स्थानत: सीमित संग्रह: Difference between revisions

Latest revision as of 16:52, 8 September 2023

समष्टित: सीमित संग्रह के उपवर्ग का संग्रह $X$ इसे समष्टि रूप से परिमित कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु में एक प्रतिवैस (गणित) होता है जो संग्रह में केवल कई सम्मुच्चय को प्रतिच्छेद करता है। ^[1]

सांस्थिति के गणित क्षेत्र में, समष्टि परिमितता एक समष्टित: सीमित संग्रह के उपवर्ग के सम्मुच्चय के वर्ग की एक संपत्ति है। यह पैराकॉम्पैक्टनेस और समष्टित: आयाम के अध्ययन में मौलिक है।

ध्यान दें कि समष्टि रूप से परिमित (बहुविकल्पी) शब्द के अन्य गणितीय क्षेत्रों में अलग-अलग अर्थ हैं।

उदाहरण और गुण

समष्टित: सीमित संग्रह के उपवर्ग का एक सीमित सम्मुच्चय संग्रह समष्टि रूप से सीमित है। ^[2] अनंत संग्रह भी समष्टि रूप से परिमित हो सकते हैं: उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक $n$ के लिए प्ररूप $(n,n+2)$ के सभी उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ का संग्रह है। ^[1] उपसमुच्चय के गणनीय संग्रह को समष्टि रूप से परिमित होने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि एक प्राकृतिक संख्या n के लिए $\mathbb {R}$ फॉर्म $(-n,n)$ के सभी उपसमुच्चय के संग्रह द्वारा दिखाया गया है।

यदि सम्मुच्चय का संग्रह समष्टि रूप से सीमित है, तो सभी संवरण का संग्रह भी समष्टि रूप से सीमित है। इसका कारण यह है कि यदि एक विवृत सम्मुच्चय जिसमें एक बिंदु होता है, एक सम्मुच्चय के संवरक को काटता है, तो यह आवश्यक रूप से सम्मुच्चय को ही काटता है, इसलिए एक प्रतिवैस अधिकतम समान संख्या में संवरक को काट सकता है (यह कम प्रतिच्छेद कर सकता है, क्योंकि दो अलग-अलग, वास्तव में) असंयुक्त, समुच्चयों का समापन समान हो सकता है)। हालाँकि, यदि सम्मुच्चय के संवरक अलग-अलग नहीं हैं, तो पारस्परिक क्रिया विफल हो सकती है। उदाहरण के लिए, परिमित पूरक सांस्थिति में $\mathbb {R}$ सभी विवृत सम्मुच्चय का संग्रह समष्टि रूप से सीमित नहीं है, लेकिन इन सम्मुच्चय के सभी संवरक का संग्रह समष्टि रूप से सीमित है (क्योंकि केवल संवरक $\mathbb {R}$ और रिक्त सम्मुच्चय हैं)।

संक्षिप्त समष्टि

किसी सघन समष्टि के उपसमुच्चय का प्रत्येक समष्टि रूप से परिमित संग्रह परिमित होना चाहिए। वास्तव में, मान लीजिये $G=\{G_{a}|a\in A\}$ एक सघन समष्टि $X$ के उपवर्ग के सम्मुच्चय का समष्टि रूप से परिमित वर्ग बनें। प्रत्येक बिंदु $x\in X$ के लिए, एक विवृत प्रतिवैस $U_{x}$ चुनें जो उपसमुच्चय की एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है। स्पष्ट रूप से सम्मुच्चय का वर्ग: $\{U_{x}|x\in X\}$ का एक विवृत आवरण $X$ है, और इसलिए इसका एक सीमित उपकवर $\{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}$ है। प्रत्येक $U_{k_{i}}$ के बाद से उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है, ऐसे सभी $U_{k_{i}}$ का मिलन उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है। चूँकि यह मिलन ही सम्पूर्ण समष्टि $X$ है, यह इस प्रकार है कि संग्रह में उपसमुच्चयों की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेदित करता है, और चूँकि G, X के उपसमुच्चय से बना है, G के प्रत्येक सदस्य को X को प्रतिच्छेद करना चाहिए, इस प्रकार G परिमित है।

एक समष्टित: सीमित संग्रह जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण समष्टि रूप से परिमित विवृत शोधन (सांस्थिति) को स्वीकार करता है, अनुसंहतसमष्‍टि कहलाता है। समष्टित: सीमित संग्रह के उपसमुच्चय का प्रत्येक समष्टि रूप से परिमित संग्रह भी बिंदु-परिमित संग्रह है। एक समष्टित: सीमित संग्रह जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण एक बिंदु-परिमित विवृत शोधन को स्वीकार करता है, अधिसंहत सीमित संग्रह कहलाता है।

द्वितीय गणनीय रिक्त समष्टि

लिंडेलॉफ सीमित संग्रह का कोई भी असंख्य आवरण (सांस्थिति) समष्टि रूप से सीमित नहीं हो सकता है, अनिवार्य रूप से संहतसमष्‍टि की स्तिथि में उसी तर्क के आधार पर। विशेष रूप से, दूसरे-गणनीय समष्टि का कोई भी बेशुमार आवरण समष्टि रूप से सीमित नहीं है।

संवृत सम्मुच्चय

संवृत समुच्चय का एक परिमित संघ सदैव संवृत रहता है। कोई भी संवृत सम्मुच्चय के अनंत संयोजन का उदाहरण आसानी से दे सकता है जो संवृत नहीं है। हालाँकि, यदि हम संवृत सम्मुच्चय के समष्टि रूप से सीमित संग्रह पर विचार करते हैं, तो संघ संवृत है। इसे देखने के लिए हम ध्यान देते हैं कि यदि $x$ संवृत सम्मुच्चय के इस समष्टि रूप से सीमित संग्रह के मिलन के बाहर एक बिंदु है, हम केवल $x$ का एक प्रतिवैस $V$ चुनते हैं जो इस संग्रह को इनमें से केवल कुछ सम्मुच्चयों पर ही प्रतिच्छेद करता है। सम्मुच्चयों के संग्रह से एक विशेषण मानचित्र को परिभाषित करें जिसे $V$ को ${1,\dots ,k}$ प्रतिच्छेदित करता है और इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक देता है। इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक दिया जाता है। फिर प्रत्येक सम्मुच्चय के लिए, एक खुला सम्मुच्चय $U_{i}$ चुनें जिसमें $x$ हो जो इसे प्रतिच्छेद न करता हो। $V$ के साथ प्रतिच्छेदित $1\leq i\leq k$ के लिए ऐसे सभी $U_{i}$ का प्रतिच्छेदन, $x$ का एक प्रतिवैस है जो बंद सम्मुच्चयों के इस संग्रह के मिलन को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

गणनीय रूप से समष्टि रूप से सीमित संग्रह $X$

किसी समष्टि X में एक संग्रह समष्टि रूप से परिमित (या σ-समष्टि रूप से परिमित) है यदि यह उपसमुच्चय के समष्टि रूप से सीमित संग्रहों के गणनीय वर्ग $X$ का संघ है। गणनीय रूप से समष्टि परिमितता नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय में एक प्रमुख परिकल्पना है, जो बताती है कि एक समष्टित: सीमित संग्रह मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह नियमित समष्टि है और इसका गणनीय समष्टि रूप से परिमित आधार (सांस्थिति) है। ^[3]

यह भी देखें

बिंदु-परिमित संग्रह

उद्धरण

↑ ^1.0 ^1.1 Munkres 2000, pp. 244.
↑ Munkres 2000, pp. 245 Lemma 39.1.
↑ Munkres 2000, pp. 250 Theorem 40.3.

संदर्भ

James R. Munkres (2000), Topology (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2

[FOOTNOTEMunkres2000244-1] 1.0 ^1.1 Munkres 2000, pp. 244.

[FOOTNOTEMunkres2000245_Lemma_39.1-2] Munkres 2000, pp. 245 Lemma 39.1.

[FOOTNOTEMunkres2000250_Theorem_40.3-3] Munkres 2000, pp. 250 Theorem 40.3.

[1]

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 {{Short description|Topological concept}}
-सांस्थितिक समष्टि के [[सबसेट|उपवर्ग]] का संग्रह <math>X</math> इसे स्थानीय रूप से परिमित कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु में एक [[पड़ोस (गणित)|प्रतिवैस (गणित)]] होता है जो संग्रह में केवल कई सम्मुच्चय को प्रतिच्छेद करता है। {{sfn|Munkres|2000|pp=244}}
+'''समष्टित: सीमित संग्रह''' के [[सबसेट|उपवर्ग]] का संग्रह <math>X</math> इसे समष्टि रूप से परिमित कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु में एक [[पड़ोस (गणित)|प्रतिवैस (गणित)]] होता है जो संग्रह में केवल कई सम्मुच्चय को प्रतिच्छेद करता है। {{sfn|Munkres|2000|pp=244}}
-[[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] के गणित क्षेत्र में, स्थानीय परिमितता एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] के उपवर्ग के सम्मुच्चय के वर्ग की एक संपत्ति है। यह [[पैराकॉम्पैक्टनेस]] और [[टोपोलॉजिकल आयाम|सांस्थितिक आयाम]] के अध्ययन में मौलिक है।
+[[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] के गणित क्षेत्र में, समष्टि परिमितता एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|समष्टित: सीमित संग्रह]] के उपवर्ग के सम्मुच्चय के वर्ग की एक संपत्ति है। यह [[पैराकॉम्पैक्टनेस]] और [[टोपोलॉजिकल आयाम|समष्टित: आयाम]] के अध्ययन में मौलिक है।
-ध्यान दें कि [[स्थानीय रूप से परिमित (बहुविकल्पी)]] शब्द के अन्य गणितीय क्षेत्रों में अलग-अलग अर्थ हैं।
+ध्यान दें कि समष्टि रूप से परिमित (बहुविकल्पी) शब्द के अन्य गणितीय क्षेत्रों में अलग-अलग अर्थ हैं।
 ==उदाहरण और गुण==
-सांस्थितिक समष्टि के उपवर्ग का एक सीमित सम्मुच्चय संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है। {{sfn|Munkres|2000|pp=245 Lemma 39.1}} अनंत संग्रह भी स्थानीय रूप से परिमित हो सकते हैं: उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक <math>n</math> के लिए प्ररूप <math>(n, n+2)</math> के सभी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}</math> का संग्रह है। {{sfn|Munkres|2000|pp=244}} उपसमुच्चय के गणनीय संग्रह को स्थानीय रूप से परिमित होने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि एक प्राकृतिक संख्या n के लिए <math>\mathbb{R}</math> फॉर्म <math>(-n, n)</math> के सभी उपसमुच्चय के संग्रह द्वारा दिखाया गया है।
+समष्टित: सीमित संग्रह के उपवर्ग का एक सीमित सम्मुच्चय संग्रह समष्टि रूप से सीमित है। {{sfn|Munkres|2000|pp=245 Lemma 39.1}} अनंत संग्रह भी समष्टि रूप से परिमित हो सकते हैं: उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक <math>n</math> के लिए प्ररूप <math>(n, n+2)</math> के सभी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}</math> का संग्रह है। {{sfn|Munkres|2000|pp=244}} उपसमुच्चय के गणनीय संग्रह को समष्टि रूप से परिमित होने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि एक प्राकृतिक संख्या n के लिए <math>\mathbb{R}</math> फॉर्म <math>(-n, n)</math> के सभी उपसमुच्चय के संग्रह द्वारा दिखाया गया है।
-यदि सम्मुच्चय का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है, तो सभी [[ सेट बंद करना |संवरण]] का संग्रह भी स्थानीय रूप से सीमित है। इसका कारण यह है कि यदि एक [[खुला सेट|विवृत सम्मुच्चय]] जिसमें एक बिंदु होता है, एक सम्मुच्चय के संवरक को काटता है, तो यह आवश्यक रूप से सम्मुच्चय को ही काटता है, इसलिए एक प्रतिवैस अधिकतम समान संख्या में संवरक को काट सकता है (यह कम प्रतिच्छेद कर सकता है, क्योंकि दो अलग-अलग, वास्तव में) असंयुक्त, समुच्चयों का समापन समान हो सकता है)। हालाँकि, यदि सम्मुच्चय के संवरक अलग-अलग नहीं हैं, तो पारस्परिक क्रिया विफल हो सकती है। उदाहरण के लिए, [[परिमित पूरक टोपोलॉजी|परिमित पूरक सांस्थिति]] में <math>\mathbb{R}</math> सभी विवृत सम्मुच्चय का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित नहीं है, लेकिन इन सम्मुच्चय के सभी संवरक का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है (क्योंकि केवल संवरक <math>\mathbb{R}</math> और [[खाली सेट|रिक्त सम्मुच्चय]] हैं)।
+यदि सम्मुच्चय का संग्रह समष्टि रूप से सीमित है, तो सभी [[ सेट बंद करना |संवरण]] का संग्रह भी समष्टि रूप से सीमित है। इसका कारण यह है कि यदि एक [[खुला सेट|विवृत सम्मुच्चय]] जिसमें एक बिंदु होता है, एक सम्मुच्चय के संवरक को काटता है, तो यह आवश्यक रूप से सम्मुच्चय को ही काटता है, इसलिए एक प्रतिवैस अधिकतम समान संख्या में संवरक को काट सकता है (यह कम प्रतिच्छेद कर सकता है, क्योंकि दो अलग-अलग, वास्तव में) असंयुक्त, समुच्चयों का समापन समान हो सकता है)। हालाँकि, यदि सम्मुच्चय के संवरक अलग-अलग नहीं हैं, तो पारस्परिक क्रिया विफल हो सकती है। उदाहरण के लिए, [[परिमित पूरक टोपोलॉजी|परिमित पूरक सांस्थिति]] में <math>\mathbb{R}</math> सभी विवृत सम्मुच्चय का संग्रह समष्टि रूप से सीमित नहीं है, लेकिन इन सम्मुच्चय के सभी संवरक का संग्रह समष्टि रूप से सीमित है (क्योंकि केवल संवरक <math>\mathbb{R}</math> और [[खाली सेट|रिक्त सम्मुच्चय]] हैं)।
-===संक्षिप्त स्थान===
+===संक्षिप्त समष्टि===
-किसी [[सघन स्थान]] के उपसमुच्चय का प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह परिमित होना चाहिए। वास्तव में, मान लीजिये <math>G=\{G_{a}|a\in A\}</math> एक सघन स्थान <math>X</math> के उपवर्ग के सम्मुच्चय का स्थानीय रूप से परिमित वर्ग बनें। प्रत्येक बिंदु <math>x\in X</math> के लिए, एक [[खुला पड़ोस|विवृत प्रतिवैस]] <math>U_{x}</math> चुनें जो उपसमुच्चय की एक सीमित संख्या <math>G</math> को प्रतिच्छेद करता है। स्पष्ट रूप से सम्मुच्चय का वर्ग: <math>\{U_{x}|x\in X\}</math> का एक विवृत आवरण <math>X</math> है, और इसलिए इसका एक सीमित उपकवर <math>\{U_{k_n}|n\in 1\dots n\}</math> है। प्रत्येक <math>U_{k_i}</math> के बाद से उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या <math>G</math> को प्रतिच्छेद करता है, ऐसे सभी <math>U_{k_i}</math> का मिलन उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या <math>G</math> को प्रतिच्छेद करता है। चूँकि यह मिलन ही सम्पूर्ण स्थान <math>X</math> है, यह इस प्रकार है कि <math></math> संग्रह में उपसमुच्चयों की केवल एक सीमित संख्या <math>G</math> को प्रतिच्छेदित करता है, और चूँकि G, X के उपसमुच्चय से बना है, G के प्रत्येक सदस्य को X को प्रतिच्छेद करना चाहिए, इस प्रकार G परिमित है।
+किसी [[सघन स्थान|सघन समष्टि]] के उपसमुच्चय का प्रत्येक समष्टि रूप से परिमित संग्रह परिमित होना चाहिए। वास्तव में, मान लीजिये <math>G=\{G_{a}|a\in A\}</math> एक सघन समष्टि <math>X</math> के उपवर्ग के सम्मुच्चय का समष्टि रूप से परिमित वर्ग बनें। प्रत्येक बिंदु <math>x\in X</math> के लिए, एक [[खुला पड़ोस|विवृत प्रतिवैस]] <math>U_{x}</math> चुनें जो उपसमुच्चय की एक सीमित संख्या <math>G</math> को प्रतिच्छेद करता है। स्पष्ट रूप से सम्मुच्चय का वर्ग: <math>\{U_{x}|x\in X\}</math> का एक विवृत आवरण <math>X</math> है, और इसलिए इसका एक सीमित उपकवर <math>\{U_{k_n}|n\in 1\dots n\}</math> है। प्रत्येक <math>U_{k_i}</math> के बाद से उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या <math>G</math> को प्रतिच्छेद करता है, ऐसे सभी <math>U_{k_i}</math> का मिलन उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या <math>G</math> को प्रतिच्छेद करता है। चूँकि यह मिलन ही सम्पूर्ण समष्टि <math>X</math> है, यह इस प्रकार है कि  संग्रह में उपसमुच्चयों की केवल एक सीमित संख्या <math>G</math> को प्रतिच्छेदित करता है, और चूँकि G, X के उपसमुच्चय से बना है, G के प्रत्येक सदस्य को X को प्रतिच्छेद करना चाहिए, इस प्रकार G परिमित है।
-एक सांस्थितिक समष्टि जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण स्थानीय रूप से परिमित विवृत शोधन (सांस्थिति) को स्वीकार करता है, [[पैराकॉम्पैक्ट स्पेस|अनुसंहतसमष्‍टि]] कहलाता है। सांस्थितिक समष्टि के उपसमुच्चय का प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह भी [[बिंदु-परिमित संग्रह]] है। एक सांस्थितिक समष्टि जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण एक बिंदु-परिमित विवृत शोधन को स्वीकार करता है, [[मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस|अधिसंहत समष्टि]] कहलाता है।
+एक समष्टित: सीमित संग्रह जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण समष्टि रूप से परिमित विवृत शोधन (सांस्थिति) को स्वीकार करता है, [[पैराकॉम्पैक्ट स्पेस|अनुसंहतसमष्‍टि]] कहलाता है। समष्टित: सीमित संग्रह के उपसमुच्चय का प्रत्येक समष्टि रूप से परिमित संग्रह भी [[बिंदु-परिमित संग्रह]] है। एक समष्टित: सीमित संग्रह जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण एक बिंदु-परिमित विवृत शोधन को स्वीकार करता है, [[मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस|अधिसंहत सीमित संग्रह]] कहलाता है।
-===द्वितीय गणनीय रिक्त स्थान===
+===द्वितीय गणनीय रिक्त समष्टि===
-लिंडेलॉफ [[मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस|समष्टि]] का कोई भी [[बेशुमार अनंत|असंख्य]] [[कवर (टोपोलॉजी)|आवरण (सांस्थिति)]] स्थानीय रूप से सीमित नहीं हो सकता है, अनिवार्य रूप से संहतसमष्‍टि की स्तिथि में उसी तर्क के आधार पर। विशेष रूप से, दूसरे-गणनीय स्थान का कोई भी बेशुमार आवरण स्थानीय रूप से सीमित नहीं है।
+लिंडेलॉफ [[मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस|सीमित संग्रह]] का कोई भी [[बेशुमार अनंत|असंख्य]] [[कवर (टोपोलॉजी)|आवरण (सांस्थिति)]] समष्टि रूप से सीमित नहीं हो सकता है, अनिवार्य रूप से संहतसमष्‍टि की स्तिथि में उसी तर्क के आधार पर। विशेष रूप से, दूसरे-गणनीय समष्टि का कोई भी बेशुमार आवरण समष्टि रूप से सीमित नहीं है।
-==[[बंद सेट|संवृत सम्मुच्चय]]==
+==संवृत सम्मुच्चय==
-संवृत समुच्चय का एक परिमित संघ सदैव संवृत रहता है। कोई भी संवृत सम्मुच्चय के अनंत संयोजन का उदाहरण आसानी से दे सकता है जो संवृत नहीं है। हालाँकि, यदि हम संवृत सम्मुच्चय के स्थानीय रूप से सीमित संग्रह पर विचार करते हैं, तो संघ संवृत है। इसे देखने के लिए हम ध्यान देते हैं कि यदि <math>x</math> संवृत सम्मुच्चय के इस स्थानीय रूप से सीमित संग्रह के मिलन के बाहर एक बिंदु है, हम केवल <math>x</math> का एक प्रतिवैस <math>V</math> चुनते हैं जो इस संग्रह को इनमें से केवल कुछ सम्मुच्चयों पर ही प्रतिच्छेद करता है। सम्मुच्चयों के संग्रह से एक विशेषण मानचित्र को परिभाषित करें जिसे <math>V</math> को <math>{1,\dots,k}</math> प्रतिच्छेदित करता है और इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक देता है।  इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक दिया जाता है। फिर प्रत्येक सम्मुच्चय के लिए, एक खुला सम्मुच्चय <math>U_i</math> चुनें जिसमें <math>x</math> हो जो इसे प्रतिच्छेद न करता हो। <math>V</math> के साथ प्रतिच्छेदित <math>1\leq i\leq k</math> के लिए ऐसे सभी <math>U_i</math> का प्रतिच्छेदन, <math>x</math> का एक प्रतिवैस है जो बंद सम्मुच्चयों के इस संग्रह के मिलन को प्रतिच्छेद नहीं करता है।
+संवृत समुच्चय का एक परिमित संघ सदैव संवृत रहता है। कोई भी संवृत सम्मुच्चय के अनंत संयोजन का उदाहरण आसानी से दे सकता है जो संवृत नहीं है। हालाँकि, यदि हम संवृत सम्मुच्चय के समष्टि रूप से सीमित संग्रह पर विचार करते हैं, तो संघ संवृत है। इसे देखने के लिए हम ध्यान देते हैं कि यदि <math>x</math> संवृत सम्मुच्चय के इस समष्टि रूप से सीमित संग्रह के मिलन के बाहर एक बिंदु है, हम केवल <math>x</math> का एक प्रतिवैस <math>V</math> चुनते हैं जो इस संग्रह को इनमें से केवल कुछ सम्मुच्चयों पर ही प्रतिच्छेद करता है। सम्मुच्चयों के संग्रह से एक विशेषण मानचित्र को परिभाषित करें जिसे <math>V</math> को <math>{1,\dots,k}</math> प्रतिच्छेदित करता है और इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक देता है।  इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक दिया जाता है। फिर प्रत्येक सम्मुच्चय के लिए, एक खुला सम्मुच्चय <math>U_i</math> चुनें जिसमें <math>x</math> हो जो इसे प्रतिच्छेद न करता हो। <math>V</math> के साथ प्रतिच्छेदित <math>1\leq i\leq k</math> के लिए ऐसे सभी <math>U_i</math> का प्रतिच्छेदन, <math>x</math> का एक प्रतिवैस है जो बंद सम्मुच्चयों के इस संग्रह के मिलन को प्रतिच्छेद नहीं करता है।
-==गणनीय रूप से स्थानीय रूप से सीमित संग्रह<math>X</math>==
+==गणनीय रूप से समष्टि रूप से सीमित संग्रह<math>X</math>==
-किसी स्थान X में एक संग्रह स्थानीय रूप से परिमित (या σ-स्थानीय रूप से परिमित) है यदि यह उपसमुच्चय के स्थानीय रूप से सीमित संग्रहों के गणनीय वर्ग <math>X</math> का संघ है। गणनीय रूप से स्थानीय परिमितता नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय में एक प्रमुख परिकल्पना है, जो बताती है कि एक सांस्थितिक समष्टि [[मेट्रिज़ेबल]] है यदि और केवल अगर यह [[नियमित स्थान]] है और इसका गणनीय स्थानीय रूप से परिमित [[आधार (टोपोलॉजी)|आधार (सांस्थिति)]] है। {{sfn|Munkres|2000|pp=250 Theorem 40.3}}
+किसी समष्टि X में एक संग्रह समष्टि रूप से परिमित (या σ-समष्टि रूप से परिमित) है यदि यह उपसमुच्चय के समष्टि रूप से सीमित संग्रहों के गणनीय वर्ग <math>X</math> का संघ है। गणनीय रूप से समष्टि परिमितता नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय में एक प्रमुख परिकल्पना है, जो बताती है कि एक समष्टित: सीमित संग्रह [[मेट्रिज़ेबल]] है यदि और केवल अगर यह [[नियमित स्थान|नियमित समष्टि]] है और इसका गणनीय समष्टि रूप से परिमित [[आधार (टोपोलॉजी)|आधार (सांस्थिति)]] है। {{sfn|Munkres|2000|pp=250 Theorem 40.3}}
 ==यह भी देखें==
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 * {{Citation|title=Topology|edition=2nd|author=James R. Munkres|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=0-13-181629-2}}
-[[Category: सेट के परिवार]] [[Category: सामान्य टोपोलॉजी]] [[Category: टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के गुण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 05/07/2023]]
-[[Category:Vigyan Ready]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के गुण]]
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उदाहरण और गुण

संक्षिप्त समष्टि

द्वितीय गणनीय रिक्त समष्टि

संवृत सम्मुच्चय

गणनीय रूप से समष्टि रूप से सीमित संग्रह $X$

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उदाहरण और गुण

संक्षिप्त समष्टि

द्वितीय गणनीय रिक्त समष्टि

संवृत सम्मुच्चय

गणनीय रूप से समष्टि रूप से सीमित संग्रहX{\displaystyle X}

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