अस्पष्ट समीकरण

गणित में, अस्पष्ट समीकरण $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ के रूप का एक समीकरण है जहाँ R कई चरों (प्रायः बहुपद) का एक फलन है। उदाहरण के लिए $x^{2}+y^{2}-1=0$, वृत्त का अस्पष्ट समीकरण है|

अस्पष्ट समीकरण एक फलन है जिसे एक अस्पष्ट समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है, जो फलन के मान के रूप में माने जाने वाले चरों में से एक से संबंधित है, अन्य को फलन के प्रमाण के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण $x^{2}+y^{2}-1=0$ एकक वृत्त को परिभाषित करता है जो y को x के रूप में एक अस्पष्ट समीकरण में परिभाषित करता है, जहाँ −1 ≤ x ≤ 1, तथा y गैर-नकारात्मक मूल्यों तक सीमित है।

अस्पष्ट समीकरण प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत कुछ प्रकार के अस्पष्ट समीकरण अस्पष्ट फलन को परिभाषित करते हैं, अर्थात् वे जो बहुविकल्पीय समीकरणों को शून्य के रखकर के बराबर प्राप्त होते हैं और लगातार अवलकनीय होते हैं।

उदाहरण

व्युत्क्रम समीकरण

अस्पष्ट समीकरण का एक सामान्य प्रकार व्युत्क्रम समीकरण है। सभी समीकरणों में एकमात्र व्युत्क्रम समीकरण नहीं होता है। यदि g, x का एक फलन है जिसका एकमात्र व्युत्क्रम है, फिर g के व्युत्क्रम समीकरण को g⁻¹ कहा जाता है, समीकरण का हल देने वाला एकमात्र फलन है

$y=g(x)$

x के लिये के y अनुसार, यह समाधान तब इस रूप में लिखा जा सकता है

$x=g^{-1}(y)\,.$

g⁻¹ को g के व्युत्क्रम रूप में परिभाषित करना अस्पष्ट परिभाषा है। g के कुछ समीकरणों के लिए , g⁻¹(y) एक बंद रूप फलन के रूप में स्पष्ट लिखा जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि g(x) = 2x − 1, फिर g⁻¹(y) = 1/2(y + 1) | हालांकि, यह प्रायः संभव नहीं होता है, या केवल एक नया अंकन शुरू करने से होता है (जैसा कि नीचे गुणनफल लॉग उदाहरण में है)।

सहज रूप से, g आश्रित और स्वतंत्र चरों की भूमिकाओं को आपस में बदलकर एक व्युत्क्रम समीकरण प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण: गुणनफल लॉग एक अस्पष्ट समीकरण है, जो x के लिए समीकरण y − xe^x = 0 का समाधान देता है |

बीजगणितीय समीकरण

Main article: Algebraic function

बीजगणितीय समीकरण एक ऐसा फलन है जो बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है जिसके गुणांक स्वयं बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चर x में बीजगणितीय फलन y का इस समीकरण का समाधान देता है

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,$

जहां गुणांक a_i(x), x का बहुपद फलन हैं| इस बीजगणितीय फलन को दाहिने पक्ष के रूप में हल समीकरण y = f(x) रूप में लिखा जा सकता है | f एक मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण है |

बीजगणितीय समीकरण गणितीय विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। बीजगणितीय समीकरण का सरल उदाहरण इकाई वृत्त समीकरण के बाईं ओर दिया गया है:

$x^{2}+y^{2}-1=0\,.$

y के लिए हल करने पर स्पष्ट समाधान देता है:

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.$

लेकिन इस स्पष्ट समीकरण को निर्दिष्ट किए बिना भी, एकक सर्कल समीकरण के अस्पष्ट समाधान को संदर्भित करना संभव है y = f(x), जहाँ f मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण है।

यदपि y, द्विघात समीकरण, घन समीकरण और चतुर्थक समीकरणों के लिए स्पष्ट समाधान पाया जा सकता है, समान रूप से क्विंटिक समीकरण और उच्च घात समीकरणों के लिए सही नहीं है, जैसे

$y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.$

फिर भी, कोई अभी भी अस्पष्ट समीकरण y = f(x) का उल्लेख कर सकता है, जिसमें मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण f शामिल है .

प्रतिवाद

हर समीकरण R(x, y) = 0 एकल-मूल्यवान समीकरण का ग्राफ़ नहीं दर्शाता है, वृत्त समीकरण इसका प्रमुख उदाहरण है। एक अन्य उदाहरण एक अस्पष्ट समीकरण x − C(y) = 0 द्वारा दिया गया है जहां C एक घन बहुपद है जिसके ग्राफ में एक उभार है। इस प्रकार, एक अस्पष्ट समीकरण को वास्तविक (एकल-मूल्यवान) समीकरण होने के लिए ग्राफ़ के केवल एक हिस्से का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है। एक अस्पष्ट समीकरण को कभी-कभी x-अक्ष के किसी भाग पर आकार वर्धन करने के बाद और कुछ अवांछित कार्यात्मक शाखाओं को काट कर ही एक वास्तविक समीकरण के रूप में सफलतापूर्वक परिभाषित किया जा सकता है। फिर y को व्यक्त करने वाला समीकरण, अन्य चरों के अस्पष्ट समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।

समीकरण R(x, y) = 0 को परिभाषित में अन्य विकृति भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण x = 0 का मतलब बिल्कुल नहीं है कि f(x), y के लिए समाधान दे रहा है; यह एक खड़ी रेखा है। इस तरह की समस्या से बचने के लिए, स्वीकार्य समीकरणों या क्षेत्र पर प्रायः विभिन्न प्रतिबंध लगाई जाती हैं। अस्पष्ट समीकरण प्रमेय इस प्रकार के विकृतियों से निपटने का एक समान तरीका प्रदान करता है।

अस्पष्ट अवकलन

कलन में, अस्पष्ट अवकलन नामक एक विधि अस्पष्ट परिभाषित समीकरणों को अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करती है।

समीकरण R(x, y) = 0 द्वारा परिभाषित अस्पष्ट समीकरण y(x) को अवकलन करने के लिए, इसे y के लिए स्पष्ट रूप से हल करना और फिर अवकलन करना आम तौर पर संभव नहीं है। इसके बजाय, कोई भी R(x, y) = 0 का पूरी तरह x तथा y के संबंध में अवकलन कर सकता है और इसके बाद परिणामी रैखिक समीकरण को dy/dx के लिए हल करें ताकि x तथा y के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न प्राप्त कर सकें | यहां तक ​​​​कि जब मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से हल करना संभव हो, तो कुल अवकलन से उत्पन्न सूत्र सामान्य रूप से बहुत सहज और उपयोग में आसान होता है।

उदाहरण

उदाहरण 1

विचार करिये

$y+x+5=0\,.$

इस समीकरण को y के लिए हल करना आसान है , जो देता है

$y=-x-5\,,$

जहां दाहिनी ओर समीकरण y(x) का स्पष्ट रूप है . तब अवकलन dy/dx = −1 देता है .

वैकल्पिक रूप से, मूल समीकरण को पूरी तरह से अलग किया जा सकता है:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}$

dy/dx के लिए हल करने पर

${\frac {dy}{dx}}=-1\,,$

वही उत्तर जो पहले प्राप्त हुआ था।

उदाहरण 2

अस्पष्ट समीकरण का एक उदाहरण जिसके लिए स्पष्ट अवकलन का उपयोग करने की तुलना में अस्पष्ट अवकलन आसान है, वह समीकरण y(x) है और दिए गए समीकरण द्वारा परिभाषित है

$x^{4}+2y^{2}=8\,.$

इसके संबंध में स्पष्ट रूप से x के लिए अवकलन करने के लिए, पहले पाना होता है

$y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,$

और फिर इस समीकरण को अलग करें। यह दो अवकलन बनाता है: एक के लिए y ≥ 0 और दूसरे के लिए y < 0.

मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से अलग करना काफी आसान है:

$4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

जो देता है,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.$

उदाहरण 3

प्रायः, स्पष्ट रूप से y के लिए हल करना मुश्किल या असंभव होता है, और अस्पष्ट अवकलन ही अवकलन का एकमात्र व्यवहार्य तरीका है। एक उदाहरण समीकरण है

$y^{5}-y=x\,.$

y को बीजीय व्यंजक में स्पष्ट रूप से x के रूप में व्यक्त करना असम्भव है, और इसलिए कोई dy/dx को स्पष्ट अवकलन द्वारा हल नहीं कर सकता । अस्पष्ट विधि का उपयोग करके, dy/dx प्राप्त करने के लिए समीकरण को अवकलित करके प्राप्त किया जा सकता है

$5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,$

जहां dx/dx = 1. फैक्टरिंग आउट dy/dx देता है

$\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,$

जो परिणाम देता है

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,$

जिसके लिए परिभाषित किया गया है

$y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.$

अस्पष्ट समीकरण के अवकलन के लिए सामान्य सूत्र

यदि R(x, y) = 0, अस्पष्ट समीकरण का अवकलन y(x) द्वारा दिया गया है

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,$

जहां x तथा y के संबंध में R_x तथा R_y, R के आंशिक अवकलन है |

उपरोक्त सूत्र x के संबंध में, R(x, y) = 0 के दोनों पक्षों का कुल अवकलन प्राप्त करने के लिए श्रंखला नियम का उपयोग करने से आता है:

${\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

इसलिये

${\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

जिसे dy/dx हल करने पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति देता है।

अस्पष्ट समीकरण प्रमेय

यूनिट सर्कल को स्पष्ट रूप से बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (x, y) संतुष्टि देने वाला x² + y² = 1. बिंदु के आसपास A, y एक अस्पष्ट समीकरण y(x) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है . (कई मामलों के विपरीत, यहां इस समीकरण को स्पष्ट किया जा सकता है g₁(x) = √1 − x².) बिंदु B के आसपास ऐसा कोई समीकरण मौजूद नहीं है, जहां स्पर्शरेखा स्थान लंबवत है।

Main article: अंतर्निहित कार्य प्रमेय

मानिए कि R(x, y) दो चरों का एक अवकलनीय फलन हो, और (a, b) वास्तविक संख्याओं का ऐसा युग्म हो कि R(a, b) = 0| यदि ∂R/∂y ≠ 0, फिर R(x, y) = 0 एक अस्पष्ट समीकरण को परिभाषित करता है जो (a, b) के इर्द-गिर्द कुछ छोटे अंतराल में अवकलनीय होता है ; दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय समीकरण f है जो a के इर्द-गिर्द परिभाषित और अवकलनीय है कि R(x, f(x)) = 0, x के इर्द-गिर्द।

स्थिति ∂R/∂y ≠ 0 का मतलब है कि (a, b) अस्पष्ट वक्र के अस्पष्ट समीकरण R(x, y) = 0 का एक विलक्षण बिंदु है जहां स्पर्शरेखा लंबवत नहीं है।

कम तकनीकी भाषा में, एक अस्पष्ट समीकरण मौजूद हैं और इसे अवकलन किया जा सकता है, यदि वक्र में गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है।

बीजगणितीय ज्यामिति में

संबंध R(x₁, …, x_n) = 0 पर विचार करें , जहां R एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है। इस संबंध को संतुष्ट करने वाले चरों के मूल्यों के समुच्चय को एक अस्पष्ट वक्र कहा जाता है, यदि n = 2 और अस्पष्ट सतह, यदि n = 3| संतुष्ट समीकरण बीजगणितीय ज्यामिति का आधार हैं, जिनके अध्ययन के मूल विषय कई अस्पष्ट समीकरणों के एक साथ समाधान हैं जिनके बाएँ हाथ बहुपद हैं। समकालिक समाधानों के इन समुच्चयों को अफ्फिन बीजगणितीय समुच्चय कहा जाता है।

अवकलनीय समीकरणों में

अवकलनीय समीकरणों के समाधान आम तौर पर एक अस्पष्ट समीकरण द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में, जब स्तर समुच्चय R(x, y) = 0, x तथा y दो मात्राओं के लिए एक अवकलनीय वक्र नहीं है, अस्पष्ट व्युत्पन्न dy/dx का शुद्ध मूल्य की व्याख्या दो वस्तुओं के प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में की जाती है: x की एक इकाई के नुकसान के प्रति उदासीन होने के लिए आपको कितना अधिक y प्राप्त करना चाहिए|

तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर

इसी तरह, कभी-कभी स्तर समुच्चय R(L, K) एक समोत्पाद होता है जो प्रत्येक श्रम L और भौतिक पूंजी K का उपयोग की गई मात्राओं के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला है जिसके परिणामस्वरूप कुछ अच्छे के उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन होगा। इस मामले में अस्पष्ट व्युत्पन्न dK/dL की पूर्ण मूल्य की व्याख्या उत्पादन के दो कारकों के बीच तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में की जाती है: श्रम की एक कम इकाई के साथ उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन करने के लिए फर्म को कितनी अधिक पूंजी का उपयोग करना चाहिए।

इष्टतमीकरण

Main article: गणितीय अर्थशास्त्र § गणितीय अनुकूलन

प्रायः आर्थिक सिद्धांत में, कुछ समीकरण जैसे उपयोगिता समीकरण या लाभ समीकरण को x के पसंद वेक्टर के संबंध में अधिकतम किया जाना है भले ही उद्देश्य समीकरण किसी विशिष्ट समीकरण रूप तक सीमित न हो। अस्पष्ट समीकरण प्रमेय गारंटी देता है कि अनुकूलन के पहले क्रम की शर्तें पसंद वेक्टर x का इष्टतम वेक्टर x* के प्रत्येक तत्व के लिए एक अस्पष्ट समीकरण परिभाषित करती हैं| जब लाभ को अधिकतम किया जा रहा है, आम तौर पर परिणामी अस्पष्ट समीकरण श्रम मांग समीकरण और विभिन्न वस्तुओं की आपूर्ति समीकरण होते हैं। जब उपयोगिता को अधिकतम किया जा रहा है, तो आम तौर पर परिणामी अस्पष्ट समीकरण श्रम आपूर्ति समीकरण और विभिन्न वस्तुओं के लिए मांग समीकरण होते हैं।

इसके अलावा, x* पर समस्या के मापदंडों का प्रभाव - अस्पष्ट समीकरण का आंशिक अवकलन - कुल अवकलन का उपयोग करते हुए प्रथम-क्रम की स्थितियों की प्रणाली के कुल डेरिवेटिव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

• अंतर्निहित वक्र
• कार्यात्मक समीकरण
• लेवल सेट
  • समोच्च रेखा
  • आइसोसफेस
• प्रतिस्थापन के सीमांत दर
• अंतर्निहित कार्य प्रमेय
• लघुगणकीय विभेदन
• बहुभुज
• संबंधित दरें

अग्रिम पठन

• Binmore, K. G. (1983). "Implicit Functions". Calculus. New York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Boston: McGraw-Hill. pp. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). "Implicit Functions and Their Derivatives". Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton. pp. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "Implicit Differentiation, What's Going on Here?". 3Blue1Brown. Essence of Calculus. May 3, 2017 – via YouTube.