चिरसम्मत यांत्रिकी

पृथ्वी के चारों ओर एक उपग्रह की कक्षीय गति का आरेख, लंबवत वेग और त्वरण (बल) सदिशों को दर्शाता है, जिसे शास्त्रीय व्याख्या के माध्यम से दर्शाया गया है।

चिरसम्मत यांत्रिकी एक भौतिक सिद्धांत है जो असूक्ष्म वस्तुओं के गति का वर्णन करता है, प्रक्षेप्य से मशीनरी के पुर्जे, और खगोलीय वस्तुओं, जैसे अंतरिक्ष यान, ग्रह, तारे और आकाशगंगाएँ। चिरसम्मत यांत्रिकी द्वारा सचांलित वस्तुओं के लिए, यदि वर्तमान स्थिति ज्ञात है, तो भविष्य (नियतत्ववाद) में होने वाले परिवर्तन तथा अतीत (प्रतिवर्तीता) में हुए परिवर्तन का अनुमान लगाना संभव हैं।

चिरसम्मत यांत्रिकी को न्यूटोनियन यांत्रिकी के रूप में भी जाना जाता है। इसमें सर आइजैक न्यूटन के मूलभूत कार्यों के आधार पर भौतिक अवधारणाएं शामिल हैं, और 17 वीं शताब्दी में गॉटफ्रिड विल्हेम लेबनिज, जोसेफ-लुई लैग्रेंज, लियोनहार्ड यूलर और अन्य समकालीन लोगों द्वारा आविष्कार की गई गणितीय विधियों का वर्णन करने के लिए, बलों की प्रणाली के प्रभाव में निकायों की गति का वर्णन किया गया है। बाद में, अधिक संक्षेप विधियों को विकसित हुई, जिससे चिरसम्मत यांत्रिकी के सुधारों को लैग्रैंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप में जाना जाता है। 18 वीं और 19 वीं शताब्दी में मुख्य रूप से की गई प्रगति, मुख्यतः विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के उपयोग के माध्यम पहले के कार्यों से, काफी आगे तक फैली हुई है। कुछ संशोधनों के साथ इनका उपयोग आधुनिक भौतिकी के सभी क्षेत्रों में भी किया जाता है।

चिरसम्मत यांत्रिकी, बड़ी वस्तुओं (परन्तु अत्यधिक बड़ी नहीं तथा जिनकी गति प्रकाश की गति के बराबर न हो) का अध्ययन करते समय अत्यंत सही परिणाम प्रदान करती है। जब परीक्षण की जा रही वस्तुओं में परमाणु व्यास के आकार की चर्चा हो तो यांत्रिकी के अन्य प्रमुख उप-क्षेत्रों (जैसे क्वांटम यांत्रिकी) को प्रयुक्त करना आवश्यक हो जाता है। उन वेगों का वर्णन करने के लिए जो प्रकाश की गति की तुलना में छोटे नहीं हैं, विशेष सापेक्षता की आवश्यकता होती है। अत्यधिक बड़ी वस्तुओ की स्थिति मे सामान्य सापेक्षता उपयुक्त की जाती है। हालांकि, कई आधुनिक स्रोत, चिरसम्मत भौतिक में आपेक्षिकीय यांत्रिकी शामिल करते है, जो उनके विचार में चिरसम्मत यांत्रिकी को अपने सबसे विकसित और सटीक रूप में दर्शाता है।

सिद्धांत का विवरण

निम्नलिखित चिरसम्मत यांत्रिकी की मूल संकल्पनाओं को प्रस्तावित करता है। सहजता के लिए, यह प्रायः वास्तविक संसार की वस्तुओं को बिंदु कण (नगण्य आकार वाली वस्तुओं) के रूप में मानता है। बिंदु कण की गति का कुछ मापदंडों (पैरामीटर) के द्वारा वर्णन किया जा सकता है, जो की बिंदु कण की स्थिति, द्रव्यमान, और उस पर कार्यरत बल है। इनमें से प्रत्येक मापदंडों पर बारी-बारी से चर्चा की जाती है।

वास्तव में, चिरसम्मत यांत्रिकी हमेशा अशून्य आकार की वस्तुओं का वर्णन करती है। ('बहुत छोटे कणों की भौतिकी, जैसे कि इलेक्ट्रॉन को क्वांटम यांत्रिकी द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है।) स्वतंत्रता की अतिरिक्त कोटि के कारण अशून्य आकार वाली वस्तुओं में काल्पनिक बिंदु कणों की तुलना में अधिक जटिल व्यवहार करती है, उदहारण के लिए, एक बेसबॉल गति के दौरान चक्रण कर सकता है। हालांकि, बिंदु कणों के परिणामों का उपयोग ऐसी वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है, जो उन्हें मिश्रित वस्तुओं के रूप में मानते हैं, जो सामूहिक रूप से अभिनय बिंदु कणों की एक बड़ी संख्या से बना है। मिश्र वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र एक बिंदु कण की तरह व्यवहार करता है।

चिरसम्मत यांत्रिकी सामान्य ज्ञान की धारणाओं का उपयोग करता है कि कैसे पदार्थ और बल अस्तित्व में हैं और परस्पर प्रभावित होते हैं। पदार्थ और ऊर्जा में निश्चित, जानने योग्य गुण होते हैं जैसे कि स्थान और गति में स्थिति की होती है। अनापेक्षिकीय यांत्रिकी के अनुसार बल तुरंत कार्य करते हैं (दूरी के भाव भी देखें)।

स्थिति और इनके व्युत्पन्न (पोजीशन एंड इट्स डेरिवेटिव्स)

एसआई व्युत्पन्न "यांत्रिक" (अर्थात विद्युत चुम्बकीय या थर्मल नहीं) किलो, मी और एस . के साथ इकाइयाँ
स्थान	एम
कोणीय स्थिति / कोण	इकाई रहित (रेडियन)
वेग	एम · एस -1
कोणीय गति	एस -1
त्वरण	एम · एस -2
कोणीय त्वरण	एस -2
झटका देना	एम · एस -3
"कोणीय झटका"	एस -3
विशिष्ट ऊर्जा	एम 2 · एस -2
अवशोषित खुराक दर	एम 2 · एस -3
निष्क्रियता के पल	किग्रा · मी 2
गति	किग्रा · एम · एस -1
कोणीय गति	kg·m 2 ·s −1
ताकत	किग्रा · मी · एस −2
टॉर्कः	kg·m 2 ·s −2
ऊर्जा	kg·m 2 ·s −2
शक्ति	kg·m 2 ·s −3
दबाव और ऊर्जा घनत्व	kg·m −1 ·s −2
सतह तनाव	किग्रा · एस -2
वसंत निरंतर	किग्रा · एस -2
विकिरण और ऊर्जा प्रवाह	किग्रा · एस -3
कीनेमेटीक्स चिपचिपापन	एम 2 · एस -1
डायनेमिक गाढ़ापन	kg·m −1 ·s −1
घनत्व (द्रव्यमान घनत्व)	किग्रा · मी -3
विशिष्ट वजन (वजन घनत्व)	kg·m −2 ·s −2
संख्या घनत्व	एम -3
गतिविधि	kg·m 2 ·s −1

बिंदु कण की स्थिति को निर्देशांक पद्धति के संबंध में परिभाषित किया गया है जो त्रिविमीय क्षेत्र में एक मनमाने निश्चित संदर्भ बिंदु पर केंद्रित है जिसे मूल बिंदु (ओरिजिन) O कहा जाता है। एक साधारण निर्देशांक पद्धति एक कण (पार्टिकल) P की स्थिति का वर्णन कर सकती है, जिसमें r लेबल वाले तीर द्वारा चिह्नित सदिश होता है जो मूल बिंदु O से बिंदु P तक इंगित करता है। सामान्यतः बिंदु कण को ​​O के सापेक्ष स्थिर होने की आवश्यकता नहीं होती है। ऐसी स्थिति में जहां बिंदु कण P, मूल बिंदु O के सापेक्ष गति कर रहा है, r को t समय के एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है। पूर्व-आइंस्टीन सापेक्षता (गैलीलियन सापेक्षता) में, समय को निरपेक्ष माना जाता है, अर्थात, समय अंतराल जो किसी भी दी गई घटनाओं के बीच समाप्त होने के लिए मनाया जाता है, सभी प्रेक्षकों के लिए समान है। निरपेक्ष समय पर आश्रय करने के अलावा, चिरसम्मत यांत्रिकी अंतरिक्ष की संरचना के लिए यूक्लिडियन ज्यामिति को मानता है।

वेग और गति (वेलोसिटी और स्पीड)

वेग, या समय के साथ विस्थापन के परिवर्तन की दर को समय के संबंध में स्थिति के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}\,\!$

चिरसम्मत यांत्रिकी में, वेग सीधे धनात्मक और ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार 60 किमी/घंटा (km/h) की गति से पूर्व की ओर चलती है और 50 किमी/घंटा (km/h) की गति से उसी दिशा में चल रही दूसरी कार से अगली निकल जाती है, तो मन्द गति से चल रही कार, तीव्र गति से चल रही कार को पूर्व की ओर 60 − 50 = 10 किमी/घंटा (km/h) से यात्रा करती हुई मानती है। हालांकि, तीव्र कार के दृष्टिकोण से, मन्द कार पश्चिम की ओर 10 किमी/घंटा (km/h) की गति से बढ़ रही है, जिसे प्रायः -10 किमी/घंटा (km/h) के रूप में दर्शाया जाता है जहां चिह्न विपरीत दिशा को दर्शाता है। सदिश राशिओं के रूप में वेग सीधे योगात्मक होते हैं, उन्हें सदिश विश्लेषण का उपयोग करके संबोधित करना चाहिए।

गणितीय रूप से, यदि पूर्व चर्चा में पहली वस्तु का वेग को सदिश u = ud द्वारा और दूसरी वस्तु के वेग को सदिश v = ve द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां u पहली वस्तु की गति है, v दूसरी वस्तु की गति है, और d एवं e क्रमशः प्रत्येक वस्तु की गति की दिशा में इकाई सदिश हैं। तो दूसरी वस्तु द्वारा देखी गई पहली वस्तु का वेग है।

$\mathbf {u} '=\mathbf {u} -\mathbf {v} \,.$

इसी प्रकार, पहली वस्तु द्वारा देखी गई दूसरी वस्तु का वेग है।

$\mathbf {v'} =\mathbf {v} -\mathbf {u} \,.$

जब दोनों वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हों, तो इस निम्न समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

$\mathbf {u} '=(u-v)\mathbf {d} \,.$

या, दिशा की उपेक्षा करके, अंतर केवल गति के संदर्भ में दिया जा सकता है।

$u'=u-v\,.$

त्वरण (अक्सेलरेशन)

त्वरण, या वेग के परिवर्तन की दर, समय के संबंध में वेग का व्युत्पन्न है (समय के संबंध में स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न)।

$\mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t^{2}}.$

त्वरण समय के साथ वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। वेग या तो परिमाण या दिशा, या दोनों में बदल सकता है। कभी-कभी, वेग v के परिमाण में कमी को अवत्वरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन सामान्यतः समय के साथ वेग में कोई भी परिवर्तन, जिसमें अवत्वरण भी शामिल है, को केवल त्वरण के रूप में जाना जाता है।

निर्देश तंत्र (फ्रेम्स ऑफ़ रिफरेन्स)

जबकि कण की स्थिति, वेग और त्वरण को किसी भी प्रेक्षक के संबंध में गति की किसी भी अवस्था में वर्णित किया जा सकता है, चिरसम्मत यांत्रिकी निर्देश तंत्र के एक विशेष वर्ग के अस्तित्व को मानता है। जिसमें प्रकृति के यांत्रिक नियम तुलनात्मक रूप से सरल रूप लेते हैं। इन विशेष संदर्भ विन्यास को जड़त्वीय तंत्र कहा जाता है। एक जड़त्वीय तंत्र एक आदर्श संदर्भ विन्यास है जिसमे किसी वस्तु पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। चूँकि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए वस्तु का वेग स्थिर रहता है, अर्थात् यह या तो विरामावस्था में है या एक सीधी रेखा में एकसमान गति कर रहा है।

जड़त्वीय तंत्र की एक प्रमुख अवधारणा उन्हें पहचानने की विधि है। प्रायौगिक उद्देश्यों के लिए, संदर्भ विन्यास जो दूर के सितारों (एक अत्यंत दूर बिंदु) के संबंध में त्वरित नहीं होते हैं, उन्हें जड़त्वीय तंत्र के लिए अच्छा सन्निकटन माना जाता है। अजड़त्वीय निर्देश तंत्र मौजूदा जड़त्वीय तंत्र के संबंध में त्वरित होते है। वे आइंस्टीन की सापेक्षता का आधार बनाते हैं। सापेक्ष गति के कारण, अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण निर्देश तंत्र में मौजूदा क्षेत्रों से बलों द्वारा अस्पष्ट तरीकों से चलते प्रतीत होते हैं। इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है कि अन्य बल हैं जो केवल सापेक्ष त्वरण के परिणामस्वरूप गति के समीकरणों में प्रवेश करते हैं। इन बलों को काल्पनिक बल, जड़त्वीय बल या छद्म बल कहा जाता है।

माना दो निर्देश तंत्र S और S' हैं। प्रत्येक निर्देश तंत्र में प्रेक्षक के लिए एक स्थिति में (x,y, z,t) तंत्र S और ( x',y',z',t') तंत्र S' में स्थान-समय निर्देशांक है। माना समय सभी निर्देश तंत्र में समान रूप से मापा जाता है, और यदि हमें t = 0 होने पर x = x ' की आवश्यकता होती है, तो निर्देश तंत्र S' और S से देखि गई समान स्थिति के स्थान-समय निर्देशांक के बीच संबंध, जो x दिशा में गतिमान हैं, u के सापेक्ष वेग पर है।

$x'=x-ut\,$

$y'=y\,$

$z'=z\,$

$t'=t\,.$

सूत्रों का यह समुच्चय समूह रूपांतरण को परिभाषित करता है जिसे गैलीलियन रूपांतरण (अनौपचारिक रूप से, गैलीलियन रूपांतरण) के रूप में जाना जाता है। यह समूह विशेष सापेक्षता में प्रयुक्त पोंकारे समूह की एक सीमित स्थिति है। सीमित स्थिति तब लागू होती है जब 'u' का वेग c प्रकाश की गति की तुलना में बहुत छोटा होता है।

परिवर्तनों के निम्नलिखित परिणाम हैं

• v' = v - u (S' के दृष्टिकोण से कण का वेग v′, S के दृष्टिकोण से अपने वेग v से u धीमा है)
• a′ = a (किसी भी जड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण का त्वरण समान होता है)
• F′ = F (किसी भी जड़त्वीय निर्देश तंत्र में कण पर बल समान होता है)
• चिरसम्मत यांत्रिकी में प्रकाश की गति नियत नहीं है, न ही सापेक्षवादी यांत्रिकी में प्रकाश की गति को दी गई विशेष स्थिति चिरसम्मत यांत्रिकी में समकक्ष है।

कुछ समस्याओं के लिए, घूर्णन निर्देशांक (निर्देश तंत्र) का उपयुक्त है। जिससे या तो उचित जड़त्वीय तंत्र के लिए मानचित्रण रख सकते हैं, या अतिरिक्त रूप से एक काल्पनिक केन्द्रापसारक बल और कोरिओलिस बल का परिचय दे सकते हैं।

बल और न्यूटन का दूसरा नियम

भौतिकी में बल वह क्रिया है जो किसी वस्तु का वेग परिवर्तित करता है, अर्थात त्वरित करना। बल विद्युत-स्थैतिक क्षेत्र, विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, अन्य जैसे क्षेत्रो से उत्पन्न होता है।

सर्वप्रथम न्यूटन ने बल और संवेग के बीच संबंध को गणितीय रूप से व्यक्त किया। कुछ भौतिक विज्ञानी न्यूटन के गति के दूसरे नियम को बल और द्रव्यमान की परिभाषा के रूप में व्याख्यायित करते हैं, जबकि अन्य इसे एक मौलिक अभिधारणा,

प्रकृति का नियम मानते हैं। या तो व्याख्या के समान गणितीय परिणाम होते हैं, जिसे प्रारंभिक रूप से न्यूटन के दूसरे नियम के रूप में जाना जाता है।

$\mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} (m\mathbf {v} ) \over \mathrm {d} t}.$

मात्रा mv को (प्रामाणिक) संवेग कहा जाता है। इस प्रकार किसी कण पर लगने वाला नेट बल समय के साथ कण के संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है। चूंकि त्वरण की परिभाषा a = dv/dt है, अतः दूसरा नियम निम्न प्रकार से अधिक परिचित रूप में और सरलीकृत किया जा सकता है।

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,.$

किसी कण पर लगने वाले बल के ज्ञात होने तक न्यूटन का द्वितीय नियम कण की गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। एक बार कण पर कार्य करने वाले प्रत्येक बल के लिए स्वतंत्र संबंध उपलब्ध हो जाने पर, उन्हें न्यूटन के दूसरे नियम में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिससे साधारण अवकल समीकरण प्राप्त होता है, जिसे गति का समीकरण कहा जाता है।

उदाहरण के रूप में, माना कि घर्षण कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल है, और इसे कण के वेग के कार्य के रूप में तैयार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए

$\mathbf {F} _{\rm {R}}=-\lambda \mathbf {v} \,,$

जहाँ λ धनात्मक नियतांक है, ऋणात्मक चिन्ह बताता है कि बल, वेग के विपरीत है। तब गति का समीकरण है।

$-\lambda \mathbf {v} =m\mathbf {a} =m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,.$

यह प्राप्त करने के लिए एकीकृत हो सकता है।

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{{-\lambda t}/{m}}$

जहां v₀ प्रारंभिक वेग है। अर्थात इस कण का वेग समय के साथ-साथ तेजी से शून्य हो जाता है। इस स्थिति में, समकक्ष दृष्टिकोण यह है कि कण की गतिज ऊर्जा घर्षण द्वारा अवशोषित होती है (जो इसे ऊर्जा के संरक्षण के अनुसार ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित करती है), और कण मंद हो जाता है। समय के फलन के रूप में कण की स्थिति r प्राप्त करने के लिए इस व्यंजक को और एकीकृत किया जा सकता है।

महत्वपूर्ण बलों में गुरुत्वाकर्षण बल और विद्युत चुंबकत्व के लिए लोरेंत्ज़ बल शामिल हैं। इसके अलावा, न्यूटन के तीसरे नियम का उपयोग कभी-कभी कण पर कार्य करने वाले बलों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यदि यह ज्ञात है कि कण A एक अन्य कण B पर बल F लगाता है, तो यह निम्नानुसार है कि B कण, A कण पर एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल -F लगाता है।

कार्य और ऊर्जा

यदि नियतबल F एक ऐसे कण पर लगाया जाता है जो विस्थापन Δr करता है बल द्वारा किए गए कार्य को बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

$W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} \,.$

अधिक सामान्यतः यदि बल पथ C के अनुदिश r1 से r2 की ओर गति करते समय स्थिति के फलन के रूप में बदलता रहता है, तो कण पर किया गया कार्य रेखीय समाकलन द्वारा दिया जाता है।

$W=\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,.$

यदि कण को ​​r₁ से r₂ तक ले जाने में किया गया कार्य समान हो, कोई भी पथ अपनाने पर बल को संरक्षी कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण एक संरक्षी बल है, जैसा कि एक आदर्श स्प्रिंग के कारण बल है, जैसा कि हुक के नियम द्वारा दिया गया है। घर्षण के कारण लगने वाला बल असंरक्षी है।

v वेग से गतिमान तथा m द्रव्यमान के कण की गतिज ऊर्जा E_k निम्न प्रकार है।

$E_{\mathrm {k} }={\tfrac {1}{2}}mv^{2}\,.$

कई कणों से बनी विस्तारित वस्तुओं के लिए, संयुक्त पिंड की गतिज ऊर्जा कणों की गतिज ऊर्जाओं का योग होती है।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय में कहा गया है कि नियत द्रव्यमान m के कण के लिए, स्थिति r₁ से r₂ तक जाने पर कण पर किया गया कुल कार्य W, कण की गतिज ऊर्जा E_k में परिवर्तन के बराबर है।

$W=\Delta E_{\mathrm {k} }=E_{\mathrm {k_{2}} }-E_{\mathrm {k_{1}} }={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{\,2}-v_{1}^{\,2}\right).$

संरक्षी बलों को अदिश फलन के ढाल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे स्थितिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है और इसे E_p द्वारा दर्शाया जाता है।

$\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\,.$

यदि एक कण पर कार्य करने वाले सभी बल संरक्षी हैं और E_p कुल स्थितिज ऊर्जा है (जिसे निकायों की पारस्परिक स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए शामिल बलों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है), द्वारा प्राप्त किया गया है प्रत्येक बल के अनुरूप स्थितिज ऊर्जाओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

$\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\cdot \Delta \mathbf {r} =-\Delta E_{\mathrm {p} }\,.$

स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।

$-\Delta E_{\mathrm {p} }=\Delta E_{\mathrm {k} }\Rightarrow \Delta (E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} })=0\,.$

इस परिणाम को ऊर्जा के संरक्षण के रूप में जाना जाता है और बताता है कि कुल ऊर्जा समय में स्थिर है।

$\sum E=E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} }\,,$

यह प्रायः उपयोगी होता है, क्योंकि सामान्यतः कई आकस्मिक बल संरक्षी होती हैं।

न्यूटन के नियमों के अतिरिक्त

चिरसम्मत यांत्रिकी, विस्तारित वस्तुओं (जो बिन्दु जैसी नहीं है) के अधिक जटिल गतियों का भी वर्णन करती है। यूलर के नियम इस क्षेत्र में न्यूटन के नियमों का विस्तार प्रदान किया। कोणीय गति की अवधारणाएं एक-विमीय गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान कलन पर निर्भर करती हैं। प्रक्षेपात्र समीकरण किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर की धारणा का विस्तार करता है ताकि द्रव्यमान हानि वाली वस्तु के प्रभावों को शामिल किया जा सके। (ये सामान्यीकरण/विस्तार न्यूटन के नियमों से प्राप्त होते हैं, माना, एक ठोस पिंड को बिंदुओं के संग्रह में विघटित किया जाता है।)

चिरसम्मत यांत्रिकी के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक निरूपण हैं, लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी। ये, और अन्य आधुनिक निरूपण, सामान्यतः सामान्यीकृत निर्देशांक में यांत्रिक प्रणालियों का वर्णन करने के लिए ऊर्जा, गति और गति जैसे अन्य भौतिक मात्राओं की चर्चा के बजाय बल की अवधारणा की उपेक्षा करते हैं। ये मूल रूप से न्यूटन के नियमों का गणितीय पुनर्लेखन हैं, लेकिन जटिल यांत्रिक समस्याओं को इन रूपों में हल करना बहुत आसान है। इसके अलावा, हैमिल्टनियन औपचारिकता में क्वांटम यांत्रिकी के साथ सादृश्य अधिक स्पष्ट है।

संवेग और गतिज ऊर्जा के लिए ऊपर दिए गए व्यंजक केवल तभी मान्य होते हैं जब कोई महत्वपूर्ण विद्युत चुम्बकीय योगदान न हो। विद्युत चुम्बकत्व में, विद्युत धारावाही तारों के लिए न्यूटन का दूसरा नियम तब तक विफल हो जाता है जब तक कि निकाय की गति में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का योगदान शामिल नहीं हो जाता है, जैसा कि c² से विभाजित पोयंटिंग सदिश द्वारा व्यक्त किया गया है, जहाँ c मुक्त स्थान में प्रकाश की गति है।

वैधता की सीमा

शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए वैधता का डोमेन

चिरसम्मत यांत्रिकी की कई शाखाएँ अधिक सटीक रूपों का सरलीकरण या सन्निकटन हैं; सामान्य सापेक्षता और सापेक्षतावादी सांख्यिकीय यांत्रिकी में से दो सबसे सही रूप है। ज्यामितीय प्रकाशिकी प्रकाश के क्वांटम सिद्धांत का सन्निकटन है, और इसका कोई बेहतर "उत्कृष्ट" रूप नहीं है।

जब क्वांटम यांत्रिकी और चिरसम्मत यांत्रिकी दोनों लागू नहीं हो सकते हैं, जैसे कि क्वांटम स्तर पर कई स्वतंत्रता की कोटि के साथ, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) उपयोग में है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) छोटी दूरी, और बड़ी गति के साथ कई स्वतंत्रता की कोटि के साथ-साथ परस्परक्रिया के दौरान कणों की संख्या में किसी भी बदलाव की संभावना से संबंधित है। असूक्ष्म स्तर पर सांख्यिकीय यांत्रिकी उपयोगी हो जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी असूक्ष्म स्तर पर कणों की बड़ी (लेकिन गणनीय) संख्याओं के व्यवहार और समग्र रूप से उनकी परस्परक्रिया का वर्णन करता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी मुख्य रूप से ऊष्मागतिकी में उन प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जो चिरसम्मत ऊष्मागतिकी की मान्यताओं की सीमा से बाहर हैं। उच्च वेग वाली वस्तुए जिनकी गति लगभग प्रकाश की गति के बराबर है, इस स्थिति में, चिरसम्मत यांत्रिकी को विशेष सापेक्षता द्वारा परिवर्धित किया जाता है। यदि वस्तुएं अत्यधिक भारी हो जाती हैं (अर्थात, उनकी श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या किसी दिए गए अनुप्रयोग के लिए नगण्य नहीं है), न्यूटोनियन यांत्रिकी से विचलन स्पष्ट हो जाते हैं और पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता का उपयोग करके मात्रा निर्धारित की जा सकती है। उस स्थिति में, सामान्य सापेक्षता (जीआर) लागू हो जाती है। हालांकि, अब तक क्वांटम गुरुत्व का जीआर और क्यूएफटी को एकीकृत करने का कोई सिद्धांत नहीं है, इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब वस्तुएं बहुत छोटी और भारी हो जाती हैं।[5 ]

विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन

विशेष सापेक्षता में, कण का संवेग निम्न प्रकार से दिया जाता है।

$\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,,$

जहाँ m कण का विराम द्रव्यमान, v वेग है, v का मापांक v और c प्रकाश की गति है।

यदि c की तुलना में v बहुत छोटा है, तो v²/c² लगभग शून्य होगा, अतः

$\mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,.$

इस प्रकार न्यूटोनियन समीकरण p = mv प्रकाश की गति की तुलना में कम गति से गतिमान पिंडों के लिए आपेक्षिक समीकरण का सन्निकटन है।

उदाहरण के लिए, साइक्लोट्रॉन, जाइरोट्रॉन, या उच्च वोल्टेज मैग्नेट्रोन की आपेक्षिक साइक्लोट्रॉन आवृत्ति निम्न द्वारा दी गई है

$f=f_{\mathrm {c} }{\frac {m_{0}}{m_{0}+{\frac {T}{c^{2}}}}}\,,$

जहां f_c चुंबकीय क्षेत्र में चक्कर लगा रहे इलेक्ट्रान की चिरसम्मत आवृत्ति, T गतिज ऊर्जा और m₀ विराम द्रव्यमान है। एक इलेक्ट्रॉन का (विराम) द्रव्यमान 511 keV है। तो आवृत्ति सुधार चुंबकीय वैक्यूम ट्यूब के लिए 5.11 kV प्रत्यक्ष वर्तमान त्वरित वोल्टेज के साथ 1% होता है।

क्वांटम यांत्रिकी का प्राचीन सन्निकटन

डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य के अन्य आयामों की तुलना में बहुत छोटा न होने पर चिरसम्मत यांत्रिकी का किरण सन्निकटन टूट जाता है। असापेक्ष कणों के लिए, यह तरंग दैर्ध्य,

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

जहाँ h प्लांक नियतांक और p संवेग है।

भारी कणों से पहले यह इलेक्ट्रॉनों के साथ होता है। उदाहरण के लिए, 1927 में क्लिंटन डेविसन और लेस्टर जर्मर द्वारा 54 वोल्ट (V) द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों की तरंग दैर्ध्य 0.167 एनएम (nm) पाई गई जो 0.215 एनएम (nm) के परमाण्विक अंतर के साथ निकल क्रिस्टल के तल से परिवर्तित होने पर एकल विवर्तन पक्ष लोब को प्रदर्शित करने के लिए काफी लंबा था। एक बड़े निर्वात कक्ष के साथ, कोणीय संकल्प को रेडियन से मिलीरेडियन तक बढ़ाना और एकीकृत परिपथ कम्प्यूटर की स्मृति के आवधिक आकृति से क्वांटम विवर्तन को देखना अपेक्षाकृत आसान प्रतीत होगा।

एक अभियांत्रिकी पैमाने पर चिरसम्मत यांत्रिकी की विफलता के अधिक प्रायोगिक उदाहरण टनल डायोड में क्वांटम टनलिंग और एकीकृत सर्किट में बहुत संकीर्ण ट्रांजिस्टर गेट्स द्वारा चालन हैं।

चिरसम्मत यांत्रिकी ज्यामितीय प्रकाशिकी के समान उच्च आवृत्ति सन्निकटन है। यह अधिक बार सटीक होता है क्योंकि यह कणों और निकायों को विराम द्रव्यमान के साथ वर्णित करता है। इनका संवेग अधिक होता है और इसलिए समान गतिज ऊर्जा वाले प्रकाश जैसे द्रव्यमान रहित कणों की तुलना में डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य कम होते हैं।

इतिहास

चिरसम्मत यांत्रिकी विज्ञान, अभियान्त्रिकी और प्रौद्योगिकी में सबसे पुराना और सबसे बड़े विषय है, जिसमे पिंडों की गति का प्राचीन अध्ययन है।

पुरातनता के कुछ यूनानी दार्शनिक, उनमें से अरस्तू, अरिस्टोटेलियन भौतिकी के संस्थापक, इस विचार को बनाए रखने वाले पहले व्यक्ति हो सकते हैं कि "सब कुछ एक कारण से होता है" और सैद्धांतिक सिद्धांत प्रकृति की समझ में सहायता कर सकते हैं। जबकि नए पाठक के लिए, इनमें से कई संरक्षित विचार बहुत ही उचित रूप से सामने आते हैं, गणितीय सिद्धांत और नियंत्रित प्रयोग दोनों का विशिष्ट अभाव है। ये बाद में आधुनिक विज्ञान के निर्माण में निर्णायक कारक बन गए, और इनका प्रारंभिक अनुप्रयोग चिरसम्मत यांत्रिकी के रूप में जाना जाने लगा। मध्यकालीन गणितज्ञ जॉर्डनस डी नेमोर ने अपने एलिमेंटा सुपर डिमॉन्स्ट्रेशनम पोन्डरम में "स्थितीय गुरुत्वाकर्षण" की अवधारणा और घटक बलों के उपयोग की शुरुआत की।

ग्रहों की गतियों का पहला 1609 में प्रकाशित कारण विवरण जोहान्स केपलर का "एस्ट्रोनोमिया नोवा" था। उन्होंने मंगल की कक्षा पर टाइको ब्राहे की टिप्पणियों के आधार पर निष्कर्ष निकाला कि ग्रह की कक्षाएँ दीर्घवृत्त होती है। प्राचीन विचार के साथ यह विराम लगभग उसी समय हो रहा था जब गैलीलियो वस्तुओं की गति के लिए अमूर्त गणितीय नियमों का प्रस्ताव कर रहे थे। उन्होंने पीसा की मीनार से अलग-अलग वजन के दो तोप के गोलों को गिराने का प्रसिद्ध प्रयोग किया हो सकता है (या नहीं भी), यह दर्शाता है कि वे दोनों एक ही समय में जमीन पर गिरते है। उस विशेष प्रयोग की वास्तविकता विवादित है, लेकिन उन्होंने झुकाव वाले विमान पर गेंदें घुमाकर परिमाणात्मक प्रयोग किए। उनका त्वरित गति का सिद्धांत ऐसे प्रयोगों के परिणामों से प्राप्त हुआ था और चिरसम्मत यांत्रिकी की आधारशिला बनाता है। 1673 में क्रिस्टियान ह्यूजेन्स ने अपने होरोलोगियम ऑसिलेटोरियम में पहले दो गति के नियमों का वर्णन किया। कार्य भी पहला आधुनिक ग्रंथ है जिसमें भौतिक समस्या (गिरते पिंड की त्वरित गति) को पैरामीटर के एक समुच्चय द्वारा आदर्श बनाया जाता है और फिर गणितीय रूप से विश्लेषण किया जाता है और अनुप्रयुक्त गणित के मौलिक कार्यों में से एक का गठन किया जाता है। </ref>

सर आइजैक न्यूटन (1643-1727), भौतिकी के इतिहास में एक प्रभावशाली व्यक्ति और जिनके गति के तीन नियम शास्त्रीय यांत्रिकी का आधार बनाते हैं

न्यूटन ने तीन प्रस्तावित गति के नियमों पर प्राकृतिक दर्शन के अपने सिद्धांतों की स्थापना की: जड़त्व का नियम, त्वरण का उनका दूसरा नियम (ऊपर उल्लिखित है), और क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम; और इसलिए चिरसम्मत यांत्रिकी की नींव रखी। न्यूटन के फिलॉसफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका में न्यूटन के दूसरे और तीसरे दोनों नियमों को उचित वैज्ञानिक और गणितीय उपचार दिया गया था। यहां वे समान घटनाओं की व्याख्या करने के पहले के प्रयासों से अलग हैं, जो या तो अपूर्ण थे, गलत थे, या कम सटीक गणितीय अभिव्यक्ति दी गई थी। न्यूटन ने संवेग संरक्षण और कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांतों को भी प्रतिपादित किया। यांत्रिकी में, न्यूटन के व्यापक गुरुत्वाकर्षण के नियम में गुरुत्वाकर्षण का पहला सही वैज्ञानिक और गणितीय सूत्रीकरण प्रदान करने वाले भी न्यूटन थे। न्यूटन के गति और गुरुत्वाकर्षण के नियमों का संयोजन चिरसम्मत यांत्रिकी का पूर्ण और सबसे सही विवरण प्रदान करता है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि यह नियम सामान्य वस्तुओं के साथ-साथ आकाशीय पिंडों पर भी लागू होते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने ग्रहों की गति के केप्लर के नियम की सैद्धांतिक व्याख्या प्राप्त की।

न्यूटन ने पहले गणित के कलन का आविष्कार किया था, और इसका उपयोग गणितीय गणना करने के लिए किया था। स्वीकार्यता के लिए, उनकी पुस्तक, प्रिंसिपिया, पूरी तरह से लंबे समय से स्थापित ज्यामितीय विधियों के संदर्भ में तैयार की गई थी, जो जल्द ही उनके कलन द्वारा ग्रहण कर ली गई थी। लाइबनिज ने अवकल और समाकल संकेतन को आज विकसित किया है। न्यूटन, और उनके अधिकांश समकालीन, ह्यूजेन्स के उल्लेखनीय अपवाद के साथ, इस धारणा पर काम करते थे कि चिरसम्मत यांत्रिकी प्रकाश सहित ज्यामितीय प्रकाशिकी के रूप में सभी घटनाओं की व्याख्या करने में सक्षम होंगे। तथाकथित न्यूटन के वलय (तरंग व्यतिकरण घटना) की खोज करते हुए भी उन्होंने प्रकाश के अपने स्वयं के कणिका सिद्धांत को बनाए रखा।

लैग्रेंज का योगदान आधुनिक गणित की भाषा में न्यूटन के विचारों को साकार करना था, जिसे अब लैग्रेंजियन मैकेनिक्स कहा जाता है।

न्यूटन के बाद, चिरसम्मत यांत्रिकी गणित के साथ-साथ भौतिकी में अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। गणितीय योगों ने उत्तरोत्तर समस्याओं की एक बड़ी संख्या के हल निकालने की अनुमति दी। पहला उल्लेखनीय गणितीय उपचार 1788 में जोसेफ लुई लैग्रेंजियन द्वारा किया गया था। लैग्रेंजियन यांत्रिकी को 1833 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा फिर से तैयार किया गया था।

19 वीं शताब्दी के अंत में कुछ समस्याओं की खोज की गई थी जिन्हें केवल अधिक आधुनिक भौतिकी द्वारा ही हल किया जा सकता था। इनमें से कुछ समस्याएं विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत और प्रसिद्ध माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के साथ संगतता से संबंधित हैं। इन समस्याओं के समाधान ने सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को जन्म दिया, जिसे अक्सर चिरसम्मत यांत्रिकी का भाग माना जाता है।

समस्याओं का एक दूसरा समुच्चय उष्मागतिकी से संबंधित है। उष्मागतिकी के साथ संयुक्त होने पर, चिरसम्मत यांत्रिकी प्राचीन सांख्यिकीय यांत्रिकी के गिब्स विरोधाभास की ओर जाता है, जिसमें एन्ट्रॉपी अच्छी तरह से परिभाषित राशि नहीं है। क्वांटा के बिना कृष्णिका विकिरण की व्याख्या नहीं की गई थी। जैसे-जैसे प्रयोग परमाणु स्तर पर पहुंचे, चिरसम्मत यांत्रिकी ऊर्जा स्तर और परमाणुओं के आकार और प्रकाश विद्युत प्रभाव जैसी मूलभूत घटनाओ की व्याख्या करने में विफल रहे। इन समस्याओं को हल करने के प्रयास से क्वांटम यांत्रिकी का विकास हुआ।

20 वीं सदी के अंत से, चिरसम्मत यांत्रिकी भौतिकी में, स्वतंत्र सिद्धांत नहीं रहा है। इसकी जगह, चिरसम्मत यांत्रिकी को अब अधिक सामान्य क्वांटम यांत्रिकी के लिए अनुमानित सिद्धांत माना जाता है। मानक मॉडल में प्रकृति की मूलभूत शक्तियों को समझने और हर चीज के एकीकृत सिद्धांत में इसके अधिक आधुनिक विस्तार पर जोर दिया गया है। चिरसम्मत यांत्रिकी निर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में गैर-क्वांटम यांत्रिक, कम ऊर्जा कणों की गति के अध्ययन के लिए उपयोगी सिद्धांत है। इसके अलावा, इसे संकुल प्रक्षेत्र में विस्तारित किया गया है जहां संकुल चिरसम्मत यांत्रिकी क्वांटम यांत्रिकी के समान व्यवहार प्रदर्शित करता है।

शाखाएं

चिरसम्मत यांत्रिकी को पारंपरिक रूप से तीन मुख्य शाखाओं में विभाजित किया गया था:

• स्थैतिकी, साम्यवस्था का अध्ययन और बलों से संबंध
• गतिकी, गति का अध्ययन और बलों से संबंध
• गति विज्ञान, प्रेक्षित गतियों के अभिप्रायो से निपटने के लिए परिस्थितियों की परवाह किए बिना उन्हें उत्पन्न करना

अन्य विभाजन गणितीय औपचारिकता की पसंद पर आधारित है:

• न्यूटोनियन यांत्रिकी
• लग्रांजियन यांत्रिकी
• हैमिल्टनियन यांत्रिकी

वैकल्पिक रूप से, अनुप्रयोगों के क्षेत्र में विभाजित किया जा सकता है:

• खगोलीय यांत्रिकी, तारों, ग्रहों और अन्य खगोलीय पिंडों से संबंधित है।
• सातत्य यांत्रिकी, सातत्य के रूप में मॉडलिंग की गई सामग्री के लिए, उदाहरण के लिए, ठोस और तरल (अर्थात, द्रव और गैस)।
• सापेक्षवादी यांत्रिकी (अर्थात सापेक्षता के विशेष और सामान्य सिद्धांतों सहित), उन निकायों के लिए जिनकी गति प्रकाश की गति के करीब है।
• सांख्यिकीय यांत्रिकी, जो अलग अलग परमाणुओं और अणुओं के सूक्ष्म गुणों को असूक्ष्म या समष्टि ऊष्मागतिकी गुणधर्म से संबंधित करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करता है।

See also

• Dynamical systems
• History of classical mechanics
• List of equations in classical mechanics
• List of publications in classical mechanics
• List of textbooks on classical and quantum mechanics
• Molecular dynamics
• Newton's laws of motion
• Special theory of relativity
• Quantum mechanics
• Quantum field theory

Further reading

• Alonso, M.; Finn, J. (1992). Fundamental University Physics. Addison-Wesley.
• Feynman, Richard (1999). The Feynman Lectures on Physics. Perseus Publishing. ISBN 978-0-7382-0092-7.
• Feynman, Richard; Phillips, Richard (1998). Six Easy Pieces. Perseus Publishing. ISBN 978-0-201-32841-7.
• Goldstein, Herbert; Charles P. Poole; John L. Safko (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.
• Kibble, Tom W.B.; Berkshire, Frank H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6.
• Kleppner, D.; Kolenkow, R.J. (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-035048-9.
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1972). Course of Theoretical Physics, Vol. 1 – Mechanics. Franklin Book Company. ISBN 978-0-08-016739-8.
• Morin, David (2008). Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87622-3.
• Gerald Jay Sussman; Jack Wisdom (2001). Structure and Interpretation of Classical Mechanics. MIT Press. ISBN 978-0-262-19455-6.
• O'Donnell, Peter J. (2015). Essential Dynamics and Relativity. CRC Press. ISBN 978-1-4665-8839-4.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40896-1.

External links

• Crowell, Benjamin. Light and Matter (an introductory text, uses algebra with optional sections involving calculus)
• Fitzpatrick, Richard. Classical Mechanics (uses calculus)
• Hoiland, Paul (2004). Preferred Frames of Reference & Relativity
• Horbatsch, Marko, "Classical Mechanics Course Notes".
• Rosu, Haret C., "Classical Mechanics". Physics Education. 1999. [arxiv.org : physics/9909035]
• Shapiro, Joel A. (2003). Classical Mechanics
• Sussman, Gerald Jay & Wisdom, Jack & Mayer, Meinhard E. (2001). Structure and Interpretation of Classical Mechanics
• Tong, David. Classical Dynamics (Cambridge lecture notes on Lagrangian and Hamiltonian formalism)
• Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL)
  Movies and photos of hundreds of working mechanical-systems models at Cornell University. Also includes an e-book library of classic texts on mechanical design and engineering.
• MIT OpenCourseWare 8.01: Classical Mechanics Free videos of actual course lectures with links to lecture notes, assignments and exams.
• Alejandro A. Torassa, On Classical Mechanics