आंशिक अवकल समीकरण

ऊर्ध्वाधर दिशा और रंग द्वारा दर्शाए गए तापमान के साथ द्वि-आयामी ताप समीकरण के समाधान का एक दृश्य।

गणित में, एक आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक समीकरण है जो एक बहुविकल्पीय फलन के विभिन्न आंशिक डेरिवेटिव (व्युत्पन्न) के बीच संबंध स्थापित करता है।

फ़ंक्शन को अक्सर एक "अज्ञात" के रूप में माना जाता है जिसे हल किया जाना है, इसी तरह x को बीजगणितीय समीकरण जैसे x² − 3x + 2 = 0 में हल करने के लिए एक अज्ञात संख्या के रूप में कैसे सोचा जाता है। हालांकि, यह आमतौर पर असंभव है आंशिक अवकल समीकरणों के हल के लिए स्पष्ट सूत्र लिखने के लिए। तदनुसार, कंप्यूटर का उपयोग करके कुछ आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक रूप से अनुमानित समाधानों के तरीकों पर आधुनिक गणितीय और वैज्ञानिक अनुसंधान की एक बड़ी मात्रा है। आंशिक अवकल समीकरण भी शुद्ध गणितीय अनुसंधान के एक बड़े क्षेत्र पर कब्जा कर लेते हैं, जिसमें सामान्य प्रश्न, मोटे तौर पर बोलते हैं, विभिन्न आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान की सामान्य गुणात्मक विशेषताओं की पहचान पर, जैसे कि अस्तित्व, विशिष्टता, नियमितता और स्थिरता। कई खुले प्रश्नों में नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान की मौजूदगी और सुगमता है, जिसे 2000 में मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक के रूप में नामित किया गया था।

भौतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी जैसे गणितीय रूप से उन्मुख वैज्ञानिक क्षेत्रों में आंशिक अंतर समीकरण सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, वे ध्वनि, ऊष्मा, प्रसार, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स, इलेक्ट्रोडायनामिक्स, ऊष्मप्रवैगिकी, द्रव गतिकी, लोच, सामान्य सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी (श्रोडिंगर समीकरण, पाउली समीकरण, आदि) की आधुनिक वैज्ञानिक समझ में मूलभूत हैं। वे कई शुद्ध गणितीय विचारों से भी उत्पन्न होते हैं, जैसे अंतर ज्यामिति और विविधताओं की कलन; अन्य उल्लेखनीय अनुप्रयोगों में, वे ज्यामितीय टोपोलॉजी से पॉइंकेयर अनुमान के प्रमाण में मूलभूत उपकरण हैं।

आंशिक रूप से इस प्रकार के स्रोतों के कारण, विभिन्न प्रकार के आंशिक अंतर समीकरणों का एक विस्तृत स्पेक्ट्रम है, और उत्पन्न होने वाले कई अलग-अलग समीकरणों से निपटने के लिए विधियों का विकास किया गया है। जैसे, यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि आंशिक अवकल समीकरणों का कोई "सामान्य सिद्धांत" नहीं है, जिसमें विशेषज्ञ ज्ञान कुछ हद तक अनिवार्य रूप से अलग-अलग उपक्षेत्रों के बीच विभाजित होता है।

साधारण अवकल समीकरण आंशिक अवकल समीकरणों का एक उपवर्ग बनाते हैं, जो एकल चर के फलनों के अनुरूप होते हैं। स्टोचैस्टिक आंशिक अंतर समीकरण और गैर-स्थानीय समीकरण, 2020 तक, "पीडीई" धारणा के विशेष रूप से व्यापक रूप से अध्ययन किए गए विस्तार हैं। अधिक शास्त्रीय विषय, जिन पर अभी भी बहुत सक्रिय शोध है, में दीर्घवृत्तक और परावर्तक आंशिक अवकल समीकरण, द्रव यांत्रिकी, बोल्ट्जमैन समीकरण और फैलाने वाले आंशिक अंतर समीकरण शामिल हैं।

परिचय

एक का कहना है कि तीन चर का एक फ़ंक्शन u(x, y, z) "हार्मोनिक" या "लाप्लास समीकरण का समाधान" है यदि यह स्थिति को संतुष्ट करता है।

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$$

चिरसम्मत यांत्रिकी के लिए उनकी प्रासंगिकता के कारण उन्नीसवीं शताब्दी में इस तरह के कार्यों का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया था, उदाहरण के लिए, एक सजातीय ठोस का संतुलन तापमान वितरण एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है। यदि स्पष्ट रूप से एक फ़ंक्शन दिया गया है, तो यह आमतौर पर यह जांचने के लिए सीधी गणना का विषय है कि यह हार्मोनिक है या नहीं। उदाहरण के लिए:

$$u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}$$

और

$$u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}$$

जबकि दोनों हार्मोनिक हैं

$$u(x,y,z)=\sin(xy)+z$$

यह आश्चर्यजनक हो सकता है कि हार्मोनिक कार्यों के दिए गए दो उदाहरण एक दूसरे से आश्चर्यजनक रूप से भिन्न रूप हैं। यह इस तथ्य का प्रतिबिंब है कि वे किसी भी तरह से लाप्लास समीकरण के "सामान्य समाधान सूत्र" के विशेष मामले नहीं हैं। यह साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) के मामले के विपरीत है, जो मोटे तौर पर लाप्लास समीकरण के समान है, जिसमें कई परिचयात्मक पाठ्यपुस्तकों का उद्देश्य सामान्य समाधान सूत्रों के लिए एल्गोरिदम खोजना है। लाप्लास समीकरण के लिए, बड़ी संख्या में आंशिक अवकल समीकरणों की तरह, ऐसे समाधान सूत्र मौजूद नहीं होते हैं।

निम्नलिखित पीडीई के मामले में इस विफलता की प्रकृति को और अधिक स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है: दो चरों के फ़ंक्शन v(x, y) के लिए, समीकरण पर विचार करें।

$${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.$$

इसे प्रत्यक्ष रूप से जांचा जा सकता है कि किसी एकल-चर फलन f और g के लिए v(x, y) = f(x) + g(y) रूप का कोई भी फलन v, इस शर्त को पूरा करेगा। यह ओडीई समाधान फ़ार्मुलों में उपलब्ध विकल्पों से कहीं अधिक है, जो आम तौर पर कुछ संख्याओं के मुक्त चयन की अनुमति देता है। पीडीई के अध्ययन में, आम तौर पर कार्यों का मुफ्त विकल्प होता है।

इस पसंद की प्रकृति पीडीई से पीडीई में भिन्न होती है। किसी दिए गए समीकरण को समझने के लिए, अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय आमतौर पर महत्वपूर्ण संगठनात्मक सिद्धांत होते हैं। कई परिचयात्मक पाठ्यपुस्तकों में, मुक्त एवं दूरस्थ शिक्षा के लिए अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेयों की भूमिका कुछ हद तक अपारदर्शी हो सकती है; अस्तित्व आधा आमतौर पर अनावश्यक होता है क्योंकि कोई भी प्रस्तावित समाधान सूत्र की सीधे जांच कर सकता है, जबकि विशिष्टता आधा अक्सर पृष्ठभूमि में मौजूद होती है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि प्रस्तावित समाधान सूत्र जितना संभव हो उतना सामान्य है। इसके विपरीत, पीडीई के लिए, अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय अक्सर एकमात्र साधन होते हैं जिसके द्वारा कोई भी विभिन्न समाधानों के ढेरों के माध्यम से नेविगेट कर सकता है। इस कारण से, विशुद्ध रूप से संख्यात्मक अनुकरण करते समय वे मौलिक भी होते हैं, क्योंकि किसी को यह समझ होनी चाहिए कि उपयोगकर्ता द्वारा कौन सा डेटा निर्धारित किया जाना है और गणना करने के लिए कंप्यूटर पर क्या छोड़ा जाना है।

इस तरह के अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेयों पर चर्चा करने के लिए, "अज्ञात फ़ंक्शन" के डोमेन के बारे में सटीक होना आवश्यक है। अन्यथा, केवल "दो चरों का एक कार्य" जैसे शब्दों में बोलना, परिणामों को अर्थपूर्ण रूप से तैयार करना असंभव है। अर्थात्, अज्ञात फलन के क्षेत्र को स्वयं पीडीई की संरचना के भाग के रूप में माना जाना चाहिए।

निम्नलिखित ऐसे अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय के दो उत्कृष्ट उदाहरण प्रदान करता है। भले ही प्रश्न में दो पीडीई समान हैं, व्यवहार में एक महत्वपूर्ण अंतर है: पहले पीडीई के लिए, एक के पास एक ही फ़ंक्शन का मुफ्त नुस्खा है, जबकि दूसरे पीडीई के लिए, दो कार्यों का मुफ्त निर्धारण है।

• बता दें कि B समतल में मूल बिंदु के चारों ओर इकाई-त्रिज्या डिस्क को दर्शाता है। यूनिट सर्कल पर किसी भी निरंतर फ़ंक्शन U के लिए, B पर ठीक एक फ़ंक्शन u होता है जैसे कि
  $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$$
  और यूनिट सर्कल के लिए किसका प्रतिबंध U द्वारा दिया गया है।
• वास्तविक रेखा R पर किसी भी फ़ंक्शन f और g के लिए, R × (−1, 1) पर बिल्कुल एक फ़ंक्शन u होता है जैसे कि
  $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$$
  और u(x, 0) = f(x) और ∂u/∂y(x, 0) = g(x) के साथ x के सभी मानों के लिए।

इससे भी अधिक घटनाएं संभव हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित पीडीई, अंतर ज्यामिति के क्षेत्र में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है, एक उदाहरण दिखाता है जहां एक सरल और पूरी तरह से स्पष्ट समाधान सूत्र है, लेकिन केवल तीन संख्याओं के स्वतंत्र विकल्प के साथ और एक भी फ़ंक्शन नहीं है।

• यदि u R² पर एक फ़ंक्शन है
  $${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}=0,$$
  फिर संख्याएँ हैं a, b, और c साथ u(x, y) = ax + by + c.

पहले के उदाहरणों के विपरीत, यह पीडीई वर्गमूलों और वर्गों के कारण अरैखिक है। एक रैखिक पीडीई एक ऐसा है कि, यदि यह सजातीय है, तो किन्हीं भी दो समाधानों का योग भी एक समाधान है, और किसी भी समाधान का कोई भी स्थिर गुणक भी एक समाधान है।

वेल-पोसेड्नेस

अच्छी स्थिति एक पीडीई के बारे में सूचना के एक सामान्य योजनाबद्ध पैकेज को संदर्भित करती है। यह कहने के लिए कि एक पीडीई अच्छी स्थिति में है, एक व्यक्ति में होना चाहिए:

• एक अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय, यह दावा करते हुए कि कुछ स्वतंत्र रूप से चुने गए कार्यों के नुस्खे से, पीडीई के एक विशिष्ट समाधान को अलग किया जा सकता है
• नि: शुल्क विकल्पों को लगातार बदलते रहने से, व्यक्ति लगातार इसी समाधान को बदलता रहता है

यह, कई अलग-अलग पीडीई पर लागू होने की आवश्यकता के कारण, कुछ हद तक अस्पष्ट है। विशेष रूप से "निरंतरता" की आवश्यकता अस्पष्ट है क्योंकि आम तौर पर कई असमान साधन होते हैं जिनके द्वारा इसे कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है। हालांकि, पीडीई का अध्ययन करना असामान्य है, बिना यह निर्दिष्ट किए कि यह अच्छी तरह से प्रस्तुत किया गया है।

ऊर्जा पद्धति

ऊर्जा विधि एक गणितीय प्रक्रिया है जिसका उपयोग प्रारंभिक-सीमा-मूल्य-समस्याओं की अच्छी स्थिति को सत्यापित करने के लिए किया जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण में ऊर्जा पद्धति का उपयोग यह तय करने के लिए किया जाता है कि कहां और कौन सी सीमा शर्तों को लगाया जाना चाहिए ताकि परिणामी आईबीवीपी अच्छी तरह से तैयार हो। द्वारा दिए गए एक आयामी अतिपरवलयिक पीडीई पर विचार करें।

$${\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,$$

जहां $\alpha \neq 0$ एक स्थिरांक है और $u(x,t)$ प्रारंभिक स्थिति $u(x,0)=f(x)$ के साथ एक अज्ञात फलन है। $u$ से गुणा करने और डोमेन पर एकीकृत करने से मिलता है।

$$\int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x=0.$$

उसका उपयोग करना

$$\int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},$$

जहां दूसरे संबंध के लिए भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग किया गया है, हम प्राप्त करते हैं:

$${\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.$$

यहाँ $\|\cdot \|$ मानक $L^{2}$ मानक को दर्शाता है। अच्छी स्थिति के लिए हमें आवश्यकता है कि समाधान की ऊर्जा गैर-बढ़ती है, यानी कि ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$, जो $u$ को $x=a$ यदि $\alpha >0$ और $x=b$ पर यदि $\alpha <0$ निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है। यह अंतर्वाह पर केवल थोपने वाली सीमा स्थितियों से संबंधित है। ध्यान दें कि सुव्यवस्थितता डेटा (प्रारंभिक और सीमा) के संदर्भ में वृद्धि की अनुमति देती है और इस प्रकार यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$ धारण करता है जब सभी डेटा शून्य पर समुच्चय होते हैं।

स्थानीय समाधानों का अस्तित्व

कॉची प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के लिए कॉची-कोवाल्स्की प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि यदि आंशिक अंतर समीकरण में सभी शब्द विश्लेषणात्मक कार्यों से बने होते हैं और एक निश्चित ट्रांसवर्सलिटी की स्थिति संतुष्ट होती है (हाइपरप्लेन या अधिक आम तौर पर हाइपरसफेस जहां प्रारंभिक डेटा सामने आता है) आंशिक अंतर ऑपरेटर के संबंध में गैर-विशेषता), तो कुछ क्षेत्रों पर, आवश्यक रूप से समाधान मौजूद होते हैं जो विश्लेषणात्मक कार्य भी होते हैं। यह विश्लेषणात्मक आंशिक अवकल समीकरणों के अध्ययन का एक मूलभूत परिणाम है। हैरानी की बात है, प्रमेय सुचारू कार्यों की समायोजन में नहीं है; 1957 में हैंस लेवी द्वारा खोजे गए एक उदाहरण में एक रेखीय आंशिक अंतर समीकरण शामिल है, जिसके गुणांक चिकने हैं (अर्थात, सभी आदेशों के व्युत्पन्न हैं) लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं हैं जिसके लिए कोई समाधान मौजूद नहीं है। अतः कौशी-कोवालेव्स्की प्रमेय अनिवार्य रूप से विश्लेषणात्मक कार्यों के दायरे में सीमित है।

वर्गीकरण

अंकन

पीडीई लिखते समय, आंशिक डेरिवेटिव को सबस्क्रिप्ट का उपयोग करके निरूपित करना आम है। उदाहरण के लिए:

$$u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).$$

सामान्य स्थिति में कि u का एक कार्य है n चर, फिर u_i के सापेक्ष पहले आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है i-वें इनपुट, u_ij के सापेक्ष दूसरे आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है i-वें और j-वें इनपुट, और इसी तरह।

ग्रीक अक्षर Δ लाप्लास ऑपरेटर को दर्शाता है; यदि u का एक कार्य है n चर, फिर

$$\Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.$$

भौतिकी साहित्य में, लाप्लास संकारक को प्राय: निरूपित किया जाता है ∇²; गणित साहित्य में, ∇²u के हेसियन मैट्रिक्स को भी निरूपित कर सकता है u.

पहले क्रम के समीकरण

Main article: First-order partial differential equation

रेखीय और अरेखीय समीकरण

रैखिक समीकरण

एक PDE को रैखिक कहा जाता है यदि यह अज्ञात और इसके डेरिवेटिव में रैखिक हो। उदाहरण के लिए, एक समारोह के लिए u का x और y, एक द्वितीय कोटि रैखिक PDE रूप का है

$$a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)$$

कहां a_i और f केवल स्वतंत्र चरों के कार्य हैं। (अक्सर मिश्रित-आंशिक डेरिवेटिव u_xy और u_yx समान होगा, लेकिन रैखिकता की चर्चा के लिए इसकी आवश्यकता नहीं है।) अगर a_i स्थिरांक हैं (से स्वतंत्र x और y) तब PDE को अचर गुणांकों वाला रैखिक कहा जाता है। यदि f हर जगह शून्य है तो रैखिक पीडीई सजातीय है, अन्यथा यह विषम है। (यह स्पर्शोन्मुख समरूपता से अलग है, जो पीडीई के समाधान पर गुणांक में उच्च आवृत्ति दोलनों के प्रभावों का अध्ययन करता है।)

अरैखिक समीकरण

तीन मुख्य प्रकार के गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरण सेमीलीनियर पीडीई, क्वैसिलिनियर पीडीई और पूरी तरह से नॉनलाइनियर पीडीई हैं।

रेखीय पीडीई के निकटतम सेमिलिनियर पीडीई हैं, जहां केवल उच्चतम क्रम के डेरिवेटिव रैखिक शब्दों के रूप में दिखाई देते हैं, गुणांक के साथ जो स्वतंत्र चर के कार्य हैं। निचले क्रम के डेरिवेटिव और अज्ञात फ़ंक्शन मनमाने ढंग से प्रकट हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो चरों में एक सामान्य द्वितीय कोटि अर्धरैखिक PDE है

$$a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$$

क्वासिलिनियर पीडीई में उच्चतम ऑर्डर डेरिवेटिव इसी प्रकार केवल रैखिक शर्तों के रूप में दिखाई देते हैं, लेकिन गुणांक के साथ संभवतः अज्ञात और निम्न-क्रम डेरिवेटिव के कार्य होते हैं:

$$a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$$

भौतिकी में कई मौलिक पीडीई क्वैसिलिनियर हैं, जैसे सामान्य सापेक्षता के आइंस्टीन समीकरण और तरल गति का वर्णन करने वाले नेवियर-स्टोक्स समीकरण।

किसी रैखिकता गुण के बिना पीडीई को पूरी तरह से गैर-रैखिक कहा जाता है, और एक या अधिक उच्चतम क्रम के डेरिवेटिव पर गैर-रैखिकता रखता है। एक उदाहरण Monge-Ampère समीकरण है, जो अवकल ज्यामिति में उत्पन्न होता है।

दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण

अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण, परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण, और अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण क्रम दो के आंशिक अंतर समीकरणों का बीसवीं शताब्दी की शुरुआत से व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। हालाँकि, कई अन्य महत्वपूर्ण प्रकार के PDE हैं, जिनमें Korteweg-de Vries समीकरण शामिल है। यूलर-ट्रिकोमी समीकरण जैसे संकर भी हैं, जो डोमेन के विभिन्न क्षेत्रों के लिए अण्डाकार से अतिपरवलयिक तक भिन्न होते हैं। उच्च-क्रम पीडीई के लिए इन मूल प्रकारों के महत्वपूर्ण विस्तार भी हैं, लेकिन ऐसा ज्ञान अधिक विशिष्ट है।

दीर्घवृत्तीय/परवलयिक/अतिशयोक्तिपूर्ण वर्गीकरण उचित प्रारंभिक और सीमा मूल्य समस्या और समाधानों की सहजता के लिए एक गाइड प्रदान करता है। यह मानते हुए u_xy = u_yx, दो स्वतंत्र चरों में सामान्य रेखीय द्वितीय-क्रम PDE का रूप है

$$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,$$

जहां गुणांक A, B, C... पर निर्भर हो सकता है x और y. यदि A² + B² + C² > 0 के एक क्षेत्र पर xy-प्लेन, पीडीई उस क्षेत्र में दूसरे क्रम का है। यह प्रपत्र शंकु खंड के समीकरण के अनुरूप है:

$$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.$$

अधिक सटीक, प्रतिस्थापित करना ∂_x द्वारा X, और इसी तरह अन्य चर के लिए (औपचारिक रूप से यह एक फूरियर रूपांतरण द्वारा किया जाता है), एक स्थिर-गुणांक PDE को उसी डिग्री के बहुपद में परिवर्तित करता है, जिसमें उच्चतम डिग्री (एक सजातीय बहुपद , यहां एक द्विघात रूप ) की शर्तें सबसे अधिक होती हैं। वर्गीकरण के लिए महत्वपूर्ण।

जिस तरह कोई विवेचक के आधार पर शंकु वर्गों और द्विघात रूपों को परवलयिक, अतिशयोक्तिपूर्ण और दीर्घवृत्त में वर्गीकृत करता है B² − 4AC, किसी दिए गए बिंदु पर दूसरे क्रम के पीडीई के लिए भी ऐसा ही किया जा सकता है। हालाँकि, PDE में विविक्तकर द्वारा दिया जाता है B² − AC सम्मेलन के कारण xy टर्म जा रहा है 2B इसके बजाय B; औपचारिक रूप से, विवेचक (संबंधित द्विघात रूप का) है (2B)² − 4AC = 4(B² − AC), सरलता के लिए 4 के कारक के साथ हटा दिया गया।

1. B² − AC < 0 (अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण): अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण के समाधान उतने ही चिकने होते हैं जितने कि गुणांक अनुमति देते हैं, उस क्षेत्र के आंतरिक भाग में जहाँ समीकरण और समाधान परिभाषित होते हैं। उदाहरण के लिए, लाप्लास के समीकरण के समाधान डोमेन के भीतर विश्लेषणात्मक होते हैं जहां उन्हें परिभाषित किया जाता है, लेकिन समाधान सीमा मान मान सकते हैं जो चिकनी नहीं हैं। सबसोनिक गति पर तरल पदार्थ की गति को अंडाकार पीडीई के साथ अनुमानित किया जा सकता है, और यूलर-ट्रिकोमी समीकरण अंडाकार है जहां x < 0.
2. B² − AC = 0 (परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण): समीकरण जो हर बिंदु पर परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण होते हैं, उन्हें स्वतंत्र चर के परिवर्तन द्वारा ताप समीकरण के अनुरूप रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। परिवर्तित समय चर बढ़ने पर समाधान सुचारू हो जाते हैं। यूलर-ट्रिकोमी समीकरण में उस रेखा पर परवलयिक प्रकार है जहां x = 0.
3. B² − AC > 0 (अतिपरवलयिक आंशिक अंतर समीकरण): अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण समीकरण प्रारंभिक डेटा में कार्यों या डेरिवेटिव के किसी भी विच्छिन्नता को बनाए रखते हैं। एक उदाहरण तरंग समीकरण है। सुपरसोनिक गति पर द्रव की गति को हाइपरबोलिक पीडीई के साथ अनुमानित किया जा सकता है, और यूलर-ट्रिकोमी समीकरण हाइपरबॉलिक है जहां x > 0.

अगर वहाँ n स्वतंत्र प्रभावित करने वाली वस्तुएँ x₁, x₂ , …, x_nदूसरे क्रम के एक सामान्य रैखिक आंशिक अंतर समीकरण का रूप है

$$Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.$$

वर्गीकरण गुणांक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​के हस्ताक्षर पर निर्भर करता है a_i,j.

1. दीर्घवृत्त: eigenvalues ​​​​सभी सकारात्मक या सभी नकारात्मक हैं।
2. परवलयिक: eigenvalues ​​सभी सकारात्मक या सभी नकारात्मक हैं, एक को छोड़कर जो शून्य है।
3. अतिपरवलयिक: केवल एक नकारात्मक eigenvalue है और बाकी सभी सकारात्मक हैं, या केवल एक सकारात्मक eigenvalue है और बाकी सभी नकारात्मक हैं।
4. अल्ट्राहाइपरबोलिक: एक से अधिक सकारात्मक आइगेनवैल्यू और एक से अधिक नेगेटिव आइगेनवैल्यू होते हैं, और कोई शून्य आइगेनवैल्यू नहीं होते हैं।

अण्डाकार, परवलयिक, और अतिपरवलयिक समीकरणों के सिद्धांत का सदियों से अध्ययन किया गया है, जो काफी हद तक लाप्लास समीकरण , ऊष्मा समीकरण और तरंग समीकरण के मानक उदाहरणों के आसपास या उसके आधार पर केंद्रित है।

प्रथम-क्रम समीकरणों और विशिष्ट सतहों की प्रणाली

आंशिक अंतर समीकरणों के वर्गीकरण को प्रथम-क्रम समीकरणों की प्रणालियों तक विस्तारित किया जा सकता है, जहां अज्ञात u अब एक यूक्लिडियन वेक्टर है m घटक, और गुणांक मैट्रिसेस A_ν हैं m द्वारा m के लिए मेट्रिसेस ν = 1, 2, …, n. आंशिक अंतर समीकरण रूप लेता है

$$Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,$$

जहां गुणांक मेट्रिसेस A_ν और वेक्टर B पर निर्भर हो सकता है x और u. यदि एक ऊनविम पृष्ठ S निहित रूप में दिया गया है

$$\varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,$$

कहां φ एक गैर-शून्य ढाल है, तब S ऑपरेटर के लिए एक विशिष्ट सतह है L किसी दिए गए बिंदु पर यदि विशेषता रूप गायब हो जाता है:

$$Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.$$

इस स्थिति की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है: यदि डेटा के लिए u सतह पर निर्धारित हैं S, तो इसका सामान्य व्युत्पन्न निर्धारित करना संभव हो सकता है u पर S अंतर समीकरण से। यदि डेटा चालू है S और अंतर समीकरण के सामान्य व्युत्पन्न का निर्धारण करते हैं u पर S, तब S गैर-विशेषता है। यदि डेटा चालू है S और अंतर समीकरण के सामान्य व्युत्पन्न का निर्धारण नहीं करते हैं u पर S, तो सतह विशेषता है, और अंतर समीकरण डेटा को प्रतिबंधित करता है S: अंतर समीकरण आंतरिक है S.

1. एक प्रथम-क्रम प्रणाली Lu = 0 अण्डाकार है यदि कोई सतह विशेषता नहीं है L: के मान u पर S और अंतर समीकरण हमेशा के सामान्य व्युत्पन्न का निर्धारण करते हैं u पर S.
2. एक प्रथम-क्रम प्रणाली एक बिंदु पर अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि कोई 'स्पेसलाइक' सतह है S सामान्य के साथ ξ उस बिंदु पर। इसका मतलब यह है कि, कोई गैर-तुच्छ वेक्टर दिया गया है η इसके लिए ऑर्थोगोनल ξ, और एक अदिश गुणक λ, समीकरण Q(λξ + η) = 0 है m असली जड़ें λ₁, λ₂, …, λ_m. अगर ये जड़ें हमेशा अलग-अलग हों तो सिस्टम सख्ती से अतिशयोक्तिपूर्ण है। इस स्थिति की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है: चारित्रिक रूप Q(ζ) = 0 सजातीय निर्देशांक ζ के साथ एक शंकु (सामान्य शंकु) को परिभाषित करता है। अतिशयोक्तिपूर्ण मामले में, इस शंकु के पास है m चादरें, और अक्ष ζ = λξ इन शीट्स के अंदर चलता है: यह उनमें से किसी को भी काटता नहीं है। लेकिन जब η द्वारा मूल से विस्थापित किया जाता है, तो यह अक्ष प्रत्येक शीट को प्रतिच्छेद करती है। अण्डाकार मामले में, सामान्य शंकु में कोई वास्तविक चादरें नहीं होती हैं।

विश्लेषणात्मक समाधान

चरों का पृथक्करण

Main article: Separable partial differential equation

चरों को अलग करने की महत्वपूर्ण तकनीक द्वारा रेखीय पीडीई को साधारण अंतर समीकरणों की प्रणालियों में घटाया जा सकता है। यह तकनीक अंतर समीकरणों के समाधान की एक विशेषता पर टिकी हुई है: यदि कोई ऐसा समाधान ढूंढ सकता है जो समीकरण को हल करता है और सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है, तो यह समाधान है (यह ओडीई पर भी लागू होता है)। हम एक ansatz के रूप में मानते हैं कि मापदंडों के स्थान और समय पर एक समाधान की निर्भरता को उन शब्दों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है जो प्रत्येक एक पैरामीटर पर निर्भर करते हैं, और फिर देखें कि क्या समस्या को हल करने के लिए इसे बनाया जा सकता है। चरों को अलग करने की विधि में, कम चरों में एक PDE को एक PDE में घटाया जाता है, जो एक सामान्य अंतर समीकरण है यदि एक चर में - इन्हें हल करना आसान होता है।

यह सरल पीडीई के लिए संभव है, जिसे वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण कहा जाता है, और डोमेन आम तौर पर एक आयत (अंतराल का एक उत्पाद) होता है। वियोज्य पीडीई विकर्ण मैट्रिसेस के अनुरूप हैं - निश्चित के लिए मान के बारे में सोच रहे हैं xएक निर्देशांक के रूप में, प्रत्येक निर्देशांक को अलग से समझा जा सकता है।

यह विशेषताओं की विधि का सामान्यीकरण करता है, और इसका उपयोग अभिन्न परिवर्तन ों में भी किया जाता है।

विशेषताओं की विधि

Main article: Method of characteristics

विशेष मामलों में, कोई विशेषता वक्र पा सकता है जिस पर समीकरण एक ODE में कम हो जाता है - इन वक्रों को सीधा करने के लिए डोमेन में बदलते निर्देशांक चर को अलग करने की अनुमति देते हैं, और इसे विशेषताओं की विधि कहा जाता है।

अधिक आम तौर पर, किसी को विशिष्ट सतहें मिल सकती हैं। दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण समाधान के लिए, चार्पिट विधि देखें।

इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म

एक अभिन्न परिवर्तन पीडीई को एक सरल रूप में बदल सकता है, विशेष रूप से एक वियोज्य पीडीई। यह एक ऑपरेटर को विकर्ण करने से मेल खाता है।

इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण फूरियर विश्लेषण है, जो साइनसोइडल तरंगों के खुद का आधार का उपयोग करके गर्मी समीकरण को विकर्ण करता है।

यदि डोमेन परिमित या आवधिक है, तो फूरियर श्रृंखला जैसे समाधानों का एक अनंत योग उपयुक्त है, लेकिन फूरियर अभिन्न जैसे समाधानों का एक अभिन्न अंग आमतौर पर अनंत डोमेन के लिए आवश्यक होता है। ऊपर दिए गए ऊष्मा समीकरण के लिए बिंदु स्रोत का समाधान फूरियर इंटीग्रल के उपयोग का एक उदाहरण है।

चर का परिवर्तन

अक्सर एक पीडीई को एक उपयुक्त चर परिवर्तन (पीडीई) द्वारा ज्ञात समाधान के साथ एक सरल रूप में कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ब्लैक-स्कोल्स समीकरण

$${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$$

ऊष्मा समीकरण के लिए कम करने योग्य है

$${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$

चर के परिवर्तन से

$${\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left(S\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}$$

मूल समाधान

Main article: Fundamental solution

विषम समीकरण मौलिक समाधान (बिंदु स्रोत के लिए समाधान) ढूंढकर अक्सर हल किया जा सकता है (निरंतर गुणांक पीडीई के लिए, हमेशा हल किया जाता है), फिर समाधान प्राप्त करने के लिए सीमा शर्तों के साथ दृढ़ संकल्प लेना।

यह संकेत प्रसंस्करण में एक फिल्टर को उसकी आवेग प्रतिक्रिया द्वारा समझने के अनुरूप है।

सुपरपोजिशन सिद्धांत

Further information: Superposition principle

सुपरपोज़िशन सिद्धांत पीडीई के रैखिक सिस्टम सहित किसी भी रैखिक प्रणाली पर लागू होता है। इस अवधारणा का एक सामान्य दृश्य उदाहरण के लिए, अधिक आयाम में परिणाम के लिए चरण में दो तरंगों की बातचीत को संयुक्त किया जा रहा है sin x + sin x = 2 sin x. पीडीई में समान सिद्धांत देखा जा सकता है जहां समाधान वास्तविक या जटिल और योगात्मक हो सकते हैं। यदि u₁ और u₂ कुछ कार्य स्थान में रैखिक पीडीई के समाधान हैं R, तब u = c₁u₁ + c₂u₂ किसी स्थिरांक के साथ c₁ और c₂ उसी कार्य स्थान में उस PDE का एक समाधान भी हैं।

गैर-रैखिक समीकरणों के लिए तरीके

See also: nonlinear partial differential equation

अरैखिक पीडीई को हल करने के लिए आम तौर पर लागू होने वाली कोई विधि नहीं है। फिर भी, अस्तित्व और अद्वितीयता के परिणाम (जैसे कॉची-कोवलेव्स्की प्रमेय) अक्सर संभव होते हैं, जैसा कि समाधान के महत्वपूर्ण गुणात्मक और मात्रात्मक गुणों के प्रमाण हैं (इन परिणामों को प्राप्त करना गणितीय विश्लेषण का एक प्रमुख हिस्सा है)। गैर-रैखिक पीडीई के लिए कम्प्यूटेशनल समाधान, विभाजन-चरण विधि, गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण जैसे विशिष्ट समीकरणों के लिए मौजूद है।

फिर भी, कुछ तकनीकों का उपयोग कई प्रकार के समीकरणों के लिए किया जा सकता है। एच-सिद्धांत |h-अंडरसेटिन सिस्टम समीकरणों को हल करने के लिए सिद्धांत सबसे शक्तिशाली तरीका है। कई विश्लेषणात्मक अतिनिर्धारित प्रणाली प्रणालियों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए रिक्वायर-जेनेट सिद्धांत एक प्रभावी तरीका है।

विशेषताओं की विधि का उपयोग कुछ विशेष मामलों में गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। कुछ मामलों में, पीडीई को गड़बड़ी विश्लेषण के माध्यम से हल किया जा सकता है जिसमें समाधान को ज्ञात समाधान के साथ समीकरण में सुधार माना जाता है। विकल्प संख्यात्मक विश्लेषण तकनीक हैं जो साधारण परिमित अंतर योजनाओं से लेकर अधिक परिपक्व multigrid और परिमित तत्व विधियों तक हैं। कंप्यूटर , कभी-कभी उच्च प्रदर्शन वाले सुपर कंप्यूटर का उपयोग करके विज्ञान और इंजीनियरिंग की कई दिलचस्प समस्याओं को इस तरह हल किया जाता है।

झूठ समूह विधि

1870 से सोफस झूठ के काम ने अंतर समीकरणों के सिद्धांत को अधिक संतोषजनक आधार पर रखा। उन्होंने दिखाया कि पुराने गणितज्ञों के एकीकरण सिद्धांतों को, जिसे अब झूठ समूह कहा जाता है, एक सामान्य स्रोत के रूप में संदर्भित किया जा सकता है; और वह साधारण अवकल समीकरण जो समान अतिसूक्ष्म परिवर्तन ों को स्वीकार करते हैं, एकीकरण की तुलनात्मक कठिनाइयाँ प्रस्तुत करते हैं। उन्होंने संपर्क परिवर्तन के विषय पर भी जोर दिया।

पीडीई को हल करने के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण अंतर समीकरणों की समरूपता संपत्ति का उपयोग करता है, समाधानों के समाधान के निरंतर अत्यल्प रूपांतरण (झूठे सिद्धांत)। सतत समूह सिद्धांत , लाई बीजगणित और अंतर ज्यामिति का उपयोग एकीकृत समीकरणों को उत्पन्न करने के लिए रैखिक और गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों की संरचना को समझने के लिए किया जाता है, इसके लक्स जोड़े, रिकर्सन ऑपरेटरों, बैकलंड ट्रांसफॉर्म को खोजने और अंत में पीडीई के लिए सटीक विश्लेषणात्मक समाधान खोजने के लिए।

गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कई अन्य विषयों में उत्पन्न होने वाले अंतर समीकरणों का अध्ययन करने के लिए समरूपता विधियों को मान्यता दी गई है।

अर्धविश्लेषणात्मक तरीके

एडोमियन अपघटन विधि , एलेक्जेंडर लायपुनोव कृत्रिम छोटे पैरामीटर विधि, और उनकी होमोटॉपी गड़बड़ी विधि सभी अधिक सामान्य होमोटोपी विश्लेषण पद्धति के विशेष मामले हैं। ये श्रृंखला विस्तार विधियां हैं, और लायपुनोव विधि को छोड़कर, प्रसिद्ध गड़बड़ी सिद्धांत की तुलना में छोटे भौतिक मापदंडों से स्वतंत्र हैं, इस प्रकार इन विधियों को अधिक लचीलापन और समाधान व्यापकता प्रदान करते हैं।

संख्यात्मक समाधान

Main article: Numerical solutions of partial differential equations

तीन सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरण परिमित तत्व विश्लेषण (FEM), परिमित आयतन विधियाँ (FVM) और परिमित अंतर विधि याँ (FDM) हैं, साथ ही अन्य प्रकार की विधियाँ जिन्हें मेशफ्री विधियाँ कहा जाता है, जो उन समस्याओं को हल करने के लिए बनाई गई थीं जहाँ उपरोक्त तरीके सीमित हैं। इन विधियों में FEM का एक प्रमुख स्थान है और विशेष रूप से इसके असाधारण कुशल उच्च-क्रम संस्करण hp-FEM । FEM और मेशफ्री विधियों के अन्य संकर संस्करणों में सामान्यीकृत परिमित तत्व विधि (GFEM), विस्तारित परिमित तत्व विधि (XFEM), वर्णक्रमीय तत्व विधि (SFEM), मेशफ्री विधियाँ, असंतुलित गैलेर्किन विधि (DGFEM), तत्व-मुक्त गैलेर्किन विधि (EFGM) शामिल हैं। ), इंटरपोलिंग एलिमेंट-फ्री गैलेर्किन विधि (IEFGM), आदि।

परिमित तत्व विधि

Main article: Finite element method

परिमित तत्व विधि (एफईएम) (इसका व्यावहारिक अनुप्रयोग अक्सर परिमित तत्व विश्लेषण (एफईए) के रूप में जाना जाता है) आंशिक अंतर समीकरणों (पीडीई) के साथ-साथ अभिन्न समीकरणों के अनुमानित समाधान खोजने के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है। समाधान दृष्टिकोण या तो अंतर समीकरण को पूरी तरह से समाप्त करने (स्थिर स्थिति की समस्याओं) पर आधारित है, या पीडीई को साधारण अंतर समीकरणों की अनुमानित प्रणाली में प्रस्तुत करना है, जो तब यूलर की विधि, रनगे-कुट्टा, आदि जैसी मानक तकनीकों का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से एकीकृत होते हैं।

परिमित अंतर विधि

Main article: Finite difference method

परिमित-अंतर विधियाँ अवकल समीकरणों के समाधान का अनुमान लगाने के लिए संख्यात्मक विधियाँ हैं जो परिमित अंतर समीकरणों का उपयोग अनुमानित डेरिवेटिव के लिए करती हैं।

परिमित मात्रा विधि

Main article: Finite volume method

परिमित अंतर विधि या परिमित तत्व विधि के समान, मानों की गणना जालीदार ज्यामिति पर असतत स्थानों पर की जाती है। परिमित मात्रा जाल पर प्रत्येक नोड बिंदु के आस-पास की छोटी मात्रा को संदर्भित करती है। परिमित आयतन विधि में, विचलन प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक आंशिक अंतर समीकरण में सतह अभिन्न, जिसमें एक विचलन शब्द होता है, मात्रा अभिन्न में परिवर्तित हो जाते हैं। इन शर्तों का मूल्यांकन तब प्रत्येक परिमित मात्रा की सतहों पर फ्लक्स के रूप में किया जाता है। क्योंकि किसी दिए गए आयतन में प्रवेश करने वाला प्रवाह आसन्न आयतन को छोड़ने के समान है, ये विधियाँ डिज़ाइन द्वारा द्रव्यमान का संरक्षण करती हैं।

यह भी देखें

कुछ सामान्य पीडीई

• ऊष्मा समीकरण
• तरंग समीकरण
• लाप्लास का समीकरण
• हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण
• क्लेन-गॉर्डन समीकरण
• पॉसों का समीकरण
• नेवियर-स्टोक्स समीकरण | नेवियर-स्टोक्स समीकरण
• बर्गर का समीकरण

सीमा शर्तों के प्रकार

• डिरिचलेट सीमा स्थिति
• न्यूमैन सीमा की स्थिति
• रॉबिन सीमा की स्थिति
• कॉची समस्या

कई विषय

• जेट बंडल
• लाप्लास परिवर्तन अंतर समीकरणों पर लागू होता है
• डायनेमिक सिस्टम और डिफरेंशियल इक्वेशन विषयों की सूची
• मैट्रिक्स अंतर समीकरण
• संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरण
• आंशिक अंतर बीजगणितीय समीकरण
• पुनरावृत्ति संबंध
• स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं और सीमा मूल्य समस्याएं

संदर्भ

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आगे की पढाई

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• Brezis, Haïm; Browder, Felix (1998). "Partial Differential Equations in the 20th Century". Advances in Mathematics. 135 (1): 76–144. doi:10.1006/aima.1997.1713.

बाहरी कड़ियाँ

• "Differential equation, partial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example problems with solutions at exampleproblems.com
• Partial Differential Equations at mathworld.wolfram.com
• Partial Differential Equations with Mathematica
• Partial Differential Equations in Cleve Moler: Numerical Computing with MATLAB
• Partial Differential Equations at nag.com
• Sanderson, Grant (April 21, 2019). "But what is a partial differential equation?". 3Blue1Brown. Archived from the original on 2021-11-02 – via YouTube.

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