पूरक (समुच्चय सिद्धांत): Difference between revisions

Latest revision as of 12:19, 27 October 2023

A circle filled with red inside a square. The area outside the circle is unfilled. The borders of both the circle and the square are black.

यदि

A

इस छवि में लाल रंग का क्षेत्र है ...

An unfilled circle inside a square. The area inside the square not covered by the circle is filled with red. The borders of both the circle and the square are black.

…तो

A

का पूरक शेष सब कुछ है।

समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय A का पूरक, जिसे प्रायः $A ∁$ (या $A'$ ) द्वारा निरूपित किया जाता है,^[1] तत्व का समुच्चय $A$ नहीं है^[2]

जब ब्रह्माण्ड में सभी समुच्चय, अर्थात विचाराधीन सभी समुच्चय, किसी दिए गए समुच्चय $U$ के तत्व माने जाते हैं, $A$ का पूर्ण पूरक $U$ में तत्वों का समुच्चय है जो $A$ में नहीं हैं।

समुच्चय $B$ के संबंध में $A$ के सापेक्ष पूरक को लिखित रूप में $B$ और $A$ के समुच्चय का अंतर भी कहा जाता है $B\setminus A,$ $B$ में उन तत्वों का समुच्चय है जो $A$ में नहीं हैं।

पूर्ण पूरक

सफेद डिस्क का पूर्ण पूरक लाल क्षेत्र है

परिभाषा

यदि $A$ समुच्चय है, तो $A$ का पूर्ण पूरक तत्वों का समुच्चय है, जो $A$ में नहीं है ( बड़े समुच्चय के अंदर जो स्पष्ट रूप से परिभाषित है)। दूसरे शब्दों में, $U$ को ऐसा समुच्चय होने दें जिसमें अध्ययन के अंतर्गत सभी तत्व सम्मलित हों; यदि $U$ का उल्लेख करने की कोई आवश्यकता नहीं है, या तो क्योंकि यह पूर्व निर्दिष्ट किया गया है, या यह स्पष्ट और अद्वितीय है, तो $A$ का पूर्ण पूरक $U$ में $A$ का सापेक्ष पूरक है:^[3]

A^{\complement }=U\setminus A.

औपचारिक रूप से:

A^{\complement }=\{x\in U:x\notin A\}.

A

का पूर्ण पूरक सामान्यतः

A ∁

द्वारा निरूपित किया जाता है अन्य अंकन में

{\overline {A}},A',

^[2]

\complement _{U}A,{\text{ और }}\complement A

^[4] सम्मिलित हैं।

उदाहरण

मान लें कि ब्रह्मांड पूर्णांकों का समुच्चय है। यदि $A$ विषम संख्याओं का समुच्चय है, तो $A$ का पूरक सम संख्याओं का समुच्चय है। यदि $B$ 3 गुणक का समुच्चय है, तो $B$ का पूरक 1 या 2 मॉड्यूल 3 में, पूर्णांक जो 3 के गुणक नहीं हैं) के लिए मॉड्यूलर अंकगणितीय संख्याओं का समुच्चय है।
मान लें कि ब्रह्मांड मानक 52-कार्ड डेक है। यदि समुच्चय $A$ हुकुम का सूट है, तो $A$ का पूरक क्लब, हीरे और दिल के सूट का संघ है। यदि समुच्चय $B$ क्लब और हीरे के सूट का मिलन है, फिर $B$ का पूरक दिल और हुकुम के सूट का मिलन है।

गुण

मान लीजिए $A$ तथा $B$ ब्रह्मांड $U$ में दो समुच्चय हैं। निम्नलिखित सर्वसमिका निरपेक्ष पूरक के महत्वपूर्ण गुण ग्रहण करती हैं:

डी मॉर्गन के नियम इस प्रकार है:^[5]* $\left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$

$\left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

पूरक नियम इस प्रकार है:^[5]* $A\cup A^{\complement }=U.$

$A\cap A^{\complement }=\varnothing .$
$\varnothing ^{\complement }=U.$
$U^{\complement }=\varnothing .$
${\text{if }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.$
(यह इसके प्रतिसकारात्मक के साथ नियमानुसार तुल्यता से अनुसरण करता है)।

समावेशन या दोहरा पूरक नियम इस प्रकार है:

$\left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.$

सापेक्ष और पूर्ण पूरक के मध्य संबंध है:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
$(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).$

समुच्चय अंतर के साथ संबंध है:

$A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

उपरोक्त प्रथम दो पूरक नियम बताते हैं कि यदि $A$ का गैर-रिक्त, उचित उपसमुच्चय $U$ है, तब ${A, A ∁}$ के समुच्चय $U$ का विभाजन है।

सापेक्ष पूरक

परिभाषा

यदि $A$ तथा $B$ समुच्चय हैं, तब $B$ में $A$ के सापेक्ष पूरक ^[5] को $B$ और $A$ के समुच्चय अंतर भी कहा जाता है l ^[6] $B$ में तत्वों का समुच्चय है किन्तु $A$ में नहीं है।

B

में

A

के सापेक्ष पूरक :

B\cap A^{\complement }=B\setminus A

$B$ में $A$ के सापेक्ष आईएसओ 31-11 मानक के अनुसार $B\setminus A$ निरूपित किया जाता है । यह कभी-कभी $B-A,$ लिखा जाता है किन्तु यह अंकन अस्पष्ट है, जैसा कि कुछ संदर्भों में (उदाहरण के लिए, कार्यात्मक विश्लेषण में मिन्कोव्स्की जोड़)इसे सभी तत्वों के सेट के रूप में अध्ययन किया जा सकता है $b-a,$ जहाँ $b$ को $B$ और $a$ को $A$ से लिया गया है.

औपचारिक रूप से:

B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.

उदाहरण

$\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.$
$\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.$
यदि $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $\mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है तो $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

गुण

माना $A$ , $B$ , तथा $C$ तीन समुच्चय हैं। निम्नलिखित पहचान (गणित) सापेक्ष पूरक के उल्लेखनीय गुण प्राप्त करते हैं:

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).$
$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).$
$C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),$

*: महत्वपूर्ण विशेष स्थिति के साथ

C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)

यह दर्शाता है कि प्रतिच्छेदन को केवल सापेक्ष पूरक संक्रिया का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).$
$A\setminus A=\emptyset .$
$\emptyset \setminus A=\emptyset .$
$A\setminus \emptyset =A.$
$A\setminus U=\emptyset .$
यदि $A\subset B$ , फिर $C\setminus A\supset C\setminus B$ .
$A\supseteq B\setminus C$ के बराबर है $C\supseteq B\setminus A$ .

पूरक संबंध

द्विआधारी संबंध $R$ समुच्चय को उत्पाद के उपसमुच्चय $X\times Y$ के रूप में परिभाषित किया गया है पूरक संबंध ${\bar {R}}$ का समुच्चय $R$ में $X\times Y$ का पूरक है जिसे संबंध $R$ का पूरक लिखा जा सकता है:

{\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.

यहां,

R

सामान्यतः तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाली पंक्तियों के साथ तार्किक आव्यूह

X

के रूप में और स्तंभों के तत्व

Y.

के रूप में देखे जाते है

aRb

पंक्ति में 1 से युग्मित होता है

a,

स्तम्भ

b.

के पूरक संबंध का निर्माण

R

पूरक के तार्किक आव्यूह के लिए सभी 1s से 0s, और 0s से 1s स्विच करने के अनुरूप है।

संबंधों की संरचना और विलोम संबंधों के साथ, पूरक संबंध और समुच्चयों का बीजगणित संबंधों की कलन की प्राथमिक संक्रियाएं (गणित) हैं।

लाटीएक्स संकेतन

लाटीएक्स टाइपसेटिंग भाषा में, कमांड \setminus^[7] प्रायः समुच्चय डिफरेंशियल सिंबल को रेंडर करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो बैकस्लैश सिंबल के समान होता है। जब प्रदान किया जाता है, तो \setminus आदेश समान दिखता है \backslash, इसके अतिरिक्त कि इसमें स्लैश के आगे और पीछे थोड़ा अधिक स्थान है, लाटीएक्स अनुक्रम के समान \mathbin{\backslash} प्रकार \smallsetminus amssymb पैकेज में उपलब्ध है। प्रतीक $\complement$ (विरोध के रूप में $C$ ) द्वारा निर्मित है \complement. (यह यूनिकोड प्रतीक ∁ से संबंधित है।)

प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में

कुछ प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में उनके अंतर्निहित डेटा संरचनाओं के मध्य समुच्चय होता है। ऐसी डेटा संरचना परिमित समुच्चय के रूप में व्यवहार करती है, अर्थात इसमें डेटा की सीमित संख्या होती है जो विशेष रूप से आदेशित नहीं होती है, और इस प्रकार इसे समुच्चय के तत्व के रूप में माना जा सकता है। कुछ विषयों में, तत्व आवश्यक रूप से भिन्न नहीं होते हैं, और डेटा संरचना समुच्चय के अतिरिक्त बहुत सारे समुच्चय को कोड करती है। इन प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में पूरक और समुच्चय अंतर की गणना के लिए ऑपरेटर या फलन होते हैं।

इन ऑपरेटरों को सामान्यतः उन डेटा संरचनाओं पर भी प्रारम्भ किया जा सकता है जो वास्तव में गणितीय समुच्चय नहीं हैं, जैसे कि सूची या सरणी डेटा संरचना है। यह इस प्रकार है कि कुछ प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में फलन हो सकता है जिसे सेट_डिफरेंस, कहा जाता है भले ही उनके निकट समुच्चय के लिए कोई डेटा संरचना न हो।

यह भी देखें

समुच्चयों का बीजगणित – Identities and relationships involving sets
प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) – Set of elements common to all of some sets
सेट पहचान और संबंधों की सूची
सरलमति समुच्चय सिद्धांत
सममित अंतर – Elements in exactly one of two sets
संघ (समुच्चय सिद्धांत)

↑ "पूरक और सेट अंतर". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.
↑ ^2.0 ^2.1 "पूरक (सेट) परिभाषा (सचित्र गणित शब्दकोश)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-09-04.
↑ The set in which the complement is considered is thus implicitly mentioned in an absolute complement, and explicitly mentioned in a relative complement.
↑ Bourbaki 1970, p. E II.6.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Halmos 1960, p. 17.
↑ Devlin 1979, p. 6.
↑ [1] The Comprehensive LaTeX Symbol List

संदर्भ

Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (in français). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.
Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.

बाहरी संबंध

[1] "पूरक और सेट अंतर". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.

[:1-2] 2.0 ^2.1 "पूरक (सेट) परिभाषा (सचित्र गणित शब्दकोश)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-09-04.

[3] The set in which the complement is considered is thus implicitly mentioned in an absolute complement, and explicitly mentioned in a relative complement.

[Bou-4] Bourbaki 1970, p. E II.6.

[Halmos-1960-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Halmos 1960, p. 17.

[6] Devlin 1979, p. 6.

[The_Comprehensive_LaTeX_Symbol_List-7] [1] The Comprehensive LaTeX Symbol List

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Line 9: / Line 9: @@
 | width2 = 250
 | alt2 = An unfilled circle inside a square. The area inside the square not covered by the circle is filled with red. The borders of both the circle and the square are black.
-| caption2 = …तो{{mvar|A}} का पूरक बाकी सब कुछ है।
+| caption2 = …तो{{mvar|A}} का पूरक शेष सब कुछ है।
 }}
-समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय A का पूरक, जिसे प्रायः {{math|''A''<sup>∁</sup>}}  (या {{math|''A''′}}) द्वारा निरूपित किया जाता है,<ref>{{Cite web|title=पूरक और सेट अंतर|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S6/Complement3.htm|access-date=2020-09-04|website=web.mnstate.edu}}</ref> [[तत्व (गणित)]] का समुच्चय {{mvar|A}} नहीं है .<ref name=":1">{{Cite web|title=पूरक (सेट) परिभाषा (सचित्र गणित शब्दकोश)|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/complement-set-.html|access-date=2020-09-04|website=www.mathsisfun.com}}</ref> जब ब्रह्माण्ड में सभी समुच्चय (समुच्चय सिद्धांत), अर्थात विचाराधीन सभी समुच्चय, किसी दिए गए समुच्चय {{mvar|U}} के तत्व (गणित) माने जाते हैं , {{mvar|A}} का पूर्ण पूरक {{mvar|U}} में  तत्वों का समुच्चय है जो  {{mvar|A}} के अंदर नहीं हैं.
+समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय A का '''पूरक''', जिसे प्रायः {{math|''A''<sup>∁</sup>}} (या {{math|''A''′}}) द्वारा निरूपित किया जाता है,<ref>{{Cite web|title=पूरक और सेट अंतर|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S6/Complement3.htm|access-date=2020-09-04|website=web.mnstate.edu}}</ref> [[तत्व (गणित)|तत्व]] का समुच्चय {{mvar|A}} नहीं है<ref name=":1">{{Cite web|title=पूरक (सेट) परिभाषा (सचित्र गणित शब्दकोश)|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/complement-set-.html|access-date=2020-09-04|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
-एक सेट {{mvar|B}} के संबंध में , {{mvar|A}} के सापेक्ष पूरक है, जिसे {{mvar|B}} और {{mvar|A}} के सेट का अंतर भी कहा जाता है <math>B \setminus A,</math>  {{mvar|B}} में तत्वों का समुच्चय है जो {{mvar|A}} के अंदर नहीं हैं .
+जब ब्रह्माण्ड में सभी समुच्चय, अर्थात विचाराधीन सभी समुच्चय, किसी दिए गए समुच्चय {{mvar|U}} के तत्व माने जाते हैं, {{mvar|A}} का पूर्ण पूरक {{mvar|U}} में तत्वों का समुच्चय है जो {{mvar|A}} में नहीं हैं।
+समुच्चय {{mvar|B}} के संबंध में {{mvar|A}} के सापेक्ष पूरक को लिखित रूप में {{mvar|B}} और {{mvar|A}} के समुच्चय का अंतर भी कहा जाता है <math>B \setminus A,</math> {{mvar|B}} में उन तत्वों का समुच्चय है जो {{mvar|A}} में नहीं हैं।
 == पूर्ण पूरक ==
-<!-- This section is linked from [[Bayes' theorem]] and [[absolute set complement]] -->
 [[File:Venn10.svg|250px|thumb|सफेद डिस्क का पूर्ण पूरक लाल क्षेत्र है]]
 === परिभाषा ===
-यदि {{mvar|A}} एक समुच्चय है, तो {{mvar|A}} का पूर्ण पूरक (या बस के पूरक {{mvar|A}}) तत्वों का सेट है, जो {{mvar|A}} में नहीं है (एक बड़े सेट के भीतर जो स्पष्ट रूप से परिभाषित है)। दूसरे शब्दों में,{{mvar|U}} को एक ऐसा समुच्चय होने दें जिसमें अध्ययन के अंतर्गत सभी तत्व शामिल हों; यदि {{mvar|U}} का उल्लेख करने की आवश्यकता नहीं है , या तो क्योंकि यह पहले निर्दिष्ट किया गया है, या यह स्पष्ट और अद्वितीय है, तो {{mvar|A}} का पूर्ण पूरक {{mvar|U}} में {{mvar|A}} का सापेक्ष पूरक है :<ref>The set in which the complement is considered is thus implicitly mentioned in an absolute complement, and explicitly mentioned in a relative complement.</ref>
+यदि {{mvar|A}} समुच्चय है, तो {{mvar|A}} का पूर्ण पूरक तत्वों का समुच्चय है, जो {{mvar|A}} में नहीं है ( बड़े समुच्चय के अंदर जो स्पष्ट रूप से परिभाषित है)। दूसरे शब्दों में,{{mvar|U}} को ऐसा समुच्चय होने दें जिसमें अध्ययन के अंतर्गत सभी तत्व सम्मलित हों; यदि {{mvar|U}} का उल्लेख करने की कोई आवश्यकता नहीं है, या तो क्योंकि यह पूर्व निर्दिष्ट किया गया है, या यह स्पष्ट और अद्वितीय है, तो {{mvar|A}} का पूर्ण पूरक {{mvar|U}} में {{mvar|A}} का सापेक्ष पूरक है:<ref>The set in which the complement is considered is thus implicitly mentioned in an absolute complement, and explicitly mentioned in a relative complement.</ref>
 <math display=block>A^\complement = U \setminus A.</math>
 औपचारिक रूप से:
 <math display=block>A^\complement = \{ x \in U : x \notin A \}.</math>
-{{mvar|A}} का पूर्ण पूरक सामान्यतः {{math|''A''<sup>∁</sup>.}}द्वारा निरूपित किया जाता है  अन्य नोटेशन में सम्मिलित  हैं <math>\overline A, A',</math><ref name=":1" /> <math>\complement_U A, \text{ और } \complement A.</math><ref name="Bou">{{harvnb|Bourbaki|1970|p=E II.6}}.</ref>
+{{mvar|A}} का पूर्ण पूरक सामान्यतः {{math|''A''<sup>∁</sup>}} द्वारा निरूपित किया जाता है अन्य अंकन में  <math>\overline A, A',</math><ref name=":1" /> <math>\complement_U A, \text{ और } \complement A</math><ref name="Bou">{{harvnb|Bourbaki|1970|p=E II.6}}.</ref> सम्मिलित हैं।
 === उदाहरण ===
-* मान लें कि ब्रह्मांड [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का समुच्चय है। यदि {{mvar|A}} विषम संख्याओं का समुच्चय है, तो {{mvar|A}} का पूरक सम संख्याओं का समुच्चय है। यदि {{mvar|B}} 3 के गुणक (गणित) का समुच्चय है, तो {{mvar|B}} का पूरक 1 या 2 मॉड्यूल 3 (या, सरल शब्दों में, पूर्णांक जो 3 के गुणक नहीं हैं) के लिए [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] संख्याओं का सेट है।
+* मान लें कि ब्रह्मांड [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का समुच्चय है। यदि {{mvar|A}} विषम संख्याओं का समुच्चय है, तो {{mvar|A}} का पूरक सम संख्याओं का समुच्चय है। यदि {{mvar|B}} 3 गुणक का समुच्चय है, तो {{mvar|B}} का पूरक 1 या 2 मॉड्यूल 3 में, पूर्णांक जो 3 के गुणक नहीं हैं) के लिए [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] संख्याओं का समुच्चय है।
-* मान लें कि ब्रह्मांड [[मानक 52-कार्ड डेक]] है। यदि सेट {{mvar|A}} हुकुम का सूट है, तो {{mvar|A}} का पूरक क्लब, हीरे और दिल के सूट का [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है। यदि सेट {{mvar|B}} क्लब और हीरे के सूट का मिलन है, फिर {{mvar|B}} का पूरक दिल और हुकुम के सूट का मिलन है।
+* मान लें कि ब्रह्मांड [[मानक 52-कार्ड डेक]] है। यदि समुच्चय {{mvar|A}} हुकुम का सूट है, तो {{mvar|A}} का पूरक क्लब, हीरे और दिल के सूट का [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ]] है। यदि समुच्चय {{mvar|B}} क्लब और हीरे के सूट का मिलन है, फिर {{mvar|B}} का पूरक दिल और हुकुम के सूट का मिलन है।
 === गुण ===
-मान लीजिए {{mvar|A}} तथा {{mvar|B}} एक ब्रह्मांड {{mvar|U}} में दो सेट हैं।  निम्नलिखित सर्वसमिका निरपेक्ष पूरक के महत्वपूर्ण गुण ग्रहण करती हैं:
+मान लीजिए {{mvar|A}} तथा {{mvar|B}} ब्रह्मांड {{mvar|U}} में दो समुच्चय हैं। निम्नलिखित सर्वसमिका निरपेक्ष पूरक के महत्वपूर्ण गुण ग्रहण करती हैं:
-डी मॉर्गन के कानून:<ref name="Halmos-1960" />* <math>\left(A \cup B \right)^\complement = A^\complement \cap B^\complement.</math>
+डी मॉर्गन के नियम इस प्रकार है:<ref name="Halmos-1960" />* <math>\left(A \cup B \right)^\complement = A^\complement \cap B^\complement.</math>
 * <math>\left(A \cap B \right)^\complement = A^\complement \cup B^\complement.</math>
-पूरक कानून:<ref name="Halmos-1960" />* <math>A \cup A^\complement = U.</math>
+पूरक नियम इस प्रकार है:<ref name="Halmos-1960" />* <math>A \cup A^\complement = U.</math>
 * <math>A \cap A^\complement = \varnothing .</math>
 * <math>\varnothing^\complement = U.</math>
 * <math> U^\complement = \varnothing.</math>
 * <math>\text{if }A\subseteq B\text{, then }B^\complement \subseteq A^\complement.</math>
-*: (यह इसके प्रतिसकारात्मक के साथ एक सशर्त के तुल्यता से अनुसरण करता है)।
+*: (यह इसके प्रतिसकारात्मक के साथ नियमानुसार तुल्यता से अनुसरण करता है)।
-[[इन्वोल्यूशन (गणित)|समावेशन  (गणित)]] या दोहरा पूरक कानून:
+[[इन्वोल्यूशन (गणित)|समावेशन]] या दोहरा पूरक नियम इस प्रकार है:
 * <math>\left(A^\complement\right)^\complement = A.</math>
-सापेक्ष और पूर्ण पूरक के बीच संबंध:
+सापेक्ष और पूर्ण पूरक के मध्य संबंध है:
 * <math>A \setminus B = A \cap B^\complement.</math>
 * <math>(A \setminus B)^\complement = A^\complement \cup B = A^\complement \cup (B \cap A).</math>
-एक सेट अंतर के साथ संबंध:
+समुच्चय अंतर के साथ संबंध है:
 * <math> A^\complement \setminus B^\complement = B \setminus A. </math>
-उपरोक्त पहले दो पूरक कानून बताते हैं कि यदि {{math|''A''}} का एक गैर-खाली, उचित उपसमुच्चय {{math|''U''}} है , फिर {{math|{''A'', ''A''<sup>∁</sup>}{{null}}}} के समुच्चय {{math|''U''}} का विभाजन  है .
+उपरोक्त प्रथम दो पूरक नियम बताते हैं कि यदि {{math|''A''}} का गैर-रिक्त, उचित उपसमुच्चय {{math|''U''}} है, तब {{math|{''A'', ''A''<sup>∁</sup>}{{null}}}} के समुच्चय {{math|''U''}} का विभाजन है।
 == सापेक्ष पूरक ==
-<!-- Many links redirect to this section: [[difference (set theory)]], [[difference of two sets]], [[relative complement]], [[set-theoretic difference]], [[set difference]], [[set minus]], [[set subtraction]], [[set theoretic difference]], [[setminus]] -->
 === परिभाषा ===
-यदि {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}} सेट हैं, फिर {{math|''B''}} में {{math|''A''}} के सापेक्ष पूरक <ref name="Halmos-1960">{{harvnb|Halmos|1960|p=17}}.</ref> को {{math|''B''}} और {{math|''A''}} के सेट अंतर भी कहा जाता है l <ref>{{harvnb|Devlin|1979|p=6}}.</ref> {{math|''B''}} में तत्वों का समुच्चय है  लेकिन {{math|''A''}} में नहीं .
+यदि {{math|''A''}} तथा {{math|''B''}} समुच्चय हैं, तब {{math|''B''}} में {{math|''A''}} के सापेक्ष पूरक <ref name="Halmos-1960">{{harvnb|Halmos|1960|p=17}}.</ref> को {{math|''B''}} और {{math|''A''}} के समुच्चय अंतर भी कहा जाता है l <ref>{{harvnb|Devlin|1979|p=6}}.</ref> {{math|''B''}} में तत्वों का समुच्चय है किन्तु {{math|''A''}} में नहीं है।
-[[File:Relative compliment.svg|thumb|230x230px|{{math|''B''}} में {{math|''A''}} के सापेक्ष पूरक   : <math>B \cap A^\complement = B \setminus A</math>]]{{math|''B''}} में {{math|''A''}} के सापेक्ष आईएसओ 31-11  मानक के अनुसार <math>B \setminus A</math>  निरूपित किया जाता है । यह कभी-कभी <math>B - A,</math> लिखा जाता है  लेकिन यह अंकन अस्पष्ट है, जैसा कि कुछ संदर्भों में (उदाहरण के लिए, [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में [[मिन्कोव्स्की जोड़]])इसे सभी तत्वों के सेट के रूप में समझा जा सकता है <math>b - a,</math> जहाँ {{math|''b''}} को {{math|''B''}} और {{math|''a''}} को {{math|''A''}} से लिया गया है.
+[[File:Relative compliment.svg|thumb|230x230px|{{math|''B''}} में {{math|''A''}} के सापेक्ष पूरक : <math>B \cap A^\complement = B \setminus A</math>]]{{math|''B''}} में {{math|''A''}} के सापेक्ष आईएसओ 31-11  मानक के अनुसार <math>B \setminus A</math>  निरूपित किया जाता है । यह कभी-कभी <math>B - A,</math> लिखा जाता है किन्तु यह अंकन अस्पष्ट है, जैसा कि कुछ संदर्भों में (उदाहरण के लिए, [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में [[मिन्कोव्स्की जोड़]])इसे सभी तत्वों के सेट के रूप में अध्ययन किया जा सकता है <math>b - a,</math> जहाँ {{math|''b''}} को {{math|''B''}} और {{math|''a''}} को {{math|''A''}} से लिया गया है.
 औपचारिक रूप से:
 <math display=block>B \setminus A = \{ x\in B : x \notin A \}.</math>
 === उदाहरण ===
 * <math>\{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}.</math>
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 :* <math>C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B).</math>
 :* <math>C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B),</math>
-: *: महत्वपूर्ण विशेष मामले के साथ <math>C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)</math> यह दर्शाता है कि प्रतिच्छेदन को केवल सापेक्ष पूरक संक्रिया का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
+: *: महत्वपूर्ण विशेष स्थिति के साथ <math>C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)</math> यह दर्शाता है कि प्रतिच्छेदन को केवल सापेक्ष पूरक संक्रिया का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
 :* <math>(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A).</math>
 :* <math>(B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C).</math>
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 == पूरक संबंध ==
-एक [[द्विआधारी संबंध]] <math>R</math> समुच्चय के उत्पाद के सबसमुच्चय <math>X \times Y.</math>के रूप में परिभाषित किया गया है पूरक संबंध <math>\bar{R}</math> का समुच्चय <math>R</math>  में <math>X \times Y.</math>पूरक है  संबंध <math>R</math> का पूरक लिखा जा सकता है
+[[द्विआधारी संबंध]] <math>R</math> समुच्चय को उत्पाद के उपसमुच्चय <math>X \times Y</math> के रूप में परिभाषित किया गया है पूरक संबंध <math>\bar{R}</math> का समुच्चय <math>R</math> में <math>X \times Y</math> का पूरक है जिसे संबंध <math>R</math> का पूरक लिखा जा सकता है:
 <math display=block>\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R.</math>
-यहां, <math>R</math> सामान्यतः तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाली पंक्तियों के साथ एक [[तार्किक मैट्रिक्स]] के रूप में देखा जाता है <math>X,</math> और स्तंभों के तत्व <math>Y.</math> का सच <math>aRb</math> पंक्ति में 1 से मेल खाता है <math>a,</math> कॉलम <math>b.</math> के पूरक संबंध का निर्माण <math>R</math> फिर पूरक के तार्किक मैट्रिक्स के लिए सभी 1s से 0s, और 0s से 1s स्विच करने के अनुरूप है।
+यहां, <math>R</math> सामान्यतः तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाली पंक्तियों के साथ [[तार्किक मैट्रिक्स|तार्किक आव्यूह]] <math>X</math> के रूप में और स्तंभों के तत्व <math>Y.</math> के रूप में देखे जाते है <math>aRb</math> पंक्ति में 1 से युग्मित होता है <math>a,</math> स्तम्भ <math>b.</math> के पूरक संबंध का निर्माण <math>R</math> पूरक के तार्किक आव्यूह के लिए सभी 1s से 0s, और 0s से 1s स्विच करने के अनुरूप है।
 संबंधों की संरचना और विलोम संबंधों के साथ, पूरक संबंध और समुच्चयों का बीजगणित संबंधों की कलन की प्राथमिक संक्रियाएं (गणित) हैं।
-== [[लाटेकस]] नोटेशन ==
+== [[लाटेकस|लाटीएक्स]] संकेतन ==
-LaTeX टाइपसेटिंग भाषा में, कमांड <code>\setminus</code><ref name="The Comprehensive LaTeX Symbol List">[http://ctan.unsw.edu.au/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf] The Comprehensive LaTeX Symbol List</ref> आमतौर पर एक सेट डिफरेंशियल सिंबल को रेंडर करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो [[बैकस्लैश]] सिंबल के समान होता है। जब प्रदान किया गया, तो <code>\setminus</code> आदेश समान दिखता है <code>\backslash</code>, सिवाय इसके कि इसमें स्लैश के आगे और पीछे थोड़ी अधिक जगह है, LaTeX अनुक्रम के समान <code>\mathbin{\backslash}</code>. एक प्रकार <code>\smallsetminus</code> amssymb पैकेज में उपलब्ध है। प्रतीक <math>\complement</math> (विरोध के रूप में <math>C</math>) द्वारा निर्मित है <code>\complement</code>. (यह यूनिकोड प्रतीक ∁ से संबंधित है।)
+लाटीएक्स टाइपसेटिंग भाषा में, कमांड <code>\setminus</code><ref name="The Comprehensive LaTeX Symbol List">[http://ctan.unsw.edu.au/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf] The Comprehensive LaTeX Symbol List</ref> प्रायः समुच्चय डिफरेंशियल सिंबल को रेंडर करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो [[बैकस्लैश]] सिंबल के समान होता है। जब प्रदान किया जाता है, तो <code>\setminus</code> आदेश समान दिखता है <code>\backslash</code>, इसके अतिरिक्त कि इसमें स्लैश के आगे और पीछे थोड़ा अधिक स्थान है, लाटीएक्स अनुक्रम के समान <code>\mathbin{\backslash}</code> प्रकार <code>\smallsetminus</code> amssymb पैकेज में उपलब्ध है। प्रतीक <math>\complement</math> (विरोध के रूप में <math>C</math>) द्वारा निर्मित है <code>\complement</code>. (यह यूनिकोड प्रतीक ∁ से संबंधित है।)
-== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में ==
+== [[प्रोग्रामिंग भाषा|प्रोग्रामिंग लैंग्वेज]] में ==
-कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में उनके अंतर्निहित [[डेटा संरचना]]ओं के बीच [[सेट (कंप्यूटर विज्ञान)|समुच्चय (कंप्यूटर विज्ञान)]] होता है। ऐसी डेटा संरचना एक [[परिमित सेट|परिमित समुच्चय]] के रूप में व्यवहार करती है, अर्थात इसमें डेटा की एक सीमित संख्या होती है जो विशेष रूप से आदेशित नहीं होती है, और इस प्रकार इसे एक समुच्चय के तत्व के रूप में माना जा सकता है। कुछ मामलों में, तत्व आवश्यक रूप से अलग नहीं होते हैं, और डेटा संरचना समुच्चय के अतिरिक्त [[multiset|बहुत सारे समुच्चय]] को कोड करती है। इन प्रोग्रामिंग भाषाओं में पूरक और समुच्चय अंतर की गणना के लिए ऑपरेटर या फ़ंक्शन होते हैं।
+कुछ प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में उनके अंतर्निहित [[डेटा संरचना|डेटा संरचनाओं]] के मध्य [[सेट (कंप्यूटर विज्ञान)|समुच्चय]] होता है। ऐसी डेटा संरचना [[परिमित सेट|परिमित समुच्चय]] के रूप में व्यवहार करती है, अर्थात इसमें डेटा की सीमित संख्या होती है जो विशेष रूप से आदेशित नहीं होती है, और इस प्रकार इसे समुच्चय के तत्व के रूप में माना जा सकता है। कुछ विषयों में, तत्व आवश्यक रूप से भिन्न नहीं होते हैं, और डेटा संरचना समुच्चय के अतिरिक्त [[multiset|बहुत सारे समुच्चय]] को कोड करती है। इन प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में पूरक और समुच्चय अंतर की गणना के लिए ऑपरेटर या फलन होते हैं।
-इन ऑपरेटरों को सामान्यतः उन डेटा संरचनाओं पर भी लागू किया जा सकता है जो वास्तव में गणितीय समुच्चय नहीं हैं, जैसे कि [[सूची (डेटा संरचना)]] या [[सरणी डेटा संरचना]]। यह इस प्रकार है कि कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक फ़ंक्शन हो सकता है जिसे <code>सेट_डिफरेंस</code>, कहा जाता है  भले ही उनके पास सेट के लिए कोई डेटा संरचना न हो।
+इन ऑपरेटरों को सामान्यतः उन डेटा संरचनाओं पर भी प्रारम्भ किया जा सकता है जो वास्तव में गणितीय समुच्चय नहीं हैं, जैसे कि [[सूची (डेटा संरचना)|सूची]] या [[सरणी डेटा संरचना]] है। यह इस प्रकार है कि कुछ प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में फलन हो सकता है जिसे <code>सेट_डिफरेंस</code>, कहा जाता है भले ही उनके निकट समुच्चय के लिए कोई डेटा संरचना न हो।
 == यह भी देखें ==
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 * {{annotated link|सममित अंतर}}
 * {{annotated link|संघ (समुच्चय सिद्धांत)}}
 == टिप्पणियाँ ==
 {{reflist}}
-{{reflist|group=note}}
 == संदर्भ ==
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   | zbl = 0087.04403
 }}
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*सेट (गणित)
-*समुच्चय सिद्धान्त
-*ब्रह्मांड (सेट सिद्धांत)
-*एकाधिक (गणित)
-*यिद
-*उचित सबसेट
-*एक सेट का विभाजन
-*सेट का उत्पाद
-*विपरीत संबंध
-*संबंधों की गणना
-*ऑपरेशन (गणित)
-*सेट का बीजगणित
-*संबंधों की रचना
 ==बाहरी संबंध==
 * {{MathWorld |title=Complement |id=Complement }}
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 {{DEFAULTSORT:Complement (set theory)}}
-[[Category: समुच्चय सिद्धांत में मूलभूत अवधारणा]]
-[[Category: सेट पर संचालन]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Complement (set theory)]]
-[[Category:Created On 25/11/2022]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)|Complement (set theory)]]
+[[Category:Collapse templates|Complement (set theory)]]
+[[Category:Created On 25/11/2022|Complement (set theory)]]
+[[Category:Lua-based templates|Complement (set theory)]]
+[[Category:Machine Translated Page|Complement (set theory)]]
+[[Category:Mathematics navigational boxes|Complement (set theory)]]
+[[Category:Navbox orphans|Complement (set theory)]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Complement (set theory)]]
+[[Category:Pages with empty portal template|Complement (set theory)]]
+[[Category:Pages with script errors|Complement (set theory)]]
+[[Category:Philosophy and thinking navigational boxes|Complement (set theory)]]
+[[Category:Portal-inline template with redlinked portals|Complement (set theory)]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Complement (set theory)]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Complement (set theory)]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Translated in Hindi|Complement (set theory)]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Complement (set theory)]]
+[[Category:Templates generating microformats|Complement (set theory)]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Complement (set theory)]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Complement (set theory)]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Complement (set theory)]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Complement (set theory)]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Complement (set theory)]]
+[[Category:समुच्चय सिद्धांत में मूलभूत अवधारणा|Complement (set theory)]]
+[[Category:सेट पर संचालन|Complement (set theory)]]

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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