चिरसम्मत यांत्रिकी: Difference between revisions

Latest revision as of 09:52, 4 August 2022

पृथ्वी के चारों ओर एक उपग्रह की कक्षीय गति का आरेख, लंबवत वेग और त्वरण (बल) सदिशों को दर्शाता है, जिसे शास्त्रीय व्याख्या के माध्यम से दर्शाया गया है।

चिरसम्मत यांत्रिकी^{[note 1]} एक भौतिक सिद्धांत है जो असूक्ष्म वस्तुओं के गति का वर्णन करता है, प्रक्षेप्य से मशीनरी के पुर्जे, और खगोलीय वस्तुओं, जैसे अंतरिक्ष यान, ग्रह, तारे और आकाशगंगाएँ। चिरसम्मत यांत्रिकी द्वारा सचांलित वस्तुओं के लिए, यदि वर्तमान स्थिति ज्ञात है, तो भविष्य (नियतत्ववाद) में होने वाले परिवर्तन तथा अतीत (प्रतिवर्तीता) में हुए परिवर्तन का अनुमान लगाना संभव हैं।

चिरसम्मत यांत्रिकी को न्यूटोनियन यांत्रिकी के रूप में भी जाना जाता है। इसमें सर आइजैक न्यूटन के मूलभूत कार्यों के आधार पर भौतिक अवधारणाएं शामिल हैं, और 17 वीं शताब्दी में गॉटफ्रिड विल्हेम लेबनिज, जोसेफ-लुई लैग्रेंज, लियोनहार्ड यूलर और अन्य समकालीन लोगों द्वारा आविष्कार की गई गणितीय विधियों का वर्णन करने के लिए, बलों की प्रणाली के प्रभाव में निकायों की गति का वर्णन किया गया है। बाद में, अधिक संक्षेप विधियों को विकसित हुई, जिससे चिरसम्मत यांत्रिकी के सुधारों को लैग्रैंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप में जाना जाता है। 18 वीं और 19 वीं शताब्दी में मुख्य रूप से की गई प्रगति, मुख्यतः विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के उपयोग के माध्यम पहले के कार्यों से, काफी आगे तक फैली हुई है। कुछ संशोधनों के साथ इनका उपयोग आधुनिक भौतिकी के सभी क्षेत्रों में भी किया जाता है।

चिरसम्मत यांत्रिकी, बड़ी वस्तुओं (परन्तु अत्यधिक बड़ी नहीं तथा जिनकी गति प्रकाश की गति के बराबर न हो) का अध्ययन करते समय अत्यंत सही परिणाम प्रदान करती है। जब परीक्षण की जा रही वस्तुओं में परमाणु व्यास के आकार की चर्चा हो तो यांत्रिकी के अन्य प्रमुख उप-क्षेत्रों (जैसे क्वांटम यांत्रिकी) को प्रयुक्त करना आवश्यक हो जाता है। उन वेगों का वर्णन करने के लिए जो प्रकाश की गति की तुलना में छोटे नहीं हैं, विशेष सापेक्षता की आवश्यकता होती है। अत्यधिक बड़ी वस्तुओ की स्थिति मे सामान्य सापेक्षता उपयुक्त की जाती है। हालांकि, कई आधुनिक स्रोत, चिरसम्मत भौतिक में आपेक्षिकीय यांत्रिकी शामिल करते है, जो उनके विचार में चिरसम्मत यांत्रिकी को अपने सबसे विकसित और सटीक रूप में दर्शाता है।

सिद्धांत का विवरण

निम्नलिखित चिरसम्मत यांत्रिकी की मूल संकल्पनाओं को प्रस्तावित करता है। सहजता के लिए, यह प्रायः वास्तविक संसार की वस्तुओं को बिंदु कण (नगण्य आकार वाली वस्तुओं) के रूप में मानता है। बिंदु कण की गति का कुछ मापदंडों (पैरामीटर) के द्वारा वर्णन किया जा सकता है, जो की बिंदु कण की स्थिति, द्रव्यमान, और उस पर कार्यरत बल है। इनमें से प्रत्येक मापदंडों पर बारी-बारी से चर्चा की जाती है।

वास्तव में, चिरसम्मत यांत्रिकी हमेशा अशून्य आकार की वस्तुओं का वर्णन करती है। ('बहुत छोटे कणों की भौतिकी, जैसे कि इलेक्ट्रॉन को क्वांटम यांत्रिकी द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है।) स्वतंत्रता की अतिरिक्त कोटि के कारण अशून्य आकार वाली वस्तुओं में काल्पनिक बिंदु कणों की तुलना में अधिक जटिल व्यवहार करती है, उदहारण के लिए, एक बेसबॉल गति के दौरान चक्रण कर सकता है। हालांकि, बिंदु कणों के परिणामों का उपयोग ऐसी वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है, जो उन्हें मिश्रित वस्तुओं के रूप में मानते हैं, जो सामूहिक रूप से अभिनय बिंदु कणों की एक बड़ी संख्या से बना है। मिश्र वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र एक बिंदु कण की तरह व्यवहार करता है।

चिरसम्मत यांत्रिकी सामान्य ज्ञान की धारणाओं का उपयोग करता है कि कैसे पदार्थ और बल अस्तित्व में हैं और परस्पर प्रभावित होते हैं। पदार्थ और ऊर्जा में निश्चित, जानने योग्य गुण होते हैं जैसे कि स्थान और गति में स्थिति की होती है। अनापेक्षिकीय यांत्रिकी के अनुसार बल तुरंत कार्य करते हैं (दूरी के भाव भी देखें)।

स्थिति और इनके व्युत्पन्न (पोजीशन एंड इट्स डेरिवेटिव्स)

एसआई व्युत्पन्न "यांत्रिक" (अर्थात विद्युत चुम्बकीय या थर्मल नहीं) किलो, मी और एस . के साथ इकाइयाँ
स्थान	एम
कोणीय स्थिति / कोण	इकाई रहित (रेडियन)
वेग	एम · एस ^-1
कोणीय गति	एस ^-1
त्वरण	एम · एस ^-2
कोणीय त्वरण	एस ^-2
झटका देना	एम · एस ^-3
"कोणीय झटका"	एस ^-3
विशिष्ट ऊर्जा	एम ² · एस ^-2
अवशोषित खुराक दर	एम ² · एस ^-3
निष्क्रियता के पल	किग्रा · मी ²
गति	किग्रा · एम · एस ^-1
कोणीय गति	kg·m ² ·s ⁻¹
ताकत	किग्रा · मी · एस ⁻²
टॉर्कः	kg·m ² ·s ⁻²
ऊर्जा	kg·m ² ·s ⁻²
शक्ति	kg·m ² ·s ⁻³
दबाव और ऊर्जा घनत्व	kg·m ⁻¹ ·s ⁻²
सतह तनाव	किग्रा · एस ^-2
वसंत निरंतर	किग्रा · एस ^-2
विकिरण और ऊर्जा प्रवाह	किग्रा · एस ^-3
कीनेमेटीक्स चिपचिपापन	एम ² · एस ^-1
डायनेमिक गाढ़ापन	kg·m ⁻¹ ·s ⁻¹
घनत्व (द्रव्यमान घनत्व)	किग्रा · मी ^-3
विशिष्ट वजन (वजन घनत्व)	kg·m ⁻² ·s ⁻²
संख्या घनत्व	एम ^-3
गतिविधि	kg·m ² ·s ⁻¹

बिंदु कण की स्थिति को निर्देशांक पद्धति के संबंध में परिभाषित किया गया है जो त्रिविमीय क्षेत्र में एक मनमाने निश्चित संदर्भ बिंदु पर केंद्रित है जिसे मूल बिंदु (ओरिजिन) O कहा जाता है। एक साधारण निर्देशांक पद्धति एक कण (पार्टिकल) P की स्थिति का वर्णन कर सकती है, जिसमें r लेबल वाले तीर द्वारा चिह्नित सदिश होता है जो मूल बिंदु O से बिंदु P तक इंगित करता है। सामान्यतः बिंदु कण को O के सापेक्ष स्थिर होने की आवश्यकता नहीं होती है। ऐसी स्थिति में जहां बिंदु कण P, मूल बिंदु O के सापेक्ष गति कर रहा है, r को t समय के एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है। पूर्व-आइंस्टीन सापेक्षता (गैलीलियन सापेक्षता) में, समय को निरपेक्ष माना जाता है, अर्थात, समय अंतराल जो किसी भी दी गई घटनाओं के बीच समाप्त होने के लिए मनाया जाता है, सभी प्रेक्षकों के लिए समान है।^[3] निरपेक्ष समय पर आश्रय करने के अलावा, चिरसम्मत यांत्रिकी अंतरिक्ष की संरचना के लिए यूक्लिडियन ज्यामिति को मानता है।^[4]

वेग और गति (वेलोसिटी और स्पीड)

वेग, या समय के साथ विस्थापन के परिवर्तन की दर को समय के संबंध में स्थिति के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}\,\!$

चिरसम्मत यांत्रिकी में, वेग सीधे धनात्मक और ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार 60 किमी/घंटा (km/h) की गति से पूर्व की ओर चलती है और 50 किमी/घंटा (km/h) की गति से उसी दिशा में चल रही दूसरी कार से अगली निकल जाती है, तो मन्द गति से चल रही कार, तीव्र गति से चल रही कार को पूर्व की ओर 60 − 50 = 10 किमी/घंटा (km/h) से यात्रा करती हुई मानती है। हालांकि, तीव्र कार के दृष्टिकोण से, मन्द कार पश्चिम की ओर 10 किमी/घंटा (km/h) की गति से बढ़ रही है, जिसे प्रायः -10 किमी/घंटा (km/h) के रूप में दर्शाया जाता है जहां चिह्न विपरीत दिशा को दर्शाता है। सदिश राशिओं के रूप में वेग सीधे योगात्मक होते हैं, उन्हें सदिश विश्लेषण का उपयोग करके संबोधित करना चाहिए।

गणितीय रूप से, यदि पूर्व चर्चा में पहली वस्तु का वेग को सदिश u = ud द्वारा और दूसरी वस्तु के वेग को सदिश v = ve द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां u पहली वस्तु की गति है, v दूसरी वस्तु की गति है, और d एवं e क्रमशः प्रत्येक वस्तु की गति की दिशा में इकाई सदिश हैं। तो दूसरी वस्तु द्वारा देखी गई पहली वस्तु का वेग है।

$\mathbf {u} '=\mathbf {u} -\mathbf {v} \,.$

इसी प्रकार, पहली वस्तु द्वारा देखी गई दूसरी वस्तु का वेग है।

$\mathbf {v'} =\mathbf {v} -\mathbf {u} \,.$

जब दोनों वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हों, तो इस निम्न समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

$\mathbf {u} '=(u-v)\mathbf {d} \,.$

या, दिशा की उपेक्षा करके, अंतर केवल गति के संदर्भ में दिया जा सकता है।

$u'=u-v\,.$

त्वरण (अक्सेलरेशन)

त्वरण, या वेग के परिवर्तन की दर, समय के संबंध में वेग का व्युत्पन्न है (समय के संबंध में स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न)।

$\mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t^{2}}.$

त्वरण समय के साथ वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। वेग या तो परिमाण या दिशा, या दोनों में बदल सकता है। कभी-कभी, वेग v के परिमाण में कमी को अवत्वरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन सामान्यतः समय के साथ वेग में कोई भी परिवर्तन, जिसमें अवत्वरण भी शामिल है, को केवल त्वरण के रूप में जाना जाता है।

निर्देश तंत्र (फ्रेम्स ऑफ़ रिफरेन्स)

जबकि कण की स्थिति, वेग और त्वरण को किसी भी प्रेक्षक के संबंध में गति की किसी भी अवस्था में वर्णित किया जा सकता है, चिरसम्मत यांत्रिकी निर्देश तंत्र के एक विशेष वर्ग के अस्तित्व को मानता है। जिसमें प्रकृति के यांत्रिक नियम तुलनात्मक रूप से सरल रूप लेते हैं। इन विशेष संदर्भ विन्यास को जड़त्वीय तंत्र कहा जाता है। एक जड़त्वीय तंत्र एक आदर्श संदर्भ विन्यास है जिसमे किसी वस्तु पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। चूँकि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए वस्तु का वेग स्थिर रहता है, अर्थात् यह या तो विरामावस्था में है या एक सीधी रेखा में एकसमान गति कर रहा है।

जड़त्वीय तंत्र की एक प्रमुख अवधारणा उन्हें पहचानने की विधि है। प्रायौगिक उद्देश्यों के लिए, संदर्भ विन्यास जो दूर के सितारों (एक अत्यंत दूर बिंदु) के संबंध में त्वरित नहीं होते हैं, उन्हें जड़त्वीय तंत्र के लिए अच्छा सन्निकटन माना जाता है। अजड़त्वीय निर्देश तंत्र मौजूदा जड़त्वीय तंत्र के संबंध में त्वरित होते है। वे आइंस्टीन की सापेक्षता का आधार बनाते हैं। सापेक्ष गति के कारण, अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण निर्देश तंत्र में मौजूदा क्षेत्रों से बलों द्वारा अस्पष्ट तरीकों से चलते प्रतीत होते हैं। इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है कि अन्य बल हैं जो केवल सापेक्ष त्वरण के परिणामस्वरूप गति के समीकरणों में प्रवेश करते हैं। इन बलों को काल्पनिक बल, जड़त्वीय बल या छद्म बल कहा जाता है।

माना दो निर्देश तंत्र S और S' हैं। प्रत्येक निर्देश तंत्र में प्रेक्षक के लिए एक स्थिति में (x,y, z,t) तंत्र S और ( x',y',z',t') तंत्र S' में स्थान-समय निर्देशांक है। माना समय सभी निर्देश तंत्र में समान रूप से मापा जाता है, और यदि हमें t = 0 होने पर x = x ' की आवश्यकता होती है, तो निर्देश तंत्र S' और S से देखि गई समान स्थिति के स्थान-समय निर्देशांक के बीच संबंध, जो x दिशा में गतिमान हैं, u के सापेक्ष वेग पर है।

$x'=x-ut\,$

$y'=y\,$

$z'=z\,$

$t'=t\,.$

सूत्रों का यह समुच्चय समूह रूपांतरण को परिभाषित करता है जिसे गैलीलियन रूपांतरण (अनौपचारिक रूप से, गैलीलियन रूपांतरण) के रूप में जाना जाता है। यह समूह विशेष सापेक्षता में प्रयुक्त पोंकारे समूह की एक सीमित स्थिति है। सीमित स्थिति तब लागू होती है जब 'u' का वेग c प्रकाश की गति की तुलना में बहुत छोटा होता है।

परिवर्तनों के निम्नलिखित परिणाम हैं

v' = v - u (S' के दृष्टिकोण से कण का वेग v′, S के दृष्टिकोण से अपने वेग v से u धीमा है)
a′ = a (किसी भी जड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण का त्वरण समान होता है)
F′ = F (किसी भी जड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण पर बल समान होता है)
चिरसम्मत यांत्रिकी में प्रकाश की गति नियत नहीं है, न ही सापेक्षवादी यांत्रिकी में प्रकाश की गति को दी गई विशेष स्थिति चिरसम्मत यांत्रिकी में समकक्ष है।

कुछ समस्याओं के लिए, घूर्णन निर्देशांक (निर्देश तंत्र) का उपयुक्त है। जिससे या तो उचित जड़त्वीय तंत्र के लिए मानचित्रण रख सकते हैं, या अतिरिक्त रूप से एक काल्पनिक केन्द्रापसारक बल और कोरिओलिस बल का परिचय दे सकते हैं।

बल और न्यूटन का दूसरा नियम

भौतिकी में बल वह क्रिया है जो किसी वस्तु का वेग परिवर्तित करता है, अर्थात त्वरित करना। बल विद्युत-स्थैतिक क्षेत्र, विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, अन्य जैसे क्षेत्रो से उत्पन्न होता है।

सर्वप्रथम न्यूटन ने बल और संवेग के बीच संबंध को गणितीय रूप से व्यक्त किया। कुछ भौतिक विज्ञानी न्यूटन के गति के दूसरे नियम को बल और द्रव्यमान की परिभाषा के रूप में व्याख्यायित करते हैं, जबकि अन्य इसे एक मौलिक अभिधारणा,

प्रकृति का नियम मानते हैं।^[5] या तो व्याख्या के समान गणितीय परिणाम होते हैं, जिसे प्रारंभिक रूप से न्यूटन के दूसरे नियम के रूप में जाना जाता है।

$\mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} (m\mathbf {v} ) \over \mathrm {d} t}.$

मात्रा mv को (प्रामाणिक) संवेग कहा जाता है। इस प्रकार किसी कण पर लगने वाला नेट बल समय के साथ कण के संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है। चूंकि त्वरण की परिभाषा a = dv/dt है, अतः दूसरा नियम निम्न प्रकार से अधिक परिचित रूप में और सरलीकृत किया जा सकता है।

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,.$

किसी कण पर लगने वाले बल के ज्ञात होने तक न्यूटन का द्वितीय नियम कण की गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। एक बार कण पर कार्य करने वाले प्रत्येक बल के लिए स्वतंत्र संबंध उपलब्ध हो जाने पर, उन्हें न्यूटन के दूसरे नियम में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिससे साधारण अवकल समीकरण प्राप्त होता है, जिसे गति का समीकरण कहा जाता है।

उदाहरण के रूप में, माना कि घर्षण कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल है, और इसे कण के वेग के कार्य के रूप में तैयार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए

$\mathbf {F} _{\rm {R}}=-\lambda \mathbf {v} \,,$

जहाँ λ धनात्मक नियतांक है, ऋणात्मक चिन्ह बताता है कि बल, वेग के विपरीत है। तब गति का समीकरण है।

$-\lambda \mathbf {v} =m\mathbf {a} =m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,.$

यह प्राप्त करने के लिए एकीकृत हो सकता है।

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{{-\lambda t}/{m}}$

जहां v₀ प्रारंभिक वेग है। अर्थात इस कण का वेग समय के साथ-साथ तेजी से शून्य हो जाता है। इस स्थिति में, समकक्ष दृष्टिकोण यह है कि कण की गतिज ऊर्जा घर्षण द्वारा अवशोषित होती है (जो इसे ऊर्जा के संरक्षण के अनुसार ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित करती है), और कण मंद हो जाता है। समय के फलन के रूप में कण की स्थिति r प्राप्त करने के लिए इस व्यंजक को और एकीकृत किया जा सकता है।

महत्वपूर्ण बलों में गुरुत्वाकर्षण बल और विद्युत चुंबकत्व के लिए लोरेंत्ज़ बल शामिल हैं। इसके अलावा, न्यूटन के तीसरे नियम का उपयोग कभी-कभी कण पर कार्य करने वाले बलों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यदि यह ज्ञात है कि कण A एक अन्य कण B पर बल F लगाता है, तो यह निम्नानुसार है कि B कण, A कण पर एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल -F लगाता है।^{[clarification needed]}

कार्य और ऊर्जा

यदि नियतबल F एक ऐसे कण पर लगाया जाता है जो विस्थापन Δr करता है^{[note 2]} बल द्वारा किए गए कार्य को बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} \,.

अधिक सामान्यतः यदि बल पथ C के अनुदिश r1 से r2 की ओर गति करते समय स्थिति के फलन के रूप में बदलता रहता है, तो कण पर किया गया कार्य रेखीय समाकलन द्वारा दिया जाता है।

W=\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,.

यदि कण को r₁ से r₂ तक ले जाने में किया गया कार्य समान हो, कोई भी पथ अपनाने पर बल को संरक्षी कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण एक संरक्षी बल है, जैसा कि एक आदर्श स्प्रिंग के कारण बल है, जैसा कि हुक के नियम द्वारा दिया गया है। घर्षण के कारण लगने वाला बल असंरक्षी है।

v वेग से गतिमान तथा m द्रव्यमान के कण की गतिज ऊर्जा E_k निम्न प्रकार है।

E_{\mathrm {k} }={\tfrac {1}{2}}mv^{2}\,.

कई कणों से बनी विस्तारित वस्तुओं के लिए, संयुक्त पिंड की गतिज ऊर्जा कणों की गतिज ऊर्जाओं का योग होती है।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय में कहा गया है कि नियत द्रव्यमान m के कण के लिए, स्थिति r₁ से r₂ तक जाने पर कण पर किया गया कुल कार्य W, कण की गतिज ऊर्जा E_k में परिवर्तन के बराबर है।

$W=\Delta E_{\mathrm {k} }=E_{\mathrm {k_{2}} }-E_{\mathrm {k_{1}} }={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{\,2}-v_{1}^{\,2}\right).$

संरक्षी बलों को अदिश फलन के ढाल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे स्थितिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है और इसे E_p द्वारा दर्शाया जाता है।

\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\,.

यदि एक कण पर कार्य करने वाले सभी बल संरक्षी हैं और E_p कुल स्थितिज ऊर्जा है (जिसे निकायों की पारस्परिक स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए शामिल बलों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है), द्वारा प्राप्त किया गया है प्रत्येक बल के अनुरूप स्थितिज ऊर्जाओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\cdot \Delta \mathbf {r} =-\Delta E_{\mathrm {p} }\,.

स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।

$-\Delta E_{\mathrm {p} }=\Delta E_{\mathrm {k} }\Rightarrow \Delta (E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} })=0\,.$

इस परिणाम को ऊर्जा के संरक्षण के रूप में जाना जाता है और बताता है कि कुल ऊर्जा समय में स्थिर है।

\sum E=E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} }\,,

यह प्रायः उपयोगी होता है, क्योंकि सामान्यतः कई आकस्मिक बल संरक्षी होती हैं।

न्यूटन के नियमों के अतिरिक्त

चिरसम्मत यांत्रिकी, विस्तारित वस्तुओं (जो बिन्दु जैसी नहीं है) के अधिक जटिल गतियों का भी वर्णन करती है। यूलर के नियम इस क्षेत्र में न्यूटन के नियमों का विस्तार प्रदान किया। कोणीय गति की अवधारणाएं एक-विमीय गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान कलन पर निर्भर करती हैं। प्रक्षेपात्र समीकरण किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर की धारणा का विस्तार करता है ताकि द्रव्यमान हानि वाली वस्तु के प्रभावों को शामिल किया जा सके। (ये सामान्यीकरण/विस्तार न्यूटन के नियमों से प्राप्त होते हैं, माना, एक ठोस पिंड को बिंदुओं के संग्रह में विघटित किया जाता है।)

चिरसम्मत यांत्रिकी के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक निरूपण हैं, लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी। ये, और अन्य आधुनिक निरूपण, सामान्यतः सामान्यीकृत निर्देशांक में यांत्रिक प्रणालियों का वर्णन करने के लिए ऊर्जा, गति और गति जैसे अन्य भौतिक मात्राओं की चर्चा के बजाय बल की अवधारणा की उपेक्षा करते हैं। ये मूल रूप से न्यूटन के नियमों का गणितीय पुनर्लेखन हैं, लेकिन जटिल यांत्रिक समस्याओं को इन रूपों में हल करना बहुत आसान है। इसके अलावा, हैमिल्टनियन औपचारिकता में क्वांटम यांत्रिकी के साथ सादृश्य अधिक स्पष्ट है।

संवेग और गतिज ऊर्जा के लिए ऊपर दिए गए व्यंजक केवल तभी मान्य होते हैं जब कोई महत्वपूर्ण विद्युत चुम्बकीय योगदान न हो। विद्युत चुम्बकत्व में, विद्युत धारावाही तारों के लिए न्यूटन का दूसरा नियम तब तक विफल हो जाता है जब तक कि निकाय की गति में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का योगदान शामिल नहीं हो जाता है, जैसा कि c² से विभाजित पोयंटिंग सदिश द्वारा व्यक्त किया गया है, जहाँ c मुक्त स्थान में प्रकाश की गति है।

वैधता की सीमा

दो बटा दो यांत्रिकी का चार्ट गति के अनुसार आकार के लिए

शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए वैधता का डोमेन

चिरसम्मत यांत्रिकी की कई शाखाएँ अधिक सटीक रूपों का सरलीकरण या सन्निकटन हैं; सामान्य सापेक्षता और सापेक्षतावादी सांख्यिकीय यांत्रिकी में से दो सबसे सही रूप है। ज्यामितीय प्रकाशिकी प्रकाश के क्वांटम सिद्धांत का सन्निकटन है, और इसका कोई बेहतर "उत्कृष्ट" रूप नहीं है।

जब क्वांटम यांत्रिकी और चिरसम्मत यांत्रिकी दोनों लागू नहीं हो सकते हैं, जैसे कि क्वांटम स्तर पर कई स्वतंत्रता की कोटि के साथ, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) उपयोग में है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) छोटी दूरी, और बड़ी गति के साथ कई स्वतंत्रता की कोटि के साथ-साथ परस्परक्रिया के दौरान कणों की संख्या में किसी भी बदलाव की संभावना से संबंधित है। असूक्ष्म स्तर पर सांख्यिकीय यांत्रिकी उपयोगी हो जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी असूक्ष्म स्तर पर कणों की बड़ी (लेकिन गणनीय) संख्याओं के व्यवहार और समग्र रूप से उनकी परस्परक्रिया का वर्णन करता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी मुख्य रूप से ऊष्मागतिकी में उन प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जो चिरसम्मत ऊष्मागतिकी की मान्यताओं की सीमा से बाहर हैं। उच्च वेग वाली वस्तुए जिनकी गति लगभग प्रकाश की गति के बराबर है, इस स्थिति में, चिरसम्मत यांत्रिकी को विशेष सापेक्षता द्वारा परिवर्धित किया जाता है। यदि वस्तुएं अत्यधिक भारी हो जाती हैं (अर्थात, उनकी श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या किसी दिए गए अनुप्रयोग के लिए नगण्य नहीं है), न्यूटोनियन यांत्रिकी से विचलन स्पष्ट हो जाते हैं और पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता का उपयोग करके मात्रा निर्धारित की जा सकती है। उस स्थिति में, सामान्य सापेक्षता (जीआर) लागू हो जाती है। हालांकि, अब तक क्वांटम गुरुत्व का जीआर और क्यूएफटी को एकीकृत करने का कोई सिद्धांत नहीं है, इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब वस्तुएं बहुत छोटी और भारी हो जाती हैं।[5 ]

विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन

विशेष सापेक्षता में, कण का संवेग निम्न प्रकार से दिया जाता है।

$\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,,$

जहाँ m कण का विराम द्रव्यमान, v वेग है, v का मापांक v और c प्रकाश की गति है।

यदि c की तुलना में v बहुत छोटा है, तो v²/c² लगभग शून्य होगा, अतः

$\mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,.$

इस प्रकार न्यूटोनियन समीकरण p = mv प्रकाश की गति की तुलना में कम गति से गतिमान पिंडों के लिए आपेक्षिक समीकरण का सन्निकटन है।

उदाहरण के लिए, साइक्लोट्रॉन, जाइरोट्रॉन, या उच्च वोल्टेज मैग्नेट्रोन की आपेक्षिक साइक्लोट्रॉन आवृत्ति निम्न द्वारा दी गई है

$f=f_{\mathrm {c} }{\frac {m_{0}}{m_{0}+{\frac {T}{c^{2}}}}}\,,$

जहां f_c चुंबकीय क्षेत्र में चक्कर लगा रहे इलेक्ट्रान की चिरसम्मत आवृत्ति, T गतिज ऊर्जा और m₀ विराम द्रव्यमान है। एक इलेक्ट्रॉन का (विराम) द्रव्यमान 511 keV है। तो आवृत्ति सुधार चुंबकीय वैक्यूम ट्यूब के लिए 5.11 kV प्रत्यक्ष वर्तमान त्वरित वोल्टेज के साथ 1% होता है।

क्वांटम यांत्रिकी का प्राचीन सन्निकटन

डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य के अन्य आयामों की तुलना में बहुत छोटा न होने पर चिरसम्मत यांत्रिकी का किरण सन्निकटन टूट जाता है। असापेक्ष कणों के लिए, यह तरंग दैर्ध्य,

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

जहाँ h प्लांक नियतांक और p संवेग है।

भारी कणों से पहले यह इलेक्ट्रॉनों के साथ होता है। उदाहरण के लिए, 1927 में क्लिंटन डेविसन और लेस्टर जर्मर द्वारा 54 वोल्ट (V) द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों की तरंग दैर्ध्य 0.167 एनएम (nm) पाई गई जो 0.215 एनएम (nm) के परमाण्विक अंतर के साथ निकल क्रिस्टल के तल से परिवर्तित होने पर एकल विवर्तन पक्ष लोब को प्रदर्शित करने के लिए काफी लंबा था। एक बड़े निर्वात कक्ष के साथ, कोणीय संकल्प को रेडियन से मिलीरेडियन तक बढ़ाना और एकीकृत परिपथ कम्प्यूटर की स्मृति के आवधिक आकृति से क्वांटम विवर्तन को देखना अपेक्षाकृत आसान प्रतीत होगा।

एक अभियांत्रिकी पैमाने पर चिरसम्मत यांत्रिकी की विफलता के अधिक प्रायोगिक उदाहरण टनल डायोड में क्वांटम टनलिंग और एकीकृत सर्किट में बहुत संकीर्ण ट्रांजिस्टर गेट्स द्वारा चालन हैं।

चिरसम्मत यांत्रिकी ज्यामितीय प्रकाशिकी के समान उच्च आवृत्ति सन्निकटन है। यह अधिक बार सटीक होता है क्योंकि यह कणों और निकायों को विराम द्रव्यमान के साथ वर्णित करता है। इनका संवेग अधिक होता है और इसलिए समान गतिज ऊर्जा वाले प्रकाश जैसे द्रव्यमान रहित कणों की तुलना में डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य कम होते हैं।

इतिहास

चिरसम्मत यांत्रिकी विज्ञान, अभियान्त्रिकी और प्रौद्योगिकी में सबसे पुराना और सबसे बड़े विषय है, जिसमे पिंडों की गति का प्राचीन अध्ययन है।

पुरातनता के कुछ यूनानी दार्शनिक, उनमें से अरस्तू, अरिस्टोटेलियन भौतिकी के संस्थापक, इस विचार को बनाए रखने वाले पहले व्यक्ति हो सकते हैं कि "सब कुछ एक कारण से होता है" और सैद्धांतिक सिद्धांत प्रकृति की समझ में सहायता कर सकते हैं। जबकि नए पाठक के लिए, इनमें से कई संरक्षित विचार बहुत ही उचित रूप से सामने आते हैं, गणितीय सिद्धांत और नियंत्रित प्रयोग दोनों का विशिष्ट अभाव है। ये बाद में आधुनिक विज्ञान के निर्माण में निर्णायक कारक बन गए, और इनका प्रारंभिक अनुप्रयोग चिरसम्मत यांत्रिकी के रूप में जाना जाने लगा। मध्यकालीन गणितज्ञ जॉर्डनस डी नेमोर ने अपने एलिमेंटा सुपर डिमॉन्स्ट्रेशनम पोन्डरम में "स्थितीय गुरुत्वाकर्षण" की अवधारणा और घटक बलों के उपयोग की शुरुआत की।

ग्रहों की गतियों का पहला 1609 में प्रकाशित कारण विवरण जोहान्स केपलर का "एस्ट्रोनोमिया नोवा" था। उन्होंने मंगल की कक्षा पर टाइको ब्राहे की टिप्पणियों के आधार पर निष्कर्ष निकाला कि ग्रह की कक्षाएँ दीर्घवृत्त होती है। प्राचीन विचार के साथ यह विराम लगभग उसी समय हो रहा था जब गैलीलियो वस्तुओं की गति के लिए अमूर्त गणितीय नियमों का प्रस्ताव कर रहे थे। उन्होंने पीसा की मीनार से अलग-अलग वजन के दो तोप के गोलों को गिराने का प्रसिद्ध प्रयोग किया हो सकता है (या नहीं भी), यह दर्शाता है कि वे दोनों एक ही समय में जमीन पर गिरते है। उस विशेष प्रयोग की वास्तविकता विवादित है, लेकिन उन्होंने झुकाव वाले विमान पर गेंदें घुमाकर परिमाणात्मक प्रयोग किए। उनका त्वरित गति का सिद्धांत ऐसे प्रयोगों के परिणामों से प्राप्त हुआ था और चिरसम्मत यांत्रिकी की आधारशिला बनाता है। 1673 में क्रिस्टियान ह्यूजेन्स ने अपने होरोलोगियम ऑसिलेटोरियम में पहले दो गति के नियमों का वर्णन किया।^[6] कार्य भी पहला आधुनिक ग्रंथ है जिसमें भौतिक समस्या (गिरते पिंड की त्वरित गति) को पैरामीटर के एक समुच्चय द्वारा आदर्श बनाया जाता है और फिर गणितीय रूप से विश्लेषण किया जाता है और अनुप्रयुक्त गणित के मौलिक कार्यों में से एक का गठन किया जाता है।^[7] </ref>

सर आइजैक न्यूटन (1643-1727), भौतिकी के इतिहास में एक प्रभावशाली व्यक्ति और जिनके गति के तीन नियम शास्त्रीय यांत्रिकी का आधार बनाते हैं

न्यूटन ने तीन प्रस्तावित गति के नियमों पर प्राकृतिक दर्शन के अपने सिद्धांतों की स्थापना की: जड़त्व का नियम, त्वरण का उनका दूसरा नियम (ऊपर उल्लिखित है), और क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम; और इसलिए चिरसम्मत यांत्रिकी की नींव रखी। न्यूटन के फिलॉसफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका में न्यूटन के दूसरे और तीसरे दोनों नियमों को उचित वैज्ञानिक और गणितीय उपचार दिया गया था। यहां वे समान घटनाओं की व्याख्या करने के पहले के प्रयासों से अलग हैं, जो या तो अपूर्ण थे, गलत थे, या कम सटीक गणितीय अभिव्यक्ति दी गई थी। न्यूटन ने संवेग संरक्षण और कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांतों को भी प्रतिपादित किया। यांत्रिकी में, न्यूटन के व्यापक गुरुत्वाकर्षण के नियम में गुरुत्वाकर्षण का पहला सही वैज्ञानिक और गणितीय सूत्रीकरण प्रदान करने वाले भी न्यूटन थे। न्यूटन के गति और गुरुत्वाकर्षण के नियमों का संयोजन चिरसम्मत यांत्रिकी का पूर्ण और सबसे सही विवरण प्रदान करता है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि यह नियम सामान्य वस्तुओं के साथ-साथ आकाशीय पिंडों पर भी लागू होते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने ग्रहों की गति के केप्लर के नियम की सैद्धांतिक व्याख्या प्राप्त की।

न्यूटन ने पहले गणित के कलन का आविष्कार किया था, और इसका उपयोग गणितीय गणना करने के लिए किया था। स्वीकार्यता के लिए, उनकी पुस्तक, प्रिंसिपिया, पूरी तरह से लंबे समय से स्थापित ज्यामितीय विधियों के संदर्भ में तैयार की गई थी, जो जल्द ही उनके कलन द्वारा ग्रहण कर ली गई थी। लाइबनिज ने अवकल और समाकल संकेतन को आज विकसित किया है।^[8] न्यूटन, और उनके अधिकांश समकालीन, ह्यूजेन्स के उल्लेखनीय अपवाद के साथ, इस धारणा पर काम करते थे कि चिरसम्मत यांत्रिकी प्रकाश सहित ज्यामितीय प्रकाशिकी के रूप में सभी घटनाओं की व्याख्या करने में सक्षम होंगे। तथाकथित न्यूटन के वलय (तरंग व्यतिकरण घटना) की खोज करते हुए भी उन्होंने प्रकाश के अपने स्वयं के कणिका सिद्धांत को बनाए रखा।

लैग्रेंज का योगदान आधुनिक गणित की भाषा में न्यूटन के विचारों को साकार करना था, जिसे अब लैग्रेंजियन मैकेनिक्स कहा जाता है।

न्यूटन के बाद, चिरसम्मत यांत्रिकी गणित के साथ-साथ भौतिकी में अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। गणितीय योगों ने उत्तरोत्तर समस्याओं की एक बड़ी संख्या के हल निकालने की अनुमति दी। पहला उल्लेखनीय गणितीय उपचार 1788 में जोसेफ लुई लैग्रेंजियन द्वारा किया गया था। लैग्रेंजियन यांत्रिकी को 1833 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा फिर से तैयार किया गया था।

19 वीं शताब्दी के अंत में कुछ समस्याओं की खोज की गई थी जिन्हें केवल अधिक आधुनिक भौतिकी द्वारा ही हल किया जा सकता था। इनमें से कुछ समस्याएं विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत और प्रसिद्ध माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के साथ संगतता से संबंधित हैं। इन समस्याओं के समाधान ने सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को जन्म दिया, जिसे अक्सर चिरसम्मत यांत्रिकी का भाग माना जाता है।

समस्याओं का एक दूसरा समुच्चय उष्मागतिकी से संबंधित है। उष्मागतिकी के साथ संयुक्त होने पर, चिरसम्मत यांत्रिकी प्राचीन सांख्यिकीय यांत्रिकी के गिब्स विरोधाभास की ओर जाता है, जिसमें एन्ट्रॉपी अच्छी तरह से परिभाषित राशि नहीं है। क्वांटा के बिना कृष्णिका विकिरण की व्याख्या नहीं की गई थी। जैसे-जैसे प्रयोग परमाणु स्तर पर पहुंचे, चिरसम्मत यांत्रिकी ऊर्जा स्तर और परमाणुओं के आकार और प्रकाश विद्युत प्रभाव जैसी मूलभूत घटनाओ की व्याख्या करने में विफल रहे। इन समस्याओं को हल करने के प्रयास से क्वांटम यांत्रिकी का विकास हुआ।

20 वीं सदी के अंत से, चिरसम्मत यांत्रिकी भौतिकी में, स्वतंत्र सिद्धांत नहीं रहा है। इसकी जगह, चिरसम्मत यांत्रिकी को अब अधिक सामान्य क्वांटम यांत्रिकी के लिए अनुमानित सिद्धांत माना जाता है। मानक मॉडल में प्रकृति की मूलभूत शक्तियों को समझने और हर चीज के एकीकृत सिद्धांत में इसके अधिक आधुनिक विस्तार पर जोर दिया गया है।^[9] चिरसम्मत यांत्रिकी निर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में गैर-क्वांटम यांत्रिक, कम ऊर्जा कणों की गति के अध्ययन के लिए उपयोगी सिद्धांत है। इसके अलावा, इसे संकुल प्रक्षेत्र में विस्तारित किया गया है जहां संकुल चिरसम्मत यांत्रिकी क्वांटम यांत्रिकी के समान व्यवहार प्रदर्शित करता है।^[10]

शाखाएं

चिरसम्मत यांत्रिकी को पारंपरिक रूप से तीन मुख्य शाखाओं में विभाजित किया गया था:

स्थैतिकी, साम्यवस्था का अध्ययन और बलों से संबंध
गतिकी, गति का अध्ययन और बलों से संबंध
गति विज्ञान, प्रेक्षित गतियों के अभिप्रायो से निपटने के लिए परिस्थितियों की परवाह किए बिना उन्हें उत्पन्न करना

अन्य विभाजन गणितीय औपचारिकता की पसंद पर आधारित है:

वैकल्पिक रूप से, अनुप्रयोगों के क्षेत्र में विभाजित किया जा सकता है:

खगोलीय यांत्रिकी, तारों, ग्रहों और अन्य खगोलीय पिंडों से संबंधित है।
सातत्य यांत्रिकी, सातत्य के रूप में मॉडलिंग की गई सामग्री के लिए, उदाहरण के लिए, ठोस और तरल (अर्थात, द्रव और गैस)।
सापेक्षवादी यांत्रिकी (अर्थात सापेक्षता के विशेष और सामान्य सिद्धांतों सहित), उन निकायों के लिए जिनकी गति प्रकाश की गति के करीब है।
सांख्यिकीय यांत्रिकी, जो अलग अलग परमाणुओं और अणुओं के सूक्ष्म गुणों को असूक्ष्म या समष्टि ऊष्मागतिकी गुणधर्म से संबंधित करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करता है।

Notes

↑ The "classical" in "classical mechanics" does not refer classical antiquity, as it might in, say, classical architecture; indeed, the (European) development of classical mechanics involved substantial change in the methods and philosophy of physics.^[1] क्वालीफायर इसके बजाय क्रांतियां , जिसने शास्त्रीय यांत्रिकी का खुलासा किया ' वैधता की सीमाएं ^[2]
↑ The displacement $Δ r$ कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति का अंतर है: $Δ r = r final - r initial$ .

References

↑ Ben-Chaim, Michael (2004), Experimental Philosophy and the Birth of Empirical Science: Boyle, Locke and Newton, Aldershot: Ashgate, ISBN 0-7546-4091-4, OCLC 53887772
↑ Agar, Jon (2012), Science in the Twentieth Century and Beyond, Cambridge: Polity Press, ISBN 978-0-7456-3469-2
↑ Knudsen, Jens M.; Hjorth, Poul (2012). Elements of Newtonian Mechanics (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 30. ISBN 978-3-642-97599-8. [https://books.google.com/books?id=rkP1CAAAQBAJ&pg=PA30 पृष्ठ 30 का उद्धरण
↑ एमआईटी भौतिकी 8.01 व्याख्यान नोट्स (पेज 12) Archived 2013-07-09 at the Library of Congress Web Archives (पीडीएफ
↑ Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004). Classical dynamics of particles and systems (5. ed.). Belmont, CA: Brooks/Cole. pp. 50. ISBN 978-0-534-40896-1.
↑ Rob Iliffe & George E. Smith (2016). The Cambridge Companion to Newton. Cambridge University Press. p. 75. ISBN 9781107015463.
↑ Yoder, Joella G. (1988). Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-34140-0.
↑ जेसेफ, डगलस एम। (1998)। लीबनिज़ ऑन द फ़ाउंडेशन ऑफ़ कैलकुलस: द क्वेश्चन ऑफ़ द रियलिटी ऑफ़ इनफिनिटसिमल मैग्नीट्यूड। विज्ञान पर परिप्रेक्ष्य। 6.1 और 2: 6-40। 31 दिसंबर 2011 को लिया गया
↑ ' फेनमैन लेक्चर्स ऑन फिजिक्स ' का पेज 2-10 कहता है कि शास्त्रीय यांत्रिकी में पहले से ही व्यावहारिक दृष्टिकोण से अनिश्चितता थी। यहाँ भूतकाल का तात्पर्य है कि शास्त्रीय भौतिकी सार्वभौमिक रूप से मान्य नहीं है; भौतिकी है after शास्त्रीय यांत्रिकी
↑ कॉम्प्लेक्स एलिप्टिक पेंडुलम, कार्ल एम. बेंडर, डेनियल डब्ल्यू. हुक, कर्ता कूनर इन [https://dx.doi.org/10.1007/978-88-7642-379 -6_1 डायनेमिक्स, ज्योमेट्री और पीडीई में एसिम्प्टोटिक्स; सामान्यीकृत बोरेल सारांश वॉल्यूम। मैं

External links

Crowell, Benjamin. Light and Matter (an introductory text, uses algebra with optional sections involving calculus)
Fitzpatrick, Richard. Classical Mechanics (uses calculus)
Hoiland, Paul (2004). Preferred Frames of Reference & Relativity
Horbatsch, Marko, "Classical Mechanics Course Notes".
Rosu, Haret C., "Classical Mechanics". Physics Education. 1999. [arxiv.org : physics/9909035]
Shapiro, Joel A. (2003). Classical Mechanics
Sussman, Gerald Jay & Wisdom, Jack & Mayer, Meinhard E. (2001). Structure and Interpretation of Classical Mechanics
Tong, David. Classical Dynamics (Cambridge lecture notes on Lagrangian and Hamiltonian formalism)
Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL)
Movies and photos of hundreds of working mechanical-systems models at Cornell University. Also includes an e-book library of classic texts on mechanical design and engineering.
MIT OpenCourseWare 8.01: Classical Mechanics Free videos of actual course lectures with links to lecture notes, assignments and exams.
Alejandro A. Torassa, On Classical Mechanics

[3] The "classical" in "classical mechanics" does not refer classical antiquity, as it might in, say, classical architecture; indeed, the (European) development of classical mechanics involved substantial change in the methods and philosophy of physics.^[1] क्वालीफायर इसके बजाय क्रांतियां , जिसने शास्त्रीय यांत्रिकी का खुलासा किया ' वैधता की सीमाएं ^[2]

[7] The displacement $Δ r$ कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति का अंतर है: $Δ r = r final - r initial$ .

[1] Ben-Chaim, Michael (2004), Experimental Philosophy and the Birth of Empirical Science: Boyle, Locke and Newton, Aldershot: Ashgate, ISBN 0-7546-4091-4, OCLC 53887772

[2] Agar, Jon (2012), Science in the Twentieth Century and Beyond, Cambridge: Polity Press, ISBN 978-0-7456-3469-2

[4] Knudsen, Jens M.; Hjorth, Poul (2012). Elements of Newtonian Mechanics (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 30. ISBN 978-3-642-97599-8. [https://books.google.com/books?id=rkP1CAAAQBAJ&pg=PA30 पृष्ठ 30 का उद्धरण

[5] एमआईटी भौतिकी 8.01 व्याख्यान नोट्स (पेज 12) Archived 2013-07-09 at the Library of Congress Web Archives (पीडीएफ

[6] Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004). Classical dynamics of particles and systems (5. ed.). Belmont, CA: Brooks/Cole. pp. 50. ISBN 978-0-534-40896-1.

[8] Rob Iliffe & George E. Smith (2016). The Cambridge Companion to Newton. Cambridge University Press. p. 75. ISBN 9781107015463.

[:0-9] Yoder, Joella G. (1988). Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-34140-0.

[10] जेसेफ, डगलस एम। (1998)। लीबनिज़ ऑन द फ़ाउंडेशन ऑफ़ कैलकुलस: द क्वेश्चन ऑफ़ द रियलिटी ऑफ़ इनफिनिटसिमल मैग्नीट्यूड। विज्ञान पर परिप्रेक्ष्य। 6.1 और 2: 6-40। 31 दिसंबर 2011 को लिया गया

[11] ' फेनमैन लेक्चर्स ऑन फिजिक्स ' का पेज 2-10 कहता है कि शास्त्रीय यांत्रिकी में पहले से ही व्यावहारिक दृष्टिकोण से अनिश्चितता थी। यहाँ भूतकाल का तात्पर्य है कि शास्त्रीय भौतिकी सार्वभौमिक रूप से मान्य नहीं है; भौतिकी है after शास्त्रीय यांत्रिकी

[12] कॉम्प्लेक्स एलिप्टिक पेंडुलम, कार्ल एम. बेंडर, डेनियल डब्ल्यू. हुक, कर्ता कूनर इन [https://dx.doi.org/10.1007/978-88-7642-379 -6_1 डायनेमिक्स, ज्योमेट्री और पीडीई में एसिम्प्टोटिक्स; सामान्यीकृत बोरेल सारांश वॉल्यूम। मैं

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v t e Sir Isaac Newton
Publications	Fluxions (1671) De Motu (1684) Principia (1687; writing) Opticks (1704) Queries (1704) Arithmetica (1707) De Analysi (1711)
Other writings	Quaestiones (1661–1665) "standing on the shoulders of giants" (1675) Notes on the Jewish Temple (c. 1680) "General Scholium" (1713; "hypotheses non fingo" ) Ancient Kingdoms Amended (1728) Corruptions of Scripture (1754)
Contributions	Calculus fluxion Impact depth Inertia Newton disc Newton polygon Newton–Okounkov body Newton's reflector Newtonian telescope Newton scale Newton's metal Spectrum Structural coloration
Newtonianism	Bucket argument Newton's inequalities Newton's law of cooling Newton's law of universal gravitation post-Newtonian expansion parameterized gravitational constant Newton–Cartan theory Schrödinger–Newton equation Newton's laws of motion Kepler's laws Newtonian dynamics Newton's method in optimization Apollonius's problem truncated Newton method Gauss–Newton algorithm Newton's rings Newton's theorem about ovals Newton–Pepys problem Newtonian potential Newtonian fluid Classical mechanics Corpuscular theory of light Leibniz–Newton calculus controversy Newton's notation Rotating spheres Newton's cannonball Newton–Cotes formulas Newton's method generalized Gauss–Newton method Newton fractal Newton's identities Newton polynomial Newton's theorem of revolving orbits Newton–Euler equations Newton number kissing number problem Newton's quotient Parallelogram of force Newton–Puiseux theorem Absolute space and time Luminiferous aether Newtonian series table
Personal life	Woolsthorpe Manor (birthplace) Cranbury Park (home) Early life Later life Religious views Occult studies Scientific Revolution Copernican Revolution
Relations	Catherine Barton (niece) John Conduitt (nephew-in-law) Isaac Barrow (professor) William Clarke (mentor) Benjamin Pulleyn (tutor) John Keill (disciple) William Stukeley (friend) William Jones (friend) Abraham de Moivre (friend)
Depictions	Newton by Blake (monotype) Newton by Paolozzi (sculpture)
Namesake	Newton (unit) Newton's cradle Isaac Newton Institute Isaac Newton Medal Isaac Newton Telescope Isaac Newton Group of Telescopes Sir Isaac Newton Sixth Form Statal Institute of Higher Education Isaac Newton Newton International Fellowship
Categories	Category Isaac Newton not found

v t e भौतिकी की शाखाएँ
प्रभागों	शुद्ध लागू इंजीनियरिंग
दृष्टिकोण	प्रायोगिक सैद्धांतिक कम्प्यूटेशनल
शास्त्रीय	शास्त्रीय यांत्रिकी न्यूटोनियन विश्लेषणात्मक खगोलीय कॉन्टिनम ध्वनिकी शास्त्रीय इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म शास्त्रीय प्रकाशिकी रे लहर थर्मोडायनामिक्स सांख्यिकीय गैर-संतुलन
आधुनिक	सापेक्ष यांत्रिकी विशेष सामान्य परमाणु भौतिकी क्वांटम यांत्रिकी कण भौतिकी परमाणु, आणविक, और ऑप्टिकल भौतिकी परमाणु आणविक आधुनिक ऑप्टिक्स संघनित पदार्थ भौतिकी
अंतःविषय	खगोल भौतिकी वायुमंडलीय भौतिकी बायोफिज़िक्स रासायनिक भौतिकी भूभौतिकी पदार्थ विज्ञान गणितीय भौतिकी चिकित्सा भौतिकी महासागर भौतिकी क्वांटम सूचना विज्ञान
संबंधित	भौतिकी का इतिहास भौतिकी में नोबेल पुरस्कार भौतिकी शिक्षा भौतिकी खोजों की समयरेखा

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Contents

सिद्धांत का विवरण

स्थिति और इनके व्युत्पन्न (पोजीशन एंड इट्स डेरिवेटिव्स)

वेग और गति (वेलोसिटी और स्पीड)

त्वरण (अक्सेलरेशन)

निर्देश तंत्र (फ्रेम्स ऑफ़ रिफरेन्स)

बल और न्यूटन का दूसरा नियम

कार्य और ऊर्जा

न्यूटन के नियमों के अतिरिक्त

वैधता की सीमा

विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन

क्वांटम यांत्रिकी का प्राचीन सन्निकटन

इतिहास

शाखाएं

See also

Notes

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@@ Line 2: / Line 2: @@
 [[File:Orbital motion.gif|thumb|right|180px|alt=कक्षीय वेग और अभिकेन्द्रीय त्वरण का एनिमेशन |  पृथ्वी के चारों ओर एक उपग्रह की कक्षीय गति का आरेख, लंबवत वेग और त्वरण (बल) सदिशों को दर्शाता है, जिसे शास्त्रीय व्याख्या के माध्यम से दर्शाया गया है। ]]
-'''चिरसम्मत यांत्रिकी'''{{NoteTag|The "classical" in "classical mechanics" does not refer [[classical antiquity]], as it might in, say, [[classical architecture]]; indeed, the (European) development of classical mechanics involved [[Scientific Revolution|substantial change in the methods and philosophy]] of physics.<ref>{{citation |last=Ben-Chaim |first=Michael |year=2004 |publication-date=2004 |title = Experimental Philosophy and the Birth of Empirical Science: Boyle, Locke and Newton |location=Aldershot |publisher=Ashgate |isbn=0-7546-4091-4 |oclc=53887772 }}</ref> क्वालीफायर इसके बजाय  [[ के बाद विकसित भौतिकी से शास्त्रीय यांत्रिकी को अलग करने का प्रयास करता है भौतिकी का इतिहास # 20 वीं शताब्दी: आधुनिक भौतिकी का जन्म 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में |  क्रांतियां ]], जिसने शास्त्रीय यांत्रिकी का खुलासा किया ' [[ # वैधता की सीमाएं |  वैधता की सीमाएं ]]<ref>{{citation |last=Agar |first=Jon |year=2012 |publication-date=2012 |title=Science in the Twentieth Century and Beyond |location=Cambridge |publisher=Polity Press |isbn=978-0-7456-3469-2 }}</ref>}} एक [[ सैद्धांतिक भौतिकी |भौतिक सिद्धांत]] है जो [[ मैक्रोस्कोपिक |असूक्ष्म]] वस्तुओं के[[ गति ]] का वर्णन करता है, [[ प्रक्षेप्य |प्रक्षेप्य]] से [[ मशीन (यांत्रिक) |मशीनरी के पुर्जे]], और [[ खगोलीय वस्तुओं |खगोलीय वस्तुओं]], जैसे [[ अंतरिक्ष यान |अंतरिक्ष यान]],[[ ग्रह | ग्रह]], [[ तारे |तारे]] और [[ आकाशगंगाएँ |आकाशगंगाएँ]]। चिरसम्मत यांत्रिकी द्वारा सचांलित वस्तुओं के लिए, यदि वर्तमान स्थिति ज्ञात है, तो भविष्य (नियतत्ववाद) में होने वाले परिवर्तन तथा अतीत (प्रतिवर्तीता) में हुए परिवर्तन का अनुमान लगाना संभव है।
+'''चिरसम्मत यांत्रिकी'''{{NoteTag|The "classical" in "classical mechanics" does not refer [[classical antiquity]], as it might in, say, [[classical architecture]]; indeed, the (European) development of classical mechanics involved [[Scientific Revolution|substantial change in the methods and philosophy]] of physics.<ref>{{citation |last=Ben-Chaim |first=Michael |year=2004 |publication-date=2004 |title = Experimental Philosophy and the Birth of Empirical Science: Boyle, Locke and Newton |location=Aldershot |publisher=Ashgate |isbn=0-7546-4091-4 |oclc=53887772 }}</ref> क्वालीफायर इसके बजाय  [[ के बाद विकसित भौतिकी से शास्त्रीय यांत्रिकी को अलग करने का प्रयास करता है भौतिकी का इतिहास # 20 वीं शताब्दी: आधुनिक भौतिकी का जन्म 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में |  क्रांतियां ]], जिसने शास्त्रीय यांत्रिकी का खुलासा किया ' [[ # वैधता की सीमाएं |  वैधता की सीमाएं ]]<ref>{{citation |last=Agar |first=Jon |year=2012 |publication-date=2012 |title=Science in the Twentieth Century and Beyond |location=Cambridge |publisher=Polity Press |isbn=978-0-7456-3469-2 }}</ref>}} एक [[ सैद्धांतिक भौतिकी |भौतिक सिद्धांत]] है जो [[ मैक्रोस्कोपिक |असूक्ष्म]] वस्तुओं के [[ गति ]] का वर्णन करता है, [[ प्रक्षेप्य |प्रक्षेप्य]] से [[ मशीन (यांत्रिक) |मशीनरी के पुर्जे]], और [[ खगोलीय वस्तुओं |खगोलीय वस्तुओं]], जैसे [[ अंतरिक्ष यान |अंतरिक्ष यान]],[[ ग्रह | ग्रह]], [[ तारे |तारे]] और [[ आकाशगंगाएँ |आकाशगंगाएँ]]। चिरसम्मत यांत्रिकी द्वारा सचांलित वस्तुओं के लिए, यदि वर्तमान स्थिति ज्ञात है, तो भविष्य (नियतत्ववाद) में होने वाले परिवर्तन तथा अतीत (प्रतिवर्तीता) में हुए परिवर्तन का अनुमान लगाना संभव हैं।
-चिरसम्मत यांत्रिकी को [[ न्यूटनियन यांत्रिकी |न्यूटोनियन यांत्रिकी]] के रूप में भी जाना जाता है। इसमें सर [[ आइजैक न्यूटन |आइजैक न्यूटन]] के मूलभूत कार्यों के आधार पर भौतिक अवधारणाएं शामिल हैं, और 17 वीं शताब्दी में [[ गॉटफ्रिड विल्हेम लिबनिज |गॉटफ्रिड विल्हेम लेबनिज]], [[ जोसेफ-लुई लैग्रेंज |जोसेफ-लुई लैग्रेंज]], [[ लियोनहार्ड यूलर |लियोनहार्ड यूलर]] और अन्य समकालीन लोगों द्वारा आविष्कार की गई गणितीय विधियों का वर्णन करने के लिए, [[ बल |बलों]] की प्रणाली के प्रभाव में [[ भौतिक शरीर |निकायों]] की गति का वर्णन किया गया है। बाद में, अधिक संक्षेप विधियों को विकसित हुई, जिससे चिरसम्मत यांत्रिकी के सुधारों को [[ लैग्रैंजियन यांत्रिकी |लैग्रैंजियन यांत्रिकी]] और [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी |हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] के रूप में जाना जाता है। 18वीं और 19वीं शताब्दी में मुख्य रूप से की गई ये प्रगति, पहले के कार्यों से काफी आगे तक फैली हुई है, मुख्यतः [[ विश्लेषणात्मक यांत्रिकी |विश्लेषणात्मक यांत्रिकी]] के उपयोग के माध्यम से। कुछ संशोधनों के साथ इनका उपयोग आधुनिक भौतिकी के सभी क्षेत्रों में भी किया जाता है।
+चिरसम्मत यांत्रिकी को [[ न्यूटनियन यांत्रिकी |न्यूटोनियन यांत्रिकी]] के रूप में भी जाना जाता है। इसमें सर [[ आइजैक न्यूटन |आइजैक न्यूटन]] के मूलभूत कार्यों के आधार पर भौतिक अवधारणाएं शामिल हैं, और 17 वीं शताब्दी में [[ गॉटफ्रिड विल्हेम लिबनिज |गॉटफ्रिड विल्हेम लेबनिज]], [[ जोसेफ-लुई लैग्रेंज |जोसेफ-लुई लैग्रेंज]], [[ लियोनहार्ड यूलर |लियोनहार्ड यूलर]] और अन्य समकालीन लोगों द्वारा आविष्कार की गई गणितीय विधियों का वर्णन करने के लिए, [[ बल |बलों]] की प्रणाली के प्रभाव में [[ भौतिक शरीर |निकायों]] की गति का वर्णन किया गया है। बाद में, अधिक संक्षेप विधियों को विकसित हुई, जिससे चिरसम्मत यांत्रिकी के सुधारों को [[ लैग्रैंजियन यांत्रिकी |लैग्रैंजियन यांत्रिकी]] और [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी |हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] के रूप में जाना जाता है। 18 वीं और 19 वीं शताब्दी में मुख्य रूप से की गई प्रगति, मुख्यतः [[ विश्लेषणात्मक यांत्रिकी |विश्लेषणात्मक यांत्रिकी]] के उपयोग के माध्यम पहले के कार्यों से, काफी आगे तक फैली हुई है। कुछ संशोधनों के साथ इनका उपयोग आधुनिक भौतिकी के सभी क्षेत्रों में भी किया जाता है।
-चिरसम्मत यांत्रिकी, बड़ी वस्तुओं (परन्तु अत्यधिक बड़ी नहीं तथा जिनकी गति प्रकाश की गति के बराबर न हो) का अध्ययन करते समय अत्यंत सटीक परिणाम प्रदान करती है। जब परीक्षण की जा रही वस्तुओं में परमाणु व्यास के आकार की चर्चा हो तो यांत्रिकी के अन्य प्रमुख उप-क्षेत्रों (जैसे क्वांटम यांत्रिकी) को प्रयुक्त करना आवश्यक हो जाता है। उन वेगों का वर्णन करने के लिए जो प्रकाश की गति की तुलना में छोटे नहीं हैं, [[ विशेष सापेक्षता |विशेष सापेक्षता]] की आवश्यकता होती है। अत्यधिक बड़ी वस्तुओ की स्थिति मे [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] उपयुक्त की जाती है। हालांकि, कई आधुनिक स्रोत, चिरसम्मत भौतिक में [[ सापेक्षवादी यांत्रिकी |आपेक्षिकीय यांत्रिकी]] शामिल करते है, जो उनके विचार में चिरसम्मत यांत्रिकी को अपने सबसे विकसित और सटीक रूप में दर्शाता है।
+चिरसम्मत यांत्रिकी, बड़ी वस्तुओं (परन्तु अत्यधिक बड़ी नहीं तथा जिनकी गति प्रकाश की गति के बराबर न हो) का अध्ययन करते समय अत्यंत सही परिणाम प्रदान करती है। जब परीक्षण की जा रही वस्तुओं में परमाणु व्यास के आकार की चर्चा हो तो यांत्रिकी के अन्य प्रमुख उप-क्षेत्रों (जैसे क्वांटम यांत्रिकी) को प्रयुक्त करना आवश्यक हो जाता है। उन वेगों का वर्णन करने के लिए जो प्रकाश की गति की तुलना में छोटे नहीं हैं, [[ विशेष सापेक्षता |विशेष सापेक्षता]] की आवश्यकता होती है। अत्यधिक बड़ी वस्तुओ की स्थिति मे [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] उपयुक्त की जाती है। हालांकि, कई आधुनिक स्रोत, चिरसम्मत भौतिक में [[ सापेक्षवादी यांत्रिकी |आपेक्षिकीय यांत्रिकी]] शामिल करते है, जो उनके विचार में चिरसम्मत यांत्रिकी को अपने सबसे विकसित और सटीक रूप में दर्शाता है।
 == सिद्धांत का विवरण ==
-निम्नलिखित चिरसम्मत यांत्रिकी की मूल संकल्पनाओं को प्रस्तावित करता है। सहजता के लिए, यह प्रायः वास्तविक संसार की वस्तुओं को [[ बिंदु कण |बिंदु कण]] (नगण्य आकार वाली वस्तुओं) के रूप में मानता है। बिंदु कण की गति का कुछ [[ पैरामीटर |पैरामीटर]] के द्वारा वर्णन किया जा सकता है, जो की बिंदु कण की स्थिति, [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]], और उस पर कार्यरत [[ बल |बल]] है। इनमें से प्रत्येक पैरामीटर पर बारी-बारी से चर्चा की जाती है।
+निम्नलिखित चिरसम्मत यांत्रिकी की मूल संकल्पनाओं को प्रस्तावित करता है। सहजता के लिए, यह प्रायः वास्तविक संसार की वस्तुओं को [[ बिंदु कण |बिंदु कण]] (नगण्य आकार वाली वस्तुओं) के रूप में मानता है। बिंदु कण की गति का कुछ मापदंडों [[ पैरामीटर |(पैरामीटर)]] के द्वारा वर्णन किया जा सकता है, जो की बिंदु कण की स्थिति, [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]], और उस पर कार्यरत [[ बल |बल]] है। इनमें से प्रत्येक मापदंडों पर बारी-बारी से चर्चा की जाती है।
-वास्तव में, चिरसम्मत यांत्रिकी हमेशा [[ 0 (संख्या) |अशून्य]] आकार की वस्तुओं का वर्णन करती है। ('बहुत छोटे कणों की भौतिकी, जैसे कि [[ इलेक्ट्रॉन |इलेक्ट्रॉन]] को [[ क्वांटम यांत्रिकी |क्वांटम यांत्रिकी]] द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है।) अशून्य आकार वाली वस्तुओं में अतिरिक्त   के कारण काल्पनिक बिंदु कणों की तुलना में अधिक जटिल व्यवहार होता है। स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) |  स्वतंत्रता की डिग्री ]], उदाहरण के लिए, एक  [[ बेसबॉल (गेंद) |  बेसबॉल]]  [[ रोटेशन |  स्पिन]] जब यह चलती है। हालांकि, बिंदु कणों के परिणामों का उपयोग ऐसी वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए  [[ विक: समग्र |  मिश्रित]] वस्तुओं के रूप में किया जा सकता है, जो सामूहिक रूप से अभिनय बिंदु कणों की एक बड़ी संख्या से बना है। एक मिश्रित वस्तु का द्रव्यमान ]] का  [[ केंद्र एक बिंदु कण की तरह व्यवहार करता है।
+वास्तव में, चिरसम्मत यांत्रिकी हमेशा [[ 0 (संख्या) |अशून्य]] आकार की वस्तुओं का वर्णन करती है। ('बहुत छोटे कणों की भौतिकी, जैसे कि [[ इलेक्ट्रॉन |इलेक्ट्रॉन]] को [[ क्वांटम यांत्रिकी |क्वांटम यांत्रिकी]] द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है।) स्वतंत्रता की अतिरिक्त कोटि के कारण अशून्य आकार वाली वस्तुओं में काल्पनिक बिंदु कणों की तुलना में अधिक जटिल व्यवहार करती है, उदहारण के लिए, एक [[ बेसबॉल (गेंद) |बेसबॉल]] गति के दौरान [[ रोटेशन |चक्रण]] कर सकता है। हालांकि, बिंदु कणों के परिणामों का उपयोग ऐसी वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है, जो उन्हें [[ विक: समग्र |मिश्रित]] वस्तुओं के रूप में मानते हैं, जो सामूहिक रूप से अभिनय बिंदु कणों की एक बड़ी संख्या से बना है। मिश्र वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र एक बिंदु कण की तरह व्यवहार करता है।
-शास्त्रीय यांत्रिकी  [[ सामान्य ज्ञान ]] धारणाओं का उपयोग करता है कि कैसे पदार्थ और बल मौजूद हैं और बातचीत करते हैं। यह मानता है कि पदार्थ और ऊर्जा में निश्चित, जानने योग्य गुण होते हैं जैसे कि स्थान और गति में स्थान। गैर-सापेक्ष यांत्रिकी यह भी मानता है कि बल तुरंत कार्य करते हैं ( [[ की दूरी ]] पर भी देखें)।
+चिरसम्मत यांत्रिकी [[ सामान्य ज्ञान |सामान्य ज्ञान]] की धारणाओं का उपयोग करता है कि कैसे पदार्थ और बल अस्तित्व में हैं और परस्पर प्रभावित होते हैं। पदार्थ और ऊर्जा में निश्चित, जानने योग्य गुण होते हैं जैसे कि स्थान और गति में स्थिति की होती है। अनापेक्षिकीय यांत्रिकी के अनुसार बल तुरंत कार्य करते हैं ([[ की दूरी |दूरी के]] भाव भी देखें)।
+=== स्थिति और इनके व्युत्पन्न (पोजीशन एंड इट्स डेरिवेटिव्स) ===
-=== स्थिति और उसके डेरिवेटिव ===
 {| class="wikitable" style="float:right; margin:0 0 1em 1em;"
 | colspan="2" |एसआई व्युत्पन्न "यांत्रिक"
@@ Line 105: / Line 102: @@
 |kg·m <sup>2</sup> ·s <sup>−1</sup>
 |}
-[[ बिंदु कण |बिंदु कण]] की 'स्थिति' को  [[ समन्वय प्रणाली | समन्वय प्रणाली]] के संबंध में परिभाषित किया गया है जो  [[ अंतरिक्ष | अंतरिक्ष]] में एक मनमाना निश्चित संदर्भ बिंदु पर केंद्रित है जिसे मूल 'ओ' कहा जाता है। एक साधारण समन्वय प्रणाली एक  [[ कण | कण]] ''पी' की स्थिति का वर्णन कर सकती है जिसमें  [[ वेक्टर (ज्यामितीय) |  वेक्टर]] के साथ '''r''' लेबल वाले तीर द्वारा इंगित किया गया है जो मूल 'ओ' से बिंदु तक इंगित करता है। पी''। सामान्य तौर पर, बिंदु कण को 'ओ' के सापेक्ष स्थिर होने की आवश्यकता नहीं होती है। ऐसे मामलों में जहां ''P'' ''O'' के सापेक्ष गति कर रहा है, '''r''' को ''t'',  [[ बार | बार]] के एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है। पूर्व-आइंस्टीन सापेक्षता ( [[ गैलीलियन सापेक्षता | गैलीलियन सापेक्षता]] के रूप में जाना जाता है) में, समय को एक निरपेक्ष माना जाता है, अर्थात,  [[ समय अंतराल | समय अंतराल]] जो किसी भी दी गई घटनाओं के बीच समाप्त होने के लिए मनाया जाता है, सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान है<ref>{{cite book |title=Elements of Newtonian Mechanics |edition=illustrated |first1=Jens M. |last1=Knudsen |first2=Poul |last2=Hjorth |publisher=Springer Science & Business Media |year=2012 |isbn=978-3-642-97599-8 |page=30 |url=https://books.google.com/books?id=rkP1CAAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=rkP1CAAAQBAJ&pg=PA30 पृष्ठ 30 का उद्धरण</ref>  [[ पूर्ण समय | पूर्ण समय]] पर भरोसा करने के अलावा, शास्त्रीय यांत्रिकी अंतरिक्ष की संरचना के लिए  [[ यूक्लिडियन ज्यामिति | यूक्लिडियन ज्यामिति]] मानता है<ref>[http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-fall-2003/lecture-notes/binder1.pdf एमआईटी भौतिकी 8.01 व्याख्यान नोट्स (पेज 12)] {{webarchive|url=http://webarchive.loc.gov/all/20130709154423/http%3A//ocw.mit.edu/courses/physics/8%2D01%2Dphysics%2Di%2Dfall%2D2003/lecture%2Dnotes/binder1.pdf |date=2013-07-09 }} (पीडीएफ</ref>
+[[ बिंदु कण |बिंदु कण]] की स्थिति को [[ समन्वय प्रणाली |निर्देशांक पद्धति]] के संबंध में परिभाषित किया गया है जो [[ अंतरिक्ष |त्रिविमीय क्षेत्र]] में एक मनमाने निश्चित संदर्भ बिंदु पर केंद्रित है जिसे मूल बिंदु (ओरिजिन) ''O'' कहा जाता है। एक साधारण निर्देशांक पद्धति एक [[ कण |कण]] (पार्टिकल) ''P'' की स्थिति का वर्णन कर सकती है, जिसमें '''r''' लेबल वाले तीर द्वारा चिह्नित [[ वेक्टर (ज्यामितीय) |सदिश]] होता है जो मूल बिंदु ''O'' से बिंदु ''P'' तक इंगित करता है। सामान्यतः बिंदु कण को ''O'' के सापेक्ष स्थिर होने की आवश्यकता नहीं होती है। ऐसी स्थिति में जहां बिंदु कण ''P,'' मूल बिंदु ''O'' के सापेक्ष गति कर रहा है, '''r''' को ''t'' [[ बार |समय]] के एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है। पूर्व-आइंस्टीन सापेक्षता ([[ गैलीलियन सापेक्षता |गैलीलियन सापेक्षता]]) में, समय को निरपेक्ष माना जाता है, अर्थात, [[ समय अंतराल |समय अंतराल]] जो किसी भी दी गई घटनाओं के बीच समाप्त होने के लिए मनाया जाता है, सभी प्रेक्षकों के लिए समान है।<ref>{{cite book |title=Elements of Newtonian Mechanics |edition=illustrated |first1=Jens M. |last1=Knudsen |first2=Poul |last2=Hjorth |publisher=Springer Science & Business Media |year=2012 |isbn=978-3-642-97599-8 |page=30 |url=https://books.google.com/books?id=rkP1CAAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=rkP1CAAAQBAJ&pg=PA30 पृष्ठ 30 का उद्धरण</ref>[[ पूर्ण समय | निरपेक्ष समय]] पर आश्रय करने के अलावा, चिरसम्मत यांत्रिकी अंतरिक्ष की संरचना के लिए [[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन ज्यामिति]] को मानता है।<ref>[http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-fall-2003/lecture-notes/binder1.pdf एमआईटी भौतिकी 8.01 व्याख्यान नोट्स (पेज 12)] {{webarchive|url=http://webarchive.loc.gov/all/20130709154423/http%3A//ocw.mit.edu/courses/physics/8%2D01%2Dphysics%2Di%2Dfall%2D2003/lecture%2Dnotes/binder1.pdf |date=2013-07-09 }} (पीडीएफ</ref>
+====वेग और गति (वेलोसिटी और स्पीड) ====
+[[ वेग |वेग]], या समय के साथ विस्थापन के परिवर्तन की दर को समय के संबंध में स्थिति के [[ व्युत्पन्न |व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित किया गया है:
-====वेग और गति ====
+<math>\mathbf{v} = {\mathrm{d}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t}\,\!</math>
-'' [[ वेग ]]'', या समय के साथ विस्थापन के ]] परिवर्तन की  [[ कैलकुलस |  दर को समय के संबंध में स्थिति के  [[ व्युत्पन्न ]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<math>\mathbf{v} = {\mathrm{d}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t}\,\!</math>.
-शास्त्रीय यांत्रिकी में, वेग सीधे योगात्मक और घटाव होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार 60 किमी/घंटा की गति से पूर्व की ओर चलती है और 50 किमी/घंटा की गति से उसी दिशा में यात्रा कर रही दूसरी कार को पास करती है, तो धीमी कार तेज कार को पूर्व की ओर यात्रा करती हुई मानती है। {{nowrap|60 − 50 {{=}} 10 किमी/घंटा}}। हालांकि, तेज कार के दृष्टिकोण से, धीमी कार पश्चिम की ओर 10 किमी/घंटा की गति से बढ़ रही है, जिसे अक्सर -10 किमी/घंटा के रूप में दर्शाया जाता है जहां i का चिह्न होता है।विपरीत दिशा में होता है। वेग  [[ बी के रूप में सीधे योगात्मक हैं: कैलकुलस/मैकेनिक्स/स्केलर और वेक्टर मात्राओं के साथ भौतिकी |  वेक्टर मात्रा ]]; उन्हें  [[ वेक्टर विश्लेषण ]] का उपयोग करके निपटाया जाना चाहिए।
+चिरसम्मत यांत्रिकी में, वेग सीधे धनात्मक और ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार 60 किमी/घंटा (km/h) की गति से पूर्व की ओर चलती है और 50 किमी/घंटा (km/h) की गति से उसी दिशा में चल रही दूसरी कार से अगली निकल जाती है, तो मन्द गति से चल रही कार, तीव्र गति से चल रही कार को पूर्व की ओर {{nowrap|60 − 50 {{=}} 10 किमी/घंटा}} (km/h) से यात्रा करती हुई मानती है। हालांकि, तीव्र कार के दृष्टिकोण से, मन्द कार पश्चिम की ओर 10 किमी/घंटा (km/h) की गति से बढ़ रही है, जिसे प्रायः -10 किमी/घंटा (km/h) के रूप में दर्शाया जाता है जहां चिह्न विपरीत दिशा को दर्शाता है। [[ बी के रूप में सीधे योगात्मक हैं: कैलकुलस/मैकेनिक्स/स्केलर और वेक्टर मात्राओं के साथ भौतिकी |सदिश राशिओं]] के रूप में वेग सीधे योगात्मक होते हैं, उन्हें [[ वेक्टर विश्लेषण |सदिश विश्लेषण]] का उपयोग करके संबोधित करना चाहिए।
-गणितीय रूप से, यदि पिछली चर्चा में पहली वस्तु का वेग वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है {{nowrap|'''u''' {{=}} ''u'''''d'''}} और सदिश द्वारा दूसरी वस्तु का वेग {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v'''''e'''}}, जहां ''u'' पहली वस्तु की गति है, ''v'' दूसरी वस्तु की गति है, और '''d''' और '''e'''  [[ इकाई सदिश हैं ]] s क्रमशः प्रत्येक वस्तु की गति की दिशा में, तो दूसरी वस्तु द्वारा देखी गई पहली वस्तु का वेग है:<math>\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \mathbf{v} \, .</math>
+गणितीय रूप से, यदि पूर्व चर्चा में पहली वस्तु का वेग को सदिश {{nowrap|'''u''' {{=}} ''u'''''d'''}} द्वारा और दूसरी वस्तु के वेग को सदिश {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v'''''e'''}} द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां ''u'' पहली वस्तु की गति है, ''v'' दूसरी वस्तु की गति है, और '''d''' एवं '''e''' क्रमशः प्रत्येक वस्तु की गति की दिशा में [[ इकाई सदिश हैं |इकाई सदिश हैं]]। तो दूसरी वस्तु द्वारा देखी गई पहली वस्तु का वेग है।
-इसी प्रकार, पहली वस्तु दूसरी वस्तु के वेग को इस प्रकार देखती है:<math>\mathbf{v'}= \mathbf{v} - \mathbf{u} \, .</math>
+<math>\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \mathbf{v} \, .</math>
-जब दोनों वस्तुएँ एक ही दिशा में चल रही हों, तो इस समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:<math>\mathbf{u}' = ( u - v ) \mathbf{d} \, .</math>
+इसी प्रकार, पहली वस्तु द्वारा देखी गई दूसरी वस्तु का वेग है।
-या, दिशा की अनदेखी करके, अंतर केवल गति के संदर्भ में दिया जा सकता है:<math>u' = u - v \, .</math>
+<math>\mathbf{v'}= \mathbf{v} - \mathbf{u} \, .</math>
-==== त्वरण ====
+जब दोनों वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हों, तो इस निम्न समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।
-'' [[ त्वरण ]]'', या वेग के परिवर्तन की दर, समय के संबंध में वेग का  [[ व्युत्पन्न ]] है (समय के संबंध में स्थिति का  [[ व्युत्पन्न |  सेकंड व्युत्पन्न ]]):<math>\mathbf{a} = {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d^2}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t^2}.</math>
-त्वरण समय के साथ वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। वेग या तो परिमाण या दिशा, या दोनों में बदल सकता है। कभी-कभी, वेग ''v'' के परिमाण में कमी को ''मंदी'' के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन आम तौर पर समय के साथ वेग में कोई भी परिवर्तन, जिसमें मंदी भी शामिल है, को केवल त्वरण के रूप में जाना जाता है।
+<math>\mathbf{u}' = ( u - v ) \mathbf{d} \, .</math>
-==== संदर्भ के फ्रेम ====
+या, दिशा की उपेक्षा करके, अंतर केवल गति के संदर्भ में दिया जा सकता है।
-जबकि  [[ कण ]] की स्थिति, वेग और त्वरण को किसी भी  [[ पर्यवेक्षक (विशेष सापेक्षता) |  पर्यवेक्षक ]] के संबंध में गति के किसी भी राज्य में वर्णित किया जा सकता है, शास्त्रीय यांत्रिकी  [[ फ्रेम के संदर्भ |  संदर्भ के एक विशेष परिवार के अस्तित्व को मानता है। फ्रेम ]] जिसमें प्रकृति के यांत्रिक नियम तुलनात्मक रूप से सरल रूप लेते हैं। इन विशेष संदर्भ फ़्रेमों को  [[ जड़त्वीय फ़्रेम ]] कहा जाता है। एक जड़त्वीय फ्रेम संदर्भ का एक आदर्श फ्रेम है जिसके भीतर किसी वस्तु पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। चूँकि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए वस्तु का वेग स्थिर रहता है; अर्थात् यह या तो विरामावस्था में है या एक सीधी रेखा में एकसमान गति कर रहा है।
+<math>u' = u - v \, .</math>
-जड़त्वीय फ्रेम की एक प्रमुख अवधारणा उन्हें पहचानने की विधि है। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, संदर्भ फ्रेम जो  [[ स्टार |  दूर के सितारों ]] (एक अत्यंत दूर बिंदु) के संबंध में तेजी से नहीं बढ़ते हैं, उन्हें जड़त्वीय फ्रेम के लिए अच्छा अनुमान माना जाता है।  [[ गैर-जड़ता संदर्भ फ्रेम ]] एस मौजूदा जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में तेजी लाता है। वे आइंस्टीन की सापेक्षता का आधार बनाते हैं। सापेक्ष गति के कारण, गैर-जड़त्वीय फ्रेम में कण संदर्भ फ्रेम में मौजूदा क्षेत्रों से बलों द्वारा स्पष्ट नहीं किए गए तरीकों से चलते प्रतीत होते हैं। इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है कि अन्य बल हैं जो केवल सापेक्ष त्वरण के परिणामस्वरूप गति के समीकरणों में प्रवेश करते हैं। इन बलों को  [[ काल्पनिक बल ]] एस, जड़त्व बल या छद्म बल कहा जाता है।
+==== त्वरण (अक्सेलरेशन) ====
+[[ त्वरण |त्वरण]], या वेग के परिवर्तन की दर, समय के संबंध में वेग का [[ व्युत्पन्न |व्युत्पन्न]] है (समय के संबंध में स्थिति का [[ व्युत्पन्न |दूसरा व्युत्पन्न]])।
-दो  [[ संदर्भ फ़्रेम ]] ''S'' और <var>S'</var> पर विचार करें। प्रत्येक संदर्भ फ्रेम में पर्यवेक्षकों के लिए एक घटना में (''x'',''y'', ''z'',''t'') फ्रेम ''S'' और ( <var>x'</var>,<var>y'</var>,<var>z'</var>,<var>t'</var>) फ्रेम में <var>S'</var> >. मान लें कि समय सभी संदर्भ फ़्रेमों में समान रूप से मापा जाता है, और यदि हमें आवश्यकता होती है {{nowrap|''x'' {{=}} <var> x '</var>}} जब {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}, फिर संदर्भ फ्रेम से देखे गए उसी घटना के स्पेस-टाइम निर्देशांक के बीच संबंध <var>S'</var> and ''S'', जो ''u'' के सापेक्ष वेग से ''x'' दिशा में गति कर रहा है, वह है:<math>x' = x - u t \,</math>
+<math>\mathbf{a} = {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d^2}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t^2}.</math>
-<math>y' = y \,</math>
-<math>z' = z \,</math>
-<math>t' = t \, .</math>
-सूत्रों का यह सेट  [[ समूह परिवर्तन ]] को परिभाषित करता है जिसे  [[ गैलीलियन परिवर्तन ]] (अनौपचारिक रूप से, ''गैलीलियन रूपांतरण'') के रूप में जाना जाता है। यह समूह  [[ विशेष सापेक्षता ]] में प्रयुक्त  [[ पोंकारे समूह ]] का एक सीमित मामला है। सीमित स्थिति तब लागू होती है जब 'u' का वेग ''c'', प्रकाश की  [[ गति ]] की तुलना में बहुत छोटा होता है।
+त्वरण समय के साथ वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। वेग या तो परिमाण या दिशा, या दोनों में बदल सकता है। कभी-कभी, वेग ''v'' के परिमाण में कमी को अवत्वरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन सामान्यतः समय के साथ वेग में कोई भी परिवर्तन, जिसमें अवत्वरण भी शामिल है, को केवल त्वरण के रूप में जाना जाता है।
-परिवर्तनों के निम्नलिखित परिणाम हैं:
+==== '''निर्देश तंत्र (फ्रेम्स ऑफ़ रिफरेन्स)''' ====
-* '''v'''′ = '''v''' - '''u''' ('S''' के दृष्टिकोण से एक कण का वेग '''v'''′ अपने वेग '''v''' से '''u''' से धीमा है। 'एस'')
-* '''a'''′ = '''a''' (किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में कण का त्वरण समान होता है)
-* '''F'''′ = '''F''' (किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में एक कण पर बल समान होता है)
-* प्रकाश की  [[ गति ]] शास्त्रीय यांत्रिकी में स्थिर नहीं है, न ही  [[ सापेक्षवादी यांत्रिकी ]] में प्रकाश की गति को दी गई विशेष स्थिति शास्त्रीय यांत्रिकी में एक समकक्ष है।
-कुछ समस्याओं के लिए, घूर्णन निर्देशांक (संदर्भ फ़्रेम) का उपयोग करना सुविधाजनक है। इस प्रकार कोई भी एक सुविधाजनक जड़त्वीय फ्रेम के लिए मैपिंग रख सकता है, या अतिरिक्त रूप से एक काल्पनिक  [[ केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) |  केन्द्रापसारक बल ]] और  [[ कोरिओलिस बल ]] पेश कर सकता है।
+जबकि [[ कण |कण]] की स्थिति, वेग और त्वरण को किसी भी [[ पर्यवेक्षक (विशेष सापेक्षता) |प्रेक्षक]] के संबंध में गति की किसी भी अवस्था में वर्णित किया जा सकता है, चिरसम्मत यांत्रिकी [[ फ्रेम के संदर्भ |निर्देश तंत्र]] [[ फ्रेम के संदर्भ |के एक विशेष वर्ग के अस्तित्व को मानता है।]] जिसमें प्रकृति के यांत्रिक नियम तुलनात्मक रूप से सरल रूप लेते हैं। इन विशेष संदर्भ विन्यास को [[ जड़त्वीय फ़्रेम |जड़त्वीय तंत्र]] कहा जाता है। एक जड़त्वीय तंत्र एक आदर्श संदर्भ विन्यास है जिसमे किसी वस्तु पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। चूँकि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए वस्तु का वेग स्थिर रहता है, अर्थात् यह या तो विरामावस्था में है या एक सीधी रेखा में एकसमान गति कर रहा है।
-====वेग और गति ====
+जड़त्वीय तंत्र की एक प्रमुख अवधारणा उन्हें पहचानने की विधि है। प्रायौगिक उद्देश्यों के लिए, संदर्भ विन्यास जो [[ स्टार |दूर के सितारों]] (एक अत्यंत दूर बिंदु) के संबंध में त्वरित नहीं होते हैं, उन्हें जड़त्वीय तंत्र के लिए अच्छा सन्निकटन माना जाता है। [[ गैर-जड़ता संदर्भ फ्रेम |अजड़त्वीय निर्देश तंत्र]] मौजूदा जड़त्वीय तंत्र के संबंध में त्वरित होते है। वे आइंस्टीन की सापेक्षता का आधार बनाते हैं। सापेक्ष गति के कारण, अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण निर्देश तंत्र में मौजूदा क्षेत्रों से बलों द्वारा अस्पष्ट तरीकों से चलते प्रतीत होते हैं। इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है कि अन्य बल हैं जो केवल सापेक्ष त्वरण के परिणामस्वरूप गति के समीकरणों में प्रवेश करते हैं। इन बलों को [[ काल्पनिक बल |काल्पनिक बल]], जड़त्वीय बल या छद्म बल कहा जाता है।
-'' [[ वेग ]]'', या समय के साथ विस्थापन के ]] परिवर्तन की  [[ कैलकुलस |  दर को समय के संबंध में स्थिति के  [[ व्युत्पन्न ]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<math>\mathbf{v} = {\mathrm{d}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t}\,\!</math>.
-शास्त्रीय यांत्रिकी में, वेग सीधे योगात्मक और घटाव होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार 60 किमी/घंटा की गति से पूर्व की ओर चलती है और 50 किमी/घंटा की गति से उसी दिशा में यात्रा कर रही दूसरी कार को पास करती है, तो धीमी कार तेज कार को पूर्व की ओर यात्रा करती हुई मानती है। {{nowrap|60 − 50 {{=}} 10 किमी/घंटा}}। हालांकि, तेज कार के दृष्टिकोण से, धीमी कार 10 किमी/घंटा पश्चिम की ओर बढ़ रही है, जिसे अक्सर -10 किमी/घंटा के रूप में दर्शाया जाता है जहां संकेत विपरीत दिशा को दर्शाता है। वेग  [[ बी के रूप में सीधे योगात्मक हैं: कैलकुलस/मैकेनिक्स/स्केलर और वेक्टर मात्राओं के साथ भौतिकी |  वेक्टर मात्रा ]]; उन्हें  [[ वेक्टर विश्लेषण ]] का उपयोग करके निपटाया जाना चाहिए।
+माना दो [[ संदर्भ फ़्रेम |निर्देश तंत्र]] ''S'' और <var>S'</var> हैं। प्रत्येक निर्देश तंत्र में प्रेक्षक के लिए एक स्थिति में (''x'',''y'', ''z'',''t'') तंत्र ''S'' और ( <var>x'</var>,<var>y'</var>,<var>z'</var>,<var>t'</var>) तंत्र <var>S'</var> में स्थान-समय निर्देशांक है। माना समय सभी निर्देश तंत्र में समान रूप से मापा जाता है, और यदि हमें {{nowrap|''t'' {{=}} 0}} होने पर {{nowrap|''x'' {{=}} <var> x '</var>}} की आवश्यकता होती है, तो निर्देश तंत्र S' और S से देखि गई समान स्थिति के स्थान-समय निर्देशांक के बीच संबंध, जो x दिशा में गतिमान हैं, u के सापेक्ष वेग पर है।
-गणितीय रूप से, यदि पिछली चर्चा में पहली वस्तु का वेग वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है {{nowrap|'''u''' {{=}} ''u'''''d'''}} और सदिश द्वारा दूसरी वस्तु का वेग {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v'''''e'''}}, जहां ''u'' पहली वस्तु की गति है, ''v'' दूसरी वस्तु की गति है, और '''d''' और '''e'''  [[ इकाई सदिश हैं ]] s क्रमशः प्रत्येक वस्तु की गति की दिशा में, तो दूसरी वस्तु द्वारा देखी गई पहली वस्तु का वेग है:<math>\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \mathbf{v} \, .</math>
+<math>x' = x - u t \,</math>
-इसी प्रकार, पहली वस्तु दूसरी वस्तु के वेग को इस प्रकार देखती है:<math>\mathbf{v'}= \mathbf{v} - \mathbf{u} \, .</math>
+<math>y' = y \,</math>
-जब दोनों वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हों, तो इस समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:<math>\mathbf{u}' = ( u - v ) \mathbf{d} \, .</math>
+<math>z' = z \,</math>
-या, दिशा की अनदेखी करके, अंतर केवल गति के संदर्भ में दिया जा सकता है:<math>u' = u - v \, .</math>
+<math>t' = t \, .</math>
-==== त्वरण ====
+सूत्रों का यह समुच्चय [[ समूह परिवर्तन |समूह रूपांतरण]] को परिभाषित करता है जिसे [[ गैलीलियन परिवर्तन |गैलीलियन रूपांतरण]] (अनौपचारिक रूप से, गैलीलियन रूपांतरण) के रूप में जाना जाता है। यह समूह [[ विशेष सापेक्षता |विशेष सापेक्षता]] में प्रयुक्त [[ पोंकारे समूह |पोंकारे समूह]] की एक सीमित स्थिति है। सीमित स्थिति तब लागू होती है जब 'u' का वेग ''c'' प्रकाश की [[ गति |गति]] की तुलना में बहुत छोटा होता है।
-'' [[ त्वरण ]]'', या वेग के परिवर्तन की दर, समय के संबंध में वेग का  [[ व्युत्पन्न ]] है (समय के संबंध में स्थिति का  [[ व्युत्पन्न |  सेकंड व्युत्पन्न ]]):<math>\mathbf{a} = {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d^2}\mathbf{r} \over \mathrm{d}t^2}.</math>
-त्वरण समय के साथ वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। वेग या तो परिमाण या दिशा, या दोनों में बदल सकता है। कभी-कभी, वेग ''v'' के परिमाण में कमी को ''मंदी'' के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन आम तौर पर समय के साथ वेग में कोई भी परिवर्तन, जिसमें मंदी भी शामिल है, को केवल त्वरण के रूप में जाना जाता है।
+परिवर्तनों के निम्नलिखित परिणाम हैं
-==== संदर्भ के फ्रेम ====
+* '''v' ''= '''''<nowiki/>''v''' - '''u'' ('''S'<nowiki/>''' के दृष्टिकोण से कण का वेग '''v'''′, '''S''' के दृष्टिकोण से अपने वेग '''v''' से '''u''' धीमा है)
+* '''a'''′ = '''a''' (किसी भी जड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण का त्वरण समान होता है)
+* '''F'''′ = '''F''' (किसी भी जड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण पर बल समान होता है)
+* चिरसम्मत यांत्रिकी में प्रकाश की [[ गति |गति]] नियत नहीं है, न ही [[ सापेक्षवादी यांत्रिकी |सापेक्षवादी यांत्रिकी]] में प्रकाश की गति को दी गई विशेष स्थिति चिरसम्मत यांत्रिकी में समकक्ष है।
-जबकि  [[ कण ]] की स्थिति, वेग और त्वरण को किसी भी  [[ पर्यवेक्षक (विशेष सापेक्षता) |  पर्यवेक्षक ]] के संबंध में गति के किसी भी राज्य में वर्णित किया जा सकता है, शास्त्रीय यांत्रिकी  [[ फ्रेम के संदर्भ |  संदर्भ के एक विशेष परिवार के अस्तित्व को मानता है। फ्रेम ]] जिसमें प्रकृति के यांत्रिक नियम तुलनात्मक रूप से सरल रूप लेते हैं। इन विशेष संदर्भ फ़्रेमों को  [[ जड़त्वीय फ़्रेम ]] कहा जाता है। एक जड़त्वीय फ्रेम संदर्भ का एक आदर्श फ्रेम है जिसके भीतर किसी वस्तु पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। चूँकि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए वस्तु का वेग स्थिर रहता है; अर्थात् यह या तो विरामावस्था में है या एक सीधी रेखा में एकसमान गति कर रहा है।
+कुछ समस्याओं के लिए, घूर्णन निर्देशांक (निर्देश तंत्र) का उपयुक्त है। जिससे या तो उचित जड़त्वीय तंत्र के लिए मानचित्रण रख सकते हैं, या अतिरिक्त रूप से एक काल्पनिक [[ केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) |केन्द्रापसारक बल]] और [[ कोरिओलिस बल |कोरिओलिस बल]] का परिचय दे सकते हैं।
-जड़त्वीय फ्रेम की एक प्रमुख अवधारणा उन्हें पहचानने की विधि है। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, संदर्भ फ्रेम जो  [[ स्टार |  दूर के सितारों ]] (एक अत्यंत दूर बिंदु) के संबंध में तेजी से नहीं बढ़ते हैं, उन्हें जड़त्वीय फ्रेम के लिए अच्छा अनुमान माना जाता है।  [[ गैर-जड़ता संदर्भ फ्रेम ]] एस मौजूदा जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में तेजी लाता है। वे आइंस्टीन की सापेक्षता का आधार बनाते हैं। सापेक्ष गति के कारण, गैर-जड़त्वीय फ्रेम में कण संदर्भ फ्रेम में मौजूदा क्षेत्रों से बलों द्वारा स्पष्ट नहीं किए गए तरीकों से चलते प्रतीत होते हैं। इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है कि अन्य बल हैं जो केवल सापेक्ष त्वरण के परिणामस्वरूप गति के समीकरणों में प्रवेश करते हैं। इन बलों को  [[ काल्पनिक बल ]] एस, जड़त्व बल या छद्म बल कहा जाता है।
+===बल और न्यूटन का दूसरा नियम ===
-दो  [[ संदर्भ फ़्रेम ]] ''S'' और <var>S'</var> पर विचार करें। प्रत्येक संदर्भ फ्रेम में पर्यवेक्षकों के लिए एक घटना में (''x'',''y'', ''z'',''t'') फ्रेम ''S'' और ( <var>x'</var>,<var>y'</var>,<var>z'</var>,<var>t'</var>) फ्रेम में <var>S'</var> >. मान लें कि समय सभी संदर्भ फ़्रेमों में समान रूप से मापा जाता है, और यदि हमें आवश्यकता होती है {{nowrap|''x'' {{=}} <var> x '</var>}} जब {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}, फिर संदर्भ फ्रेम <var>S'</var> और ''S'' से देखे गए समान घटना के स्पेस-टाइम निर्देशांक के बीच संबंध, जो ''u' के सापेक्ष वेग से आगे बढ़ रहे हैं ' 'x'' दिशा में है:<math>x' = x - u t \,</math>
+भौतिकी में बल वह क्रिया है जो किसी वस्तु का वेग परिवर्तित करता है, अर्थात त्वरित करना। बल विद्युत-स्थैतिक क्षेत्र, विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, अन्य जैसे [[ क्षेत्र (भौतिकी) |क्षेत्रो]] से उत्पन्न होता है।
-<math>y' = y \,</math>
-<math>z' = z \,</math>
-<math>t' = t \, .</math>
-सूत्रों का यह सेट  [[ समूह परिवर्तन ]] को परिभाषित करता है जिसे  [[ गैलीलियन परिवर्तन ]] (अनौपचारिक रूप से, ''गैलीलियन रूपांतरण'') के रूप में जाना जाता है। यह समूह  [[ विशेष सापेक्षता ]] में प्रयुक्त  [[ पोंकारे समूह ]] का एक सीमित मामला है। सीमित स्थिति तब लागू होती है जब 'u' का वेग ''c'', प्रकाश की  [[ गति ]] की तुलना में बहुत छोटा होता है।
+सर्वप्रथम [[ आइज़ैक न्यूटन |न्यूटन]] ने [[ बल |बल]] और [[ संवेग |संवेग]] के बीच संबंध को गणितीय रूप से व्यक्त किया। कुछ भौतिक विज्ञानी [[ न्यूटन के दूसरे नियम |न्यूटन के गति के दूसरे नियम]] को बल और द्रव्यमान की परिभाषा के रूप में व्याख्यायित करते हैं, जबकि अन्य इसे एक मौलिक अभिधारणा,
-परिवर्तनों के निम्नलिखित परिणाम हैं:
+प्रकृति का नियम मानते हैं।<ref>{{cite book|last1=Thornton|first1=Stephen T.|last2=Marion|first2=Jerry B.|title=Classical dynamics of particles and systems|url=https://archive.org/details/classicaldynamic00thor|url-access=limited|date=2004|publisher=Brooks/Cole|location=Belmont, CA|isbn=978-0-534-40896-1|pages=[https://archive.org/details/classicaldynamic00thor/page/n67 50]|edition=5.}}</ref> या तो व्याख्या के समान गणितीय परिणाम होते हैं, जिसे प्रारंभिक रूप से न्यूटन के दूसरे नियम के रूप में जाना जाता है।
-* '''v'''′ = '''v''' - '''u''' ('S''' के दृष्टिकोण से एक कण का वेग '''v'''′ अपने वेग '''v''' से '''u''' से धीमा है। 'एस'')
-* '''a'''′ = '''a''' (किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में कण का त्वरण समान होता है)
-* '''F'''′ = '''F''' (किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में एक कण पर बल समान होता है)
-* प्रकाश की  [[ गति ]] शास्त्रीय यांत्रिकी में स्थिर नहीं है, न ही  [[ सापेक्षवादी यांत्रिकी ]] में प्रकाश की गति को दी गई विशेष स्थिति शास्त्रीय यांत्रिकी में एक समकक्ष है।
-कुछ समस्याओं के लिए, घूर्णन निर्देशांक (संदर्भ फ़्रेम) का उपयोग करना सुविधाजनक है। इस प्रकार कोई भी एक सुविधाजनक जड़त्वीय फ्रेम के लिए मैपिंग रख सकता है, या अतिरिक्त रूप से एक काल्पनिक  [[ केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) |  केन्द्रापसारक बल ]] और  [[ कोरिओलिस बल ]] पेश कर सकता है।
+<math>\mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d}(m \mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}.</math>
-===बल और न्यूटन का दूसरा नियम ===
+मात्रा m'''v''' को ([[ विहित संवेग |प्रामाणिक]]) [[ संवेग |संवेग]] कहा जाता है। इस प्रकार किसी कण पर लगने वाला नेट बल समय के साथ कण के संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है। चूंकि त्वरण की परिभाषा {{nowrap|'''a''' {{=}} d'''v'''/d''t''}} है, अतः दूसरा नियम निम्न प्रकार से अधिक परिचित रूप में और सरलीकृत किया जा सकता है।
+<math>\mathbf{F} = m \mathbf{a} \, .</math>
-भौतिकी में एक बल कोई भी क्रिया है जो किसी वस्तु के वेग को बदलने का कारण बनती है; यानी तेज करना। एक बल एक  [[ क्षेत्र (भौतिकी) |  क्षेत्र ]] के भीतर से उत्पन्न होता है, जैसे कि विद्युत-स्थैतिक क्षेत्र (स्थिर विद्युत आवेशों के कारण), विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र (चलती आवेशों के कारण), या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (द्रव्यमान के कारण), दूसरों के बीच में।
+किसी कण पर लगने वाले बल के ज्ञात होने तक न्यूटन का द्वितीय नियम कण की गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। एक बार कण पर कार्य करने वाले प्रत्येक बल के लिए स्वतंत्र संबंध उपलब्ध हो जाने पर, उन्हें न्यूटन के दूसरे नियम में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिससे [[ साधारण अंतर समीकरण |साधारण अवकल समीकरण]] प्राप्त होता है, जिसे गति का समीकरण कहा जाता है।
- [[ आइज़ैक न्यूटन |  न्यूटन ]] पहला व्यक्ति था जिसने  [[ बल ]] और  [[ संवेग ]] के बीच संबंध को गणितीय रूप से व्यक्त किया। कुछ भौतिक विज्ञानी  [[ न्यूटन के दूसरे नियम |  न्यूटन के गति के दूसरे नियम ]] को बल और द्रव्यमान की परिभाषा के रूप में व्याख्यायित करते हैं, जबकि अन्य इसे एक मौलिक अभिधारणा, प्रकृति का एक नियम मानते हैं।<ref>{{cite book|last1=Thornton|first1=Stephen T.|last2=Marion|first2=Jerry B.|title=Classical dynamics of particles and systems|url=https://archive.org/details/classicaldynamic00thor|url-access=limited|date=2004|publisher=Brooks/Cole|location=Belmont, CA|isbn=978-0-534-40896-1|pages=[https://archive.org/details/classicaldynamic00thor/page/n67 50]|edition=5.}}</ref> या तो व्याख्या के समान गणितीय परिणाम होते हैं, जिसे ऐतिहासिक रूप से न्यूटन के दूसरे नियम के रूप में जाना जाता है:<math>\mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d}(m \mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}.</math>
+उदाहरण के रूप में, माना कि घर्षण कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल है, और इसे कण के वेग के कार्य के रूप में तैयार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए
-मात्रा ''m'''''v''' को ( [[ विहित संवेग |  विहित ]] )  [[ संवेग ]] कहा जाता है। इस प्रकार किसी कण पर लगने वाला नेट बल समय के साथ कण के संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है। चूंकि त्वरण की परिभाषा है {{nowrap|'''a''' {{=}} d'''v'''/d''t''}}, दूसरे नियम को सरल और अधिक परिचित रूप में लिखा जा सकता है:<math>\mathbf{F} = m \mathbf{a} \, .</math>
+<math>\mathbf{F}_{\rm R} = - \lambda \mathbf{v} \, ,</math>
-जब तक किसी कण पर लगने वाला बल ज्ञात है, तब तक न्यूटन का द्वितीय नियम कण की गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। एक बार कण पर कार्य करने वाले प्रत्येक बल के लिए स्वतंत्र संबंध उपलब्ध हो जाने पर, उन्हें न्यूटन के दूसरे नियम में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिससे  [[ साधारण अंतर समीकरण ]] प्राप्त होता है, जिसे ''गति का समीकरण'' कहा जाता है।
+जहाँ ''λ'' धनात्मक नियतांक है, ऋणात्मक चिन्ह बताता है कि बल, वेग के विपरीत है। तब गति का समीकरण है।
-एक उदाहरण के रूप में, मान लें कि घर्षण कण पर अभिनय करने वाला एकमात्र बल है, और इसे कण के वेग के एक कार्य के रूप में तैयार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:<math>\mathbf{F}_{\rm R} = - \lambda \mathbf{v} \, ,</math>
+<math>- \lambda \mathbf{v} = m \mathbf{a} = m {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} \, .</math>
-जहाँ ''λ'' एक धनात्मक नियतांक है, ऋणात्मक चिन्ह बताता है कि बल वेग के बोध के विपरीत है। तब गति का समीकरण है<math>- \lambda \mathbf{v} = m \mathbf{a} = m {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t} \, .</math>
+यह प्राप्त करने के लिए [[ प्रतिपक्षी |एकीकृत]] हो सकता है।
-यह प्राप्त करने के लिए  [[ प्रतिपक्षी |  एकीकृत ]] हो सकता है<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^{{-\lambda t}/{m}}</math>
+<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 e^{{-\lambda t}/{m}}</math>
-जहां '''v'''<sub>0</sub> प्रारंभिक वेग है। इसका अर्थ यह हुआ कि इस कण का वेग  [[ घातांकीय क्षय |  समय के साथ-साथ घातांकीय रूप से ]] से शून्य हो जाता है। इस मामले में, एक समान दृष्टिकोण यह है कि कण की गतिज ऊर्जा घर्षण द्वारा अवशोषित होती है (जो इसे  [[ ऊर्जा ]] के संरक्षण के अनुसार गर्मी ऊर्जा में परिवर्तित करती है), और कण धीमा हो रहा है। समय के एक फलन के रूप में कण की स्थिति ''' r ''' प्राप्त करने के लिए इस अभिव्यक्ति को और एकीकृत किया जा सकता है।
+जहां '''v'''<sub>0</sub> प्रारंभिक वेग है। अर्थात इस कण का वेग [[ घातांकीय क्षय |समय के साथ-साथ तेजी से]] शून्य हो जाता है। इस स्थिति में, समकक्ष दृष्टिकोण यह है कि कण की गतिज ऊर्जा घर्षण द्वारा अवशोषित होती है (जो इसे [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] के संरक्षण के अनुसार ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित करती है), और कण मंद हो जाता है। समय के फलन के रूप में कण की स्थिति '''r''' प्राप्त करने के लिए इस व्यंजक को और एकीकृत किया जा सकता है।
-महत्वपूर्ण बलों में  [[ गुरुत्वाकर्षण |  गुरुत्वाकर्षण बल ]] और  [[ लोरेंत्ज़ बल ]]  [[ विद्युत चुंबकत्व ]] के लिए शामिल हैं। इसके अलावा,  [[ न्यूटन के तीसरे नियम ]] का उपयोग कभी-कभी एक कण पर कार्य करने वाले बलों को निकालने के लिए किया जा सकता है: यदि यह ज्ञात है कि कण ''ए'' दूसरे कण ''बी'' पर ''' एफ''' एक बल लगाता है, तो यह इस प्रकार है कि ''B'' को ''A'' पर बराबर और विपरीत ''प्रतिक्रिया बल'', -'''F''' लगाना चाहिए। न्यूटन के तीसरे नियम के मजबूत रूप के लिए आवश्यक है कि '''F''' और −'''F''' ''A'' और ''B'' को जोड़ने वाली रेखा के साथ-साथ कार्य करें, जबकि कमजोर रूप ऐसा नहीं करता है। न्यूटन के तीसरे नियम के कमजोर रूप के उदाहरण अक्सर चुंबकीय बलों के लिए पाए जाते हैं{{clarify|date=January 2016}}
+महत्वपूर्ण बलों में [[ गुरुत्वाकर्षण |गुरुत्वाकर्षण बल]] और [[ विद्युत चुंबकत्व |विद्युत चुंबकत्व]] के लिए [[ लोरेंत्ज़ बल |लोरेंत्ज़ बल]] शामिल हैं। इसके अलावा, [[ न्यूटन के तीसरे नियम |न्यूटन के तीसरे नियम]] का उपयोग कभी-कभी कण पर कार्य करने वाले बलों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यदि यह ज्ञात है कि कण ''A'' एक अन्य कण ''B'' पर बल '''F''' लगाता है, तो यह निम्नानुसार है कि ''B'' कण'', A'' कण पर एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल -'''F''' लगाता है।{{clarify|date=January 2016}}
 === कार्य और ऊर्जा ===
-दि एक स्थिर बल '''F''' एक कण पर लगाया जाता है जो '''r''' . का विस्थापन करता है{{NoteTag|The displacement {{math|Δ'''r'''}} कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति का अंतर है: {{math|1=Δ'''r''' = '''r'''<sub>final</sub> − '''r'''<sub>initial</sub>}}.}} बल द्वारा किए गए कार्य को बल और विस्थापन सदिशों के  [[ अदिश गुणनफल ]] के रूप में परिभाषित किया गया है:
+यदि नियतबल '''F''' एक ऐसे कण पर लगाया जाता है जो विस्थापन '''Δr''' करता है{{NoteTag|The displacement {{math|Δ'''r'''}} कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति का अंतर है: {{math|1=Δ'''r''' = '''r'''<sub>final</sub> − '''r'''<sub>initial</sub>}}.}} बल द्वारा किए गए कार्य को बल और विस्थापन सदिशों के [[ अदिश गुणनफल |अदिश गुणनफल]] के रूप में परिभाषित किया गया है।
 : <math>W = \mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r} \, .</math>
-अधिक सामान्यतः, यदि बल 'सी' पथ के साथ '''r'''<sub>1</sub> से '''r'''<sub>2</sub> तक जाने पर स्थिति के एक फलन के रूप में बदलता रहता है, तो कण पर किया गया कार्य  [[ लाइन इंटीग्रल ]] . द्वारा दिया गया है
+अधिक सामान्यतः यदि बल पथ C के अनुदिश '''r1''' से '''r2''' की ओर गति करते समय स्थिति के फलन के रूप में बदलता रहता है, तो कण पर किया गया कार्य [[ लाइन इंटीग्रल |रेखीय समाकलन]] द्वारा दिया जाता है।
 : <math>W = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \, .</math>
-यदि कण को '''r'''<sub>1</sub> से '''r'''<sub>2</sub> तक ले जाने में किया गया कार्य समान हो, चाहे कोई भी रास्ता अपनाया जाए, बल को  [[ कंजर्वेटिव कहा जाता है। बल |  रूढ़िवादी ]]।  [[ गुरुत्वाकर्षण ]] एक रूढ़िवादी बल है, जैसा कि एक आदर्श  [[ वसंत (उपकरण) |  वसंत ]] के कारण बल है, जैसा कि  [[ हुक के नियम ]] द्वारा दिया गया है।  [[ घर्षण ]] के कारण लगने वाला बल गैर-रूढ़िवादी है।
+यदि कण को '''r'''<sub>1</sub> से '''r'''<sub>2</sub> तक ले जाने में किया गया कार्य समान हो, कोई भी पथ अपनाने पर बल को [[ कंजर्वेटिव कहा जाता है। बल |संरक्षी]] कहा जाता है। [[ गुरुत्वाकर्षण |गुरुत्वाकर्षण]] एक संरक्षी बल है, जैसा कि एक आदर्श [[ वसंत (उपकरण) |स्प्रिंग]] के कारण बल है, जैसा कि [[ हुक के नियम |हुक के नियम]] द्वारा दिया गया है। [[ घर्षण |घर्षण]] के कारण लगने वाला बल असंरक्षी है।
- [[ गतिज ऊर्जा ]] ''E''<sub>k</sub> द्रव्यमान के एक कण ''m'' की गति ''v'' से चल रही है, किसके द्वारा दी गई है
+''v'' वेग से गतिमान तथा ''m'' द्रव्यमान के कण की[[ गतिज ऊर्जा | गतिज ऊर्जा]] ''E''<sub>k</sub> निम्न प्रकार है।
 : <math>E_\mathrm{k} = \tfrac{1}{2}mv^2 \, .</math>
-कई कणों से बनी विस्तारित वस्तुओं के लिए, समग्र शरीर की गतिज ऊर्जा कणों की गतिज ऊर्जाओं का योग होती है।
+कई कणों से बनी विस्तारित वस्तुओं के लिए, संयुक्त पिंड की गतिज ऊर्जा कणों की गतिज ऊर्जाओं का योग होती है।
+[[ कार्य-ऊर्जा प्रमेय |कार्य-ऊर्जा प्रमेय]] में कहा गया है कि नियत द्रव्यमान ''m'' के कण के लिए, स्थिति '''r'''<sub>1</sub> से '''r'''<sub>2</sub> तक जाने पर कण पर किया गया कुल कार्य ''W'', कण की [[ गतिज ऊर्जा |गतिज ऊर्जा]] ''E''<sub>k</sub> में परिवर्तन के बराबर है।
- [[ कार्य-ऊर्जा प्रमेय ]] में कहा गया है कि स्थिर द्रव्यमान ''m'' के एक कण के लिए, कण पर किया गया कुल कार्य ''W'' स्थिति '''r'''<sub>1</sub> से आगे बढ़ने पर कण पर किया जाता है। '''r'''<sub>2</sub> कण की  [[ गतिज ऊर्जा ]] ''E''<sub>k</sub> में परिवर्तन के बराबर है:<math>W = \Delta E_\mathrm{k} = E_\mathrm{k_2} - E_\mathrm{k_1} = \tfrac{1}{2} m \left(v_2^{\, 2} - v_1^{\, 2}\right) .</math>
+<math>W = \Delta E_\mathrm{k} = E_\mathrm{k_2} - E_\mathrm{k_1} = \tfrac{1}{2} m \left(v_2^{\, 2} - v_1^{\, 2}\right) .</math>
-रूढ़िवादी बलों को एक अदिश फलन के  [[ ग्रेडिएंट ]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे  [[ संभावित ऊर्जा ]] के रूप में जाना जाता है और इसे ''E''<sub>p</sub> के रूप में दर्शाया जाता है:
+संरक्षी बलों को अदिश फलन के [[ ग्रेडिएंट |ढाल]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे [[ संभावित ऊर्जा |स्थितिज ऊर्जा]] के रूप में जाना जाता है और इसे ''E''<sub>p</sub> द्वारा दर्शाया जाता है।
 : <math>\mathbf{F} = - \mathbf{\nabla} E_\mathrm{p} \, .</math>
-यदि एक कण पर कार्य करने वाले सभी बल रूढ़िवादी हैं, और ''E''<sub>p</sub> कुल संभावित ऊर्जा है (जिसे निकायों की पारस्परिक स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए शामिल बलों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है), द्वारा प्राप्त किया गया है प्रत्येक बल के अनुरूप संभावित ऊर्जाओं का योग
+यदि एक कण पर कार्य करने वाले सभी बल संरक्षी हैं और ''E''<sub>p</sub> कुल स्थितिज ऊर्जा है (जिसे निकायों की पारस्परिक स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए शामिल बलों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है), द्वारा प्राप्त किया गया है प्रत्येक बल के अनुरूप स्थितिज ऊर्जाओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
 : <math>\mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r} = - \mathbf{\nabla} E_\mathrm{p} \cdot \Delta \mathbf{r} = - \Delta E_\mathrm{p} \, .</math>
-स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है
+स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
-<nowiki>:</nowiki> <math>-\Delta E_\mathrm{p} = \Delta E_\mathrm{k} \Rightarrow \Delta (E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p}) = 0 \, .</math>
-इस परिणाम को ''ऊर्जा के संरक्षण'' के रूप में जाना जाता है और बताता है कि कुल  [[ ऊर्जा ]],
+<math>-\Delta E_\mathrm{p} = \Delta E_\mathrm{k} \Rightarrow \Delta (E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p}) = 0 \, .</math>
+इस परिणाम को ऊर्जा के संरक्षण के रूप में जाना जाता है और बताता है कि कुल [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] समय में स्थिर है।
 : <math>\sum E = E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p} \, ,</math>
-समय में स्थिर है। यह अक्सर उपयोगी होता है, क्योंकि आम तौर पर सामना की जाने वाली कई ताकतें रूढ़िवादी होती हैं।
+यह प्रायः उपयोगी होता है, क्योंकि सामान्यतः कई आकस्मिक बल संरक्षी होती हैं।
-=== न्यूटन के नियमों से परे ===
+=== न्यूटन के नियमों के अतिरिक्त ===
-शास्त्रीय यांत्रिकी विस्तारित गैर-बिंदु जैसी वस्तुओं के अधिक जटिल गतियों का भी वर्णन करता है।  [[ यूलर के नियम ]] इस क्षेत्र में न्यूटन के नियमों का विस्तार प्रदान करते हैं।  [[ कोणीय गति ]] की अवधारणाएँ उसी  [[ कलन ]] पर निर्भर करती हैं जिसका उपयोग एक-आयामी गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।  [[ रॉकेट समीकरण ]] किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर की धारणा का विस्तार करता है ताकि द्रव्यमान खोने वाली वस्तु के प्रभावों को शामिल किया जा सके।
+चिरसम्मत यांत्रिकी, विस्तारित वस्तुओं (जो बिन्दु जैसी नहीं है) के अधिक जटिल गतियों का भी वर्णन करती है। [[ यूलर के नियम |यूलर के नियम]] इस क्षेत्र में न्यूटन के नियमों का विस्तार प्रदान किया। [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] की अवधारणाएं एक-विमीय गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान [[ कलन |कलन]] पर निर्भर करती हैं। [[ रॉकेट समीकरण |प्रक्षेपात्र समीकरण]] किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर की धारणा का विस्तार करता है ताकि द्रव्यमान हानि वाली वस्तु के प्रभावों को शामिल किया जा सके। (ये सामान्यीकरण/विस्तार न्यूटन के नियमों से प्राप्त होते हैं, माना, एक ठोस पिंड को बिंदुओं के संग्रह में विघटित किया जाता है।)
-(ये सामान्यीकरण/विस्तार न्यूटन के नियमों से प्राप्त होते हैं, कहते हैं, एक ठोस शरीर को बिंदुओं के संग्रह में विघटित करके।)
-शास्त्रीय यांत्रिकी के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक सूत्र हैं:  [[ लैग्रेंजियन यांत्रिकी ]] और  [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी ]]। ये, और अन्य आधुनिक फॉर्मूलेशन, आमतौर पर  [[ सामान्यीकृत निर्देशांक ]] में यांत्रिक प्रणालियों का वर्णन करने के लिए ऊर्जा, गति और गति जैसे अन्य भौतिक मात्राओं का जिक्र करने के बजाय बल की अवधारणा को बाईपास करते हैं। ये मूल रूप से न्यूटन के नियमों का गणितीय पुनर्लेखन हैं, लेकिन जटिल यांत्रिक समस्याओं को इन रूपों में हल करना बहुत आसान है। इसके अलावा, हैमिल्टनियन औपचारिकता में क्वांटम यांत्रिकी के साथ सादृश्य अधिक स्पष्ट है।
+चिरसम्मत यांत्रिकी के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक निरूपण हैं, [[ लैग्रेंजियन यांत्रिकी |लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] और [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी |हैमिल्टनियन यांत्रिकी]]। ये, और अन्य आधुनिक निरूपण, सामान्यतः [[ सामान्यीकृत निर्देशांक |सामान्यीकृत निर्देशांक]] में यांत्रिक प्रणालियों का वर्णन करने के लिए ऊर्जा, गति और गति जैसे अन्य भौतिक मात्राओं की चर्चा के बजाय बल की अवधारणा की उपेक्षा करते हैं। ये मूल रूप से न्यूटन के नियमों का गणितीय पुनर्लेखन हैं, लेकिन जटिल यांत्रिक समस्याओं को इन रूपों में हल करना बहुत आसान है। इसके अलावा, हैमिल्टनियन औपचारिकता में क्वांटम यांत्रिकी के साथ सादृश्य अधिक स्पष्ट है।
-संवेग और गतिज ऊर्जा के लिए ऊपर दिए गए व्यंजक केवल तभी मान्य होते हैं जब कोई महत्वपूर्ण विद्युत चुम्बकीय योगदान न हो। विद्युत चुम्बकत्व में, विद्युत धारावाही तारों के लिए न्यूटन का दूसरा नियम तब तक टूट जाता है जब तक कि सिस्टम की गति में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का योगदान शामिल नहीं हो जाता है, जैसा कि  [[ पॉयिंग वेक्टर ]] द्वारा व्यक्त किया गया है, जिसे ''c''<sup>2</sup> से विभाजित किया गया है, जहाँ ''c'' मुक्त स्थान में  [[ प्रकाश की गति ]] है।
+संवेग और गतिज ऊर्जा के लिए ऊपर दिए गए व्यंजक केवल तभी मान्य होते हैं जब कोई महत्वपूर्ण विद्युत चुम्बकीय योगदान न हो। विद्युत चुम्बकत्व में, विद्युत धारावाही तारों के लिए न्यूटन का दूसरा नियम तब तक विफल हो जाता है जब तक कि निकाय की गति में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का योगदान शामिल नहीं हो जाता है, जैसा कि ''c''<sup>2</sup> से विभाजित [[ पॉयिंग वेक्टर |पोयंटिंग सदिश]] द्वारा व्यक्त किया गया है, जहाँ ''c'' मुक्त स्थान में [[ प्रकाश की गति |प्रकाश की गति]] है।
 ==वैधता की सीमा==
 [[File:physicsdomains.svg|380px|thumb|alt=दो बटा दो यांत्रिकी का चार्ट गति के अनुसार आकार के लिए |  शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए वैधता का डोमेन ]]
-शास्त्रीय यांत्रिकी की कई शाखाएँ अधिक सटीक रूपों का सरलीकरण या सन्निकटन हैं; दो सबसे सटीक  [[ सामान्य सापेक्षता ]] और सापेक्षतावादी  [[ सांख्यिकीय यांत्रिकी ]] हैं।  [[ जियोमेट्रिक ऑप्टिक्स ]],  [[ क्वांटम ऑप्टिक्स |  क्वांटम थ्योरी ऑफ़ लाइट ]] का एक सन्निकटन है, और इसका कोई श्रेष्ठ शास्त्रीय रूप नहीं है।
+चिरसम्मत यांत्रिकी की कई शाखाएँ अधिक सटीक रूपों का सरलीकरण या सन्निकटन हैं; [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] और सापेक्षतावादी [[ सांख्यिकीय यांत्रिकी |सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में से दो सबसे सही रूप है। [[ जियोमेट्रिक ऑप्टिक्स |ज्यामितीय प्रकाशिकी]] [[ क्वांटम ऑप्टिक्स |प्रकाश के क्वांटम सिद्धांत]] का सन्निकटन है, और इसका कोई बेहतर "उत्कृष्ट" रूप नहीं है।
-जब क्वांटम यांत्रिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी दोनों लागू नहीं हो सकते हैं, जैसे कि क्वांटम स्तर पर स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ,  [[ क्वांटम फील्ड सिद्धांत ]] (क्यूएफटी) उपयोग में है। QFT छोटी दूरी, और बड़ी गति के साथ कई डिग्री की स्वतंत्रता के साथ-साथ बातचीत के दौरान कणों की संख्या में किसी भी बदलाव की संभावना से संबंधित है। मैक्रोस्कोपिक स्तर पर बड़ी मात्रा में स्वतंत्रता का इलाज करते समय,  [[ सांख्यिकीय यांत्रिकी ]] उपयोगी हो जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी स्थूल स्तर पर कणों की बड़ी (लेकिन गणनीय) संख्याओं के व्यवहार और समग्र रूप से उनकी बातचीत का वर्णन करता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी मुख्य रूप से  [[ ऊष्मप्रवैगिकी ]] में उन प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जो शास्त्रीय थर्मोडायनामिक्स की मान्यताओं की सीमा से बाहर हैं। उच्च  [[ वेग ]] वस्तुओं के प्रकाश की गति के करीब पहुंचने के मामले में, शास्त्रीय यांत्रिकी को  [[ विशेष सापेक्षता ]] द्वारा बढ़ाया जाता है। यदि वस्तुएं अत्यधिक भारी हो जाती हैं (अर्थात, उनका  [[ श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या ]] किसी दिए गए अनुप्रयोग के लिए नगण्य रूप से छोटा नहीं है),  [[ न्यूटनियन यांत्रिकी ]] से विचलन स्पष्ट हो जाते हैं और  [[ पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटनियन औपचारिकता ]] का उपयोग करके मात्रा निर्धारित की जा सकती है। उस स्थिति में,  [[ सामान्य सापेक्षता ]] (GR) लागू हो जाती है। हालांकि, अब तक  [[ क्वांटम ग्रेविटी ]] का जीआर और क्यूएफटी को एकीकृत करने का कोई सिद्धांत इस अर्थ में नहीं है कि इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब वस्तुएं बहुत छोटी और भारी हो जाती हैं। ]] ] [[ शास्त्रीय यांत्रिकी#साइट नोट-5 |  [5 ]]]</sup>
+जब क्वांटम यांत्रिकी और चिरसम्मत यांत्रिकी दोनों लागू नहीं हो सकते हैं, जैसे कि क्वांटम स्तर पर कई स्वतंत्रता की कोटि के साथ, [[ क्वांटम फील्ड सिद्धांत |क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (क्यूएफटी) उपयोग में है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) छोटी दूरी, और बड़ी गति के साथ कई स्वतंत्रता की कोटि के साथ-साथ परस्परक्रिया के दौरान कणों की संख्या में किसी भी बदलाव की संभावना से संबंधित है। असूक्ष्म स्तर पर [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] उपयोगी हो जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी असूक्ष्म स्तर पर कणों की बड़ी (लेकिन गणनीय) संख्याओं के व्यवहार और समग्र रूप से उनकी परस्परक्रिया का वर्णन करता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी मुख्य रूप से [[ ऊष्मप्रवैगिकी |ऊष्मागतिकी]] में उन प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जो चिरसम्मत ऊष्मागतिकी की मान्यताओं की सीमा से बाहर हैं। उच्च [[ वेग |वेग]] वाली वस्तुए जिनकी गति लगभग प्रकाश की गति के बराबर है, इस स्थिति में, चिरसम्मत यांत्रिकी को  [[ विशेष सापेक्षता |विशेष सापेक्षता]] द्वारा परिवर्धित किया जाता है। यदि वस्तुएं अत्यधिक भारी हो जाती हैं (अर्थात, उनकी [[ श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या |श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या]] किसी दिए गए अनुप्रयोग के लिए नगण्य नहीं है), [[ न्यूटनियन यांत्रिकी | न्यूटोनियन यांत्रिकी]] से विचलन स्पष्ट हो जाते हैं और [[ पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटनियन औपचारिकता |पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता]] का उपयोग करके मात्रा निर्धारित की जा सकती है। उस स्थिति में,  [[ सामान्य सापेक्षता ]](जीआर) लागू हो जाती है। हालांकि, अब तक [[ क्वांटम ग्रेविटी |क्वांटम गुरुत्व]] का जीआर और क्यूएफटी को एकीकृत करने का कोई सिद्धांत नहीं है, इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब वस्तुएं बहुत छोटी और भारी हो जाती हैं।[[ शास्त्रीय यांत्रिकी#साइट नोट-5 |[5 ]]]
 === विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन ===
-विशेष सापेक्षता में, एक कण का संवेग किसके द्वारा दिया जाता है<math>\mathbf{p} = \frac{m \mathbf{v}}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \, ,</math>
+विशेष सापेक्षता में, कण का संवेग निम्न प्रकार से दिया जाता है।
-जहाँ ''m'' कण का विराम द्रव्यमान है, '''v''' इसका वेग है, ''v'' '''v''' का मापांक है, और ''c'' प्रकाश की गति है।
+<math>\mathbf{p} = \frac{m \mathbf{v}}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \, ,</math>
+जहाँ ''m'' कण का विराम द्रव्यमान, '''v''' वेग है, '''v''' का मापांक ''v'' और ''c'' प्रकाश की गति है।
+यदि c की तुलना में v बहुत छोटा है, तो ''v''<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup> लगभग शून्य होगा, अतः
+<math>\mathbf{p} \approx m\mathbf{v} \, .</math>
+इस प्रकार न्यूटोनियन समीकरण {{nowrap|'''p''' {{=}} ''m'''''v'''}} प्रकाश की गति की तुलना में कम गति से गतिमान पिंडों के लिए आपेक्षिक समीकरण का सन्निकटन है।
-अगर ''v'' ''c'' की तुलना में बहुत छोटा है, ''v''<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup> लगभग शून्य है, और इसलिए<math>\mathbf{p} \approx m\mathbf{v} \, .</math>
+उदाहरण के लिए, [[ साइक्लोट्रॉन |साइक्लोट्रॉन]], [[ जाइरोट्रॉन |जाइरोट्रॉन]], या उच्च वोल्टेज [[ मैग्नेट्रोन |मैग्नेट्रोन]] की आपेक्षिक साइक्लोट्रॉन आवृत्ति निम्न द्वारा दी गई है
-इस प्रकार न्यूटनियन समीकरण {{nowrap|'''p''' {{=}} ''m'''''v'''}} प्रकाश की गति की तुलना में कम गति से गतिमान पिंडों के लिए आपेक्षिक समीकरण का एक सन्निकटन है।
-उदाहरण के लिए,  [[ साइक्लोट्रॉन ]],  [[ जाइरोट्रॉन ]], या उच्च वोल्टेज  [[ मैग्नेट्रोन ]] की आपेक्षिक साइक्लोट्रॉन आवृत्ति किसके द्वारा दी गई है<math>f = f_\mathrm{c}\frac{m_0}{m_0 + \frac{T}{c^2}} \, ,</math>
+<math>f = f_\mathrm{c}\frac{m_0}{m_0 + \frac{T}{c^2}} \, ,</math>
-जहां ''f''<sub>c</sub> गतिज ऊर्जा ''T'' और ( [[ अपरिवर्तनीय द्रव्यमान |  शेष ]] ) द्रव्यमान ''m'' वाले इलेक्ट्रॉन (या अन्य आवेशित कण) की शास्त्रीय आवृत्ति है। <sub>0</sub> चुंबकीय क्षेत्र में चक्कर लगा रहा है। एक इलेक्ट्रॉन का (बाकी) द्रव्यमान 511 keV है। तो आवृत्ति सुधार एक चुंबकीय वैक्यूम ट्यूब के लिए एक 5.11 kV प्रत्यक्ष वर्तमान त्वरित वोल्टेज के साथ 1% है।
-=== क्वांटम यांत्रिकी का शास्त्रीय सन्निकटन ===
+जहां ''f''<sub>c</sub> चुंबकीय क्षेत्र में चक्कर लगा रहे इलेक्ट्रान की चिरसम्मत आवृत्ति, ''T''  गतिज ऊर्जा और ''m<sub>0</sub>'' [[ अपरिवर्तनीय द्रव्यमान |विराम]] द्रव्यमान है। एक इलेक्ट्रॉन का (विराम) द्रव्यमान 511 keV है। तो आवृत्ति सुधार चुंबकीय वैक्यूम ट्यूब के लिए 5.11 kV प्रत्यक्ष वर्तमान त्वरित वोल्टेज के साथ 1% होता है।
-शास्त्रीय यांत्रिकी का किरण सन्निकटन तब टूट जाता है जब  [[ डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य ]] सिस्टम के अन्य आयामों से बहुत छोटा नहीं होता है। गैर-सापेक्ष कणों के लिए, यह तरंग दैर्ध्य है<math>\lambda=\frac{h}{p}</math>
-जहाँ ''h''  [[ प्लांक नियतांक ]] है और ''p'' संवेग है।
+=== क्वांटम यांत्रिकी का प्राचीन सन्निकटन ===
+[[ डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य |डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य]] के अन्य आयामों की तुलना में बहुत छोटा न होने पर चिरसम्मत यांत्रिकी का किरण सन्निकटन टूट जाता है। असापेक्ष कणों के लिए, यह तरंग दैर्ध्य,
-फिर, यह  [[ इलेक्ट्रॉनों ]] के साथ भारी कणों के साथ होने से पहले होता है। उदाहरण के लिए, 1927 में  [[ क्लिंटन डेविसन ]] और  [[ लेस्टर जर्मर ]] द्वारा उपयोग किए गए इलेक्ट्रॉनों, 54 वी द्वारा त्वरित, की तरंग दैर्ध्य 0.167 एनएम थी, जो कि एक  [[ विवर्तन ]]  [[ साइड लोब ]] को प्रदर्शित करने के लिए काफी लंबा था। निकेल  [[ क्रिस्टल ]] का चेहरा 0.215 एनएम के परमाणु अंतर के साथ। एक बड़े  [[ निर्वात कक्ष ]] के साथ,  [[ कोणीय संकल्प ]] को एक रेडियन से  [[ मिलीरेडियन ]] तक बढ़ाना और  [[ एकीकृत सर्किट ]] कंप्यूटर मेमोरी के आवधिक पैटर्न से क्वांटम विवर्तन देखना अपेक्षाकृत आसान प्रतीत होगा।
+<math>\lambda=\frac{h}{p}</math>
-एक इंजीनियरिंग पैमाने पर शास्त्रीय यांत्रिकी की विफलता के अधिक व्यावहारिक उदाहरण  [[ क्वांटम टनलिंग ]] द्वारा  [[ सुरंग डायोड ]] एस और बहुत संकीर्ण  [[ ट्रांजिस्टर ]]  [[ गेट (ट्रांजिस्टर) |  गेट ]]  [[ एकीकृत सर्किट ]] एस में चालन हैं।
+जहाँ ''h'' [[ प्लांक नियतांक |प्लांक नियतांक]] और ''p'' संवेग है।
-शास्त्रीय यांत्रिकी एक ही चरम  [[ उच्च आवृत्ति सन्निकटन ]]  [[ ज्यामितीय प्रकाशिकी ]] के रूप में है। यह अधिक बार सटीक होता है क्योंकि यह  [[ शेष द्रव्यमान ]] के साथ कणों और निकायों का वर्णन करता है। इनका संवेग अधिक होता है और इसलिए समान गतिज ऊर्जा वाले प्रकाश जैसे द्रव्यमान रहित कणों की तुलना में डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य कम होते हैं।
+भारी कणों से पहले यह [[ इलेक्ट्रॉनों |इलेक्ट्रॉनों]] के साथ होता है। उदाहरण के लिए, 1927 में [[ क्लिंटन डेविसन |क्लिंटन डेविसन]] और [[ लेस्टर जर्मर |लेस्टर जर्मर]] द्वारा 54 वोल्ट (V) द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों की तरंग दैर्ध्य 0.167 एनएम (nm) पाई गई जो 0.215 एनएम (nm) के परमाण्विक अंतर के साथ निकल [[ क्रिस्टल |क्रिस्टल]] के तल से परिवर्तित होने पर एकल [[ विवर्तन |विवर्तन]] [[ साइड लोब |पक्ष लोब]] को प्रदर्शित करने के लिए काफी लंबा था। एक बड़े [[ निर्वात कक्ष |निर्वात कक्ष]] के साथ, [[ कोणीय संकल्प |कोणीय संकल्प]] को रेडियन से [[ मिलीरेडियन |मिलीरेडियन]] तक बढ़ाना और [[ एकीकृत सर्किट |एकीकृत परिपथ]] कम्प्यूटर की स्मृति के आवधिक आकृति से क्वांटम विवर्तन को देखना अपेक्षाकृत आसान प्रतीत होगा।
+एक अभियांत्रिकी पैमाने पर चिरसम्मत यांत्रिकी की विफलता के अधिक प्रायोगिक उदाहरण [[ सुरंग डायोड |टनल डायोड]] में [[ क्वांटम टनलिंग |क्वांटम टनलिंग]] और [[ एकीकृत सर्किट |एकीकृत सर्किट]] में बहुत संकीर्ण [[ ट्रांजिस्टर |ट्रांजिस्टर]] [[ गेट (ट्रांजिस्टर) |गेट्स]] द्वारा चालन हैं।
+चिरसम्मत यांत्रिकी [[ ज्यामितीय प्रकाशिकी |ज्यामितीय प्रकाशिकी]] के समान [[ उच्च आवृत्ति सन्निकटन |उच्च आवृत्ति सन्निकटन]] है। यह अधिक बार सटीक होता है क्योंकि यह कणों और निकायों को विराम द्रव्यमान के साथ वर्णित करता है। इनका संवेग अधिक होता है और इसलिए समान गतिज ऊर्जा वाले प्रकाश जैसे द्रव्यमान रहित कणों की तुलना में डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य कम होते हैं।
 ==इतिहास==
-पिंडों की गति का अध्ययन एक प्राचीन है, जो शास्त्रीय यांत्रिकी को  [[ विज्ञान ]],  [[ इंजीनियरिंग ]] और  [[ प्रौद्योगिकी ]] में सबसे पुराने और सबसे बड़े विषयों में से एक बनाता है।
+चिरसम्मत यांत्रिकी [[ विज्ञान |विज्ञान]], [[ इंजीनियरिंग |अभियान्त्रिकी]] और [[ प्रौद्योगिकी |प्रौद्योगिकी]] में सबसे पुराना और सबसे बड़े विषय है, जिसमे पिंडों की गति का प्राचीन अध्ययन है।
+पुरातनता के कुछ [[ यूनानी दार्शनिक |यूनानी दार्शनिक]], उनमें से [[ अरस्तू |अरस्तू]], [[ अरिस्टोटेलियन भौतिकी |अरिस्टोटेलियन भौतिकी]] के संस्थापक, इस विचार को बनाए रखने वाले पहले व्यक्ति हो सकते हैं कि "सब कुछ एक कारण से होता है" और सैद्धांतिक सिद्धांत प्रकृति की समझ में सहायता कर सकते हैं। जबकि नए पाठक के लिए, इनमें से कई संरक्षित विचार बहुत ही उचित रूप से सामने आते हैं, गणितीय [[ सिद्धांत |सिद्धांत]] और नियंत्रित [[ प्रयोग |प्रयोग]] दोनों का विशिष्ट अभाव है। ये बाद में आधुनिक विज्ञान के निर्माण में निर्णायक कारक बन गए, और इनका प्रारंभिक अनुप्रयोग चिरसम्मत यांत्रिकी के रूप में जाना जाने लगा। मध्यकालीन गणितज्ञ [[ जॉर्डनस डी नेमोर |जॉर्डनस डी नेमोर]] ने अपने ''एलिमेंटा सुपर डिमॉन्स्ट्रेशनम पोन्डरम'' में "स्थितीय [[ गुरुत्वाकर्षण |गुरुत्वाकर्षण]]" की अवधारणा और घटक [[ बलों |बलों]] के उपयोग की शुरुआत की।
+[[ ग्रहों |ग्रहों]] की गतियों का पहला 1609 में प्रकाशित  [[ कारण |कारण]] विवरण जोहान्स केपलर का "[[ एस्ट्रोनोमिया नोवा |एस्ट्रोनोमिया नोवा]]" था। उन्होंने  [[ मंगल | मंगल]] की कक्षा पर  [[ टाइको ब्राहे | टाइको ब्राहे]] की टिप्पणियों के आधार पर निष्कर्ष निकाला कि ग्रह की कक्षाएँ [[ दीर्घवृत्त |दीर्घवृत्त]] होती है। [[ प्राचीन दर्शन |प्राचीन विचार]] के साथ यह विराम लगभग उसी समय हो रहा था जब [[ गैलीलियो गैलीली |गैलीलियो]] वस्तुओं की गति के लिए अमूर्त गणितीय नियमों का प्रस्ताव कर रहे थे। उन्होंने पीसा की मीनार से अलग-अलग वजन के दो तोप के गोलों को गिराने का प्रसिद्ध प्रयोग किया हो सकता है (या नहीं भी), यह दर्शाता है कि वे दोनों एक ही समय में जमीन पर गिरते है। उस विशेष प्रयोग की वास्तविकता विवादित है, लेकिन उन्होंने [[ झुकाव वाले विमान |झुकाव वाले विमान]] पर गेंदें घुमाकर परिमाणात्मक प्रयोग किए। उनका त्वरित गति का सिद्धांत ऐसे प्रयोगों के परिणामों से प्राप्त हुआ था और चिरसम्मत यांत्रिकी की आधारशिला बनाता है। 1673 [[ में क्रिस्टियान ह्यूजेन्स |में क्रिस्टियान ह्यूजेन्स]] ने अपने [[ होरोलोगियम ऑसिलेटोरियम |''होरोलोगियम ऑसिलेटोरियम'']] में पहले दो [[ न्यूटन के गति के नियम |गति के नियमों]] का वर्णन किया।<ref>{{cite book|author=Rob Iliffe & George E. Smith |title= The Cambridge Companion to Newton|date=2016 |publisher=Cambridge University Press |isbn= 9781107015463 |page=75}}</ref> कार्य भी पहला आधुनिक ग्रंथ है जिसमें भौतिक समस्या (गिरते पिंड की [[ त्वरण |त्वरित गति]]) को पैरामीटर के एक समुच्चय द्वारा आदर्श बनाया जाता है और फिर गणितीय रूप से विश्लेषण किया जाता है और [[ के मौलिक कार्यों में से एक का गठन किया गया। अनुप्रयुक्त गणित |अनुप्रयुक्त गणित के मौलिक कार्यों में से एक का गठन किया जाता है]]।<ref name=":0">{{Cite book|last=Yoder|first=Joella G.|url=https://www.cambridge.org/core/books/unrolling-time/1427509C7A14C464B08209322E42ABB6|title=Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature|date=1988|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-34140-0|location=Cambridge}}</ref> </ref> [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|thumb|240px|alt = बाएं दिखने वाले लंबे बालों के साथ आइजैक न्यूटन का चित्र |  सर  [[ आइजैक न्यूटन ]] (1643-1727), भौतिकी के इतिहास में एक प्रभावशाली व्यक्ति और जिनके  [[ न्यूटन के गति के नियम |  गति के तीन नियम ]] शास्त्रीय यांत्रिकी का आधार बनाते हैं ]]
+न्यूटन ने तीन प्रस्तावित [[ न्यूटन के गति के नियम |गति के नियमों]] पर प्राकृतिक दर्शन के अपने सिद्धांतों की स्थापना की: [[ जड़ता का नियम |जड़त्व का नियम]], त्वरण का उनका दूसरा नियम (ऊपर उल्लिखित है), और [[ क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम |क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम]]; और इसलिए चिरसम्मत यांत्रिकी की नींव रखी। न्यूटन के ''[[ फिलॉसफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका |फिलॉसफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका]]'' में न्यूटन के दूसरे और तीसरे दोनों नियमों को उचित वैज्ञानिक और गणितीय उपचार दिया गया था। यहां वे समान घटनाओं की व्याख्या करने के पहले के प्रयासों से अलग हैं, जो या तो अपूर्ण थे, गलत थे, या कम सटीक गणितीय अभिव्यक्ति दी गई थी। न्यूटन ने [[ संवेग संरक्षण |संवेग संरक्षण]] और [[ कोणीय संवेग |कोणीय संवेग]] के संरक्षण के सिद्धांतों को भी प्रतिपादित किया। यांत्रिकी में, [[ में न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम |न्यूटन के व्यापक गुरुत्वाकर्षण के नियम]] में [[ गुरुत्वाकर्षण |गुरुत्वाकर्षण]] का पहला सही वैज्ञानिक और गणितीय सूत्रीकरण प्रदान करने वाले भी न्यूटन थे। न्यूटन के गति और गुरुत्वाकर्षण के नियमों का संयोजन चिरसम्मत यांत्रिकी का पूर्ण और सबसे सही विवरण प्रदान करता है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि यह नियम सामान्य वस्तुओं के साथ-साथ आकाशीय पिंडों पर भी लागू होते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने ग्रहों की गति के [[ केप्लर के नियम |केप्लर के नियम]] की सैद्धांतिक व्याख्या प्राप्त की।
+न्यूटन ने पहले गणित के [[ कलन |कलन]] का आविष्कार किया था, और इसका उपयोग गणितीय गणना करने के लिए किया था। स्वीकार्यता के लिए, उनकी पुस्तक, [[ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica |''प्रिंसिपिया'']], पूरी तरह से लंबे समय से स्थापित ज्यामितीय विधियों के संदर्भ में तैयार की गई थी, जो जल्द ही उनके कलन द्वारा ग्रहण कर ली गई थी। [[ गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज |लाइबनिज]] ने [[ व्युत्पन्न |अवकल]] और [[ अभिन्न |समाकल]] संकेतन को आज विकसित किया है।<ref>जेसेफ, डगलस एम। (1998)। [https://muse.jhu.edu/article/28020/summary लीबनिज़ ऑन द फ़ाउंडेशन ऑफ़ कैलकुलस: द क्वेश्चन ऑफ़ द रियलिटी ऑफ़ इनफिनिटसिमल मैग्नीट्यूड]। विज्ञान पर परिप्रेक्ष्य। 6.1 और 2: 6-40। 31 दिसंबर 2011 को लिया गया</ref> न्यूटन, और उनके अधिकांश समकालीन, [[ क्रिस्टियान ह्यूजेन्स |ह्यूजेन्स]] के उल्लेखनीय अपवाद के साथ, इस धारणा पर काम करते थे कि चिरसम्मत यांत्रिकी [[ प्रकाश |प्रकाश]] सहित [[ ज्यामितीय प्रकाशिकी |ज्यामितीय प्रकाशिकी]] के रूप में सभी घटनाओं की व्याख्या करने में सक्षम होंगे। तथाकथित [[ न्यूटन के छल्ले |न्यूटन के वलय]] ([[ तरंग हस्तक्षेप |तरंग व्यतिकरण]] घटना) की खोज करते हुए भी उन्होंने प्रकाश के अपने स्वयं के कणिका सिद्धांत को बनाए रखा।
+[[File:Joseph Louis Lagrange2.jpg|left|thumb|180px|alt=जोसेफ-लुई लैग्रेंज की पेंटिंग |   [[ जोसेफ-लुई लैग्रेंज |  लैग्रेंज ]] का योगदान आधुनिक गणित की भाषा में न्यूटन के विचारों को साकार करना था, जिसे अब  [[ लैग्रेंजियन मैकेनिक्स ]] कहा जाता है। ]]
+न्यूटन के बाद, चिरसम्मत यांत्रिकी गणित के साथ-साथ भौतिकी में अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। गणितीय योगों ने उत्तरोत्तर समस्याओं की एक बड़ी संख्या के हल निकालने की अनुमति दी। पहला उल्लेखनीय गणितीय उपचार 1788 [[ में जोसेफ लुई लैग्रेंज |में जोसेफ लुई लैग्रेंजियन]] द्वारा किया गया था। लैग्रेंजियन यांत्रिकी को 1833 [[ में विलियम रोवन हैमिल्टन |में विलियम रोवन हैमिल्टन]] द्वारा फिर से तैयार किया गया था।
+वीं शताब्दी के अंत में कुछ समस्याओं की खोज की गई थी जिन्हें केवल अधिक आधुनिक भौतिकी द्वारा ही हल किया जा सकता था। इनमें से कुछ समस्याएं [[ विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत |विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत]] और प्रसिद्ध [[ माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग |माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग]] के साथ संगतता से संबंधित हैं। इन समस्याओं के समाधान ने [[ के सापेक्षता के विशेष सिद्धांत |सापेक्षता के विशेष सिद्धांत]] को जन्म दिया, जिसे अक्सर चिरसम्मत यांत्रिकी का भाग माना जाता है।
+समस्याओं का एक दूसरा समुच्चय उष्मागतिकी से संबंधित है। [[ थर्मोडायनामिक्स |उष्मागतिकी]] के साथ संयुक्त होने पर, चिरसम्मत यांत्रिकी प्राचीन [[ सांख्यिकीय यांत्रिकी |सांख्यिकीय यांत्रिकी]] के  [[ गिब्स विरोधाभास | गिब्स विरोधाभास]] की ओर जाता है, जिसमें [[ एन्ट्रॉपी |एन्ट्रॉपी]] अच्छी तरह से परिभाषित राशि नहीं है। [[ क्वांटम |क्वांटा]] के बिना [[ प्लैंक का नियम |कृष्णिका विकिरण]] की व्याख्या नहीं की गई थी। जैसे-जैसे प्रयोग परमाणु स्तर पर पहुंचे, चिरसम्मत यांत्रिकी [[ ऊर्जा स्तर |ऊर्जा स्तर]] और [[ परमाणुओं के आकार |परमाणुओं के आकार]] और [[ फोटो-इलेक्ट्रिक प्रभाव |प्रकाश विद्युत प्रभाव]] जैसी मूलभूत घटनाओ की व्याख्या करने में विफल रहे। इन समस्याओं को हल करने के प्रयास से [[ क्वांटम यांत्रिकी |क्वांटम यांत्रिकी]] का विकास हुआ।
+वीं सदी के अंत से, चिरसम्मत यांत्रिकी [[ भौतिकी |भौतिकी]] में, स्वतंत्र सिद्धांत नहीं रहा है। इसकी जगह, चिरसम्मत यांत्रिकी को अब अधिक सामान्य क्वांटम यांत्रिकी के लिए अनुमानित सिद्धांत माना जाता है। [[ मानक मॉडल |मानक मॉडल]] में प्रकृति की मूलभूत शक्तियों को समझने और हर चीज के एकीकृत सिद्धांत में इसके अधिक आधुनिक विस्तार पर जोर दिया गया है।<ref>' [[ फेनमैन लेक्चर्स ऑन फिजिक्स ]]' का पेज 2-10 कहता है कि शास्त्रीय यांत्रिकी में पहले से ही व्यावहारिक दृष्टिकोण से अनिश्चितता थी। यहाँ भूतकाल का तात्पर्य है कि शास्त्रीय भौतिकी सार्वभौमिक रूप से मान्य नहीं है; भौतिकी है {{em|after}} शास्त्रीय यांत्रिकी</ref> चिरसम्मत यांत्रिकी निर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में गैर-क्वांटम यांत्रिक, कम ऊर्जा कणों की गति के अध्ययन के लिए उपयोगी सिद्धांत है। इसके अलावा, इसे [[ जटिल डोमेन |संकुल प्रक्षेत्र]] में विस्तारित किया गया है जहां संकुल चिरसम्मत यांत्रिकी क्वांटम यांत्रिकी के समान व्यवहार प्रदर्शित करता है।<ref>[https://arxiv.org/abs/1001.0131 कॉम्प्लेक्स एलिप्टिक पेंडुलम], कार्ल एम. बेंडर, डेनियल डब्ल्यू. हुक, कर्ता कूनर इन [https://dx.doi.org/10.1007/978-88-7642-379 -6_1 डायनेमिक्स, ज्योमेट्री और पीडीई में एसिम्प्टोटिक्स; सामान्यीकृत बोरेल सारांश वॉल्यूम। मैं</ref>
-कुछ  [[ यूनानी दार्शनिक ]] पुरातनता के, उनमें  [[ अरस्तू ]],  [[ अरिस्टोटेलियन भौतिकी ]] के संस्थापक, इस विचार को बनाए रखने वाले पहले व्यक्ति हो सकते हैं कि सब कुछ एक कारण से होता है और सैद्धांतिक सिद्धांत प्रकृति की समझ में सहायता कर सकते हैं। जबकि एक आधुनिक पाठक के लिए, इनमें से कई संरक्षित विचार बेहद उचित रूप से सामने आते हैं, गणितीय  [[ सिद्धांत ]] और नियंत्रित  [[ प्रयोग ]] दोनों का एक स्पष्ट अभाव है, जैसा कि हम जानते हैं। ये बाद में आधुनिक विज्ञान के निर्माण में निर्णायक कारक बन गए, और इनका प्रारंभिक अनुप्रयोग शास्त्रीय यांत्रिकी के रूप में जाना जाने लगा। मध्ययुगीन गणितज्ञ  [[ जॉर्डनस डी नेमोर ]] ने अपने ''एलिमेंटा सुपर डिमॉन्स्ट्रेशनम पोन्डरम'' में स्थितीय  [[ गुरुत्वाकर्षण ]] और घटक  [[ बलों ]] के उपयोग की अवधारणा पेश की।
-[[File:Theory of impetus.svg|left|thumb|180px|alt = a b c d |  के साथ सक्सोनी के अल्बर्ट के प्रोत्साहन के सिद्धांत का एक आरेख तीन चरण  [[  [[ के अनुसार प्रेरणा का सिद्धांत (दार्शनिक) |  सैक्सनी के अल्बर्ट (दार्शनिक) |  अल्बर्ट का सैक्सनी ]]। ]]
-[[ ग्रहों | ग्रहों]] की गतियों का पहला प्रकाशित  [[ कारण | कारण]] स्पष्टीकरण जोहान्स केपलर का '' [[ एस्ट्रोनोमिया नोवा | एस्ट्रोनोमिया नोवा]] " था, जो 1609 में प्रकाशित हुआ था। उन्होंने  [[ मंगल | मंगल]] की कक्षा पर  [[ टाइको ब्राहे | टाइको ब्राहे]] की टिप्पणियों के आधार पर निष्कर्ष निकाला। कि ग्रह की कक्षाएँ  [[ दीर्घवृत्त | दीर्घवृत्त]] s थीं।  [[ प्राचीन दर्शन |  प्राचीन विचार]] के साथ यह विराम उसी समय के आसपास हो रहा था जब  [[ गैलीलियो गैलीली |  गैलीलियो]] वस्तुओं की गति के लिए अमूर्त गणितीय नियमों का प्रस्ताव कर रहा था। उन्होंने पीसा ]] के पीसा |  टॉवर के  [[ झुके हुए टॉवर से अलग-अलग वजन के दो तोपों को गिराने का प्रसिद्ध प्रयोग किया हो सकता है (या नहीं), यह दर्शाता है कि वे दोनों एक ही समय में जमीन से टकराए थे। उस विशेष प्रयोग की वास्तविकता विवादित है, लेकिन उसने  [[ झुकाव वाले विमान | झुकाव वाले विमान]] पर गेंदें घुमाकर मात्रात्मक प्रयोग किए। त्वरित गति का उनका सिद्धांत ऐसे प्रयोगों के परिणामों से प्राप्त हुआ था और शास्त्रीय यांत्रिकी की आधारशिला बनाता है। 1673  [[ में क्रिस्टियान ह्यूजेन्स | में क्रिस्टियान ह्यूजेन्स]] ने अपने '' [[ होरोलोगियम ऑसिलेटोरियम | होरोलोगियम ऑसिलेटोरियम]] " में वर्णित किया कि पहले दो  [[ न्यूटन के गति के नियम |  गति के नियम]] <ref>{{cite book|author=Rob Iliffe & George E. Smith |title= The Cambridge Companion to Newton|date=2016 |publisher=Cambridge University Press |isbn= 9781107015463 |page=75}}</ref> काम भी पहला आधुनिक ग्रंथ है जिसमें एक भौतिक समस्या (गिरते हुए शरीर की  [[ त्वरण |  त्वरित गति]] )  [[ गणितीय मॉडल |  है, जिसे]] मापदंडों के एक सेट द्वारा आदर्श बनाया गया है, फिर गणितीय रूप से विश्लेषण किया गया और  [[ के मौलिक कार्यों में से एक का गठन किया गया। अनुप्रयुक्त गणित | के मौलिक कार्यों में से एक का गठन किया गया। अनुप्रयुक्त गणित]] <ref name=":0{{Cite book|last=Yoder|first=Joella G.|url=https://www.cambridge.org/core/books/unrolling-time/1427509C7A14C464B08209322E42ABB6|title=Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature|date=1988|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-34140-0|location=Cambridge}}</ref"></ref> [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|thumb|240px|alt = बाएं दिखने वाले लंबे बालों के साथ आइजैक न्यूटन का चित्र |  सर  [[ आइजैक न्यूटन ]] (1643-1727), भौतिकी के इतिहास में एक प्रभावशाली व्यक्ति और जिनके  [[ न्यूटन के गति के नियम |  गति के तीन नियम ]] शास्त्रीय यांत्रिकी का आधार बनाते हैं ]]
-न्यूटन ने प्राकृतिक दर्शन के अपने सिद्धांतों की स्थापना तीन प्रस्तावों पर की:sed  [[ न्यूटन के गति के नियम |  गति के नियम ]]:  [[ जड़ता का नियम ]], उसका त्वरण का दूसरा नियम (ऊपर बताया गया है), और  [[ क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम ]]; और इसलिए शास्त्रीय यांत्रिकी की नींव रखी। न्यूटन के दूसरे और तीसरे दोनों कानूनों को न्यूटन के '' [[ फिलॉसफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका ]]'' में उचित वैज्ञानिक और गणितीय उपचार दिया गया था। गणितीय अभिव्यक्ति। न्यूटन ने  [[ संवेग संरक्षण ]] और  [[ कोणीय संवेग ]] के सिद्धांतों को भी प्रतिपादित किया। यांत्रिकी में, न्यूटन ने भी पहला सही प्रदान किया<!-- क्या यह बेमानी है?-->  [[ गुरुत्वाकर्षण ]] का वैज्ञानिक और गणितीय सूत्रीकरण  [[ में न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम ]]। न्यूटन के गति और गुरुत्वाकर्षण के नियमों का संयोजन शास्त्रीय यांत्रिकी का पूर्ण और सबसे सटीक विवरण प्रदान करता है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि ये नियम रोजमर्रा की वस्तुओं के साथ-साथ आकाशीय पिंडों पर भी लागू होते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने ग्रहों की गति के  [[ केप्लर के नियम ]] की सैद्धांतिक व्याख्या प्राप्त की।
-न्यूटन ने पहले गणित के  [[ कलन ]] का आविष्कार किया था, और इसका उपयोग गणितीय गणना करने के लिए किया था। स्वीकार्यता के लिए, उनकी पुस्तक,  [[ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica |  ''Principia'' ]], पूरी तरह से लंबे समय से स्थापित ज्यामितीय विधियों के संदर्भ में तैयार की गई थी, जिन्हें जल्द ही उनके कैलकुलस ने ग्रहण कर लिया था। हालांकि, यह  [[ गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज |  लीबनिज ]] था जिसने  [[ व्युत्पन्न ]] और  [[ अभिन्न ]] वरीयता का संकेतन विकसित किया था।<ref>जेसेफ, डगलस एम। (1998)। [https://muse.jhu.edu/article/28020/summary लीबनिज़ ऑन द फ़ाउंडेशन ऑफ़ कैलकुलस: द क्वेश्चन ऑफ़ द रियलिटी ऑफ़ इनफिनिटसिमल मैग्नीट्यूड]। विज्ञान पर परिप्रेक्ष्य। 6.1 और 2: 6-40। 31 दिसंबर 2011 को लिया गया</ref> आज। न्यूटन, और उनके अधिकांश समकालीन,  [[ क्रिस्टियान ह्यूजेन्स |  ह्यूजेन्स ]] के उल्लेखनीय अपवाद के साथ, इस धारणा पर काम करते थे कि शास्त्रीय यांत्रिकी  [[ प्रकाश ]] सहित  [[ ज्यामितीय प्रकाशिकी ]] के रूप में सभी घटनाओं की व्याख्या करने में सक्षम होंगे। तथाकथित  [[ न्यूटन के छल्ले ]] (एक  [[ तरंग हस्तक्षेप ]] घटना) की खोज करते हुए भी उन्होंने प्रकाश ]] के अपने  [[ कणिका सिद्धांत को बनाए रखा।
-[[File:Joseph Louis Lagrange2.jpg|left|thumb|180px|alt=जोसेफ-लुई लैग्रेंज की पेंटिंग |   [[ जोसेफ-लुई लैग्रेंज |  लैग्रेंज ]] का योगदान आधुनिक गणित की भाषा में न्यूटन के विचारों को साकार करना था, जिसे अब  [[ लैग्रेंजियन मैकेनिक्स ]] कहा जाता है। ]]
-न्यूटन के बाद, शास्त्रीय यांत्रिकी गणित के साथ-साथ भौतिकी में अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। गणितीय योगों ने उत्तरोत्तर समस्याओं की एक बड़ी संख्या के समाधान खोजने की अनुमति दी। पहला उल्लेखनीय गणितीय उपचार 1788 में  [[ में जोसेफ लुई लैग्रेंज ]] द्वारा किया गया था। लैग्रेंजियन यांत्रिकी को 1833 में  [[ में विलियम रोवन हैमिल्टन ]] द्वारा फिर से तैयार किया गया था।
-[[ फ़ाइल:WilliamRowanHamilton.jpeg |  दाएँ |  अंगूठा |  180px |  alt=बाईं ओर देखने में विलियम रोवन हैमिल्टन की तस्वीर |   [[ विलियम रोवन हैमिल्टन |  हैमिल्टन]] का सबसे बड़ा योगदान शायद  [[ लैग्रेंजियन यांत्रिकी | लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] का सुधार है, जिसे अब  [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी कहा जाता है। | हैमिल्टनियन यांत्रिकी कहा जाता है।]] कई प्रमुख गणितीय भौतिकी फॉर्मूलेशन द्वारा पसंदीदा विकल्प बना रहा है। ]]
-उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में कुछ कठिनाइयों की खोज की गई थी जिन्हें केवल अधिक आधुनिक भौतिकी द्वारा ही हल किया जा सकता था। इनमें से कुछ कठिनाइयाँ  [[ विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत ]] और प्रसिद्ध  [[ माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग ]] के साथ संगतता से संबंधित हैं। इन समस्याओं के समाधान ने  [[ के सापेक्षता के विशेष सिद्धांत ]] को जन्म दिया, जिसे अक्सर शास्त्रीय यांत्रिकी का एक हिस्सा माना जाता है।
-कठिनाइयों का एक दूसरा सेट ऊष्मप्रवैगिकी से संबंधित था।  [[ थर्मोडायनामिक्स ]] के साथ संयुक्त होने पर, शास्त्रीय यांत्रिकी शास्त्रीय  [[ सांख्यिकीय यांत्रिकी ]] के  [[ गिब्स विरोधाभास ]] की ओर जाता है, जिसमें  [[ एन्ट्रॉपी ]] एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा नहीं है।  [[ प्लैंक का नियम |  ब्लैकके-बॉडी रेडिएशन ]] को  [[ क्वांटम |  क्वांटा ]] के परिचय के बिना समझाया नहीं गया था। जैसे-जैसे प्रयोग परमाणु स्तर पर पहुंचे, शास्त्रीय यांत्रिकी  [[ ऊर्जा स्तर ]] और  [[ परमाणुओं के आकार ]] और  [[ फोटो-इलेक्ट्रिक प्रभाव ]] जैसी बुनियादी चीजों की व्याख्या करने में विफल रहे। इन समस्याओं को हल करने के प्रयास से  [[ क्वांटम यांत्रिकी ]] का विकास हुआ।
-वीं सदी के अंत से,  [[ भौतिकी ]] में शास्त्रीय यांत्रिकी अब एक स्वतंत्र सिद्धांत नहीं रहा है। इसके बजाय, शास्त्रीय यांत्रिकी को अब अधिक सामान्य क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक अनुमानित सिद्धांत माना जाता है।  [[ मानक मॉडल ]] में प्रकृति की मूलभूत शक्तियों को समझने पर जोर दिया गया है और इसके अधिक आधुनिक विस्तार सभी ]] के एकीकृत  [[ सिद्धांत में बदल गए हैं।<ref>' [[ फेनमैन लेक्चर्स ऑन फिजिक्स ]]' का पेज 2-10 कहता है कि शास्त्रीय यांत्रिकी में पहले से ही व्यावहारिक दृष्टिकोण से अनिश्चितता थी। यहाँ भूतकाल का तात्पर्य है कि शास्त्रीय भौतिकी सार्वभौमिक रूप से मान्य नहीं है; भौतिकी है {{em|after}} शास्त्रीय यांत्रिकी</ref> शास्त्रीय यांत्रिकी कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में गैर-क्वांटम यांत्रिक, कम ऊर्जा कणों की गति के अध्ययन के लिए उपयोगी सिद्धांत है। इसके अलावा, इसे  [[ जटिल डोमेन ]] में विस्तारित किया गया है जहां जटिल शास्त्रीय यांत्रिकी क्वांटम यांत्रिकी के समान व्यवहार प्रदर्शित करता है<ref>[https://arxiv.org/abs/1001.0131 कॉम्प्लेक्स एलिप्टिक पेंडुलम], कार्ल एम. बेंडर, डेनियल डब्ल्यू. हुक, कर्ता कूनर इन [https://dx.doi.org/10.1007/978-88-7642-379 -6_1 डायनेमिक्स, ज्योमेट्री और पीडीई में एसिम्प्टोटिक्स; सामान्यीकृत बोरेल सारांश वॉल्यूम। मैं</ref>
 ==शाखाएं==
-शास्त्रीय यांत्रिकी को पारंपरिक रूप से तीन मुख्य शाखाओं में विभाजित किया गया था:
+चिरसम्मत यांत्रिकी को पारंपरिक रूप से तीन मुख्य शाखाओं में विभाजित किया गया था:
-*  [[ स्टैटिक्स ]],  [[ यांत्रिक संतुलन |  संतुलन ]] का अध्ययन और  [[ बल ]] एस से इसका संबंध
+*  स्थैतिकी, साम्यवस्था का अध्ययन और [[ बल |बलों]] से संबंध
-*  [[ विश्लेषणात्मक गतिकी |  गतिशीलता ]] , गति का अध्ययन और बलों से इसका संबंध
+*  [[ विश्लेषणात्मक गतिकी |गतिकी]], गति का अध्ययन और बलों से संबंध
-*  [[ कीनेमेटिक्स ]], प्रेक्षित गतियों के निहितार्थों से निपटने के लिए परिस्थितियों की परवाह किए बिना उन्हें उत्पन्न करना
+*  [[ कीनेमेटिक्स |गति विज्ञान]], प्रेक्षित गतियों के अभिप्रायो से निपटने के लिए परिस्थितियों की परवाह किए बिना उन्हें उत्पन्न करना
-एक अन्य विभाजन गणितीय औपचारिकता की पसंद पर आधारित है:
+अन्य विभाजन गणितीय औपचारिकता की पसंद पर आधारित है:
-*  [[ न्यूटन के गति के नियम |  न्यूटनियन यांत्रिकी ]]
+*  [[ न्यूटन के गति के नियम |न्यूटोनियन यांत्रिकी]]
-*  [[ लग्रांगियन यांत्रिकी ]]
+*  [[ लग्रांगियन यांत्रिकी |लग्रांजियन यांत्रिकी]]
-*  [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी ]]
+*  [[ हैमिल्टनियन यांत्रिकी |हैमिल्टनियन यांत्रिकी]]
-वैकल्पिक रूप से, आवेदन के क्षेत्र द्वारा एक विभाजन किया जा सकता है:
+वैकल्पिक रूप से, अनुप्रयोगों के क्षेत्र में विभाजित किया जा सकता है:
-*  [[ खगोलीय यांत्रिकी ]],  [[ स्टार ]] एस,  [[ ग्रह ]] एस और अन्य खगोलीय पिंडों से संबंधित
+*  [[ खगोलीय यांत्रिकी |खगोलीय यांत्रिकी]], [[ स्टार |तारों]], [[ ग्रह |ग्रहों]] और अन्य खगोलीय पिंडों से संबंधित है।
-*  [[ सातत्य यांत्रिकी ]], एक सातत्य के रूप में मॉडलिंग की गई सामग्री के लिए, उदाहरण के लिए,  [[ ठोस ]] एस और  [[ द्रव ]] एस (यानी,  [[ तरल ]] एस और  [[ गैस ]] एस)।
+*  [[ सातत्य यांत्रिकी |सातत्य यांत्रिकी]], सातत्य के रूप में मॉडलिंग की गई सामग्री के लिए, उदाहरण के लिए, [[ ठोस |ठोस]] और [[ द्रव |तरल]] (अर्थात, [[ तरल |द्रव]] और [[ गैस |गैस]])।
-*  [[ सापेक्षवादी यांत्रिकी ]] (यानी  [[ विशेष सापेक्षता |  विशेष ]] और  [[ सामान्य सापेक्षता |  सामान्य ]] सापेक्षता के सिद्धांत सहित), उन निकायों के लिए जिनकी गति प्रकाश की गति के करीब है।
+*  [[ सापेक्षवादी यांत्रिकी |सापेक्षवादी यांत्रिकी]] (अर्थात सापेक्षता के [[ विशेष सापेक्षता |विशेष]] और [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य]] सिद्धांतों सहित), उन निकायों के लिए जिनकी गति प्रकाश की गति के करीब है।
-*  [[ सांख्यिकीय यांत्रिकी ]], जो व्यक्तिगत परमाणुओं और अणुओं के सूक्ष्म गुणों को मैक्रोस्कोपिक या थोक  [[ थर्मोडायनामिक्स |  थर्मोडायनामिक ]] सामग्री के गुणों से संबंधित करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करता है।
+*  [[ सांख्यिकीय यांत्रिकी |सांख्यिकीय यांत्रिकी]], जो अलग अलग परमाणुओं और अणुओं के सूक्ष्म गुणों को असूक्ष्म या समष्टि [[ थर्मोडायनामिक्स |ऊष्मागतिकी]] गुणधर्म से संबंधित करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करता है।
 ==See also==
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 ==Further reading==
 * {{Cite book |author1= Alonso, M. |author2= Finn, J. |title=Fundamental University Physics | year= 1992 |publisher=Addison-Wesley}}
-* {{Cite book |author=Feynman, Richard |title=The Feynman Lectures on Physics |publisher=Perseus Publishing |year=1999 | author-link= Richard Feynman |isbn=978-0-7382-0092-7|title-link=The Feynman Lectures on Physics }}
+* {{Cite book |author=Feynman, Richard |title=The Feynman Lectures on Physics |publisher=Perseus Publishing |year=1999 | isbn=978-0-7382-0092-7|title-link=The Feynman Lectures on Physics }}
 * {{Cite book |author1=Feynman, Richard |author2=Phillips, Richard |title=Six Easy Pieces |publisher=Perseus Publishing |year=1998 |isbn=978-0-201-32841-7}}
-* {{Cite book |author1=Goldstein, Herbert |author2=Charles P. Poole |author3=John L. Safko |title=Classical Mechanics |publisher=Addison Wesley |year=2002 |edition=3rd |isbn=978-0-201-65702-9|author-link1= Herbert Goldstein |title-link=Classical Mechanics (Goldstein book) }}
+* {{Cite book |author1=Goldstein, Herbert |author2=Charles P. Poole |author3=John L. Safko |title=Classical Mechanics |publisher=Addison Wesley |year=2002 |edition=3rd |isbn=978-0-201-65702-9 |title-link=Classical Mechanics (Goldstein book) }}
-* {{Cite book |title=Classical Mechanics (5th ed.) |publisher=[[Imperial College Press]] |year=2004 |isbn=978-1-86094-424-6 |last1 = Kibble|first1 = Tom W.B.|author1-link=Tom Kibble|last2 = Berkshire|first2=Frank H.|author2-link=Frank H. Berkshire|title-link=Classical Mechanics (Kibble and Berkshire) }}
+* {{Cite book |title=Classical Mechanics (5th ed.) |publisher=[[Imperial College Press]] |year=2004 |isbn=978-1-86094-424-6 |last1 = Kibble|first1 = Tom W.B.|last2 = Berkshire|first2=Frank H.|title-link=Classical Mechanics (Kibble and Berkshire) }}
 * {{Cite book |author1=Kleppner, D. |author2=Kolenkow, R.J. |title=An Introduction to Mechanics |publisher=McGraw-Hill |year=1973 |isbn=978-0-07-035048-9 |url=https://archive.org/details/introductiontome00dani }}
 * {{Cite book |author1=Landau, L.D. |author2=Lifshitz, E.M. |title= Course of Theoretical Physics, Vol. 1 – Mechanics |publisher=Franklin Book Company |year=1972 |isbn=978-0-08-016739-8|title-link=Course of Theoretical Physics }}
 * {{cite book|last=Morin|first=David|title=Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions|year=2008|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=978-0-521-87622-3|url=https://archive.org/details/introductiontocl00mori|edition=1st}}
-*{{Cite book |author1=Gerald Jay Sussman |author2=Jack Wisdom |title=Structure and Interpretation of Classical Mechanics |publisher=MIT Press |year=2001 |isbn=978-0-262-19455-6|author-link1=Gerald Jay Sussman |author-link2=Jack Wisdom |title-link=Structure and Interpretation of Classical Mechanics }}
+*{{Cite book |author1=Gerald Jay Sussman |author2=Jack Wisdom |title=Structure and Interpretation of Classical Mechanics |publisher=MIT Press |year=2001 |isbn=978-0-262-19455-6 |author-link2=Jack Wisdom |title-link=Structure and Interpretation of Classical Mechanics }}
 * {{cite book|title=Essential Dynamics and Relativity|author=O'Donnell, Peter J. |publisher=CRC Press|year=2015|isbn=978-1-4665-8839-4}}
 * {{Cite book |author1=Thornton, Stephen T. |author2=Marion, Jerry B. |title=Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.) |publisher=Brooks Cole |year=2003 |isbn=978-0-534-40896-1}}
 == External links ==
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 {{Authority control}}
+[[Category:Machine Translated Page]]
 [[Category:AC with 0 elements]]
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 [[Category:CS1]]
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चिरसम्मत यांत्रिकी: Difference between revisions

Latest revision as of 09:52, 4 August 2022

सिद्धांत का विवरण

स्थिति और इनके व्युत्पन्न (पोजीशन एंड इट्स डेरिवेटिव्स)

वेग और गति (वेलोसिटी और स्पीड)

त्वरण (अक्सेलरेशन)

निर्देश तंत्र (फ्रेम्स ऑफ़ रिफरेन्स)

बल और न्यूटन का दूसरा नियम

कार्य और ऊर्जा

न्यूटन के नियमों के अतिरिक्त

वैधता की सीमा

विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन

क्वांटम यांत्रिकी का प्राचीन सन्निकटन

इतिहास

शाखाएं

See also

Notes

References

Further reading

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