रैखिक स्वतंत्रता: Difference between revisions

Revision as of 12:55, 12 January 2023

\mathbb {R} ^{3}

में एकघाततः स्वतंत्र सदिश

\mathbb {R} ^{3}

एक समतल में एकघाततः परतंत्र सदिश

सदिश समष्टि के सिद्धांत में, सदिश के समुच्चय को एकघाततः परतंत्र कहा जाता है यदि सदिशों का एक शून्य सदिश रैखिक संयोजन होता है जो शून्य सदिश के बराबर होता है। यदि ऐसा कोई रैखिक संयोजन उपस्थित नहीं है, तो सदिश को एकघाततः स्वतंत्र कहा जाता है। ये अवधारणाएँ आयाम की परिभाषा के केंद्र में हैं।^[1]

एकघाततः स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या के आधार पर एक सदिश समिष्ट परिमित आयाम या अपरिमित आयाम का हो सकता है। एकघाततः परतंत्र की परिभाषा और यह निर्धारित करने की क्षमता कि सदिश समष्टि में सदिशों का एक उपसमुच्चय एकघाततः परतंत्र है, जो सदिश समष्टि के आयाम को निर्धारित करने के लिए केंद्रीय होता हैं।

परिभाषा

सदिश का अनुक्रम $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ एक सदिश समष्टि मे $V$ अदिश उपस्थित है, तो इसे एकघाततः परतंत्र कहा जाता है। यदि $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},$ सभी शून्य नहीं है,

जैसे कि $a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,$

जहाँ $\mathbf {0}$ शून्य सदिश को दर्शाता है।

इसका अर्थ है कि कम से कम एक अदिश शून्य नहीं है, मान लीजिए $a_{1}\neq 0$ और उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

\mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k},

यदि $k>1$ और $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {0}$ यदि $k=1$

इस प्रकार, सदिशों का एक समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक शून्य हो या अन्य का एक रैखिक संयोजन हो।

सदिश का क्रम $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ को एकघाततः स्वतंत्र कहा जाता है यदि यह एकघाततः परतंत्र नहीं है, अर्थात यदि समीकरण

a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,

द्वारा ही संतुष्ट किया जा सकता है कि $a_{i}=0$ के लिए $i=1,\dots ,n.$ इसका तात्पर्य यह है कि क्रम में कोई भी सदिश अनुक्रम के शेष सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिशों का एक क्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि केवल प्रतिनिधित्व करता है कि $\mathbf {0}$ इसके सदिशों के एक रैखिक संयोजन के रूप में तुच्छ प्रतिनिधित्व है जिसमें सभी $a_{i}$ अदिश शून्य हैं।^[2] इससे भी अधिक संक्षेप में, सदिशों का अनुक्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि और केवल $\mathbf {0}$ को इसके सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में एक अद्वितीय तरीके से प्रदर्शित किया जा सकता है।

यदि सदिशों के अनुक्रम में एक ही सदिश दो बार होता है, तो यह आवश्यक रूप से परतंत्र होता है। सदिशों के अनुक्रम की एकघाततः परतंत्रता अनुक्रम में पदों के क्रम पर परतंत्र नहीं होती है। यह सदिशों के परिमित समुच्चय के लिए एकघाततः स्वतंत्रता को परिभाषित करने की अनुमति देता है सदिशों का एक परिमित समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि उनके क्रम से प्राप्त अनुक्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है। दूसरे शब्दों में, एक का निम्नलिखित परिणाम होता है जो प्रायः उपयोगी होता है।

सदिशों का एक क्रम एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि इसमें एक ही सदिश दो बार नहीं होता है तब इसके सदिशों का समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है।

अपरिमित फलन

सदिशों का एक अपरिमित उपसमुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि प्रत्येक शून्य परिमित उपसमुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है तो इसके विपरीत, सदिशों का एक अपरिमित समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है और इसमें एक परिमित उपसमुच्चय होता है जो एकघाततः परतंत्र या समतुल्य होता है यदि समुच्चय के कुछ सदिश समुच्चयों में अन्य सदिशों का एक रैखिक संयोजन होता है।

सदिशों का एक अनुक्रमित वर्ग एकघाततः स्वतंत्र होता है यदि इसमें एक ही सदिश दो बार नहीं होता है, और यदि इसके सदिशों का समुच्चय एकघाततः स्वतंत्र होता है। अन्यथा, अनुक्रमित वर्ग को एकघाततः परतंत्र कहा जाता है।

सदिशों का एक समूह जो एकघाततः स्वतंत्र है और कुछ सदिश समिष्ट को विस्तृत करता है तथा उस सदिश समिष्ट के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $x$ में सभी बहुपदों के सदिश समिष्ट आधार के रूप में (अपरिमित) ${1, x, x 2, ...}$ उपसमुच्चय है।

ज्यामितीय उदाहरण

${\vec {u}}$ और ${\vec {v}}$ स्वतंत्र हैं और समतल P को परिभाषित करते हैं।

${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ और ${\vec {w}}$ परतंत्र हैं क्योंकि तीनों एक ही तल में केन्द्रित हैं।
${\vec {u}}$ और ${\vec {j}}$ परतंत्र हैं क्योंकि वे एक दूसरे के समानांतर हैं।
${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ और ${\vec {k}}$ स्वतंत्र हैं क्योंकि ${\vec {u}}$ और ${\vec {v}}$ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं और ${\vec {k}}$ उनका एक रैखिक संयोजन नहीं है क्योंकि वे समतुल्य रूप से एक सामान्य तल से संबंधित नहीं हैं। तीन सदिश एक त्रि-विमीय समिष्ट को परिभाषित करते हैं।
सदिश ${\vec {o}}$ ( शून्य सदिश, जिसके घटक शून्य के बराबर हैं) और ${\vec {k}}$ से परतंत्र हैं क्योंकि ${\vec {o}}=0{\vec {k}}$

भौगोलिक स्थिति

एक निश्चित स्थिति के समिष्ट का वर्णन करने वाला व्यक्ति कह सकता है कि "यह यहाँ से 3 मील उत्तर और 4 मील पूर्व में है" समिष्ट का वर्णन करने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है, क्योंकि भौगोलिक समन्वय प्रणाली को 2-आयामी सदिश समिष्ट (पृथ्वी की सतह की ऊंचाई और वक्रता की उपेक्षा) के रूप में माना जा सकता है। वह व्यक्ति जोड़ सकता है कि "यह समिष्ट यहाँ से 5 मील उत्तर पूर्व में है।" यह अंतिम कथन सत्य है, लेकिन समिष्ट का पता लगाना आवश्यक नहीं है।

इस उदाहरण में 3 मील उत्तर सदिश और 4 मील पूर्व सदिश एकघाततः स्वतंत्र हैं। कहने का तात्पर्य यह है कि उत्तर सदिश को पूर्व सदिश के संदर्भ में वर्णित नहीं किया जा सकता है और इसके विपरीत तीसरा 5 मील पूर्वोत्तर सदिश अन्य दो सदिशों का एक रैखिक संयोजन है तथा यह सदिशों के समुच्चय को एकघाततः परतंत्र करता है अर्थात, तीन सदिशों में से एक समतल पर एक विशिष्ट समिष्ट को परिभाषित करने के लिए अनावश्यक होता है।

यह भी ध्यान दें कि यदि ऊंचाई की उपेक्षा नहीं किया जाता है, तो एकघाततः स्वतंत्र समुच्चय में तीसरा सदिश जोड़ना आवश्यक हो जाता है। समान्यतः $n$ -आयामी समिष्ट में सभी समिष्टों का वर्णन करने के लिए $n$ एकघाततः स्वतंत्र सदिश की आवश्यकता होती है।

एकघाततः स्वतंत्र का मूल्यांकन

शून्य सदिश

यदि सदिशों के दिए गए अनुक्रम $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ में से एक या अधिक सदिश $\mathbf {0}$ शून्य सदिश है तब सदिश $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ आवश्यक रूप से एकघाततः परतंत्र हैं इसके परिणामस्वरूप, वे एकघाततः स्वतंत्र नहीं हैं। मान लीजिए $i$ एक सूचकांक है (अर्थात $\{1,\ldots ,k\}$ का तत्व) इसी प्रकार $\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .$ माना कि $a_{i}:=1$ (वैकल्पिक रूप से, $a_{i}$ के बराबर कोई अन्य शून्य अदिश भी कार्य करता है) और यदि अन्य सभी अदिश को $0$ होने दें (स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि किसी भी सूचकांक के लिए $j$ के अतिरिक्त अन्य $i$ अर्थात $j\neq i$ के लिए $a_{j}:=0$ ताकि इसके फलस्वरूप $a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0}$ समान्यतः $a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}$ प्राप्त होता है।

a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .

क्योंकि सभी अदिश शून्य नहीं होते (विशेष रूप से, $a_{i}\neq 0$ ), यह सिद्ध करता है कि सदिश $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ रैखिक परतंत्र हैं।

परिणाम स्वरूप, शून्य सदिश संभवतः सदिश के किसी भी संग्रह से संबंधित नहीं हो सकता है, जो एकघाततः स्वतंत्र है।

अब विशेष स्थिति पर विचार करें, जहां का अनुक्रम कि $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ लंबाई $1$ है (अर्थात इस स्थिति मे जहां $k=1$ ) सदिशों का एक संग्रह जिसमें यथार्थ रूप से एक सदिश एकघाततः परतंत्र होता है यदि वह सदिश शून्य है। तो स्पष्ट रूप से $\mathbf {v} _{1}$ कोई सदिश है और अनुक्रम $\mathbf {v} _{1}$ (जो $1$ लंबाई का एक क्रम है) एकघाततः परतंत्र है यदि केवल $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {0}$ ; वैकल्पिक रूप से यदि $\mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .$ है तो क्रम $\mathbf {v} _{1}$ एकघाततः स्वतंत्र होता है।

एकघाततः परतंत्रता और दो सदिशों की स्वतंत्रता

यह उदाहरण उस विशेष स्थिति पर विचार करता है जहां दो समष्टि सदिश $\mathbf {u}$ और $\mathbf {v}$ वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि हैं तथा सदिश $\mathbf {u}$ और $\mathbf {v}$ एकघाततः परतंत्र हैं और यदि ये निम्न में से कम से कम एक सत्य है:

$\mathbf {u}$ का अदिश गुणक $\mathbf {v}$ है (स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि एक अदिश $c$ उपस्थित है इसी प्रकार $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$ ).
$\mathbf {v}$ का अदिश गुणक $\mathbf {u}$ है (स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि एक अदिश $c$ उपस्थित है इसी प्रकार $\mathbf {v} =c\mathbf {u}$ ).

यदि $\mathbf {u} =\mathbf {0}$ तब समुच्चय द्वारा $c:=0$ हम $c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u}$ (यह समानता महत्व नहीं रखती है कि $\mathbf {v}$ का मान क्या है), जो दर्शाता है कि (1) इस विशेष स्थिति में सत्य है। इसी प्रकार यदि $\mathbf {v} =\mathbf {0}$ तब (2) सत्य है क्योंकि $\mathbf {v} =0\mathbf {u} .$ यदि $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ (उदाहरण के लिए, यदि वे दोनों $\mathbf {0}$ शून्य सदिश के बराबर हैं) तब $c:=1$ का उपयोग करने के लिए (1) और (2) दोनों सत्य हैं।

यदि $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$ तब $\mathbf {u} \neq \mathbf {0}$ केवल तभी संभव है जब $c\neq 0$ और $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ की स्थिति में, दोनों पक्षों को ${\textstyle {\frac {1}{c}}}$ से गुणा करके निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि ${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ है इससे यह पता चलता है कि यदि $\mathbf {u} \neq \mathbf {0}$ और $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ तब (1) सत्य है और केवल यदि (2) सत्य है अर्थात्, इस विशेष स्थिति में या तो दोनों (1) और (2) सत्य हैं और सदिश एकघाततः परतंत्र हैं या फिर दोनों (1) और (2) असत्य हैं और सदिश एकघाततः स्वतंत्र हैं।

यदि $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$ लेकिन इसके अतिरिक्त $\mathbf {u} =\mathbf {0}$ है तब कम से कम एक $c$ और $\mathbf {v}$ शून्य होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, यदि $\mathbf {u}$ और $\mathbf {v}$ पूर्णतः $\mathbf {0}$ है जबकि दूसरा शून्य नहीं है तो (1) और (2) में से एक सत्य है और दूसरा असत्य होता है।

सदिश $\mathbf {u}$ और $\mathbf {v}$ यदि केवल एकघाततः स्वतंत्र होते हैं जब $\mathbf {u}$ का अदिश गुणज $\mathbf {v}$ नहीं है और $\mathbf {v}$ का अदिश गुणज $\mathbf {u}$ नहीं होता है।

R² में सदिश

तीन सदिश: सदिशों के समुच्चय $\mathbf {v} _{1}=(1,1),$ $\mathbf {v} _{2}=(-3,2),$ और $\mathbf {v} _{3}=(2,4),$ पर विचार करें, फिर एकघाततः परतंत्र की स्थि‍ति मे गैर-शून्य अदिशों के एक समुच्चय का आकलन करती है, जैसे कि

a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},

या

{\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

इस पंक्ति को प्राप्त करने के लिए दूसरी से पहली पंक्ति घटाकर इस आव्यूह समीकरण को कम करें,

{\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

आव्यूह (i) दूसरी पंक्ति को 5 से विभाजित करके, फिर (ii) को 3 से गुणा करके और पहली पंक्ति में जोड़कर पंक्ति घटाना प्रारम्भ करे, अर्थात

{\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने से हमें यह प्राप्त होता है

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.

जो दर्शाता है कि गैर-शून्य a_i ऐसे उपस्थित हैं कि $\mathbf {v} _{3}=(2,4)$ को $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$ और $\mathbf {v} _{2}=(-3,2).$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है इस प्रकार तीन सदिश एकघाततः परतंत्र हैं।

दो सदिश: दो सदिशों $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$ और $\mathbf {v} _{2}=(-3,2),$ की एकघाततः परतंत्रता पर विचार और जाँच करें,

a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},

या

{\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

एक ही पंक्ति में पुनर्व्यवस्थित करने से प्राप्त आव्यूह,

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

यह दर्शाता है कि $a_{i}=0,$ जिसका अर्थ है कि सदिश $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$ और $\mathbf {v} _{2}=(-3,2),$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

R⁴ में सदिश

यह निर्धारित करने के लिए $\mathbb {R} ^{4},$ कि क्या तीन सदिश में $\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.$

एकघाततः परतंत्र हैं, जो आव्यूह समीकरण बनाते हैं,

{\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.

पंक्ति प्राप्त करने के लिए इस समीकरण को घटाये,

{\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.

v³ के लिए को हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें और प्राप्त करें,

{\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.

गैर-शून्य a_i को परिभाषित करने के लिए इस समीकरण को सरलता से हल किया जा सकता है,

a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,

जहाँ $a_{3}$ का अव्यवस्थित रूप से चयन जा सकता है। इस प्रकार, सदिश $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},$ और $\mathbf {v} _{3}$ एकघाततः परतंत्र हैं।

निर्धारकों के उपयोग के लिए वैकल्पिक विधि

एक वैकल्पिक तरीका इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $n$ सदिश में $\mathbb {R} ^{n}$ एकघाततः स्वतंत्र हैं यह केवल तभी जब सदिश को स्तंभ के रूप में चयन करने से निर्मित आव्यूह (गणित) का निर्धारक गैर-शून्य है।

इस स्थिति में, सदिश द्वारा निर्मित आव्यूह $A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.$ है,

हम स्तंभ के एक रैखिक संयोजन को इस प्रकार लिख सकते हैं

A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.

इससे संबद्ध यह है कि क्या $A Λ = 0$ कुछ गैर-शून्य सदिश Λ के लिए, यह $A$ के निर्धारक पर निर्भर करता है, जो

\det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.

चूंकि निर्धारक गैर-शून्य है, इसलिए सदिश $(1,1)$ और $(-3,2)$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

अन्यथा, मान कि हमारे पास $m$ सदिश $n$ निर्देशांक $m<n.$ है तब A एक m×n आव्यूह है और Λ एक स्तम्भ सदिश मे $m$ प्रविष्टियाँ है, और हम फिर से AΛ = '0' में संबद्ध हैं। जैसा कि हमने पहले देखा, यह $n$ समीकरण की एक सूची के बराबर है। $A$ की पहली $m$ पंक्तियों पर विचार करें, कि पहली $m$ समीकरणों की पूरी सूची का कोई भी हल घटी हुई सूची के लिए भी सही होना चाहिए। जिसके परिणाम स्वरूप, यदि $⟨ i 1,..., i m ⟩$ की कोई सूची मे $m$ पंक्तियाँ है, तो उन पंक्तियों के लिए समीकरण सत्य होना चाहिए।

A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .

इसके अतिरिक्त, विपरीत सत्य है। अर्थात्, हम जाँच कर सकते हैं कि $m$ सदिश एकघाततः परतंत्र हैं या नहीं,

\det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0

$m$ पंक्तियों की सभी संभव सूचियों के लिए यदि $m=n$ , इसके लिए केवल एक निर्धारक की आवश्यकता होती है, जैसा कि ऊपर बताया गया है। यदि $m>n$ , यह एक प्रमेय है कि सदिश को एकघाततः परतंत्र होना चाहिए। यह तथ्य सिद्धांत के लिए बहुमूल्य है कि प्रयोगात्मक गणनाओं में अधिक कुशल विधियाँ उपलब्ध हैं।

आयामों मे अधिक सदिश

यदि आयामों की तुलना में अधिक सदिश हैं, तो सदिश एकघाततः परतंत्र हैं। यह $\mathbb {R} ^{2}.$ के तीन सदिशों के ऊपर के उदाहरण में दिखाया गया है।

मानक आधार सदिश

माना कि $V=\mathbb {R} ^{n}$ और $V$ मे निम्नलिखित तत्वों पर विचार करें, जिन्हे मानक आधार सदिश के रूप में जाना जाता है।

{\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}

तब $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

Proof

माना कि $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ वास्तविक संख्याएँ है, इसी प्रकार

a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .

क्योंकि

a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right),

तब $a_{i}=0$ सभी के लिए $i=1,\ldots ,n.$

एकघाततः स्वतंत्र का फलन

माना कि $V$ एक वास्तविक चर $t$ के सभी अलग-अलग फलन का सदिश समिष्ट है तब $V$ में फलन $e^{t}$ और $e^{2t}$ एकघाततः स्वतंत्र हैं।

प्रमाण

माना कि $a$ और $b$ दो वास्तविक संख्याएँ हैं

ae^{t}+be^{2t}=0

उपरोक्त समीकरण का पहला व्युत्पन्न,

ae^{t}+2be^{2t}=0

$t$ के सभी मानों के लिए, हमें यह दिखाना आवश्यक है कि $a=0$ और $b=0$ है, ऐसा करने के लिए हम $be^{2t}=0$ देते हुए पहले समीकरण को दूसरे से घटाते हैं। चूँकि $e^{2t}$ कुछ समीकरण मे $t$ , $b=0$ और $a=0$ के लिए शून्य नहीं होता है। इसलिए, एकघाततः स्वतंत्र की परिभाषा के अनुसार $e^{t}$ और $e^{2t}$ एकघाततः स्वतंत्र होते हैं।

एकघाततः परतंत्र की समष्टि

सदिश $v 1, ..., v n$ के बीच एक एकघाततः परतंत्र या रैखिक संबंध $n$ अदिश घटकों के साथ एक टपल $(a 1, ..., a n)$ है जैसे कि

a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}

यदि ऐसी एकघाततः परतंत्रता कम से कम एक गैर-शून्य घटक के साथ उपस्थित है, तब $n$ सदिश एकघाततः परतंत्र हैं। जो $v 1, ..., v n$ के बीच एकघाततः परतंत्र एक सदिश समष्टि निर्मित करती है।

यदि सदिश उनके निर्देशांक द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, तो एकघाततः परतंत्रता एकघाततः समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के हल होते हैं, जिसमें सदिशों के निर्देशांक गुणांक के रूप में होते हैं। एकघाततः परतंत्र के सदिश समिष्ट के आधार की गणना गॉसियन विलोपन विधि द्वारा की जा सकती है।

सामान्यीकरण

सजातीय स्वतंत्रता

सदिशों के एक समुच्चय को सजातीय परतंत्र कहा जाता है यदि समुच्चय के सदिशों में से कम से कम एक सदिश को दूसरों के सजातीय संयोजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अन्यथा, समुच्चय को सजातीय स्वतंत्र कहा जाता है। यदि कोई भी सजातीय संयोजन एक रैखिक संयोजन है तब प्रत्येक सजातीय स्वतंत्र समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक एकघाततः स्वतंत्र समुच्चय सजातीय स्वतंत्र होता है।

यदि संवर्धित सदिश एकघाततः स्वतंत्र है, तब $m$ सदिश के एक समुच्चय $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ पर विचार करें की $n$ और $m$ आकार के प्रत्येक समुच्चय पर संवर्धित सदिश ${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$ के $n+1$ प्रत्येक मूल सदिश के सजातीय स्वतंत्र होते हैं।^[3]^: 256

एकघाततः स्वतंत्र उपसमष्टि सदिश

दो उपसमष्टि सदिश $M$ और $N$ एक सदिश समष्टि $X$ का एकघाततः स्वतंत्र कहलाता है यदि $M\cap N=\{0\}$ ^[4] सामान्य रूप से एक संग्रह $M_{1},\ldots ,M_{d}$ के $X$ को उपसमष्टि का रैखिक स्वतंत्रता कहा जाता है यदि ${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$ के प्रत्येक सूचकांक के लिए $i,$ जहाँ पर ${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}}$ ^[4] सदिश समिष्ट $X$ को $M_{1},\ldots ,M_{d}$ का प्रत्यक्ष योग कहा जाता है, यदि ये उपसमष्टि $M_{1}+\cdots +M_{d}=X$ के एकघाततः स्वतंत्र हैं।

यह भी देखें

मैटरोड

संदर्भ

↑ G. E. Shilov, Linear Algebra (Trans. R. A. Silverman), Dover Publications, New York, 1977.
↑ Friedberg, Insel, Spence, Stephen, Arnold, Lawrence (2003). Linear Algebra. Pearson, 4th Edition. pp. 48–49. ISBN 0130084514.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Lovász, László; Plummer, M. D. (1986), Matching Theory, Annals of Discrete Mathematics, vol. 29, North-Holland, ISBN 0-444-87916-1, MR 0859549
↑ ^4.0 ^4.1 Bachman & Narici 2000, pp. 3−7.

Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Functional Analysis (Second ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC 829157984.

बाहरी कड़ियाँ

"Linear independence", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Linearly Dependent Functions at WolframMathWorld.
Tutorial and interactive program on Linear Independence.
Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.

श्रेणी:सार बीजगणित श्रेणी:रैखिक बीजगणित श्रेणी:साक्ष्य युक्त लेख

[1] G. E. Shilov, Linear Algebra (Trans. R. A. Silverman), Dover Publications, New York, 1977.

[2] Friedberg, Insel, Spence, Stephen, Arnold, Lawrence (2003). Linear Algebra. Pearson, 4th Edition. pp. 48–49. ISBN 0130084514.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[lp-3] Lovász, László; Plummer, M. D. (1986), Matching Theory, Annals of Discrete Mathematics, vol. 29, North-Holland, ISBN 0-444-87916-1, MR 0859549

[FOOTNOTEBachmanNarici20003−7-4] 4.0 ^4.1 Bachman & Narici 2000, pp. 3−7.

[1]

[2]

[3]

[4]

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 <!--{{technical|date=April 2014}}-->
 {{For|यादृच्छिक चर की एकघाततः परतंत्रता| सहचरता}}{{More citations needed|date=January 2019}}[[File:Vec-indep.png|thumb|right|<math>\R^3</math> में एकघाततः स्वतंत्र सदिश ]]
-[[File:Vec-dep.png|thumb|right|एक समतल में एकघाततः परतंत्र सदिश <math>\R^3.</math>]]'''सदिश समष्टि''' के सिद्धांत में, सदिश के समुच्चय को {{visible anchor|एकघाततः परतंत्र}} कहा जाता है यदि सदिशों का एक शून्य सदिश [[ रैखिक संयोजन |रैखिक संयोजन]] होता है जो शून्य सदिश के बराबर होता है। यदि ऐसा कोई रैखिक संयोजन उपस्थित नहीं है, तो सदिश को {{visible anchor| एकघाततः स्वतंत्र}} कहा जाता है। ये अवधारणाएँ आयाम की परिभाषा के केंद्र में हैं।<ref>G. E. Shilov, ''[https://books.google.com/books?id=5U6loPxlvQkC&printsec=frontcover#v=snippet&q=dependent%20OR%20independent%20OR%20dependence%20OR%20independence&f=false Linear Algebra]'' (Trans. R. A. Silverman), Dover Publications, New York, 1977.</ref>
+[[File:Vec-dep.png|thumb|right|<math>\R^3</math>एक समतल में एकघाततः परतंत्र सदिश ]]'''सदिश समष्टि''' के सिद्धांत में, सदिश के समुच्चय को {{visible anchor|एकघाततः परतंत्र}} कहा जाता है यदि सदिशों का एक शून्य सदिश [[ रैखिक संयोजन |रैखिक संयोजन]] होता है जो शून्य सदिश के बराबर होता है। यदि ऐसा कोई रैखिक संयोजन उपस्थित नहीं है, तो सदिश को {{visible anchor|एकघाततः स्वतंत्र}} कहा जाता है। ये अवधारणाएँ आयाम की परिभाषा के केंद्र में हैं।<ref>G. E. Shilov, ''[https://books.google.com/books?id=5U6loPxlvQkC&printsec=frontcover#v=snippet&q=dependent%20OR%20independent%20OR%20dependence%20OR%20independence&f=false Linear Algebra]'' (Trans. R. A. Silverman), Dover Publications, New York, 1977.</ref>
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 * An [[indexed family]] of [[vector space|vector]]s is a '''linearly independent family''' if none of them can be written as a [[linear combination]] of finitely many other vectors in the family. A family of vectors which is not linearly independent is called '''linearly dependent'''.
@@ Line 31: / Line 31: @@
 :<math>\mathbf{v}_1=\left(-\frac{5}{9}\right)\mathbf{v}_2+\left(-\frac{4}{9}\right)\mathbf{v}_3+\frac{1}{9}\mathbf{v}_4 .</math>
 --><!-- In [[probability theory]] and [[statistics]] there is an unrelated measure of linear dependence between [[random variable]]s. -->
-एकघाततः स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या के आधार पर एक सदिश समिष्ट परिमित आयाम या अपरिमित आयाम का हो सकता है। एकघाततः परतंत्र की परिभाषा और यह निर्धारित करने की क्षमता कि सदिश समष्टि में सदिशों का एक उपसमुच्चय एकघाततः परतंत्र है तथा सदिश समष्टि के आयाम को निर्धारित करने के लिए केंद्रीय होता हैं।
+एकघाततः स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या के आधार पर एक सदिश समिष्ट परिमित आयाम या अपरिमित आयाम का हो सकता है। एकघाततः परतंत्र की परिभाषा और यह निर्धारित करने की क्षमता कि सदिश समष्टि में सदिशों का एक उपसमुच्चय एकघाततः परतंत्र है, जो सदिश समष्टि के आयाम को निर्धारित करने के लिए केंद्रीय होता हैं।
 == परिभाषा ==
@@ Line 40: / Line 40: @@
 जहाँ <math>\mathbf{0}</math> शून्य सदिश को दर्शाता है।
-इसका अर्थ है कि कम से कम एक अदिश शून्य नहीं है, मान लीजिए <math>a_1\ne 0</math> और उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
+इसका अर्थ है कि कम से कम एक अदिश शून्य नहीं है, मान लीजिए <math>a_1\ne 0</math> और उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है।
 :<math>\mathbf{v}_1 = \frac{-a_2}{a_1}\mathbf{v}_2 + \cdots + \frac{-a_k}{a_1} \mathbf{v}_k,</math>
-यदि <math>k>1,</math> और <math>\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}</math> यदि <math>k=1.</math>
+यदि <math>k>1</math> और <math>\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}</math> यदि <math>k=1</math>
 इस प्रकार, सदिशों का एक समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक शून्य हो या अन्य का एक रैखिक संयोजन हो।
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 अब विशेष स्थिति पर विचार करें, जहां का अनुक्रम कि <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k</math> लंबाई <math>1</math> है (अर्थात इस स्थिति मे जहां <math>k = 1</math>) सदिशों का एक संग्रह जिसमें यथार्थ रूप से एक सदिश एकघाततः परतंत्र होता है यदि वह सदिश शून्य है। तो स्पष्ट रूप से <math>\mathbf{v}_1</math> कोई सदिश है और अनुक्रम <math>\mathbf{v}_1</math> (जो <math>1</math> लंबाई का एक क्रम है) एकघाततः परतंत्र है यदि केवल {{nowrap|<math>\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}</math>;}} वैकल्पिक रूप से यदि <math>\mathbf{v}_1 \neq \mathbf{0}.</math> है तो क्रम <math>\mathbf{v}_1</math> एकघाततः स्वतंत्र होता है।
-=== रैखिक परतंत्रता और दो सदिशों की स्वतंत्रता ===
+=== एकघाततः परतंत्रता और दो सदिशों की स्वतंत्रता ===
 यह उदाहरण उस विशेष स्थिति पर विचार करता है जहां दो समष्टि सदिश <math>\mathbf{u}</math> और <math>\mathbf{v}</math> वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि हैं तथा सदिश <math>\mathbf{u}</math> और <math>\mathbf{v}</math> एकघाततः परतंत्र हैं और यदि ये निम्न में से कम से कम एक सत्य है:
@@ Line 177: / Line 177: @@
 :<math>a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = \left( a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n \right),</math>
-तब <math>a_i = 0</math> for all <math>i = 1, \ldots, n.</math>
+तब <math>a_i = 0</math> सभी के लिए <math>i = 1, \ldots, n.</math>
 }}
@@ Line 186: / Line 186: @@
 === प्रमाण ===
-माना कि <math>a</math> और <math>b</math> ऐसी दो वास्तविक संख्याएँ हैं
+माना कि <math>a</math> और <math>b</math> दो वास्तविक संख्याएँ हैं
 :<math>ae ^ t + be ^ {2t} = 0</math>
-उपरोक्त समीकरण का पहला व्युत्पन्न लें:
+उपरोक्त समीकरण का पहला व्युत्पन्न,
 :<math>ae ^ t + 2be ^ {2t} = 0</math>
-'''के लिए {{em|all}} के मान <math>t.</math> ह'''में वह दिखाने की जरूरत है <math>a = 0</math> और <math>b = 0.</math> ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाकर देते हैं <math>be^{2t} = 0</math>. तब से <math>e^{2t}</math> कुछ के लिए शून्य नहीं है <math>t</math>, <math>b=0.</math> यह इस प्रकार है कि <math>a = 0</math> भी। इसलिए, एकघाततः स्वतंत्र की परिभाषा के अनुसार, <math>e^{t}</math> और <math>e^{2t}</math> एकघाततः स्वतंत्र हैं।
+<math>t</math> के सभी मानों के लिए, हमें यह दिखाना आवश्यक है कि <math>a = 0</math> और <math>b = 0</math> है, ऐसा करने के लिए हम <math>be^{2t} = 0</math> देते हुए पहले समीकरण को दूसरे से घटाते हैं। चूँकि <math>e^{2t}</math> कुछ समीकरण मे <math>t</math>, <math>b=0</math> और <math>a = 0</math> के लिए शून्य नहीं होता है। इसलिए, एकघाततः स्वतंत्र की परिभाषा के अनुसार <math>e^{t}</math> और <math>e^{2t}</math> एकघाततः स्वतंत्र होते हैं।
-== रैखिक निर्भरता का स्थान ==
+== एकघाततः परतंत्र की समष्टि ==
-सदिशों के बीच एक रैखिक निर्भरता या [[ रैखिक संबंध |रैखिक संबंध]] {{math|'''v'''<sub>1</sub>, ..., '''v'''<sub>''n''</sub>}} एक [[ टपल |टपल]] है {{math|(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} साथ {{mvar|n}} अदिश (गणित) घटक जैसे कि
+सदिश {{math|'''v'''<sub>1</sub>, ..., '''v'''<sub>''n''</sub>}} के बीच एक एकघाततः परतंत्र या [[ रैखिक संबंध |रैखिक संबंध]] {{mvar|n}} अदिश घटकों के साथ एक [[ टपल |टपल]] {{math|(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} है जैसे कि
-:<math>a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n= \mathbf{0}.</math>
+:<math>a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n= \mathbf{0}</math>
-यदि ऐसी रैखिक निर्भरता कम से कम एक अशून्य घटक के साथ उपस्थित है, तो {{mvar|n}} सदिश एकघाततः परतंत्र हैं। के बीच रैखिक निर्भरता {{math|'''v'''<sub>1</sub>, ..., '''v'''<sub>''n''</sub>}} एक सदिश समिष्ट बनाएँ।
+यदि ऐसी एकघाततः परतंत्रता कम से कम एक गैर-शून्य घटक के साथ उपस्थित है, तब {{mvar|n}} सदिश एकघाततः परतंत्र हैं। जो {{math|'''v'''<sub>1</sub>, ..., '''v'''<sub>''n''</sub>}} के बीच एकघाततः परतंत्र एक सदिश समष्टि निर्मित करती है।
-यदि सदिश उनके निर्देशांक द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, तो रैखिक निर्भरता रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, जिसमें सदिशों के निर्देशांक गुणांक के रूप में होते हैं। रैखिक निर्भरता के सदिश समिष्ट का एक आधार (रैखिक बीजगणित) इसलिए गॉसियन विलोपन द्वारा गणना की जा सकती है।
+यदि सदिश उनके निर्देशांक द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, तो एकघाततः परतंत्रता एकघाततः समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के हल होते हैं, जिसमें सदिशों के निर्देशांक गुणांक के रूप में होते हैं। एकघाततः परतंत्र के सदिश समिष्ट के आधार की गणना गॉसियन विलोपन विधि द्वारा की जा सकती है।
 == सामान्यीकरण ==
-=== आत्मीय स्वतंत्रता ===
+=== सजातीय स्वतंत्रता ===
-{{See also|Affine space}}
+{{See also| सजातीय उपसमष्‍टि}}
-सदिशों के एक समुच्चय को बंधुतापूर्ण रूप से आश्रित कहा जाता है यदि समुच्चय में सदिशों में से कम से कम एक सदिशों को दूसरों के सजातीय संयोजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अन्यथा, समुच्चय को आत्मीयता से स्वतंत्र कहा जाता है। कोई भी affine संयोजन एक रैखिक संयोजन है; इसलिए प्रत्येक आत्मीय आश्रित समुच्चय रैखिक परतंत्र होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक एकघाततः स्वतंत्र समुच्चय आत्मीयता से स्वतंत्र होता है।
-के एक समुच्चय पर विचार करें <math>m</math> सदिश <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m</math> आकार का <math>n</math> प्रत्येक, और के समुच्चय पर विचार करें <math>m</math> संवर्धित सदिश <math display="inline">\left(\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mathbf{v}_1\end{smallmatrix}\right], \ldots, \left[\begin{smallmatrix}1 \\ \mathbf{v}_m\end{smallmatrix}\right]\right)</math> आकार का <math>n + 1</math> प्रत्येक। मूल सदिश आत्मीयता से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि संवर्धित सदिश एकघाततः स्वतंत्र हों।<ref name="lp">{{Cite Lovasz Plummer}}</ref>{{Rp|256}}
+सदिशों के एक समुच्चय को सजातीय परतंत्र कहा जाता है यदि समुच्चय के सदिशों में से कम से कम एक सदिश को दूसरों के सजातीय संयोजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अन्यथा, समुच्चय को सजातीय स्वतंत्र कहा जाता है। यदि कोई भी सजातीय संयोजन एक रैखिक संयोजन है तब प्रत्येक सजातीय स्वतंत्र समुच्चय एकघाततः परतंत्र होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक एकघाततः स्वतंत्र समुच्चय सजातीय स्वतंत्र होता है।
+यदि संवर्धित सदिश एकघाततः स्वतंत्र है, तब <math>m</math> सदिश के एक समुच्चय <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m</math> पर विचार करें की <math>n</math> और <math>m</math> आकार के प्रत्येक समुच्चय पर संवर्धित सदिश <math display="inline">\left(\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mathbf{v}_1\end{smallmatrix}\right], \ldots, \left[\begin{smallmatrix}1 \\ \mathbf{v}_m\end{smallmatrix}\right]\right)</math> के <math>n + 1</math> प्रत्येक मूल सदिश के सजातीय स्वतंत्र होते हैं।<ref name="lp">{{Cite Lovasz Plummer}}</ref>{{Rp|256}}
+=== एकघाततः स्वतंत्र उपसमष्टि सदिश ===
-=== एकघाततः स्वतंत्र सदिश उप- समिष्ट ===
+दो उपसमष्टि सदिश <math>M</math> और <math>N</math> एक सदिश समष्टि <math>X</math> का {{em|एकघाततः स्वतंत्र}} कहलाता है यदि <math>M \cap N = \{0\}</math>{{sfn|Bachman|Narici|2000|pp=3−7}} सामान्य रूप से एक संग्रह <math>M_1, \ldots, M_d</math> के <math>X</math> को उपसमष्टि का {{em|रैखिक स्वतंत्रता}} कहा जाता है यदि <math display="inline">M_i \cap \sum_{k \neq i} M_k = \{0\}</math> के प्रत्येक सूचकांक के लिए <math>i,</math> जहाँ पर <math display="inline">\sum_{k \neq i} M_k = \Big\{m_1 + \cdots + m_{i-1} + m_{i+1} + \cdots + m_d : m_k \in M_k \text{ for all } k\Big\} = \operatorname{span} \bigcup_{k \in \{1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,d\}} M_k</math>{{sfn|Bachman|Narici|2000|pp=3−7}} सदिश समिष्ट <math>X</math> को <math>M_1, \ldots, M_d</math> का {{em|[[प्रत्यक्ष योग]]}} कहा जाता है, यदि ये उपसमष्टि <math>M_1 + \cdots + M_d = X</math> के एकघाततः स्वतंत्र हैं।
-दो सदिश उप- समिष्ट <math>M</math> और <math>N</math> एक सदिश समष्टि की <math>X</math> कहा जाता है {{em|linearly independent}} अगर <math>M \cap N = \{0\}.</math>{{sfn|Bachman|Narici|2000|pp=3−7}} अधिक आम तौर पर, एक संग्रह <math>M_1, \ldots, M_d</math> के उप- समिष्टों का <math>X</math> कहा जाता है {{em|रैखिक स्वतंत्रता}} अगर <math display=inline>M_i \cap \sum_{k \neq i} M_k = \{0\}</math> प्रत्येक सूचकांक के लिए <math>i,</math> कहाँ पे <math display=inline>\sum_{k \neq i} M_k = \Big\{m_1 + \cdots + m_{i-1} + m_{i+1} + \cdots + m_d : m_k \in M_k \text{ for all } k\Big\} = \operatorname{span} \bigcup_{k \in \{1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,d\}} M_k.</math>{{sfn|Bachman|Narici|2000|pp=3−7}} सदिश समिष्ट <math>X</math> ए कहा जाता है {{em|[[direct sum]]}} का <math>M_1, \ldots, M_d</math> अगर ये सबस्पेस एकघाततः स्वतंत्र हैं और <math>M_1 + \cdots + M_d = X.</math>
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Matroid}}
+* {{annotated link|मैटरोड}}
 == संदर्भ ==
 {{reflist}}
 * {{Bachman Narici Functional Analysis 2nd Edition}} <!--{{sfn|Bachman|Narici|2000|p=}}-->
 == बाहरी कड़ियाँ ==
 * {{springer|title=Linear independence|id=p/l059290}}

v t e लीनियर अलजेब्रा
बुनियादी अवधारणाओं	स्केलर वेक्टर सदिश स्थल स्केलर गुणज वेक्टर प्रक्षेपण रैखिक अवधि रैखिक मानचित्र रैखिक प्रक्षेपण रैखिक स्वतंत्रता रैखिक संयोजन आधार आधार का परिवर्तन पंक्ति और स्तंभ वैक्टर पंक्ति और स्तंभ स्थान कर्नेल आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स ट्रांसपोज़ रैखिक समीकरण
मैट्रिसेस	ब्लॉक अपघटन इनवर्टिबल मामूली गुणा रैंक परिवर्तन क्रैमर का नियम गाउस विलोपन
बिलिनियर	Orthogonality डॉट उत्पाद आंतरिक उत्पाद स्थान बाहरी उत्पाद क्रोनकर उत्पाद ग्राम -श्मिट प्रक्रिया
मल्टीलिनियर बीजगणित	निर्धारक पार उत्पाद ट्रिपल उत्पाद सात-आयामी क्रॉस उत्पाद ज्यामितीय बीजगणित बाहरी बीजगणित Bivector मल्टीवेक्टर टेंसर बाहरीता
वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण	दोहरी प्रत्यक्ष योग फ़ंक्शन स्पेस भागफल सबस्पेस टेंसर उत्पाद
संख्यात्मक	फ्लोटिंग-पॉइंट संख्यात्मक स्थिरता बुनियादी रैखिक बीजगणित उपप्रोग्राम विरल मैट्रिक्स रैखिक बीजगणित पुस्तकालयों की तुलना
श्रेणी रूपरेखा गणित पोर्टल

v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
' List of matrices Category:Matrices

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रैखिक स्वतंत्रता: Difference between revisions

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Revision as of 12:55, 12 January 2023

Contents

परिभाषा

अपरिमित फलन

ज्यामितीय उदाहरण

भौगोलिक स्थिति

एकघाततः स्वतंत्र का मूल्यांकन

शून्य सदिश

एकघाततः परतंत्रता और दो सदिशों की स्वतंत्रता

R² में सदिश

R⁴ में सदिश

निर्धारकों के उपयोग के लिए वैकल्पिक विधि

आयामों मे अधिक सदिश

मानक आधार सदिश

एकघाततः स्वतंत्र का फलन

प्रमाण

एकघाततः परतंत्र की समष्टि

सामान्यीकरण

सजातीय स्वतंत्रता

एकघाततः स्वतंत्र उपसमष्टि सदिश

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी कड़ियाँ

Navigation

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रैखिक स्वतंत्रता: Difference between revisions

Revision as of 12:55, 12 January 2023

परिभाषा

अपरिमित फलन

ज्यामितीय उदाहरण

भौगोलिक स्थिति

एकघाततः स्वतंत्र का मूल्यांकन

शून्य सदिश

एकघाततः परतंत्रता और दो सदिशों की स्वतंत्रता

R2 में सदिश

R4 में सदिश

निर्धारकों के उपयोग के लिए वैकल्पिक विधि

आयामों मे अधिक सदिश

मानक आधार सदिश

एकघाततः स्वतंत्र का फलन

प्रमाण

एकघाततः परतंत्र की समष्टि

सामान्यीकरण

सजातीय स्वतंत्रता

एकघाततः स्वतंत्र उपसमष्टि सदिश

यह भी देखें

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