विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 13:49, 3 August 2023

गणित में, विशेष रूप से समरूप बीजगणित में, विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित सहयोगी बीजगणित है जिसमें अतिरिक्त श्रृंखला जटिल संरचना होती है जो रिंग संरचना पर बीजगणित का सम्मान करती है।

परिभाषा

एक विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित (या संक्षेप में डीजी-बीजगणित) A मानचित्र से सुसज्जित $d\colon A\to A$ श्रेणीबद्ध बीजगणित है जिसमें या तो डिग्री 1 (कोचेन जटिल कन्वेंशन) या डिग्री −1 (चेन जटिल कन्वेंशन) है जो दो नियमो को पूरा करती है:

$d\circ d=0$ .
यह कहता है कि D A को एक चेन जटिल या कोचेन जटिल की संरचना देता है (तदनुसार अंतर डिग्री को कम या बढ़ाता है)।
$d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ , जहाँ $\operatorname {deg}$ सजातीय अवयवों की डिग्री है.
यह कहता है कि डिफरेंशियल D वर्गीकृत लीबनिज नियम' का सम्मान करता है।

उसी परिभाषा को बताने का अधिक संक्षिप्त विधि यह है कि डीजी-बीजगणित मोनोइडल श्रेणी चेन जटिल श्रेणी ऑफ चेन जटिल में एक मोनोइड वस्तु है।

डीजी-बीजगणित के बीच डीजी रूपवाद श्रेणीबद्ध बीजगणित समरूपता है जो अंतर D का सम्मान करता है।

एक 'विभेदक श्रेणीबद्ध संवर्धित बीजगणित' (जिसे 'डीजीए-बीजगणित' भी कहा जाता है, एक संवर्धित डीजी-बीजगणित या बस 'डीजीए') डीजी-बीजगणित है जो ग्राउंड रिंग (गणित) के लिए डीजी आकारिकी से सुसज्जित है (शब्दावली हेनरी कर्तन के कारण है)।^[1] चेतावनी: कुछ स्रोत डीजी-बीजगणित के लिए डीजीए शब्द का उपयोग करते हैं।

डीजी-बीजगणित के उदाहरण

टेंसर बीजगणित

टेंसर बीजगणित डीजी-बीजगणित है जिसमें जटिल शर्ट के समान अंतर होता है। सदिश समष्टि के लिए $V$ क्षेत्र पर (गणित) $K$ श्रेणीबद्ध सदिश $T(V)$ स्पेस है

T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{i}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}

जहाँ $V^{\otimes 0}=K$ .

यदि $e_{1},\ldots ,e_{n}$ के लिए आधार (रैखिक बीजगणित) $V$ अंतर है टेंसर बीजगणित $d$ पर घटक-वार परिभाषित किया जाता है

d:T^{k}(V)\to T^{k-1}(V)

आधार अवयवों को भेजना

d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes d(e_{i_{j}})\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}

विशेष रूप से $d(e_{i})=(-1)^{i}$ हमारे पास है इसलिए

d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}(-1)^{i_{j}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}}\otimes e_{i_{j+1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}

कोस्ज़ुल जटिल

विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित के मूलभूत उदाहरणों में से एक, जिसका व्यापक रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है, कोसज़ुल जटिल है। इसका कारण इसके अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला है, जिसमें पूर्ण प्रतिच्छेदन के समतल संकल्प का निर्माण करना सम्मिलित है, और व्युत्पन्न योजना से, वे व्युत्पन्न बीजगणित को व्युत्पन्न महत्वपूर्ण स्पेस का प्रतिनिधित्व करते हैं।

दे-रहम बीजगणित

मैनिफोल्ड पर विभेदक रूप, बाहरी व्युत्पन्न और विभेदक रूप के साथ मिलकर डीजी-बीजगणित बनाते हैं। इनका व्यापक अनुप्रयोग है, जिसमें व्युत्पन्न विरूपण सिद्धांत भी सम्मिलित है।^[2] डॉ कहलमज गर्भाशय देखें।

एकवचन सहसंगति

गुणांकों के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस की एकवचन सहसंरचना $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ डीजी-बीजगणित है: अंतर संक्षिप्त सटीक अनुक्रम से जुड़े बॉकस्टीन समरूपता $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$ द्वारा दिया गया है , और उत्पाद कप उत्पाद द्वारा दिया जाता है। इस विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित का उपयोग कार्टन सेमिनार में ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्पेस की कोहोलॉजी की गणना करने में सहायता के लिए किया गया था।^[3]^[4]

डीजी-बीजगणित के बारे में अन्य तथ्य

होमोलॉजी (गणित) $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ डीजी-बीजगणित का $(A,d)$ श्रेणीबद्ध बीजगणित है. डीजीए-बीजगणित की समरूपता संवर्धित बीजगणित है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Cartan, Henri (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane $H(\Pi ,n)$ ". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 40 (6): 467–471. doi:10.1073/pnas.40.6.467. PMC 534072. PMID 16589508.
↑ Manetti. "विभेदक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित और औपचारिक विरूपण सिद्धांत" (PDF). Archived (PDF) from the original on 16 Jun 2013.
↑ Cartan, H. (1954–1955). "DGA-algèbres et DGA-modules". Séminaire Henri Cartan (in English). 7 (1): 1–9.
↑ Cartan, H. (1954–1955). "डीजीए-मॉड्यूल (जारी), निर्माण की अवधारणा". Séminaire Henri Cartan (in English). 7 (1): 1–11.

Manin, Yuri Ivanovich; Gelfand, Sergei I. (2003), Methods of Homological Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43583-9, see sections V.3 and V.5.6

[1] Cartan, Henri (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane $H(\Pi ,n)$ ". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 40 (6): 467–471. doi:10.1073/pnas.40.6.467. PMC 534072. PMID 16589508.

[2] Manetti. "विभेदक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित और औपचारिक विरूपण सिद्धांत" (PDF). Archived (PDF) from the original on 16 Jun 2013.

[3] Cartan, H. (1954–1955). "DGA-algèbres et DGA-modules". Séminaire Henri Cartan (in English). 7 (1): 1–9.

[4] Cartan, H. (1954–1955). "डीजीए-मॉड्यूल (जारी), निर्माण की अवधारणा". Séminaire Henri Cartan (in English). 7 (1): 1–11.

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 {{Short description|Algebraic structure in homological algebra}}
-{{about|homological algebra|the algebraic study of differential equations|Differential algebra}}
+{{about|होमोलॉजिकल बीजगणित|विभेदक समीकरणों का बीजगणितीय अध्ययन|विभेदक बीजगणित}}गणित में, विशेष रूप से समरूप बीजगणित में, विभेदक [[श्रेणीबद्ध बीजगणित]] सहयोगी बीजगणित है जिसमें अतिरिक्त [[श्रृंखला जटिल]] संरचना होती है जो रिंग संरचना पर बीजगणित का सम्मान करती है।
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-गणित में, विशेष रूप से समरूप बीजगणित में, एक विभेदक [[श्रेणीबद्ध बीजगणित]] एक श्रेणीबद्ध बीजगणित सहयोगी बीजगणित है जिसमें एक अतिरिक्त [[श्रृंखला जटिल]] संरचना होती है जो एक रिंग संरचना पर बीजगणित का सम्मान करती है।
 __TOC__
+== परिभाषा                                                                        ==
+एक विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित (या संक्षेप में डीजी-बीजगणित) A मानचित्र से सुसज्जित <math>d\colon A \to A</math> श्रेणीबद्ध बीजगणित है जिसमें या तो डिग्री 1 (कोचेन जटिल कन्वेंशन) या डिग्री −1 (चेन जटिल कन्वेंशन) है जो दो नियमो को पूरा करती है:
-== परिभाषा ==
+{{ordered list|type=निम्न-रोमन
-एक विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित (या संक्षेप में डीजी-बीजगणित) ''ए'' एक मानचित्र से सुसज्जित श्रेणीबद्ध बीजगणित है <math>d\colon A \to A</math> जिसमें या तो डिग्री 1 (कोचेन कॉम्प्लेक्स कन्वेंशन) या डिग्री −1 (चेन कॉम्प्लेक्स कन्वेंशन) है जो दो शर्तों को पूरा करती है:
+  | <math>d \circ d=0</math>. <br />यह कहता है कि ''D'' ''A'' को एक [[चेन जटिल]] या [[कोचेन जटिल]] की संरचना देता है (तदनुसार अंतर डिग्री को कम या बढ़ाता है)।
+  | <math>d(a \cdot b)=(da) \cdot b + (-1)^{\deg(a)}a \cdot (db)</math>, जहाँ <math>\operatorname{deg}</math> सजातीय अवयवों की [[ग्रेडेड रिंग|डिग्री]] है.{{Anchor|Graded Leibniz rule}} <br />यह कहता है कि [[चेन कॉम्प्लेक्स|डिफरेंशियल]] ''D'' ''वर्गीकृत [[उत्पाद नियम|लीबनिज नियम]]''' का सम्मान करता है।}}
-{{ordered list|type=lower-roman
+उसी परिभाषा को बताने का अधिक संक्षिप्त विधि यह है कि डीजी-बीजगणित [[मोनोइडल श्रेणी]] चेन जटिल श्रेणी ऑफ चेन जटिल में एक [[ मोनोइड वस्तु |मोनोइड वस्तु]] है।
-  | <math>d \circ d=0</math>. <br />This says that ''d'' gives ''A'' the structure of a [[chain complex]] or [[cochain complex]] (accordingly as the differential reduces or raises degree).
-  | <math>d(a \cdot b)=(da) \cdot b + (-1)^{\deg(a)}a \cdot (db)</math>, where <math>\operatorname{deg}</math> is the [[graded ring|degree]] of homogeneous elements.{{Anchor|Graded Leibniz rule}} <br />This says that the [[chain complex|differential]] ''d'' respects the '''graded [[Product rule|Leibniz rule]]'''.}}
-उसी परिभाषा को बताने का एक अधिक संक्षिप्त तरीका यह है कि डीजी-बीजगणित [[मोनोइडल श्रेणी]] चेन_कॉम्प्लेक्स#श्रेणी_ऑफ_चेन_कॉम्प्लेक्स में एक [[ मोनोइड वस्तु ]] है।
+डीजी-बीजगणित के बीच डीजी रूपवाद श्रेणीबद्ध बीजगणित समरूपता है जो अंतर D का सम्मान करता है।
-डीजी-बीजगणित के बीच एक डीजी रूपवाद एक श्रेणीबद्ध बीजगणित समरूपता है जो अंतर डी का सम्मान करता है।
-एक 'विभेदक श्रेणीबद्ध [[संवर्धित बीजगणित]]' (जिसे 'डीजीए-बीजगणित' भी कहा जाता है,
+एक 'विभेदक श्रेणीबद्ध [[संवर्धित बीजगणित]]' (जिसे 'डीजीए-बीजगणित' भी कहा जाता है, एक संवर्धित डीजी-बीजगणित या बस 'डीजीए') डीजी-बीजगणित है जो ग्राउंड रिंग (गणित) के लिए डीजी आकारिकी से सुसज्जित है (शब्दावली [[ हेनरी कर्तन |हेनरी कर्तन]] के कारण है)।<ref>{{cite journal|first=Henri|last= Cartan|author-link=Henri Cartan|title= Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane <math>H(\Pi,n)</math>|journal= [[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|volume= 40|year=1954|issue= 6|pages= 467–471|doi= 10.1073/pnas.40.6.467|pmid= 16589508|pmc= 534072|doi-access= free}}</ref> चेतावनी: कुछ स्रोत डीजी-बीजगणित के लिए डीजीए शब्द का उपयोग करते हैं।
-एक संवर्धित डीजी-बीजगणित या बस एक 'डीजीए') एक डीजी-बीजगणित है जो ग्राउंड रिंग (गणित) के लिए डीजी आकारिकी से सुसज्जित है (शब्दावली [[ हेनरी कर्तन ]] के कारण है)।<ref>{{cite journal|first=Henri|last= Cartan|author-link=Henri Cartan|title= Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane <math>H(\Pi,n)</math>|journal= [[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|volume= 40|year=1954|issue= 6|pages= 467–471|doi= 10.1073/pnas.40.6.467|pmid= 16589508|pmc= 534072|doi-access= free}}</ref>
-चेतावनी: कुछ स्रोत डीजी-बीजगणित के लिए डीजीए शब्द का उपयोग करते हैं।
-== डीजी-बीजगणित के उदाहरण ==
+== डीजी-बीजगणित के उदाहरण                                                                   ==
 === [[टेंसर बीजगणित]] ===
-टेंसर बीजगणित एक डीजी-बीजगणित है जिसमें [[जटिल शर्ट]] के समान अंतर होता है। एक सदिश समष्टि के लिए <math>V</math> एक क्षेत्र पर (गणित) <math>K</math> एक श्रेणीबद्ध सदिश स्थान है <math>T(V)</math> के रूप में परिभाषित
+टेंसर बीजगणित डीजी-बीजगणित है जिसमें [[जटिल शर्ट]] के समान अंतर होता है। सदिश समष्टि के लिए <math>V</math> क्षेत्र पर (गणित) <math>K</math> श्रेणीबद्ध सदिश <math>T(V)</math> स्पेस है
 :<math>T(V) = \bigoplus_{i\geq 0} T^i(V) = \bigoplus_{i \geq 0} V^{\otimes i}</math>
-कहाँ <math>V^{\otimes 0} = K</math>.
+जहाँ <math>V^{\otimes 0} = K</math>.
-अगर <math>e_1, \ldots, e_n</math> के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] है <math>V</math> एक अंतर है <math>d</math> टेंसर बीजगणित पर घटक-वार परिभाषित
+यदि <math>e_1, \ldots, e_n</math> के लिए [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] <math>V</math> अंतर है टेंसर बीजगणित <math>d</math> पर घटक-वार परिभाषित किया जाता है
 :<math>d:T^k(V) \to T^{k-1}(V)</math>
-आधार तत्वों को भेजना
+आधार अवयवों  को भेजना
 :<math>d(e_{i_1}\otimes \cdots \otimes e_{i_k}) = \sum_{1 \leq j \leq k} e_{i_1}
 \otimes \cdots \otimes d(e_{i_j}) \otimes \cdots \otimes e_{i_k}</math>
-विशेष रूप से हमारे पास है <math>d(e_i) = (-1)^i</math> इसलिए
+विशेष रूप से <math>d(e_i) = (-1)^i</math> हमारे पास है इसलिए
 :<math>d(e_{i_1}\otimes \cdots \otimes e_{i_k}) = \sum_{1 \leq j \leq k} (-1)^{i_j}e_{i_1}
 \otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}} \otimes e_{i_{j+1}} \otimes \cdots \otimes e_{i_k}</math>
+=== कोस्ज़ुल जटिल                                                                            ===
+विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित के मूलभूत उदाहरणों में से एक, जिसका व्यापक रूप से [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में उपयोग किया जाता है, कोसज़ुल जटिल है। इसका कारण इसके अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला है, जिसमें पूर्ण प्रतिच्छेदन के [[समतल संकल्प]] का निर्माण करना सम्मिलित है, और [[व्युत्पन्न योजना]] से, वे व्युत्पन्न बीजगणित को व्युत्पन्न महत्वपूर्ण स्पेस का प्रतिनिधित्व करते हैं।
-=== कोस्ज़ुल कॉम्प्लेक्स ===
-विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित के मूलभूत उदाहरणों में से एक, जिसका व्यापक रूप से [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में उपयोग किया जाता है, कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स है। इसका कारण इसके अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला है, जिसमें पूर्ण चौराहों के [[समतल संकल्प]] का निर्माण करना शामिल है, और एक [[व्युत्पन्न योजना]] से, वे व्युत्पन्न बीजगणित को एक व्युत्पन्न महत्वपूर्ण स्थान का प्रतिनिधित्व करते हैं।
 === दे-रहम बीजगणित ===
-[[ कई गुना ]] पर [[विभेदक रूप]], बाहरी व्युत्पन्न और विभेदक रूप के साथ मिलकर एक डीजी-बीजगणित बनाते हैं। इनका व्यापक अनुप्रयोग है, जिसमें [[व्युत्पन्न विरूपण सिद्धांत]] भी शामिल है।<ref>{{Cite web|last=Manetti|date=|title=विभेदक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित और औपचारिक विरूपण सिद्धांत|url=https://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/DT2011/ManSea.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20130616054459/http://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/DT2011/ManSea.pdf|archive-date=16 Jun 2013|access-date=|website=}}</ref> [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] देखें।
+[[ कई गुना |मैनिफोल्ड]] पर [[विभेदक रूप]], बाहरी व्युत्पन्न और विभेदक रूप के साथ मिलकर डीजी-बीजगणित बनाते हैं। इनका व्यापक अनुप्रयोग है, जिसमें [[व्युत्पन्न विरूपण सिद्धांत]] भी सम्मिलित है।<ref>{{Cite web|last=Manetti|date=|title=विभेदक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित और औपचारिक विरूपण सिद्धांत|url=https://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/DT2011/ManSea.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20130616054459/http://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/DT2011/ManSea.pdf|archive-date=16 Jun 2013|access-date=|website=}}</ref> [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] देखें।
-=== एकवचन सहसंगति ===
+=== एकवचन सहसंगति                          ===
-*गुणांकों के साथ [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] की [[एकवचन सहसंरचना]] <math>\Z/p\Z</math> एक डीजी-बीजगणित है: अंतर संक्षिप्त सटीक अनुक्रम से जुड़े [[बॉकस्टीन समरूपता]] द्वारा दिया गया है <math>0 \to \Z/p\Z \to \Z/p^2\Z \to \Z/p\Z \to 0</math>, और उत्पाद [[कप उत्पाद]] द्वारा दिया जाता है। इस विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित का उपयोग कार्टन सेमिनार में ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्थान की कोहोलॉजी की गणना करने में मदद के लिए किया गया था।<ref>{{Cite journal|last=Cartan|first=H.|date=1954–1955|title=DGA-algèbres et DGA-modules|url=http://www.numdam.org/item/SHC_1954-1955__7_1_A2_0/|journal=Séminaire Henri Cartan|language=en|volume=7|issue=1|pages=1–9}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Cartan|first=H.|date=1954–1955|title=डीजीए-मॉड्यूल (जारी), निर्माण की अवधारणा|url=http://www.numdam.org/item/SHC_1954-1955__7_1_A3_0/|journal=Séminaire Henri Cartan|language=en|volume=7|issue=1|pages=1–11}}</ref>
+*गुणांकों के साथ [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] की [[एकवचन सहसंरचना]] <math>\Z/p\Z</math> डीजी-बीजगणित है: अंतर संक्षिप्त सटीक अनुक्रम से जुड़े [[बॉकस्टीन समरूपता]] <math>0 \to \Z/p\Z \to \Z/p^2\Z \to \Z/p\Z \to 0</math> द्वारा दिया गया है , और उत्पाद [[कप उत्पाद]] द्वारा दिया जाता है। इस विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित का उपयोग कार्टन सेमिनार में ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्पेस की कोहोलॉजी की गणना करने में सहायता के लिए किया गया था।<ref>{{Cite journal|last=Cartan|first=H.|date=1954–1955|title=DGA-algèbres et DGA-modules|url=http://www.numdam.org/item/SHC_1954-1955__7_1_A2_0/|journal=Séminaire Henri Cartan|language=en|volume=7|issue=1|pages=1–9}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Cartan|first=H.|date=1954–1955|title=डीजीए-मॉड्यूल (जारी), निर्माण की अवधारणा|url=http://www.numdam.org/item/SHC_1954-1955__7_1_A3_0/|journal=Séminaire Henri Cartan|language=en|volume=7|issue=1|pages=1–11}}</ref>
+== डीजी-बीजगणित के बारे में अन्य तथ्य                                                                                                                                                                                            ==
+* [[होमोलॉजी (गणित)]] <math>H_*(A) = \ker(d) / \operatorname{im}(d)</math> डीजी-बीजगणित का <math>(A,d)</math> श्रेणीबद्ध बीजगणित है. डीजीए-बीजगणित की समरूपता संवर्धित बीजगणित है।
+== यह भी देखें                                                                                                                                                                                                                                       ==
-== डीजी-बीजगणित के बारे में अन्य तथ्य ==
-* [[होमोलॉजी (गणित)]] <math>H_*(A) = \ker(d) / \operatorname{im}(d)</math> एक डीजी-बीजगणित का <math>(A,d)</math> एक श्रेणीबद्ध बीजगणित है. डीजीए-बीजगणित की समरूपता एक संवर्धित बीजगणित है।
-== यह भी देखें ==
-<!-- * [[Commutative ring spectrum]]; relation? -->
 * होमोटोपी साहचर्य बीजगणित
 * [[विभेदक श्रेणीबद्ध श्रेणी]]
-* [[विभेदक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित]]
+* [[विभेदक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित|विभेदक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित]]
 * [[विभेदक श्रेणीबद्ध योजना]]
 * [[विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल]]
-== संदर्भ ==
+== संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                                  ==
 {{reflist}}
 * {{Citation | last1=Manin | first1=Yuri Ivanovich | author1-link=Yuri Ivanovich Manin | last2=Gelfand | first2=Sergei I. | title=Methods of Homological Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-43583-9 | year=2003}}, see sections V.3 and V.5.6
-[[Category: अल्जेब्रास]] [[Category: सजातीय बीजगणित]] [[Category: क्रमविनिमेय बीजगणित]] [[Category: विभेदक बीजगणित]]
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