एहरहार्ट बहुपद: Difference between revisions

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गणित में, एक अभिन्न बहुस्थलिकता से संबंधित एहरहार्ट बहुपद होता है जो एक बहुस्थलिकता की मात्रा और बहुस्थलिकता में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या के बीच संबंध को कूटबद्ध करता है। एहरहार्ट बहुपदों के सिद्धांत को यूक्लिडियन तल में पिक के प्रमेय के उच्च-आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

इन बहुपदों का नाम यूजीन एहरहार्ट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1960 के दशक में उनका अध्ययन किया था।

परिभाषा

अनौपचारिक रूप से, यदि $P$ एक बहुस्थलिकता है, और $tP$ प्रत्येक आयाम में $t$ के एक गुणनखंड द्वारा P का विस्तार करके गठित बहुस्थलिकता है फिर $L (P, t)$ $tP$ में पूर्णांक जालक बिंदुओं की संख्या है।

अधिक औपचारिक रूप से, यूक्लिडियन स्थल $\mathbb {R} ^{n}$ और जालक ${\mathcal {L}}$ और एक d-आयामी बहुस्थलिकता $P$ में $\mathbb {R} ^{n}$ पर विचार करें, इस विशेषता के साथ कि बहुस्थलिकता के सभी शीर्ष जालक के बिंदु हैं। (एक सामान्य उदाहरण ${\mathcal {L}}=\mathbb {Z} ^{n}$ हैं और एक बहुस्थलिकता जिसके लिए सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक होते हैं।) मान लेते हैं कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $t$ के लिए $tP$ , $P$ का t-गुना फैलाव हैं (जालक के आधार पर, प्रत्येक शीर्ष समन्वय को गुणा करके गठित बहुस्थलिकता, $t$ के गुणनखंड द्वारा), और

L(P,t)=\#\left(tP\cap {\mathcal {L}}\right)

बहुस्थलिकता $tP$ में निहित जालक बिंदुओं की संख्या को मान ले। एहरहार्ट ने 1962 में दिखाया कि $L$ , t में डिग्री $d$ का एक परिमेय बहुपद है, यानी वहाँ परिमेय संख्याएँ उपस्थित हैं $L_{0}(P),\dots ,L_{d}(P)$ ऐसा है कि:

L(P,t)=L_{d}(P)t^{d}+L_{d-1}(P)t^{d-1}+\cdots +L_{0}(P)

सभी सकारात्मक पूर्णांक $t$ के लिए

एक बंद उत्तल बहुस्थलिकता $P$ के भीतर के एहरहार्ट बहुपद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

L(\operatorname {int} (P),t)=(-1)^{d}L(P,-t),

जहाँ $d$ , $P$ का आयाम है इस परिणाम को एहरहार्ट-मैकडोनाल्ड पारस्परिकता के रूप में जाना जाता है।^[1]

उदाहरण

यह दूसरा फैलाव है,

t=2

, एक इकाई वर्ग का। इसके नौ पूर्णांक बिंदु हैं।

मान लेते है कि $P$ एक $d$ -आयामी इकाई घन अतिविम हैं, जिसके शीर्ष पूर्णांक जालक बिंदु हैं और जिनके सभी निर्देशांक 0 या 1 हैं। असमानताओं के संदर्भ में,

P=\left\{x\in \mathbb {R} ^{d}:0\leq x_{i}\leq 1;1\leq i\leq d\right\}.

फिर $P$ का $t$ -गुना फैलाव एक घन है जिसकी भुजा की लंबाई $t$ है, जिसमें $(t + 1) d$ पूर्णांक बिंदु हैं। अर्थात्, अतिविम का एहरहार्ट बहुपद $L (P, t) = (t + 1) d$ हैं।.^[2]^[3] इसके अतिरिक्त, यदि हम ऋणात्मक पूर्णांकों पर $L (P, t)$ का मूल्यांकन करते हैं तब

L(P,-t)=(-1)^{d}(t-1)^{d}=(-1)^{d}L(\operatorname {int} (P),t),

जैसा कि हमें एहरहार्ट-मैकडोनाल्ड पारस्परिकता से अपेक्षा करते हैं।

कई अन्य आलंकारिक संख्याओं को एहरहार्ट बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वर्ग पिरामिड संख्याएँ वर्ग पिरामिड के एहरहार्ट बहुपदों द्वारा दी जाती हैं, जिसका आधार एक पूर्णांक इकाई वर्ग होता है और जिसकी ऊँचाई एक होती है; इस स्थिति में एहरहार्ट बहुपद $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/6(t + 1)(t + 2)(2t + 3)$ है। ^[4]

एहरहार्ट अर्ध-बहुपद

मान लीजिए कि $P$ एक परिमेय बहुस्थलिकता है। दूसरे शब्दों में, मान लीजिए

P=\left\{x\in \mathbb {R} ^{d}:Ax\leq b\right\},

जहाँ $A\in \mathbb {Q} ^{k\times d}$ और $b\in \mathbb {Q} ^{k}.$ (समान रूप से $P$ , $\mathbb {Q} ^{d}$ में बहुत से बिंदुओं का अवमुख समावरक है) फिर परिभाषित करें

L(P,t)=\#\left(\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:Ax\leq tb\right\}\right).

इस स्थिति में, $L (P, t)$ $t$ में एक अर्ध-बहुपद है। जिस तरह अभिन्न बहुतलीय के साथ, एहरहार्ट-मैकडोनाल्ड पारस्परिकता होती है, उसी तरह,

L(\operatorname {int} (P),t)=(-1)^{n}L(P,-t).

एहरहार्ट अर्ध-बहुपदों के उदाहरण

मान लीजिए $P$ एक बहुभुज है जिसके शीर्ष (0,0), (0,2), (1,1) और (3/2, 0) हैं। $tP$ में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या को अर्ध-बहुपद द्वारा गिना जाएगा ^[5]

L(P,t)={\frac {7t^{2}}{4}}+{\frac {5t}{2}}+{\frac {7+(-1)^{t}}{8}}.

गुणांकों की व्याख्या

अगर $P$ बंद सेट है (अर्थात सीमा के छोर $P$ से संबंधित है), $L (P, t)$ के कुछ गुणांको की एक आसान व्याख्या है:

अग्रणी गुणांक, $L_{d}(P)$ , $P$ के d-आयामी आयतन के बराबर है, उसे $d (L)$ से भाग करे।

दूसरा गुणांक, $L_{d-1}(P)$ , की गणना इस प्रकार की जा सकती है: जालक $L$ , $P$ के किसी भी छोर $F$ पर एक जालक को प्रेरित करता है, $F$ का ${{{1}}}$ $(d - 1)$ विमीय आयतन ले, $2 d (L F)$ से भाग करें और उन संख्याओं को $P$ के सभी छोरों के लिए जोड़ें;

स्थिर गुणांक $a 0$ की यूलर विशेषता $P$ है। जब $P$ एक बंद उत्तल बहुस्थलिकता है, तब $L_{0}(P)=1$ .

बेटके-नेसर प्रमेय

उलरिच बेटके और मार्टिन केनेसर^[6] ने एहरहार्ट गुणांकों के निम्नलिखित विशेषताओं की स्थापना की। एक अभिन्न बहुतलीय पर परिभाषित कार्यात्मक $Z$ एक $\operatorname {SL} (n,\mathbb {Z} )$ है और अनुवाद अपरिवर्तनीय मूल्यांकन (माप सिद्धांत) यदि और केवल वास्तविक संख्याएं $c_{0},\ldots ,c_{n}$ है, जैसे कि

Z=c_{0}L_{0}+\cdots +c_{n}L_{n}.

एहरहार्ट श्रृंखला

हम एक अभिन्न $d$ -आयामी बहुस्थलिकता $P$ के एहरहार्ट बहुपद के लिए एक जनक फलन को परिभाषित कर सकते हैं

\operatorname {Ehr} _{P}(z)=\sum _{t\geq 0}L(P,t)z^{t}.

इस श्रृंखला को एक परिमेय फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, एहरहार्ट ने सिद्ध किया (1962)^{[citation needed]} कि जटिल संख्याएँ उपस्थित हैं $h_{j}^{*}$ , $0\leq j\leq d$ , जैसे कि $P$ की एहरहार्ट श्रृंखला है

\operatorname {Ehr} _{P}(z)={\frac {\sum _{j=0}^{d}h_{j}^{\ast }(P)z^{j}}{(1-z)^{d+1}}},\qquad \sum _{j=0}^{d}h_{j}^{\ast }(P)\neq 0.

इसके अतिरिक्त, रिचर्ड पी. स्टेनली का गैर-नकारात्मकता प्रमेय बताता है कि दी गई परिकल्पनाओं के निम्न, $h_{j}^{*}$ के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णां $0\leq j\leq d$ होंगे

स्टेनली द्वारा एक अन्य परिणाम से पता चलता है कि अगर $P$ , $Q$ में निहित एक जालक बहुस्थलिकता है तब $h_{j}^{*}(P)\leq h_{j}^{*}(Q)$ सभी $j$ के लिए^[7] $h^{*}$ सदिश सामान्य रूप से एकरूप नहीं है, लेकिन जब भी यह सममित होता है, और बहुस्थलिकता में एक नियमित एकमापांकि त्रिभुज होता है।^[8]

परिमेय बहुतलीय के लिए एहरहार्ट श्रृंखला

जैसा कि पूर्णांक शीर्षो वाले बहुतलीय के स्थिति में, एक परिमेय बहुस्थलिकता के लिए एहरहार्ट श्रृंखला को परिभाषित करता है। एक d-आयामी परिमेय बहुस्थलिकता $P$ के लिए, जहाँ $D$ सबसे छोटा पूर्णांक है, जैसे कि $DP$ एक पूर्णांक बहुस्थलिकता है ( $D$ को $P$ का हर कहा जाता है), तो किसी के पास है

\operatorname {Ehr} _{P}(z)=\sum _{t\geq 0}L(P,t)z^{t}={\frac {\sum _{j=0}^{D(d+1)}h_{j}^{\ast }(P)z^{j}}{\left(1-z^{D}\right)^{d+1}}},

जहां $h_{j}^{*}$ अभी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।^[9]^[10]

गैर-अग्रणी गुणांक सीमा

प्रतिनिधित्व में बहुपद के गैर-अग्रणी गुणांक $c_{0},\dots ,c_{d-1}$

L(P,t)=\sum _{r=0}^{d}c_{r}t^{r}

ऊपरी सीमा हो सकती है:^[11]

c_{r}\leq (-1)^{d-r}{\begin{bmatrix}d\\r\end{bmatrix}}c_{d}+{\frac {(-1)^{d-r-1}}{(d-1)!}}{\begin{bmatrix}d\\r+1\end{bmatrix}}

जहाँ $\left[{\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}}\right]$ पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या है। निचली सीमाएं भी उपस्थित हैं।^[12]

टोरिक किस्म

स्थिति $n=d=2$ और $t=1$ इन कथनों से पिक की प्रमेय प्राप्त होती है। अन्य गुणांकों के लिए सूत्र प्राप्त करना बहुत कठिन है; इस उद्देश्य के लिए टॉरिक प्रकार के टोड वर्ग, रीमैन-रोच प्रमेय और साथ ही फूरियर विश्लेषण का उपयोग किया गया है।

अगर $X$ , $P$ के अनुरूप टोरिक प्रकार है , तब $P$ , $X$ पर एक पर्याप्त लाइन बंडल को परिभाषित करता है, और $P$ का एहरहार्ट बहुपद इस लाइन बंडल के हिल्बर्ट बहुपद के साथ मेल खाता है।

एहरहार्ट बहुपदों का उनके स्वयं के लिए अध्ययन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोई एहरहार्ट बहुपद की जड़ों से संबंधित प्रश्न पूछ सकता है।^[13] इसके अतिरिक्त, कुछ लेखकों ने यह सवाल किया है कि इन बहुपदों को कैसे वर्गीकृत किया जा सकता है।^[14]

सामान्यीकरण

अगर हम $P$ के कुछ पहलुओं को फैलाते है, तो बहुस्थलिकता $P$ में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या का अध्ययन करना संभव होगा। दूसरे शब्दों में, कोई अर्ध-फैली बहुस्थलिकता में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जानना चाहेगा। यह पता चला है कि इस तरह की गिनती का फलन एक बहुभिन्नरूपी अर्ध-बहुपद कहलाता है। एहरहार्ट-प्रकार की पारस्परिकता प्रमेय भी इस तरह की गिनती के फलन में मान्य होगी।

बहुतलीय के अर्ध-विस्तारण में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या की गणना के अनुप्रयोग ^[15] नियमित बहुभुजों के विभिन्न विच्छेदन की संख्या और गैर-समरूपी अप्रतिबंधित कोड की संख्या की गणना करने में है, कोडिंग सिद्धांत के क्षेत्र में एक विशेष प्रकार का कोड।

यह भी देखें

अर्ध-बहुपद
स्टेनली की पारस्परिकता प्रमेय

↑ Macdonald, Ian G. (1971). "परिमित सेल-कॉम्प्लेक्स से जुड़े बहुपद". Journal of the London Mathematical Society. 2 (1): 181–192. doi:10.1112/jlms/s2-4.1.181.
↑ De Loera, Rambau & Santos (2010)
↑ Mathar (2010)
↑ Beck et al. (2005).
↑ Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007). सतत रूप से कम्प्यूटिंग. New York: Springer. pp. 46–47. MR 2271992.
↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985), "Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 358: 202–208, MR 0797683
↑ Stanley, Richard (1993). "A monotonicity property of $h$ -vectors and $h^{*}$ -vectors". European Journal of Combinatorics. 14 (3): 251–258. doi:10.1006/eujc.1993.1028.
↑ Athanasiadis, Christos A. (2004). "h*-सदिश, यूलेरियन बहुपद और रेखांकन के स्थिर बहुशीर्ष". Electronic Journal of Combinatorics. 11 (2). doi:10.37236/1863.
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↑ Beck, Matthias; Sottile, Frank (January 2007). "स्टेनली के तीन प्रमेयों के लिए अपरिमेय प्रमाण". European Journal of Combinatorics. 28 (1): 403–409. arXiv:math/0501359. doi:10.1016/j.ejc.2005.06.003. S2CID 7801569.
↑ Betke, Ulrich; McMullen, Peter (1985-12-01). "जाली पॉलीटोप्स में जाली बिंदु". Monatshefte für Mathematik (in English). 99 (4): 253–265. doi:10.1007/BF01312545. ISSN 1436-5081. S2CID 119545615.
↑ Henk, Martin; Tagami, Makoto (2009-01-01). "एहरहार्ट बहुपदों के गुणांकों पर निचली सीमाएं". European Journal of Combinatorics. 30 (1): 70–83. arXiv:0710.2665. doi:10.1016/j.ejc.2008.02.009. ISSN 0195-6698. S2CID 3026293.
↑ Braun, Benjamin; Develin, Mike (2008). एहरहार्ट बहुपद जड़ें और स्टेनली की गैर-नकारात्मकता प्रमेय. Contemporary Mathematics. Vol. 452. American Mathematical Society. pp. 67–78. arXiv:math/0610399. doi:10.1090/conm/452/08773. ISBN 9780821841730. S2CID 118496291.
↑ Higashitani, Akihiro (2012). "समाकलन सरलताओं के एहरहार्ट बहुपदों का वर्गीकरण" (PDF). DMTCS Proceedings: 587–594.
↑ Lisonek, Petr (2007). "अर्ध-बहुपदों द्वारा परिगणित संयोजी परिवार". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 114 (4): 619–630. doi:10.1016/j.jcta.2006.06.013.

संदर्भ

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Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-29139-0, MR 2271992.
De Loera, Jesús A.; Rambau, Jörg; Santos, Francisco (2010), "Ehrhart polynomials and unimodular triangulations", Triangulations: Structures for Algorithms and Applications, Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 25, Springer, p. 475, ISBN 978-3-642-12970-4.
Diaz, Ricardo; Robins, Sinai (1996), "The Ehrhart polynomial of a lattice n-simplex", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 2: 1–6, doi:10.1090/S1079-6762-96-00001-7, MR 1405963. Introduces the Fourier analysis approach and gives references to other related articles.
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Mathar, Richard J. (2010), Point counts of $D_{k}$ and some $A_{k}$ and $E_{k}$ integer lattices inside hypercubes, arXiv:1002.3844, Bibcode:2010arXiv1002.3844M
Mustață, Mircea (February 2005), "Ehrhart polynomials", Lecture notes on toric varieties.

[1] Macdonald, Ian G. (1971). "परिमित सेल-कॉम्प्लेक्स से जुड़े बहुपद". Journal of the London Mathematical Society. 2 (1): 181–192. doi:10.1112/jlms/s2-4.1.181.

[2] De Loera, Rambau & Santos (2010)

[3] Mathar (2010)

[4] Beck et al. (2005).

[MR2271992-5] Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007). सतत रूप से कम्प्यूटिंग. New York: Springer. pp. 46–47. MR 2271992.

[6] Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985), "Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 358: 202–208, MR 0797683

[7] Stanley, Richard (1993). "A monotonicity property of $h$ -vectors and $h^{*}$ -vectors". European Journal of Combinatorics. 14 (3): 251–258. doi:10.1006/eujc.1993.1028.

[8] Athanasiadis, Christos A. (2004). "h*-सदिश, यूलेरियन बहुपद और रेखांकन के स्थिर बहुशीर्ष". Electronic Journal of Combinatorics. 11 (2). doi:10.37236/1863.

[9] Stanley, Richard P. (1980). "तर्कसंगत उत्तल पॉलीटोप्स का अपघटन". Annals of Discrete Mathematics. 6: 333–342. doi:10.1016/s0167-5060(08)70717-9. ISBN 9780444860484.

[10] Beck, Matthias; Sottile, Frank (January 2007). "स्टेनली के तीन प्रमेयों के लिए अपरिमेय प्रमाण". European Journal of Combinatorics. 28 (1): 403–409. arXiv:math/0501359. doi:10.1016/j.ejc.2005.06.003. S2CID 7801569.

[11] Betke, Ulrich; McMullen, Peter (1985-12-01). "जाली पॉलीटोप्स में जाली बिंदु". Monatshefte für Mathematik (in English). 99 (4): 253–265. doi:10.1007/BF01312545. ISSN 1436-5081. S2CID 119545615.

[12] Henk, Martin; Tagami, Makoto (2009-01-01). "एहरहार्ट बहुपदों के गुणांकों पर निचली सीमाएं". European Journal of Combinatorics. 30 (1): 70–83. arXiv:0710.2665. doi:10.1016/j.ejc.2008.02.009. ISSN 0195-6698. S2CID 3026293.

[13] Braun, Benjamin; Develin, Mike (2008). एहरहार्ट बहुपद जड़ें और स्टेनली की गैर-नकारात्मकता प्रमेय. Contemporary Mathematics. Vol. 452. American Mathematical Society. pp. 67–78. arXiv:math/0610399. doi:10.1090/conm/452/08773. ISBN 9780821841730. S2CID 118496291.

[14] Higashitani, Akihiro (2012). "समाकलन सरलताओं के एहरहार्ट बहुपदों का वर्गीकरण" (PDF). DMTCS Proceedings: 587–594.

[15] Lisonek, Petr (2007). "अर्ध-बहुपदों द्वारा परिगणित संयोजी परिवार". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 114 (4): 619–630. doi:10.1016/j.jcta.2006.06.013.

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-गणित में, एक अभिन्न [[ polytope |बहुस्थलिकता]] से संबंधित [[एहरहार्ट बहुपद]] होता है जो एक बहुस्थलिकता की मात्रा और बहुस्थलिकता में [[पूर्णांक बिंदु]]ओं की संख्या के बीच संबंध को कूटबद्ध करता है। एहरहार्ट बहुपदों के सिद्धांत को [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन प्लेन]] में पिक के प्रमेय के उच्च-आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।
+गणित में, एक अभिन्न [[ polytope |बहुस्थलिकता]] से संबंधित [[एहरहार्ट बहुपद]] होता है जो एक बहुस्थलिकता की मात्रा और बहुस्थलिकता में [[पूर्णांक बिंदु]]ओं की संख्या के बीच संबंध को कूटबद्ध करता है। एहरहार्ट बहुपदों के सिद्धांत को [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन तल]] में पिक के प्रमेय के उच्च-आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।
 इन बहुपदों का नाम [[यूजीन एहरहार्ट]] के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1960 के दशक में उनका अध्ययन किया था।
 == परिभाषा ==
-अनौपचारिक रूप से, यदि {{math|''P''}} एक बहुस्थलिकता है, और {{math|''tP''}} प्रत्येक आयाम में {{math|''t''}} के एक गुणनखंड द्वारा P का विस्तार करके गठित बहुस्थलिकता है फिर {{math|''L''(''P'', ''t'')}} {{math|''tP''}} में [[पूर्णांक जाली]] बिंदुओं की संख्या है।
+अनौपचारिक रूप से, यदि {{math|''P''}} एक बहुस्थलिकता है, और {{math|''tP''}} प्रत्येक आयाम में {{math|''t''}} के एक गुणनखंड द्वारा P का विस्तार करके गठित बहुस्थलिकता है फिर {{math|''L''(''P'', ''t'')}} {{math|''tP''}} में [[पूर्णांक जाली|पूर्णांक जालक]] बिंदुओं की संख्या है।
-अधिक औपचारिक रूप से, [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन इस्पेस]] <math>\R^n</math> और जली <math>\mathcal{L}</math> और एक d-आयामी बहुस्थलिकता <math>P</math> में <math>\R^n</math> पर विचार करें, इस विशेषता के साथ कि बहुस्थलिकता के सभी शीर्ष जाली के बिंदु हैं। (एक सामान्य उदाहरण <math>\mathcal{L} = \Z^n</math> हैं और एक बहुस्थलिकता जिसके लिए सभी शीर्षों में [[पूर्णांक]] निर्देशांक होते हैं।) मान लेते हैं कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक {{math|''t''}} के लिए {{math|''tP''}}, {{math|''P''}} का t-गुना फैलाव हैं (जाली के आधार पर, प्रत्येक शीर्ष समन्वय को गुणा करके गठित बहुस्थलिकता, {{math|''t''}} के गुणनखंड द्वारा), और
+अधिक औपचारिक रूप से, [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थल]] <math>\R^n</math> और जालक <math>\mathcal{L}</math> और एक d-आयामी बहुस्थलिकता <math>P</math> में <math>\R^n</math> पर विचार करें, इस विशेषता के साथ कि बहुस्थलिकता के सभी शीर्ष जालक के बिंदु हैं। (एक सामान्य उदाहरण <math>\mathcal{L} = \Z^n</math> हैं और एक बहुस्थलिकता जिसके लिए सभी शीर्षों में [[पूर्णांक]] निर्देशांक होते हैं।) मान लेते हैं कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक {{math|''t''}} के लिए {{math|''tP''}}, {{math|''P''}} का t-गुना फैलाव हैं (जालक के आधार पर, प्रत्येक शीर्ष समन्वय को गुणा करके गठित बहुस्थलिकता, {{math|''t''}} के गुणनखंड द्वारा), और
 :<math>L(P,t) = \#\left(tP \cap \mathcal{L}\right)</math>
-बहुस्थलिकता {{math|''tP''}} में निहित जाली बिंदुओं की संख्या को मान ले। एहरहार्ट ने 1962 में दिखाया कि {{math|''L''}}, t में डिग्री {{math|''d''}} का एक परिमेय बहुपद है, यानी वहाँ [[परिमेय संख्याएँ]] उपस्थित हैं <math>L_0(P),\dots,L_d(P)</math> ऐसा है कि:
+बहुस्थलिकता {{math|''tP''}} में निहित जालक बिंदुओं की संख्या को मान ले। एहरहार्ट ने 1962 में दिखाया कि {{math|''L''}}, t में डिग्री {{math|''d''}} का एक परिमेय बहुपद है, यानी वहाँ [[परिमेय संख्याएँ]] उपस्थित हैं <math>L_0(P),\dots,L_d(P)</math> ऐसा है कि:
 :<math>L(P, t) = L_d(P) t^d + L_{d-1}(P) t^{d-1} + \cdots + L_0(P)</math>
 सभी सकारात्मक पूर्णांक {{math|''t''}} के लिए
-एक बंद उत्तल बहुस्थलिकता {{math|''P''}} के [[इंटीरियर]] के एहरहार्ट बहुपद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
+एक बंद उत्तल बहुस्थलिकता {{math|''P''}} के [[इंटीरियर|भीतर]] के एहरहार्ट बहुपद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 :<math> L(\operatorname{int}(P), t) = (-1)^d L(P, -t),</math>
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 == उदाहरण ==
-[[File:Second dilate of a unit square.png|thumbnail|यह दूसरा फैलाव है, <math>t = 2</math>, एक इकाई वर्ग का। इसके नौ पूर्णांक बिंदु हैं।]]मान लेते है कि {{math|''P''}} एक {{math|''d''}}-आयामी [[ इकाई घन | इकाई घन]][[ अतिविम |  अतिविम]] हैं, जिसके शीर्ष पूर्णांक जाली बिंदु हैं और जिनके सभी निर्देशांक 0 या 1 हैं। असमानताओं के संदर्भ में,
+[[File:Second dilate of a unit square.png|thumbnail|यह दूसरा फैलाव है, <math>t = 2</math>, एक इकाई वर्ग का। इसके नौ पूर्णांक बिंदु हैं।]]मान लेते है कि {{math|''P''}} एक {{math|''d''}}-आयामी [[ इकाई घन | इकाई घन]][[ अतिविम |  अतिविम]] हैं, जिसके शीर्ष पूर्णांक जालक बिंदु हैं और जिनके सभी निर्देशांक 0 या 1 हैं। असमानताओं के संदर्भ में,
 :<math> P = \left\{x\in\R^d : 0 \le x_i \le 1; 1 \le i \le d\right\}.</math>
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 * अग्रणी गुणांक, <math>L_d(P)</math>, {{math|''P''}} के d-आयामी [[आयतन]] के बराबर है, उसे {{math|''d''(''L'')}} से भाग करे।
-* दूसरा गुणांक, <math>L_{d-1}(P)</math>, की गणना इस प्रकार की जा सकती है: जाली {{math|''L''}}, <math>P</math> के किसी भी छोर <math>F</math> पर एक जाली को प्रेरित करता है, <math>F</math> का {{math}}{{math|(''d'' − 1)}} विमीय आयतन ले, {{math|2''d''(''L<sub>F</sub>'')}} से भाग करें और उन संख्याओं को <math>P</math> के सभी छोरों के लिए जोड़ें;
+* दूसरा गुणांक, <math>L_{d-1}(P)</math>, की गणना इस प्रकार की जा सकती है: जालक {{math|''L''}}, <math>P</math> के किसी भी छोर <math>F</math> पर एक जालक को प्रेरित करता है, <math>F</math> का {{math}}{{math|(''d'' − 1)}} विमीय आयतन ले, {{math|2''d''(''L<sub>F</sub>'')}} से भाग करें और उन संख्याओं को <math>P</math> के सभी छोरों के लिए जोड़ें;
 * स्थिर गुणांक {{math|''a''<sub>0</sub>}} की [[यूलर विशेषता]] {{math|''P''}} है। जब {{math|''P''}} एक बंद उत्तल बहुस्थलिकता है, तब <math>L_0(P)=1</math>.
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 इसके अतिरिक्त, रिचर्ड पी. स्टेनली का गैर-नकारात्मकता प्रमेय बताता है कि दी गई परिकल्पनाओं के निम्न, <math>h_j^*</math> के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णां<math>0 \le j \le d</math> होंगे
-स्टेनली द्वारा एक अन्य परिणाम से पता चलता है कि अगर {{math|''P''}}, {{math|''Q''}} में निहित एक जाली बहुस्थलिकता है तब <math>h_j^*(P) \le h_j^*(Q)</math> सभी {{math|''j''}} के लिए<ref>{{cite journal|last1=Stanley|first1=Richard|title=A monotonicity property of <math>h</math>-vectors and <math>h^*</math>-vectors|journal=[[European Journal of Combinatorics]]|year=1993|volume=14|issue=3 |pages=251–258 |doi=10.1006/eujc.1993.1028|doi-access=free}}</ref>   <math>h^*</math>  सदिश सामान्य रूप से एकरूप नहीं है, लेकिन जब भी यह सममित होता है, और बहुस्थलिकता में एक नियमित एकमापांकि त्रिभुज होता है।<ref>{{cite journal|last1=Athanasiadis|first1=Christos A.|title=''h''*-सदिश, यूलेरियन बहुपद और रेखांकन के स्थिर बहुशीर्ष| journal= [[Electronic Journal of Combinatorics]]| year=2004| volume=11| issue=2|doi=10.37236/1863| url= http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v11i2r6| doi-access=free}}</ref>
+स्टेनली द्वारा एक अन्य परिणाम से पता चलता है कि अगर {{math|''P''}}, {{math|''Q''}} में निहित एक जालक बहुस्थलिकता है तब <math>h_j^*(P) \le h_j^*(Q)</math> सभी {{math|''j''}} के लिए<ref>{{cite journal|last1=Stanley|first1=Richard|title=A monotonicity property of <math>h</math>-vectors and <math>h^*</math>-vectors|journal=[[European Journal of Combinatorics]]|year=1993|volume=14|issue=3 |pages=251–258 |doi=10.1006/eujc.1993.1028|doi-access=free}}</ref>   <math>h^*</math>  सदिश सामान्य रूप से एकरूप नहीं है, लेकिन जब भी यह सममित होता है, और बहुस्थलिकता में एक नियमित एकमापांकि त्रिभुज होता है।<ref>{{cite journal|last1=Athanasiadis|first1=Christos A.|title=''h''*-सदिश, यूलेरियन बहुपद और रेखांकन के स्थिर बहुशीर्ष| journal= [[Electronic Journal of Combinatorics]]| year=2004| volume=11| issue=2|doi=10.37236/1863| url= http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v11i2r6| doi-access=free}}</ref>
 === परिमेय बहुतलीय के लिए एहरहार्ट श्रृंखला ===
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   | title = Lecture notes on toric varieties
   | url = http://www.math.lsa.umich.edu/~mmustata/toric_var.html}}.
-[[Category: संख्याओं का अंकन करें]] [[Category: बहुपदों]] [[Category: जाली अंक]] [[Category: पॉलीटोप्स]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from February 2017]]
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 [[Category:Created On 03/03/2023]]
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Latest revision as of 10:54, 20 March 2023

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परिभाषा

उदाहरण

एहरहार्ट अर्ध-बहुपद

एहरहार्ट अर्ध-बहुपदों के उदाहरण

गुणांकों की व्याख्या

बेटके-नेसर प्रमेय

एहरहार्ट श्रृंखला

परिमेय बहुतलीय के लिए एहरहार्ट श्रृंखला

गैर-अग्रणी गुणांक सीमा

टोरिक किस्म

सामान्यीकरण

यह भी देखें

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एहरहार्ट बहुपद: Difference between revisions

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उदाहरण

एहरहार्ट अर्ध-बहुपद

एहरहार्ट अर्ध-बहुपदों के उदाहरण

गुणांकों की व्याख्या

बेटके-नेसर प्रमेय

एहरहार्ट श्रृंखला

परिमेय बहुतलीय के लिए एहरहार्ट श्रृंखला

गैर-अग्रणी गुणांक सीमा

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