बाह्य व्युत्पन्न: Difference between revisions

Latest revision as of 11:35, 1 November 2023

अवकल मैनिफोल्ड पर, बाह्य व्युत्पन्न किसी फलन के पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) की अवधारणा को उच्च डिग्री के अवकल प्रपत्रों तक विस्तारित करता है। बाह्य व्युत्पन्न को प्रथम बार 1899 में एली कार्टन द्वारा इसके वर्तमान स्वप्रपत्र में वर्णित किया जाता है गया था। परिणामी कैलकुलस, जिसे बाह्य कैलकुलस के प्रपत्र में जाना जाता है, बाह्य आवरण से स्टोक्स के प्रमेय, गॉस के प्रमेय एवं ग्रीन के प्रमेय के प्राकृतिक, मीट्रिक-स्वतंत्र सामान्यीकरण की अनुमति देता है।

यदि अंतर $k$ - प्रपत्र को मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर अतिसूक्ष्म के $k$ - पैरेललेपिप्ड माध्यम से प्रवाह को मापने के प्रपत्र में माना जाता है, तो इसके बाह्य व्युत्पन्न को $(k + 1)$ की सीमा के माध्यम से शुद्ध प्रवाह को मापने के प्रपत्र में माना जा सकता है।

परिभाषा

डिग्री $k$ के अवकल प्रपत्र का बाह्य व्युत्पन्न (अवकल $k$ -प्रपत्र, या यहां संक्षिप्तता के लिए केवल $k$ - प्रपत्र) डिग्री $k + 1$ का अवकल प्रपत्र है।

यदि $f$ सहज फलन ( $0$ -प्रपत्र) है, तो $f$ का बाह्य अवकलज $f$ का अंतर है।अर्थात्, df अद्वितीय 1-रूप है, इस प्रकार कि प्रत्येक चौरस सदिश फ़ील्ड $X$ के लिए, $df (X) = d X f$ , जहां $d X f$ $X$ की दिशा में $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है।

अवकल प्रपत्रों का बाह्य उत्पाद (समान प्रतीक $\land$ से प्रदर्शित किया गया है) को उनके बिंदुवार बाह्य उत्पाद के प्रपत्र में परिभाषित किया गया है।

किसी सामान्य $k$ -प्रपत्र के बाह्य व्युत्पन्न की विभिन्न प्रकार की समतुल्य परिभाषाएँ हैं।

स्वसिद्धांतों के संदर्भ में

बाह्य व्युत्पन्न को $k$ -प्रपत्र से $(k + 1)$ -प्रपत्र तक अद्वितीय $ℝ$ - रैखिक मानचित्रण के प्रपत्र में परिभाषित किया गया है जिनमें निम्नलिखित गुण हैं:

$df$ $0$ -प्रपत्र $f$ के लिए $f$ का अंतर है।
$0$ -प्रपत्र $f$ के लिए $d (df) = 0$ है।
$d (α \land β) = dα \land β + (-1) p (α \land dβ)$ जहाँ $α$ है $p$ -प्रपत्र है। इसका तात्पर्य, $d$ अवकल प्रपत्रों के बाह्य बीजगणित पर डिग्री $1$ की व्युत्पत्ति (बीजगणित) है (श्रेणीबद्ध उत्पाद नियम देखें)।

दूसरी परिभाषित संपत्ति अधिक व्यापकता रखती है:किसी $k$ -प्रपत्र $α$ के लिए $d (dα) = 0$ ; अधिक संक्षेप में, $d 2 = 0$ होता है।तीसरी परिभाषित संपत्ति का तात्पर्य विशेष विषय के प्रपत्र में है कि यदि $f$ फलन है एवं $α$ , $k$ -प्रपत्र है, तो $d (fα) = d (f \land α) = df \land α + f \land dα$ क्योंकि फलन $0$ -प्रपत्र है, एवं अदिश गुणन एवं बाह्य उत्पाद समतुल्य होते हैं जब कोई तर्क अदिश होता है।

समिष्टीय निर्देशांक के संदर्भ में

वैकल्पिक प्रपत्र से, कोई पूर्ण प्रपत्र से समिष्टीय समन्वय प्रणाली $(x 1, ..., x n)$ में फलन कर सकता है। समन्वय अंतर $dx 1, ..., dx n$ प्रपत्रों के समिष्ट का आधार बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक समन्वय से जुड़ा होता है। $1 \leq i p \leq n$ के लिए $1 \leq p \leq k$ के साथ बहु-सूचकांक $I = (i 1, ..., i k)$ दिया गया है। (एवं $dx I$ के साथ $dx i 1 \land ... \land dx i k$ निप्रपत्रित करते हुए ), (सरल) का बाह्य व्युत्पन्न $k$ -प्रपत्र

\varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

ऊपर $ℝ n$ परिभाषित किया जाता है,

d{\varphi }={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}

आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके, बाह्य व्युत्पन्न की परिभाषा को सामान्य $k$ -प्रपत्र तक रैखिक प्रपत्र से विस्तारित किया जाता है,

\omega =f_{I}\,dx^{I},

जहां मल्टी-इंडेक्स के प्रत्येक घटक $I$ में सभी मानों ${1, ..., n}$ का उपयोग किया जाता है। ध्यान दें कि जब भी $i$ मल्टी-इंडेक्स $I$ के घटकों में से एक के समान होता है, तब $dx i \land dx I = 0$ (बाह्य उत्पाद देखें) होता है।

समिष्टीय निर्देशांक में बाह्य व्युत्पन्न की परिभाषा पूर्ववर्ती स्वयंसिद्धों के संदर्भ में अनुसरण करती है। $k$ -प्रपत्र के साथ $φ$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है,

{\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}

यहां $g$ व्याख्या $0$ -प्रपत्र प्रपत्र में की है, एवं फिर बाह्य व्युत्पन्न के गुणों को प्रस्तुत किया जाता है।

यह परिणाम सीधे सामान्य $k$ -प्रपत्र $ω$ तक विस्तारित होता है

d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}

,

विशेष प्रपत्र से, $1$ -प्रपत्र $ω$ के लिए, के घटक समिष्टीय समन्वय प्रणाली में $dω$ के घटक हैं,

(d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i},

सावधानी: के अर्थ के संबंध में दो परंपराएँ $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$ हैं, अधिकांश वर्तमान लेखक की यह परंपरा है कि

\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1

होता है।

जबकि कोबायाशी एवं नोमिज़ु या हेल्गासन जैसे पुराने पाठ में

\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}

होता है।

अपरिवर्तनीय सूत्र के संदर्भ में

वैकल्पिक प्रपत्र से, $k$ -प्रपत्र $ω$ के बाह्य व्युत्पन्न के लिए स्पष्ट सूत्र दिया जा सकता है, $k + 1$ से सदिश फ़ील्ड $V 0, V 1, ..., V k$ साथ जोड़ा जाता है। $d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})$ ,

जहाँ $[V i, V j]$ सदिश फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट को प्रदर्शित करता है एवं हैट उस तत्व की अकृत को प्रदर्शित करती है:

\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}),

विशेषकर, जब $ω$ $1$ -प्रपत्र है तो वह हमारे पास $dω (X, Y) = d X (ω (Y)) - d Y (ω (X)) - ω ([X, Y])$ है।

नोट: उदाहरण के लिए, कोबायाशी-नोमिज़ु एवं हेल्गासन की परंपराओं के साथ सूत्र कारक $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/k + 1$ से भिन्न होता है :

{\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}

उदाहरण

उदाहरण 1.अदिश क्षेत्र $u$ $1$ -प्रपत्र आधार के लिए $dx 1, ..., dx n$ पर $σ = u dx 1 \land dx 2$ पर विचार किया जाता है, बाह्य व्युत्पन्न है:

{\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}

अंतिम सूत्र, जहां से योग $i = 3$ प्रारंभ होता है, बाह्य उत्पाद के गुणों से सरलता से अनुसरण करता है, अर्थात्, $dx i \land dx i = 0$ है।

उदाहरण 2. मान लीजिए $σ = u dx + v dy$ $ℝ 2$ पर परिभाषित $1$ -प्रपत्र है, उपरोक्त सूत्र को प्रत्येक पद पर प्रस्तावित करने पर ( $x 1 = x$ एवं $x 2 = y$ पर विचार किया जाता है) हमें निम्नलिखित योग प्राप्त होता है,

{\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}

मैनिफोल्ड्स पर स्टोक्स प्रमेय

यदि $M$ कॉम्पैक्ट स्मूथ ओरिएंटेबल $n$ - सीमा के साथ आयामी मैनिफोल्ड है एवं $ω$ , $M$ पर $(n - 1)$ - प्रपत्र है, तो सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय का सामान्यीकृत प्रपत्र बताता है कि:

\int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega

होता है।

सहज प्रपत्र से, यदि कोई सोचता है कि $M$ अतिसूक्ष्म क्षेत्रों में विभाजित होने के कारण, वह सभी क्षेत्रों की सीमाओं के माध्यम से प्रवाह जोड़ता है,सभी आंतरिक सीमाएं समाप्त हो जाती हैं, जिससे कुल प्रवाह $M$ की सीमा के माध्यम से निकल जाता है।

अन्य गुण

संवृत एवं त्रुटिहीन प्रपत्र

$k$ -प्रपत्र $ω$ को संवृत कहा जाता है यदि $dω = 0$ ; संवृत प्रपत्र $d$ के कर्नेल (बीजगणित) हैं। $ω$ को त्रुटिहीन यदि कहा जाता है $ω = dα$ कुछ के लिए $(k - 1)$ -प्रपत्र $α$ ; त्रुटिहीन प्रपत्र $d$ की छवि (गणित) हैं, क्योंकि $d 2 = 0$ , प्रत्येक त्रुटिहीन प्रपत्र संवृत है। पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि संकुचन योग्य क्षेत्र में, इसका विपरीत सत्य है।

डी राम कोहोमोलॉजी

क्योंकि बाह्य व्युत्पन्न $d$ में गुण है कि $d 2 = 0$ , इसका उपयोग कई गुना पर डी राम कोहोमोलॉजी को परिभाषित करने के लिए अंतर (कोबाउंड्री) के प्रपत्र में किया जाता है जा सकता है। के-वें डी राम राम कोहोमोलॉजी (समूह) संवृत $k$ -मॉड्यूलो का $k$ -प्रपत्र का सदिश समिष्ट है; जैसा कि पूर्व अनुभाग में उल्लेख किया गया है, पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि ये सदिश समिष्ट संकुचन योग्य क्षेत्र $k > 0$ के लिए तुच्छ हैं, सहज विविधताओं के लिए, प्रपत्रों का एकीकरण डी राम कोहोमोलॉजी से से $ℝ$ पर लेकर एकवचन कोहोमोलॉजी तक प्राकृतिक समप्रपत्रता प्रदान करता है। डी राम के प्रमेय से ज्ञात होता है कि यह मानचित्र वास्तव में समप्रपत्रता है, जो पोंकारे लेम्मा का दूरगामी सामान्यीकरण है। जैसा कि सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय द्वारा सूचित किया गया है, बाह्य व्युत्पन्न एकवचन सरलताओं पर सीमा मानचित्र का "दोहरा" है।

प्राकृतिकता

बाह्य व्युत्पन्न तकनीकी अर्थ में स्वाभाविक है: यदि $f : M \to N$ सहज मानचित्र है एवं $Ω k$ कंट्रावेरिएंट स्मूथ ऑपरेटर है जो प्रत्येक को कई गुना समिष्ट प्रदान करता है $k$ -मैनिफोल्ड पर प्रपत्र, फिर निम्नलिखित परिवर्तित होता है,

इसलिए

d (f * ω) = f * dω

, जहाँ

f *

f

के पुलबैक (अवकल ज्यामिति) को प्रदर्शित करता है। यह इस प्रकार है कि

f * ω (\cdot)

, परिभाषा के अनुसार,

ω (f * (\cdot))

है,

f *

f

का पुशफॉरवर्ड (अंतर) है। इस प्रकार

d

Ω k

से

Ω k +1

तक प्राकृतिक परिवर्तन है।

सदिश कलन में बाह्य व्युत्पन्न

अधिकांश सदिश कैलकुलस ऑपरेटर बाह्य विभेदन की धारणा के विशेष विषय हैं।

क्रमशः

वास्तविक भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड $M$ पर सुचारू फलन $f : M \to ℝ$ $0$ -प्रपत्र है। इसका $0$ -प्रपत्र बाह्य व्युत्पन्न का $1$ -प्रपत्र $df$ है। जब आंतरिक उत्पाद $⟨\cdot,\cdot⟩$ परिभाषित है, फलन $f$ के ग्रेडियेंट $\nabla f$ को $V$ में अद्वितीय सदिश के प्रपत्र में परिभाषित किया गया है ऐसा कि इसका $V$ के किसी भी तत्व के साथ आंतरिक उत्पाद सदिश के साथ $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है, वह

\langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}

है।

वह

\nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp }

है,

जहाँ $♯$ संगीत समप्रपत्रता को प्रदर्शित करता है, $♯ : V * \to V$ का उल्लेख किया गया है कि आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है। वह $1$ -प्रपत्र $df$ कोटैंजेंट बंडल का खंड है, प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट समिष्ट में $f$ जो समिष्टीय रैखिक सन्निकटन देता है।

विचलन

सदिश क्षेत्र $V = (v 1, v 2, ..., v n)$ पर $ℝ n$ के पास संगत $(n - 1)$ -प्रपत्र है,

{\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}

जहाँ ${\widehat {dx^{i}}}$ उस तत्व के लोप को प्रदर्शित करता है।

(उदाहरण के लिए, जब $n = 3$ , अर्थात् त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, $2$ -प्रपत्र $ω V$ समिष्टीय प्रपत्र $V$ के साथ अदिश त्रिगुण उत्पाद है) हाइपरसतह पर $ω V$ का अभिन्न अंग उस हाइपरसतह पर $V$ का प्रवाह है।

इस $n$ -प्रपत्र का बाह्य व्युत्पन्न $(n - 1)$ -प्रपत्र

d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)

है।

कर्ल

$ℝ n$ पर सदिश क्षेत्र $V$ का संगत ( n-1)- प्रपत्र

\eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n},

समिष्टीय स्तर पर, $η V$ $V$ के साथ डॉट उत्पाद है, पथ के साथ $η V$ का अभिन्न अंग उस पथ के साथ $- V$ के विरुद्ध किया जाता है गया फलन है।

जब $n = 3$ , त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, $1$ -प्रपत्र $η V$ का बाह्य व्युत्पन्न $2$ -प्रपत्र

d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}

है।

सदिश कैलकुलस में ऑपरेटरों के अपरिवर्तनीय प्रपत्रूलेशन

मानक सदिश कैलकुलस ऑपरेटरों को किसी भी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए सामान्यीकृत किया जाता है जा सकता है, एवं समन्वय-मुक्त नोटेशन में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

{\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}

जहाँ $⋆$ हॉज स्टार ऑपरेटर है, $♭$ एवं $♯$ संगीतमय समरूपताएं हैं, $f$ अदिश क्षेत्र है एवं $F$ सदिश क्षेत्र है।

ध्यान दें कि कर्ल के लिए अभिव्यक्ति के लिए $♯$ को $⋆ d (F ♭)$ पर फलन करने की आवश्यकता होती है , जो $n - 2$ डिग्री का प्रपत्र है, ♯ से $k$ - डिग्री के प्रपत्रों का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण इस अभिव्यक्ति को किसी भी $n$ के लिए समझ बनाने की अनुमति देता है।

यह भी देखें

बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न
परिमित तत्व बाह्य कलन
विभिन्न बाहरी कलन
ग्रीन का प्रमेय
स्टोक्स प्रमेय
फ्रैक्टल व्युत्पन्न

संदर्भ

Cartan, Élie (1899). "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Série 3 (in français). Paris: Gauthier-Villars. 16: 239–332. doi:10.24033/asens.467. ISSN 0012-9593. JFM 30.0313.04. Retrieved 2 Feb 2016.
Conlon, Lawrence (2001). Differentiable manifolds. Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0.
Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5.
Loomis, Lynn H.; Sternberg, Shlomo (1989). Advanced Calculus. Boston: Jones and Bartlett. pp. 304–473 (ch. 7–11). ISBN 0-486-66169-5.
Ramanan, S. (2005). Global calculus. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
Spivak, Michael (1971). Calculus on Manifolds. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216.
Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3

बाह्य संबंध

Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "The derivative isn't what you think it is". Aleph Zero. November 3, 2020 – via YouTube.

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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परिभाषा

स्वसिद्धांतों के संदर्भ में

समिष्टीय निर्देशांक के संदर्भ में

अपरिवर्तनीय सूत्र के संदर्भ में

उदाहरण

मैनिफोल्ड्स पर स्टोक्स प्रमेय

अन्य गुण

संवृत एवं त्रुटिहीन प्रपत्र

डी राम कोहोमोलॉजी

प्राकृतिकता

सदिश कलन में बाह्य व्युत्पन्न

क्रमशः

विचलन

कर्ल

सदिश कैलकुलस में ऑपरेटरों के अपरिवर्तनीय प्रपत्रूलेशन

यह भी देखें

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-{{Short description|Operation  which takes a certain tensor from p to p+1 forms}}
+{{Short description|Operation  which takes a certain tensor from p to p+1 forms}}अवकल मैनिफोल्ड पर, '''बाह्य व्युत्पन्न''' किसी फलन के पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) की अवधारणा को उच्च डिग्री के अवकल प्रपत्रों तक विस्तारित करता है। बाह्य व्युत्पन्न को प्रथम बार 1899 में एली कार्टन द्वारा इसके वर्तमान स्वप्रपत्र में वर्णित किया जाता है गया था। परिणामी कैलकुलस, जिसे बाह्य कैलकुलस के प्रपत्र में जाना जाता है, बाह्य आवरण से स्टोक्स के प्रमेय, गॉस के प्रमेय एवं ग्रीन के प्रमेय के प्राकृतिक, मीट्रिक-स्वतंत्र सामान्यीकरण की अनुमति देता है।
-{{Calculus |Multivariable}}
-विभेदक मैनिफोल्ड पर, '''बाह्य व्युत्पन्न''' किसी फलन के पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) की अवधारणा को उच्च डिग्री के [[विभेदक रूप|विभेदक रूपों]] तक विस्तारित करता है। बाह्य व्युत्पन्न को प्रथम बार 1899 में एली कार्टन द्वारा इसके वर्तमान स्वरूप में वर्णित किया गया था। परिणामी कैलकुलस, जिसे बाह्य कैलकुलस के रूप में जाना जाता है, [[बाहरी आवरण|बाह्य आवरण]] से स्टोक्स के प्रमेय, गॉस के प्रमेय एवं ग्रीन के प्रमेय के प्राकृतिक, मीट्रिक-स्वतंत्र सामान्यीकरण की अनुमति देता है।
+यदि अंतर {{math|''k''}}- प्रपत्र को मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर अतिसूक्ष्म के {{math|''k''}}- पैरेललेपिप्ड माध्यम से प्रवाह को मापने के प्रपत्र में माना जाता है, तो इसके बाह्य व्युत्पन्न को {{math|(''k'' + 1)}} की सीमा के माध्यम से शुद्ध प्रवाह को मापने के प्रपत्र में माना जा सकता है।
-यदि अंतर {{math|''k''}}- रूप को मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर अतिसूक्ष्म के {{math|''k''}}- पैरेललेपिप्ड माध्यम से प्रवाह को मापने के रूप में माना जाता है, तो इसके बाह्य व्युत्पन्न को {{math|(''k'' + 1)}} की सीमा के माध्यम से शुद्ध प्रवाह को मापने के रूप में माना जा सकता है।
 == परिभाषा ==
-डिग्री {{math|''k''}} के विभेदक रूप का बाह्य व्युत्पन्न  (विभेदक {{math|''k''}}-रूप, या यहां संक्षिप्तता के लिए केवल {{math|''k''}}- रूप) डिग्री {{math|''k'' + 1}} का विभेदक रूप है।
+डिग्री {{math|''k''}} के अवकल प्रपत्र का बाह्य व्युत्पन्न  (अवकल {{math|''k''}}-प्रपत्र, या यहां संक्षिप्तता के लिए केवल {{math|''k''}}- प्रपत्र) डिग्री {{math|''k'' + 1}} का अवकल प्रपत्र है।
-यदि {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} सहज फलन ({{math|0}}-रूप) है, तो  {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का बाह्य अवकलज  {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का अंतर है। वह है, {{math|''df''&thinsp;}} अद्वितीय 1-रूप है|{{math|1}}-इस तरह से कि प्रत्येक चिकने वेक्टर फ़ील्ड {{math|''X''}} के लिए, {{math|1=''df''&thinsp;(''X'') = ''d''<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''&thinsp;}}, जहां {{math|''d''<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''&thinsp;}} {{math|''X''}} की दिशा में {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] है।
+यदि {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} सहज फलन ({{math|0}}-प्रपत्र) है, तो  {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का बाह्य अवकलज  {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का अंतर है।अर्थात्, df  अद्वितीय 1-रूप है, इस प्रकार कि प्रत्येक चौरस सदिश फ़ील्ड {{math|''X''}} के लिए, {{math|1=''df''&thinsp;(''X'') = ''d''<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''&thinsp;}}, जहां {{math|''d''<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''&thinsp;}} {{math|''X''}} की दिशा में {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का दिशात्मक व्युत्पन्न है।
-विभेदक रूपों का बाह्य उत्पाद (समान प्रतीक {{math|∧}} से दर्शाया गया है) को उनके [[बिंदुवार]] [[बाहरी उत्पाद|बाह्य उत्पाद]] के रूप में परिभाषित किया गया है।
+अवकल प्रपत्रों का बाह्य उत्पाद (समान प्रतीक {{math|∧}} से प्रदर्शित किया गया है) को उनके [[बिंदुवार]] बाह्य उत्पाद के प्रपत्र में परिभाषित किया गया है।
 किसी सामान्य {{math|''k''}}-प्रपत्र के बाह्य व्युत्पन्न की विभिन्न प्रकार की समतुल्य परिभाषाएँ हैं।
 ===स्वसिद्धांतों के संदर्भ में===
-बाह्य व्युत्पन्न को {{math|''k''}}-रूप से  {{math|(''k'' + 1)}}-प्रपत्र  तक अद्वितीय {{math|ℝ}}- रैखिक मानचित्रण के रूप में परिभाषित किया गया है जिनमें निम्नलिखित गुण हैं:
+बाह्य व्युत्पन्न को {{math|''k''}}-प्रपत्र से  {{math|(''k'' + 1)}}-प्रपत्र तक अद्वितीय {{math|ℝ}}- रैखिक मानचित्रण के प्रपत्र में परिभाषित किया गया है जिनमें निम्नलिखित गुण हैं:
 # {{math|''df''&thinsp;}}{{math|0}}-प्रपत्र {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} के लिए  {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का अंतर है।
 # {{math|0}}-प्रपत्र {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} के लिए  {{math|1=''d''(''df''&thinsp;) = 0}} है।
-# {{math|1=''d''(''α'' ∧ ''β'') = ''dα'' ∧ ''β'' + (−1){{sup|''p''}} (''α'' ∧ ''dβ'')}} जहाँ {{mvar|α}} है {{math|''p''}}-प्रपत्र है। तात्पर्य, {{math|''d''}}   विभेदक रूपों के [[बाहरी बीजगणित|बाह्य बीजगणित]] पर डिग्री {{math|1}} की [[व्युत्पत्ति (बीजगणित)]] है (श्रेणीबद्ध उत्पाद नियम देखें)।
+# {{math|1=''d''(''α'' ∧ ''β'') = ''dα'' ∧ ''β'' + (−1){{sup|''p''}} (''α'' ∧ ''dβ'')}} जहाँ {{mvar|α}} है {{math|''p''}}-प्रपत्र है। इसका तात्पर्य, {{math|''d''}}   अवकल प्रपत्रों के [[बाहरी बीजगणित|बाह्य बीजगणित]] पर डिग्री {{math|1}} की [[व्युत्पत्ति (बीजगणित)]] है (श्रेणीबद्ध उत्पाद नियम देखें)।
-दूसरी परिभाषित संपत्ति अधिक व्यापकता रखती है:किसी {{math|''k''}}-प्रपत्र {{mvar|α}}  के लिए {{math|1=''d''(''dα'') = 0}}; अधिक संक्षेप में, {{math|1=''d''{{i sup|2}} = 0}} होता है।तीसरी परिभाषित संपत्ति का तात्पर्य विशेष विषय के रूप में है कि यदि {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} फलन है एवं {{mvar|α}}, {{math|''k''}}-रूप है, तो {{math|1=''d''(&thinsp;''fα'') = ''d''(&thinsp;''f'' ∧ ''α'') = ''df''&thinsp; ∧ ''α'' + &thinsp;''f''&thinsp; ∧ ''dα''}} क्योंकि फलन {{math|0}}-रूप है, एवं अदिश गुणन एवं बाह्य उत्पाद समतुल्य होते हैं जब कोई तर्क अदिश होता है।
+दूसरी परिभाषित संपत्ति अधिक व्यापकता रखती है:किसी {{math|''k''}}-प्रपत्र {{mvar|α}}  के लिए {{math|1=''d''(''dα'') = 0}}; अधिक संक्षेप में, {{math|1=''d''{{i sup|2}} = 0}} होता है।तीसरी परिभाषित संपत्ति का तात्पर्य विशेष विषय के प्रपत्र में है कि यदि {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} फलन है एवं {{mvar|α}}, {{math|''k''}}-प्रपत्र है, तो {{math|1=''d''(&thinsp;''fα'') = ''d''(&thinsp;''f'' ∧ ''α'') = ''df''&thinsp; ∧ ''α'' + &thinsp;''f''&thinsp; ∧ ''dα''}} क्योंकि फलन {{math|0}}-प्रपत्र है, एवं अदिश गुणन एवं बाह्य उत्पाद समतुल्य होते हैं जब कोई तर्क अदिश होता है।
-===स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में===
+===समिष्टीय निर्देशांक के संदर्भ में===
-वैकल्पिक रूप से, कोई पूर्ण रूप से [[स्थानीय समन्वय प्रणाली]] {{math|(''x''{{sup|1}}, ..., ''x''{{i sup|''n''}})}} में कार्य कर सकता है। समन्वय अंतर {{math|''dx''{{sup|1}}, ..., ''dx''{{i sup|''n''}}}} एक-रूपों के स्थान का आधार बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक समन्वय से जुड़ा होता है। {{math|1 ≤ ''i''{{sub|''p''}} ≤ ''n''}} के लिए {{math|1 ≤ ''p'' ≤ ''k''}} के साथ बहु-सूचकांक {{math|1=''I'' = (''i''{{sub|1}}, ..., ''i''{{sub|''k''}})}} दिया गया है। (एवं {{math|1=''dx''{{i sup|''I''}}}} के साथ {{math|''dx''{{i sup|''i''{{sub|1}}}} ∧ ... ∧ ''dx''{{i sup|''i''{{sub|''k''}}}}}}  निरूपित करते हुए ), (सरल) का बाह्य व्युत्पन्न {{math|''k''}}-प्रपत्र
+वैकल्पिक प्रपत्र से, कोई पूर्ण प्रपत्र से [[स्थानीय समन्वय प्रणाली|समिष्टीय समन्वय प्रणाली]] {{math|(''x''{{sup|1}}, ..., ''x''{{i sup|''n''}})}} में फलन कर सकता है। समन्वय अंतर {{math|''dx''{{sup|1}}, ..., ''dx''{{i sup|''n''}}}}  प्रपत्रों के समिष्ट का आधार बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक समन्वय से जुड़ा होता है। {{math|1 ≤ ''i''{{sub|''p''}} ≤ ''n''}} के लिए {{math|1 ≤ ''p'' ≤ ''k''}} के साथ बहु-सूचकांक {{math|1=''I'' = (''i''{{sub|1}}, ..., ''i''{{sub|''k''}})}} दिया गया है। (एवं {{math|1=''dx''{{i sup|''I''}}}} के साथ {{math|''dx''{{i sup|''i''{{sub|1}}}} ∧ ... ∧ ''dx''{{i sup|''i''{{sub|''k''}}}}}}  निप्रपत्रित करते हुए ), (सरल) का बाह्य व्युत्पन्न {{math|''k''}}-प्रपत्र
 :<math>\varphi = g\,dx^I = g\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}</math>
@@ Line 31: / Line 28: @@
 :<math>d{\varphi} =  \frac{\partial g}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^I</math>
-([[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके)। बाह्य व्युत्पन्न की परिभाषा को सामान्य  {{math|''k''}}-प्रपत्र तक रैखिक रूप से विस्तारित किया जाता है,
+[[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके, बाह्य व्युत्पन्न की परिभाषा को सामान्य  {{math|''k''}}-प्रपत्र तक रैखिक प्रपत्र से विस्तारित किया जाता है,
 :<math>\omega = f_I \, dx^I,</math>
-जहां मल्टी-इंडेक्स के प्रत्येक घटक {{math|''I''}} में सभी मानों को चलाएँ {{math|{1, ..., ''n''}<nowiki/>}}. ध्यान दें कि जब भी {{math|''i''}} मल्टी-इंडेक्स {{math|''I''}} के घटकों में सेएक के बराबर होता है, तब {{math|1=''dx''{{i sup|''i''}} ∧ ''dx''{{i sup|''I''}} = 0}} (बाह्य उत्पाद देखें) होता है।
+जहां मल्टी-इंडेक्स के प्रत्येक घटक {{math|''I''}} में सभी मानों {{math|{1, ..., ''n''}<nowiki/>}} का उपयोग किया जाता है। ध्यान दें कि जब भी {{math|''i''}} मल्टी-इंडेक्स {{math|''I''}} के घटकों में से एक के समान होता है, तब {{math|1=''dx''{{i sup|''i''}} ∧ ''dx''{{i sup|''I''}} = 0}} (बाह्य उत्पाद देखें) होता है।
-स्थानीय निर्देशांक में बाह्य व्युत्पन्न की परिभाषा पूर्ववर्ती स्वयंसिद्धों के संदर्भ में अनुसरण करती है। {{math|''k''}}-प्रपत्र के साथ {{math|''φ''}} जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है,
+समिष्टीय निर्देशांक में बाह्य व्युत्पन्न की परिभाषा पूर्ववर्ती स्वयंसिद्धों के संदर्भ में अनुसरण करती है। {{math|''k''}}-प्रपत्र के साथ {{math|''φ''}} जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है,
 :<math>\begin{align}
@@ Line 47: / Line 44: @@
               &= \frac{\partial g}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k} \\
 \end{align}</math>
-यहां {{math|''g''}} व्याख्या  {{math|0}}-रूप रूप में की है, एवं फिर बाह्य व्युत्पन्न के गुणों को प्रस्तुत किया।
+यहां {{math|''g''}} व्याख्या  {{math|0}}-प्रपत्र प्रपत्र में की है, एवं फिर बाह्य व्युत्पन्न के गुणों को प्रस्तुत किया जाता है।
 यह परिणाम सीधे सामान्य  {{math|''k''}}-प्रपत्र {{math|''ω''}} तक विस्तारित होता है
 :<math>d\omega = \frac{\partial f_I}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^I </math>,
-विशेष रूप से, {{math|1}}-प्रपत्र {{math|''ω''}} के लिए, के घटक स्थानीय समन्वय प्रणाली में {{math|''dω''}} के घटक हैं,
+विशेष प्रपत्र से, {{math|1}}-प्रपत्र {{math|''ω''}} के लिए, के घटक समिष्टीय समन्वय प्रणाली में {{math|''dω''}} के घटक हैं,
 :<math>(d\omega)_{ij} = \partial_i \omega_j - \partial_j \omega_i, </math>
 सावधानी: के अर्थ के संबंध में दो परंपराएँ <math>dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}</math> हैं, अधिकांश वर्तमान लेखक की यह परंपरा है कि
@@ Line 63: / Line 60: @@
 ===अपरिवर्तनीय सूत्र के संदर्भ में===
-वैकल्पिक रूप से,  {{math|''k''}}-प्रपत्र {{math|''ω''}} के बाह्य व्युत्पन्न के लिए स्पष्ट सूत्र दिया जा सकता है {{math|''k'' + 1}} मनमाने ढंग से  [[वेक्टर फ़ील्ड]] {{math|''V''<sub>0</sub>, ''V''<sub>1</sub>, ..., ''V''<sub>''k''</sub>}} साथ जोड़ा जाता है।<math>d\omega(V_0, \ldots, V_k) = \sum_i(-1)^{i} d_{{}_{V_i}} ( \omega  (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots,V_k )) + \sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega  ([V_i, V_j], V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots, \widehat V_j, \ldots, V_k )</math>
+वैकल्पिक प्रपत्र से,  {{math|''k''}}-प्रपत्र {{math|''ω''}} के बाह्य व्युत्पन्न के लिए स्पष्ट सूत्र दिया जा सकता है, {{math|''k'' + 1}} से [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश फ़ील्ड]] {{math|''V''<sub>0</sub>, ''V''<sub>1</sub>, ..., ''V''<sub>''k''</sub>}} साथ जोड़ा जाता है। <math>d\omega(V_0, \ldots, V_k) = \sum_i(-1)^{i} d_{{}_{V_i}} ( \omega  (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots,V_k )) + \sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega  ([V_i, V_j], V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots, \widehat V_j, \ldots, V_k )</math>,
-जहाँ {{math|[''V<sub>i</sub>'', ''V<sub>j</sub>'']}} वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट को दर्शाता है एवं टोपी उस तत्व की चूक को दर्शाती है:
+जहाँ {{math|[''V<sub>i</sub>'', ''V<sub>j</sub>'']}} सदिश फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट को प्रदर्शित करता है एवं हैट उस तत्व की अकृत को प्रदर्शित करती है:
 :<math>\omega (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots, V_k ) = \omega(V_0, \ldots, V_{i-1}, V_{i+1}, \ldots, V_k ),</math>
-विशेषकर, जब {{math|''ω''}} {{math|1}}-रूप है तो वह हमारे पास वह {{math|1=''dω''(''X'', ''Y'') = ''d''{{sub|''X''}}(''ω''(''Y'')) − ''d''{{sub|''Y''}}(''ω''(''X'')) − ''ω''([''X'', ''Y''])}} है।
+विशेषकर, जब {{math|''ω''}} {{math|1}}-प्रपत्र है तो वह हमारे पास  {{math|1=''dω''(''X'', ''Y'') = ''d''{{sub|''X''}}(''ω''(''Y'')) − ''d''{{sub|''Y''}}(''ω''(''X'')) − ''ω''([''X'', ''Y''])}} है।
 नोट: उदाहरण के लिए, कोबायाशी-नोमिज़ु एवं हेल्गासन की परंपराओं के साथ सूत्र कारक {{math|{{sfrac|''k'' + 1}}}} से भिन्न होता है :
@@ Line 79: / Line 76: @@
 == उदाहरण ==
-उदाहरण 1.अदिश क्षेत्र {{math|''u''}} {{math|1}}-रूप आधार के लिए {{math|''dx''{{i sup|1}}, ..., ''dx''{{i sup|''n''}}}} पर {{math|1=''σ'' = ''u''&thinsp;''dx''{{i sup|1}} ∧ ''dx''{{i sup|2}}}} पर विचार करें, बाह्य व्युत्पन्न है:
+उदाहरण 1.अदिश क्षेत्र {{math|''u''}} {{math|1}}-प्रपत्र आधार के लिए {{math|''dx''{{i sup|1}}, ..., ''dx''{{i sup|''n''}}}} पर {{math|1=''σ'' = ''u''&thinsp;''dx''{{i sup|1}} ∧ ''dx''{{i sup|2}}}} पर विचार किया जाता है, बाह्य व्युत्पन्न है:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 86: / Line 83: @@
                      &= \sum_{i=3}^n \left( \frac{\partial u}{\partial x^i} \, dx^i \wedge dx^1 \wedge dx^2 \right )
 \end{align}</math>
-अंतिम सूत्र, जहां से योग {{math|''i'' {{=}} 3}} प्रारंभ होता है, बाह्य उत्पाद के गुणों से आसानी से अनुसरण करता है, अर्थात्, {{math|1=''dx''{{i sup|''i''}} ∧ ''dx''{{i sup|''i''}} = 0}} है।
+अंतिम सूत्र, जहां से योग {{math|''i'' {{=}} 3}} प्रारंभ होता है, बाह्य उत्पाद के गुणों से सरलता से अनुसरण करता है, अर्थात्, {{math|1=''dx''{{i sup|''i''}} ∧ ''dx''{{i sup|''i''}} = 0}} है।
-उदाहरण 2. मान लीजिए {{math|1=''σ'' = ''u''&thinsp;''dx'' + ''v''&thinsp;''dy''}} {{math|ℝ{{sup|2}}}}  पर परिभाषित {{math|1}}-रूप है, उपरोक्त सूत्र को प्रत्येक पद पर प्रस्तुत करके (विचार करें) {{math|1=''x''{{i sup|1}} = ''x''}} एवं {{math|1=''x''{{i sup|2}} = ''y''}}) हमें पास निम्नलिखित योग प्राप्त होता  है,
+उदाहरण 2. मान लीजिए {{math|1=''σ'' = ''u''&thinsp;''dx'' + ''v''&thinsp;''dy''}} {{math|ℝ{{sup|2}}}}  पर परिभाषित {{math|1}}-प्रपत्र है, उपरोक्त सूत्र को प्रत्येक पद पर प्रस्तावित करने पर ({{math|1=''x''{{i sup|1}} = ''x''}} एवं {{math|1=''x''{{i sup|2}} = ''y''}} पर विचार किया जाता है) हमें निम्नलिखित योग प्राप्त होता है,
 :<math>\begin{align}
@@ Line 102: / Line 99: @@
 {{main|सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय}}
-यदि {{math|''M''}} कॉम्पैक्ट स्मूथ ओरिएंटेबल {{math|''n''}}-सीमा के साथ आयामी मैनिफोल्ड है एवं {{math|''ω''}}, {{math|''M''}} पर  {{math|(''n'' − 1)}}-फॉर्म है, तो सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय का सामान्यीकृत रूप बताता है कि:
+यदि {{math|''M''}} कॉम्पैक्ट स्मूथ ओरिएंटेबल {{math|''n''}}- सीमा के साथ आयामी मैनिफोल्ड है एवं {{math|''ω''}}, {{math|''M''}}  पर {{math|(''n'' − 1)}}- प्रपत्र है, तो सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय का सामान्यीकृत प्रपत्र बताता है कि:
-:<math>\int_M d\omega = \int_{\partial{M}} \omega</math> होता है
+:<math>\int_M d\omega = \int_{\partial{M}} \omega</math> होता है।
-सहज रूप से, यदि कोई सोचता है कि {{math|''M''}} अतिसूक्ष्म क्षेत्रों में विभाजित होने के कारण,  वह सभी क्षेत्रों की सीमाओं के माध्यम से प्रवाह जोड़ता है, आंतरिक सीमाएं सभी रद्द हो जाती हैं, जिससे कुल प्रवाह {{math|''M''}} की सीमा के माध्यम से निकल जाता है।
+सहज प्रपत्र से, यदि कोई सोचता है कि {{math|''M''}} अतिसूक्ष्म क्षेत्रों में विभाजित होने के कारण, वह सभी क्षेत्रों की सीमाओं के माध्यम से प्रवाह जोड़ता है,सभी आंतरिक सीमाएं समाप्त हो जाती हैं, जिससे कुल प्रवाह {{math|''M''}} की सीमा के माध्यम से निकल जाता है।
-== आगे के गुण ==
+== अन्य गुण ==
-===संवृत एवं सटीक फॉर्म===
+===संवृत एवं त्रुटिहीन प्रपत्र===
 {{main article|संवृत और सटीक रूप}}
-{{math|''k''}}-प्रपत्र {{math|''ω''}} को संवृत कहा जाता है यदि {{math|1=''dω'' = 0}}; संवृत प्रपत्र {{math|''d''}} [[कर्नेल (बीजगणित)|के कर्नेल (बीजगणित)]] हैं। {{math|''ω''}} को सटीक यदि कहा जाता है {{math|1=''ω'' = ''dα''}} कुछ के लिए {{math|(''k'' − 1)}}-प्रपत्र {{math|''α''}}; सटीक रूप {{math|''d''}} की [[छवि (गणित)]] हैं, क्योंकि {{math|1=''d''{{i sup|2}} = 0}}, प्रत्येक सटीक प्रपत्र संवृत है। पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि संकुचन योग्य क्षेत्र में, इसका विपरीत सत्य है।
+{{math|''k''}}-प्रपत्र {{math|''ω''}} को संवृत कहा जाता है यदि {{math|1=''dω'' = 0}}; संवृत प्रपत्र {{math|''d''}} [[कर्नेल (बीजगणित)|के कर्नेल (बीजगणित)]] हैं। {{math|''ω''}} को त्रुटिहीन यदि कहा जाता है {{math|1=''ω'' = ''dα''}} कुछ के लिए {{math|(''k'' − 1)}}-प्रपत्र {{math|''α''}}; त्रुटिहीन प्रपत्र {{math|''d''}} की [[छवि (गणित)]] हैं, क्योंकि {{math|1=''d''{{i sup|2}} = 0}}, प्रत्येक त्रुटिहीन प्रपत्र संवृत है। पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि संकुचन योग्य क्षेत्र में, इसका विपरीत सत्य है।
 ===डी राम कोहोमोलॉजी===
-क्योंकि बाह्य व्युत्पन्न {{math|''d''}} में गुण है कि {{math|1=''d''{{i sup|2}} = 0}}, इसका उपयोग कई गुना पर [[डॉ कहलमज गर्भाशय|डी राम कोहोमोलॉजी]] को परिभाषित करने के लिए [[कोचेन कॉम्प्लेक्स]] (कोबाउंडरी) के रूप में किया जा सकता है। के-वें डी राम राम कोहोमोलॉजी (समूह) संवृत {{math|''k''}}-मॉड्यूलो का {{math|''k''}}-रूप का वेक्टर स्थान है; जैसा कि पिछले अनुभाग में उल्लेख किया गया है, पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि ये वेक्टर स्थान संकुचन योग्य क्षेत्र {{math|''k'' > 0}} के लिए तुच्छ हैं, सहज विविधताओं के लिए, रूपों का एकीकरण डी राम कोहोमोलॉजी से से {{math|ℝ}} पर लेकर एकवचन कोहोमोलॉजी तक प्राकृतिक समरूपता प्रदान करता है। डी राम के प्रमेय से पता चलता है कि यह मानचित्र वास्तव में समरूपता है, जो पोंकारे लेम्मा का दूरगामी सामान्यीकरण है। जैसा कि सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय द्वारा सुझाया गया है, बाह्य व्युत्पन्न एकवचन सरलताओं पर औपचारिक परिभाषा का दोहरा है।
+क्योंकि बाह्य व्युत्पन्न {{math|''d''}} में गुण है कि {{math|1=''d''{{i sup|2}} = 0}}, इसका उपयोग कई गुना पर [[डॉ कहलमज गर्भाशय|डी राम कोहोमोलॉजी]] को परिभाषित करने के लिए अंतर [[कोचेन कॉम्प्लेक्स|(कोबाउंड्री)]] के प्रपत्र में किया जाता है जा सकता है। के-वें डी राम राम कोहोमोलॉजी (समूह) संवृत {{math|''k''}}-मॉड्यूलो का {{math|''k''}}-प्रपत्र का सदिश समिष्ट है; जैसा कि पूर्व अनुभाग में उल्लेख किया गया है, पोंकारे लेम्मा में कहा गया है कि ये सदिश समिष्ट संकुचन योग्य क्षेत्र {{math|''k'' > 0}} के लिए तुच्छ हैं, सहज विविधताओं के लिए, प्रपत्रों का एकीकरण डी राम कोहोमोलॉजी से से {{math|ℝ}} पर लेकर एकवचन कोहोमोलॉजी तक प्राकृतिक समप्रपत्रता प्रदान करता है। डी राम के प्रमेय से ज्ञात होता है कि यह मानचित्र वास्तव में समप्रपत्रता है, जो पोंकारे लेम्मा का दूरगामी सामान्यीकरण है। जैसा कि सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय द्वारा सूचित किया गया है, बाह्य व्युत्पन्न एकवचन सरलताओं पर सीमा मानचित्र का "दोहरा" है।
 ===प्राकृतिकता===
-बाह्य व्युत्पन्न तकनीकी अर्थ में स्वाभाविक है: यदि {{math|&thinsp;''f'' : ''M'' → ''N''}} सहज मानचित्र है एवं {{math|Ω{{sup|''k''}}}} कंट्रावेरिएंट स्मूथ [[ऑपरेटर]] है जो प्रत्येक को कई गुना स्थान प्रदान करता है {{math|''k''}}-मैनिफोल्ड पर फॉर्म, फिर निम्नलिखित परिवर्तित होता है,
+बाह्य व्युत्पन्न तकनीकी अर्थ में स्वाभाविक है: यदि {{math|&thinsp;''f'' : ''M'' → ''N''}} सहज मानचित्र है एवं {{math|Ω{{sup|''k''}}}} कंट्रावेरिएंट स्मूथ [[ऑपरेटर]] है जो प्रत्येक को कई गुना समिष्ट प्रदान करता है {{math|''k''}}-मैनिफोल्ड पर प्रपत्र, फिर निम्नलिखित परिवर्तित होता है,
-:[[Image:Exteriorderivnatural.png|none]]इसलिए {{math|1=''d''(&thinsp;''f''{{i sup|∗}}''ω'') = &thinsp;''f''{{i sup|∗}}''dω''}}, जहाँ {{math|&thinsp;''f''{{i sup|∗}}}}{{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} के [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)]] को दर्शाता है। यह इस प्रकार है कि {{math|&thinsp;''f''{{i sup|∗}}''ω''(·)}}, परिभाषा के अनुसार, {{math|''ω''(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(·))}} है, {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का पुशफॉरवर्ड (अंतर) है। इस प्रकार {{math|''d''}} {{math|Ω{{sup|''k''}}}}से {{math|Ω{{sup|''k''+1}}}} [[प्राकृतिक परिवर्तन|तक प्राकृतिक परिवर्तन]] है।
+:[[Image:Exteriorderivnatural.png|none]]इसलिए {{math|1=''d''(&thinsp;''f''{{i sup|∗}}''ω'') = &thinsp;''f''{{i sup|∗}}''dω''}}, जहाँ {{math|&thinsp;''f''{{i sup|∗}}}}{{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} के पुलबैक (अवकल ज्यामिति) को प्रदर्शित करता है। यह इस प्रकार है कि {{math|&thinsp;''f''{{i sup|∗}}''ω''(·)}}, परिभाषा के अनुसार, {{math|''ω''(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(·))}} है, {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का पुशफॉरवर्ड (अंतर) है। इस प्रकार {{math|''d''}} {{math|Ω{{sup|''k''}}}}से {{math|Ω{{sup|''k''+1}}}} तक प्राकृतिक परिवर्तन है।
-== वेक्टर कलन में बाह्य व्युत्पन्न ==
+== सदिश कलन में बाह्य व्युत्पन्न ==
-अधिकांश [[वेक्टर कैलकुलस]] ऑपरेटर बाह्य विभेदन की धारणा के विशेष विषय हैं, या उनके करीबी रिश्ते हैं।
+अधिकांश सदिश कैलकुलस ऑपरेटर बाह्य विभेदन की धारणा के विशेष विषय हैं।
 ===क्रमशः===
-सुचारु कार्य {{math|&thinsp;''f'' : ''M'' → ℝ}} वास्तविक भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड पर {{math|''M''}} है {{math|0}}-प्रपत्र। इसका बाह्य व्युत्पन्न {{math|0}}-रूप है {{math|1}}-प्रपत्र {{math|''df''}}.
+वास्तविक भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड {{math|''M''}}  पर सुचारू फलन {{math|&thinsp;''f'' : ''M'' → ℝ}} {{math|0}}-प्रपत्र है। इसका {{math|0}}-प्रपत्र बाह्य व्युत्पन्न का {{math|1}}-प्रपत्र {{math|''df''}}  है।                                    जब आंतरिक उत्पाद {{math|{{langle}}·,·{{rangle}}}} परिभाषित है, फलन {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} के[[ ग्रेडियेंट | ग्रेडियेंट]] {{math|∇''f''&thinsp;}} को {{math|''V''}}  में अद्वितीय सदिश के प्रपत्र में परिभाषित किया गया है  ऐसा कि इसका {{math|''V''}} के किसी भी तत्व के साथ आंतरिक उत्पाद सदिश के साथ {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} का दिशात्मक व्युत्पन्न है, वह
-जब आंतरिक उत्पाद {{math|{{langle}}·,·{{rangle}}}} परिभाषित है, [[ ग्रेडियेंट ]] {{math|∇''f''&thinsp;}} किसी फलन का {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} को अद्वितीय वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''V''}} ऐसा कि इसका आंतरिक उत्पाद किसी भी तत्व के साथ हो {{math|''V''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न है {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} वेक्टर के साथ, वह ऐसा है
-:<math>\langle \nabla f, \cdot \rangle = df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, dx^i .</math>
+:<math>\langle \nabla f, \cdot \rangle = df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, dx^i </math> है।
-वह है,
+वह
-:<math>\nabla f = (df)^\sharp = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, \left(dx^i\right)^\sharp ,</math>
+:<math>\nabla f = (df)^\sharp = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\, \left(dx^i\right)^\sharp </math> है,
-जहाँ {{math|{{music|sharp}}}} [[संगीत समरूपता]] को दर्शाता है {{math|{{music|sharp}} : ''V''{{sup|∗}} → ''V''}}पहले उल्लेख किया गया है कि आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है। वह {{math|1}}-प्रपत्र {{math|''df''&thinsp;}} [[कोटैंजेंट बंडल]] का खंड है, जो स्थानीय रैखिक सन्निकटन देता है {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्थान में।
+जहाँ {{math|{{music|sharp}}}} [[संगीत समरूपता|संगीत समप्रपत्रता]] को प्रदर्शित करता है, {{math|{{music|sharp}} : ''V''{{sup|∗}} → ''V''}} का उल्लेख किया गया है कि आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है। वह {{math|1}}-प्रपत्र {{math|''df''&thinsp;}} [[कोटैंजेंट बंडल]] का खंड है, प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट समिष्ट में {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} जो समिष्टीय रैखिक सन्निकटन देता है।
 ===विचलन===
-सदिश क्षेत्र {{math|1=''V'' = (''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v<sub>n</sub>'')}} पर {{math|ℝ{{sup|''n''}}}} के पास संगत है {{math|(''n'' − 1)}}-प्रपत्र
+सदिश क्षेत्र {{math|1=''V'' = (''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v<sub>n</sub>'')}} पर {{math|ℝ{{sup|''n''}}}} के पास संगत {{math|(''n'' − 1)}}-प्रपत्र  है,
 :<math>\begin{align}
@@ Line 142: / Line 137: @@
             &= \sum_{i=1}^n (-1)^{(i-1)}v_i \left (dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{i-1} \wedge \widehat{dx^{i}} \wedge dx^{i+1} \wedge \cdots \wedge dx^n \right )
 \end{align}</math>
-जहाँ <math>\widehat{dx^{i}}</math> उस तत्व के लोप को दर्शाता है।
+जहाँ <math>\widehat{dx^{i}}</math> उस तत्व के लोप को प्रदर्शित करता है।
-(उदाहरण के लिए, जब {{math|1=''n'' = 3}}, यानी त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, {{math|2}}-प्रपत्र {{math|''ω<sub>V</sub>''}} स्थानीय रूप से [[अदिश त्रिगुण उत्पाद]] है {{math|''V''}}.) का अभिन्न अंग {{math|''ω<sub>V</sub>''}} हाइपरसतह के ऊपर का प्रवाह है {{math|''V''}} उस हाइपरसतह पर।
+(उदाहरण के लिए, जब {{math|1=''n'' = 3}}, अर्थात् त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, {{math|2}}-प्रपत्र {{math|''ω<sub>V</sub>''}}  समिष्टीय प्रपत्र {{math|''V''}} के साथ अदिश त्रिगुण उत्पाद है)  हाइपरसतह पर {{math|''ω<sub>V</sub>''}} का अभिन्न अंग उस हाइपरसतह पर {{math|''V''}} का प्रवाह है।
-इसका बाह्य व्युत्पन्न {{math|(''n'' − 1)}}-रूप है {{math|''n''}}-प्रपत्र
+इस {{math|''n''}}-प्रपत्र का बाह्य व्युत्पन्न {{math|(''n'' − 1)}}-प्रपत्र
-:<math>d\omega _V = \operatorname{div} V \left (dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n \right ).</math>
+:<math>d\omega _V = \operatorname{div} V \left (dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n \right )</math>है।
 ===कर्ल===
-सदिश क्षेत्र {{math|''V''}} पर {{math|ℝ{{sup|''n''}}}} का संगत भी है {{math|1}}-प्रपत्र
+{{math|ℝ{{sup|''n''}}}} पर सदिश क्षेत्र {{math|''V''}} का संगत ( n-1)-  प्रपत्र
-:<math>\eta_V = v_1 \, dx^1 + v_2 \, dx^2 + \cdots + v_n \, dx^n.</math>
+:<math>\eta_V = v_1 \, dx^1 + v_2 \, dx^2 + \cdots + v_n \, dx^n,</math>
-स्थानीय स्तर पर, {{math|''η<sub>V</sub>''}} के साथ [[डॉट उत्पाद]] है {{math|''V''}}. का अभिन्न अंग {{math|''η<sub>V</sub>''}} पथ के विरुद्ध [[यांत्रिक कार्य]] किया जाता है {{math|−''V''}} उस रास्ते पर.
+समिष्टीय स्तर पर, {{math|''η<sub>V</sub>''}} {{math|''V''}} के साथ [[डॉट उत्पाद]] है, पथ के साथ {{math|''η<sub>V</sub>''}} का अभिन्न अंग उस पथ के साथ{{math|−''V''}} के विरुद्ध किया जाता है गया फलन है।
-कब {{math|1=''n'' = 3}}, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, का बाह्य व्युत्पन्न {{math|1}}-प्रपत्र {{math|''η<sub>V</sub>''}} है {{math|2}}-प्रपत्र
+जब {{math|1=''n'' = 3}}, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, {{math|1}}-प्रपत्र {{math|''η<sub>V</sub>''}} का बाह्य व्युत्पन्न {{math|2}}-प्रपत्र
-:<math>d\eta_V = \omega_{\operatorname{curl} V}.</math>
+:<math>d\eta_V = \omega_{\operatorname{curl} V}</math> है।
-===वेक्टर कैलकुलस में ऑपरेटरों के अपरिवर्तनीय फॉर्मूलेशन===
+===सदिश कैलकुलस में ऑपरेटरों के अपरिवर्तनीय प्रपत्रूलेशन===
-मानक वेक्टर कैलकुलस ऑपरेटरों को किसी भी [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, एवं समन्वय-मुक्त नोटेशन में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
+मानक सदिश कैलकुलस ऑपरेटरों को किसी भी [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड]] के लिए सामान्यीकृत किया जाता है जा सकता है, एवं समन्वय-मुक्त नोटेशन में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
 :<math>\begin{array}{rcccl}
@@ Line 172: / Line 167: @@
                          &      & \nabla^2 F      &=& \left(d{\star}d{\star}\mathord{\left(F^{\flat}\right)} - {\star}d{\star}d\mathord{\left(F^{\flat}\right)}\right)^{\sharp} , \\
 \end{array}</math>
-जहाँ {{math|⋆}} [[ हॉज दोहरे ]] है, {{math|{{music|flat}}}} एवं {{math|{{music|sharp}}}} संगीतमय समरूपताएं हैं, {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} [[अदिश क्षेत्र]] है एवं {{math|''F''}} सदिश क्षेत्र है.
+जहाँ {{math|⋆}} [[ हॉज दोहरे | हॉज स्टार ऑपरेटर]] है, {{math|{{music|flat}}}} एवं {{math|{{music|sharp}}}} संगीतमय समरूपताएं हैं, {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} [[अदिश क्षेत्र]] है एवं {{math|''F''}} सदिश क्षेत्र है।
-ध्यान दें कि अभिव्यक्ति के लिए {{math|curl}} आवश्यकता है {{math|{{music|sharp}}}} पर कार्रवाई करना {{math|⋆''d''(''F''{{sup|{{music|flat}}}})}}, जो डिग्री का रूप है {{math|''n'' − 2}}. का स्वाभाविक सामान्यीकरण {{math|{{music|sharp}}}} को {{math|''k''}}-मनमानी डिग्री के रूप इस अभिव्यक्ति को किसी के लिए भी अर्थपूर्ण बनाने की अनुमति देते हैं {{math|''n''}}.
+ध्यान दें कि कर्ल के लिए अभिव्यक्ति के लिए {{math|{{music|sharp}}}} को {{math|⋆''d''(''F''{{sup|{{music|flat}}}})}} पर फलन करने की आवश्यकता होती है , जो {{math|''n'' − 2}} डिग्री का प्रपत्र है,  ♯ से {{math|''k''}}-  डिग्री के प्रपत्रों का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण इस अभिव्यक्ति को किसी भी {{math|''n''}} के लिए समझ बनाने की अनुमति देता है।
 == यह भी देखें ==
 {{Div col|colwidth=20em}}
 *बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न
-*[[राम परिसर का]]
+*परिमित तत्व बाह्य कलन
-*[[परिमित तत्व बाह्य कलन]]
 *विभिन्न बाहरी कलन
 *ग्रीन का प्रमेय
-*[[झूठ व्युत्पन्न]]
 *स्टोक्स प्रमेय
 *फ्रैक्टल व्युत्पन्न
@@ Line 191: / Line 184: @@
 {{Reflist|30em}}
 == संदर्भ ==
@@ Line 208: / Line 200: @@
   | publisher =Westview Press | date =1971 | location =Boulder, Colorado | isbn =9780805390216 }}
 * {{citation|last=Warner|first= Frank W.|title= Foundations of differentiable manifolds and Lie groups|series= Graduate Texts in Mathematics|volume= 94|publisher= Springer|year=1983|isbn= 0-387-90894-3}}
 == बाह्य संबंध ==
 * Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/2ptFnIj71SM Ghostarchive] and the [https://web.archive.org/web/20201104033452/https://www.youtube.com/watch?v=2ptFnIj71SM&feature=youtu.be Wayback Machine]: {{cite web |title=The derivative isn't what you think it is |work=Aleph Zero |date=November 3, 2020 |via=[[YouTube]] |url=https://www.youtube.com/watch?v=2ptFnIj71SM }}
@@ Line 216: / Line 206: @@
 {{Calculus topics}}
 {{Tensors|state=collapsed}}
-[[Category: विभेदक रूप]] [[Category: विभेदक संचालक]] [[Category: व्युत्पन्न का सामान्यीकरण]]
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बाह्य व्युत्पन्न: Difference between revisions

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परिभाषा

स्वसिद्धांतों के संदर्भ में

समिष्टीय निर्देशांक के संदर्भ में

अपरिवर्तनीय सूत्र के संदर्भ में

उदाहरण

मैनिफोल्ड्स पर स्टोक्स प्रमेय

अन्य गुण

संवृत एवं त्रुटिहीन प्रपत्र

डी राम कोहोमोलॉजी

प्राकृतिकता

सदिश कलन में बाह्य व्युत्पन्न

क्रमशः

विचलन

कर्ल

सदिश कैलकुलस में ऑपरेटरों के अपरिवर्तनीय प्रपत्रूलेशन

यह भी देखें

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