बिंदुवार: Difference between revisions

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{{Short description|Applying operations to functions in terms of values for each input "point"}}गणित में, क्वालीफायर बिंदुवार उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है, कि प्रत्येक मान पर <math>f(x)</math> विचार करके निश्चित संपत्ति परिभाषित की जाती है  किसी फ़ंक्शन का <math>f.</math> बिंदुवार अवधारणाओं का महत्वपूर्ण वर्ग संचालन होता है, अर्थात्, परिभाषा के कार्य के डोमेन में प्रत्येक बिंदु के लिए भिन्न-भिन्न मानों को कार्य करने के लिए संचालन को प्रारम्भ करके कार्यों पर परिभाषित संचालन संबंधों के महत्वपूर्ण सिद्धांत को बिंदुवार भी परिभाषित किया जा सकता है।
{{Short description|Applying operations to functions in terms of values for each input "point"}}गणित में, क्वालीफायर बिंदुवार उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, कि प्रत्येक मान पर विचार करके निश्चित संपत्ति परिभाषित की जाती है <math>f(x)</math> किसी फलन का <math>f</math> होता है। बिंदुवार अवधारणाओं का महत्वपूर्ण वर्ग संचालन होता है, अर्थात्, परिभाषा के कार्य के डोमेन में प्रत्येक बिंदु के लिए भिन्न-भिन्न मानों को कार्य करने के लिए संचालन को प्रारम्भ करके कार्यों पर परिभाषित संचालन संबंधों के महत्वपूर्ण सिद्धांत को बिंदुवार भी परिभाषित किया जा सकता है।


== बिंदुवार संचालन ==
== बिंदुवार संचालन ==
[[File:Pointwise sum and product of sin and ln function.png|thumb|[[साइन समारोह|साइन फ़ंक्शन]] (निचला प्लॉट, नीला) और [[प्राकृतिक]] लघुगणक (लाल) कार्यों का बिंदुवार योग (ऊपरी भूखंड, बैंगनी) और उत्पाद (हरा)हाइलाइट किया गया लंबवत टुकड़ा बिंदु x = 2π पर गणना दिखाता है।]]
[[File:Pointwise sum and product of sin and ln function.png|thumb|[[साइन समारोह|साइन]] फलन (निचला प्लॉट, नीला) एवं [[प्राकृतिक]] लघुगणक (लाल) कार्यों का बिंदुवार योग (ऊपरी भूखंड, बैंगनी) एवं उत्पाद (हरा) हाइलाइट किया गया लंबवत टुकड़ा बिंदु x = 2π पर गणना दिखाता है।]]


=== औपचारिक परिभाषा ===
=== औपचारिक परिभाषा ===
बाइनरी संचालन {{math|''o'': ''Y'' × ''Y'' → ''Y''}}  उपसमुच्चय पर {{mvar|Y}}  किसी संचालन  {{math|''O'': (''X''→''Y'') × (''X''→''Y'') → (''X''→''Y'')}} से सभी कार्यों के मंच  {{math|''X'' → ''Y''}}  के लिए बिंदुवार उठाया जा सकता है।   {{mvar|X}}  से {{mvar|Y}} इस प्रकार है। दो फ़ंक्शन {{math|''f''<sub>1</sub>: ''X'' → ''Y''}} और {{math|''f''<sub>2</sub>: ''X'' → ''Y''}}  दिए गए हैं। फ़ंक्शन {{math|''O''(''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>): ''X'' → ''Y''}} द्वारा परिभाषित करें।
बाइनरी संचालन {{math|''o'': ''Y'' × ''Y'' → ''Y''}}  उपसमुच्चय पर {{mvar|Y}}  किसी संचालन  {{math|''O'': (''X''→''Y'') × (''X''→''Y'') → (''X''→''Y'')}} से सभी कार्यों के मंच  {{math|''X'' → ''Y''}}  के लिए बिंदुवार उठाया जा सकता है। {{mvar|X}}  से {{mvar|Y}} इस प्रकार है। दो फलन {{math|''f''<sub>1</sub>: ''X'' → ''Y''}} एवं {{math|''f''<sub>2</sub>: ''X'' → ''Y''}}  दिए गए हैं। फलन {{math|''O''(''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>): ''X'' → ''Y''}} द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
{{block indent | em = 1.5 | text = {{math|1=(''O''(''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>))(''x'') = ''o''(''f''<sub>1</sub>(''x''), ''f''<sub>2</sub>(''x''))}} for all {{math|''x'' ∈ ''X''}}.}}
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सामान्यतः, ''o'' और ''O'' को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। समान परिभाषा का उपयोग यूनरी ऑपरेशंस ''o'' के लिए और अन्य [[arity|एरीटी]] के संचालन के लिए किया जाता है।
सामान्यतः ''o'' एवं ''O'' को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। समान परिभाषा का उपयोग यूनरी संचालन ''o'' के लिए एवं अन्य [[arity|एरीटी]] के संचालन के लिए किया जाता है।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
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(\lambda \cdot f)(x) & = \lambda \cdot f(x) & \text{(pointwise multiplication by a scalar)}
(\lambda \cdot f)(x) & = \lambda \cdot f(x) & \text{(pointwise multiplication by a scalar)}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
कहाँ <math>f, g : X \to R</math>.
जहाँ <math>f, g : X \to R</math>.


बिंदुवार गुणनफल और [[अदिश (गणित)]] भी देखें।
बिंदुवार गुणनफल एवं [[अदिश (गणित)|अदिश]] भी देखें।


कार्यों पर एक संचालन का एक उदाहरण जो बिंदुवार नहीं है, [[कनवल्शन]] है।
कार्यों पर संचालन का उदाहरण जो बिंदुवार नहीं है, [[कनवल्शन]] है।


=== गुण ===
=== गुण ===
प्वाइंटवाइज ऑपरेशंस को [[कोडोमेन]] पर संबंधित ऑपरेशंस से [[ संबद्धता ]], [[ क्रमविनिमेयता ]] और [[वितरण]] जैसे गुण मिलते हैं।
बिंदुवार संचालन को [[कोडोमेन]] पर संबंधित संचालन से [[ संबद्धता | संबद्धता]], [[ क्रमविनिमेयता |क्रमविनिमेयता]] एवं [[वितरण]] जैसे गुण मिलते हैं। यदि <math>A</math> कुछ [[बीजगणितीय संरचना]] है, सभी कार्यों का उपसमुच्चय <math>X</math> के [[वाहक सेट|वाहक उपसमुच्चय]] के लिए <math>A</math> को समान प्रकार की बीजगणितीय संरचना के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
अगर <math>A</math> कुछ [[बीजगणितीय संरचना]] है, सभी कार्यों का सेट <math>X</math> के [[वाहक सेट]] के लिए <math>A</math> एक समान तरीके से एक ही प्रकार की बीजगणितीय संरचना में परिवर्तित किया जा सकता है।


== घटकवार संचालन ==
== घटकवार संचालन ==
घटकवार संचालन सामान्यतः वैक्टर पर परिभाषित होते हैं, जहां वेक्टर सेट के तत्व होते हैं <math>K^n</math> कुछ [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए <math>n</math> और कुछ [[क्षेत्र (गणित)]] <math>K</math>. अगर हम निरूपित करते हैं <math>i</math>किसी भी सदिश का -वाँ घटक <math>v</math> जैसा <math>v_i</math>, तो घटकवार जोड़ है <math>(u+v)_i = u_i+v_i</math>.
घटकवार संचालन सामान्यतः सदिश पर परिभाषित होते हैं, जहां सदिश उपसमुच्चय के तत्व होते हैं, <math>K^n</math> कुछ [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए <math>n</math> एवं कुछ [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] <math>K</math> पर निरूपित करते हैं, किसी भी सदिश का <math>i</math>-वाँ घटक <math>v</math> रूप में <math>v_i</math>, तो घटकवार जोड़ है।<math>(u+v)_i = u_i+v_i</math>


मेट्रिसेस पर कंपोनेंट वाइज ऑपरेशंस को परिभाषित किया जा सकता है। मैट्रिक्स जोड़, जहां <math>(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}</math> एक घटकवार संचालन है जबकि [[मैट्रिक्स गुणन]] नहीं है।
मेट्रिसेस पर घटकवार संचालन को परिभाषित किया जा सकता है। आव्यूह जोड़, जहां <math>(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}</math> घटकवार संचालन है जबकि [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] नहीं है।


एक Tuple#Tuples कार्यों के रूप में एक फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है, और एक वेक्टर एक टपल है। इसलिए, कोई भी वेक्टर <math>v</math> फ़ंक्शन से मेल खाता है <math>f:n\to K</math> ऐसा है कि <math>f(i)=v_i</math>, और सदिशों पर कोई भी घटकवार संक्रिया उन सदिशों के संगत फलनों पर बिंदुवार प्रचालन है।
टपल को फलन के रूप में माना जा सकता है, एवं सदिश, टपल है। इसलिए, कोई भी सदिश <math>v</math> फलन से युग्मित होता है। <math>f:n\to K</math> ऐसा है कि <math>f(i)=v_i</math>, एवं सदिशों पर कोई भी घटकवार संक्रिया उन सदिशों के संगत फलनों पर बिंदुवार प्रचालन होता है।


== बिंदुवार संबंध ==
== बिंदुवार संबंध ==
[[आदेश सिद्धांत]] में कार्यों पर एक बिंदुवार आंशिक क्रम को परिभाषित करना आम है। , बी [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] के साथ, कार्यों बी का सेट एफ जी द्वारा आदेश दिया जा सकता है अगर और केवल अगर (∀x ) एफ (एक्स) ≤ जी (एक्स)। पॉइंटवाइज ऑर्डर भी अंतर्निहित पॉसेट्स के कुछ गुण प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए यदि A और B निरंतर जालक हैं, तो फलनों का समुच्चय A → B बिंदुवार क्रम में है।<ref>Gierz et al., p. xxxiii</ref> कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके अन्य महत्वपूर्ण धारणाओं को संक्षिप्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:<ref>Gierz, et al., p. 26</ref>
[[आदेश सिद्धांत]] में कार्यों पर बिंदुवार आंशिक क्रम को परिभाषित करना सरल है। ''A'', ''B'' [[आंशिक रूप से आदेशित सेट|आंशिक रूप से आदेशित उपसमुच्चय]] के साथ, कार्यों ''A'' ''B'' का उपसमुच्चय ''f'' ''g'' द्वारा आदेश दिया जा सकता है, यदि केवल (∀''x'' A) ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') बिंदुवार आदेश भी अंतर्निहित पोसेट्स के कुछ गुण प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए यदि A एवं B निरंतर जालक हैं, तो फलनों का समुच्चय A → B बिंदुवार क्रम में है।<ref>Gierz et al., p. xxxiii</ref> कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके अन्य महत्वपूर्ण धारणाओं को संक्षिप्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:<ref>Gierz, et al., p. 26</ref>
* पॉसेट पी पर एक [[बंद करने वाला ऑपरेटर]] सी एक [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] है और अतिरिक्त संपत्ति के साथ पी (यानी एक [[प्रक्षेपण (आदेश)]]ऑर्डर)) पर आदर्श आत्म-नक्शा है जो आईडी<sub>''A''</sub> ≤ c, जहाँ id पहचान फलन है।
* पोसेट्स ''P'' पर [[बंद करने वाला ऑपरेटर|क्लोजर ऑपरेटर]] ''c'' अतिरिक्त संपत्ति के साथ ''P'' (अर्थात [[प्रक्षेपण (आदेश)|प्रक्षेपण आदेश]] ) पर [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|मोनोटोनिक एवं आदर्श आत्म-मानचित्र]] है, जो id<sub>''A''</sub> ≤ ''c'', जहाँ id पहचान फलन है।
* इसी प्रकार, प्रोजेक्शन ऑपरेटर के को [[कर्नेल ऑपरेटर]] कहा जाता है यदि और केवल अगर के आईडी<sub>''A''</sub>.
* इसी प्रकार, प्रोजेक्शन ऑपरेटर ''k''  को [[कर्नेल ऑपरेटर]] कहा जाता है यदि एवं केवल यदि ''k'' id<sub>''A''</sub> होते है।


असीमित बिंदुवार संबंध का एक उदाहरण कार्यों का [[बिंदुवार अभिसरण]] है - कार्यों का [[अनुक्रम]]
असीमित बिंदुवार संबंध का उदाहरण कार्यों का [[बिंदुवार अभिसरण]] है। कार्यों का [[अनुक्रम|अनुक्रम,]]
<math display="block">(f_n)_{n=1}^\infty</math>
<math display="block">(f_n)_{n=1}^\infty</math>
साथ
साथ
<math display="block">f_n:X \longrightarrow Y</math>
<math display="block">f_n:X \longrightarrow Y</math>
एक फ़ंक्शन के लिए एक अनुक्रम बिंदुवार की सीमा <math>f</math> यदि प्रत्येक के लिए <math>x</math> में <math>X</math>
फलन के लिए अनुक्रम बिंदुवार की सीमा <math>f</math> यदि प्रत्येक के लिए <math>x</math> में <math>X</math>
<math display="block">\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).</math>
<math display="block">\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).</math>


 
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== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
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== संदर्भ ==
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Latest revision as of 10:30, 27 April 2023

गणित में, क्वालीफायर बिंदुवार उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, कि प्रत्येक मान पर विचार करके निश्चित संपत्ति परिभाषित की जाती है किसी फलन का होता है। बिंदुवार अवधारणाओं का महत्वपूर्ण वर्ग संचालन होता है, अर्थात्, परिभाषा के कार्य के डोमेन में प्रत्येक बिंदु के लिए भिन्न-भिन्न मानों को कार्य करने के लिए संचालन को प्रारम्भ करके कार्यों पर परिभाषित संचालन संबंधों के महत्वपूर्ण सिद्धांत को बिंदुवार भी परिभाषित किया जा सकता है।

बिंदुवार संचालन

साइन फलन (निचला प्लॉट, नीला) एवं प्राकृतिक लघुगणक (लाल) कार्यों का बिंदुवार योग (ऊपरी भूखंड, बैंगनी) एवं उत्पाद (हरा) हाइलाइट किया गया लंबवत टुकड़ा बिंदु x = 2π पर गणना दिखाता है।

औपचारिक परिभाषा

बाइनरी संचालन o: Y × YY उपसमुच्चय पर Y किसी संचालन O: (XY) × (XY) → (XY) से सभी कार्यों के मंच XY के लिए बिंदुवार उठाया जा सकता है। X से Y इस प्रकार है। दो फलन f1: XY एवं f2: XY दिए गए हैं। फलन O(f1, f2): XY द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

(O(f1, f2))(x) = o(f1(x), f2(x)) for all xX.

सामान्यतः o एवं O को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। समान परिभाषा का उपयोग यूनरी संचालन o के लिए एवं अन्य एरीटी के संचालन के लिए किया जाता है।

उदाहरण

जहाँ .

बिंदुवार गुणनफल एवं अदिश भी देखें।

कार्यों पर संचालन का उदाहरण जो बिंदुवार नहीं है, कनवल्शन है।

गुण

बिंदुवार संचालन को कोडोमेन पर संबंधित संचालन से संबद्धता, क्रमविनिमेयता एवं वितरण जैसे गुण मिलते हैं। यदि कुछ बीजगणितीय संरचना है, सभी कार्यों का उपसमुच्चय के वाहक उपसमुच्चय के लिए को समान प्रकार की बीजगणितीय संरचना के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

घटकवार संचालन

घटकवार संचालन सामान्यतः सदिश पर परिभाषित होते हैं, जहां सदिश उपसमुच्चय के तत्व होते हैं, कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए एवं कुछ क्षेत्र पर निरूपित करते हैं, किसी भी सदिश का -वाँ घटक रूप में , तो घटकवार जोड़ है।

मेट्रिसेस पर घटकवार संचालन को परिभाषित किया जा सकता है। आव्यूह जोड़, जहां घटकवार संचालन है जबकि आव्यूह गुणन नहीं है।

टपल को फलन के रूप में माना जा सकता है, एवं सदिश, टपल है। इसलिए, कोई भी सदिश फलन से युग्मित होता है। ऐसा है कि , एवं सदिशों पर कोई भी घटकवार संक्रिया उन सदिशों के संगत फलनों पर बिंदुवार प्रचालन होता है।

बिंदुवार संबंध

आदेश सिद्धांत में कार्यों पर बिंदुवार आंशिक क्रम को परिभाषित करना सरल है। A, B आंशिक रूप से आदेशित उपसमुच्चय के साथ, कार्यों AB का उपसमुच्चय fg द्वारा आदेश दिया जा सकता है, यदि केवल (∀x ∈ A) f(x) ≤ g(x) बिंदुवार आदेश भी अंतर्निहित पोसेट्स के कुछ गुण प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए यदि A एवं B निरंतर जालक हैं, तो फलनों का समुच्चय A → B बिंदुवार क्रम में है।[1] कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके अन्य महत्वपूर्ण धारणाओं को संक्षिप्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:[2]

असीमित बिंदुवार संबंध का उदाहरण कार्यों का बिंदुवार अभिसरण है। कार्यों का अनुक्रम,

साथ
फलन के लिए अनुक्रम बिंदुवार की सीमा यदि प्रत्येक के लिए में

होता है।

टिप्पणियाँ

  1. Gierz et al., p. xxxiii
  2. Gierz, et al., p. 26

संदर्भ

For order theory examples:

  • T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
  • G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.

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