स्थानत: समाकलनीय फलन: Difference between revisions

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गणित में, समष्टित: समाकलनीय फलन (जिसे कभी-कभी समष्टित: सारांशित फलन भी कहा जाता है)^[1] एक ऐसा फलन (गणित) है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फलन का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका फलन समष्टि $L p$ समष्टि के समान है रिक्त

समष्टि, किन्तु इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है सीमा अनंत पर): दूसरे शब्दों में, समष्टित: समाकलनीय फलन डोमेन सीमा पर इच्छानुसार तेजी से बढ़ सकते हैं, किन्तु अभी भी सामान्य समाकलनीय फलनों के समान ही प्रबंधनीय हैं।

परिभाषा

मानक परिभाषा

परिभाषा 1.^[2] मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में $Ω$ विवृत समुच्चय बनें $\mathbb {R} ^{n}$ और $\mathbb {C}$ लेब्सेग माप मापने योग्य फलन बनें। यदि $Ω$ पर $f$ इस प्रकार कि

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,

अर्थात इसका लेब्सग इंटीग्रल $Ω$ के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $K$ पर परिमित है,^[3] तब $f$ को समष्टित: इंटीग्रेबल कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) $L 1,loc (Ω)$ द्वारा दर्शाया जाता है :

L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},

जहां ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$ के फलन समुच्चय K पर f के प्रतिबंध को दर्शाता है।

समष्टित: समाकलनीय फलन की मौलिक परिभाषा में केवल सैद्धांतिक और टोपोलॉजिकल अवधारणाओं को मापना सम्मिलित है^[4] और इसे टोपोलॉजिकल माप समष्टि $(X, Σ, μ)$ पर समष्टि-मूल्यवान फलनों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है :^[5] चूँकि , चूँकि ऐसे फलन का सबसे सामान्य अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त समष्टि पर वितरण सिद्धांत के लिए है,^[2] इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण स्थितियों से संबंधित हैं।

एक वैकल्पिक परिभाषा

परिभाषा 2.^[6] मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में $Ω$ विवृत समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ . फिर फलन (गणित) $\mathbb {C}$ ऐसा है कि

\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,

प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए $φ \in C \infty c (Ω)$ को समष्टित: पूर्णांक कहा जाता है, और ऐसे फलनों के समुच्चय को $L 1,loc (Ω)$ कें द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ $C \infty c (Ω)$ सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय $\mathbb {R}$ को दर्शाता है समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ $Ω$ सम्मिलित है।

इस परिभाषा की जड़ें निकोलस बॉर्बकी स्कूल द्वारा विकसित टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि पर सतत रैखिक फलनात्मक की अवधारणा के आधार पर माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं:^[7] यह स्ट्रिचर्ट्ज़ (2003) और द्वारा भी अपनाया गया है। माज़्या & शापोशनिकोवा (2009, p. 34).^[8] यह "वितरण सिद्धांत" संबंधी परिभाषा मानक के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित लेम्मा प्रमेय सिद्ध करता है:

लेम्मा 1. दिया गया फलन $\mathbb {C}$ परिभाषा 1 के अनुसार समष्टित: समाकलनीय है यदि और केवल यदि यह परिभाषा 2 के अनुसार समष्टित: पूर्णीकृत है, अर्थात।

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).

लेम्मा 1 का प्रमाण

यदि भाग: मान लीजिए $φ \in C \infty c (Ω)$ एक परीक्षण फलन हो। यह अपने सर्वोच्च मानदंड $|| φ || \infty$ से चरम मूल्य प्रमेय है , मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन है, इसलिए इसे K कहते हैं।

\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty

द्वारा परिभाषा 1.

केवल यदि भाग: मान लीजिए $K$ विवृत समुच्चय $Ω$ का एक संहत उपसमुच्चय है। हम पहले परीक्षण फलन $φ K \in C \infty c (Ω)$ का निर्माण करेंगे जो K के संकेतक फ़ंक्शन $χ K$ को प्रमुखता देता है। $K$ और सीमा $\partialΩ$ के बीच सामान्य निर्धारित दूरी सख्ती से शून्य से अधिक है, अर्थात।

\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,

इसलिए वास्तविक संख्या $δ$ चुनना संभव है जैसे कि $Δ > 2 δ > 0$ (यदि $\partialΩ$ खाली समुच्चय है, तब $Δ = \infty$ लें). मान लीजिए कि $K δ$ और $K 2 δ$ क्रमशः K के बंद $δ$ -पड़ोस और $2 δ$ -पड़ोस को दर्शाते हैं। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं

K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.

अब फलन $\mathbb {R}$ को परिभाषित करने के लिए कनवल्शन का उपयोग करें‚

\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,

जहां $φ δ$ मानक सकारात्मक सममिति का उपयोग करके निर्मित एक मोलिफ़ायर है। स्पष्ट रूप से $φ K$ इस अर्थ में गैर-ऋणात्मक है कि $φ K \geq 0$ , असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन $K 2 δ$ में निहित है , विशेष रूप से यह परीक्षण फलन है। चूँकि सभी $x \in K$ के लिए $φ K (x) = 1$ हमारे पास वह $χ K \leq φ K$ . है।

मान लीजिए परिभाषा 2 के अनुसार $f$ एक समष्टित: समाकलनीय फलन बनें . तब

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .

चूँकि यह $Ω$ के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $K$ के लिए प्रयुक्त होता है, फ़ंक्शन $f$ परिभाषा 1 के अनुसार समष्टित: पूर्णांकित है। □

सामान्यीकरण: समष्टित: पी-अभिन्न फलन

परिभाषा 3.^[9] मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में $Ω$ विवृत समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ और $f : Ω \to$ $\mathbb {C}$ एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य फलन हो। यदि, $1 \leq p \leq +\infty$ के साथ दिए गए $p$ के लिए, $f$ संतुष्ट करता है

\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,

अर्थात, यह $Ω$ के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $K$ के लिए $L p (K)$ से संबंधित है, तो f को समष्टित: p-इंटीग्रेबल या p-समष्टित: इंटीग्रेबल भी कहा जाता है।^[9] ऐसे सभी फलनों का समुच्चय $L p,loc (Ω)$ द्वारा दर्शाया गया है:

L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.

एक वैकल्पिक परिभाषा, जो पूरी तरह से समष्टित: समाकलनीय फलनों के लिए दी गई परिभाषा के समान है, समष्टित: पी-पूर्णांक फलनों के लिए भी दी जा सकती है: यह इस खंड में दी गई परिभाषा के समतुल्य भी हो सकती है और सिद्ध भी हो सकती है।^[10] उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के अतिरिक्त, समष्टित: पी-अभिन्न फलन प्रत्येक पी के लिए समष्टित: पूर्णांक फलन का एक उपसमूह बनाते हैं जैसे कि $1 < p \leq +\infty$ .^[11]

संकेतन

विभिन्न ग्लिफ़ के अतिरिक्त जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है,^[12] समष्टित: समाकलनीय फलनों के समुच्चय के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं

$L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (होर्मेंडर 1990, p. 37), (स्ट्रिचर्ट्ज़ 2003, pp. 12–13) और (व्लादिमीरोव 2002, p. 3).
$L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) और Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44).
$L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ja 1985, p. 6) और (Maz'ya 2011, p. 2).

गुण

एल_p,loc सभी p ≥ 1 के लिए पूर्ण मीट्रिक समष्टि है

प्रमेय 1.^[13] $L p,loc$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:

d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),

जहां ${ω k} k \geq1$ ऐसे गैर खाली विवृत समुच्चयों का परिवार है

$ω k \subset\subset ω k +1$ , कारण है कि $ω k$ को कॉम्पैक्ट रूप से सम्मिलित किया गया है $ω k +1$ अर्थात यह समुच्चय है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के समुच्चय में सख्ती से सम्मिलित किया गया है।
$\cup k ω k = Ω$ .
$\scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}$ , के ∈ $\mathbb {N}$ सेमिनोर्म का अनुक्रमित परिवार है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

{\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).

सन्दर्भों में (गिल्बर्ग & ट्रूडिंगर 1998, p. 147), (माज़्या & पोबोर्ची 1997, p. 5), (माज़्या 1985, p. 6) और (माज़्या 2011, p. 2), यह प्रमेय बताया गया है किन्तु औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है:^[14] अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी सम्मिलित है, (मीस & वोग्ट 1997, p. 40) में पाया जाता है .

L_p सभी p ≥ 1 के लिए L_1,loc का एक उपसमष्टि है

प्रमेय 2. $L p (Ω)$ , $1 \leq p \leq +\infty$ से संबंधित प्रत्येक फलन $f$ जहां $Ω$ का विवृत उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ , समष्टित: समाकलनीय है।

प्रमाण । स्थिति $p = 1$ तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है कि $1 < p \leq +\infty$ . के एक सघन उपसमुच्चय K के विशिष्ट फलन $χ K$ पर विचार करें: फिर, $p \leq +\infty$ के लिए,

\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,

कहाँ

$q$ धनात्मक संख्या है जैसे कि $1/ p + 1/ q$ = $1$ किसी प्रदत्त के लिए $1 \leq p \leq +\infty$
$| K |$ कॉम्पैक्ट समुच्चय का लेबेस्ग माप है $K$

फिर $L p (Ω)$ से संबंधित किसी भी $f$ के लिए, होल्डर की असमानता से, गुणनफल(गणित) $fχ K$ समाकलनीय फलन है अर्थात $L 1 (Ω)$ संबंधित है और

{\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,

इसलिए

f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).

ध्यान दें कि चूँकि निम्नलिखित असमानता सत्य है

{\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,

प्रमेय केवल समष्टित: पी-अभिन्न फलनों के समष्टि से संबंधित फलनों $f$ के लिए भी सत्य है, इसलिए प्रमेय निम्नलिखित परिणाम का भी तात्पर्य करता है।

परिणाम 1. प्रत्येक फलन $f$ में $L_{p,loc}(\Omega )$ , $1<p\leq \infty$ , समष्टित: समाकलनीय है, i. इ। से संबंधित $L_{1,loc}(\Omega )$ .

नोट: यदि $\Omega$ का विवृत उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ वह भी परिबद्ध है, सीमा में मानक समावेशन होता है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है $L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ . किन्तु इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि $\Omega$ परिबद्ध नहीं है; सीमा यह अभी भी सच है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ किसी के लिए $p$ , किन्तु ऐसा नहीं $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ . इसे देखने के लिए, सामान्यतः फलन पर विचार किया जाता है $u(x)=1$ , जो इसमें है $L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ किन्तु अंदर नहीं $L_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ किसी भी परिमित के लिए $p$ .

L_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का समष्टि है

प्रमेय 3. फलन $f$ पूर्ण निरंतरता का घनत्व फलन (माप सिद्धांत) है उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि $f\in L_{1,loc}$ .

इस परिणाम का प्रमाण (श्वार्ट्ज 1998, p. 18) द्वारा चित्रित किया गया है। अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक समष्टित: पूर्णांकीय फलन एक बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय एक समष्टित: पूर्णांकीय फलन को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।^[15]

उदाहरण

वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थिर फलन 1 समष्टित: पूर्णांकीय है किन्तु विश्व स्तर पर पूर्णांकित नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, स्थिरांक (गणित), निरंतर फलन^[16] और पूर्णांकीय फलन समष्टित: समाकलनीय होते हैं।^[17]
फलनक्रम $f(x)=1/x$ x ∈ (0, 1) के लिए समष्टित: है किन्तु वैश्विक रूप से (0, 1) पर समाकलनीय नहीं है। यह समष्टित: समाकलनीय है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K ⊆ (0, 1) की 0 से धनात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाहरण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि समष्टित: समाकलनीय फलनों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
फलनक्रम

f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R}

समष्टित:

x = 0

समाकलनीय नहीं है : यह वास्तव में इस बिंदु के निकट समष्टित: पूर्णांकित है क्योंकि इसे सम्मिलित किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए,

1/ x \in L 1,loc

(

\mathbb {R}

\ 0):^[18] चूँकि , इस फलन को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है

\mathbb {R}

कॉची प्रमुख मूल्य के रूप में है।^[19]

पिछला उदाहरण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक फलन जो $Ω$ ⊊ $\mathbb {R}$ में समष्टित: समाकलनीय है संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें $\mathbb {R}$ वितरण के रूप में? उत्तर ऋणात्मक है, और प्रतिउदाहरण निम्नलिखित फलन द्वारा प्रदान किया गया है:

f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}

किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है

\mathbb {R}

.^[20]

निम्नलिखित उदाहरण , पिछले उदाहरण के समान, फलन से संबंधित है $L 1,loc$ ( $\mathbb {R}$ \ 0) जो अनियमित विलक्षणता वाले अवकल ऑपरेटरों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाहरण के रूप में फलन करता है:

f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}

जहां

k 1

और

k 2

समष्टि संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण

x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.

फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है

\mathbb {R}

, यदि

k 1

या

k 2

शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।^[21]

अनुप्रयोग

समष्टित: समाकलनीय फलन वितरण (गणित) में प्रमुख भूमिका निभाते हैं और वह फलन (गणित) और फलन समष्टि के विभिन्न वर्गों की परिभाषा में होते हैं, जैसे कि बाध्य भिन्नता। इसके अतिरिक्त, वह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में प्रत्येक माप के बिल्कुल निरंतर भाग को चिह्नित करके प्रकट होते हैं।

यह भी देखें

कॉम्पैक्ट समुच्चय
वितरण (गणित)
लेब्सग्यू का घनत्व प्रमेय
लेब्सेग विभेदन प्रमेय
लेब्सग इंटीग्रल
एलपी समष्टि

↑ According to Gel'fand & Shilov (1964, p. 3).
↑ ^2.0 ^2.1 See for example (Schwartz 1998, p. 18) and (Vladimirov 2002, p. 3).
↑ Another slight variant of this definition, chosen by Vladimirov (2002, p. 1), is to require only that $K ⋐ Ω$ (or, using the notation of Gilbarg & Trudinger (2001, p. 9), $K \subset\subset Ω$ ), meaning that $K$ is strictly included in $Ω$ i.e. it is a set having compact closure strictly included in the given ambient set.
↑ The notion of compactness must obviously be defined on the given abstract measure space.
↑ This is the approach developed for example by Cafiero (1959, pp. 285–342) and by Saks (1937, chapter I), without dealing explicitly with the locally integrable case.
↑ See for example (Strichartz 2003, pp. 12–13).
↑ This approach was praised by Schwartz (1998, pp. 16–17) who remarked also its usefulness, however using Definition 1 to define locally integrable functions.
↑ Be noted that Maz'ya and Shaposhnikova define explicitly only the "localized" version of the Sobolev space $W k, p (Ω)$ , nevertheless explicitly asserting that the same method is used to define localized versions of all other Banach spaces used in the cited book: in particular, $L p,loc (Ω)$ is introduced on page 44.
↑ ^9.0 ^9.1 See for example (Vladimirov 2002, p. 3) and (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4).
↑ As remarked in the previous section, this is the approach adopted by Maz'ya & Shaposhnikova (2009), without developing the elementary details.
↑ Precisely, they form a vector subspace of $L 1,loc (Ω)$ : see Corollary 1 to Theorem 2.
↑ See for example (Vladimirov 2002, p. 3), where a calligraphic ℒ is used.
↑ See (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5) for a statement of this results, and also the brief notes in (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2).
↑ Gilbarg & Trudinger (1998, p. 147) and Maz'ya & Poborchi (1997, p. 5) only sketch very briefly the method of proof, while in (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2) it is assumed as a known result, from which the subsequent development starts.
↑ According to Saks (1937, p. 36), "If $E$ is a set of finite measure, or, more generally the sum of a sequence of sets of finite measure ( $μ$ ), then, in order that an additive function of a set ( $𝔛$ ) on $E$ be absolutely continuous on $E$ , it is necessary and sufficient that this function of a set be the indefinite integral of some integrable function of a point of $E$ ". Assuming ( $μ$ ) to be the Lebesgue measure, the two statements can be seen to be equivalent.
↑ See for example (Hörmander 1990, p. 37).
↑ See (Strichartz 2003, p. 12).
↑ See (Schwartz 1998, p. 19).
↑ See (Vladimirov 2002, pp. 19–21).
↑ See (Vladimirov 2002, p. 21).
↑ For a brief discussion of this example, see (Schwartz 1998, pp. 131–132).

संदर्भ

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बाप्रत्येकी संबंध

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विनोग्रादोवा, I.A. (2001) [1994], "स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[1] According to Gel'fand & Shilov (1964, p. 3).

[ScVl-2] 2.0 ^2.1 See for example (Schwartz 1998, p. 18) and (Vladimirov 2002, p. 3).

[3] Another slight variant of this definition, chosen by Vladimirov (2002, p. 1), is to require only that $K ⋐ Ω$ (or, using the notation of Gilbarg & Trudinger (2001, p. 9), $K \subset\subset Ω$ ), meaning that $K$ is strictly included in $Ω$ i.e. it is a set having compact closure strictly included in the given ambient set.

[4] The notion of compactness must obviously be defined on the given abstract measure space.

[5] This is the approach developed for example by Cafiero (1959, pp. 285–342) and by Saks (1937, chapter I), without dealing explicitly with the locally integrable case.

[6] See for example (Strichartz 2003, pp. 12–13).

[7] This approach was praised by Schwartz (1998, pp. 16–17) who remarked also its usefulness, however using Definition 1 to define locally integrable functions.

[8] Be noted that Maz'ya and Shaposhnikova define explicitly only the "localized" version of the Sobolev space $W k, p (Ω)$ , nevertheless explicitly asserting that the same method is used to define localized versions of all other Banach spaces used in the cited book: in particular, $L p,loc (Ω)$ is introduced on page 44.

[Vlp3-9] 9.0 ^9.1 See for example (Vladimirov 2002, p. 3) and (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4).

[10] As remarked in the previous section, this is the approach adopted by Maz'ya & Shaposhnikova (2009), without developing the elementary details.

[11] Precisely, they form a vector subspace of $L 1,loc (Ω)$ : see Corollary 1 to Theorem 2.

[12] See for example (Vladimirov 2002, p. 3), where a calligraphic ℒ is used.

[13] See (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5) for a statement of this results, and also the brief notes in (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2).

[14] Gilbarg & Trudinger (1998, p. 147) and Maz'ya & Poborchi (1997, p. 5) only sketch very briefly the method of proof, while in (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2) it is assumed as a known result, from which the subsequent development starts.

[15] According to Saks (1937, p. 36), "If $E$ is a set of finite measure, or, more generally the sum of a sequence of sets of finite measure ( $μ$ ), then, in order that an additive function of a set ( $𝔛$ ) on $E$ be absolutely continuous on $E$ , it is necessary and sufficient that this function of a set be the indefinite integral of some integrable function of a point of $E$ ". Assuming ( $μ$ ) to be the Lebesgue measure, the two statements can be seen to be equivalent.

[16] See for example (Hörmander 1990, p. 37).

[17] See (Strichartz 2003, p. 12).

[18] See (Schwartz 1998, p. 19).

[19] See (Vladimirov 2002, pp. 19–21).

[20] See (Vladimirov 2002, p. 21).

[21] For a brief discussion of this example, see (Schwartz 1998, pp. 131–132).

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Contents

परिभाषा

मानक परिभाषा

एक वैकल्पिक परिभाषा

लेम्मा 1 का प्रमाण

सामान्यीकरण: समष्टित: पी-अभिन्न फलन

संकेतन

गुण

L_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का समष्टि है

उदाहरण

अनुप्रयोग

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

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-गणित में, '''स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन''' (कभी-कभी इसे स्थानीय रूप से सारांशित फ़ंक्शन भी कहा जाता है)<ref>According to {{harvtxt|Gel'fand|Shilov|1964|p=3}}.</ref> [[फ़ंक्शन (गणित)]] है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फ़ंक्शंस का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका [[कार्य स्थान]] Lp स्पेस के समान है{{math|''L''<sup>''p''</sup>}} रिक्त स्थान, लेकिन इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है तो अनंत पर): दूसरे शब्दों में, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य डोमेन सीमा पर मनमाने ढंग से तेजी से बढ़ सकते हैं, लेकिन अभी भी सामान्य एकीकृत कार्यों के समान ही प्रबंधनीय हैं।
+गणित में, '''समष्टित: समाकलनीय फलन''' (जिसे कभी-कभी '''समष्टित: सारांशित फलन''' भी कहा जाता है)<ref>According to {{harvtxt|Gel'fand|Shilov|1964|p=3}}.</ref> एक ऐसा [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फलन का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका [[कार्य स्थान|फलन समष्टि]] {{math|''L''<sup>''p''</sup>}} समष्टि के समान है रिक्त
+समष्टि, किन्तु इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है सीमा अनंत पर): दूसरे शब्दों में, समष्टित: समाकलनीय फलन डोमेन सीमा पर इच्छानुसार तेजी से बढ़ सकते हैं, किन्तु अभी भी सामान्य समाकलनीय फलनों के समान ही प्रबंधनीय हैं।
 == '''परिभाषा''' ==
 ===मानक परिभाषा===
-{{EquationRef|1|Definition 1}}.<ref name="ScVl">See for example {{Harv|Schwartz|1998|p=18}} and {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}}.</ref> होने देना {{math|Ω}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष में [[खुला सेट]] बनें <math>\mathbb{R}^n</math> और {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} [[लेब्सेग माप]] मापने योग्य फ़ंक्शन बनें। अगर {{math|''f''}} पर {{math|Ω}} इस प्रकार कि
+{{EquationRef|1|परिभाषा 1}}.<ref name="ScVl">See for example {{Harv|Schwartz|1998|p=18}} and {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}}.</ref> मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में {{math|Ω}} [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] बनें <math>\mathbb{R}^n</math> और {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} [[लेब्सेग माप]] मापने योग्य फलन बनें। यदि {{math|Ω}} पर {{math|''f''}} इस प्रकार कि
 :<math> \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty,</math>
-यानी इसका [[लेब्सग इंटीग्रल]] सभी [[कॉम्पैक्ट सेट]] पर सीमित है {{math|''K''}} का {{math|Ω}},<ref>Another slight variant of this definition, chosen by {{harvtxt|Vladimirov|2002|p=1}}, is to require only that {{math|''K'' ⋐ Ω}} (or, using the notation of {{harvtxt|Gilbarg|Trudinger|2001|p=9}}, {{math|''K'' ⊂⊂ Ω}}), meaning that {{math|''K''}} ''is strictly included in'' {{math|Ω}} i.e. it is a set having compact [[Closure (topology)|closure]] [[subset|strictly included]] in the given ambient set.</ref> तब {{math|''f''}} को स्थानीय रूप से एकीकृत कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}}:
+अर्थात इसका [[लेब्सग इंटीग्रल]] {{math|Ω}} के सभी [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय]] {{math|''K''}} पर परिमित है,<ref>Another slight variant of this definition, chosen by {{harvtxt|Vladimirov|2002|p=1}}, is to require only that {{math|''K'' ⋐ Ω}} (or, using the notation of {{harvtxt|Gilbarg|Trudinger|2001|p=9}}, {{math|''K'' ⊂⊂ Ω}}), meaning that {{math|''K''}} ''is strictly included in'' {{math|Ω}} i.e. it is a set having compact [[Closure (topology)|closure]] [[subset|strictly included]] in the given ambient set.</ref> तब {{math|''f''}} को समष्टित: इंटीग्रेबल कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}} द्वारा दर्शाया जाता है :
 :<math>L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)=\bigl\{f\colon \Omega\to\mathbb{C}\text{ measurable} : f|_K \in L_1(K)\ \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compact}\bigr\},</math>
-कहाँ <math display=inline>\left.f\right|_K</math> के कार्य के प्रतिबंध को दर्शाता है {{math|''f''}} सेट पर {{math|''K''}}.
+जहां<math display=inline>\left.f\right|_K</math> के फलन समुच्चय K पर f के प्रतिबंध को दर्शाता है।
-स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन की शास्त्रीय परिभाषा में केवल [[माप सिद्धांत]] और [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] शामिल है<ref>The notion of compactness must obviously be defined on the given abstract measure space.</ref> अवधारणाओं और टोपोलॉजिकल माप स्थान पर [[जटिल संख्या]] | जटिल-मूल्यवान कार्यों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है {{math|(''X'', Σ, ''μ'')}}:<ref>This is the approach developed for example by {{harvtxt|Cafiero|1959|pp=285–342}} and by {{harvtxt|Saks|1937|loc = chapter I}}, without dealing explicitly with the locally integrable case.</ref> हालाँकि, चूँकि ऐसे फ़ंक्शंस का सबसे आम अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर [[वितरण (गणित)]] के लिए है,<ref name="ScVl"/> इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण मामले से संबंधित हैं।
+समष्टित: समाकलनीय फलन की मौलिक परिभाषा में केवल [[माप सिद्धांत|सैद्धांतिक]] और [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] अवधारणाओं को मापना सम्मिलित है<ref>The notion of compactness must obviously be defined on the given abstract measure space.</ref> और इसे टोपोलॉजिकल माप समष्टि {{math|(''X'', Σ, ''μ'')}} पर समष्टि-मूल्यवान फलनों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है :<ref>This is the approach developed for example by {{harvtxt|Cafiero|1959|pp=285–342}} and by {{harvtxt|Saks|1937|loc = chapter I}}, without dealing explicitly with the locally integrable case.</ref> चूँकि , चूँकि ऐसे फलन का सबसे सामान्य अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त समष्टि पर [[वितरण (गणित)|वितरण सिद्धांत]] के लिए है,<ref name="ScVl"/> इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण स्थितियों से संबंधित हैं।
 ===एक वैकल्पिक परिभाषा===
-{{EquationRef|2|Definition 2}}.<ref>See for example {{Harv|Strichartz|2003|pp=12–13}}.</ref> होने देना {{math|Ω}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष में खुला सेट बनें <math>\mathbb{R}^n</math>. फिर फ़ंक्शन (गणित) {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} ऐसा है कि
+{{EquationRef|2|परिभाषा 2}}.<ref>See for example {{Harv|Strichartz|2003|pp=12–13}}.</ref> मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में {{math|Ω}} विवृत समुच्चय है <math>\mathbb{R}^n</math>. फिर फलन (गणित) {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} ऐसा है कि
 :<math> \int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty,</math>
-प्रत्येक परीक्षण फ़ंक्शन के लिए {{math|''φ'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} को स्थानीय रूप से एकीकृत कहा जाता है, और ऐसे कार्यों के सेट को इसके द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}}. यहाँ {{math|{{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय को दर्शाता है {{math|''φ'' : Ω → <math>\mathbb{R}</math>}} समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ शामिल है {{math|Ω}}.
+प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए {{math|''φ'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} को समष्टित: पूर्णांक कहा जाता है, और ऐसे फलनों के समुच्चय को {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}} कें द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ {{math|{{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय {{math|''φ'' : Ω → <math>\mathbb{R}</math>}} को दर्शाता है समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ {{math|Ω}} सम्मिलित है।
-इस परिभाषा की जड़ें माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं, जो [[निकोलस बॉर्बकी]] स्कूल द्वारा विकसित [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] पर सतत रैखिक कार्यात्मक सतत रैखिक कार्यात्मक की अवधारणा पर आधारित है:<ref>This approach was praised by {{harvtxt|Schwartz|1998|pp=16–17}} who remarked also its usefulness, however using {{EquationNote|1|Definition&nbsp;1}} to define locally integrable functions.</ref> यह वह भी है जिसे अपनाया गया है {{Harvtxt|स्ट्रिचर्ट्ज़|2003}} और तक {{Harvtxt|Maz'ya|Shaposhnikova|2009|p=34}}.<ref>Be noted that Maz'ya and Shaposhnikova define explicitly only the "localized" version of the [[Sobolev space]] {{math|''W''<sup>''k'',''p''</sup>(Ω)}}, nevertheless explicitly asserting that the same method is used to define localized versions of all other [[Banach space]]s used in the cited book: in particular,  {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>(Ω)}} is introduced on page 44.</ref> यह वितरण सिद्धांत संबंधी परिभाषा मानक परिभाषा के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध करता है:
+इस परिभाषा की जड़ें [[निकोलस बॉर्बकी]] स्कूल द्वारा विकसित [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि]] पर सतत रैखिक फलनात्मक की अवधारणा के आधार पर माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं:<ref>This approach was praised by {{harvtxt|Schwartz|1998|pp=16–17}} who remarked also its usefulness, however using {{EquationNote|1|Definition&nbsp;1}} to define locally integrable functions.</ref> यह {{Harvtxt|स्ट्रिचर्ट्ज़|2003}} और द्वारा भी अपनाया गया है। {{Harvtxt|माज़्या|शापोशनिकोवा|2009|p=34}}.<ref>Be noted that Maz'ya and Shaposhnikova define explicitly only the "localized" version of the [[Sobolev space]] {{math|''W''<sup>''k'',''p''</sup>(Ω)}}, nevertheless explicitly asserting that the same method is used to define localized versions of all other [[Banach space]]s used in the cited book: in particular,  {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>(Ω)}} is introduced on page 44.</ref> यह '''"वितरण सिद्धांत"''' संबंधी परिभाषा मानक के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित लेम्मा प्रमेय सिद्ध करता है:
-{{EquationRef|3|Lemma 1}}. दिया गया फ़ंक्शन {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}} यदि और केवल यदि यह स्थानीय रूप से एकीकृत है {{EquationNote|2|परिभाषा&nbsp;2}}, अर्थात।
+{{EquationRef|3|लेम्मा 1}}. दिया गया फलन {{math|''f'' : Ω → <math>\mathbb{C}</math>}} {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}} के अनुसार समष्टित: समाकलनीय है यदि और केवल यदि यह {{EquationNote|2|परिभाषा&nbsp;2}} के अनुसार समष्टित: पूर्णीकृत है, अर्थात।
 :<math> \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compact} \quad \Longleftrightarrow \quad
 \int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, \varphi \in C^\infty_{\mathrm{c}}(\Omega).</math>
-===का प्रमाण {{EquationNote|3|Lemma&nbsp;1}}===
+==={{EquationNote|3|लेम्मा&nbsp;1}} का प्रमाण ===
-यदि भाग: चलो {{math|''φ'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} परीक्षण फ़ंक्शन बनें। यह अपने सर्वोच्च मानदंड से [[चरम मूल्य प्रमेय]] है {{math|<nowiki>||</nowiki>''φ''<nowiki>||</nowiki><sub>∞</sub>}}, मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित)#कॉम्पैक्ट समर्थन है, आइए इसे कॉल करें {{math|''K''}}. इस तरह
+'''यदि भाग:''' मान लीजिए {{math|''φ'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} एक परीक्षण फलन हो। यह अपने सर्वोच्च मानदंड {{math|<nowiki>||</nowiki>''φ''<nowiki>||</nowiki><sub>∞</sub>}} से [[चरम मूल्य प्रमेय]] है , मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन है, इसलिए इसे K कहते हैं।
 :<math>\int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x = \int_K |f|\,|\varphi|\, \mathrm{d}x \le\|\varphi\|_\infty\int_K | f |\, \mathrm{d}x<\infty</math>
 द्वारा {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}}.
-केवल यदि भाग: चलो {{math|''K''}} खुले समुच्चय का संहत उपसमुच्चय बनें {{math|Ω}}. हम पहले परीक्षण फ़ंक्शन का निर्माण करेंगे {{math|''φ<sub>K</sub>'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} जो संकेतक फ़ंक्शन को प्रमुखता देता है {{math|''χ<sub>K</sub>''}} का {{math|''K''}}.
+'''केवल यदि भाग:''' मान लीजिए {{math|''K''}} विवृत समुच्चय {{math|Ω}} का एक संहत उपसमुच्चय है। हम पहले परीक्षण फलन {{math|''φ<sub>K</sub>'' ∈ {{SubSup|C|c|∞}}(Ω)}} का निर्माण करेंगे जो K के संकेतक फ़ंक्शन {{math|''χ<sub>K</sub>''}} को प्रमुखता देता है। {{math|''K''}} और सीमा {{math|∂Ω}} के बीच सामान्य निर्धारित दूरी सख्ती से शून्य से अधिक है, अर्थात।
-दूरी सेट के बीच और बिंदु और सेट के बीच की दूरी<ref>Not to be confused with the [[Hausdorff distance]].</ref> बीच में {{math|''K''}} और [[सीमा (टोपोलॉजी)]] {{math|∂Ω}} पूर्णतया शून्य से बड़ा है, अर्थात
 :<math>\Delta:=d(K,\partial\Omega)>0,</math>
-इसलिए [[वास्तविक संख्या]] चुनना संभव है {{math|''δ''}} ऐसा है कि {{math|Δ > 2''δ'' > 0}} (अगर {{math|∂Ω}} खाली सेट है, ले लो {{math|Δ {{=}} ∞}}). होने देना {{math|''K<sub>δ</sub>''}} और {{math|''K''<sub>2''δ''</sub>}} क्लोजर (टोपोलॉजी) सेट नेबरहुड का क्लोजर (गणित) मीट्रिक स्पेस में|{{math|''δ''}}-पड़ोस और {{math|2''δ''}}-का पड़ोस {{math|''K''}}, क्रमश। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं
+इसलिए [[वास्तविक संख्या]] {{math|''δ''}} चुनना संभव है जैसे कि {{math|Δ > 2''δ'' > 0}} (यदि {{math|∂Ω}} खाली समुच्चय है, तब {{math|Δ {{=}} ∞}} लें). मान लीजिए कि {{math|''K<sub>δ</sub>''}} और {{math|''K''<sub>2''δ''</sub>}} क्रमशः K के बंद {{math|''δ''}}-पड़ोस और {{math|2''δ''}}-पड़ोस को दर्शाते हैं। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं
 :<math>K\subset K_\delta\subset K_{2\delta}\subset\Omega,\qquad d(K_\delta,\partial\Omega)=\Delta-\delta>\delta>0.</math>
-अब फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए [[कनवल्शन]] का उपयोग करें {{math|''φ<sub>K</sub>'' : Ω → <math>\mathbb{R}</math>}} द्वारा
+अब फलन {{math|''φ<sub>K</sub>'' : Ω → <math>\mathbb{R}</math>}} को परिभाषित करने के लिए [[कनवल्शन]] का उपयोग करें‚
 :<math>\varphi_K(x)={\chi_{K_\delta}\ast\varphi_\delta(x)}=
 \int_{\mathbb{R}^n}\chi_{K_\delta}(y)\,\varphi_\delta(x-y)\,\mathrm{d}y,</math>
-कहाँ {{math|''φ<sub>δ</sub>''}} [[शांत करनेवाला]] है जिसका निर्माण मोलिफ़ायर#कंक्रीट उदाहरण का उपयोग करके किया गया है। ज़ाहिर तौर से {{math|''φ<sub>K</sub>''}} इस अर्थ में गैर-नकारात्मक है {{math|''φ<sub>K</sub>'' ≥ 0}}, असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन निहित है {{math|''K''<sub>2''δ''</sub>}}, विशेष रूप से यह परीक्षण फ़ंक्शन है। तब से {{math|''φ<sub>K</sub>''(''x'') {{=}} 1}} सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''K''}}, हमारे पास वह है {{math|''χ<sub>K</sub>'' ≤ ''φ<sub>K</sub>''}}.
+जहां {{math|''φ<sub>δ</sub>''}} मानक सकारात्मक सममिति का उपयोग करके निर्मित एक मोलिफ़ायर है। स्पष्ट रूप से {{math|''φ<sub>K</sub>''}} इस अर्थ में गैर-ऋणात्मक है कि {{math|''φ<sub>K</sub>'' ≥ 0}}, असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन {{math|''K''<sub>2''δ''</sub>}} में निहित है , विशेष रूप से यह परीक्षण फलन है। चूँकि सभी {{math|''x'' ∈ ''K''}} के लिए {{math|''φ<sub>K</sub>''(''x'') {{=}} 1}} हमारे पास वह {{math|''χ<sub>K</sub>'' ≤ ''φ<sub>K</sub>''}}. है।
-होने देना {{math|''f''}} के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन बनें {{EquationNote|2|परिभाषा&nbsp;2}}. तब
+मान लीजिए {{EquationNote|2|परिभाषा&nbsp;2}} के अनुसार {{math|''f''}} एक समष्टित: समाकलनीय फलन बनें . तब
 :<math>\int_K|f|\,\mathrm{d}x=\int_\Omega|f|\chi_K\,\mathrm{d}x
 \le\int_\Omega|f|\varphi_K\,\mathrm{d}x<\infty.
 </math>
-चूँकि यह प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के लिए लागू होता है {{math|''K''}} का {{math|Ω}}, कार्यक्रम {{math|''f''}} के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}}. □
+चूँकि यह {{math|Ω}} के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय {{math|''K''}} के लिए प्रयुक्त होता है, फ़ंक्शन {{math|''f''}} {{EquationNote|1|परिभाषा&nbsp;1}} के अनुसार समष्टित: पूर्णांकित है। □
-===सामान्यीकरण: स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य===
+===सामान्यीकरण: समष्टित: पी-अभिन्न फलन===
-{{EquationRef|4|Definition 3}}.<ref name="Vlp3">See for example {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}} and {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=4}}.</ref> होने देना {{math|Ω}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष में खुला सेट बनें <math>\mathbb{R}^n</math> और {{math|''f'' : Ω → }}<math>\mathbb{C}</math> लेबेस्ग्यू मापने योग्य फ़ंक्शन बनें। यदि, किसी दिए गए के लिए {{math|''p''}} साथ {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}}, {{math|''f''}} संतुष्ट करता है
+{{EquationRef|4|परिभाषा 3}}.<ref name="Vlp3">See for example {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}} and {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=4}}.</ref> मान लीजिए कि यूक्लिडियन समष्टि में {{math|Ω}} विवृत समुच्चय है <math>\mathbb{R}^n</math> और {{math|''f'' : Ω → }}<math>\mathbb{C}</math> एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य फलन हो। यदि, {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}} के साथ दिए गए {{math|''p''}} के लिए, {{math|''f''}} संतुष्ट करता है
 :<math> \int_K | f|^p \,\mathrm{d}x <+\infty,</math>
-यानी, यह का है {{math|[[Lp space|''L''<sub>''p''</sub>(''K'')]]}} सभी कॉम्पैक्ट सेट के लिए {{math|''K''}} का {{math|Ω}}, तब {{math|''f''}} को स्थानीय रूप से कहा जाता है {{math|''p''}}-अभिन्न या भी {{math|''p''}}-स्थानीय रूप से एकीकृत।<ref name="Vlp3"/> ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>(Ω)}}:
+अर्थात, यह {{math|Ω}} के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय {{math|''K''}} के लिए {{math|[[Lp space|''L''<sub>''p''</sub>(''K'')]]}} से संबंधित है, तो f को समष्टित: p-इंटीग्रेबल या p-समष्टित: इंटीग्रेबल भी कहा जाता है।<ref name="Vlp3"/> ऐसे सभी फलनों का समुच्चय {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>(Ω)}} द्वारा दर्शाया गया है:
 :<math>L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C}\text{ measurable }\left|\ f|_K \in L_p(K),\ \forall\, K \subset \Omega, K \text{ compact}\right.\right\}.</math>
-स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के लिए दी गई वैकल्पिक परिभाषा, पूरी तरह से अनुरूप, स्थानीय रूप से भी दी जा सकती है {{math|''p''}}-अभिन्न कार्य: यह इस खंड के समतुल्य भी हो सकता है और सिद्ध भी हो सकता है।<ref>As remarked in the previous section, this is the approach adopted by {{harvtxt|Maz'ya|Shaposhnikova|2009}}, without developing the elementary details.</ref> स्थानीय स्तर पर उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के बावजूद {{math|''p''}}-अभिन्न कार्य प्रत्येक के लिए स्थानीय रूप से पूर्ण करने योग्य कार्यों का उपसमूह बनाते हैं {{math|''p''}} ऐसा है कि {{math|1 < ''p'' ≤ +∞}}.<ref>Precisely, they form a [[vector subspace]] of {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}}: see {{EquationNote|7|Corollary&nbsp;1}} to {{EquationNote|6|Theorem&nbsp;2}}.</ref>
+एक वैकल्पिक परिभाषा, जो पूरी तरह से समष्टित: समाकलनीय फलनों के लिए दी गई परिभाषा के समान है, समष्टित: पी-पूर्णांक फलनों के लिए भी दी जा सकती है: यह इस खंड में दी गई परिभाषा के समतुल्य भी हो सकती है और सिद्ध भी हो सकती है।<ref>As remarked in the previous section, this is the approach adopted by {{harvtxt|Maz'ya|Shaposhnikova|2009}}, without developing the elementary details.</ref> उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के अतिरिक्त, समष्टित: पी-अभिन्न फलन प्रत्येक पी के लिए समष्टित: पूर्णांक फलन का एक उपसमूह बनाते हैं जैसे कि {{math|1 < ''p'' ≤ +∞}}.<ref>Precisely, they form a [[vector subspace]] of {{math|''L''<sub>1,loc</sub>(Ω)}}: see {{EquationNote|7|Corollary&nbsp;1}} to {{EquationNote|6|Theorem&nbsp;2}}.</ref>
 === संकेतन ===
-विभिन्न [[ग्लिफ़]] के अलावा जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है,<ref>See for example {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}}, where a calligraphic '''ℒ''' is used.</ref> स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के सेट के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं
+विभिन्न [[ग्लिफ़]] के अतिरिक्त जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है,<ref>See for example {{Harv|Vladimirov|2002|p=3}}, where a calligraphic '''ℒ''' is used.</ref> समष्टित: समाकलनीय फलनों के समुच्चय के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं
 *<math>L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega),</math> के द्वारा ग्रहण किया गया {{harv|होर्मेंडर|1990|p=37}}, {{Harv|स्ट्रिचर्ट्ज़|2003|pp=12–13}} और {{Harv|व्लादिमीरोव|2002|p=3}}.
 *<math>L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega),</math> के द्वारा ग्रहण किया गया {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=4}} और {{Harvtxt|Maz'ya|Shaposhnikova|2009|p=44}}.
@@ Line 69: / Line 69: @@
 == '''गुण''' ==
-===एल<sub>''p'',loc</sub> सभी p ≥ 1=== के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान है
+'''एल<sub>''p'',loc</sub> सभी p ≥ 1 के लिए पूर्ण मीट्रिक समष्टि है'''
-{{EquationRef|5|Theorem 1}}.<ref>See {{harv|Gilbarg|Trudinger|1998|p=147}}, {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}} for a statement of this results, and also the brief notes in {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} and {{harv|Maz'ya|2011|p=2}}.</ref> {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>}} [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:
+{{EquationRef|5|प्रमेय 1}}.<ref>See {{harv|Gilbarg|Trudinger|1998|p=147}}, {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}} for a statement of this results, and also the brief notes in {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} and {{harv|Maz'ya|2011|p=2}}.</ref> {{math|''L''<sub>''p'',loc</sub>}} एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समष्टि]] है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:
 :<math>d(u,v)=\sum_{k\geq 1}\frac{1}{2^k}\frac{\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}{1+\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}\qquad u, v\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega),</math>
-कहाँ {{math|{''ω''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''≥1</sub>}} ऐसे गैर खाली खुले सेटों का परिवार है
+जहां{{math|{''ω''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''≥1</sub>}} ऐसे गैर खाली विवृत समुच्चयों का परिवार है
-* {{math|''ω''<sub>''k''</sub> ⊂⊂ ''ω''<sub>''k''+1</sub>}}, मतलब है कि {{math|''ω''<sub>''k''</sub>}} को कॉम्पैक्ट रूप से शामिल किया गया है {{math|''ω''<sub>''k''+1</sub>}} यानी यह सेट है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के सेट में सख्ती से शामिल किया गया है।
+* {{math|''ω''<sub>''k''</sub> ⊂⊂ ''ω''<sub>''k''+1</sub>}}, कारण है कि {{math|''ω''<sub>''k''</sub>}} को कॉम्पैक्ट रूप से सम्मिलित किया गया है {{math|''ω''<sub>''k''+1</sub>}} अर्थात यह समुच्चय है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के समुच्चय में सख्ती से सम्मिलित किया गया है।
 * {{math|∪<sub>''k''</sub>''ω''<sub>''k''</sub> {{=}} Ω}}.
 * <math>\scriptstyle{\Vert\cdot\Vert_{p,\omega_k}}\to\mathbb{R}^+</math>, के ∈ <math>\mathbb{N}</math> [[सेमिनोर्म]] का [[अनुक्रमित परिवार]] है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 ::<math> {\Vert u \Vert_{p,\omega_k}} = \left (\int_{\omega_k} | u(x)|^p \,\mathrm{d}x\right)^{1/p}\qquad\forall\, u\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega).</math>
-सन्दर्भों में {{harv|गिल्बर्ग|ट्रूडिंगर|1998|p=147}}, {{harv|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}}, {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} और {{harv|Maz'ya|2011|p=2}}, यह प्रमेय बताया गया है लेकिन औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है:<ref>{{harvtxt|Gilbarg|Trudinger|1998|p=147}} and {{harvtxt|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}} only sketch very briefly the method of proof, while in {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} and {{harv|Maz'ya|2011|p=2}} it is assumed as a known result, from which the subsequent development starts.</ref> अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी शामिल है, पाया जाता है {{harv|मीस|वोग्ट|1997|p=40}}.
+सन्दर्भों में {{harv|गिल्बर्ग|ट्रूडिंगर|1998|p=147}}, {{harv|माज़्या|पोबोर्ची|1997|p=5}}, {{harv|माज़्या|1985|p=6}} और {{harv|माज़्या|2011|p=2}}, यह प्रमेय बताया गया है किन्तु औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है:<ref>{{harvtxt|Gilbarg|Trudinger|1998|p=147}} and {{harvtxt|Maz'ya|Poborchi|1997|p=5}} only sketch very briefly the method of proof, while in {{harv|Maz'ja|1985|p=6}} and {{harv|Maz'ya|2011|p=2}} it is assumed as a known result, from which the subsequent development starts.</ref> अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी सम्मिलित है, {{harv|मीस|वोग्ट|1997|p=40}} में पाया जाता है .
-===एल<sub>''p''</sub> L का उपस्थान है<sub>1,loc</sub> सभी p ≥ 1=== के लिए
+'''''L<sub>p</sub>'' सभी p ≥ 1 के लिए ''L''<sub>1,loc</sub> का एक उपसमष्टि है'''
-{{EquationRef|6|Theorem 2}}. हर समारोह {{math|''f''}} से संबंधित {{math|''L''<sub>''p''</sub>(Ω)}}, {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}}, कहाँ {{math|Ω}} का [[खुला उपसमुच्चय]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, स्थानीय रूप से एकीकृत है।
+{{EquationRef|6|प्रमेय 2}}. {{math|''L''<sub>''p''</sub>(Ω)}}, {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}} से संबंधित प्रत्येक फलन {{math|''f''}} जहां {{math|Ω}} का [[खुला उपसमुच्चय|विवृत उपसमुच्चय]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, समष्टित: समाकलनीय है।
-सबूत। मामला {{math|''p'' {{=}} 1}} तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है {{math|1 < ''p'' ≤ +∞}}. संकेतक फ़ंक्शन पर विचार करें {{math|''χ''<sub>''K''</sub>}} सघन उपसमुच्चय का {{math|''K''}} का {{math|Ω}}: फिर, के लिए {{math|''p'' ≤ +∞}},
+प्रमाण । स्थिति {{math|''p'' {{=}} 1}} तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है कि {{math|1 < ''p'' ≤ +∞}}. के एक सघन उपसमुच्चय K के विशिष्ट फलन {{math|''χ''<sub>''K''</sub>}} पर विचार करें: फिर, {{math|''p'' ≤ +∞}} के लिए,
 :<math>\left|{\int_\Omega|\chi_K|^q\,\mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty,</math>
 कहाँ
 *{{math|''q''}} धनात्मक संख्या है जैसे कि {{math|1/''p'' + 1/''q''}} = {{math|1}} किसी प्रदत्त के लिए {{math|1 ≤ ''p'' ≤ +∞}}
-*{{math|<nowiki>|</nowiki>''K''<nowiki>|</nowiki>}} कॉम्पैक्ट सेट का लेबेस्ग माप है {{math|''K''}}
+*{{math|<nowiki>|</nowiki>''K''<nowiki>|</nowiki>}} कॉम्पैक्ट समुच्चय का लेबेस्ग माप है {{math|''K''}}
-फिर किसी के लिए {{math|''f''}} से संबंधित {{math|''L''<sub>''p''</sub>(Ω)}}, होल्डर की असमानता से, [[उत्पाद (गणित)]] {{math|''fχ''<sub>''K''</sub>}} [[एकीकृत कार्य]] है यानी संबंधित है {{math|''L''<sub>1</sub>(Ω)}} और
+फिर {{math|''L''<sub>''p''</sub>(Ω)}} से संबंधित किसी भी {{math|''f''}} के लिए, होल्डर की असमानता से, [[उत्पाद (गणित)|गुणनफल(गणित)]] {{math|''fχ''<sub>''K''</sub>}} [[एकीकृत कार्य|समाकलनीय फलन]] है अर्थात {{math|''L''<sub>1</sub>(Ω)}} संबंधित है और
 :<math>{\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_\Omega|f|^p\,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f\|_p|K|^{1/q}<+\infty,</math>
@@ Line 99: / Line 99: @@
 :<math>{\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_K|f|^p \,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f \chi_K\|_p|K|^{1/q}<+\infty,</math>
-प्रमेय कार्यों के लिए भी सत्य है {{math|''f''}} केवल स्थानीय स्तर के स्थान से संबंधित {{math|''p''}}-अभिन्न कार्य, इसलिए प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित परिणाम से भी है।
+प्रमेय केवल समष्टित: पी-अभिन्न फलनों के समष्टि से संबंधित फलनों {{math|''f''}} के लिए भी सत्य है, इसलिए प्रमेय निम्नलिखित परिणाम का भी तात्पर्य करता है।
-{{EquationRef|7|परिणाम 1}}. हर समारोह <math> f </math> में <math>L_{p,loc}(\Omega)</math>, <math> 1<p\leq\infty </math>, स्थानीय रूप से एकीकृत है, i. इ। से संबंधित <math> L_{1,loc}(\Omega) </math>.
+{{EquationRef|7|परिणाम 1}}. प्रत्येक फलन <math> f </math> में <math>L_{p,loc}(\Omega)</math>, <math> 1<p\leq\infty </math>, समष्टित: समाकलनीय है, i. इ। से संबंधित <math> L_{1,loc}(\Omega) </math>.
-नोट: यदि <math> \Omega </math> का खुला उपसमुच्चय है <math> \mathbb{R}^n</math> वह भी परिबद्ध है, तो में मानक समावेशन होता है <math> L_p(\Omega) \subset L_1(\Omega)</math> जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है <math> L_1(\Omega)\subset L_{1,loc}(\Omega)</math>. लेकिन इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि <math> \Omega </math> परिबद्ध नहीं है; तो यह अभी भी सच है <math> L_p(\Omega) \subset L_{1,loc}(\Omega)</math> किसी के लिए <math>p</math>, लेकिन ऐसा नहीं <math> L_p(\Omega)\subset L_1(\Omega) </math>. इसे देखने के लिए, आमतौर पर फ़ंक्शन पर विचार किया जाता है <math> u(x)=1 </math>, जो इसमें है <math> L_{\infty}(\mathbb{R}^n) </math> लेकिन अंदर नहीं <math> L_p(\mathbb{R}^n)</math> किसी भी परिमित के लिए <math>p</math>.
+नोट: यदि <math> \Omega </math> का विवृत उपसमुच्चय है <math> \mathbb{R}^n</math> वह भी परिबद्ध है, सीमा में मानक समावेशन होता है <math> L_p(\Omega) \subset L_1(\Omega)</math> जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है <math> L_1(\Omega)\subset L_{1,loc}(\Omega)</math>. किन्तु इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि <math> \Omega </math> परिबद्ध नहीं है; सीमा यह अभी भी सच है <math> L_p(\Omega) \subset L_{1,loc}(\Omega)</math> किसी के लिए <math>p</math>, किन्तु ऐसा नहीं <math> L_p(\Omega)\subset L_1(\Omega) </math>. इसे देखने के लिए, सामान्यतः फलन पर विचार किया जाता है <math> u(x)=1 </math>, जो इसमें है <math> L_{\infty}(\mathbb{R}^n) </math> किन्तु अंदर नहीं <math> L_p(\mathbb{R}^n)</math> किसी भी परिमित के लिए <math>p</math>.
-=== एल<sub>1,loc</sub> बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है ===
+=== L<sub>1,loc</sub> बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का समष्टि है ===
-{{EquationRef|7|प्रमेय 3}}. समारोह {{math|''f''}} पूर्ण निरंतरता का घनत्व फ़ंक्शन (माप सिद्धांत) है  उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि <math> f\in L_{1,loc}</math>.
+{{EquationRef|7|प्रमेय 3}}. फलन {{math|''f''}} पूर्ण निरंतरता का घनत्व फलन (माप सिद्धांत) है उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि <math> f\in L_{1,loc}</math>.
-इस परिणाम का प्रमाण रेखाचित्र द्वारा दिया गया है {{harv|श्वार्ट्ज|1998|p=18}}. अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय फ़ंक्शन बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय स्थानीय रूप से पूर्णांकीय फ़ंक्शन को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।<ref>According to {{harvtxt|Saks|1937|p=36}}, "''If {{math|E}} is a set of finite measure, or, more generally the sum of a sequence of sets of finite measure ''(''{{math|μ}}'')'', then, in order that an additive function of a set ''({{math|𝔛}})'' on {{math|E}} be absolutely continuous on {{math|E}}, it is necessary and sufficient that this function of a set be the indefinite integral of some integrable function of a point of {{math|E}}''". Assuming ({{math|''μ''}}) to be the Lebesgue measure, the two statements can be seen to be equivalent.</ref>
+इस परिणाम का प्रमाण {{harv|श्वार्ट्ज|1998|p=18}} द्वारा चित्रित किया गया है। अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक समष्टित: पूर्णांकीय फलन एक बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय एक समष्टित: पूर्णांकीय फलन को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।<ref>According to {{harvtxt|Saks|1937|p=36}}, "''If {{math|E}} is a set of finite measure, or, more generally the sum of a sequence of sets of finite measure ''(''{{math|μ}}'')'', then, in order that an additive function of a set ''({{math|𝔛}})'' on {{math|E}} be absolutely continuous on {{math|E}}, it is necessary and sufficient that this function of a set be the indefinite integral of some integrable function of a point of {{math|E}}''". Assuming ({{math|''μ''}}) to be the Lebesgue measure, the two statements can be seen to be equivalent.</ref>
 =='''उदाहरण'''==
-*निरंतर कार्य {{math|1}} वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थानीय रूप से एकीकृत है लेकिन विश्व स्तर पर एकीकृत नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, [[स्थिरांक (गणित)]], निरंतर कार्य<ref>See for example {{harv|Hörmander|1990|p=37}}.</ref> और एकीकृत कार्य स्थानीय रूप से एकीकृत होते हैं।<ref>See {{harv|Strichartz|2003|p=12}}.</ref>
+*वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थिर फलन 1 समष्टित: पूर्णांकीय है किन्तु विश्व स्तर पर पूर्णांकित नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, [[स्थिरांक (गणित)]], निरंतर फलन<ref>See for example {{harv|Hörmander|1990|p=37}}.</ref> और पूर्णांकीय फलन समष्टित: समाकलनीय होते हैं।<ref>See {{harv|Strichartz|2003|p=12}}.</ref>
-*कार्यक्रम <math>f(x) = 1/x</math> x ∈ (0, 1) के लिए स्थानीय रूप से है लेकिन वैश्विक रूप से (0, 1) पर एकीकृत नहीं है। यह स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट सेट K ⊆ (0, 1) की 0 से सकारात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाहरण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
+*फलनक्रम <math>f(x) = 1/x</math> x ∈ (0, 1) के लिए समष्टित: है किन्तु वैश्विक रूप से (0, 1) पर समाकलनीय नहीं है। यह समष्टित: समाकलनीय है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K ⊆ (0, 1) की 0 से धनात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाहरण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि समष्टित: समाकलनीय फलनों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
-* कार्यक्रम
+* फलनक्रम
 ::<math>
@@ Line 122: / Line 122: @@
 \end{cases} \quad x \in \mathbb R
 </math>
-: स्थानीय रूप से एकीकृत नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}: यह वास्तव में इस बिंदु के निकट स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि इसे शामिल किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट सेट पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, {{math|1/''x'' ∈ ''L''<sub>1,loc</sub>}}(<math>\mathbb{R}</math> \ 0):<ref>See {{harv|Schwartz|1998|p=19}}.</ref> हालाँकि, इस फ़ंक्शन को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है <math>\mathbb{R}</math> [[कॉची प्रमुख मूल्य]] के रूप में।<ref>See {{Harv|Vladimirov|2002|pp=19–21}}.</ref>
+: समष्टित: {{math|''x'' {{=}} 0}} समाकलनीय नहीं है : यह वास्तव में इस बिंदु के निकट समष्टित: पूर्णांकित है क्योंकि इसे सम्मिलित किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, {{math|1/''x'' ∈ ''L''<sub>1,loc</sub>}}(<math>\mathbb{R}</math> \ 0):<ref>See {{harv|Schwartz|1998|p=19}}.</ref> चूँकि , इस फलन को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है <math>\mathbb{R}</math> [[कॉची प्रमुख मूल्य]] के रूप में है।<ref>See {{Harv|Vladimirov|2002|pp=19–21}}.</ref>
-* पिछला उदाहरण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक फ़ंक्शन जो स्थानीय रूप से एकीकृत है {{math|Ω}} ⊊ <math>\mathbb{R}</math> संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें <math>\mathbb{R}</math> वितरण के रूप में? उत्तर नकारात्मक है, और प्रतिउदाहरण निम्नलिखित फ़ंक्शन द्वारा प्रदान किया गया है:
+* पिछला उदाहरण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक फलन जो {{math|Ω}} ⊊ <math>\mathbb{R}</math> में समष्टित: समाकलनीय है संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें <math>\mathbb{R}</math> वितरण के रूप में? उत्तर ऋणात्मक है, और प्रतिउदाहरण निम्नलिखित फलन द्वारा प्रदान किया गया है:
 :: <math>
 f(x)=
@@ Line 132: / Line 132: @@
 </math>
 : किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है <math>\mathbb{R}</math>.<ref>See {{Harv|Vladimirov|2002|p=21}}.</ref>
-:* निम्नलिखित उदाहरण, पिछले उदाहरण के समान, फ़ंक्शन से संबंधित है {{math|''L''<sub>1,loc</sub>}}(<math>\mathbb{R}</math>\ 0) जो [[अनियमित विलक्षणता]] वाले [[विभेदक ऑपरेटर]]ों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाहरण के रूप में कार्य करता है:
+:* निम्नलिखित उदाहरण , पिछले उदाहरण के समान, फलन से संबंधित है {{math|''L''<sub>1,loc</sub>}}(<math>\mathbb{R}</math>\ 0) जो [[अनियमित विलक्षणता]] वाले [[विभेदक ऑपरेटर|अवकल ऑपरेटरों]] के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाहरण के रूप में फलन करता है:
 :: <math>
 f(x)=
@@ Line 141: / Line 141: @@
 \end{cases}
 </math>
-:कहाँ {{math|''k''<sub>1</sub>}} और {{math|''k''<sub>2</sub>}} जटिल संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण
+:जहां {{math|''k''<sub>1</sub>}} और {{math|''k''<sub>2</sub>}} समष्टि संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण
 ::<math>x^3\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+2f=0.</math>
-:फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है <math>\mathbb{R}</math>, अगर {{math|''k''<sub>1</sub>}} या {{math|''k''<sub>2</sub>}} शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।<ref>For a brief discussion of this example, see {{harv|Schwartz|1998|pp=131–132}}.</ref>
+:फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है <math>\mathbb{R}</math>, यदि {{math|''k''<sub>1</sub>}} या {{math|''k''<sub>2</sub>}} शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।<ref>For a brief discussion of this example, see {{harv|Schwartz|1998|pp=131–132}}.</ref>
 == '''अनुप्रयोग''' ==
-स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन वितरण (गणित) में प्रमुख भूमिका निभाते हैं और वे फ़ंक्शन (गणित) और फ़ंक्शन स्पेस के विभिन्न वर्गों की परिभाषा में होते हैं, जैसे कि बाध्य भिन्नता। इसके अलावा, वे रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में प्रत्येक माप के बिल्कुल निरंतर भाग को चिह्नित करके प्रकट होते हैं।
+समष्टित: समाकलनीय फलन वितरण (गणित) में प्रमुख भूमिका निभाते हैं और वह फलन (गणित) और फलन समष्टि के विभिन्न वर्गों की परिभाषा में होते हैं, जैसे कि बाध्य भिन्नता। इसके अतिरिक्त, वह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में प्रत्येक माप के बिल्कुल निरंतर भाग को चिह्नित करके प्रकट होते हैं।
 == '''यह भी देखें''' ==
-*कॉम्पैक्ट सेट
+*कॉम्पैक्ट समुच्चय
 *वितरण (गणित)
 *लेब्सग्यू का घनत्व प्रमेय
 *लेब्सेग विभेदन प्रमेय
 *लेब्सग इंटीग्रल
-*[[एलपी स्पेस]]
+*[[एलपी स्पेस|एलपी समष्टि]]
 =='''टिप्पणियाँ'''==
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 | zbl = 0171.01503
 | language = यह
-}}. माप और एकीकरण (जैसा कि शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद पढ़ता है) एकीकरण और माप सिद्धांत पर एक निश्चित मोनोग्राफ है: माप-संबंधित संरचनाओं (मापने योग्य कार्य, [[मापने योग्य सेट]], माप) के विभिन्न प्रकार के [[अनुक्रमों]] के अभिन्न अंग के सीमित व्यवहार का उपचार और उनका संयोजन) कुछ हद तक निर्णायक है।
+}}. माप और एकीकरण (जैसा कि शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद पढ़ता है) एकीकरण और माप सिद्धांत पर एक निश्चित मोनोग्राफ है: माप-संबंधित संरचनाओं (मापने योग्य फलन, [[मापने योग्य सेट|मापने योग्य समुच्चय]], माप) के विभिन्न प्रकार के [[अनुक्रमों]] के अभिन्न अंग के सीमित व्यवहार का उपचार और उनका संयोजन) कुछ सीमा तक निर्णायक है।
 *{{Citation
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   | isbn = 978-0-12-279501-5
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-  | zbl = 0115.33101}}. यूजीन सालेतन द्वारा मूल 1958 के रूसी संस्करण से अनुवादित, यह [[सामान्यीकृत कार्यों]] के सिद्धांत पर एक महत्वपूर्ण मोनोग्राफ है, जो वितरण और विश्लेषणात्मक कार्यात्मकता दोनों से संबंधित है।
+  | zbl = 0115.33101}}. यूजीन सालेतन द्वारा मूल 1958 के रूसी संस्करण से अनुवादित, यह [[सामान्यीकृत कार्यों|सामान्यीकृत फलनों]] के सिद्धांत पर एक महत्वपूर्ण मोनोग्राफ है, जो वितरण और विश्लेषणात्मक फलनात्मकता दोनों से संबंधित है।
 *{{Citation
   | last1 = गिल्बर्ग
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 }}.
 *{{Citation
-| last = Saks
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-| first = Stanisław
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-| title = Theory of the Integral
+| title = अभिन्नता का सिद्धांत
-| place = [[Warszawa]]-[[Lwów]]
+| place = [[वारसज़ावा]]-[[ल्वो]]
-| publisher = G.E. Stechert & Co.
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-| series = [[Monografie Matematyczne]]
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 | jfm = 63.0183.05
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-| zbl = 0017.30004}}. English translation by [[Laurence Chisholm Young]], with two additional notes by [[Stefan Banach]]: the [[Mathematical Reviews]] number refers to the [[Dover Publications]] 1964 edition, which is basically a reprint.
+| zbl = 0017.30004}}. [[लॉरेंस चिशोल्म यंग]] द्वारा अंग्रेजी अनुवाद, [[स्टीफन बानाच]] द्वारा दो अतिरिक्त नोट्स के साथ: [[गणितीय समीक्षा]] संख्या [[डोवर प्रकाशन]] 1964 संस्करण को संदर्भित करती है, जो मूल रूप से एक पुनर्मुद्रण है।
 *{{Citation
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 *{{Citation
-| last = Strichartz
+| last = स्ट्रिचर्ट्ज़
-| first = Robert S.
+| first = रॉबर्ट एस.
-| title = A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms
+| title = वितरण सिद्धांत और फूरियर रूपांतरण के लिए एक गाइड
-| place = [[River Edge, NJ]]
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-| publisher = [[World Scientific|World Scientific Publishers]]
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 *{{Citation
-| last = Vladimirov
+| last = व्लादिमीरोव
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-| author-link = Vasilii Sergeevich Vladimirov
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 | zbl = 1078.46029
 | isbn = 0-415-27356-0}}. A monograph on the theory of [[generalized function]]s written with an eye towards their applications to [[several complex variables]] and [[mathematical physics]], as is customary for the Author.
-== '''बाहरी संबंध''' ==
+== '''बाप्रत्येकी संबंध''' ==
 *{{MathWorld |title=स्थानीय रूप से एकीकृत|author=रोलैंड, टॉड|urlname=स्थानीय रूप से एकीकृत}}
 *{{springer
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   }}
-{{PlanetMath attribution|id=4430|title=स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य}}
 [[Category: माप सिद्धांत]] [[Category: समाकलन गणित]] [[Category: कार्यों के प्रकार]] [[Category: एल.पी. स्थान]]
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Latest revision as of 07:25, 23 September 2023

परिभाषा

मानक परिभाषा

एक वैकल्पिक परिभाषा

लेम्मा 1 का प्रमाण

सामान्यीकरण: समष्टित: पी-अभिन्न फलन

संकेतन

गुण

L1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का समष्टि है

उदाहरण

अनुप्रयोग

यह भी देखें

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संदर्भ

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L_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का समष्टि है