चरण आकृति: Difference between revisions

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[[File:Pendulum phase portrait.svg|thumb|312x312px और एक साधारण पेंडुलम का चरण चित्र। ध्यान दें कि x-अक्ष, कोणीय होने के कारण, प्रत्येक 2π रेडियन के बाद स्वयं पर लपेटता है।]]
[[File:Pendulum phase portrait.svg|thumb|312x312px और साधारण पेंडुलम का चरण चित्र। ध्यान दें कि x-अक्ष, कोणीय होने के कारण, प्रत्येक 2π रेडियन के बाद स्वयं पर लपेटता है।]]
[[Image:Pendulum phase portrait illustration.svg|400px|thumbnail|एक साधारण पेंडुलम की गति के लिए एक चरण चित्र का निर्माण कैसे किया जाएगा इसका चित्रण।]]
[[Image:Pendulum phase portrait illustration.svg|400px|thumbnail|एक साधारण पेंडुलम की गति के लिए चरण चित्र का निर्माण कैसे किया जाएगा इसका चित्रण।]]
[[File:Van_der_pols_equation_phase_portrait.svg|right|300px|thumb|वैन डेर पोल ऑसिलेटर का चरण चित्र | वैन डेर पोल का समीकरण, <math>\frac{d^2y}{dt^2}+\mu(y^2-1)\frac{dy}{dt}+y=0</math>.]]एक चरण चित्र [[चरण विमान]] में एक [[गतिशील प्रणाली]] के प्रक्षेपवक्रों का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। प्रारंभिक स्थितियों के प्रत्येक सेट को एक अलग वक्र या बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।
[[File:Van_der_pols_equation_phase_portrait.svg|right|300px|thumb|वैन डेर पोल ऑसिलेटर का चरण चित्र | वैन डेर पोल का समीकरण, <math>\frac{d^2y}{dt^2}+\mu(y^2-1)\frac{dy}{dt}+y=0</math>.]]एक चरण चित्र चरण समष्टि में [[गतिशील प्रणाली]] के प्रक्षेपवक्रों का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। प्रारंभिक स्थितियों के प्रत्येक समुच्चय को एक अलग वक्र या बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।


डायनेमिक सिस्टम के अध्ययन में चरण चित्र एक अमूल्य उपकरण हैं। वे [[राज्य अंतरिक्ष]] में विशिष्ट प्रक्षेपवक्र के एक भूखंड (ग्राफिक्स) से युक्त होते हैं। इससे जानकारी का पता चलता है जैसे कि चुने गए पैरामीटर मान के लिए एक आकर्षित करने वाला, एक [[प्रतिकारक]] या [[सीमा चक्र]] मौजूद है या नहीं। जब दो अलग-अलग चरण चित्र एक ही गुणात्मक गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो निर्दिष्ट करके सिस्टम के व्यवहार को वर्गीकृत करने में टोपोलॉजिकल संयुग्मन की अवधारणा महत्वपूर्ण है। एक आकर्षित करने वाला एक स्थिर बिंदु है जिसे सिंक भी कहा जाता है। रिपेलर को एक अस्थिर बिंदु माना जाता है, जिसे स्रोत के रूप में भी जाना जाता है।
गतिशील प्रणाली के अध्ययन में चरण चित्र अमूल्य उपकरण हैं। वे समष्टि अवस्था में विशिष्ट प्रक्षेपवक्र के भूखंड (ग्राफिक्स) से युक्त होते हैं। इससे जानकारी का पता चलता है जैसे कि चुने गए पैरामीटर मान के लिए आकर्षित करने वाला, [[प्रतिकारक]] या [[सीमा चक्र]] उपस्थित है या नहीं। जब दो अलग-अलग चरण चित्र एक ही गुणात्मक गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो निर्दिष्ट करके प्रणाली के व्यवहार को वर्गीकृत करने में टोपोलॉजिकल संयुग्मन की अवधारणा महत्वपूर्ण है। यह आकर्षित करने वाला स्थिर बिंदु है जिसे सिंक भी कहा जाता है। रिपेलर को अस्थिर बिंदु माना जाता है, जिसे स्रोत के रूप में भी जाना जाता है।


एक गतिशील प्रणाली का एक चरण चित्र ग्राफ एक राज्य स्थान में सिस्टम के प्रक्षेपवक्र (तीरों के साथ) और स्थिर स्थिर अवस्थाओं (डॉट्स के साथ) और अस्थिर स्थिर अवस्थाओं (मंडलियों के साथ) को दर्शाता है। अक्ष राज्य चर के हैं।
एक गतिशील प्रणाली का चरण चित्र रेखांकन एक स्टेट समष्टि में प्रणाली के प्रक्षेपवक्र (तीरों के साथ) और स्थिर अवस्थाओं (डॉट्स के साथ) और अस्थिर स्थिर अवस्थाओं (मंडलियों के साथ) को दर्शाता है। अक्ष अवस्था वेरिएबल (चर) के हैं।  


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
* साधारण पेंडुलम, चित्र देखें (दाएं)।
* साधारण पेंडुलम, चित्र देखें (दाएं)।
* सरल हार्मोनिक थरथरानवाला जहां चरण चित्र मूल पर केंद्रित दीर्घवृत्त से बना होता है, जो एक निश्चित बिंदु है।
* सरल हार्मोनिक थरथरानवाला जहां चरण चित्र मूल पर केंद्रित दीर्घवृत्त से बना होता है, जो निश्चित बिंदु है।
* [[वैन डेर पोल ऑसिलेटर]] चित्र देखें (नीचे दाएं)।
* [[वैन डेर पोल ऑसिलेटर]] चित्र देखें (नीचे दाएं)।
* कॉम्प्लेक्स_क्वाड्रैटिक_पोलिनोमियल#पैरामीटर_प्लेन|पैरामीटर प्लेन (सी-प्लेन) और [[मैंडेलब्रॉट सेट]]
* कॉम्प्लेक्स_क्वाड्रैटिक_पोलिनोमियल या पैरामीटर_प्लेन|पैरामीटर प्लेन (सी-प्लेन) और [[मैंडेलब्रॉट सेट|मैंडेलब्रॉट समुच्चय]]


== [[साधारण अंतर समीकरण]]ों के व्यवहार की कल्पना करना ==
== साधारण अंतर समीकरणों के व्यवहार की कल्पना करना ==
एक चरण चित्र सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) की प्रणाली के दिशात्मक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। चरण चित्र सिस्टम की स्थिरता का संकेत दे सकता है। <ref name=":0">Haynes Miller, and Arthur Mattuck. ''18.03 Differential Equations.'' Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, <nowiki>https://ocw.mit.edu</nowiki>. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: <nowiki>https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_26.pdf</nowiki>) </ref>
एक चरण चित्र सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) की प्रणाली के दिशात्मक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। चरण चित्र प्रणाली की स्थिरता का संकेत दे सकता है। <ref name=":0">Haynes Miller, and Arthur Mattuck. ''18.03 Differential Equations.'' Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, <nowiki>https://ocw.mit.edu</nowiki>. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: <nowiki>https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_26.pdf</nowiki>) </ref>
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+Stability<ref name=":0" />
|+स्थिरता<ref name=":0" />
|Unstable
|अस्थिर
|Most of the system's solutions tend towards ∞ over time
|प्रणली के अधिकांश समाधान समय के साथ ∞ की ओर जाते हैं
|-
|-
|Asymptotically stable
|विषम रूप से स्थिर
|All of the system's solutions tend to 0 over time
|प्रणली के सभी समाधान समय के साथ 0 हो जाते हैं
|-
|-
|Neutrally stable
|तटस्थ रूप से स्थिर
|None of the system's solutions tend towards ∞ over time, but most solutions do not tend towards 0 either
|प्रणली का कोई भी समाधान समय के साथ ∞ की ओर नहीं जाता है, किन्तु अधिकांश समाधान 0 की ओर भी नहीं जाते हैं
|}
|}
ODEs की एक प्रणाली का चरण चित्र व्यवहार [[eigenvalue]]s ​​​​या [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] और निर्धारक (ट्रेस = λ) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है<sub>1</sub> + एल<sub>2</sub>, निर्धारित = λ<sub>1</sub> एक्स एल<sub>2</sub>) प्रणाली में।<ref name=":0" />
ओडीईएस की प्रणाली का चरण चित्र व्यवहार [[eigenvalue|आइजनवैल्यू]] ​​​​या [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] और निर्धारक (ट्रेस = λ<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub>, निर्धारित = λ<sub>1</sub> x λ<sub>2</sub>) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।<ref name=":0" />
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+Phase Portrait Behavior<ref name=":0" />
|+चरण पोर्ट्रेट व्यवहार<ref name=":0" />
!Eigenvalue, Trace, Determinant
!आइजनवैल्यू ट्रेस, निर्धारक
!Phase Portrait Shape
!चरण पोर्ट्रेट आकार
|-
|-
|λ<sub>1</sub> & λ<sub>2</sub> are real and of opposite sign;
|λ<sub>1</sub> और λ<sub>2</sub> वास्तविक हैं और विपरीत चिन्ह के हैं;
Determinant < 0
निर्धारक < 0
|Saddle (unstable)
|काठी (अस्थिर)
|-
|-
|λ<sub>1</sub> & λ<sub>2</sub> are real and of the same sign, and λ<sub>1</sub> ≠ λ<sub>2</sub>;
|λ<sub>1</sub> और λ<sub>2</sub> वास्तविक हैं और एक ही चिह्न के हैं, और λ<sub>1</sub> ≠ λ<sub>2</sub>;
0 < determinant < (trace<sup>2</sup> / 4)
0 <निर्धारक <(ट्रेस<sup>2</sup> 2/4)
|Node (stable if trace < 0, unstable if trace > 0)
|नोड (स्थिर अगर ट्रेस <0, अस्थिर अगर ट्रेस> 0)
|-
|-
|λ<sub>1</sub> & λ<sub>2</sub> have both a real and imaginary component;
|λ<sub>1</sub> और λ<sub>2</sub> में वास्तविक और काल्पनिक दोनों घटक हैं;
(trace<sup>2</sup> / 4) < determinant
(ट्रेस<sup>2</sup> 2/4) <निर्धारक
|Spiral (stable if trace < 0, unstable if trace > 0)
|सर्पिल (स्थिर अगर ट्रेस <0, अस्थिर अगर ट्रेस> 0)
|}
|}




== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[चरण स्थान]]
* [[चरण स्थान|चरण समष्टि]]
* चरण विमान
* चरण समष्टि


==संदर्भ==
==संदर्भ==
Line 71: Line 70:
* [http://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/ Linear Phase Portraits], an MIT Mathlet.
* [http://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/ Linear Phase Portraits], an MIT Mathlet.


{{Differential equations topics}}
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[[Category:गतिशील प्रणाली]]
[[Category:चित्र]]

Latest revision as of 16:59, 2 November 2023

अंतर समीकरण
Navier–Stokes differential equations used to simulate airflow around an obstruction
]
दायरा
खेत
व्यावहारिक गणित
सामाजिक विज्ञान
List of named differential equations
वर्गीकरण
प्रकार
* साधारण
चर प्रकार द्वारा
विशेषताएँ
* आदेश
* संकेतन
प्रक्रियाओं से संबंध
समाधान
अस्तित्व और विशिष्टता
  • [पिकार्ड - लिंडेलोफ प्रमेय
सामान्य विषय
* प्रारंभिक शर्तें
समाधान विधियाँ
* निरीक्षण
* चर का पृथक्करण
  • अनिर्धारित गुणांक
  • मापदंडों की भिन्नता
    		•
    लोग
    List
    312x312px और साधारण पेंडुलम का चरण चित्र। ध्यान दें कि x-अक्ष, कोणीय होने के कारण, प्रत्येक 2π रेडियन के बाद स्वयं पर लपेटता है।
    एक साधारण पेंडुलम की गति के लिए चरण चित्र का निर्माण कैसे किया जाएगा इसका चित्रण।
    वैन डेर पोल का समीकरण, .

    एक चरण चित्र चरण समष्टि में गतिशील प्रणाली के प्रक्षेपवक्रों का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। प्रारंभिक स्थितियों के प्रत्येक समुच्चय को एक अलग वक्र या बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

    गतिशील प्रणाली के अध्ययन में चरण चित्र अमूल्य उपकरण हैं। वे समष्टि अवस्था में विशिष्ट प्रक्षेपवक्र के भूखंड (ग्राफिक्स) से युक्त होते हैं। इससे जानकारी का पता चलता है जैसे कि चुने गए पैरामीटर मान के लिए आकर्षित करने वाला, प्रतिकारक या सीमा चक्र उपस्थित है या नहीं। जब दो अलग-अलग चरण चित्र एक ही गुणात्मक गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो निर्दिष्ट करके प्रणाली के व्यवहार को वर्गीकृत करने में टोपोलॉजिकल संयुग्मन की अवधारणा महत्वपूर्ण है। यह आकर्षित करने वाला स्थिर बिंदु है जिसे सिंक भी कहा जाता है। रिपेलर को अस्थिर बिंदु माना जाता है, जिसे स्रोत के रूप में भी जाना जाता है।

    एक गतिशील प्रणाली का चरण चित्र रेखांकन एक स्टेट समष्टि में प्रणाली के प्रक्षेपवक्र (तीरों के साथ) और स्थिर अवस्थाओं (डॉट्स के साथ) और अस्थिर स्थिर अवस्थाओं (मंडलियों के साथ) को दर्शाता है। अक्ष अवस्था वेरिएबल (चर) के हैं।

    उदाहरण

    • साधारण पेंडुलम, चित्र देखें (दाएं)।
    • सरल हार्मोनिक थरथरानवाला जहां चरण चित्र मूल पर केंद्रित दीर्घवृत्त से बना होता है, जो निश्चित बिंदु है।
    • वैन डेर पोल ऑसिलेटर चित्र देखें (नीचे दाएं)।
    • कॉम्प्लेक्स_क्वाड्रैटिक_पोलिनोमियल या पैरामीटर_प्लेन|पैरामीटर प्लेन (सी-प्लेन) और मैंडेलब्रॉट समुच्चय

    साधारण अंतर समीकरणों के व्यवहार की कल्पना करना

    एक चरण चित्र सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) की प्रणाली के दिशात्मक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। चरण चित्र प्रणाली की स्थिरता का संकेत दे सकता है। [1]

    स्थिरता[1]
    अस्थिर प्रणली के अधिकांश समाधान समय के साथ ∞ की ओर जाते हैं
    विषम रूप से स्थिर प्रणली के सभी समाधान समय के साथ 0 हो जाते हैं
    तटस्थ रूप से स्थिर प्रणली का कोई भी समाधान समय के साथ ∞ की ओर नहीं जाता है, किन्तु अधिकांश समाधान 0 की ओर भी नहीं जाते हैं

    ओडीईएस की प्रणाली का चरण चित्र व्यवहार आइजनवैल्यू ​​​​या ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और निर्धारक (ट्रेस = λ1 + λ2, निर्धारित = λ1 x λ2) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।[1]

    चरण पोर्ट्रेट व्यवहार[1]
    आइजनवैल्यू ट्रेस, निर्धारक चरण पोर्ट्रेट आकार
    λ1 और λ2 वास्तविक हैं और विपरीत चिन्ह के हैं;

    निर्धारक < 0

    		काठी (अस्थिर)
    λ1 और λ2 वास्तविक हैं और एक ही चिह्न के हैं, और λ1 ≠ λ2;

    0 <निर्धारक <(ट्रेस2 2/4)

    		नोड (स्थिर अगर ट्रेस <0, अस्थिर अगर ट्रेस> 0)
    λ1 और λ2 में वास्तविक और काल्पनिक दोनों घटक हैं;

    (ट्रेस2 2/4) <निर्धारक

    		सर्पिल (स्थिर अगर ट्रेस <0, अस्थिर अगर ट्रेस> 0)


    यह भी देखें

    संदर्भ

    1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential Equations. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_26.pdf)
    • Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Nonlinear Ordinary Differential Equations (fourth ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1. Chapter 1.
    • Steven Strogatz (2001). Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. ISBN 9780738204536.


    बाहरी संबंध

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