

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत

ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत में, रिक्त समुच्चय के अस्तित्व को रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध द्वारा आश्वासन दिया जाता है, और इसकी विशिष्टता विस्तार के स्वयंसिद्ध से होती है। हालाँकि, रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध को कम से कम दो तरीकों से अनावश्यक दिखाया जा सकता है:

मानक प्रथम-क्रम तर्क का तात्पर्य केवल तार्किक स्वयंसिद्ध से है, कि something मौजूद है, और समुच्चय सिद्धांत की भाषा में, वह वस्तु एक समुच्चय होनी चाहिए। अब रिक्त समुच्चय का अस्तित्व पृथक्करण के अभिगृहीत से सरलता से अनुसरण करता है।
यहां तक कि मुक्त तर्क का उपयोग करना (जिसका तार्किक रूप से यह अर्थ नहीं है कि कुछ मौजूद है), पहले से ही एक स्वयंसिद्ध है जो कम से कम एक समुच्चय के अस्तित्व को दर्शाता है, अर्थात् अनंत का स्वयंसिद्ध।

दार्शनिक मुद्दे

जबकि रिक्त समुच्चय एक मानक और व्यापक रूप से स्वीकृत गणितीय अवधारणा है, यह एक सत्तामूलक जिज्ञासा बनी हुई है, जिसका अर्थ और उपयोगिता दार्शनिकों और तर्कशास्त्रियों द्वारा बहस की जाती है।

रिक्त समुच्चय अभाव के समान नहीं है ; बल्कि, यह अभाव के साथ एक समुच्चय है,एक सेट हमेशा कुछ होता है. एक समुच्चय को बैग के रूप में देखने से इस समस्या को दूर किया जा सकता है - एक रिक्त बैग निस्संदेह अभी भी मौजूद है। डार्लिंग (2004) बताते हैं कि रिक्त समुच्चय कुछ भी नहीं है, बल्कि चार भुजाओं वाले सभी त्रिकोणों का समुच्चय है, सभी संख्याओं का समुच्चय जो नौ से बड़ा है लेकिन आठ से छोटा है, और शतरंज में सभी शुरुआती चालों का सेट जिसमें एक राजा शामिल होता है।^[7]

लोकप्रिय न्यायवाक्य

शाश्वत सुख से बढ़कर कुछ नहीं; एक हैम सैंडविच कुछ नहीं से बेहतर है; इसलिए, एक हैम सैंडविच हमेशा की खुशी से बेहतर है

अधिकांशतः शून्य की अवधारणा और रिक्त समुच्चय के बीच दार्शनिक संबंध को प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। डार्लिंग लिखते हैं कि बयानों को फिर से लिखकर विरोधाभास देखा जा सकता है शाश्वत खुशी से बेहतर कुछ भी नहीं है और [A] हैम सैंडविच गणितीय स्वर में कुछ नहीं से बेहतर है। डार्लिंग के अनुसार, पूर्व उन सभी चीजों के समुच्चय के बराबर है जो शाश्वत सुख से बेहतर हैं $\varnothing$ और बाद वाला समुच्चय {हैम सैंडविच} समुच्चय से बेहतर है $\varnothing$ . पहला समुच्चय के अवयवों की तुलना करता है, जबकि दूसरा समुच्चय की तुलना स्वयं करता है।^[7]

जोनाथन लोव का तर्क है कि जबकि रिक्त समुच्चय:

निस्संदेह गणित के इतिहास में एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर था, हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि गणना में इसकी उपयोगिता वास्तव में किसी वस्तु को दर्शाने पर निर्भर है।

यह भी मामला है कि:

रिक्त समुच्चय के बारे में हमें केवल इतना बताया जाता है कि यह (1) एक समुच्चय है, (2) कोई सदस्य नहीं है, और (3) कोई सदस्य न होने के कारण समुच्चयों में अद्वितीय है। हालाँकि, ऐसी बहुत सी चीज़ें हैं जिनका 'कोई सदस्य नहीं है', समुच्चय-सैद्धांतिक अर्थों में - अर्थात्, सभी गैर-समुच्चय। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन चीजों का कोई सदस्य क्यों नहीं है, क्योंकि वे समुच्चय नहीं हैं। जो स्पष्ट नहीं है वह कैसे हो सकता है, विशिष्ट रूप से समुच्चय के बीच,Aset जिसका कोई सदस्य नहीं है। हम केवल शर्त से ऐसी सत्ता को अस्तित्व में नहीं ला सकते।^[8]

जॉर्ज बूलोस ने तर्क दिया कि समुच्चय सिद्धांत द्वारा अब तक जो कुछ भी प्राप्त किया गया है, वह आसानी से व्यक्तियों पर बहुवचन परिमाणीकरण द्वारा आसानी से प्राप्त किया जा सकता है,सदस्यों के रूप में अन्य संस्थाओं वाले एकल संस्थाओं के रूप में समुच्चय को संशोधित किए बिना।^[9]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "खाली सेट". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-11.
↑ "सेट थ्योरी और लॉजिक के प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग।".
↑ Rudin, Walter (1976). गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 300. ISBN 007054235X.
↑ "यूनिकोड मानक 5.2" (PDF).
↑ e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.
↑ Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.
↑ ^7.0 ^7.1 D. J. Darling (2004). गणित की सार्वभौमिक पुस्तक. John Wiley and Sons. p. 106. ISBN 0-471-27047-4.
↑ E. J. Lowe (2005). लोके. Routledge. p. 87.
↑ George Boolos (1984), "To be is to be the value of a variable", The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in 1998, Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54–72.

अग्रिम पठन

Halmos, पीaul, Naive Set Theory. पीrinceton, NJ: D. Van Nostrand Comपीany, 1960. Reपीrinted by Sपीringer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Sपीringer-Verlag edition). Reपीrinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (पीaपीerback edition).
Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Empty Set". MathWorld.

[:1-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "खाली सेट". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-11.

[2] "सेट थ्योरी और लॉजिक के प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग।".

[3] Rudin, Walter (1976). गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 300. ISBN 007054235X.

[4] "यूनिकोड मानक 5.2" (PDF).

[5] .g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.

[6] Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.

[Darling-7] 7.0 ^7.1 D. J. Darling (2004). गणित की सार्वभौमिक पुस्तक. John Wiley and Sons. p. 106. ISBN 0-471-27047-4.

[Lowe-8] E. J. Lowe (2005). लोके. Routledge. p. 87.

[9] George Boolos (1984), "To be is to be the value of a variable", The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in 1998, Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54–72.

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 {{short description|Mathematical set containing no elements}}
-{{Redirect|∅|similar symbols|Ø (disambiguation)}}
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-[[File:Nullset.svg|thumb|upright=0.6|रिक्त समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं है।]]गणित में, रिक्त समुच्चय अद्वितीय समुच्चय (गणित) है जिसमें कोई अवयव नहीं है (गणित); इसका आकार या [[ प्रमुखता ]] (एक समुच्चय में अवयवों की गिनती) [[ 0 ]] है।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=खाली सेट|url=https://mathworld.wolfram.com/EmptySet.html|access-date=2020-08-11|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> कुछ स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत यह सुनिश्चित करते हैं कि रिक्त समुच्चय के एक स्वयंसिद्ध को शामिल करके रिक्त समुच्चय मौजूद है, जबकि अन्य सिद्धांतों में, इसके अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है। समुच्चय के कई संभावित गुण रिक्त समुच्चय के लिए रिक्त रूप से सत्य हैं।
+[[File:Nullset.svg|thumb|upright=0.6|रिक्त समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं है।]]गणित में, रिक्त समुच्चय अद्वितीय समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं है; इसका आकार या [[ प्रमुखता ]] (एक समुच्चय में अवयवों की गिनती) [[ 0 ]] है।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=खाली सेट|url=https://mathworld.wolfram.com/EmptySet.html|access-date=2020-08-11|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> कुछ स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत यह सुनिश्चित करते हैं कि रिक्त समुच्चय के एक स्वयंसिद्ध को सम्मलित करके रिक्त समुच्चय मौजूद है, जबकि अन्य सिद्धांतों में, इसके अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है। समुच्चय के कई संभावित गुण रिक्त समुच्चय के लिए रिक्त रूप से सत्य हैं।
 रिक्त समुच्चय के अतिरिक्त कोई भी समुच्चय अरिक्त कहलाता है।
-कुछ पाठ्यपुस्तकों और लोकप्रियकरणों में, रिक्त समुच्चय को नल समुच्चय के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name=":1" />  हालांकि, [[ शून्य सेट | शून्य समुच्चय]] [[ माप सिद्धांत ]] के संदर्भ में एक अलग धारणा है, जिसमें यह माप शून्य के एक समुच्चय का वर्णन करता है (जो आवश्यक रूप से रिक्त नहीं है)। रिक्त समुच्चय को शून्य समुच्चय भी कहा जा सकता है।
+कुछ पाठ्यपुस्तकों और लोकप्रियकरणों में, रिक्त समुच्चय को नल समुच्चय के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name=":1" />  यद्यपि, [[ शून्य सेट | शून्य समुच्चय]] [[ माप सिद्धांत ]] के संदर्भ में एक अलग धारणा है, जिसमें यह माप शून्य के एक समुच्चय का वर्णन करता है (जो आवश्यक रूप से रिक्त नहीं है)। रिक्त समुच्चय को शून्य समुच्चय भी कहा जा सकता है।
 == नोटेशन ==
 {{Main|Null sign}}
-[[Image:Empty set symbol.svg|thumb|upright=0.6|रिक्त समुच्चय के लिए एक प्रतीक]]रिक्त समुच्चय के लिए सामान्य संकेतन में {} ,<math>\emptyset</math>, और ∅ शामिल है। बाद के दो प्रतीकों को 1939 में बॉरबाकी समूह (विशेष रूप से आंद्रे वेइल) द्वारा पेश किया गया था, जो [[ डेनिश वर्तनी ]] और [[ नॉर्वेजियन ऑर्थोग्राफी ]] वर्णमाला के अक्षर Ø से प्रेरित था।<ref>{{cite web| url = http://jeff560.tripod.com/set.html| title = सेट थ्योरी और लॉजिक के प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग।}}</ref> अतीत में, 0 को कभी-कभी रिक्त समुच्चय के प्रतीक के रूप में इस्तेमाल किया जाता था, लेकिन अब इसे संकेतन का अनुचित उपयोग माना जाता है।<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=007054235X|edition=3rd|pages=300}}</ref>
+[[Image:Empty set symbol.svg|thumb|upright=0.6|रिक्त समुच्चय के लिए एक प्रतीक]]रिक्त समुच्चय के लिए सामान्य संकेतन में {} ,<math>\emptyset</math>, और ∅ सम्मलित है। बाद के दो प्रतीकों को 1939 में बॉरबाकी समूह (विशेष रूप से आंद्रे वेइल) द्वारा पेश किया गया था, जो [[ डेनिश वर्तनी ]] और [[ नॉर्वेजियन ऑर्थोग्राफी ]] वर्णमाला के अक्षर Ø से प्रेरित था।<ref>{{cite web| url = http://jeff560.tripod.com/set.html| title = सेट थ्योरी और लॉजिक के प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग।}}</ref> अतीत में, 0 को कभी-कभी रिक्त समुच्चय के प्रतीक के रूप में इस्तेमाल किया जाता था, लेकिन अब इसे संकेतन का अनुचित उपयोग माना जाता है।<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=007054235X|edition=3rd|pages=300}}</ref>
 प्रतीक ∅ [[ यूनिकोड ]] बिंदु U+2205 पर उपलब्ध है।<ref>{{cite web| url = https://www.unicode.org/charts/PDF/U2200.pdf| title = यूनिकोड मानक 5.2}}</ref> इसे [[ HTML ]] में कोडित किया जा सकता है जैसे {{code|&empty;}} और {{code|&#8709;}}. इसे [[ LaTeX ]] में  कोडित किया जा सकता है जैसे : {{code|\varnothing}}. प्रतीक <math>\emptyset</math> LaTeX में  {{code|\emptyset}}.के रूप में कोडित है।
-डेनिश और नॉर्वेजियन जैसी भाषाओं में लिखते समय, जहां रिक्त समुच्चय वर्ण को वर्णानुक्रमिक अक्षर Ø (भाषाविज्ञान में प्रतीक का उपयोग करते समय) के साथ भ्रमित किया जा सकता है, इसके अतिरिक्त, यूनिकोड वर्ण U+29B0 उलटे रिक्त समुच्चय का उपयोग किया जा सकता है।<ref>e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) ''Fonetik og Fonologi: Almen og dansk.'' Akademisk forlag, Copenhagen.</ref>
+डेनिश और नॉर्वेजियन जैसी भाषाओं में लिखते समय, जहां रिक्त समुच्चय वर्ण को वर्णानुक्रमिक अक्षर Ø (भाषाविज्ञान में प्रतीक का उपयोग करते समय) के साथ भ्रमित किया जा सकता है, इसके अतिरिक्त, यूनिकोड वर्ण U+<sup>29</sup>B<sub>0</sub> उलटे रिक्त समुच्चय का उपयोग किया जा सकता है।<ref>e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) ''Fonetik og Fonologi: Almen og dansk.'' Akademisk forlag, Copenhagen.</ref>
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 * रिक्त समुच्चय का [[ सत्ता स्थापित ]] वह समुच्चय होता है जिसमें केवल रिक्त समुच्चय होता है:
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-* रिक्त समुच्चय के अवयवों की संख्या (यानी, इसकी कार्डिनैलिटी) शून्य है:
+* रिक्त समुच्चय के अवयवों की संख्या (अर्थात, इसकी कार्डिनैलिटी) शून्य है:
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-किसी समुच्चय ए के लिए:
+किसी समुच्चयAके लिए:
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+* रिक्त समुच्चय के साथ A का [[ चौराहा (सेट सिद्धांत) |समुच्चय सिद्धांत]]  रिक्त समुच्चय है:
 *:<math>\forall A: A \cap \varnothing  = \varnothing </math>
 * ए और रिक्त समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद रिक्त समुच्चय है:
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 * V का कोई अवयव नहीं है जिसके लिए गुण पी धारण करता है
 फिर <math>V = \varnothing.</math>
-उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार, रिक्त समुच्चय किसी समुच्चय A का उपसमुच्चय होता है।<math>\varnothing</math> का प्रत्येक अवयव x A से संबंधित है। वास्तव में, यदि यह सत्य नहीं होता कि <math>\varnothing</math> का प्रत्येक अवयव A में है, तो <math>\varnothing</math> का कम से कम एक अवयव ऐसा होगा जो A में मौजूद नहीं है।। चूंकि <math>\varnothing</math> का कोई भी अवयव नहीं है, इसलिए <math>\varnothing</math> का कोई अवयव ऐसा नहीं है जो A में न हो।। कोई भी कथन जो <math>\varnothing</math> के प्रत्येक अवयव के लिए शुरू होता है कोई ठोस दावा नहीं कर रहा है; यह एक रिक्त सच है। यह अधिकांशतः व्याख्या की जाती है क्योंकि रिक्त समुच्चय के अवयवों के बारे में सब कुछ सच है।
+उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार, रिक्त समुच्चय किसी समुच्चय A का उपसमुच्चय होता है। <math>\varnothing</math> का प्रत्येक अवयव x A से संबंधित है। वास्तव में, यदि यह सत्य नहीं होता कि <math>\varnothing</math> का प्रत्येक अवयव A में है, तो <math>\varnothing</math> का कम से कम एक अवयव ऐसा होगा जो A में मौजूद नहीं है।। चूंकि <math>\varnothing</math> का कोई भी अवयव नहीं है, इसलिए <math>\varnothing</math> का कोई अवयव ऐसा नहीं है जो A में न हो।। कोई भी कथन जो <math>\varnothing</math> के प्रत्येक अवयव के लिए शुरू होता है कोई ठोस दावा नहीं कर रहा है; यह एक रिक्त सच है। यह अधिकांशतः व्याख्या की जाती है क्योंकि रिक्त समुच्चय के अवयवों के बारे में सब कुछ सच है।
 प्राकृतिक संख्याओं की सामान्य समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषा में, शून्य को रिक्त समुच्चय द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है।
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 परिमित समुच्चय के अवयवों के [[ योग ]] की बात करते समय, एक अनिवार्य रूप से इस परिपाटी की ओर अग्रसर होता है कि रिक्त समुच्चय के अवयवों का योग शून्य है। इसका कारण यह है कि शून्य योग का तत्समक अवयव है। इसी तरह, रिक्त समुच्चय के अवयवों के गुणन को [[ 1 (संख्या) ]] माना जाना चाहिए ([[ खाली उत्पाद | रिक्त उत्पाद]] देखें), क्योंकि गुणन के लिए एक [[ पहचान तत्व | पहचान अवयव]] है।
-एक [[ गड़बड़ी ]] [[ निश्चित बिंदु (गणित) ]] के बिना एक समुच्चय का क्रमचय है। रिक्त समुच्चय को स्वयं का विक्षोभ माना जा सकता है, क्योंकि इसमें केवल एक क्रमचय (<math>0!=1</math>), और यह स्पष्ट रूप से सच है कि कोई भी अवयव (रिक्त समुच्चय का) नहीं पाया जा सकता है जो अपनी मूल स्थिति को स्थायी रखता है।
+एक [[ गड़बड़ी |अव्यवस्था]] [[ निश्चित बिंदु (गणित) |निश्चित बिंदु (गणित)]] के बिना समुच्चय का क्रमचय है। रिक्त समुच्चय को स्वयं का विक्षोभ माना जा सकता है, क्योंकि इसमें केवल एक क्रमचय (<math>0!=1</math>), और यह स्पष्ट रूप से सच है कि कोई भी अवयव (रिक्त समुच्चय का) नहीं पाया जा सकता है जो अपनी मूल स्थिति को स्थायी रखता है।
 ==गणित के अन्य क्षेत्रों में ==
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 === विस्तारित वास्तविक संख्या ===
-चूंकि रिक्त समुच्चय में कोई सदस्य नहीं होता है, जब इसे किसी ऑर्डर किए गए समुच्चय के सबसमुच्चय के रूप में माना जाता है, तो उस समुच्चय का प्रत्येक सदस्य रिक्त समुच्चय के लिए ऊपरी बाउंड और निचला बाउंड होगा। उदाहरण के लिए, जब वास्तविक संख्याओं के सबसमुच्चय के रूप में माना जाता है, इसके सामान्य क्रम के साथ, [[ वास्तविक संख्या रेखा ]] द्वारा दर्शाया जाता है, प्रत्येक वास्तविक संख्या रिक्त समुच्चय के लिए ऊपरी और निचली सीमा दोनों होती है।<ref>Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). ''[http://classicalrealanalysis.info/com/documents/TBB-AllChapters-Portrait.pdf Elementary Real Analysis]'', 2nd edition, p.&nbsp;9.</ref> जब वास्तविक संख्याओं (अर्थात् ऋणात्मक अनंत, निरूपित) में दो संख्याओं या बिंदुओं को जोड़कर गठित [[ विस्तारित वास्तविक ]]ों का एक उपसमुच्चय माना जाता है <math>-\infty\!\,,</math> जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से कम के रूप में परिभाषित किया गया है, और [[ सकारात्मक अनंत ]], निरूपित किया गया है <math>+\infty\!\,,</math> जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से अधिक के रूप में परिभाषित किया गया है), हमारे पास है:
+चूंकि रिक्त समुच्चय में कोई सदस्य नहीं होता है, जब इसे किसी ऑर्डर किए गए समुच्चय के सबसमुच्चय के रूप में माना जाता है, तो उस समुच्चय का प्रत्येक सदस्य रिक्त समुच्चय के लिए ऊपरी बाउंड और निचला बाउंड होगा। उदाहरण के लिए, जब वास्तविक संख्याओं के सबसमुच्चय के रूप में माना जाता है, इसके सामान्य क्रम के साथ, [[ वास्तविक संख्या रेखा ]] द्वारा दर्शाया जाता है, प्रत्येक वास्तविक संख्या रिक्त समुच्चय के लिए ऊपरी और निचली सीमा दोनों होती है।<ref>Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). ''[http://classicalrealanalysis.info/com/documents/TBB-AllChapters-Portrait.pdf Elementary Real Analysis]'', 2nd edition, p.&nbsp;9.</ref> जब वास्तविक संख्याओं (अर्थात् <math>-\infty\!\,,</math> निरूपित) में दो संख्याओं या बिंदुओं को जोड़कर गठित [[ विस्तारित वास्तविक ]] का एक उपसमुच्चय माना जाता है <math>-\infty\!\,,</math> जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से कम के रूप में परिभाषित किया गया है, और [[ सकारात्मक अनंत | <math>+\infty\!\,,</math>]] , निरूपित किया गया है <math>+\infty\!\,,</math> जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से अधिक के रूप में परिभाषित किया गया है), हमारे पास है:
 <math display=block>\sup\varnothing=\min(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=-\infty,</math>
 तथा
 <math display=block>\inf\varnothing=\max(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=+\infty.</math>
-अर्थात्, रिक्त समुच्चय की सबसे छोटी ऊपरी सीमा (ऊपर या सर्वोच्च) ऋणात्मक अनंत है, जबकि सबसे बड़ी निचली सीमा (inf या [[ infimum ]]) सकारात्मक अनंत है। उपरोक्त के अनुरूप, विस्तारित वास्तविक के क्षेत्र में, नकारात्मक अनंत अधिकतम और सर्वोच्च ऑपरेटरों के लिए पहचान अवयव है, जबकि सकारात्मक अनंत न्यूनतम और न्यूनतम ऑपरेटरों के लिए पहचान अवयव है।
+अर्थात्, रिक्त समुच्चय की सबसे छोटी ऊपरी सीमा (ऊपर या सर्वोच्च) <math>-\infty\!\,,</math> है, जबकि सबसे बड़ी निचली सीमा (inf या [[ infimum ]]) सकारात्मक अनंत है। उपरोक्त के अनुरूप, विस्तारित वास्तविक के क्षेत्र में, <math>-\infty\!\,,</math> अधिकतम और सर्वोच्च ऑपरेटरों के लिए पहचान अवयव है, जबकि सकारात्मक अनंत न्यूनतम और न्यूनतम ऑपरेटरों के लिए पहचान अवयव है।
 === टोपोलॉजी ===
-किसी भी [[ टोपोलॉजिकल स्पेस ]] एक्स में, रिक्त समुच्चय परिभाषा के अनुसार [[ खुला सेट | खुला समुच्चय]] है, जैसा कि एक्स है। चूंकि एक खुले समुच्चय का [[ पूरक (सेट सिद्धांत) | पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] [[ बंद सेट | बंद समुच्चय]] है और रिक्त समुच्चय और एक्स एक दूसरे के पूरक हैं, रिक्त समुच्चय भी है बंद, इसे एक [[ क्लोपेन सेट | क्लोपेन समुच्चय]] बनाते हैं। इसके अलावा, रिक्त समुच्चय इस तथ्य से [[ कॉम्पैक्ट सेट | कॉम्पैक्ट समुच्चय]] है कि हर [[ परिमित सेट | परिमित समुच्चय]] कॉम्पैक्ट है।
+किसी भी [[ टोपोलॉजिकल स्पेस |टोपोलॉजिकल स्पेस]] एक्स में, रिक्त समुच्चय परिभाषा के अनुसार [[ खुला सेट |विवृत समुच्चय]] है, जैसा कि एक्स है। चूंकि एक खुले समुच्चय का [[ पूरक (सेट सिद्धांत) | पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] [[ बंद सेट | बंद समुच्चय]] है और रिक्त समुच्चय और एक्स एक दूसरे के पूरक हैं, रिक्त समुच्चय भी है बंद, इसे एक [[ क्लोपेन सेट | क्लोपेन समुच्चय]] बनाते हैं। इसके अलावा, रिक्त समुच्चय इस तथ्य से [[ कॉम्पैक्ट सेट | कॉम्पैक्ट समुच्चय]] है कि हर [[ परिमित सेट | परिमित समुच्चय]] कॉम्पैक्ट है।
 रिक्त समुच्चय का क्लोजर (गणित) रिक्त है। इसे [[ अशक्त ]] संघ (समुच्चय सिद्धांत) के संरक्षण के रूप में जाना जाता है।
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 === स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत ===
-[[ ज़र्मेलो सेट सिद्धांत | ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत]] में, रिक्त समुच्चय के अस्तित्व को रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध द्वारा आश्वासन दिया जाता है, और इसकी विशिष्टता विस्तार के स्वयंसिद्ध से होती है। हालाँकि, रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध को कम से कम दो तरीकों से अनावश्यक दिखाया जा सकता है:
+[[ ज़र्मेलो सेट सिद्धांत |ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत]] में, रिक्त समुच्चय के अस्तित्व को रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध द्वारा आश्वासन दिया जाता है, और इसकी विशिष्टता विस्तार के स्वयंसिद्ध से होती है। हालाँकि, रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध को कम से कम दो तरीकों से अनावश्यक दिखाया जा सकता है:
-*मानक प्रथम-क्रम तर्क का तात्पर्य केवल [[ तार्किक स्वयंसिद्ध ]]ों से है, कि {{em|something}} मौजूद है, और समुच्चय सिद्धांत की भाषा में, वह  वस्तु एक समुच्चय होनी चाहिए। अब रिक्त समुच्चय का अस्तित्व पृथक्करण के अभिगृहीत से सरलता से अनुसरण करता है।
+*मानक प्रथम-क्रम तर्क का तात्पर्य केवल [[ तार्किक स्वयंसिद्ध ]] से है, कि {{em|something}} मौजूद है, और समुच्चय सिद्धांत की भाषा में, वह  वस्तु एक समुच्चय होनी चाहिए। अब रिक्त समुच्चय का अस्तित्व पृथक्करण के अभिगृहीत से सरलता से अनुसरण करता है।
 * यहां तक कि [[ मुक्त तर्क ]] का उपयोग करना (जिसका तार्किक रूप से यह अर्थ नहीं है कि कुछ मौजूद है), पहले से ही एक स्वयंसिद्ध है जो कम से कम एक समुच्चय के अस्तित्व को दर्शाता है, अर्थात् अनंत का स्वयंसिद्ध।
 === दार्शनिक मुद्दे ===
-जबकि रिक्त समुच्चय एक मानक और व्यापक रूप से स्वीकृत गणितीय अवधारणा है, यह एक [[ सत्तामूलक ]] जिज्ञासा बनी हुई है, जिसका अर्थ और उपयोगिता दार्शनिकों और तर्कशास्त्रियों द्वारा बहस की जाती है।
+जबकि रिक्त समुच्चय एक मानक और व्यापक रूप से स्वीकृत गणितीय अवधारणा है, यह एक [[ सत्तामूलक |सत्तामूलक]] जिज्ञासा बनी हुई है, जिसका अर्थ और उपयोगिता दार्शनिकों और तर्कशास्त्रियों द्वारा बहस की जाती है।
-रिक्त समुच्चय समान नहीं है {{em|[[nothing]]}}; बल्कि, यह कुछ भी नहीं के साथ एक समुच्चय है {{em|inside}} यह और एक समुच्चय हमेशा होता है {{em|something}}. एक समुच्चय को बैग के रूप में देखने से इस समस्या को दूर किया जा सकता है - एक रिक्त बैग निस्संदेह अभी भी मौजूद है। डार्लिंग (2004) बताते हैं कि रिक्त समुच्चय कुछ भी नहीं है, बल्कि चार भुजाओं वाले सभी त्रिकोणों का समुच्चय है, सभी संख्याओं का समुच्चय जो नौ से बड़ा है लेकिन आठ से छोटा है, और [[ शतरंज ]] में सभी शतरंज के उद्घाटन का समुच्चय है जिसमें शामिल है एक [[ राजा (शतरंज) ]]।<ref name="Darling" />
+रिक्त समुच्चय {{em|अभाव}}  के समान नहीं है ; बल्कि, यह {{em|अभाव}}  के साथ एक समुच्चय है,एक सेट हमेशा {{em|कुछ}}  होता है. एक समुच्चय को बैग के रूप में देखने से इस समस्या को दूर किया जा सकता है - एक रिक्त बैग निस्संदेह अभी भी मौजूद है। डार्लिंग (2004) बताते हैं कि रिक्त समुच्चय कुछ भी नहीं है, बल्कि चार भुजाओं वाले सभी त्रिकोणों का समुच्चय है, सभी संख्याओं का समुच्चय जो नौ से बड़ा है लेकिन आठ से छोटा है, और शतरंज में सभी शुरुआती चालों का सेट जिसमें एक राजा शामिल होता है।<ref name="Darling" />
 लोकप्रिय न्यायवाक्य
-:शाश्वत सुख से बढ़कर कुछ नहीं; एक हैम सैंडविच कुछ नहीं से बेहतर है; इसलिए, एक हैम सैंडविच हमेशा की खुशी से बेहतर है
+:''शाश्वत सुख से बढ़कर कुछ नहीं; एक हैम सैंडविच कुछ नहीं से बेहतर है; इसलिए, एक हैम सैंडविच हमेशा की खुशी से बेहतर है''
-अधिकांशतः शून्य की अवधारणा और रिक्त समुच्चय के बीच दार्शनिक संबंध को प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। डार्लिंग लिखते हैं कि बयानों को फिर से लिखकर विरोधाभास देखा जा सकता है शाश्वत खुशी से बेहतर कुछ भी नहीं है और [ए] हैम सैंडविच गणितीय स्वर में कुछ नहीं से बेहतर है। डार्लिंग के अनुसार, पूर्व उन सभी चीजों के समुच्चय के बराबर है जो शाश्वत सुख से बेहतर हैं <math>\varnothing</math>और बाद वाला समुच्चय {हैम सैंडविच} समुच्चय से बेहतर है <math>\varnothing</math>. पहला समुच्चय के अवयवों की तुलना करता है, जबकि दूसरा समुच्चय की तुलना स्वयं करता है।<ref name="Darling">{{cite book|title=गणित की सार्वभौमिक पुस्तक|author=D. J. Darling|publisher= [[John Wiley and Sons]]|year=2004 |isbn=0-471-27047-4|page=106}}</ref>
+अधिकांशतः शून्य की अवधारणा और रिक्त समुच्चय के बीच दार्शनिक संबंध को प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। डार्लिंग लिखते हैं कि बयानों को फिर से लिखकर विरोधाभास देखा जा सकता है शाश्वत खुशी से बेहतर कुछ भी नहीं है और [A] हैम सैंडविच गणितीय स्वर में कुछ नहीं से बेहतर है। डार्लिंग के अनुसार, पूर्व उन सभी चीजों के समुच्चय के बराबर है जो शाश्वत सुख से बेहतर हैं <math>\varnothing</math>और बाद वाला समुच्चय {हैम सैंडविच} समुच्चय से बेहतर है <math>\varnothing</math>. पहला समुच्चय के अवयवों की तुलना करता है, जबकि दूसरा समुच्चय की तुलना स्वयं करता है।<ref name="Darling">{{cite book|title=गणित की सार्वभौमिक पुस्तक|author=D. J. Darling|publisher= [[John Wiley and Sons]]|year=2004 |isbn=0-471-27047-4|page=106}}</ref>
-[[ जोनाथन लोव ]]े का तर्क है कि जबकि रिक्त समुच्चय:
-: निस्संदेह गणित के इतिहास में एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर था, ... हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि गणना में इसकी उपयोगिता वास्तव में किसी वस्तु को दर्शाने पर निर्भर है।
+[[ जोनाथन लोव | जोनाथन लोव]] का तर्क है कि जबकि रिक्त समुच्चय:
+: निस्संदेह गणित के इतिहास में एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर था, हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि गणना में इसकी उपयोगिता वास्तव में किसी वस्तु को दर्शाने पर निर्भर है।
 यह भी मामला है कि:
-: रिक्त समुच्चय के बारे में हमें केवल इतना बताया जाता है कि यह (1) एक समुच्चय है, (2) कोई सदस्य नहीं है, और (3) कोई सदस्य न होने के कारण समुच्चयों में अद्वितीय है। हालाँकि, ऐसी बहुत सी चीज़ें हैं जिनका 'कोई सदस्य नहीं है', समुच्चय-सैद्धांतिक अर्थों में - अर्थात्, सभी गैर-समुच्चय। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन चीजों का कोई सदस्य क्यों नहीं है, क्योंकि वे समुच्चय नहीं हैं। जो स्पष्ट नहीं है वह कैसे हो सकता है, विशिष्ट रूप से समुच्चय के बीच, ए {{em|set}} जिसका कोई सदस्य नहीं है। हम केवल शर्त से ऐसी सत्ता को अस्तित्व में नहीं ला सकते।<ref name="Lowe">{{cite book|title=लोके|author=E. J. Lowe|publisher= [[Routledge]]|year=2005|page=87}}</ref>
+: रिक्त समुच्चय के बारे में हमें केवल इतना बताया जाता है कि यह (1) एक समुच्चय है, (2) कोई सदस्य नहीं है, और (3) कोई सदस्य न होने के कारण समुच्चयों में अद्वितीय है। हालाँकि, ऐसी बहुत सी चीज़ें हैं जिनका 'कोई सदस्य नहीं है', समुच्चय-सैद्धांतिक अर्थों में - अर्थात्, सभी गैर-समुच्चय। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन चीजों का कोई सदस्य क्यों नहीं है, क्योंकि वे समुच्चय नहीं हैं। जो स्पष्ट नहीं है वह कैसे हो सकता है, विशिष्ट रूप से समुच्चय के बीच,A{{em|set}} जिसका कोई सदस्य नहीं है। हम केवल शर्त से ऐसी सत्ता को अस्तित्व में नहीं ला सकते।<ref name="Lowe">{{cite book|title=लोके|author=E. J. Lowe|publisher= [[Routledge]]|year=2005|page=87}}</ref>
-[[ जॉर्ज बूलोस ]] ने तर्क दिया कि समुच्चय थ्योरी द्वारा अब तक जो कुछ भी प्राप्त किया गया है, वह आसानी से व्यक्तियों पर [[ बहुवचन परिमाणीकरण ]] द्वारा आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, बिना विक्ट: रिफिकेशन समुच्चय के एकल संस्थाओं के सदस्यों के रूप में अन्य संस्थाओं के रूप में।<ref>[[George Boolos]] (1984), "To be is to be the value of a variable", ''[[The Journal of Philosophy]]'' 91: 430–49. Reprinted in 1998, ''Logic, Logic and Logic'' ([[Richard Jeffrey]], and Burgess, J., eds.) [[Harvard University Press]], 54–72.</ref>
+[[ जॉर्ज बूलोस ]] ने तर्क दिया कि समुच्चय सिद्धांत द्वारा अब तक जो कुछ भी प्राप्त किया गया है, वह आसानी से व्यक्तियों पर [[ बहुवचन परिमाणीकरण ]] द्वारा आसानी से प्राप्त किया जा सकता है,सदस्यों के रूप में अन्य संस्थाओं वाले एकल संस्थाओं के रूप में समुच्चय को संशोधित किए बिना।<ref>[[George Boolos]] (1984), "To be is to be the value of a variable", ''[[The Journal of Philosophy]]'' 91: 430–49. Reprinted in 1998, ''Logic, Logic and Logic'' ([[Richard Jeffrey]], and Burgess, J., eds.) [[Harvard University Press]], 54–72.</ref>
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|0}}
+* {{annotated link|0 - संख्या}}
-* {{annotated link|Inhabited set}}
+* {{annotated link|इनहबिटेड समुच्चय - रचनात्मक गणित में समुच्चय की तरह}}
-* {{annotated link|Nothing}}
+* {{annotated link|आभाव -अवधारणा किसी चीज़ की अनुपस्थिति को दर्शाती है}}
-* {{annotated link|घात समुच्चय}}
+* {{annotated link|घात समुच्चय - गणितीय सेट जिसमें किसी दिए गए सेट के सभी सबसेट होते हैं}}
 ==संदर्भ==
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 {{Set theory}}
-{{DEFAULTSORT:Empty Set}}[[Category: सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएं]]
+{{DEFAULTSORT:Empty Set}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Empty Set]]
-[[Category:Created On 14/11/2022]]
+[[Category:Articles with short description|Empty Set]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)|Empty Set]]
+[[Category:CS1 maint|Empty Set]]
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)|Empty Set]]
+[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
+[[Category:Collapse templates|Empty Set]]
+[[Category:Created On 14/11/2022|Empty Set]]
+[[Category:Machine Translated Page|Empty Set]]
+[[Category:Missing redirects|Empty Set]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Empty Set]]
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+[[Category:Pages with script errors|Empty Set]]
+[[Category:Portal-inline template with redlinked portals|Empty Set]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Empty Set]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Empty Set]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates based on the Citation/CS1 Lua module|Empty Set]]
+[[Category:Templates generating COinS|Cite web]]
+[[Category:Templates generating microformats|Empty Set]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Empty Set]]
+[[Category:Templates used by AutoWikiBrowser|Cite web]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Empty Set]]
+[[Category:Wikipedia fully protected templates|Cite web]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Empty Set]]
+[[Category:सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएं|Empty Set]]

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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