वास्तविक संख्या

For the real numbers used in descriptive set theory, see Baire space (set theory). For the computing datatype, see Floating-point number.

वास्तविक संख्याओं के सेट के लिए एक प्रतीक

गणित में, एक वास्तविक संख्या एक निरंतर मात्रा का मान है जो एक रेखा के साथ दूरी का प्रतिनिधित्व कर सकती है (या वैकल्पिक रूप से, एक मात्रा जिसे अनंत दशमलव विस्तार के रूप में दर्शाया जा सकता है)।इस संदर्भ में वास्तविक विशेषण 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने बहुपद के वास्तविक और काल्पनिक मूल तत्वों के बीच अंतर किया था। वास्तविक संख्याओं में सभी अपरिमेय संख्याएं शामिल हैं, जैसे कि पूर्णांक −5 और भिन्न 4/3, और सभी अपरिमेय संख्याएं, जैसे ${\sqrt {2}}$ (1.41421356 ..., 2 का वर्गमूल, एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या)।अपरिमेय के भीतर शामिल वास्तविक प्रागनुभविक संख्याएँ हैं, जैसे π(3.14159265 ...)। दूरी को मापने के अलावा, वास्तविक संख्याओं का उपयोग समय, द्रव्यमान, ऊर्जा, वेग, और कई और अधिक मात्रा को मापने के लिए किया जा सकता है।वास्तविक संख्याओं के सेट को प्रतीक R या $\mathbb {R}$ का उपयोग करके निरूपित किया गया है और इसे कभी-कभी "रियल्स" भी कहा जाता है।।

वास्तविक संख्याओं को एक अनंत लंबी रेखा पर बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है जिसे संख्या रेखा या वास्तविक रेखा कहा जाता है, जहां पूर्णांकों के संगत बिंदु समान रूप से दूरी पर होते हैं।किसी भी वास्तविक संख्या को संभवतः अनंत दशमलव प्रतिनिधित्व द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, जैसे कि 8.632, जहां प्रत्येक क्रमागत अंक को इकाइयों में पिछले के आकार में दसवें हिस्से में मापा जाता है। वास्तविक रेखा को सम्मिश्र तल का एक भाग माना जा सकता है, और वास्तविक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं का एक भाग माना जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं को असीम रूप से लंबी संख्या लाइन पर अंक के रूप में सोचा जा सकता है

वास्तविक संख्याओं के ये विवरण शुद्ध गणित के आधुनिक मानकों द्वारा पर्याप्त रूप से कठोर नहीं हैं।वास्तविक संख्याओं की एक उपयुक्त रूप से कठोर परिभाषा की खोज-वास्तव में, यह अहसास कि एक बेहतर परिभाषा की आवश्यकता थी-19 वीं सदी के गणित के सबसे महत्वपूर्ण विकासों में से एक था।वर्तमान मानक स्वयंसिद्ध परिभाषा यह है कि वास्तविक संख्याएं अद्वितीय Dedekind- पूर्ण आदेशित फ़ील्ड बनाते हैं ($\mathbb {R}$ ; + ; · ; <), एक समरूपता तक, जबकि वास्तविक संख्याओं की लोकप्रिय रचनात्मक परिभाषाओं में उन्हें अंकगणित संचालन और ऑर्डर रिलेशन के लिए सटीक व्याख्याओं के साथ -साथ कॉची अनुक्रमों (तर्कसंगत संख्याओं की), डेडेकिंड कट्स, या अनंत दशमलव अभ्यावेदन के समतुल्य वर्गों के रूप में घोषित करना शामिल है।ये सभी परिभाषाएँ स्वयंसिद्ध परिभाषा को संतुष्ट करती हैं और इस प्रकार समतुल्य हैं।

सभी वास्तविक संख्याओं का सेट बेशुमार है, इस अर्थ में कि जबकि सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट और सभी वास्तविक संख्याओं का सेट अनंत सेट हैं, वास्तविक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक कोई एक-से-एक फ़ंक्शन नहीं हो सकता है।वास्तव में, सभी वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनलिटी, द्वारा निरूपित की गई ${\mathfrak {c}}$ और कॉन्टिनम का कार्डिनैलिटी कहा जाता है, सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट के कार्डिनलिटी से सख्ती से अधिक है) $\aleph _{0}$, अलेफ नंबर#अलेफ-नॉट | 'एलेफ-नॉट')।

यह कथन है कि कार्डिनलिटी के साथ रियल का कोई सबसेट नहीं है $\aleph _{0}$ और की तुलना में सख्ती से छोटा ${\mathfrak {c}}$ कॉन्टिनम परिकल्पना (सीएच) के रूप में जाना जाता है।यह न तो साबित करने योग्य है और न ही Zermelo -Fraenkel सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके न तो मना किया गया है, जिसमें Axiom ऑफ़ चॉइस (ZFC) - आधुनिक गणित का मानक नींव शामिल है।वास्तव में, ZFC के कुछ मॉडल CH को संतुष्ट करते हैं, जबकि अन्य इसका उल्लंघन करते हैं।

इतिहास

वास्तविक संख्या $(\mathbb {R} )$ अपरिमेय संख्याएं शामिल करें $(\mathbb {Q} )$, जिसमें पूर्णांक शामिल हैं $(\mathbb {Z} )$, जिसमें बदले में प्राकृतिक संख्याएं शामिल हैं $(\mathbb {N} )$

अंश (गणित) #simple, सामान्य, या अशिष्ट अंश | मिस्रियों द्वारा 1000 bc के आसपास सरल अंशों का उपयोग किया गया था;वैदिक शुलबा सूत्र (द रूल्स ऑफ कॉर्ड्स) c. 600 BC शामिल करें कि अपरिमेय संख्याओं का पहला उपयोग क्या हो सकता है।अपरिमेयता की अवधारणा को प्रारंभिक भारतीय गणितज्ञों जैसे मनवा द्वारा स्वीकार किया गया था (c. 750–690 BC), जो जानते थे कि कुछ संख्याओं की चौकोर जड़ें, जैसे कि 2 और 61, बिल्कुल निर्धारित नहीं की जा सकती हैं। लगभग 500 & bc, पाइथागोरस के नेतृत्व वाले ग्रीक गणितज्ञों ने अपरिमेय संख्या की आवश्यकता को महसूस किया, विशेष रूप से 2 के वर्गमूल की तर्कहीनता।

मध्य युगों ने शून्य, नकारात्मक संख्या, पूर्णांक, और आंशिक संख्याओं की स्वीकृति के बारे में बताया, पहले भारतीय और चीनी गणितज्ञों द्वारा, और फिर अरबी गणितज्ञों द्वारा, जो पहले भी थे, जो कि बाद में थे (बाद में)बीजगणित के विकास से)। अरबी गणितज्ञों ने संख्या और परिमाण की अवधारणाओं को वास्तविक संख्याओं के अधिक सामान्य विचार में विलय कर दिया। मिस्र के गणितज्ञ अबू केमिल शुज इब्न असलम (c. 850–930) द्विघात समीकरणों के समाधान के रूप में अपरिमेय संख्याओं को स्वीकार करने वाला पहला था, या एक समीकरण में गुणांक के रूप में (अक्सर वर्ग जड़ों, घन जड़ों और चौथी जड़ों के रूप में)। 16 वीं शताब्दी में, साइमन स्टीविन ने आधुनिक दशमलव संकेतन के लिए आधार बनाया, और जोर देकर कहा कि इस संबंध में तर्कसंगत और तर्कहीन संख्या के बीच कोई अंतर नहीं है।

17 वीं शताब्दी में, डेसकार्टेस ने एक बहुपद की जड़ों का वर्णन करने के लिए वास्तविक शब्द का परिचय दिया, जो उन्हें काल्पनिक लोगों से अलग करते हैं।

18 वीं और 19 वीं शताब्दी में, अपरिमेय और पारलौकिक संख्याओं पर बहुत काम किया गया था।जोहान हेनरिक लैम्बर्ट (1761) ने पहला त्रुटिपूर्ण प्रमाण दिया कि π अपरिमेय नहीं हो सकता;एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (1794) ने सबूत पूरा किया, और दिखाया कि π एक अपरिमेय संख्या का वर्गमूल नहीं है। पाओलो रफिनी (1799) और नील्स हेनरिक एबेल (1842) दोनों ने एबेल -रफिनी प्रमेय के प्रमाणों का निर्माण किया: कि सामान्य क्विंटिक या उच्चतर समीकरणों को एक सामान्य सूत्र द्वारा हल नहीं किया जा सकता है जिसमें केवल अंकगणितीय संचालन और जड़ों को शामिल किया गया है।

Évariste Galois (1832) ने यह निर्धारित करने के लिए तकनीक विकसित की कि क्या किसी दिए गए समीकरण को कट्टरपंथी द्वारा हल किया जा सकता है, जिसने गैलिस सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म दिया।जोसेफ लिउविले (1840) ने दिखाया कि न तो ई और न ही ई² एक पूर्णांक द्विघात समीकरण की जड़ हो सकती है, और फिर पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की;जॉर्ज कैंटर (1873) ने इस प्रमाण को बढ़ाया और बहुत सरल बनाया। चार्ल्स हरमाइट (1873) ने पहली बार साबित किया कि ई ट्रान्सेंडैंटल है, और फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन (1882) ने दिखाया कि π पारलौकिक है।लिंडमैन का प्रमाण वेयरस्ट्रास (1885) द्वारा बहुत सरल था, अभी भी डेविड हिल्बर्ट (1893) द्वारा आगे, और अंत में एडोल्फ हर्विट्ज़ द्वारा प्राथमिक बनाया गया है और पॉल गॉर्डन। 18 वीं शताब्दी में कैलकुलस के विकास ने वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट का उपयोग बिना उन्हें सख्ती से परिभाषित किए।पहली कठोर परिभाषा 1871 में जॉर्ज कैंटर द्वारा प्रकाशित की गई थी। 1874 में, उन्होंने दिखाया कि सभी वास्तविक संख्याओं का सेट बेशुमार से अनंत है, लेकिन सभी बीजीय संख्याओं का सेट गिनती अनंत है।व्यापक रूप से आयोजित विश्वासों के विपरीत, उनकी पहली विधि उनका प्रसिद्ध कैंटर का विकर्ण तर्क नहीं था। विकर्ण तर्क, जिसे उन्होंने 1891 में प्रकाशित किया था। अधिक के लिए, कैंटर की पहली बधाई सबूत देखें।

परिभाषा

Main article: Construction of the real numbers

वास्तविक संख्या प्रणाली $(\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})$ एक आइसोमोर्फिज्म के लिए स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जा सकता है, जिसे इसके बाद वर्णित किया गया है।वास्तविक संख्या प्रणाली का निर्माण करने के कई तरीके भी हैं, और एक लोकप्रिय दृष्टिकोण में प्राकृतिक संख्याओं से शुरू करना, फिर अपरिमेय संख्याओं को बीजगणितीय रूप से परिभाषित करना, और अंत में वास्तविक संख्याओं को उनके कॉची अनुक्रमों के समतुल्य वर्गों के रूप में या डेडेकिंड कट्स के रूप में परिभाषित करना, जो कुछ सबसेट हैं।परिमेय संख्या। एक अन्य दृष्टिकोण यूक्लिडियन ज्यामिति (हिल्बर्ट या टार्स्की के कहना) के कुछ कठोर स्वयंसिद्धता से शुरू करना है, और फिर वास्तविक संख्या प्रणाली को ज्यामितीय रूप से परिभाषित करता है।वास्तविक संख्याओं के इन सभी निर्माणों को समतुल्य दिखाया गया है, इस अर्थ में कि परिणामी संख्या प्रणाली आइसोमॉर्फिक हैं।

स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण

होने देना $\mathbb {R}$ सभी वास्तविक संख्याओं के सेट को निरूपित करें, फिर:

• सेट $\mathbb {R}$ एक क्षेत्र है, जिसका अर्थ है कि जोड़ और गुणन को परिभाषित किया गया है और सामान्य गुण हैं।
• फील्ड $\mathbb {R}$ आदेश दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि कुल आदेश of है जैसे कि सभी वास्तविक संख्याओं के लिए x, y और z:
  • यदि x y y, तो x + z Z y + z;
  • यदि x and 0 और y ≥ 0 है, तो xy। 0।
• आदेश Dedekind- पूर्ण है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक गैर-खाली सबसेट एस $\mathbb {R}$ में एक ऊपरी सीमा के साथ $\mathbb {R}$ में कम से कम ऊपरी बाउंड (a.k.a., supremum) है $\mathbb {R}$।

अंतिम संपत्ति वह है जो अपरिमेय संख्याओं (और अन्य अधिक विदेशी आदेशित क्षेत्रों से) से वास्तविक संख्याओं को अलग करती है।उदाहरण के लिए, $\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}$ एक तर्कसंगत ऊपरी सीमा है (जैसे, 1.42), लेकिन कोई कम से कम अपरिमेय ऊपरी सीमा नहीं है, क्योंकि${\sqrt {2}}$अपरिमेय नहीं है।

ये गुण आर्किमेडियन संपत्ति (जो कि पूर्णता की अन्य परिभाषाओं से निहित नहीं है) का अर्थ है, जिसमें कहा गया है कि पूर्णांक के सेट में वास्तविक में कोई ऊपरी सीमा नहीं है।वास्तव में, यदि यह झूठा था, तो पूर्णांक में कम से कम ऊपरी बाउंड एन होगा;तब, n - 1 एक ऊपरी सीमा नहीं होगी, और एक पूर्णांक n ऐसा होगा जैसे कि n > N – 1, और इस तरह n + 1 > N, जो एन की ऊपरी-बाउंड संपत्ति के साथ एक विरोधाभास है।

वास्तविक संख्या उपरोक्त गुणों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट की जाती है।अधिक सटीक रूप से, किसी भी दो dedekind- पूर्ण आदेश दिए गए फ़ील्ड को देखते हुए $\mathbb {R} _{1}$ तथा $\mathbb {R} _{2}$, वहाँ से एक अद्वितीय क्षेत्र आइसोमोर्फिज्म मौजूद है $\mathbb {R} _{1}$ प्रति $\mathbb {R_{2}}$।यह विशिष्टता हमें उन्हें अनिवार्य रूप से एक ही गणितीय वस्तु के रूप में सोचने की अनुमति देती है।

के एक और स्वयंसिद्धता के लिए $\mathbb {R}$, रियल के टार्स्की के स्वयंसिद्धता को देखें।

अपरिमेय संख्या से निर्माण

वास्तविक संख्याओं का निर्माण अपरिमेय संख्याओं के पूरा होने के रूप में किया जा सकता है, इस तरह से कि एक दशमलव या द्विआधारी विस्तार द्वारा परिभाषित एक अनुक्रम जैसे (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.141; 3.1415; ...) एक अद्वितीय वास्तविक संख्या में परिवर्तित हो जाता है-इस मामले में π।वास्तविक संख्याओं के विवरण और अन्य निर्माणों के लिए, वास्तविक संख्याओं का निर्माण देखें।

गुण

मूल गुण

• कोई भी गैर-0 (संख्या) | शून्य वास्तविक संख्या या तो नकारात्मक या सकारात्मक है।
• दो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का योग और उत्पाद फिर से एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है, अर्थात, वे इन कार्यों के तहत बंद हैं, और एक सकारात्मक शंकु बनाते हैं, जिससे वास्तविक संख्याओं के एक रैखिक क्रम को जन्म दिया जाता है। संख्या रेखा।
• वास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक अनंत सेट बनाती हैं, जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट पर इंजेक्ट रूप से मैप नहीं किया जा सकता है, अर्थात, बेशुमार रूप से कई वास्तविक संख्याएं हैं, जबकि प्राकृतिक संख्याओं को अनगिनत अनंत कहा जाता है। यह स्थापित करता है कि कुछ अर्थों में, किसी भी गणना योग्य सेट में तत्व हैं।
• वास्तविक संख्याओं के अनगढ़ अनंत सबसेट का एक पदानुक्रम है, जैसे, पूर्णांक, तर्कसंगत संख्या, बीजगणितीय संख्या और कम्प्यूटेबल संख्या, प्रत्येक सेट अनुक्रम में अगले का एक उचित उपसमूह है। रियल में इन सभी सेटों (तर्कहीन, पारलौकिक और गैर-गणनीय वास्तविक संख्याओं) के पूरक सभी बेशुमार अनंत सेट हैं।
• वास्तविक संख्याओं का उपयोग निरंतर मात्रा के माप को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। उन्हें दशमलव अभ्यावेदन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, उनमें से अधिकांश के पास दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंकों का एक अनंत अनुक्रम होता है; इन्हें अक्सर 324.823122147 की तरह दर्शाया जाता है ... जहां एलिप्सिस (तीन डॉट्स) इंगित करता है कि अभी भी अधिक अंक आने वाले हैं। यह इस तथ्य पर संकेत देता है कि हम केवल कुछ ही, कई प्रतीकों के साथ वास्तविक संख्याओं का चयन कर सकते हैं।

अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक संख्याओं में एक आदेशित क्षेत्र होने के दो बुनियादी गुण होते हैं, और कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति होती है। पहला कहता है कि वास्तविक संख्या में एक क्षेत्र शामिल है, जिसमें अतिरिक्त और गुणन के साथ-साथ गैर-शून्य संख्याओं द्वारा विभाजन भी होता है, जिसे पूरी तरह से एक नंबर लाइन पर एक तरह से ऑर्डर किया जा सकता है जो जोड़ और गुणन के साथ संगत है। दूसरा कहता है कि, अगर वास्तविक संख्याओं का एक गैर-खाली सेट एक ऊपरी सीमा है, तो इसमें एक वास्तविक कम से कम ऊपरी सीमा है। दूसरी स्थिति अपरिमेय संख्याओं से वास्तविक संख्याओं को अलग करती है: उदाहरण के लिए, अपरिमेय संख्याओं का सेट जिसका वर्ग 2 से कम है, एक ऊपरी बाउंड (जैसे 1.5) के साथ एक सेट है, लेकिन कोई (अपरिमेय) कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है: इसलिए अपरिमेय संख्याएँ कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति को संतुष्ट न करें।

पूर्णता

Main article: Completeness of the real numbers

वास्तविक संख्याओं का उपयोग करने का एक मुख्य कारण यह है कि कई अनुक्रमों में सीमाएं होती हैं।अधिक औपचारिक रूप से, रियल पूर्ण हैं (मीट्रिक रिक्त स्थान या समान स्थानों के अर्थ में, जो पिछले अनुभाग में ऑर्डर की डेडेकिंड पूर्णता की तुलना में एक अलग अर्थ है):

एक अनुक्रम (एक्स)_n) वास्तविक संख्याओं को किसी के लिए एक cauchy अनुक्रम कहा जाता है ε > 0 एक पूर्णांक n मौजूद है (संभवतः ε पर निर्भर करता है) जैसे कि दूरी {{nowrap||x_n − x_m|}\_n अंततः आओ और एक दूसरे के करीब मनमाने ढंग से बने रहें।

एक अनुक्रम (एक्स)_n) सीमा X में परिवर्तित हो जाता है यदि इसके तत्व अंततः आते हैं और मनमाने ढंग से x के करीब रहते हैं, यानी, तो किसी के लिए ε > 0 एक पूर्णांक n मौजूद है (संभवतः ε पर निर्भर करता है) जैसे कि दूरी |x_n − x| n से अधिक n से कम है।

प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम एक cauchy अनुक्रम है, और वास्तविक संख्याओं के लिए आक्षेप सच है, और इसका मतलब है कि वास्तविक संख्याओं का सामयिक स्थान पूरा हो गया है।

तर्कसंगत संख्याओं का सेट पूरा नहीं हुआ है।उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1; 1.4; 1.41; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...), जहां प्रत्येक शब्द 2 के सकारात्मक वर्गमूल के दशमलव विस्तार के एक अंक को जोड़ता है, कोच है, लेकिन यह एक में परिवर्तित नहीं होता हैतर्कसंगत संख्या (वास्तविक संख्या में, इसके विपरीत, यह 2 के सकारात्मक वर्गमूल में परिवर्तित होती है)।

REALS की पूर्णता संपत्ति वह आधार है जिस पर पथरी, और, अधिक आम तौर पर गणितीय विश्लेषण का निर्माण किया जाता है।विशेष रूप से, परीक्षण कि एक अनुक्रम एक कॉची अनुक्रम है, यह साबित करने की अनुमति देता है कि एक अनुक्रम की एक सीमा है, बिना कंप्यूटिंग के, और यहां तक कि इसे जाने बिना भी।

उदाहरण के लिए, घातीय फ़ंक्शन की मानक श्रृंखला

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

हर एक्स के लिए एक वास्तविक संख्या में परिवर्तित हो जाता है, क्योंकि रकम

$\sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}$

पर्याप्त रूप से बड़े को चुनकर मनमाने ढंग से छोटा (स्वतंत्र रूप से एम) बनाया जा सकता है।यह साबित करता है कि अनुक्रम cauchy है, और इस प्रकार अभिसरण करता है, यह दिखाते हुए $e^{x}$ हर एक्स के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।

पूरा आदेशित फ़ील्ड

वास्तविक संख्याओं को अक्सर पूर्ण आदेशित क्षेत्र के रूप में वर्णित किया जाता है, एक वाक्यांश जिसे कई तरीकों से व्याख्या किया जा सकता है।

सबसे पहले, एक आदेश जाली-पूर्ण हो सकता है।यह देखना आसान है कि कोई भी आदेशित फ़ील्ड जाली-पूर्ण नहीं हो सकता है, क्योंकि इसका कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं हो सकता है (किसी भी तत्व को देखते हुए, z, z + 1 बड़ा है)।

इसके अतिरिक्त, एक आदेश dedekind- पूर्ण हो सकता है, देखें § Axiomatic approach।उस खंड के अंत में विशिष्टता परिणाम वाक्यांश पूर्ण आदेशित क्षेत्र में शब्द का उपयोग करके सही ठहराता है जब यह पूर्णता का अर्थ है।पूर्णता की यह भावना सबसे अधिक निकटता से डेडेकिंड कट्स से वास्तविक के निर्माण से संबंधित है, क्योंकि यह निर्माण एक आदेशित क्षेत्र (अपरिमेय) से शुरू होता है और फिर एक मानक तरीके से इसके डेडेकिंड-पूर्णता का निर्माण करता है।

पूर्णता की ये दो धारणाएं क्षेत्र संरचना को अनदेखा करती हैं।हालांकि, एक आदेशित समूह (इस मामले में, क्षेत्र का एडिटिव समूह) एक समान संरचना को परिभाषित करता है, और एक समान संरचनाओं में पूर्णता की धारणा है;। पूर्णता में विवरण एक विशेष मामला है।(हम मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए संबंधित और बेहतर ज्ञात धारणा के बजाय समान स्थानों में पूर्णता की धारणा का उल्लेख करते हैं, क्योंकि मीट्रिक अंतरिक्ष की परिभाषा पहले से ही वास्तविक संख्याओं के लक्षण वर्णन पर निर्भर करती है।) यह सच नहीं है $\mathbb {R}$ केवल समान रूप से पूर्ण आदेशित क्षेत्र है, लेकिन यह केवल समान रूप से पूर्ण आर्किमेडियन क्षेत्र है, और वास्तव में एक अक्सर पूर्ण आदेशित क्षेत्र के बजाय वाक्यांश पूर्ण आर्किमेडियन क्षेत्र को सुनता है।हर समान रूप से पूर्ण आर्किमेडियन क्षेत्र को भी डेडेकेन्ड-पूर्ण (और इसके विपरीत) होना चाहिए, जो कि पूर्ण आर्किमेडियन क्षेत्र वाक्यांश का उपयोग करके उचित है।पूर्णता की यह भावना सबसे अधिक निकटता से कॉची अनुक्रम (इस लेख में पूर्ण रूप से किया गया निर्माण) से वास्तविक के निर्माण से संबंधित है, क्योंकि यह एक आर्किमेडियन क्षेत्र (तर्कसंगत) के साथ शुरू होता है और एक मानक में इसकी वर्दी पूर्णता बनाता हैमार्ग।

लेकिन वाक्यांश पूर्ण आर्किमेडियन क्षेत्र का मूल उपयोग डेविड हिल्बर्ट द्वारा किया गया था, जिसका मतलब अभी भी इसके द्वारा कुछ और था।उनका मतलब था कि वास्तविक संख्या इस अर्थ में सबसे बड़ा आर्किमेडियन क्षेत्र बनाती है कि हर दूसरे आर्किमेडियन क्षेत्र का एक उप -क्षेत्र है $\mathbb {R}$।इस प्रकार $\mathbb {R}$ इस अर्थ में पूरा है कि आगे कुछ भी नहीं जोड़ा जा सकता है, इसे अब एक आर्किमेडियन क्षेत्र नहीं बनाया जा सकता है।पूर्णता की यह भावना सबसे अधिक निकटता से वास्तविक संख्याओं से वास्तविक के निर्माण से संबंधित है, क्योंकि यह निर्माण एक उचित वर्ग के साथ शुरू होता है जिसमें हर ऑर्डर किए गए फ़ील्ड (सिरल) होते हैं और फिर इससे सबसे बड़ा आर्किमेडियन सबफील्ड का चयन होता है।

उन्नत गुण

See also: Real line

वास्तविक बेशुमार हैं;यही है, प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में कड़ाई से अधिक वास्तविक संख्याएं हैं, भले ही दोनों सेट अनंत हैं।वास्तव में, रियल की कार्डिनलिटी प्राकृतिक संख्याओं के सबसेट (यानी पावर सेट) के सेट के बराबर होती है, और कैंटर के विकर्ण तर्क में कहा गया है कि बाद का सेट का कार्डिनलिटी कार्डिनलिटी से सख्ती से अधिक है $\mathbb {N}$।चूंकि बीजगणितीय संख्याओं का सेट गिनने योग्य है, इसलिए लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ पारलौकिक हैं।पूर्णांक और रियल के बीच सख्ती से कार्डिनलिटी के साथ रियल के एक सबसेट के गैर-अस्तित्व को निरंतरता परिकल्पना के रूप में जाना जाता है।सातत्य परिकल्पना को न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत किया जा सकता है;यह सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में, वास्तविक संख्याएं अलग -अलग हैं।ऐसा इसलिए है क्योंकि अपरिमेय का सेट, जो कि गिनती योग्य है, वास्तविक संख्या में घना है।वास्तविक संख्या में तर्कहीन संख्या भी घनी होती है, हालांकि वे बेशुमार हैं और रियल के समान कार्डिनलिटी हैं।

वास्तविक संख्या एक मीट्रिक स्थान बनाती है: x और y के बीच की दूरी को निरपेक्ष मान के रूप में परिभाषित किया गया है |x − y|।पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट होने के आधार पर, वे एक ऑर्डर टोपोलॉजी भी ले जाते हैं;मीट्रिक से उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी और ऑर्डर से उत्पन्न होने वाली एक समान है, लेकिन टोपोलॉजी के लिए अलग-अलग प्रस्तुतियाँ-ऑर्डर टोपोलॉजी में ऑर्डर किए गए अंतराल के रूप में, मीट्रिक टोपोलॉजी में एप्सिलॉन-बॉल्स के रूप में।Dedekind Cuts निर्माण आदेश टोपोलॉजी प्रस्तुति का उपयोग करता है, जबकि Cauchy अनुक्रम निर्माण मीट्रिक टोपोलॉजी प्रस्तुति का उपयोग करता है।Reals एक अनुबंध योग्य (इसलिए जुड़ा हुआ है और बस जुड़ा हुआ है), Hausdorff आयाम & nbsp; 1 के अलग -अलग मीट्रिक स्थान।वास्तविक संख्या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हैं लेकिन कॉम्पैक्ट नहीं हैं।विभिन्न गुण हैं जो विशिष्ट रूप से उन्हें निर्दिष्ट करते हैं;उदाहरण के लिए, सभी अनबाउंडेड, कनेक्टेड, और वियोज्य ऑर्डर टॉपोलॉजीज़ आवश्यक रूप से रियल के लिए होमोमोर्फिक हैं।

प्रत्येक गैर -वास्तविक वास्तविक संख्या में एक वर्गमूल होता है $\mathbb {R}$, हालांकि कोई नकारात्मक संख्या नहीं करता है।इससे पता चलता है कि ऑर्डर ऑन $\mathbb {R}$ इसकी बीजीय संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है।इसके अलावा, विषम डिग्री का प्रत्येक बहुपद कम से कम एक वास्तविक जड़ को स्वीकार करता है: ये दो गुण बनाते हैं $\mathbb {R}$ एक वास्तविक बंद क्षेत्र का प्रमुख उदाहरण।यह साबित करना कि बीजगणित के मौलिक प्रमेय के एक प्रमाण का पहला भाग है।

रियल एक विहित उपाय, लेबसग्यू माप ले जाता है, जो कि एक टोपोलॉजिकल समूह के रूप में उनकी संरचना पर HAAR उपाय है, जैसे कि यूनिट अंतराल [0; 1] में माप 1 है। वास्तविक संख्याओं के सेट मौजूद हैं जो कि लेबेसग्यू नहीं हैं, औसत दर्जे का नहीं हैं,उदा।विटाली सेट।

रियल का सुप्रीम स्वयंसिद्ध रियल के सबसेट को संदर्भित करता है और इसलिए एक दूसरे क्रम का तार्किक कथन है।अकेले पहले-क्रम के तर्क के साथ वास्तविकों को चिह्नित करना संभव नहीं है: लोवेनहेम-स्कोलम प्रमेय का अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं के एक गिनती योग्य घने उपसमूह मौजूद हैं जो पहले-क्रम के तर्क में उसी वाक्य को संतुष्ट करते हैं जैसे कि वास्तविक संख्या में स्वयं।हाइपरल नंबरों का सेट उसी पहले ऑर्डर के वाक्यों को संतुष्ट करता है $\mathbb {R}$।उन क्षेत्रों का आदेश दिया जो एक ही प्रथम-क्रम वाक्यों को संतुष्ट करते हैं $\mathbb {R}$ के गैर -मानक मॉडल कहा जाता है $\mathbb {R}$।यह वही है जो गैर -मानक विश्लेषण का काम करता है;कुछ गैर-मानक मॉडल में प्रथम-क्रम के बयान को साबित करके (जो इसे साबित करने से आसान हो सकता है $\mathbb {R}$), हम जानते हैं कि एक ही कथन भी सच होना चाहिए $\mathbb {R}$।

फील्ड $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q}$ तर्कसंगत संख्याओं की, और $\mathbb {R}$ इसलिए एक वेक्टर स्थान के रूप में देखा जा सकता है $\mathbb {Q}$।Zermelo -Fraenkel सेट सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ सिद्धांत इस वेक्टर अंतरिक्ष के आधार के अस्तित्व की गारंटी देता है: वास्तविक संख्याओं का एक सेट B मौजूद है जैसे कि प्रत्येक वास्तविक संख्या को विशिष्ट रूप से इस सेट के तत्वों के एक परिमित रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, उपयोग करते हुए, उपयोग करते हुए, उपयोग किया जा सकता है।केवल तर्कसंगत गुणांक, और जैसे कि बी का कोई भी तत्व दूसरों का एक तर्कसंगत रैखिक संयोजन नहीं है।हालांकि, यह अस्तित्व प्रमेय विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है, क्योंकि इस तरह के आधार को कभी भी स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया गया है।

अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय का अर्थ है कि वास्तविक संख्या को अच्छी तरह से आदेश दिया जा सकता है यदि पसंद के स्वयंसिद्ध को माना जाता है: वहाँ कुल आदेश मौजूद है $\mathbb {R}$ उस संपत्ति के साथ जो हर गैर-खाली सबसेट के साथ $\mathbb {R}$ इस आदेश में कम से कम तत्व है।(वास्तविक संख्याओं का मानक आदेश are एक अच्छी तरह से ऑर्डर करने वाला नहीं है क्योंकि एक खुले अंतराल में इस आदेश में कम से कम तत्व नहीं होता है।) फिर से, इस तरह के एक सुव्यवस्थित का अस्तित्व विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है, क्योंकि यह नहीं किया गया हैस्पष्ट रूप से वर्णित है।यदि v = l को ZF के स्वयंसिद्धों के अलावा ग्रहण किया जाता है, तो वास्तविक संख्याओं के एक अच्छी तरह से आदेश को एक सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से निश्चित रूप से निश्चित दिखाया जा सकता है। एक वास्तविक संख्या या तो कम्प्यूटेशनल या असमान हो सकती है;या तो एल्गोरिदम रूप से यादृच्छिक या नहीं;और या तो एल्गोरिदम रूप से यादृच्छिक अनुक्रम#मार्टिन-लोफ यादृच्छिकता की तुलना में मजबूत | अंकगणित रूप से यादृच्छिक या नहीं।

अन्य क्षेत्रों के लिए आवेदन और कनेक्शन

वास्तविक संख्या और तर्क

वास्तविक संख्याओं को अक्सर सेट सिद्धांत के Zermelo -Fraenkel Axiomatization का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जाता है, लेकिन कुछ गणितज्ञ गणित की अन्य तार्किक नींव के साथ वास्तविक संख्याओं का अध्ययन करते हैं।विशेष रूप से, वास्तविक संख्याओं का अध्ययन रिवर्स गणित और रचनात्मक गणित में भी किया जाता है। एडविन हेविट, अब्राहम रॉबिन्सन और अन्य द्वारा विकसित किए गए हाइपरल नंबरों ने इन्फिनिटिमल और अनंत संख्याओं को पेश करके वास्तविक संख्याओं के सेट का विस्तार किया, जिससे लीबनिज़, यूलर, कॉची और अन्य के मूल अंतर्ज्ञान के करीब एक तरह से अनंत पथरी के निर्माण की अनुमति मिलती है।

एडवर्ड नेल्सन के आंतरिक सेट सिद्धांत ने ज़रमेलो -फ्रेनकेल सेट सिद्धांत को समृद्ध किया, जो एक अनियंत्रित मानक मानक का परिचय देकर वाक्यात्मक रूप से है।इस दृष्टिकोण में, Infinitesimals वास्तविक संख्याओं के सेट के (गैर-मानक) तत्व हैं (इसके बजाय एक विस्तार के तत्व होने के कारण, जैसा कि रॉबिन्सन के सिद्धांत में)।

सातत्य परिकल्पना का मानना है कि वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनलिटी है $\aleph _{1}$;यानी सबसे छोटे अनंत कार्डिनल नंबर के बाद $\aleph _{0}$, पूर्णांक की कार्डिनलिटी।पॉल कोहेन ने 1963 में साबित किया कि यह सेट सिद्धांत के अन्य स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र एक स्वयंसिद्ध है;यह है: कोई या तो निरंतरता परिकल्पना या इसके नकारात्मकता को सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्ध के रूप में, विरोधाभास के बिना चुन सकता है।

भौतिकी में

भौतिक विज्ञानों में, अधिकांश भौतिक स्थिरांक जैसे कि सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, और भौतिक चर, जैसे स्थिति, द्रव्यमान, गति और विद्युत आवेश, वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके मॉडलिंग की जाती है।वास्तव में, शास्त्रीय यांत्रिकी, इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म, क्वांटम यांत्रिकी, सामान्य सापेक्षता और मानक मॉडल जैसे मौलिक भौतिक सिद्धांत गणितीय संरचनाओं का उपयोग करके वर्णित हैं, आमतौर पर चिकनी कई गुना या हिल्बर्ट रिक्त स्थान, जो वास्तविक संख्याओं पर आधारित होते हैं, हालांकि भौतिक मात्रा के वास्तविक मापपरिमित सटीकता और सटीकता के हैं।

भौतिकविदों ने कभी -कभी सुझाव दिया है कि एक अधिक मौलिक सिद्धांत वास्तविक संख्याओं को उन मात्राओं के साथ बदल देगा जो एक निरंतरता नहीं बनाते हैं, लेकिन इस तरह के प्रस्ताव सट्टा बने हुए हैं।

गणना में

कुछ अपवादों के साथ, अधिकांश कैलकुलेटर वास्तविक संख्या पर काम नहीं करते हैं।इसके बजाय, वे फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर नामक परिमित-सटीक सन्निकटन के साथ काम करते हैं।वास्तव में, अधिकांश वैज्ञानिक गणना फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करती है।वास्तविक संख्या अंकगणित के सामान्य नियमों को संतुष्ट करती है, लेकिन फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित#सटीकता समस्याएं | फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर नहीं करते हैं।

कंप्यूटर सीधे असीम रूप से कई अंकों के साथ मनमानी वास्तविक संख्याओं को संग्रहीत नहीं कर सकते हैं।प्राप्त करने योग्य परिशुद्धता एक संख्या को संग्रहीत करने के लिए आवंटित बिट्स की संख्या से सीमित है, चाहे फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर या मनमानी-सटीक अंकगणित के रूप में।हालांकि, कंप्यूटर बीजगणित सिस्टम उनके लिए सूत्रों में हेरफेर करके वास्तव में तर्कहीन मात्रा पर काम कर सकते हैं (जैसे ${\sqrt {2}},$ $\arcsin(2/23),$ या $\textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx$) उनके तर्कसंगत या दशमलव सन्निकटन के बजाय। यह निर्धारित करना सामान्य रूप से संभव नहीं है कि क्या दो ऐसे भाव समान हैं (निरंतर समस्या)।

एक वास्तविक संख्या को कम्प्यूटेबल कहा जाता है यदि वहाँ एक एल्गोरिथ्म मौजूद है जो इसके अंकों को पैदा करता है।क्योंकि केवल कई एल्गोरिदम हैं, लेकिन एक बेशुमार संख्या वास्तविक, लगभग सभी वास्तविक संख्या कम्प्यूटेबल होने में विफल होती है।इसके अलावा, दो कम्प्यूटेबल नंबरों की समानता एक अवांछनीय समस्या है।कुछ रचनाकार केवल उन वास्तविकों के अस्तित्व को स्वीकार करते हैं जो कम्प्यूटेबल हैं।निश्चित संख्याओं का सेट व्यापक है, लेकिन अभी भी केवल गिनती योग्य है।

सेट सिद्धांत में वास्तविक

सेट सिद्धांत में, विशेष रूप से वर्णनात्मक सेट सिद्धांत, Baire अंतरिक्ष का उपयोग वास्तविक संख्याओं के लिए एक सरोगेट के रूप में किया जाता है क्योंकि बाद वाले में कुछ टोपोलॉजिकल गुण (कनेक्टिविटी) होते हैं जो एक तकनीकी असुविधा हैं।Baire अंतरिक्ष के तत्वों को वास्तविक कहा जाता है।

शब्दावली और संकेतन

गणितज्ञ सभी वास्तविक संख्याओं के सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए मुख्य रूप से प्रतीक आर का उपयोग करते हैं।वैकल्पिक रूप से, इसका उपयोग किया जा सकता है $\mathbb {R}$, ब्लैकबोर्ड बोल्ड में अक्षर आर, जिसे यूनिकोड (और HTML) में एन्कोड किया जा सकता है U+211D ℝ (&reals;, &Ropf;)।चूंकि यह सेट स्वाभाविक रूप से एक क्षेत्र की संरचना के साथ संपन्न होता है, इसलिए वास्तविक संख्याओं के अभिव्यक्ति क्षेत्र का उपयोग अक्सर किया जाता है जब इसके बीजगणितीय गुण विचाराधीन होते हैं।

सकारात्मक वास्तविक संख्या और नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सेट अक्सर नोट किए जाते हैं $\mathbb {R} ^{+}$ तथा $\mathbb {R} ^{-}$, क्रमश; $\mathbb {R} _{+}$ तथा $\mathbb {R} _{-}$ उपयोग भी किया जाता है। गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर ध्यान दिया जा सकता है $\mathbb {R} _{\geq 0}$ लेकिन एक अक्सर इस सेट को नोट किया जाता है $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.$फ्रांसीसी गणित में, सकारात्मक वास्तविक संख्या और नकारात्मक वास्तविक संख्या में आमतौर पर शून्य शामिल है, और ये सेट क्रमशः नोट किए गए हैं $\mathbb {R_{+}}$ तथा $\mathbb {R_{-}} .$इस समझ में, शून्य के बिना संबंधित सेटों को कड़ाई से सकारात्मक वास्तविक संख्या और सख्ती से नकारात्मक वास्तविक संख्या कहा जाता है, और नोट किया जाता है $\mathbb {R} _{+}^{*}$ तथा $\mathbb {R} _{-}^{*}.$

अंकन $\mathbb {R} ^{n}$ के सेट को संदर्भित करता हैnके तत्वों के -tuples $\mathbb {R}$ (वास्तविक समन्वय स्थान), जिसे कार्टेशियन उत्पाद के लिए पहचाना जा सकता है n की प्रतियां $\mathbb {R} .$ यह एक nवास्तविक संख्या के क्षेत्र पर -साथ वेक्टर वेक्टर स्थान, जिसे अक्सर आयाम का समन्वय स्थान कहा जाता है n;इस स्थान की पहचान की जा सकती है n-सिनेशनल यूक्लिडियन स्पेस जैसे ही एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को बाद में चुना गया है।इस पहचान में, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक बिंदु को इसके कार्टेशियन निर्देशांक के टपल के साथ पहचाना जाता है।

गणित में, वास्तविक का उपयोग एक विशेषण के रूप में किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अंतर्निहित क्षेत्र वास्तविक संख्याओं (या वास्तविक क्षेत्र) का क्षेत्र है।उदाहरण के लिए, वास्तविक मैट्रिक्स, वास्तविक बहुपद और वास्तविक झूठ बीजगणित।इस शब्द का उपयोग संज्ञा के रूप में भी किया जाता है, जिसका अर्थ है एक वास्तविक संख्या (जैसा कि सभी वास्तविकों के सेट में)।

सामान्यीकरण और एक्सटेंशन

वास्तविक संख्याओं को सामान्यीकृत और कई अलग -अलग दिशाओं में बढ़ाया जा सकता है:

• जटिल संख्याओं में सभी बहुपद समीकरणों के समाधान होते हैं और इसलिए वास्तविक संख्याओं के विपरीत एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं।हालांकि, जटिल संख्या एक आदेशित क्षेत्र नहीं हैं।
• पीड़ित रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली दो तत्वों को जोड़ती है +∞ तथा −∞।यह एक कॉम्पैक्ट स्थान है।यह अब एक क्षेत्र नहीं है, या यहां तक कि एक योजक समूह भी है, लेकिन इसमें अभी भी कुल आदेश है;इसके अलावा, यह एक पूर्ण जाली है।
• वास्तविक प्रोजेक्टिव लाइन केवल एक मान जोड़ती है ∞।यह एक कॉम्पैक्ट स्थान भी है।फिर, यह अब एक क्षेत्र नहीं है, या यहां तक कि एक एडिटिव समूह भी है।हालांकि, यह शून्य द्वारा एक गैर-शून्य तत्व के विभाजन की अनुमति देता है।इसमें एक जुदाई संबंध द्वारा वर्णित चक्रीय क्रम है।
• लंबी वास्तविक रेखा एक साथ पेस्ट करती है ℵ₁* + ℵ₁ वास्तविक लाइन के साथ -साथ एक बिंदु (यहाँ) की प्रतियां ℵ₁* के उलट आदेश को दर्शाता है ℵ₁) एक आदेशित सेट बनाने के लिए जो स्थानीय रूप से वास्तविक संख्याओं के समान है, लेकिन किसी तरह लंबे समय तक;उदाहरण के लिए, एक आदेश-संरक्षण एम्बेडिंग है ℵ₁ लंबी वास्तविक रेखा में लेकिन वास्तविक संख्या में नहीं।लंबी वास्तविक रेखा सबसे बड़ी क्रमबद्ध सेट है जो पूर्ण और स्थानीय रूप से आर्किमेडियन है।पिछले दो उदाहरणों के साथ, यह सेट अब एक फ़ील्ड या एडिटिव समूह नहीं है।
• रियल को बढ़ाने वाले ऑर्डर किए गए फ़ील्ड हाइपरियल नंबर और असली नंबर हैं;दोनों में infinitesimal और असीम रूप से बड़ी संख्या में शामिल हैं और इसलिए गैर-आर्किमेडियन ऑर्डर किए गए क्षेत्र हैं।
• एक हिल्बर्ट स्पेस (उदाहरण के लिए, सेल्फ-एडजॉइंट स्क्वायर कॉम्प्लेक्स मैट्रिसेस) पर सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर कई मामलों में रियल को सामान्य करते हैं: उन्हें ऑर्डर किया जा सकता है (हालांकि पूरी तरह से ऑर्डर नहीं किया गया है), वे पूर्ण हैं, उनके सभी ईजेनवेल्स वास्तविक हैं और वे फार्म हैं।एक वास्तविक साहचर्य बीजगणित।पॉजिटिव-डिफिनाइट ऑपरेटर पॉजिटिव रियल के अनुरूप हैं और सामान्य ऑपरेटर जटिल संख्याओं के अनुरूप हैं।

यह भी देखें

• वास्तविक संख्याओं की पूर्णता
• निरंतर अंश
• निश्चित वास्तविक संख्याएँ
• सकारात्मक वास्तविक संख्या
• वास्तविक विश्लेषण

Number systems Complex $:\;\mathbb {C}$ Real $:\;\mathbb {R}$ Rational $:\;\mathbb {Q}$ Integer $:\;\mathbb {Z}$ Natural $:\;\mathbb {N}$ Zero: 0 One: 1 Prime numbers Composite numbers Negative integers Fraction Finite decimal Dyadic (finite binary) Repeating decimal Irrational Algebraic irrational Transcendental Imaginary

संदर्भ

सूत्रों का कहना है

• Cantor, Georg (1874). "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, volume 77, pp. 258–62.
• Feferman, Solomon (1989). The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-2915-7.
• Katz, Robert (1964). Axiomatic Analysis, D.C. Heath and Company.
• Landau, Edmund (2001). Foundations of Analysis. American Mathematical Society,ISBN 0-8218-2693-X.
• Howie, John M. Real Analysis. Springer, 2005, ISBN 1-85233-314-6.
• Schumacher, Carol (1996), ChapterZero / Fundamental Notions of Abstract Mathematics BV, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1.

बाहरी संबंध

• "Real number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

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