बीजगणतीय अभिव्यक्ति

गणित में, बीजगणितीय अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति निरंतर बीजगणितीय संख्याओं, चर और बीजगणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन (गणित) और घातांक द्वारा घातांक जो एक तर्कसंगत संख्या है) से निर्मित एक अभिव्यक्ति है। इस प्रकार उदाहरण के लिए, 3x² − 2xy + c बीजीय व्यंजक है. चूँकि वर्गमूल निकालना घात तक बढ़ाने के समान है 1/2, निम्नलिखित भी बीजीय व्यंजक है:

${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}$

बीजगणितीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें केवल बीजीय अभिव्यक्तियाँ सम्मिलित होती हैं।

इसके विपरीत, π और e जैसी पारलौकिक संख्याएँ बीजगणितीय नहीं हैं, क्योंकि वह पूर्णांक स्थिरांक और बीजगणितीय संक्रियाओं से प्राप्त नहीं होती हैं। इस प्रकार सामान्यतः, π का निर्माण ज्यामितीय संबंध रूप में किया गया है और e की परिभाषा के लिए अनंत संख्या में बीजगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।

एक 'तर्कसंगत अभिव्यक्ति' अभिव्यक्ति (गणित) है जिसे अंकगणितीय संचालन के गुणों (कम्यूटिव गुण और जोड़ और गुणा की साहचर्य गुण, वितरण गुण और अंशों पर संचालन के लिए नियम) का उपयोग करके तर्कसंगत अंश में फिर से लिखा जा सकता है। इस प्रकार दूसरे शब्दों में, तर्कसंगत अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति है जिसे अंकगणित के केवल चार संक्रियाओं का उपयोग करके चर और स्थिरांक से बनाया जा सकता है। इस प्रकार,

${\frac {3x-2xy+c}{y-1}}$

जबकि, तर्कसंगत अभिव्यक्ति है

${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}$

क्या नहीं है।

इस प्रकार एक परिमेय समीकरण ऐसा समीकरण है जिसमें दो परिमेय भिन्न (या परिमेय व्यंजक) रूप होते हैं

${\frac {P(x)}{Q(x)}}$

एक दूसरे के सामान्तर समुच्चय किए गए हैं। इस प्रकार यह अभिव्यक्तियाँ भिन्नों के समान नियमों का पालन करती हैं। समीकरणों को क्रॉस-गुणा करके हल किया जा सकता है। शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, इसलिए शून्य से औपचारिक विभाजन का समाधान अस्वीकार कर दिया जाता है।

शब्दावली

इस प्रकार किसी अभिव्यक्ति के भागों का वर्णन करने के लिए बीजगणित की अपनी शब्दावली है:

1 - घातांक (शक्ति), 2 - गुणांक, 3 - पद, 4 - संचालक, 5 - स्थिरांक, $x,y$ - चर

बहुपदों की जड़ों में

किसी बहुपद n की घात वाले बहुपद व्यंजक के फलन के मूल, या समकक्ष रूप से बहुपद समीकरण के समाधान, को सदैव बीजगणितीय व्यंजकों के रूप में लिखा जा सकता है यदि n <5 (द्विघात सूत्र, घन फलन और चतुर्थक समीकरण देखें)। इस प्रकार किसी समीकरण के ऐसे समाधान को बीजगणितीय समाधान कहा जाता है। किन्तु एबेल-रफिनी प्रमेय बताता है कि ऐसे सभी समीकरणों के लिए बीजगणितीय समाधान उपस्तिथ नहीं हैं (केवल उनमें से कुछ के लिए) यदि n $\geq$ 5.

सम्मेलन

चर

परंपरा के अनुसार, वर्णमाला के आरंभ में अक्षर (उदा. $a,b,c$) सामान्यतः गणितीय स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, और वर्णमाला के अंत की ओर (उदाहरण के लिए) $x,y$ और $z$) का उपयोग वेरिएबल (गणित) को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार वह सामान्यतः इटैलिक में लिखे जाते हैं।

प्रतिपादक

परंपरा के अनुसार, उच्चतम घात (घातांक) वाले शब्द बाईं ओर लिखे जाते हैं, इस प्रकार उदाहरण के लिए, $x^{2}$ के बायीं ओर लिखा है $x$. जब कोई गुणांक होता है, तब इसे सामान्यतः छोड़ दिया जाता है (उदा. $1x^{2}$ लिखा है $x^{2}$). इसी प्रकार जब घातांक (शक्ति) हो, (उदा. $3x^{1}$ लिखा है $3x$), और, जब घातांक शून्य होता है, तब परिणाम सदैव 1 होता है (उदा. $3x^{0}$ लिखा है $3$, तब से $x^{0}$ सदैव से रहा है $1$).

बीजगणितीय और अन्य गणितीय अभिव्यक्तियाँ

नीचे दी गई तालिका सारांशित करती है कि सामान्य किन्तु सार्वभौमिक सम्मेलनों के अनुसार, बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ अनेक अन्य प्रकार के गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ तुलना कैसे करती हैं, जिनमें वह तत्व सम्मिलित हो सकते हैं।

	Arithmetic expressions	Polynomial expressions	Algebraic expressions	Closed-form expressions	Analytic expressions	Mathematical expressions
Constant	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Elementary arithmetic operation	Yes	Addition, subtraction, and multiplication only	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite sum	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite product	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite continued fraction	Yes	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Variable	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer exponent	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer nth root	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Rational exponent	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer factorial	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Irrational exponent	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Logarithm	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Root of a polynomial that is not an algebraic solution	No	No	No	No	Yes	Yes
Gamma function and factorial of a non-integer	No	No	No	No	Yes	Yes
Bessel function	No	No	No	No	Yes	Yes
Special function	No	No	No	No	Yes	Yes
Infinite sum (series) (including power series)	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite product	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite continued fraction	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Limit	No	No	No	No	No	Yes
Derivative	No	No	No	No	No	Yes
Integral	No	No	No	No	No	Yes

एक तर्कसंगत बीजगणितीय अभिव्यक्ति (या तर्कसंगत अभिव्यक्ति) बीजगणितीय अभिव्यक्ति है इस प्रकार जिसे बहुपदों के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि x² + 4x + 4. अपरिमेय बीजगणितीय अभिव्यक्ति वह है जो तर्कसंगत नहीं है, जैसे √x + 4.

यह भी देखें

• बीजगणितीय समीकरण
• बीजीय फलन
• विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति
• अंकगणितीय अभिव्यक्ति
• बंद-रूप अभिव्यक्ति
• अभिव्यक्ति (गणित)
• पूर्वगणना
• बहुपद
• पद (तर्क)

संदर्भ

• जेम्स, रॉबर्ट क्लार्क; जेम्स, ग्लेन (1992). गणित शब्दकोश. p. 8. ISBN 9780412990410.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. अभिव्यक्ति.html "बीजगणतीय अभिव्यक्ति". MathWorld. {{cite web}}: Check |url= value (help)