अस्पष्ट समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 09:47, 14 December 2022

गणित में, अस्पष्ट समीकरण $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ के रूप का एक समीकरण है जहाँ $R$ कई चरों (प्रायः बहुपद) का एक फलन है। उदाहरण के लिए $x^{2}+y^{2}-1=0$ , वृत्त का अस्पष्ट समीकरण है|

अस्पष्ट समीकरण एक फलन है जिसे एक अस्पष्ट समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है, जो फलन के मान के रूप में माने जाने वाले चरों में से एक से संबंधित है, अन्य को फलन के प्रमाण के रूप में माना जाता है।^[1]^{: 204–206} उदाहरण के लिए, समीकरण $x^{2}+y^{2}-1=0$ एकक वृत्त को परिभाषित करता है जो $y$ को $x$ के रूप में एक अस्पष्ट समीकरण में परिभाषित करता है, जहाँ $-1 \leq x \leq 1$ , तथा $y$ गैर-नकारात्मक मूल्यों तक सीमित है।

अस्पष्ट समीकरण प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत कुछ प्रकार के अस्पष्ट समीकरण अस्पष्ट फलन को परिभाषित करते हैं, अर्थात् वे जो बहुविकल्पीय समीकरणों को शून्य के रखकर के बराबर प्राप्त होते हैं और लगातार अवलकनीय होते हैं।

उदाहरण

व्युत्क्रम समीकरण

अस्पष्ट समीकरण का एक सामान्य प्रकार व्युत्क्रम समीकरण है। सभी समीकरणों में एकमात्र व्युत्क्रम समीकरण नहीं होता है। यदि $g$ , $x$ का एक फलन है जिसका एकमात्र व्युत्क्रम है, फिर $g$ के व्युत्क्रम समीकरण को $g -1$ कहा जाता है, समीकरण का हल देने वाला एकमात्र फलन है

y=g(x)

$x$ के लिये के $y$ अनुसार, यह समाधान तब इस रूप में लिखा जा सकता है

x=g^{-1}(y)\,.

$g -1$ को $g$ के व्युत्क्रम रूप में परिभाषित करना अस्पष्ट परिभाषा है। $g$ के कुछ समीकरणों के लिए , $g -1 (y)$ एक बंद रूप फलन के रूप में स्पष्ट लिखा जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि $g (x) = 2 x - 1$ , फिर $g−1(y) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2(y + 1)$ | हालांकि, यह प्रायः संभव नहीं होता है, या केवल एक नया अंकन शुरू करने से होता है (जैसा कि नीचे गुणनफल लॉग उदाहरण में है)।

सहज रूप से, $g$ आश्रित और स्वतंत्र चरों की भूमिकाओं को आपस में बदलकर एक व्युत्क्रम समीकरण प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण: गुणनफल लॉग एक अस्पष्ट समीकरण है, जो $x$ के लिए समीकरण $y - xe x = 0$ का समाधान देता है |

बीजगणितीय समीकरण

बीजगणितीय समीकरण एक ऐसा फलन है जो बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है जिसके गुणांक स्वयं बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चर $x$ में बीजगणितीय फलन y का इस समीकरण का समाधान देता है

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

जहां गुणांक $a i (x)$ , $x$ का बहुपद फलन हैं| इस बीजगणितीय फलन को दाहिने पक्ष के रूप में हल समीकरण $y = f (x)$ रूप में लिखा जा सकता है | $f$ एक मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण है |

बीजगणितीय समीकरण गणितीय विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। बीजगणितीय समीकरण का सरल उदाहरण इकाई वृत्त समीकरण के बाईं ओर दिया गया है:

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

$y$ के लिए हल करने पर स्पष्ट समाधान देता है:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

लेकिन इस स्पष्ट समीकरण को निर्दिष्ट किए बिना भी, एकक सर्कल समीकरण के अस्पष्ट समाधान को संदर्भित करना संभव है $y = f (x)$ , जहाँ $f$ मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण है।

यदपि y, द्विघात समीकरण, घन समीकरण और चतुर्थक समीकरणों के लिए स्पष्ट समाधान पाया जा सकता है, समान रूप से क्विंटिक समीकरण और उच्च घात समीकरणों के लिए सही नहीं है, जैसे

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

फिर भी, कोई अभी भी अस्पष्ट समीकरण $y = f (x)$ का उल्लेख कर सकता है, जिसमें मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण $f$ शामिल है .

प्रतिवाद

हर समीकरण $R (x, y) = 0$ एकल-मूल्यवान समीकरण का ग्राफ़ नहीं दर्शाता है, वृत्त समीकरण इसका प्रमुख उदाहरण है। एक अन्य उदाहरण एक अस्पष्ट समीकरण $x - C (y) = 0$ द्वारा दिया गया है जहां $C$ एक घन बहुपद है जिसके ग्राफ में एक उभार है। इस प्रकार, एक अस्पष्ट समीकरण को वास्तविक (एकल-मूल्यवान) समीकरण होने के लिए ग्राफ़ के केवल एक हिस्से का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है। एक अस्पष्ट समीकरण को कभी-कभी $x$ -अक्ष के किसी भाग पर आकार वर्धन करने के बाद और कुछ अवांछित कार्यात्मक शाखाओं को काट कर ही एक वास्तविक समीकरण के रूप में सफलतापूर्वक परिभाषित किया जा सकता है। फिर y को व्यक्त करने वाला समीकरण, अन्य चरों के अस्पष्ट समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।

समीकरण $R (x, y) = 0$ को परिभाषित में अन्य विकृति भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण $x = 0$ का मतलब बिल्कुल नहीं है कि $f (x)$ , $y$ के लिए समाधान दे रहा है; यह एक खड़ी रेखा है। इस तरह की समस्या से बचने के लिए, स्वीकार्य समीकरणों या क्षेत्र पर प्रायः विभिन्न प्रतिबंध लगाई जाती हैं। अस्पष्ट समीकरण प्रमेय इस प्रकार के विकृतियों से निपटने का एक समान तरीका प्रदान करता है।

अस्पष्ट अवकलन

कलन में, अस्पष्ट अवकलन नामक एक विधि अस्पष्ट परिभाषित समीकरणों को अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करती है।

समीकरण $R (x, y) = 0$ द्वारा परिभाषित अस्पष्ट समीकरण $y (x)$ को अवकलन करने के लिए, इसे $y$ के लिए स्पष्ट रूप से हल करना और फिर अवकलन करना आम तौर पर संभव नहीं है। इसके बजाय, कोई भी $R (x, y) = 0$ का पूरी तरह $x$ तथा $y$ के संबंध में अवकलन कर सकता है और इसके बाद परिणामी रैखिक समीकरण को $dy / dx$ के लिए हल करें ताकि $x$ तथा $y$ के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न प्राप्त कर सकें | यहां तक कि जब मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से हल करना संभव हो, तो कुल अवकलन से उत्पन्न सूत्र सामान्य रूप से बहुत सहज और उपयोग में आसान होता है।

उदाहरण

उदाहरण 1

विचार करिये

y+x+5=0\,.

इस समीकरण को $y$ के लिए हल करना आसान है , जो देता है

y=-x-5\,,

जहां दाहिनी ओर समीकरण $y (x)$ का स्पष्ट रूप है . तब अवकलन $dy / dx = -1$ देता है .

वैकल्पिक रूप से, मूल समीकरण को पूरी तरह से अलग किया जा सकता है:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}

$dy / dx$ के लिए हल करने पर

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

वही उत्तर जो पहले प्राप्त हुआ था।

उदाहरण 2

अस्पष्ट समीकरण का एक उदाहरण जिसके लिए स्पष्ट अवकलन का उपयोग करने की तुलना में अस्पष्ट अवकलन आसान है, वह समीकरण $y (x)$ है और दिए गए समीकरण द्वारा परिभाषित है

x^{4}+2y^{2}=8\,.

इसके संबंध में स्पष्ट रूप से $x$ के लिए अवकलन करने के लिए, पहले पाना होता है

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

और फिर इस समीकरण को अलग करें। यह दो अवकलन बनाता है: एक के लिए $y \geq 0$ और दूसरे के लिए $y < 0$ .

मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से अलग करना काफी आसान है:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

जो देता है,

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

उदाहरण 3

प्रायः, स्पष्ट रूप से $y$ के लिए हल करना मुश्किल या असंभव होता है, और अस्पष्ट अवकलन ही अवकलन का एकमात्र व्यवहार्य तरीका है। एक उदाहरण समीकरण है

y^{5}-y=x\,.

$y$ को बीजीय व्यंजक में स्पष्ट रूप से $x$ के रूप में व्यक्त करना असम्भव है, और इसलिए कोई $dy / dx$ को स्पष्ट अवकलन द्वारा हल नहीं कर सकता । अस्पष्ट विधि का उपयोग करके, $dy / dx$ प्राप्त करने के लिए समीकरण को अवकलित करके प्राप्त किया जा सकता है

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

जहां $dx / dx = 1$ . फैक्टरिंग आउट $dy / dx$ देता है

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

जो परिणाम देता है

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

जिसके लिए परिभाषित किया गया है

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

अस्पष्ट समीकरण के अवकलन के लिए सामान्य सूत्र

यदि $R (x, y) = 0$ , अस्पष्ट समीकरण का अवकलन $y (x)$ द्वारा दिया गया है^[2]^: §11.5

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,

जहां $x$ तथा $y$ के संबंध में $R x$ तथा $R y$ , $R$ के आंशिक अवकलन है |

उपरोक्त सूत्र $x$ के संबंध में, $R (x, y) = 0$ के दोनों पक्षों का कुल अवकलन प्राप्त करने के लिए श्रंखला नियम का उपयोग करने से आता है:

{\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

इसलिये

{\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

जिसे $dy / dx$ हल करने पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति देता है।

अस्पष्ट समीकरण प्रमेय

यूनिट सर्कल को स्पष्ट रूप से बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

(x, y)

संतुष्टि देने वाला

x 2 + y 2 = 1

. बिंदु के आसपास

A

,

y

एक अस्पष्ट समीकरण

y (x)

के रूप में व्यक्त किया जा सकता है . (कई मामलों के विपरीत, यहां इस समीकरण को स्पष्ट किया जा सकता है

g 1 (x) = \sqrt 1 - x 2

.) बिंदु

B

के आसपास ऐसा कोई समीकरण मौजूद नहीं है, जहां स्पर्शरेखा स्थान लंबवत है।

मानिए कि $R (x, y)$ दो चरों का एक अवकलनीय फलन हो, और $(a, b)$ वास्तविक संख्याओं का ऐसा युग्म हो कि $R (a, b) = 0$ | यदि $\partial R / \partial y \neq 0$ , फिर $R (x, y) = 0$ एक अस्पष्ट समीकरण को परिभाषित करता है जो $(a, b)$ के इर्द-गिर्द कुछ छोटे अंतराल में अवकलनीय होता है ; दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय समीकरण $f$ है जो $a$ के इर्द-गिर्द परिभाषित और अवकलनीय है कि $R (x, f (x)) = 0$ , $x$ के इर्द-गिर्द।

स्थिति $\partial R / \partial y \neq 0$ का मतलब है कि $(a, b)$ अस्पष्ट वक्र के अस्पष्ट समीकरण $R (x, y) = 0$ का एक विलक्षण बिंदु है जहां स्पर्शरेखा लंबवत नहीं है।

कम तकनीकी भाषा में, एक अस्पष्ट समीकरण मौजूद हैं और इसे अवकलन किया जा सकता है, यदि वक्र में गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है।^[2]^: §11.5

बीजगणितीय ज्यामिति में

संबंध $R (x 1, \dots, x n) = 0$ पर विचार करें , जहां $R$ एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है। इस संबंध को संतुष्ट करने वाले चरों के मूल्यों के समुच्चय को एक अस्पष्ट वक्र कहा जाता है, यदि $n = 2$ और अस्पष्ट सतह, यदि $n = 3$ | संतुष्ट समीकरण बीजगणितीय ज्यामिति का आधार हैं, जिनके अध्ययन के मूल विषय कई अस्पष्ट समीकरणों के एक साथ समाधान हैं जिनके बाएँ हाथ बहुपद हैं। समकालिक समाधानों के इन समुच्चयों को अफ्फिन बीजगणितीय समुच्चय कहा जाता है।

अवकलनीय समीकरणों में

अवकलनीय समीकरणों के समाधान आम तौर पर एक अस्पष्ट समीकरण द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।^[3]

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में, जब स्तर समुच्चय $R (x, y) = 0$ , $x$ तथा $y$ दो मात्राओं के लिए एक अवकलनीय वक्र नहीं है, अस्पष्ट व्युत्पन्न $dy / dx$ का शुद्ध मूल्य की व्याख्या दो वस्तुओं के प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में की जाती है: x की एक इकाई के नुकसान के प्रति उदासीन होने के लिए आपको कितना अधिक y प्राप्त करना चाहिए|

तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर

इसी तरह, कभी-कभी स्तर समुच्चय $R (L, K)$ एक समोत्पाद होता है जो प्रत्येक श्रम $L$ और भौतिक पूंजी $K$ का उपयोग की गई मात्राओं के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला है जिसके परिणामस्वरूप कुछ अच्छे के उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन होगा। इस मामले में अस्पष्ट व्युत्पन्न $dK / dL$ की पूर्ण मूल्य की व्याख्या उत्पादन के दो कारकों के बीच तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में की जाती है: श्रम की एक कम इकाई के साथ उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन करने के लिए फर्म को कितनी अधिक पूंजी का उपयोग करना चाहिए।

इष्टतमीकरण

प्रायः आर्थिक सिद्धांत में, कुछ समीकरण जैसे उपयोगिता समीकरण या लाभ समीकरण को $x$ के पसंद वेक्टर के संबंध में अधिकतम किया जाना है भले ही उद्देश्य समीकरण किसी विशिष्ट समीकरण रूप तक सीमित न हो। अस्पष्ट समीकरण प्रमेय गारंटी देता है कि अनुकूलन के पहले क्रम की शर्तें पसंद वेक्टर $x$ का इष्टतम वेक्टर $x *$ के प्रत्येक तत्व के लिए एक अस्पष्ट समीकरण परिभाषित करती हैं| जब लाभ को अधिकतम किया जा रहा है, आम तौर पर परिणामी अस्पष्ट समीकरण श्रम मांग समीकरण और विभिन्न वस्तुओं की आपूर्ति समीकरण होते हैं। जब उपयोगिता को अधिकतम किया जा रहा है, तो आम तौर पर परिणामी अस्पष्ट समीकरण श्रम आपूर्ति समीकरण और विभिन्न वस्तुओं के लिए मांग समीकरण होते हैं।

इसके अलावा, $x *$ पर समस्या के मापदंडों का प्रभाव - अस्पष्ट समीकरण का आंशिक अवकलन - कुल अवकलन का उपयोग करते हुए प्रथम-क्रम की स्थितियों की प्रणाली के कुल डेरिवेटिव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

अंतर्निहित वक्र
कार्यात्मक समीकरण
लेवल सेट
- समोच्च रेखा
- आइसोसफेस
प्रतिस्थापन के सीमांत दर
अंतर्निहित कार्य प्रमेय
लघुगणकीय विभेदन
बहुभुज
संबंधित दरें

संदर्भ

↑ Chiang, Alpha C. (1984). गणितीय अर्थशास्त्र के मौलिक तरीके (Third ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
↑ ^2.0 ^2.1 Stewart, James (1998). कैलकुलस कॉन्सेप्ट्स एंड कॉन्टेक्स्ट्स. Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.
↑ Kaplan, Wilfred (2003). उन्नत कैलकुलस. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

अग्रिम पठन

Binmore, K. G. (1983). "Implicit Functions". Calculus. New York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Boston: McGraw-Hill. pp. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). "Implicit Functions and Their Derivatives". Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton. pp. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "Implicit Differentiation, What's Going on Here?". 3Blue1Brown. Essence of Calculus. May 3, 2017 – via YouTube.

[Chiang-1] Chiang, Alpha C. (1984). गणितीय अर्थशास्त्र के मौलिक तरीके (Third ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.

[Stewart1998-2] 2.0 ^2.1 Stewart, James (1998). कैलकुलस कॉन्सेप्ट्स एंड कॉन्टेक्स्ट्स. Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.

[3] Kaplan, Wilfred (2003). उन्नत कैलकुलस. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

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Contents

उदाहरण

व्युत्क्रम समीकरण

बीजगणितीय समीकरण

प्रतिवाद

अस्पष्ट अवकलन

उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

अस्पष्ट समीकरण के अवकलन के लिए सामान्य सूत्र

अस्पष्ट समीकरण प्रमेय

बीजगणितीय ज्यामिति में

अवकलनीय समीकरणों में

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर

इष्टतमीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Mathematical relation consisting of a multi-variable function equal to zero}}
 {{Calculus |Differential}}
-गणित में, एक निहित समीकरण फॉर्म का एक संबंध (गणित) है <math>R(x_1, \dots, x_n) = 0,</math> कहाँ पे {{mvar|R}} कई चर (अक्सर एक बहुपद) का एक फलन (गणित) है। उदाहरण के लिए, यूनिट सर्कल का निहित समीकरण है <math>x^2 + y^2 - 1 = 0.</math>
+गणित में, अस्पष्ट समीकरण <math>R(x_1, \dots, x_n) = 0,</math> के रूप का एक [[संबंध (गणित)|समीकरण]] है  जहाँ {{mvar|R}} कई चरों (प्रायः [[बहुपद]]) का एक फलन है। उदाहरण के लिए <math>x^2 + y^2 - 1 = 0</math>,  [[यूनिट सर्कल|वृत्त]] का अस्पष्ट समीकरण  है|
-एक निहित कार्य एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसे एक अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो एक चर से संबंधित होता है, जिसे फ़ंक्शन के मान (गणित) के रूप में माना जाता है, अन्य को फ़ंक्शन के तर्क के रूप में माना जाता है।<ref name=Chiang>{{cite book |last=Chiang |first=Alpha C. |author-link=Alpha Chiang |title=गणितीय अर्थशास्त्र के मौलिक तरीके|location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=Third |year=1984 |isbn=0-07-010813-7 |url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1 |url-access=registration }}</ref>{{rp|204–206}} उदाहरण के लिए, समीकरण <math>x^2 + y^2 - 1 = 0</math> इकाई वृत्त परिभाषित करता है {{mvar|y}} के एक निहित कार्य के रूप में {{mvar|x}} यदि {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}}, और एक प्रतिबंधित {{mvar|y}} गैर-ऋणात्मक मूल्यों के लिए।
-निहित कार्य प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत कुछ प्रकार के संबंध एक निहित कार्य को परिभाषित करते हैं, अर्थात् संबंध कुछ निरंतर भिन्न होने योग्य बहुपरिवर्तनीय कैलकुस फ़ंक्शन के शून्य सेट के संकेतक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित होते हैं।
+अस्पष्ट समीकरण एक फलन है जिसे एक अस्पष्ट समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है, जो फलन के मान के रूप में माने जाने वाले चरों में से एक से संबंधित है, अन्य को फलन के प्रमाण के रूप में माना जाता है।<ref name="Chiang">{{cite book |last=Chiang |first=Alpha C. |author-link=Alpha Chiang |title=गणितीय अर्थशास्त्र के मौलिक तरीके|location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=Third |year=1984 |isbn=0-07-010813-7 |url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1 |url-access=registration }}</ref>{{rp|204–206}} उदाहरण के लिए, समीकरण <math>x^2 + y^2 - 1 = 0</math> [[यूनिट सर्कल|एकक वृत्त]] को परिभाषित करता है जो {{mvar|y}} को {{mvar|x}} के रूप में एक अस्पष्ट समीकरण में परिभाषित करता है, जहाँ {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}}, तथा {{mvar|y}} गैर-नकारात्मक मूल्यों तक सीमित है।
+अस्पष्ट समीकरण प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत कुछ प्रकार के अस्पष्ट समीकरण अस्पष्ट फलन को परिभाषित करते हैं, अर्थात् वे जो बहुविकल्पीय समीकरणों को शून्य के रखकर के बराबर प्राप्त होते हैं और लगातार अवलकनीय होते हैं।
 == उदाहरण ==
-=== उलटा कार्य ===
+=== व्युत्क्रम समीकरण ===
-एक सामान्य प्रकार का निहित कार्य एक उलटा कार्य है। सभी कार्यों में एक अद्वितीय उलटा कार्य नहीं होता है। यदि {{mvar|g}} का एक कार्य है {{mvar|x}} जिसका एक अद्वितीय प्रतिलोम है, तो का व्युत्क्रम कार्य {{mvar|g}}, बुलाया {{math|''g''<sup>−1</sup>}}, अद्वितीय फलन है जो समीकरण का हल (गणित) देता है
+अस्पष्ट समीकरण का एक सामान्य प्रकार व्युत्क्रम समीकरण है। सभी समीकरणों में एकमात्र व्युत्क्रम समीकरण नहीं होता है। यदि {{mvar|g}},  {{mvar|x}} का एक फलन है जिसका एकमात्र व्युत्क्रम है, फिर {{mvar|g}} के व्युत्क्रम समीकरण को  {{math|''g''<sup>−1</sup>}} कहा जाता है, समीकरण का हल देने वाला एकमात्र फलन है
 :<math> y=g(x) </math>
-के लिये {{mvar|x}} के अनुसार {{mvar|y}}. इस समाधान को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है
+{{mvar|x}} के लिये के {{mvar|y}} अनुसार, यह समाधान तब इस रूप में लिखा जा सकता है
 :<math> x = g^{-1}(y) \,.</math>
-परिभाषित {{math|''g''<sup>−1</sup>}} के विलोम के रूप में {{mvar|g}} एक निहित परिभाषा है। कुछ कार्यों के लिए {{mvar|g}}, {{math|''g''<sup>−1</sup>(''y'')}} स्पष्ट रूप से एक बंद-रूप अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है - उदाहरण के लिए, if {{math|1=''g''(''x'') = 2''x'' − 1}}, फिर {{math|1=''g''<sup>−1</sup>(''y'') = {{sfrac|1|2}}(''y'' + 1)}}. हालांकि, यह अक्सर संभव नहीं होता है, या केवल एक नया नोटेशन पेश करके (जैसा कि नीचे उत्पाद लॉग उदाहरण में है)।
+{{math|''g''<sup>−1</sup>}} को {{mvar|g}} के व्युत्क्रम रूप में परिभाषित करना अस्पष्ट परिभाषा है। {{mvar|g}} के कुछ समीकरणों के लिए , {{math|''g''<sup>−1</sup>(''y'')}} एक [[बंद रूप अभिव्यक्ति|बंद रूप फलन]] के रूप में स्पष्ट लिखा जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि {{math|1=''g''(''x'') = 2''x'' − 1}}, फिर {{math|1=''g''<sup>−1</sup>(''y'') = {{sfrac|1|2}}(''y'' + 1)}} | हालांकि, यह प्रायः संभव नहीं होता है, या केवल एक नया अंकन शुरू करने से होता है (जैसा कि नीचे [[उत्पाद लॉग|गुणनफल लॉग]] उदाहरण में है)।
-सहज रूप से, एक प्रतिलोम फलन प्राप्त होता है {{mvar|g}} आश्रित और स्वतंत्र चर की भूमिकाओं को बदलकर।
+सहज रूप से, {{mvar|g}} आश्रित और स्वतंत्र चरों की भूमिकाओं को आपस में बदलकर एक व्युत्क्रम समीकरण प्राप्त किया जाता है।
-उदाहरण: उत्पाद लॉग एक निहित कार्य है जो समाधान देता है {{mvar|x}} समीकरण का {{math|1=''y'' − ''xe''<sup>''x''</sup> = 0}}.
+उदाहरण: गुणनफल लॉग एक अस्पष्ट समीकरण है, जो  {{mvar|x}} के लिए  समीकरण  {{math|1=''y'' − ''xe''<sup>''x''</sup> = 0}}  का समाधान देता है |
-=== बीजगणितीय कार्य ===
+=== बीजगणितीय समीकरण ===
 {{main|Algebraic function}}
-बीजीय फलन एक ऐसा फलन है जो एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है जिसके गुणांक स्वयं बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चर में एक बीजीय फलन {{mvar|x}} के लिए समाधान देता है {{mvar|y}} एक समीकरण का
+बीजगणितीय समीकरण एक ऐसा फलन है जो बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है जिसके गुणांक स्वयं बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चर {{mvar|x}} में बीजगणितीय फलन y का इस समीकरण का समाधान देता है
 :<math>a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \,,</math>
-जहां गुणांक {{math|''a<sub>i</sub>''(''x'')}} के बहुपद कार्य हैं {{mvar|x}}. इस बीजीय फलन को हल समीकरण के दायीं ओर लिखा जा सकता है {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}. इस तरह लिखा, {{mvar|f}} एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन है|बहु-मूल्यवान निहित फ़ंक्शन।
+जहां गुणांक {{math|''a<sub>i</sub>''(''x'')}},  {{mvar|x}} का बहुपद फलन हैं| इस बीजगणितीय फलन को दाहिने पक्ष के रूप में हल समीकरण {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} रूप में लिखा जा सकता है |  {{mvar|f}}  एक मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण है |
-बीजीय फलन गणितीय विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। एक बीजीय फलन का एक सरल उदाहरण इकाई वृत्त समीकरण के बाईं ओर दिया गया है:
+बीजगणितीय समीकरण [[गणितीय विश्लेषण]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। बीजगणितीय समीकरण का सरल उदाहरण इकाई वृत्त समीकरण के बाईं ओर दिया गया है:
 :<math>x^2+y^2-1=0 \,. </math>
-के लिए हल करना {{mvar|y}} एक स्पष्ट समाधान देता है:
+{{mvar|y}} के लिए हल करने पर स्पष्ट समाधान देता है:
 :<math>y=\pm\sqrt{1-x^2} \,. </math>
-लेकिन इस स्पष्ट समाधान को निर्दिष्ट किए बिना भी, यूनिट सर्कल समीकरण के निहित समाधान को संदर्भित करना संभव है {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}, कहाँ पे {{mvar|f}} बहु-मूल्यवान निहित कार्य है।
+लेकिन इस स्पष्ट समीकरण को निर्दिष्ट किए बिना भी, [[यूनिट सर्कल|एकक]] सर्कल समीकरण के अस्पष्ट समाधान को संदर्भित करना संभव है {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}, जहाँ  {{mvar|f}}  मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण है।
-जबकि द्विघात समीकरण, घन समीकरण, और चतुर्थक समीकरण वाले समीकरणों के लिए स्पष्ट समाधान पाए जा सकते हैं {{mvar|y}}, यह सामान्य रूप से क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों के लिए सही नहीं है, जैसे कि
+यदपि y, द्विघात समीकरण, [[घन समीकरण]] और [[चतुर्थक समीकरण|चतुर्थक]] समीकरणों के लिए स्पष्ट समाधान पाया जा सकता है, समान रूप से क्विंटिक समीकरण और उच्च घात समीकरणों के लिए सही नहीं है, जैसे
 :<math> y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0 \,. </math>
-फिर भी, कोई अभी भी निहित समाधान का उल्लेख कर सकता है {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} बहु-मूल्यवान निहित कार्य को शामिल करना {{mvar|f}}.
+फिर भी, कोई अभी भी अस्पष्ट समीकरण {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} का उल्लेख कर सकता है, जिसमें मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण {{mvar|f}}  शामिल है .
-== चेतावनी ==
+==प्रतिवाद ==
-हर समीकरण नहीं {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन का एक ग्राफ दर्शाता है, सर्कल समीकरण एक प्रमुख उदाहरण है। एक अन्य उदाहरण द्वारा दिया गया एक निहित कार्य है {{math|1=''x'' − ''C''(''y'') = 0}} कहाँ पे {{mvar|C}} एक घन बहुपद है जिसके ग्राफ में एक कूबड़ है। इस प्रकार, एक निहित कार्य के लिए एक वास्तविक (एकल-मूल्यवान) फ़ंक्शन होने के लिए ग्राफ़ के केवल भाग का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है। एक निहित फ़ंक्शन को कभी-कभी एक सच्चे फ़ंक्शन के रूप में सफलतापूर्वक परिभाषित किया जा सकता है, केवल के कुछ भाग पर ज़ूम इन करने के बाद {{mvar|x}}-अक्ष और कुछ अवांछित कार्य शाखाओं को काट रहा है। तब व्यक्त करने वाला एक समीकरण {{mvar|y}} अन्य चर के एक निहित कार्य के रूप में लिखा जा सकता है।
+हर समीकरण {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} एकल-मूल्यवान समीकरण का ग्राफ़ नहीं दर्शाता है, वृत्त समीकरण इसका प्रमुख उदाहरण है। एक अन्य उदाहरण एक अस्पष्ट समीकरण  {{math|1=''x'' − ''C''(''y'') = 0}} द्वारा दिया गया है जहां {{mvar|C}} एक [[घन बहुपद]] है जिसके ग्राफ में एक उभार है। इस प्रकार, एक अस्पष्ट समीकरण को वास्तविक (एकल-मूल्यवान) समीकरण होने के लिए ग्राफ़ के केवल एक हिस्से का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है। एक अस्पष्ट समीकरण को कभी-कभी {{mvar|x}}-अक्ष के किसी भाग पर आकार वर्धन करने के बाद और कुछ अवांछित कार्यात्मक शाखाओं को काट कर ही एक वास्तविक समीकरण के रूप में सफलतापूर्वक परिभाषित किया जा सकता है। फिर y को व्यक्त करने वाला समीकरण, अन्य चरों के अस्पष्ट समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।
-परिभाषित समीकरण {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} अन्य विकृति भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण {{math|1=''x'' = 0}} फ़ंक्शन का अर्थ नहीं है {{math|''f''(''x'')}} के लिए समाधान दे रहा है {{mvar|y}} बिल्कुल भी; यह एक लंबवत रेखा है। इस तरह की समस्या से बचने के लिए, स्वीकार्य प्रकार के समीकरणों या फ़ंक्शन डोमेन पर अक्सर विभिन्न बाधाएं लगाई जाती हैं। निहित कार्य प्रमेय इस प्रकार की विकृति से निपटने का एक समान तरीका प्रदान करता है।
+समीकरण {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} को परिभाषित में अन्य विकृति भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण {{math|1=''x'' = 0}} का मतलब बिल्कुल नहीं है कि  {{math|''f''(''x'')}}, {{mvar|y}} के लिए समाधान दे रहा है; यह एक खड़ी रेखा है। इस तरह की समस्या से बचने के लिए, स्वीकार्य समीकरणों या [[समारोह डोमेन|क्षेत्र]] पर प्रायः विभिन्न प्रतिबंध लगाई जाती हैं। अस्पष्ट समीकरण प्रमेय इस प्रकार के विकृतियों से निपटने का एक समान तरीका प्रदान करता है।
-==अंतर्निहित विभेदन==
+== अस्पष्ट अवकलन ==
-कलन में, निहित विभेदन नामक एक विधि परोक्ष रूप से परिभाषित कार्यों में अंतर करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करती है।
+[[गणना|कलन]] में, अस्पष्ट अवकलन नामक एक विधि अस्पष्ट परिभाषित समीकरणों को अवकलन करने के लिए [[श्रृंखला नियम]] का उपयोग करती है।
-एक निहित कार्य को अलग करने के लिए {{math|''y''(''x'')}}, एक समीकरण द्वारा परिभाषित {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}}, इसे स्पष्ट रूप से हल करना आम तौर पर संभव नहीं है {{mvar|y}} और फिर अंतर करें। इसके बजाय, कोई भी कुल भेदभाव कर सकता है {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} इसके संबंध में {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} और फिर परिणामी रैखिक समीकरण को हल करें {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} के संदर्भ में व्युत्पन्न स्पष्ट रूप से प्राप्त करने के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}. यहां तक कि जब मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से हल करना संभव होता है, तो कुल भिन्नता से उत्पन्न सूत्र सामान्य रूप से बहुत सरल और उपयोग में आसान होता है।
+समीकरण {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} द्वारा परिभाषित अस्पष्ट समीकरण {{math|''y''(''x'')}} को अवकलन करने के लिए, इसे {{mvar|y}} के लिए स्पष्ट रूप से हल करना और फिर अवकलन करना आम तौर पर संभव नहीं है। इसके बजाय, कोई भी {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} का पूरी तरह  {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के संबंध में अवकलन कर सकता है और इसके बाद परिणामी रैखिक समीकरण को {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} के लिए हल करें ताकि {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न प्राप्त कर सकें | यहां तक कि जब मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से हल करना संभव हो, तो कुल अवकलन से उत्पन्न सूत्र सामान्य रूप से बहुत सहज और उपयोग में आसान होता है।
 === उदाहरण ===
 ==== उदाहरण 1 ====
-विचार करना
+विचार करिये
 :<math>y + x + 5 = 0 \,.</math>
-इस समीकरण को हल करना आसान है {{mvar|y}}, देना
+इस समीकरण को {{mvar|y}} के लिए हल करना आसान है , जो देता है
 :<math>y = -x - 5 \,,</math>
-जहां दाईं ओर फ़ंक्शन का स्पष्ट रूप है {{math|''y''(''x'')}}. विभेदीकरण तब देता है {{math|1={{sfrac|''dy''|''dx''}} = −1}}.
+जहां दाहिनी ओर समीकरण {{math|''y''(''x'')}} का स्पष्ट रूप है . तब अवकलन {{math|1={{sfrac|''dy''|''dx''}} = −1}} देता है .
-वैकल्पिक रूप से, कोई मूल समीकरण को पूरी तरह से अलग कर सकता है:
+वैकल्पिक रूप से, मूल समीकरण को पूरी तरह से अलग किया जा सकता है:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 68: / Line 69: @@
 \frac{dy}{dx} + 1 + 0 &= 0 \,.
 \end{align}</math>
-के लिए हल करना {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} देता है
+{{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} के लिए हल करने पर
 :<math>\frac{dy}{dx} = -1 \,,</math>
@@ Line 74: / Line 75: @@
 ==== उदाहरण 2 ====
-एक अंतर्निहित फ़ंक्शन का एक उदाहरण जिसके लिए स्पष्ट भेदभाव का उपयोग करने की तुलना में अंतर्निहित भेदभाव आसान है, फ़ंक्शन है {{math|''y''(''x'')}} समीकरण द्वारा परिभाषित
+अस्पष्ट समीकरण का एक उदाहरण जिसके लिए स्पष्ट अवकलन का उपयोग करने की तुलना में अस्पष्ट अवकलन आसान है, वह समीकरण {{math|''y''(''x'')}} है  और दिए गए समीकरण द्वारा परिभाषित है
 :<math> x^4 + 2y^2 = 8 \,.</math>
-के संबंध में इसे स्पष्ट रूप से अलग करने के लिए {{mvar|x}}, किसी को पहले प्राप्त करना होगा
+इसके संबंध में स्पष्ट रूप से {{mvar|x}} के लिए अवकलन करने के लिए, पहले पाना होता है
 :<math>y(x) = \pm\sqrt{\frac{8 - x^4}{2}} \,,</math>
-और फिर इस फ़ंक्शन को अलग करें। यह दो व्युत्पन्न बनाता है: एक के लिए {{math|''y'' ≥ 0}} और दूसरे के लिए {{math|''y'' < 0}}.
+और फिर इस समीकरण को अलग करें। यह दो अवकलन बनाता है: एक के लिए {{math|''y'' ≥ 0}} और दूसरे के लिए {{math|''y'' < 0}}.
 मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से अलग करना काफी आसान है:
 :<math>4x^3 + 4y\frac{dy}{dx} = 0 \,,</math>
-दे रही है
+जो देता है,
 :<math>\frac{dy}{dx} = \frac{-4x^3}{4y} = -\frac{x^3}{y} \,.</math>
 ==== उदाहरण 3 ====
-अक्सर, के लिए स्पष्ट रूप से हल करना मुश्किल या असंभव होता है {{mvar|y}}, और अन्तर्निहित विभेदन विभेदन का एकमात्र व्यवहार्य तरीका है। एक उदाहरण समीकरण है
+प्रायः, स्पष्ट रूप से {{mvar|y}} के लिए हल करना मुश्किल या असंभव होता है, और अस्पष्ट अवकलन ही अवकलन का एकमात्र व्यवहार्य तरीका है। एक उदाहरण समीकरण है
 :<math>y^5-y=x \,.</math>
-बीजीय व्यंजक असंभव है {{mvar|y}} के एक समारोह के रूप में स्पष्ट रूप से {{mvar|x}}, और इसलिए कोई नहीं ढूंढ सकता {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} स्पष्ट भेदभाव द्वारा। निहित विधि का उपयोग करते हुए, {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} प्राप्त करने के लिए समीकरण को विभेदित करके प्राप्त किया जा सकता है
+{{mvar|y}} को बीजीय व्यंजक में स्पष्ट रूप से {{mvar|x}} के रूप में व्यक्त करना असम्भव है, और इसलिए कोई  {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} को स्पष्ट अवकलन द्वारा हल नहीं कर सकता । अस्पष्ट विधि का उपयोग करके, {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} प्राप्त करने के लिए समीकरण को अवकलित करके प्राप्त किया जा सकता है
 :<math>5y^4\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx} \,,</math>
-कहाँ पे {{math|1={{sfrac|''dx''|''dx''}} = 1}}. फैक्टरिंग आउट {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} दिखाता है
+जहां  {{math|1={{sfrac|''dx''|''dx''}} = 1}}. फैक्टरिंग आउट {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} देता है
 :<math>\left(5y^4 - 1\right)\frac{dy}{dx} = 1 \,,</math>
@@ Line 106: / Line 105: @@
 :<math>y \ne \pm\frac{1}{\sqrt[4]{5}} \quad \text{and} \quad y \ne \pm \frac{i}{\sqrt[4]{5}} \,.</math>
+===अस्पष्ट समीकरण के अवकलन के लिए सामान्य सूत्र ===
+यदि {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}}, अस्पष्ट समीकरण का अवकलन {{math|''y''(''x'')}} द्वारा दिया गया है<ref name="Stewart1998">{{cite book | last = Stewart | first = James | title = कैलकुलस कॉन्सेप्ट्स एंड कॉन्टेक्स्ट्स| publisher = Brooks/Cole Publishing Company | year = 1998 | isbn = 0-534-34330-9 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/calculusconcepts00stew }}</ref>{{rp|§11.5}}
-=== निहित फलन के व्युत्पन्न के लिए सामान्य सूत्र ===
-यदि {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}}, निहित कार्य का व्युत्पन्न {{math|''y''(''x'')}} द्वारा दिया गया है<ref name="Stewart1998">{{cite book | last = Stewart | first = James | title = कैलकुलस अवधारणाएं और संदर्भ| publisher = Brooks/Cole Publishing Company | year = 1998 | isbn = 0-534-34330-9 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/calculusconcepts00stew }}</ref>{{rp|§11.5}}
 :<math>\frac{dy}{dx} = -\frac{\,\frac{\partial R}{\partial x}\,}{\frac{\partial R}{\partial y}} = -\frac {R_x}{R_y} \,,</math>
-कहाँ पे {{math|''R<sub>x</sub>''}} तथा {{math|''R<sub>y</sub>''}} के आंशिक व्युत्पन्न को इंगित करें {{mvar|R}} इसके संबंध में {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}.
+जहां  {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के संबंध में {{math|''R<sub>x</sub>''}} तथा {{math|''R<sub>y</sub>''}}, {{mvar|R}} के आंशिक अवकलन है |
-उपरोक्त सूत्र कुल व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए श्रृंखला नियम#Multivariable_case का उपयोग करने से आता है - के संबंध में {{mvar|x}} — के दोनों पक्षों के {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}}:
+उपरोक्त सूत्र {{mvar|x}} के संबंध में,  {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} के दोनों पक्षों का [[कुल व्युत्पन्न|कुल अवकलन]] प्राप्त करने के लिए श्रंखला नियम का उपयोग करने से आता है:
 :<math>\frac{\partial R}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 \,,</math>
@@ Line 119: / Line 116: @@
 :<math>\frac{\partial R}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} =0 \,,</math>
-जिसे, जब हल किया जाता है {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}}, उपरोक्त व्यंजक देता है।
+जिसे {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} हल करने पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति देता है।
-==अंतर्निहित कार्य प्रमेय==
-[[Image:Implicit circle.svg|thumb|right|200px|यूनिट सर्कल को स्पष्ट रूप से बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{math|(''x'', ''y'')}} संतुष्टि देने वाला {{math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1}}. लगभग बिंदु {{mvar|A}}, {{mvar|y}} एक निहित कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{math|''y''(''x'')}}. (कई मामलों के विपरीत, यहां इस फ़ंक्शन को स्पष्ट किया जा सकता है: {{math|1=''g''<sub>1</sub>(''x'') = {{sqrt|1 − ''x''<sup>2</sup>}}}}.) ऐसा कोई फलन बिंदु के आसपास मौजूद नहीं है {{mvar|B}}, जहां स्पर्शरेखा स्थान लंबवत है।]]
-{{main|Implicit function theorem}}
-होने देना {{math|''R''(''x'', ''y'')}} दो चरों का एक अवकलनीय फलन हो, और {{math|(''a'', ''b'')}} वास्तविक संख्याओं का ऐसा युग्म हो कि {{math|1=''R''(''a'', ''b'') = 0}}. यदि {{math|{{sfrac|∂''R''|∂''y''}} ≠ 0}}, फिर {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} एक निहित कार्य को परिभाषित करता है जो कुछ छोटे पर्याप्त पड़ोस (गणित) में भिन्न होता है {{open-open|''a'', ''b''}}; दूसरे शब्दों में, एक अलग कार्य है {{mvar|f}} जिसे कुछ पड़ोस में परिभाषित और अलग किया जा सकता है {{mvar|a}}, ऐसा है कि {{math|1=''R''(''x'', ''f''(''x'')) = 0}} के लिये {{mvar|x}} इस पड़ोस में।
-स्थिति {{math|{{sfrac|∂''R''|∂''y''}} ≠ 0}} मतलब कि {{math|(''a'', ''b'')}} निहित समीकरण के निहित वक्र के वक्र का एक विलक्षण बिंदु है {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} जहां स्पर्शरेखा लंबवत नहीं है।
+== अस्पष्ट समीकरण प्रमेय ==
+[[Image:Implicit circle.svg|thumb|right|200px|यूनिट सर्कल को स्पष्ट रूप से बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{math|(''x'', ''y'')}} संतुष्टि देने वाला {{math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1}}. बिंदु के आसपास {{mvar|A}}, {{mvar|y}} एक अस्पष्ट समीकरण {{math|''y''(''x'')}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है . (कई मामलों के विपरीत, यहां इस समीकरण को स्पष्ट किया जा सकता है {{math|1=''g''<sub>1</sub>(''x'') = {{sqrt|1 − ''x''<sup>2</sup>}}}}.) बिंदु {{mvar|B}} के आसपास ऐसा कोई समीकरण मौजूद नहीं है, जहां [[स्पर्शरेखा स्थान]] लंबवत है।]]
+{{main|अंतर्निहित कार्य प्रमेय}}
+मानिए कि {{math|''R''(''x'', ''y'')}} दो चरों का एक अवकलनीय फलन हो, और {{math|(''a'', ''b'')}} [[वास्तविक संख्या]]ओं का ऐसा युग्म हो कि {{math|1=''R''(''a'', ''b'') = 0}}| यदि {{math|{{sfrac|∂''R''|∂''y''}} ≠ 0}}, फिर {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} एक अस्पष्ट समीकरण को परिभाषित करता है जो {{open-open|''a'', ''b''}} के इर्द-गिर्द कुछ छोटे अंतराल में अवकलनीय होता है ; दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय समीकरण {{mvar|f}}  है जो {{mvar|a}} के इर्द-गिर्द परिभाषित और अवकलनीय है कि {{math|1=''R''(''x'', ''f''(''x'')) = 0}}, {{mvar|x}}  के इर्द-गिर्द।
-कम तकनीकी भाषा में, निहित कार्य मौजूद होते हैं और उन्हें विभेदित किया जा सकता है, यदि वक्र में एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है।<ref name="Stewart1998"/>{{rp|§11.5}}
+स्थिति {{math|{{sfrac|∂''R''|∂''y''}} ≠ 0}} का मतलब है कि {{math|(''a'', ''b'')}} [[निहित वक्र|अस्पष्ट वक्र]] के अस्पष्ट समीकरण {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} का एक विलक्षण बिंदु है जहां [[स्पर्शरेखा]] लंबवत नहीं है।
+कम तकनीकी भाषा में, एक [[निहित वक्र|अस्पष्ट]] समीकरण मौजूद हैं और इसे अवकलन किया जा सकता है, यदि वक्र में गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है।<ref name="Stewart1998"/>{{rp|§11.5}}
+== बीजगणितीय ज्यामिति में ==
+संबंध {{math|1=''R''(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>) = 0}} पर विचार करें , जहां {{mvar|R}} एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है। इस संबंध को संतुष्ट करने वाले चरों के मूल्यों के समुच्चय को एक अस्पष्ट वक्र कहा जाता है, यदि {{math|1=''n'' = 2}} और [[निहित वक्र|अस्पष्ट]] सतह, यदि {{math|1=''n'' = 3}}| संतुष्ट समीकरण बीजगणितीय ज्यामिति का आधार हैं, जिनके अध्ययन के मूल विषय कई अस्पष्ट समीकरणों के एक साथ समाधान हैं जिनके बाएँ हाथ बहुपद हैं। समकालिक समाधानों के इन समुच्चयों को अफ्फिन बीजगणितीय समुच्चय कहा जाता है।
-== बीजीय ज्यामिति में ==
+== अवकलनीय समीकरणों में ==
-फॉर्म के संबंध (गणित) पर विचार करें {{math|1=''R''(''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>) = 0}}, कहाँ पे {{mvar|R}} एक बहुचर बहुपद है। इस संबंध को संतुष्ट करने वाले चरों के मानों के समुच्चय को अन्तर्निहित वक्र कहा जाता है यदि {{math|1=''n'' = 2}} और एक निहित सतह अगर {{math|1=''n'' = 3}}. निहित समीकरण बीजगणितीय ज्यामिति का आधार हैं, जिनके अध्ययन के मूल विषय कई निहित समीकरणों के एक साथ समाधान हैं जिनके बाएं हाथ बहुपद हैं। समकालिक विलयनों के इन समुच्चयों को एफाइन बीजीय समुच्चय कहा जाता है।
+अवकलनीय समीकरणों के समाधान आम तौर पर एक [[निहित वक्र|अस्पष्ट]] समीकरण द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।<ref>{{cite book |last=Kaplan |first=Wilfred |title=उन्नत कैलकुलस|location=Boston |publisher=Addison-Wesley |year=2003 |isbn=0-201-79937-5 }}</ref>
+== अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग ==
-== अवकल समीकरणों में ==
-अवकल समीकरणों के हल आम तौर पर एक निहित फलन द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।<ref>{{cite book |last=Kaplan |first=Wilfred |title=उन्नत पथरी|location=Boston |publisher=Addison-Wesley |year=2003 |isbn=0-201-79937-5 }}</ref>
-==अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग ==
 === प्रतिस्थापन की सीमांत दर ===
-अर्थशास्त्र में, जब स्तर निर्धारित होता है {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}} मात्राओं के लिए एक उदासीनता वक्र है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} दो वस्तुओं की खपत, निहित व्युत्पन्न का निरपेक्ष मूल्य {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} को दो वस्तुओं के प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में व्याख्यायित किया जाता है: कितना अधिक {{mvar|y}} की एक इकाई के नुकसान के प्रति उदासीन रहने के लिए किसी को प्राप्त करना चाहिए{{mvar|x}}.
+[[अर्थशास्त्र]] में, जब स्तर समुच्चय {{math|1=''R''(''x'', ''y'') = 0}},  {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} दो मात्राओं के लिए एक अवकलनीय वक्र नहीं है, अस्पष्ट व्युत्पन्न {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}} का शुद्ध मूल्य की व्याख्या दो वस्तुओं के प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में की जाती है:  x की एक इकाई के नुकसान के प्रति उदासीन होने के लिए आपको कितना अधिक y प्राप्त करना चाहिए|
 === तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर ===
-इसी तरह, कभी-कभी स्तर सेट {{math|''R''(''L'', ''K'')}} उपयोग की गई मात्राओं के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला एक आइसोक्वेंट है {{mvar|L}} श्रम का और {{mvar|K}} भौतिक पूंजी का जिनमें से प्रत्येक के परिणामस्वरूप कुछ अच्छे के उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन होगा। इस मामले में निहित व्युत्पन्न का निरपेक्ष मूल्य {{math|{{sfrac|''dK''|''dL''}}}} को उत्पादन के दो कारकों के बीच तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में व्याख्यायित किया जाता है: एक कम इकाई श्रम के साथ उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन करने के लिए फर्म को कितनी अधिक पूंजी का उपयोग करना चाहिए।
+इसी तरह, कभी-कभी स्तर समुच्चय {{math|''R''(''L'', ''K'')}} एक [[समोत्पाद]] होता है जो प्रत्येक श्रम {{mvar|L}} और [[भौतिक पूंजी]] {{mvar|K}} का उपयोग की गई मात्राओं के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला है जिसके परिणामस्वरूप कुछ अच्छे के उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन होगा। इस मामले में अस्पष्ट व्युत्पन्न {{math|{{sfrac|''dK''|''dL''}}}} की पूर्ण मूल्य की व्याख्या उत्पादन के दो कारकों के बीच [[तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर]] के रूप में की जाती है: श्रम की एक कम इकाई के साथ उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन करने के लिए फर्म को कितनी अधिक पूंजी का उपयोग करना चाहिए।
-=== अनुकूलन ===
+=== इष्टतमीकरण ===
-{{Main|Mathematical economics#Mathematical optimization}}
+{{Main|गणितीय अर्थशास्त्र#गणितीय अनुकूलन}}
-अक्सर आर्थिक सिद्धांत में, कुछ फ़ंक्शन जैसे उपयोगिता फ़ंक्शन या लाभ (अर्थशास्त्र) फ़ंक्शन को एक पसंद वेक्टर के संबंध में अधिकतम किया जाना है {{mvar|x}} भले ही उद्देश्य कार्य किसी विशिष्ट कार्यात्मक रूप तक ही सीमित नहीं है। निहित फ़ंक्शन प्रमेय गारंटी देता है कि अनुकूलन के पहले क्रम की शर्तें इष्टतम वेक्टर के प्रत्येक तत्व के लिए एक अंतर्निहित फ़ंक्शन को परिभाषित करती हैं {{math|''x''*}} पसंद वेक्टर का {{mvar|x}}. जब लाभ को अधिकतम किया जा रहा है, तो आम तौर पर परिणामी निहित कार्य श्रम मांग कार्य और विभिन्न वस्तुओं के आपूर्ति कार्य होते हैं। जब उपयोगिता को अधिकतम किया जा रहा है, आमतौर पर परिणामी निहित कार्य श्रम आपूर्ति कार्य और विभिन्न वस्तुओं के लिए मांग कार्य होते हैं।
+प्रायः [[आर्थिक सिद्धांत]] में, कुछ समीकरण जैसे उपयोगिता समीकरण या [[लाभ (अर्थशास्त्र)|लाभ]] समीकरण को {{mvar|x}} के पसंद वेक्टर के संबंध में अधिकतम किया जाना है भले ही उद्देश्य समीकरण किसी विशिष्ट समीकरण रूप तक सीमित न हो। अस्पष्ट समीकरण प्रमेय गारंटी देता है कि अनुकूलन के पहले क्रम की शर्तें पसंद वेक्टर {{mvar|x}} का इष्टतम वेक्टर  {{math|''x''*}} के प्रत्येक तत्व के लिए एक अस्पष्ट समीकरण परिभाषित करती हैं| जब लाभ को अधिकतम किया जा रहा है, आम तौर पर परिणामी अस्पष्ट समीकरण श्रम [[मांग समारोह|मांग समीकरण]] और विभिन्न वस्तुओं की आपूर्ति [[मांग समारोह|समीकरण]] होते हैं। जब उपयोगिता को अधिकतम किया जा रहा है, तो आम तौर पर परिणामी अस्पष्ट समीकरण श्रम आपूर्ति समीकरण और विभिन्न वस्तुओं के लिए मांग समीकरण होते हैं।
-इसके अलावा, समस्या के पैरामीटर का प्रभाव#गणितीय कार्यों पर {{math|''x''*}} — निहित फलन का आंशिक व्युत्पन्न — कई चरों में किसी फ़ंक्शन के डिफरेंशियल का उपयोग करके पाए जाने वाले प्रथम-क्रम स्थितियों की प्रणाली के कुल व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+इसके अलावा, {{math|''x''*}} पर समस्या के मापदंडों का प्रभाव - अस्पष्ट समीकरण का आंशिक अवकलन - कुल अवकलन का उपयोग करते हुए प्रथम-क्रम की स्थितियों की प्रणाली के कुल डेरिवेटिव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 {{clear}}
+== यह भी देखें ==
-==यह भी देखें==
 {{Div col|colwidth=20em}}
-*अंतर्निहित वक्र
+* अंतर्निहित वक्र
-*कार्यात्मक समीकरण
+* [[कार्यात्मक समीकरण]]
-*लेवल सेट
+*[[लेवल सेट]]
-**समोच्च रेखा
+**[[समोच्च रेखा]]
-**आइसोसर्फेस
+**[[आइसोसफेस]]
 *प्रतिस्थापन के सीमांत दर
 *अंतर्निहित कार्य प्रमेय
-*लघुगणक विभेदन
+* लघुगणकीय विभेदन
-*बहुभुज
+*[[बहुभुज]]
-*संबंधित दरें
+*[[संबंधित दरें]]
 {{Div col end}}
 ==संदर्भ==
 {{Reflist}}
 ==अग्रिम पठन==
 *{{cite book |first=K. G. |last=Binmore |author-link=Kenneth Binmore |chapter=Implicit Functions |title=Calculus |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1983 |isbn=0-521-28952-1 |pages=198–211 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=K8RfQgAACAAJ&pg=PA198 }}
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 *{{cite book |last=Simon |first=Carl P. |last2=Blume |first2=Lawrence |author-link2=Lawrence E. Blume |chapter=Implicit Functions and Their Derivatives |title=Mathematics for Economists |location=New York |publisher=W. W. Norton |year=1994 |isbn=0-393-95733-0 |pages=334–371 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=l2nWMwEACAAJ&pg=PA334 }}
-==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची==
-==बाहरी संबंध==
 *Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211212/qb40J4N1fa4 Ghostarchive]{{cbignore}} and the [https://web.archive.org/web/20170507005435/https://www.youtube.com/watch?v=qb40J4N1fa4 Wayback Machine]{{cbignore}}: {{cite web |title=Implicit Differentiation, What's Going on Here? |series=Essence of Calculus |work=3Blue1Brown |date=May 3, 2017 |url=https://www.youtube.com/watch?v=qb40J4N1fa4&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr |via=[[YouTube]] }}{{cbignore}}
-[[Category: डिफरेंशियल कैलकुलस]]
-[[Category: विश्लेषण में प्रमेय]]
-[[Category:बहुचरीय कलन]]
-[[Category: डिफरेंशियल टोपोलॉजी]]
-[[Category: बीजगणितीय ज्यामिति]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category:Created On 10/11/2022]]
+[[Category:Articles with short description]]
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+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]]
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अस्पष्ट समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 09:47, 14 December 2022

उदाहरण

व्युत्क्रम समीकरण

बीजगणितीय समीकरण

प्रतिवाद

अस्पष्ट अवकलन

उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

अस्पष्ट समीकरण के अवकलन के लिए सामान्य सूत्र

अस्पष्ट समीकरण प्रमेय

बीजगणितीय ज्यामिति में

अवकलनीय समीकरणों में

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर

इष्टतमीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

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