स्थानत: सीमित संग्रह

समष्टित: सीमित संग्रह के उपवर्ग का संग्रह $X$ इसे समष्टि रूप से परिमित कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु में एक प्रतिवैस (गणित) होता है जो संग्रह में केवल कई सम्मुच्चय को प्रतिच्छेद करता है।

सांस्थिति के गणित क्षेत्र में, समष्टि परिमितता एक समष्टित: सीमित संग्रह के उपवर्ग के सम्मुच्चय के वर्ग की एक संपत्ति है। यह पैराकॉम्पैक्टनेस और समष्टित: आयाम के अध्ययन में मौलिक है।

ध्यान दें कि समष्टि रूप से परिमित (बहुविकल्पी) शब्द के अन्य गणितीय क्षेत्रों में अलग-अलग अर्थ हैं।

उदाहरण और गुण

समष्टित: सीमित संग्रह के उपवर्ग का एक सीमित सम्मुच्चय संग्रह समष्टि रूप से सीमित है। अनंत संग्रह भी समष्टि रूप से परिमित हो सकते हैं: उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक $n$ के लिए प्ररूप $(n,n+2)$ के सभी उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ का संग्रह है। उपसमुच्चय के गणनीय संग्रह को समष्टि रूप से परिमित होने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि एक प्राकृतिक संख्या n के लिए $\mathbb {R}$ फॉर्म $(-n,n)$ के सभी उपसमुच्चय के संग्रह द्वारा दिखाया गया है।

यदि सम्मुच्चय का संग्रह समष्टि रूप से सीमित है, तो सभी संवरण का संग्रह भी समष्टि रूप से सीमित है। इसका कारण यह है कि यदि एक विवृत सम्मुच्चय जिसमें एक बिंदु होता है, एक सम्मुच्चय के संवरक को काटता है, तो यह आवश्यक रूप से सम्मुच्चय को ही काटता है, इसलिए एक प्रतिवैस अधिकतम समान संख्या में संवरक को काट सकता है (यह कम प्रतिच्छेद कर सकता है, क्योंकि दो अलग-अलग, वास्तव में) असंयुक्त, समुच्चयों का समापन समान हो सकता है)। हालाँकि, यदि सम्मुच्चय के संवरक अलग-अलग नहीं हैं, तो पारस्परिक क्रिया विफल हो सकती है। उदाहरण के लिए, परिमित पूरक सांस्थिति में $\mathbb {R}$ सभी विवृत सम्मुच्चय का संग्रह समष्टि रूप से सीमित नहीं है, लेकिन इन सम्मुच्चय के सभी संवरक का संग्रह समष्टि रूप से सीमित है (क्योंकि केवल संवरक $\mathbb {R}$ और रिक्त सम्मुच्चय हैं)।

संक्षिप्त समष्टि

किसी सघन समष्टि के उपसमुच्चय का प्रत्येक समष्टि रूप से परिमित संग्रह परिमित होना चाहिए। वास्तव में, मान लीजिये $G=\{G_{a}|a\in A\}$ एक सघन समष्टि $X$ के उपवर्ग के सम्मुच्चय का समष्टि रूप से परिमित वर्ग बनें। प्रत्येक बिंदु $x\in X$ के लिए, एक विवृत प्रतिवैस $U_{x}$ चुनें जो उपसमुच्चय की एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है। स्पष्ट रूप से सम्मुच्चय का वर्ग: $\{U_{x}|x\in X\}$ का एक विवृत आवरण $X$ है, और इसलिए इसका एक सीमित उपकवर $\{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}$ है। प्रत्येक $U_{k_{i}}$ के बाद से उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है, ऐसे सभी $U_{k_{i}}$ का मिलन उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है। चूँकि यह मिलन ही सम्पूर्ण समष्टि $X$ है, यह इस प्रकार है कि संग्रह में उपसमुच्चयों की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेदित करता है, और चूँकि G, X के उपसमुच्चय से बना है, G के प्रत्येक सदस्य को X को प्रतिच्छेद करना चाहिए, इस प्रकार G परिमित है।

एक समष्टित: सीमित संग्रह जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण समष्टि रूप से परिमित विवृत शोधन (सांस्थिति) को स्वीकार करता है, अनुसंहतसमष्‍टि कहलाता है। समष्टित: सीमित संग्रह के उपसमुच्चय का प्रत्येक समष्टि रूप से परिमित संग्रह भी बिंदु-परिमित संग्रह है। एक समष्टित: सीमित संग्रह जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण एक बिंदु-परिमित विवृत शोधन को स्वीकार करता है, अधिसंहत सीमित संग्रह कहलाता है।

द्वितीय गणनीय रिक्त समष्टि

लिंडेलॉफ सीमित संग्रह का कोई भी असंख्य आवरण (सांस्थिति) समष्टि रूप से सीमित नहीं हो सकता है, अनिवार्य रूप से संहतसमष्‍टि की स्तिथि में उसी तर्क के आधार पर। विशेष रूप से, दूसरे-गणनीय समष्टि का कोई भी बेशुमार आवरण समष्टि रूप से सीमित नहीं है।

संवृत सम्मुच्चय

संवृत समुच्चय का एक परिमित संघ सदैव संवृत रहता है। कोई भी संवृत सम्मुच्चय के अनंत संयोजन का उदाहरण आसानी से दे सकता है जो संवृत नहीं है। हालाँकि, यदि हम संवृत सम्मुच्चय के समष्टि रूप से सीमित संग्रह पर विचार करते हैं, तो संघ संवृत है। इसे देखने के लिए हम ध्यान देते हैं कि यदि $x$ संवृत सम्मुच्चय के इस समष्टि रूप से सीमित संग्रह के मिलन के बाहर एक बिंदु है, हम केवल $x$ का एक प्रतिवैस $V$ चुनते हैं जो इस संग्रह को इनमें से केवल कुछ सम्मुच्चयों पर ही प्रतिच्छेद करता है। सम्मुच्चयों के संग्रह से एक विशेषण मानचित्र को परिभाषित करें जिसे $V$ को ${1,\dots ,k}$ प्रतिच्छेदित करता है और इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक देता है। इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक दिया जाता है। फिर प्रत्येक सम्मुच्चय के लिए, एक खुला सम्मुच्चय $U_{i}$ चुनें जिसमें $x$ हो जो इसे प्रतिच्छेद न करता हो। $V$ के साथ प्रतिच्छेदित $1\leq i\leq k$ के लिए ऐसे सभी $U_{i}$ का प्रतिच्छेदन, $x$ का एक प्रतिवैस है जो बंद सम्मुच्चयों के इस संग्रह के मिलन को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

गणनीय रूप से समष्टि रूप से सीमित संग्रह$X$

किसी समष्टि X में एक संग्रह समष्टि रूप से परिमित (या σ-समष्टि रूप से परिमित) है यदि यह उपसमुच्चय के समष्टि रूप से सीमित संग्रहों के गणनीय वर्ग $X$ का संघ है। गणनीय रूप से समष्टि परिमितता नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय में एक प्रमुख परिकल्पना है, जो बताती है कि एक समष्टित: सीमित संग्रह मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह नियमित समष्टि है और इसका गणनीय समष्टि रूप से परिमित आधार (सांस्थिति) है।

यह भी देखें

• बिंदु-परिमित संग्रह

संदर्भ

• James R. Munkres (2000), Topology (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2