सूचक फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 09:48, 2 August 2023

एक सूचक फ़ंक्शन का त्रि-आयामी प्लॉट, एक वर्गाकार द्वि-आयामी डोमेन (सेट) पर दिखाया गया है

X

): उठा हुआ भाग उन द्वि-आयामी बिंदुओं को ओवरले करता है जो संकेतित उपसमुच्चय के सदस्य हैं (

A

).

गणित में एक सूचक फलन या किसी समूह के उपसमुच्चय का एक ऐसा फलन होता है जो उपसमुच्चय के तत्वों को एक में और अन्य सभी तत्वों को शून्य पर दिखाता है अर्थात यदि $A$ किसी समुच्चय $X$ का उपसमुच्चय है तब $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ अगर $x\in A,$ और $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ जहॉं $\mathbf {1} _{A}$ सूचक फलन के लिए एक सामान्य सूचक व अन्य सामान्य सूचक $I_{A},$ और $\chi _{A}.$ है

$A$ का सूचक कार्य $A$ से संबंधित सम्पत्ति का इवरसन कोष्ठक है, जो इस प्रकार है-

\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].

उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फलन वास्तविक संख्याओं के उपसमूह के रूप में तर्कसंगत संख्याओं का संकेतक फलन है।

The function $\mathbf {1} _{A}$ is sometimes denoted $I A$ , $χ A$ , $K A$ , or even just $A$ .^{[lower-alpha 1]}^{[lower-alpha 2]}

परिभाषा

उपसमुच्चय X उपसमुच्चय A का सूचक फलन एक फलन है।

\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}

के रूप में परिभाषित

\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}

इवरसन कोष्ठक समतुल्य अंकन प्रदान करता है

[x\in A]

या

⟦ x \in A ⟧

, के समष्टि पर उपयोग किया जायेगा कभी-कभी इसे

I A

,

χ A

,

K A

,यहाँ तक कि A से दर्शाया जाता है।

सूचक में शब्दावली

सूचक $\chi _{A}$ इसका उपयोग उत्तल विश्लेषण में विशेष फलन विश्लेषण को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिसे सूचक फलन की मानक परिभाषा के व्युत्क्रम का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।

सांख्यिकी में एक संबंधित अवधारणा एक वास्तविक परिवर्तन शील सांख्यिकी की है (इसे डमी चर के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि यह शब्द अधिकतर गणित में उपयोग किया जाता है जिसे मुक्त चर और बाध्य सिद्धांत कहा जाता है)

विशेषत फलन शब्द का संभाव्यता सिद्धांत में एक असंबंधित अर्थ है इस कारण से संभाव्यवादियों की सूची यहां परिभाषित है जो फलन के लिए सूचक शब्द का उपयोग विशेष रूप से करते हैं, जबकि अन्य क्षेत्रों में गणितज्ञ फलन शब्द का उपयोग करने की अधिक संभावना रखते हैं ^{[lower-alpha 1]} उस फलन का वर्णन करने के लिए जो किसी समूह में सदस्यता को दर्शाता है

धुंधला तर्क और आधुनिक बहुमूल्य तर्क में विधेय संभाव्यता वितरण के विशिष्ट कार्य हैं अर्थात् ,विधेय के सत्य/गलत मूल्यांकन को सत्य की घात के रूप में व्याख्या की गई मात्रा से बदल दिया जाता है।

बुनियादी गुण

कुछ समूह X के उपसमुच्चय A का संकेतक या विशेष फलन, $X$ के तत्वों को श्रेणी में प्रदर्शित करता है

यह मानचित्रण केवल तभी विशेषणात्मक होता है जब, A X का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय हो तथा $X$ . अगर $A\equiv X,$ तब $\mathbf {1} _{A}=1.$ इसी तरह के तर्क से यदि $A\equiv \emptyset$ तब $\mathbf {1} _{A}=0.$ निम्नलिखित बिंदु गुणन का प्रतिनिधित्व करता है तो $1\cdot 1=1,$ $1\cdot 0=0,$ आदि + और − जोड़ और घटाव का प्रतिनिधित्व करते हैं तथा इसमें $\cap$ और $\cup$ क्रमशः प्रतिच्छेदन और मिलन बिन्दु हैं

अगर $A$ और $B$ के दो उपसमुच्चय हैं $X,$ तब

{\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}

और इसके पूरक समूह सिद्धांत का सूचक कार्य

A

अर्थात्

A^{C}

है जो इस प्रकार है-

\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.

सामान्यतः मान लीजिए

A_{1},\dotsc ,A_{n}

के उपसमुच्चय का संग्रह है

X

. किसी संख्या के लिए

x\in X:

\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))

यह स्पष्ट रूप से A एक उत्पाद है

1

इस उत्पाद का मान ठीक उन्हीं पर है जहाँ

x\in X

जो किसी भी समूह से संबंधित नहीं है

A_{k}

और 0 है वह इस प्रकार है

\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.

बायीं ओर उत्पाद का विस्तार करते हुए

\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}

जब

|F|

की प्रमुखता है

F

यह समावेश-बहिष्करण के सिद्धांत का एक रूप है

जैसा कि पिछले उदाहरण में बताया गया है कि सूचक फलन साहचर्य में उपयोगी सूचक उपकरण है इसमें अंकन का उपयोग अन्य स्थानों पर किया जाता है उदाहरण के लिए संभाव्यता सिद्धांत में यदि $X$ संभाव्यता माप के साथ एक संभाव्यता स्थान है $\operatorname {P}$ और $A$ तो फिर एक माप गणित है $\mathbf {1} _{A}$ एक यादृच्छिक चर बन जाता है जिसका अपेक्षित मान संभावना के बराबर होता है जैसे $A$ :

\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).

इस पहचान का उपयोग मार्कोव की असमानता के सरल प्रमाण में किया जाता है

कई स्थानों में जैसे कि आदेशित सिद्धांत, सूचक फलन के व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है इसे अधिकतर सामान्यीकृत फलन कहा जाता है प्राथमिक संख्या सिद्धांत मोबियस फलन में सूचक व्युत्क्रम के सामान्यीकरण के रूप में शास्त्रीय पुनरावर्तन सिद्धांत में व्युत्क्रम के उपयोग के बारे में नीचे पैराग्राफ में दिया गया है।

माध्य, प्रसरण और सहप्रसरण

एक संभाव्यता स्थान दिया गया है $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ साथ $A\in {\mathcal {F}},$ सूचक यादृच्छिक चर $\mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\mathbf {1} _{A}(\omega )=1$ अगर $\omega \in A,$ अन्यथा $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$

अर्थ: $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ मौलिक मुक्त भी कहा जाता है

विचरण: $\operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))$
सहप्रसरण: $\operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)$

पुनरावर्तन सिद्धांत में अभिलक्षणिक कार्य और क्लेन का प्रतिनिधित्व कार्य

कर्ट गोडेल ने अपने 1934 के पेपर में औपचारिक गणितीय प्रणालियों के प्रस्तावों पर प्रतिनिधित्व फलन का वर्णन किया जिसमें तार्किक उलटा इंगित करता है ^[1]

प्रत्येक वर्ग या संबंध आर के अनुरूप एक प्रतिनिधित्व करने वाला कार्य होगा

स्टीफन क्लेन एक फलन के रूप में आदिम पुनरावर्ती कार्य के संदर्भ में समान परिभाषा प्रस्तुत करते हैं $φ$ एक विधेय का $P$ मान ग्रहण करता है $0$ यदि विधेय सत्य है और $1$ यदि विधेय गलत है तो ^[2]उदाहरण के लिए विशिष्ट कार्यों का उत्पाद $\phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0$ जब भी कोई एक फलन के बराबर होता है तो $0$ यह तार्किक OR: IF की भूमिका निभाता है $\phi _{1}=0$ या $\phi _{2}=0$ या या $\phi _{n}=0$ फिर उनका उत्पाद है $0$ . आधुनिक पाठ को जो प्रतिनिधित्व करने वाले फलन के तार्किक व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है जबकि यह प्रतिनिधित्व करने वाला फलन $0$ है जब फलन $R$ सत्य या संतुष्ट है तो कुल के तार्किक कार्यों OR, AND और IMPLY की परिभाषा में उपयोगी भूमिका निभाता है ^[2] परिबद्ध- और असीमित- चालक में और CASE फलन है।

उपसमुच्चय समूह सिद्धांत में फलन

शास्त्रीय गणित में समूह के विशिष्ट कार्य मान लेते हैं इसमें $1$ सदस्य या $0$ गैर-सदस्य उपसमुच्चय समूह सिद्धांत में वास्तविक इकाई अंतराल में मान लेने के लिए विशिष्ट कार्यों को सामान्यीकृत किया जाता है तथा $[0, 1]$ या अधिक सामान्यतः कुछ सार्वभौमिक बीजगणित या संरचना गणितीय तर्क में अधिकतर कम से कम आंशिक रूप से आदेशित किया गया समूह होना आवश्यक है ऐसे सामान्यीकृत विशिष्ट कार्यों को अधिकतर फलन गणित कहा जाता है और संबंधित समूहों को उपसमुच्चय समूह कहा जाता है उपसमुच्चय समूह कई वास्तविक दुनिया विधेय गणित जैसे लंबा, गर्म आदि में देखी गई सदस्यता की घात में क्रमिक परिवर्तन प्राप्त करते हैं।

सूचक फलन के व्युत्पन्न

एक विशेष सूचक फलन हेविसाइड फलन है

H(x):=\mathbf {1} _{x>0}

हेविसाइड फलन का वितरणात्मक व्युत्पन्न डिराक डेल्टा फलन के बराबर है

{\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)

और इसी तरह का वितरणात्मक व्युत्पन्न

G(x):=\mathbf {1} _{x<0}

है

{\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)

इस प्रकार हेविसाइड फलन के व्युत्पन्न को धनात्मक अर्ध-रेखा द्वारा दिए गए डोमेन की सीमा पर आवश्यक सामान्य व्युत्पन्न के रूप में देखा जा सकता है उच्च आयामों में व्युत्पन्न स्वाभाविक रूप से आंतरिक सामान्य व्युत्पन्न के लिए सामान्यीकृत होता है जबकि हेविसाइड चरण फलन स्वाभाविक रूप से कुछ डोमेन के सूचक फलन के लिए समान्यीकृत होता है जबकि

D

की सतह को

D

द्वारा निरूपित किया जाता है तथा S में आगे बढ़ते हुए यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि सूचक डिराक सतह डेल्टा फलन का एक सतह डेल्टा है या नहीं जिसे इस चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है

\delta _{S}(\mathbf {x} )

\delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}

जहॉं

n

सतह S का बाहरी सामान्य ज्यामिति है

S

इस सतह डेल्टा फलन में निम्नलिखित गुण हैं ^[3]

-\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .

फलन समूह

f

के बराबर है यह इस प्रकार है कि सूचक डिराक सतह डेल्टा फलन का लाप्लासियन सतह क्षेत्र के संख्यात्मक मान से एकीकृत होता है।

संदर्भ

↑ Davis, Martin, ed. (1965). अनिर्णीत. New York, NY: Raven Press Books. pp. 41–74.
↑ ^2.0 ^2.1 Kleene, Stephen (1971) [1952]. मेटामैथेमेटिक्स का परिचय (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. p. 227.
↑ Lange, Rutger-Jan (2012). "संभावित सिद्धांत, पथ इंटीग्रल और संकेतक का लाप्लासियन". Journal of High Energy Physics. 2012 (11): 29–30. arXiv:1302.0864. Bibcode:2012JHEP...11..032L. doi:10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.

स्रोत

↑ ^1.0 ^1.1 The Greek letter $χ$ appears because it is the initial letter of the Greek word χαρακτήρ, which is the ultimate origin of the word characteristic.
↑ The set of all indicator functions on $X$ can be identified with ${\mathcal {P}}(X),$ the power set of $X$ . Consequently, both sets are sometimes denoted by $2^{X}.$ This is a special case ( $Y=\{0,1\}=2$ ) of the notation $Y^{X}$ for the set of all functions $f:X\to Y.$

[Martin-1965-3] Davis, Martin, ed. (1965). अनिर्णीत. New York, NY: Raven Press Books. pp. 41–74.

[Kleene1952-4] 2.0 ^2.1 Kleene, Stephen (1971) [1952]. मेटामैथेमेटिक्स का परिचय (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. p. 227.

[5] Lange, Rutger-Jan (2012). "संभावित सिद्धांत, पथ इंटीग्रल और संकेतक का लाप्लासियन". Journal of High Energy Physics. 2012 (11): 29–30. arXiv:1302.0864. Bibcode:2012JHEP...11..032L. doi:10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.

[χαρακτήρ-1] 1.0 ^1.1 The Greek letter $χ$ appears because it is the initial letter of the Greek word χαρακτήρ, which is the ultimate origin of the word characteristic.

[2] The set of all indicator functions on $X$ can be identified with ${\mathcal {P}}(X),$ the power set of $X$ . Consequently, both sets are sometimes denoted by $2^{X}.$ This is a special case ( $Y=\{0,1\}=2$ ) of the notation $Y^{X}$ for the set of all functions $f:X\to Y.$

[lower-alpha 1]

[lower-alpha 2]

[1]

[2]

[3]

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 {{Short description|Mathematical function characterizing set membership}}
-{{About|the 0-1 indicator function|the 0-infinity indicator function|characteristic function (convex analysis)}}
-{{More footnotes|date=December 2009}}
 {{Use American English|date = March 2019}}
-[[Image:Indicator function illustration.png|right|thumb|एक सूचक फ़ंक्शन का त्रि-आयामी प्लॉट, एक वर्गाकार द्वि-आयामी डोमेन (सेट) पर दिखाया गया है {{mvar|X}}): उठा हुआ भाग उन द्वि-आयामी बिंदुओं को ओवरले करता है जो संकेतित उपसमुच्चय के सदस्य हैं ({{mvar|A}}).]]गणित में एक संकेतन फलन या किसी समूह के [[सबसेट|उपसमुच्चय]] का एक ऐसा फलन होता है जो उपसमुच्चय के तत्वों को  एक में और अन्य सभी तत्वों को शून्य पर दिखाता है अर्थात यदि {{mvar|A}} किसी समुच्चय {{mvar|X}} का उपसमुच्चय है तब <math>\mathbf{1}_{A}(x)=1</math> अगर <math>x\in A,</math> और <math>\mathbf{1}_{A}(x)=0</math>  जहॉं <math>\mathbf{1}_A</math> सूचक फलन के लिए एक सामान्य संकेतन व अन्य सामान्य संकेतन <math>I_A,</math> और <math>\chi_A.</math>है
+[[Image:Indicator function illustration.png|right|thumb|एक सूचक फ़ंक्शन का त्रि-आयामी प्लॉट, एक वर्गाकार द्वि-आयामी डोमेन (सेट) पर दिखाया गया है {{mvar|X}}): उठा हुआ भाग उन द्वि-आयामी बिंदुओं को ओवरले करता है जो संकेतित उपसमुच्चय के सदस्य हैं ({{mvar|A}}).]]गणित में एक '''सूचक फलन''' या किसी समूह के [[सबसेट|उपसमुच्चय]] का एक ऐसा फलन होता है जो उपसमुच्चय के तत्वों को  एक में और अन्य सभी तत्वों को शून्य पर दिखाता है अर्थात यदि {{mvar|A}} किसी समुच्चय {{mvar|X}} का उपसमुच्चय है तब <math>\mathbf{1}_{A}(x)=1</math> अगर <math>x\in A,</math> और <math>\mathbf{1}_{A}(x)=0</math>  जहॉं <math>\mathbf{1}_A</math> सूचक फलन के लिए एक सामान्य सूचक व अन्य सामान्य सूचक <math>I_A,</math> और <math>\chi_A.</math>है
 {{mvar|A}} का सूचक कार्य {{mvar|A}} से संबंधित सम्पत्ति का इवरसन कोष्ठक है, जो इस प्रकार है-
 :<math>\mathbf{1}_{A}(x)=[x\in A].</math>
 उदाहरण के लिए, [[डिरिचलेट फ़ंक्शन|डिरिचलेट]] फलन [[वास्तविक संख्या]]ओं के उपसमूह के रूप में [[तर्कसंगत संख्या]]ओं का संकेतक फलन है।
+The function <math>\mathbf{1}_A</math> is sometimes denoted {{mvar|I<sub>A</sub>}}, {{mvar|&chi;<sub>A</sub>}}, {{mvar|K<sub>A</sub>}}, or even just {{mvar|A}}.{{efn|name=χαρακτήρ|The [[Greek alphabet|Greek letter]] {{mvar|&chi;}} appears because it is the initial letter of the Greek word {{lang|grc|χαρακτήρ}}, which is the ultimate origin of the word ''characteristic''.}}{{efn|The set of all indicator functions on {{mvar|X}} can be identified with <math>\mathcal{P}(X),</math> the [[power set]] of {{mvar|X}}. Consequently, both sets are sometimes denoted by <math>2^X.</math> This is a special case (<math>Y = \{0,1\} = 2</math>) of the notation <math>Y^X</math> for the set of all functions <math>f:X \to Y.</math>}}
 ==परिभाषा==
-उपसमुच्चय X उपसमुच्चय A का सूचक फलन एक फलन है
+उपसमुच्चय X उपसमुच्चय A का सूचक फलन एक फलन है।
 <math display=block>\mathbf{1}_A \colon X \to \{ 0, 1 \} </math>
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 इवरसन कोष्ठक समतुल्य अंकन प्रदान करता है <math>[x\in A]</math> या {{nowrap|{{math|⟦''x'' ∈ ''A''⟧}},}} के समष्टि पर उपयोग किया जायेगा कभी-कभी इसे {{mvar|I<sub>A</sub>}}, {{mvar|&chi;<sub>A</sub>}}, {{mvar|K<sub>A</sub>}},यहाँ तक कि A से दर्शाया जाता है।
-==संकेतन में शब्दावली==
+==सूचक में शब्दावली==
-संकेतन <math>\chi_A</math> इसका उपयोग [[उत्तल विश्लेषण]] में विशेष फलन विश्लेषण को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिसे संकेतन फलन की मानक परिभाषा के  व्युत्क्रम का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।
+सूचक <math>\chi_A</math> इसका उपयोग [[उत्तल विश्लेषण]] में विशेष फलन विश्लेषण को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिसे सूचक फलन की मानक परिभाषा के  व्युत्क्रम का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।
 सांख्यिकी में एक संबंधित अवधारणा एक [[डमी वैरिएबल (सांख्यिकी)|वास्तविक परिवर्तन शील सांख्यिकी]] की है (इसे डमी चर के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि यह शब्द अधिकतर गणित में उपयोग किया जाता है जिसे [[मुक्त चर और बाध्य चर|मुक्त चर और बाध्य]] सिद्धांत कहा जाता है)
-विशेषत फलन शब्द का संभाव्यता सिद्धांत में एक असंबंधित अर्थ है इस कारण से [[संभाव्यवादियों की सूची]] यहां परिभाषित है जो फलन के लिए संकेतन शब्द का उपयोग विशेष रूप से करते हैं, जबकि अन्य क्षेत्रों में गणितज्ञ ''फलन'' शब्द का उपयोग करने की अधिक संभावना रखते हैं {{efn|name=χαρακτήρ}} उस फलन का वर्णन करने के लिए जो किसी समूह में सदस्यता को दर्शाता है
+विशेषत फलन शब्द का संभाव्यता सिद्धांत में एक असंबंधित अर्थ है इस कारण से संभाव्यवादियों की सूची यहां परिभाषित है जो फलन के लिए सूचक शब्द का उपयोग विशेष रूप से करते हैं, जबकि अन्य क्षेत्रों में गणितज्ञ ''फलन'' शब्द का उपयोग करने की अधिक संभावना रखते हैं {{efn|name=χαρακτήρ}} उस फलन का वर्णन करने के लिए जो किसी समूह में सदस्यता को दर्शाता है
 धुंधला [[फजी लॉजिक|तर्क]] और आधुनिक बहुमूल्य तर्क में विधेय संभाव्यता वितरण के विशिष्ट कार्य हैं अर्थात् ,विधेय के  सत्य/गलत मूल्यांकन को सत्य की घात के रूप में व्याख्या की गई मात्रा से बदल दिया जाता है।
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 जब <math>|F|</math> की [[प्रमुखता]] है {{mvar|F}} यह समावेश-बहिष्करण के सिद्धांत का एक रूप है
-जैसा कि पिछले उदाहरण में बताया गया है कि संकेतन फलन [[साहचर्य]] में उपयोगी संकेतन उपकरण है इसमें अंकन का उपयोग अन्य स्थानों पर किया जाता है उदाहरण के लिए संभाव्यता सिद्धांत में यदि {{mvar|X}} संभाव्यता माप के साथ एक [[संभाव्यता स्थान]] है <math>\operatorname{P}</math> और {{mvar|A}} तो फिर एक [[माप (गणित)|माप गणित]] है <math>\mathbf{1}_A</math> एक यादृच्छिक चर बन जाता है जिसका अपेक्षित मान संभावना के बराबर होता है जैसे {{mvar|A}}:
+जैसा कि पिछले उदाहरण में बताया गया है कि सूचक फलन [[साहचर्य]] में उपयोगी सूचक उपकरण है इसमें अंकन का उपयोग अन्य स्थानों पर किया जाता है उदाहरण के लिए संभाव्यता सिद्धांत में यदि {{mvar|X}} संभाव्यता माप के साथ एक [[संभाव्यता स्थान]] है <math>\operatorname{P}</math> और {{mvar|A}} तो फिर एक [[माप (गणित)|माप गणित]] है <math>\mathbf{1}_A</math> एक यादृच्छिक चर बन जाता है जिसका अपेक्षित मान संभावना के बराबर होता है जैसे {{mvar|A}}:
 <math display=block>\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\operatorname{P} = \int_{A} d\operatorname{P} = \operatorname{P}(A).</math>
 इस पहचान का उपयोग मार्कोव की असमानता के सरल प्रमाण में किया जाता है
-कई स्थानों में जैसे कि आदेशित सिद्धांत, संकेतन फलन के व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है इसे अधिकतर सामान्यीकृत फलन कहा जाता है प्राथमिक [[संख्या सिद्धांत]] मोबियस फलन में संकेतन व्युत्क्रम के सामान्यीकरण के रूप में शास्त्रीय पुनरावर्तन सिद्धांत में व्युत्क्रम के उपयोग के बारे में नीचे पैराग्राफ में दिया गया है।
+कई स्थानों में जैसे कि आदेशित सिद्धांत, सूचक फलन के व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है इसे अधिकतर सामान्यीकृत फलन कहा जाता है प्राथमिक [[संख्या सिद्धांत]] मोबियस फलन में सूचक व्युत्क्रम के सामान्यीकरण के रूप में शास्त्रीय पुनरावर्तन सिद्धांत में व्युत्क्रम के उपयोग के बारे में नीचे पैराग्राफ में दिया गया है।
 ==माध्य, प्रसरण और सहप्रसरण==
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 ==पुनरावर्तन सिद्धांत में अभिलक्षणिक कार्य और क्लेन का प्रतिनिधित्व कार्य==
-कर्ट गोडेल ने अपने 1934 के पेपर में औपचारिक गणितीय प्रणालियों के  प्रस्तावों पर प्रतिनिधित्व फलन का वर्णन किया जिसमें तार्किक उलटा इंगित करता है <ref name=Martin-1965>{{cite book |pages=41–74 |editor-link=Martin Davis (mathematician) |editor-first=Martin |editor-last=Davis |year=1965 |title=अनिर्णीत|publisher=Raven Press Books |place=New York, NY}}</ref>{{rp|page=42}}
+कर्ट गोडेल ने अपने 1934 के पेपर में औपचारिक गणितीय प्रणालियों के  प्रस्तावों पर प्रतिनिधित्व फलन का वर्णन किया जिसमें तार्किक उलटा इंगित करता है <ref name=Martin-1965>{{cite book |pages=41–74 |editor-link=Martin Davis (mathematician) |editor-first=Martin |editor-last=Davis |year=1965 |title=अनिर्णीत|publisher=Raven Press Books |place=New York, NY}}</ref>
-{{blockquote}}
 प्रत्येक वर्ग या संबंध आर के अनुरूप एक प्रतिनिधित्व करने वाला कार्य होगा
-[[स्टीफन क्लेन]] एक फलन के रूप में [[आदिम पुनरावर्ती कार्य]] के संदर्भ में समान परिभाषा प्रस्तुत करते हैं {{mvar|φ}} एक विधेय का {{mvar|P}} मान ग्रहण करता है {{math|0}} यदि विधेय सत्य है और {{math|1}} यदि विधेय गलत है तो <ref name="Kleene1952">{{cite book |last=Kleene |first=Stephen |author-link=Stephen Kleene |year=1971 |orig-year=1952 |title=मेटामैथेमेटिक्स का परिचय|page=227 |publisher=Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company |location=Netherlands |edition=Sixth reprint, with corrections}}</ref>उदाहरण के लिए विशिष्ट कार्यों का उत्पाद <math>\phi_1 * \phi_2 * \cdots * \phi_n = 0</math> जब भी कोई एक फलन के बराबर होता है तो {{math|0}} यह तार्किक OR: IF की भूमिका निभाता है <math>\phi_1 = 0</math> या <math>\phi_2 = 0</math> या या <math>\phi_n = 0</math> फिर उनका उत्पाद है {{math|0}}. आधुनिक पाठ को जो प्रतिनिधित्व करने वाले फलन के तार्किक व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है जबकि यह प्रतिनिधित्व करने वाला फलन {{math|0}} है जब फलन {{mvar|R}} सत्य या संतुष्ट है तो कुल के तार्किक कार्यों OR, AND और IMPLY की परिभाषा में उपयोगी भूमिका निभाता है <ref name="Kleene1952" />{{rp|228}} परिबद्ध-<ref name="Kleene1952" />{{rp|228}} और असीमित-<ref name="Kleene1952" />{{rp|279 ff}} चालक [[ऑपरेटर में|में]] और CASE फलन है।<ref name="Kleene1952" />{{rp|229}}
+स्टीफन क्लेन एक फलन के रूप में [[आदिम पुनरावर्ती कार्य]] के संदर्भ में समान परिभाषा प्रस्तुत करते हैं {{mvar|φ}} एक विधेय का {{mvar|P}} मान ग्रहण करता है {{math|0}} यदि विधेय सत्य है और {{math|1}} यदि विधेय गलत है तो <ref name="Kleene1952">{{cite book |last=Kleene |first=Stephen |author-link=Stephen Kleene |year=1971 |orig-year=1952 |title=मेटामैथेमेटिक्स का परिचय|page=227 |publisher=Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company |location=Netherlands |edition=Sixth reprint, with corrections}}</ref>उदाहरण के लिए विशिष्ट कार्यों का उत्पाद <math>\phi_1 * \phi_2 * \cdots * \phi_n = 0</math> जब भी कोई एक फलन के बराबर होता है तो {{math|0}} यह तार्किक OR: IF की भूमिका निभाता है <math>\phi_1 = 0</math> या <math>\phi_2 = 0</math> या या <math>\phi_n = 0</math> फिर उनका उत्पाद है {{math|0}}. आधुनिक पाठ को जो प्रतिनिधित्व करने वाले फलन के तार्किक व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है जबकि यह प्रतिनिधित्व करने वाला फलन {{math|0}} है जब फलन {{mvar|R}} सत्य या संतुष्ट है तो कुल के तार्किक कार्यों OR, AND और IMPLY की परिभाषा में उपयोगी भूमिका निभाता है <ref name="Kleene1952" /> परिबद्ध- और असीमित- चालक में और CASE फलन है।
 ==उपसमुच्चय समूह सिद्धांत में फलन==
-शास्त्रीय गणित में समूह के विशिष्ट कार्य मान लेते हैं इसमें {{math|1}} सदस्य या {{math|0}} गैर-सदस्य उपसमुच्चय समूह सिद्धांत में वास्तविक इकाई अंतराल में मान लेने के लिए विशिष्ट कार्यों को सामान्यीकृत किया जाता है तथा {{closed-closed|0, 1}}या अधिक सामान्यतः कुछ [[सार्वभौमिक बीजगणित]] या [[संरचना (गणितीय तर्क)|संरचना गणितीय तर्क]] में अधिकतर कम से कम [[आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट|आंशिक रूप से आदेशित किया गया समूह]] होना आवश्यक है ऐसे सामान्यीकृत विशिष्ट कार्यों को अधिकतर फलन गणित कहा जाता है और संबंधित समूहों को उपसमुच्चय समूह कहा जाता है उपसमुच्चय समूह कई वास्तविक दुनिया [[विधेय (गणित)|विधेय गणित]] जैसे लंबा, गर्म आदि में देखी गई सदस्यता की घात में क्रमिक परिवर्तन प्राप्त करते हैं।
+शास्त्रीय गणित में समूह के विशिष्ट कार्य मान लेते हैं इसमें {{math|1}} सदस्य या {{math|0}} गैर-सदस्य उपसमुच्चय समूह सिद्धांत में वास्तविक इकाई अंतराल में मान लेने के लिए विशिष्ट कार्यों को सामान्यीकृत किया जाता है तथा {{closed-closed|0, 1}}या अधिक सामान्यतः कुछ [[सार्वभौमिक बीजगणित]] या [[संरचना (गणितीय तर्क)|संरचना गणितीय तर्क]] में अधिकतर कम से कम [[आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट|आंशिक रूप से आदेशित किया गया समूह]] होना आवश्यक है ऐसे सामान्यीकृत विशिष्ट कार्यों को अधिकतर फलन गणित कहा जाता है और संबंधित समूहों को उपसमुच्चय समूह कहा जाता है उपसमुच्चय समूह कई वास्तविक दुनिया विधेय गणित जैसे लंबा, गर्म आदि में देखी गई सदस्यता की घात में क्रमिक परिवर्तन प्राप्त करते हैं।
 ==सूचक फलन के व्युत्पन्न==
-{{Main|Laplacian of the indicator}}
+एक विशेष सूचक फलन [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन|हेविसाइड फलन]] है
-एक विशेष संकेतन फलन [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन|हेविसाइड फलन]] है
 <math display="block">H(x) := \mathbf{1}_{x > 0}</math>
-हेविसाइड फलन का [[वितरणात्मक व्युत्पन्न]] [[डिराक डेल्टा फ़ंक्शन|डिराक डेल्टा फलन]] के बराबर है
+हेविसाइड फलन का वितरणात्मक व्युत्पन्न [[डिराक डेल्टा फ़ंक्शन|डिराक डेल्टा फलन]] के बराबर है
 <math display=block>\frac{d H(x)}{dx}=\delta(x)</math>
 और इसी तरह का वितरणात्मक व्युत्पन्न <math display="block">G(x) := \mathbf{1}_{x < 0}</math> है
 <math display=block>\frac{d G(x)}{dx}=-\delta(x)</math>
-इस प्रकार हेविसाइड फलन के व्युत्पन्न को धनात्मक अर्ध-रेखा द्वारा दिए गए डोमेन की सीमा पर आवश्यक सामान्य व्युत्पन्न के रूप में देखा जा सकता है उच्च आयामों में व्युत्पन्न स्वाभाविक रूप से आंतरिक सामान्य व्युत्पन्न के लिए सामान्यीकृत होता है जबकि हेविसाइड चरण फलन स्वाभाविक रूप से कुछ डोमेन के संकेतन फलन के लिए समान्यीकृत होता है जबकि {{mvar|D}} की सतह को {{mvar|D}} द्वारा निरूपित किया जाता है तथा S में आगे बढ़ते हुए यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि सूचक डिराक सतह डेल्टा फलन का एक सतह डेल्टा है या नहीं जिसे इस चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है <math>\delta_S(\mathbf{x})</math>
+इस प्रकार हेविसाइड फलन के व्युत्पन्न को धनात्मक अर्ध-रेखा द्वारा दिए गए डोमेन की सीमा पर आवश्यक सामान्य व्युत्पन्न के रूप में देखा जा सकता है उच्च आयामों में व्युत्पन्न स्वाभाविक रूप से आंतरिक सामान्य व्युत्पन्न के लिए सामान्यीकृत होता है जबकि हेविसाइड चरण फलन स्वाभाविक रूप से कुछ डोमेन के सूचक फलन के लिए समान्यीकृत होता है जबकि {{mvar|D}} की सतह को {{mvar|D}} द्वारा निरूपित किया जाता है तथा S में आगे बढ़ते हुए यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि सूचक डिराक सतह डेल्टा फलन का एक सतह डेल्टा है या नहीं जिसे इस चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है <math>\delta_S(\mathbf{x})</math>
 <math display=block>\delta_S(\mathbf{x}) = -\mathbf{n}_x \cdot \nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}</math>
-कहाँ {{mvar|n}} सतह का बाहरी [[सामान्य (ज्यामिति)|सामान्य ज्यामिति]] है {{mvar|S}} इस सतह डेल्टा फलन में निम्नलिखित गुण हैं <ref>{{cite journal |last=Lange |first=Rutger-Jan |year=2012 |title=संभावित सिद्धांत, पथ इंटीग्रल और संकेतक का लाप्लासियन|journal=Journal of High Energy Physics |volume=2012 |issue=11 |pages=29–30 |arxiv=1302.0864 |bibcode=2012JHEP...11..032L |doi=10.1007/JHEP11(2012)032|s2cid=56188533 }}</ref>
+जहॉं {{mvar|n}} सतह S का बाहरी [[सामान्य (ज्यामिति)|सामान्य ज्यामिति]] है {{mvar|S}} इस सतह डेल्टा फलन में निम्नलिखित गुण हैं <ref>{{cite journal |last=Lange |first=Rutger-Jan |year=2012 |title=संभावित सिद्धांत, पथ इंटीग्रल और संकेतक का लाप्लासियन|journal=Journal of High Energy Physics |volume=2012 |issue=11 |pages=29–30 |arxiv=1302.0864 |bibcode=2012JHEP...11..032L |doi=10.1007/JHEP11(2012)032|s2cid=56188533 }}</ref>
 <math display=block>-\int_{\R^n}f(\mathbf{x})\,\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}\;d^{n}\mathbf{x} = \oint_{S}\,f(\mathbf{\beta})\;d^{n-1}\mathbf{\beta}.</math>
 फलन समूह  {{mvar|f}}  के बराबर है यह इस प्रकार है कि सूचक डिराक सतह डेल्टा फलन का लाप्लासियन सतह क्षेत्र के संख्यात्मक मान से एकीकृत होता है।
-==यह भी देखें==
-{{समारोह}}
-* डिराक माप।
-* सूचक का रंग।
-* डिराक डेल्टा।
-* विस्तार विधेय तर्क।
-* मुक्त चर और बाध्य चर।
-* हेविसाइड फलन।
-* पहचान फलन।
-* इवरसन कोष्ठक।
-* डेल्टा एक फलन पहचान के लिए एक संकेतन के रूप में देखा जा सकता है।
-* मैकाले कोष्ठक।
-* बहुरंग समूह।
-*
-* सदस्यता फलन।
-* सरल कार्य।
-* वास्तविक परिवर्तन सांख्यिकी।
-*
-* सांख्यिकीय वर्गीकरण।
-* शून्य-एक हानि फलन।
-==टिप्पणियाँ==
-{{notelist|1}}
 ==संदर्भ==
 {{reflist|25em}}
@@ Line 131: / Line 96: @@
 ==स्रोत==
-{{refbegin|30em}}
+{{Reflist|group=lower-alpha}}
-* {{cite book |last=Folland |first=G.B. |title=वास्तविक विश्लेषण: आधुनिक तकनीकें और उनके अनुप्रयोग|publisher=John Wiley & Sons, Inc. |year=1999 |isbn=978-0-471-31716-6 |edition=Second}}
-* {{cite book |last1=Cormen |first1=Thomas H. |title=एल्गोरिदम का परिचय|title-link=एल्गोरिदम का परिचय|last2=Leiserson |first2=Charles E. |last3=Rivest |first3=Ronald L. |last4=Stein |first4=Clifford |publisher=MIT Press and McGraw-Hill |year=2001 |isbn=978-0-262-03293-3 |edition=Second |pages=[https://archive.org/details/introductiontoal00corm_691/page/n116 94]–99 |chapter=Section 5.2: Indicator random variables |author-link=Thomas H. Cormen |author-link2=Charles E. Leiserson |author-link3=Ronald L. Rivest |author-link4=Clifford Stein}}
-* {{cite book |editor-last=Davis |editor-first=Martin |editor-link=Martin Davis (mathematician) |year=1965 |title=अनिर्णीत|publisher=Raven Press Books |place=New York, NY}}
-* {{cite book |last=Kleene |first=Stephen |author-link=Stephen Kleene |year=1971 |orig-year=1952 |title=मेटामैथेमेटिक्स का परिचय|publisher=Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company |location=Netherlands |edition=Sixth reprint, with corrections}}
-* {{Cite book |last1=Boolos |first1=George |title=कम्प्यूटेबिलिटी और तर्क|last2=Burgess |first2=John P. |last3=Jeffrey |first3=Richard C. |publisher=Cambridge University Press |year=2002 |isbn=978-0-521-00758-0 |location=Cambridge UK |author-link=George Boolos |author-link2=John P. Burgess |author-link3=Richard C. Jeffrey}}
-*{{cite q | Q25938993 |last1=Zadeh |first1=L.A. | author-link1 = Lotfi A. Zadeh | | journal = [[Information and Computation|Information and Control]] | doi-access = free }}
-* {{cite journal |last=Goguen |first=Joseph |author-link=Joseph Goguen |year=1967 |title=''एल''-फजी सेट|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |volume=18 |issue=1 |pages=145–174 |doi=10.1016/0022-247X(67)90189-8 |hdl-access=free |hdl=10338.dmlcz/103980}}
-{{refend}}
-श्रेणी:माप सिद्धांत
-श्रेणी:अभिन्न कलन
-श्रेणी:वास्तविक विश्लेषण
-श्रेणी:गणितीय तर्क
-श्रेणी:सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ
-श्रेणी:संभावना सिद्धांत
-श्रेणी:कार्यों के प्रकार
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All Wikipedia articles written in American English]]
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सूचक में शब्दावली

बुनियादी गुण

माध्य, प्रसरण और सहप्रसरण

पुनरावर्तन सिद्धांत में अभिलक्षणिक कार्य और क्लेन का प्रतिनिधित्व कार्य

उपसमुच्चय समूह सिद्धांत में फलन

सूचक फलन के व्युत्पन्न

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सूचक फलन: Difference between revisions

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माध्य, प्रसरण और सहप्रसरण

पुनरावर्तन सिद्धांत में अभिलक्षणिक कार्य और क्लेन का प्रतिनिधित्व कार्य

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