विभेदक वक्र: Difference between revisions

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{{short description|Study of curves from a differential point of view}}
{{short description|Study of curves from a differential point of view}}
{{About|curves in Euclidean space|curves in an arbitrary topological space|Curve}}
{{About|यूक्लिडियन क्षेत्र में वक्र|एकपक्षीय टोपोलॉजिकल दूरी में वक्र|वक्र}}
डिफरेंशियल ज्योमेट्री ऑफ कर्व्स, ज्योमेट्री की वह शाखा है जो डिफरेंशियल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस के तरीकों से यूक्लिडियन प्लेन और यूक्लिडियन स्पेस में स्मूथनेस (गणित) कर्व्स से संबंधित है।
[[वक्र]] की विभेदक [[ज्यामिति]], ज्यामिति की वह शाखा है जो [[अंतर कलन]] और [[अभिन्न|समाकलन]] के तरीकों से [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन समतल]] और यूक्लिडियन दूरी(गणित) तथा वक्रों से संबंधित है।


सिंथेटिक ज्यामिति का उपयोग करके वक्रों की कई सूची की गहन जांच की गई है। डिफरेंशियल ज्योमेट्री एक और रास्ता अपनाती है: कर्व्स को पैरामीट्रिक समीकरण में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएं, जैसे कि वक्रता और चाप की लंबाई, वेक्टर कैलकुलस का उपयोग करके डेरिवेटिव और इंटीग्रल के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक फ्रेनेट फ्रेम है, एक चलती फ्रेम जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करती है जो उस बिंदु के पास वक्र के लिए सबसे अच्छी तरह अनुकूलित होती है।
[[सिंथेटिक ज्यामिति|कृत्रिम ज्यामिति]] का उपयोग करके कई [[वक्रों की सूची]] की पूरी तरह से जांच की गई है। [[विभेदक ज्यामिति]] एक अन्य पद्धति अपनाती है, वक्र किसी [[पैरामीट्रिक समीकरण|प्राचल समीकरण]] में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएँ, जैसे कि [[वक्रता]] और चाप की लंबाई, [[वेक्टर पथरी|सदिश गणना]] का उपयोग करके [[यौगिक|अभिकलन]] और [[यौगिक|समाकल]] के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक [[फ्रेनेट फ्रेम|फ्रेनेट प्रारूप]] है, एक गतिशील प्रारूप जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जो उस बिंदु के निकटतम वक्र के लिए अधिकतम अनुकूलित होता है।


वक्रों का सिद्धांत सतहों की अंतर ज्यामिति और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक नियमित वक्र में कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं होती है। किसी भी नियमित वक्र को चाप की लंबाई ("प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन") द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है। वक्र पर एक परीक्षण कण के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग स्पेस कर्व केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे झुकते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक वक्र के ''वक्रता'' और ''वक्रों का मरोड़'' कहे जाने वाले विभेदक-ज्यामितीय अपरिवर्तनीयों द्वारा मापा जाता है। वक्रों का मूल सिद्धांत इस बात पर जोर देता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।
[[सतहों की अंतर ज्यामिति]] और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में वक्रता का सिद्धांत बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन ज्यामितीय]] नियमित वक्र के अंतर्गत कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं है। चाप की लंबाई("प्राकृतिक प्राचलीकरण") द्वारा किसी भी नियमित वक्र को परीक्षण किया जा सकता है। वक्र पर [[परीक्षण कण]] के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, उसे सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग ज्यामितीय वक्र केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे घूमते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक अपरिवर्तनीय अवकल ज्यामिति द्वारा मापा जाता जिसे हम वक्र की वक्रता या [[वक्रों का मरोड़|पृष्ठ तनाव]] कहते हैं । वक्रों का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।


== परिभाषाएं ==
== परिभाषाएँ ==
{{main|Curve}}
{{main|वक्र}}
एक पैरामीट्रिक {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र या ए {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-पैरामेट्राइज़ेशन एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है
एक प्राचलिक(प्राचल) {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र या ए {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-प्राचलन एक [[वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन|सदिश-विशेष फलन]] है
:<math>\gamma: I \to \mathbb{R}^{n}</math>
:<math>\gamma: I \to \mathbb{R}^{n}</math>
वह है {{mvar|r}}-समय लगातार अलग-अलग (अर्थात, के घटक कार्य) {{mvar|γ}} लगातार अलग-अलग होते हैं), जहां <math>n \isin \mathbb{N}</math>, <math>r \isin \mathbb{N} \cup \{\infty\}</math>, तथा {{mvar|I}} वास्तविक संख्याओं का एक गैर-रिक्त अंतराल (गणित) है। {{em|image}} }} पैरामीट्रिक वक्र का है <math>\gamma[I] \subseteq \mathbb{R}^n</math>. पैरामीट्रिक वक्र {{mvar|γ}} और इसकी छवि {{math|''γ''[''I'']}} अलग किया जाना चाहिए क्योंकि का दिया गया सबसेट <math>\mathbb{R}^n</math> कई अलग-अलग पैरामीट्रिक वक्रों की छवि हो सकती है। पैरामीटर {{mvar|t}} में {{math|''γ''(''t'')}} समय का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है, और {{mvar|γ}} अंतरिक्ष में एक गतिमान बिंदु का प्रक्षेपवक्र। कब {{mvar|I}} एक बंद अंतराल है {{math|[''a'',''b'']}}, {{math|''γ''(''a'')}} प्रारंभिक बिंदु कहा जाता है और {{math|''γ''(''b'')}} का समापन बिंदु है {{mvar|γ}}. यदि प्रारंभ और अंत बिंदु मेल खाते हैं (अर्थात, {{math|''γ''(''a'') {{=}} ''γ''(''b'')}}), फिर {{mvar|γ}} एक बंद वक्र या एक लूप है। होना चाहिए {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-लूप, फंक्शन {{mvar|γ}} होना चाहिए {{mvar|r}}-समय लगातार भिन्न और संतुष्ट {{math|''γ''<sup>(''k'')</sup>(''a'') {{=}} ''γ''<sup>(''k'')</sup>(''b'')}} के लिये {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''r''}}.
वह {{mvar|r}}-समय पर निरंतर अलग-अलग है अर्थात(घटक फलन निरंतर अलग अलग हैं) जहां <math>n \isin \mathbb{N}</math>, <math>r \isin \mathbb{N} \cup \{\infty\}</math>, तथा {{mvar|I}} वास्तविक संख्याओं का एक अशून्य [[अंतराल (गणित)|अंतराल(गणित)]] है। <math>\gamma[I] \subseteq \mathbb{R}^n</math> प्राचल वक्र का चित्र है । प्राचल वक्र {{mvar|γ}} और इसकी इमेज {{math|''γ''[''I'']}} अलग-अलग होना चाहिए क्योंकि दिया गया उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}^n</math> कई अलग-अलग प्राचल वक्रों की इमेज हो सकती है। {{math|''γ''(''t'')}} में मापदण्ड t को एक निरुपित समय के रूप में माना जा सकता हैं और '''γ''' एक प्राचल क्षेत्र में घूमने वाले बिंदु का प्रक्षेप पथ हो सकता है । जब {{mvar|I}} एक बंद अंतराल है {{math|[''a'',''b'']}}, y का , {{math|''γ''(''a'')}} प्रारंभिक बिंदु कहलाता है और {{math|''γ''(''b'')}} समापन बिंदु कहलाता है यदि आरंभिक और अंतिम बिंदु संपाती हैं(अर्थात, {{math|''γ''(''a'') {{=}} ''γ''(''b'')}}), फिर {{mvar|γ}} एक बंद वक्र या एक परिपथ है। {{math|''C''<sup>''r''</sup>}} को एक परिपथ होने के लिए फलन {{mvar|γ}} को {{mvar|r}}-समय पर निरंतर अलग-अलग होना चाहिए और {{math|''γ''<sup>(''k'')</sup>(''a'') {{=}} ''γ''<sup>(''k'')</sup>(''b'')}} {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''r''}} के लिए संतुष्ट करना चाहिए ।


पैरामीट्रिक वक्र है {{em|simple}} यदि
प्राचल वक्र सरल है यदि
:<math> \gamma|_{(a,b)}: (a,b) \to \mathbb{R}^{n} </math>
:<math> \gamma|_{(a,b)}: (a,b) \to \mathbb{R}^{n} </math>
इंजेक्शन है। यह है {{em|analytic}} यदि प्रत्येक घटक कार्य करता है {{mvar|γ}} एक विश्लेषणात्मक कार्य है, अर्थात यह वर्ग का है {{math|''C''<sup>''ω''</sup>}}.
यदि y का प्रत्येक घटक फलन एक विश्लेषणात्मक फलन करता है तो {{mvar|γ}} एक [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक फलन]] है, अर्थात यह {{math|''C''<sup>''ω''</sup>}}.वर्ग का है। वक्र {{mvar|γ}} नियमानुकूल है {{mvar|m}}(जहाँ पर {{math|''m'' ≤ ''r''}}) अगर, हर के लिए {{math|''t'' ∈ ''I''}},
:<math>\left\{ \gamma'(t),\gamma''(t),\ldots,{\gamma^{(m)}}(t) \right\}</math>
<math>\mathbb{R}^n</math> का एक '''रैखिक''' रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है । विशेष रूप से, एक प्राचल {{math|''C''<sup>1</sup>}}-वक्र {{mvar|γ}} नियमित है, यदि केवल और केवल {{math|''γ''{{prime}}(''t'') ≠ '''0'''}} जिसके लिए {{math|''t'' ∈ ''I''}}.


वक्र {{mvar|γ}} आदेश का नियमित है {{mvar|m}} (कहाँ पे {{math|''m'' ≤ ''r''}}) यदि, प्रत्येक के लिए {{math|''t'' ∈ ''I''}},
== पुनर्मानकीकरण और तुल्यता संबंध ==
:<math>\left\{ \gamma'(t),\gamma''(t),\ldots,{\gamma^{(m)}}(t) \right\}</math>
{{See also|सदिश स्थिति|सदिश-विशेष फलन}}
का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है <math>\mathbb{R}^n</math>. विशेष रूप से, एक पैरामीट्रिक {{math|''C''<sup>1</sup>}}-वक्र {{mvar|γ}} है {{em|regular}} अगर और केवल अगर {{math|''γ''{{prime}}(''t'') ≠ '''0'''}} किसी के लिए {{math|''t'' ∈ ''I''}}.


== पुन: parametrization और तुल्यता संबंध ==
प्राचल वक्र की इमेज को देखते हुए, प्राचलिक(प्राचल) वक्र के कई अलग-अलग मूल्यांकन हैं। अवकलन रेखागणित का उद्देश्य प्राचल वक्रों के गुणों का वर्णन करना है जो कुछ पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी प्राचल वक्रों के समुच्चय पर एक उपयुक्त [[तुल्यता संबंध]] परिभाषित किया जाना चाहिए। एक प्राचल वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण(जैसे इसकी लंबाई, इसकी फ़्रेनेट प्रारूप, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए सम[[तुल्यता वर्ग]] के गुण स्वयं समतुल्य वर्ग {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}- वक्र कहलाते हैं और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं प्राचल हैं।
{{See also|Position vector|Vector-valued function}}
पैरामीट्रिक वक्र की छवि को देखते हुए, पैरामीट्रिक वक्र के कई अलग-अलग पैरामीटर हैं। डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उद्देश्य पैरामीट्रिक कर्व्स के गुणों का वर्णन करना है जो कि कुछ रिपैरेट्रिजेशन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी पैरामीट्रिक वक्रों के सेट पर एक उपयुक्त तुल्यता संबंध परिभाषित किया जाना चाहिए। एक पैरामीट्रिक वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण (जैसे कि इसकी लंबाई, इसका #फ्रेनेट फ्रेम, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनरावर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए समकक्ष वर्ग के गुण हैं। तुल्यता वर्ग कहलाते हैं {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं हैं।


दो पैरामीट्रिक {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र, <math>\gamma_1 : I_1 \to \mathbb{R}^n</math> तथा <math>\gamma_2 : I_2 \to \mathbb{R}^n</math>, कहा जाता है {{em|equivalent}} यदि और केवल यदि कोई विशेषण मौजूद है {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-नक्शा {{math|''φ'' : ''I''<sub>1</sub> → ''I''<sub>2</sub>}} ऐसा है कि
दो प्राचल {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र, <math>\gamma_1 : I_1 \to \mathbb{R}^n</math> तथा <math>\gamma_2 : I_2 \to \mathbb{R}^n</math>,समतुल्य कहा जाता है, यदि केवल कोई विशेषण सम्मिलित है तो {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-छायाचित्र {{math|''φ'' : ''I''<sub>1</sub> → ''I''<sub>2</sub>}} ऐसा है कि
:<math>\forall t \in I_1: \quad \varphi'(t) \neq 0</math>
:<math>\forall t \in I_1: \quad \varphi'(t) \neq 0</math>
तथा
तथा
:<math>\forall t \in I_1: \quad \gamma_2\bigl(\varphi(t)\bigr) = \gamma_1(t).</math>
:<math>\forall t \in I_1: \quad \gamma_2\bigl(\varphi(t)\bigr) = \gamma_1(t).</math>


{{math|''γ''<sub>2</sub>}} तब a . कहा जाता है {{em|re-parametrization}} का {{math|''γ''<sub>1</sub>}}.
तब ये कहा जाता है कि {{math|''γ''<sub>1</sub>}}, {{math|y2}} का {{em|पुनर्मूल्यांकन}} है।


पुन: पैरामीट्रिजेशन सभी पैरामीट्रिक के सेट पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वर्ग के वक्र {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}. इस संबंध का तुल्यता वर्ग बस a {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र।
पुनर्मूल्यांकन सभी प्राचल के समुच्चय पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है। {{math|''C''<sup>''r''</sup>}} वर्ग के वक्र इस संबंध का तुल्यता वक्र है।


उन्मुख पैरामीट्रिक का एक और भी बेहतर तुल्यता संबंध {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्रों को आवश्यकता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|φ}} को पूरा करने के {{math|''φ''{{prime}}(''t'') > 0}}.
अभिविन्यस्त प्राचल C<sup>r</sup> वक्र का अन्य बेहतर तुल्यता संबंध φ आवश्यकता के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। संतुष्ट करने के लिए {{math|''φ''{{prime}}(''t'') > 0}}.


समतुल्य पैरामीट्रिक {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्रों की एक ही छवि होती है, और समकक्ष उन्मुख पैरामीट्रिक {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र भी छवि को उसी दिशा में पार करते हैं।
समतुल्य प्राचल {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र की समरूप इमेज है, और समतुल्य उन्मुख प्राचल {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र इमेज को उसी दिशा में विच्छेद भी करते हैं।


== लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन{{anchor|Length|Natural parametrization}}==
== लंबाई और प्राकृतिक मानकीकरण{{anchor|Length|Natural parametrization}}==
{{main|Arc length}}
{{main|वक्राकार लंबाई}}
{{see also|Curve#Length of a curve}}
{{see also|वक्र एवं वक्र की लंबाई}}
लंबाई {{mvar|l}} एक पैरामीट्रिक का {{math|''C''<sup>1</sup>}}-वक्र <math>\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n</math> की तरह परिभाषित किया गया है
लंबाई {{mvar|l}} एक प्राचल का {{math|''C''<sup>1</sup>}}-वक्र <math>\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n</math> की तरह परिभाषित किया गया है
:<math>l ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\| \, \mathrm{d}{t}.</math>
:<math>l ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\| \, \mathrm{d}{t}.</math>
पैरामीट्रिक वक्र की लंबाई पुनरावर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए पैरामीट्रिक वक्र की एक अंतर-ज्यामितीय संपत्ति है।
एक प्राचल वक्र की लंबाई पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए प्राचल वक्र की अंतर-ज्यामितीय एक विशेषता है।


प्रत्येक नियमित पैरामीट्रिक के लिए {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र <math>\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n</math>, कहाँ पे {{math|''r'' ≥ 1}}, फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है
प्रत्येक नियमित प्राचल के लिए {{math|''C''<sup>''r''</sup>}}-वक्र <math>\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n</math>जहाँ पर , {{math|''r'' ≥ 1}}, फलन परिभाषित किया गया है
:<math>\forall t \in [a,b]: \quad s(t) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^t \left\| \gamma'(x) \right\| \, \mathrm{d}{x}.</math>
:<math>\forall t \in [a,b]: \quad s(t) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^t \left\| \gamma'(x) \right\| \, \mathrm{d}{x}.</math>
लिख रहे हैं {{math|''{{overline|γ}}''(s) {{=}} ''γ''(''t''(''s''))}}, कहाँ पे {{math|''t''(''s'')}} का उलटा कार्य है {{math|''s''(''t'')}}. यह एक पुन: पैरामीट्रिजेशन है {{math|''{{overline|γ}}''}} का {{mvar|γ}} जिसे अनी कहा जाता है{{vanchor|arc-length parametrization}}, प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन, यूनिट-स्पीड पैरामीट्रिजेशन। पैरामीटर {{math|''s''(''t'')}} कहा जाता है {{em|natural parameter}} का {{mvar|γ}}.
{{math|''{{overline|γ}}''(s) {{=}} ''γ''(''t''(''s''))}}, जहाँ पर {{math|''t''(''s'')}} का प्रतिलोम फलन {{math|''s''(''t'')}} है, y का पुनः मानकीकरण {{math|''{{overline|γ}}''}} है जिसे एक चाप लंबाई मानकीकरण, प्राकृतिक मानकीकरण, यूनिट-स्पीड मानकीकरण कहा जाता है। मापदण्ड {{math|''s''(''t'')}} को {{mvar|γ}} का स्वाभाविक मापदण्ड कहा जाता है। 
 
यह प्राचलीकरण इसीलिए चुना जाता है क्योंकि प्राकृतिक मापदण्ड {{math|''s''(''t'')}} की इमेज को y इकाई गति से विच्छेद करता है, इस प्रकार
 
<math>\forall t \in I: \quad \left\| \overline{\gamma}'\bigl(s(t)\bigr) \right\| = 1.</math>


यह पैरामीट्रिजेशन पसंद किया जाता है क्योंकि प्राकृतिक पैरामीटर {{math|''s''(''t'')}} की छवि को पार करता है {{mvar|γ}} इकाई गति से, ताकि
व्यवहार में, प्राचल वक्र के प्राकृतिक मानकीकरण की गणना करना ज्यादातर बहुत कठिन होता है, लेकिन यह सैद्धांतिक तर्कों के लिए उपयोगी होता है।
:<math>\forall t \in I: \quad \left\| \overline{\gamma}'\bigl(s(t)\bigr) \right\| = 1.</math>
व्यवहार में, पैरामीट्रिक वक्र के प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन की गणना करना अक्सर बहुत कठिन होता है, लेकिन यह सैद्धांतिक तर्कों के लिए उपयोगी है।


दिए गए पैरामीट्रिक वक्र के लिए {{mvar|γ}}, प्राकृतिक parametrization पैरामीटर की एक पारी तक अद्वितीय है।
दिए गए प्राचल वक्र y के लिए, प्राकृतिक मानकीकरण मापदण्ड का स्थानांतरण एक अद्वितीय फलन है।


मात्रा
परिमाण
:<math>E(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \frac{1}{2} \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\|^2 ~ \mathrm{d}{t}</math>
:<math>E(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \frac{1}{2} \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\|^2 ~ \mathrm{d}{t}</math>
कभी कभी कहा जाता है {{em|energy}} या वक्र की क्रिया (भौतिकी); यह नाम उचित है क्योंकि जियोडेसिक समीकरण इस क्रिया के लिए गति के यूलर-लैग्रेंज समीकरण हैं।
इसे कभी-कभी {{em|कार्य शक्ति}} या वक्र की [[क्रिया (भौतिकी)|क्रिया(भौतिकी)]]कहा जाता है, यह नाम उचित है क्योंकि इस क्रिया के लिए [[geodesic|अल्पांतरी]] समीकरण यूलर-लैग्रेंज गति के समीकरण हैं।


== फ्रेनेट फ्रेम ==
== फ्रेनेट प्रारूप ==
{{main|Frenet–Serret formulas}}
{{main|फ्रेनेट-सीरेट सूत्र}}
[[File:Frenet frame.png|thumb|right|एक अंतरिक्ष वक्र पर एक बिंदु के लिए फ्रेनेट फ्रेम का एक चित्रण। {{math|''T''}} इकाई स्पर्शरेखा है, {{math|''P''}} इकाई सामान्य, और {{math|''B''}} यूनिट बायनॉर्मल।]]एक फ्रेनेट फ्रेम एक चलती फ्रेम है {{math|''n''}} ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर {{math|''e''<sub>''i''</sub>(''t'')}} जो प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय रूप से एक वक्र का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है {{math|'''γ'''(''t'')}}. यह घटता के विभेदक ज्यामितीय उपचार में मुख्य उपकरण है क्योंकि स्थानीय संदर्भ प्रणाली के संदर्भ में स्थानीय गुणों (जैसे वक्रता, मरोड़) का वर्णन करना कहीं अधिक आसान और अधिक प्राकृतिक है जैसे कि यूक्लिडियन निर्देशांक जैसे वैश्विक का उपयोग करना।
[[File:Frenet frame.png|thumb|right|ज्यामितीय वक्र पर एक बिंदु के लिए फ्रेनेट प्रारूप का एक उदाहरण। {{math|''T''}} इकाई स्पर्शरेखा है, {{math|''P''}} इकाई सामान्य, और {{math|''B''}} इकाई असामान्य।]]फ्रेनेट प्रारूप {{math|''n''}} का [[मूविंग फ्रेम|मूविंग प्रारूप]] है, [[ऑर्थोनॉर्मल]] सदिश {{math|''e''<sub>''i''</sub>(''t'')}} जिनका उपयोग प्रत्येक बिंदु γ(t) पर स्थानीय रूप से वक्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह वक्र के विभेदक ज्यामितीय निस्तारण में मुख्य उपकरण है क्योंकि यूक्लिडियन निर्देशांक जैसे वैश्विक उपयोग करने की तुलना में स्थानीय संदर्भ प्रणाली के संदर्भ में स्थानीय गुणों(जैसे वक्रता) का वर्णन करना कहीं अधिक आसान और अधिक स्वाभाविक है।


दिया गया {{math|''C''<sup>''n'' + 1</sup>}}-वक्र {{math|'''''γ'''''}} में <math>\mathbb{R}^n</math> जो नियमित है {{math|''n''}} वक्र के लिए फ्रेनेट फ्रेम ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर का सेट है
'''दिया गया {{math|''C''<sup>''n'' + 1</sup>}}-वक्र {{math|'''''γ'''''}} में <math>\mathbb{R}^n</math>में  जो नियमानुसार है {{math|''n''}} वक्र के लिए फ्रेनेट फ्रेम ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर का सेट है'''
:<math>\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)</math>
:<math>\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)</math>
फ्रेनेट-सेरेट सूत्र कहलाते हैं। वे के डेरिवेटिव से निर्मित होते हैं {{math|'''''γ'''''(''t'')}} ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करना|ग्राम-श्मिट ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिथ्म के साथ
ये फ्रेनेट-सेरेट सूत्र कहलाते हैं। वे {{math|'''''γ'''''(''t'')}} के व्युत्त्पन से प्रक्रिया का उपयोग करके निर्मित होते हैं।


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 72: Line 73:
\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \left\langle \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \right\rangle \, \mathbf{e}_i(t)
\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \left\langle \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \right\rangle \, \mathbf{e}_i(t)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
वास्तविक मूल्यवान कार्य {{math|''χ''<sub>''i''</sub>(''t'')}} सामान्यीकृत वक्रताएँ कहलाती हैं और इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
वास्तविक विशेष फलन {{math|''χ''<sub>''i''</sub>(''t'')}} सामान्यीकृत वक्रताएँ कहलाती हैं और इन्हें इस रूप में परिभाषित किया जाता है


:<math>\chi_i(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}^'(t) \right\|} </math>
:<math>\chi_i(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}^'(t) \right\|} </math>
फ्रेनेट फ्रेम और सामान्यीकृत वक्रताएं पुनरावर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए वक्र के अंतर ज्यामितीय गुण हैं। वक्र के लिए <math>\mathbb R^3</math> <math>\chi_1(t)</math> वक्रता है और <math>\chi_2(t)</math> मरोड़ है।
फ्रेनेट प्रारूप और सामान्यीकृत वक्रता पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए वक्र के विभेदक ज्यामितीय गुण हैं।<math>\mathbb R^3</math> में वक्रता के लिए <math>\chi_1(t)</math> वक्रता है और <math>\chi_2(t)</math> प्रवणता है।
 
== बर्ट्रेंड वक्र ==
बर्ट्रेंड वक्र <math>\mathbb R^3</math> में एक नियमित वक्र है जो अतिरिक्त विशेषता के साथ <math>\mathbb R^3</math> में एक अन्य वक्र है, जैसे कि सामान्य सदिश सिद्धांत इन दो वक्रों के लिए प्रत्येक संबंधित बिंदु पर समान हैं। दूसरे शब्दों में, अगर {{math|'''γ'''<sub>1</sub>(''t'')}} तथा {{math|'''γ'''<sub>2</sub>(''t'')}} <math>\mathbb R^3</math> में दो वक्र हैं इस प्रकार किसी t के लिए, दो प्रमुख सामान्य {{math|'''N'''<sub>1</sub>(''t''), '''N'''<sub>2</sub>(t)}} बराबर हैं, तो {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} तथा {{math|'''γ'''<sub>2</sub>}} बर्ट्रेंड वक्र हैं, और {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} को '''γ'''<sub>2</sub> का बर्ट्रेंड मेट कहा जाता है। एक रैखिक संबंध के अस्तित्व की विशेषता है {{math|''a κ''(''t'') + ''b τ''(''t'') {{=}} 1}}, जहाँ पर {{math|''κ''(''t'')}} तथा {{math|''τ''(''t'')}} की वक्रता और प्रवणता हैं, {{math|'''γ'''<sub>1</sub>(''t'')}} तथा {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के साथ वास्तविक स्थिरांक हैं {{math|''a'' ≠ 0}}.<ref>{{cite book |page=53 |title=डिफरेंशियल ज्योमेट्री: कर्व्स, सरफेस, मैनिफोल्ड्स|first=Wolfgang |last=Kühnel |location=Providence |publisher=AMS |year=2005 |isbn=0-8218-3988-8 }}</ref> इसके अलावा, बर्ट्रेंड युग्म वक्रों के आघूर्ण बल का उत्पाद स्थिर है।<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandCurves.html|title=बर्ट्रेंड वक्र|first=Eric W.|last=Weisstein|website=mathworld.wolfram.com}}</ref>
यदि {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}}में एक से अधिक बर्ट्रेंड मेट हैं तो उसके पास अपरिमित रूप से अनेक हैं। यह तभी होता है जब {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} एक गोलाकार कुंडलित वक्रता हो।<ref name="do Carmo">{{cite book | last = do Carmo|first =Manfredo P. |author-link=Manfredo do Carmo | title=वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति| edition=revised & updated 2nd|publisher=Dover Publications, Inc. | year=2016|location=Mineola, NY | isbn=978-0-486-80699-0| pages=27—28}}</ref>
 


=== बर्ट्रेंड वक्र ===
एक बर्ट्रेंड वक्र एक नियमित वक्र है <math>\mathbb R^3</math> अतिरिक्त संपत्ति के साथ कि एक दूसरा वक्र है <math>\mathbb R^3</math> जैसे कि इन दो वक्रों के #सामान्य या वक्रता वेक्टर प्रत्येक संगत बिंदु पर समान होते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि {{math|'''γ'''<sub>1</sub>(''t'')}} तथा {{math|'''γ'''<sub>2</sub>(''t'')}} में दो वक्र हैं <math>\mathbb R^3</math> ऐसा कि किसी के लिए {{mvar|t}}, दो प्रमुख मानदंड {{math|'''N'''<sub>1</sub>(''t''), '''N'''<sub>2</sub>(t)}} बराबर हैं, तो {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} तथा {{math|'''γ'''<sub>2</sub>}} बर्ट्रेंड वक्र हैं, और {{math|'''γ'''<sub>2</sub>}} का बर्ट्रेंड मेट कहा जाता है {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}}. हम लिख सकते हैं {{math|'''γ'''<sub>2</sub>(''t'') {{=}}  '''γ'''<sub>1</sub>(''t'') + ''r'' '''N'''<sub>1</sub>(''t'')}} कुछ स्थिरांक के लिए {{math|''r''}}.<ref name="do Carmo">{{cite book | last = do Carmo|first =Manfredo P. |author-link=Manfredo do Carmo | title=वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति| edition=revised & updated 2nd|publisher=Dover Publications, Inc. | year=2016|location=Mineola, NY | isbn=978-0-486-80699-0| pages=27—28}}</ref>
कुहनेल के डिफरेंशियल ज्योमेट्री कर्व्स - सर्फेस - मैनिफोल्ड्स में समस्या 25 के अनुसार, यह भी सच है कि दो बर्ट्रेंड वक्र जो एक ही दो-आयामी विमान में नहीं होते हैं, एक रैखिक संबंध के अस्तित्व की विशेषता है। {{math|''a κ''(''t'') + ''b τ''(''t'') {{=}} 1}} कहाँ पे {{math|''κ''(''t'')}} तथा {{math|''τ''(''t'')}} की वक्रता और मरोड़ हैं {{math|'''γ'''<sub>1</sub>(''t'')}} तथा {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के साथ वास्तविक स्थिरांक हैं {{math|''a'' ≠ 0}}.<ref>{{cite book |page=53 |title=डिफरेंशियल ज्योमेट्री: कर्व्स, सरफेस, मैनिफोल्ड्स|first=Wolfgang |last=Kühnel |location=Providence |publisher=AMS |year=2005 |isbn=0-8218-3988-8 }}</ref> इसके अलावा, बर्ट्रेंड युग्म के वक्रों के #Torsions का गुणनफल स्थिर होता है।<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandCurves.html|title=बर्ट्रेंड कर्व्स|first=Eric W.|last=Weisstein|website=mathworld.wolfram.com}}</ref>
यदि {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} उसके पास एक से अधिक बर्ट्रेंड साथी हैं तो उसके पास असीम रूप से कई हैं। यह तभी होता है जब {{math|'''γ'''<sub>1</sub>}} एक गोलाकार हेलिक्स है।<ref name="do Carmo"/>


== विशेष फ्रेनेट सदिश और सामान्यीकृत वक्रता ==
{{main|फ्रेनेट-सीरेट सूत्र}}


== विशेष फ्रेनेट वैक्टर और सामान्यीकृत वक्रता ==
पहले तीन फ़्रेनेट सदिश और सामान्यीकृत वक्रताओं को त्रि-आयामी ज्यामितीय में देखा जा सकता है। उनके पास अतिरिक्त नाम और उनसे जुड़ी अधिक अर्थपूर्ण जानकारी है।
{{main|Frenet–Serret formulas}}
पहले तीन फ्रेनेट वैक्टर और सामान्यीकृत वक्रता को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में देखा जा सकता है। उनके पास अतिरिक्त नाम और उनसे जुड़ी अधिक अर्थ संबंधी जानकारी है।


=== स्पर्शरेखा सदिश ===
=== स्पर्शरेखीय सदिश ===


अगर एक वक्र {{math|'''γ'''}} एक कण के पथ का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक निश्चित बिंदु पर कण का तात्कालिक वेग {{math|''P''}} एक वेक्टर (ज्यामितीय) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसे वक्र पर स्पर्शरेखा वेक्टर कहा जाता है {{math|''P''}}. गणितीय रूप से, एक पैरामीट्रिज्ड दिया गया {{math|''C''<sup>1</sup>}} वक्र {{math|1='''''γ''''' = '''''γ'''''(''t'')}}, हर मूल्य के लिए {{math|''t'' {{=}} ''t''<sub>0</sub>}} पैरामीटर का, वेक्टर
अगर वक्र {{math|'''γ'''}} किसी कण के पथ का प्रतिनिधित्व करता है, फिर किसी दिए गए बिंदु P पर कण का तात्क्षणिक [[वेग]] एक [[वेक्टर (ज्यामितीय)|सदिश(ज्यामितीय)]] द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसे वक्र पर [[स्पर्शरेखा वेक्टर|स्पर्शरेखीय सदिश]] कहा जाता है। गणितीय रूप से, मापदंड {{math|''C''<sup>1</sup>}} वक्र {{math|1='''''γ''''' = '''''γ'''''(''t'')}} दिया गया है, मापदण्ड के प्रत्येक सदिश मूल्य के लिए {{math|''t'' {{=}} ''t''<sub>0</sub>}},  


: <math> \gamma'(t_0) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\gamma}(t)\right|_{t=t_0} </math>
: <math> \gamma'(t_0) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\gamma}(t)\right|_{t=t_0} </math>
बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश है {{math|''P'' {{=}} '''γ'''(''t''<sub>0</sub>)}}. सामान्यतया, स्पर्शरेखा सदिश शून्य सदिश हो सकता है। स्पर्शरेखा सदिश का परिमाण
बिंदु पर स्पर्शरेखीय सदिश {{math|''P'' {{=}} '''γ'''(''t''<sub>0</sub>)}} है, सामान्यतया, स्पर्शरेखीय सदिश [[शून्य वेक्टर|शून्य सदिश]] हो सकता है। स्पर्शरेखीय सदिश का परिमाण


:<math>\left\|\boldsymbol{\gamma}'(t_0)\right\|</math>
:<math>\left\|\boldsymbol{\gamma}'(t_0)\right\|</math>
उस समय गति है {{math|''t''<sub>0</sub>}}.
{{math|''t''<sub>0</sub>}} समय पर है। पहला फ्रेनेट सदिश {{math|'''e'''<sub>1</sub>(''t'')}}, {{math|'''γ'''}} के प्रत्येक नियमित बिंदु पर एक ही दिशा में इकाई स्पर्श सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है। 
 
पहला फ्रेनेट वेक्टर {{math|'''e'''<sub>1</sub>(''t'')}} एक ही दिशा में इकाई स्पर्शरेखा सदिश है, जिसे के प्रत्येक नियमित बिंदु पर परिभाषित किया गया है {{math|'''γ'''}}:


:<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \boldsymbol{\gamma}'(t) }{ \left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}.</math>
:<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \boldsymbol{\gamma}'(t) }{ \left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}.</math>
यदि {{math|''t'' {{=}} ''s''}} प्राकृतिक पैरामीटर है, तो स्पर्शरेखा वेक्टर की इकाई लंबाई होती है। सूत्र सरल करता है:
यदि {{math|''t'' {{=}} ''s''}} प्राकृतिक मापदण्ड है, तो स्पर्शरेखीय सदिश की इकाई लंबाई होती है। सूत्र सरल करता है:


:<math>\mathbf{e}_{1}(s) = \boldsymbol{\gamma}'(s)</math>.
:<math>\mathbf{e}_{1}(s) = \boldsymbol{\gamma}'(s)</math>.


इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर पैरामीटर के बढ़ते मूल्यों के अनुरूप, वक्र के उन्मुखीकरण, या आगे की दिशा को निर्धारित करता है। वक्र के रूप में लिया गया इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर मूल वक्र की गोलाकार छवि का पता लगाता है।
इकाई स्पर्शरेखीय सदिश मापदण्ड के बढ़ते मूल्यों के अनुरूप, वक्र के उन्मुखीकरण या आगे की दिशा को निर्धारित करता है। वक्र के रूप में ली गई इकाई स्पर्शरेखीय सदिश मूल वक्र की [[गोलाकार छवि|गोलाकार इमेज]] का पता लगाती है।


=== सामान्य वेक्टर या वक्रता वेक्टर ===
=== [[सामान्य वेक्टर|सामान्य सदिश]] या वक्रता सदिश ===


एक वक्र सामान्य सदिश, जिसे कभी-कभी 'वक्रता सदिश' कहा जाता है, एक सीधी रेखा होने से वक्र के विचलन को इंगित करता है।
किसी वक्र सामान्य सदिश, जिसे कभी-कभी 'वक्रता सदिश' कहा जाता है, एक वक्र के विचलन को सीधी रेखा में दर्शाता है। इसे इस रूप में परिभाषित किया गया है
इसे परिभाषित किया गया है
:<math>\overline{\mathbf{e}_2}(t) = \boldsymbol{\gamma}''(t) - \bigl\langle \boldsymbol{\gamma}''(t), \mathbf{e}_1(t) \bigr\rangle \, \mathbf{e}_1(t).</math>
:<math>\overline{\mathbf{e}_2}(t) = \boldsymbol{\gamma}''(t) - \bigl\langle \boldsymbol{\gamma}''(t), \mathbf{e}_1(t) \bigr\rangle \, \mathbf{e}_1(t).</math>
इसका सामान्यीकृत रूप, इकाई सामान्य वेक्टर, दूसरा फ्रेनेट वेक्टर है {{math|'''e'''<sub>2</sub>(''t'')}} और के रूप में परिभाषित किया गया है
इसका सामान्यीकृत रूप, इकाई सामान्य सदिश, दूसरा फ़्रेनेट सदिश {{math|'''e'''<sub>2</sub>(''t'')}} है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है


:<math>\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {\left\| \overline{\mathbf{e}_2}(t) \right\|}.</math>
:<math>\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {\left\| \overline{\mathbf{e}_2}(t) \right\|}.</math>
बिंदु पर स्पर्शरेखा और सामान्य वेक्टर {{math|''t''}} बिंदु पर दोलन विमान को परिभाषित करें {{math|''t''}}.
बिंदु t पर स्पर्शरेखा और सामान्य सदिश {{math|''t''}} [[Index.php?title=स्पष्ट रूप से दोलन|स्पष्ट रूप से स्थानांतरित]] होने को परिभाषित करते हैं।


यह दिखाया जा सकता है कि {{math|'''ē'''<sub>2</sub>(''t'') ∝ '''e'''{{prime}}<sub>1</sub>(''t'')}}. इसलिए,
यह दिखाया जा सकता है {{math|'''ē'''<sub>2</sub>(''t'') ∝ '''e'''{{prime}}<sub>1</sub>(''t'')}}. इसलिए,
:<math>\mathbf{e}_2(t) = \frac{\mathbf{e}_1'(t)}{\left\| \mathbf{e}_1'(t) \right\|}.</math>
:<math>\mathbf{e}_2(t) = \frac{\mathbf{e}_1'(t)}{\left\| \mathbf{e}_1'(t) \right\|}.</math>




=== वक्रता ===
=== वक्रता ===
{{main|Curvature of space curves}}
{{main|समतलीय वक्रों की वक्रता}}
पहली सामान्यीकृत वक्रता {{math|''χ''<sub>1</sub>(''t'')}} वक्रता कहलाती है और के विचलन को मापती है {{math|''γ''}} दोलन तल के सापेक्ष एक सीधी रेखा होने से। इसे परिभाषित किया गया है
 
पहला सामान्यीकृत {{math|''χ''<sub>1</sub>(''t'')}} वक्रता कहलाती है और विचलन को मापती है, {{math|''γ''}} आश्लेषी समतल के सापेक्ष एक सीधी रेखा होने से। इसे K रूप में परिभाषित किया गया है


:<math>\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}</math>
:<math>\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}</math>
और की वक्रता कहलाती है {{math|''γ''}} बिंदु पर {{math|''t''}}. यह दिखाया जा सकता है कि
और K की वक्रता कहलाती है {{math|''γ''}} बिंदु पर {{math|''t''}}. यह दिखाया जा सकता है
:<math>\kappa(t) = \frac{\left\| \mathbf{e}_1'(t) \right\|}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}.</math>
:<math>\kappa(t) = \frac{\left\| \mathbf{e}_1'(t) \right\|}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}.</math>
वक्रता का गुणन प्रतिलोम
वक्रता का गुणक प्रतिलोम
:<math>\frac{1}{\kappa(t)}</math>
:<math>\frac{1}{\kappa(t)}</math>
वक्रता त्रिज्या (गणित) कहलाती है।
[[वक्रता की त्रिज्या (गणित)|वक्रता की त्रिज्या(गणित)]] कहलाती है।


त्रिज्या वाला एक वृत्त {{math|''r''}} की निरंतर वक्रता है
{{math|''r''}} त्रिज्या वाला वृत्त निरंतर वक्रता है
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{r}</math>
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{r}</math>
जबकि एक रेखा की वक्रता 0 होती है।
जबकि एक रेखा की वक्रता 0 होती है।


=== द्विअसामान्य सदिश ===
=== द्विसामान्य सदिश ===
इकाई द्विअसामान्य सदिश तीसरा फ्रेनेट वेक्टर है {{math|'''e'''<sub>3</sub>(''t'')}}. यह हमेशा इकाई स्पर्शरेखा और सामान्य वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल होता है {{math|''t''}}. इसे परिभाषित किया गया है
यूनिट द्विसामान्य सदिश तीसरा फ्रेनेट सदिश है {{math|'''e'''<sub>3</sub>(''t'')}}. यह इकाई स्पर्शरेखा और सामान्य सदिश के लिए सदैव लंबकोणीय होता है, इसे {{math|''t''}} के रूप में परिभाषित किया गया है


:<math>\mathbf{e}_3(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_3}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_3}(t) \|}
:<math>\mathbf{e}_3(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_3}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_3}(t) \|}
Line 143: Line 143:
- \bigl\langle \boldsymbol{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_2(t) \bigr\rangle \,\mathbf{e}_2(t)
- \bigl\langle \boldsymbol{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_2(t) \bigr\rangle \,\mathbf{e}_2(t)
</math>
</math>
3-आयामी अंतरिक्ष में, समीकरण को सरल करता है
3-आयामी ज्यामितीय में, समीकरण सरल हो जाता है
:<math>\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t)</math>
:<math>\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t)</math>
या करने के लिए
या सरल करने के लिए
:<math>\mathbf{e}_3(t) = -\mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t),</math>
:<math>\mathbf{e}_3(t) = -\mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t),</math>
दोनों में से कोई भी संकेत हो सकता है, यह दाएं हाथ के हेलिक्स और बाएं हाथ के हेलिक्स के उदाहरणों से स्पष्ट होता है।
दोनों में से कोई भी संकेत हो सकता है, यह एक दाएं हाथ के वक्र और एक बाएं हाथ के वक्र के उदाहरणों से स्पष्ट होता है।


=== मरोड़ ===
=== आघूर्ण बल ===
{{main|Torsion of a curve}}
{{main|वक्र का आघूर्ण बल}}
दूसरा सामान्यीकृत वक्रता {{math|''χ''<sub>2</sub>(''t'')}} कहा जाता है {{em|torsion}} और के विचलन को मापता है {{math|''γ''}} समतल वक्र होने से। दूसरे शब्दों में, यदि मरोड़ शून्य है, तो वक्र पूरी तरह से एक ही दोलन तल में होता है (प्रत्येक बिंदु के लिए केवल एक दोलन तल होता है) {{math|''t''}}) इसे परिभाषित किया गया है
दूसरा सामान्यीकृत वक्रता {{math|''χ''<sub>2</sub>(''t'')}} कहा जाता है, {{math|''γ''}} [[समतल वक्र]] होने से{{em|आघूर्ण बल}} और K के विचलन को मापता है। दूसरे शब्दों में, यदि प्रवणता शून्य है, तो वक्र पूरी तरह से एक ही दोलन तल में स्थित होता है(प्रत्येक बिंदु के लिए केवल एक दोलन तल होता है। {{math|''t''}}). इसे K के रूप में परिभाषित किया गया है


:<math>\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}</math>
:<math>\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}</math>
और का मरोड़ (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) कहा जाता है {{math|''γ''}} बिंदु पर {{math|''t''}}.
और K का [[मरोड़ (अंतर ज्यामिति)|प्रवणता(अंतर ज्यामिति)]] कहा जाता है {{math|''γ''}} बिंदु पर {{math|''t''}}


=== अब्रेंसी ===
=== विचलन ===
तीसरे व्युत्पन्न का उपयोग एबरेन्सी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, एक वक्र की सर्कल | गैर-गोलाकारता का एक मीट्रिक।<ref>{{cite journal|last=Schot|first=Stephen|title=एबेरेंसी: तीसरे व्युत्पन्न की ज्यामिति|journal=Mathematics Magazine|date=November 1978|volume=51|series=5|issue=5|pages=259–275|jstor=2690245|doi=10.2307/2690245}}</ref><ref>{{cite journal | title=अपभ्रंश के उपाय| journal=Real Analysis Exchange | publisher=Michigan State University Press | volume=32 | issue=1 | year=2007 | issn=0147-1937 | doi=10.14321/realanalexch.32.1.0233 | page=233| last1=Cameron Byerley | last2=Russell a. Gordon }}</ref><ref>{{cite journal | last=Gordon | first=Russell A. | title=समतल वक्रों का विचलन| journal=The Mathematical Gazette | publisher=Cambridge University Press (CUP) | volume=89 | issue=516 | year=2004 | issn=0025-5572 | doi=10.1017/s0025557200178271 | pages=424–436| s2cid=118533002 }}</ref>
[[तीसरा अवकलज|तीसरा व्युत्पन्न]] का उपयोग असामान्यता को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो [[घेरा|वक्र क्षेत्र]] की एक प्रकीर्णन है।<ref>{{cite journal|last=Schot|first=Stephen|title=एबरेंसी: थर्ड डेरिवेटिव की ज्यामिति|journal=Mathematics Magazine|date=November 1978|volume=51|series=5|issue=5|pages=259–275|jstor=2690245|doi=10.2307/2690245}}</ref><ref>{{cite journal | title=ऐबरेंसी के उपाय| journal=Real Analysis Exchange | publisher=Michigan State University Press | volume=32 | issue=1 | year=2007 | issn=0147-1937 | doi=10.14321/realanalexch.32.1.0233 | page=233| last1=Cameron Byerley | last2=Russell a. Gordon }}</ref><ref>{{cite journal | last=Gordon | first=Russell A. | title=समतल वक्रों की विषमता| journal=The Mathematical Gazette | publisher=Cambridge University Press (CUP) | volume=89 | issue=516 | year=2004 | issn=0025-5572 | doi=10.1017/s0025557200178271 | pages=424–436| s2cid=118533002 }}</ref>




== वक्र सिद्धांत का मुख्य प्रमेय ==
== वक्र सिद्धांत की मुख्य प्रमेय ==
{{main|Fundamental theorem of curves}}
{{main|वक्र की मौलिक प्रमेय}}
दिया गया {{math|''n'' − 1}} कार्य:
दिया गया {{math|''n'' − 1}} फलन:
:<math>\chi_i \in C^{n-i}([a,b],\mathbb{R}^n) , \quad \chi_i(t) > 0 ,\quad  1 \leq i \leq n-1</math>
:<math>\chi_i \in C^{n-i}([a,b],\mathbb{R}^n) , \quad \chi_i(t) > 0 ,\quad  1 \leq i \leq n-1</math>
तब एक अद्वितीय मौजूद है (यूक्लिडियन समूह का उपयोग करके परिवर्तन तक) {{math|''C''<sup>''n'' + 1</sup>}}-वक्र {{math|''γ''}} जो क्रम n का नियमित है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:
वहाँ एक अद्वितीय फलन सम्मिलित है([[यूक्लिडियन समूह]] का उपयोग करके परिवर्तनों तक) {{math|''C''<sup>''n'' + 1</sup>}}-वक्र {{math|''γ''}} जो क्रम n का सममित है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 170: Line 170:
\chi_i(t) &= \frac{ \langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \|}
\chi_i(t) &= \frac{ \langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \|}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जहां सेट
जहां समुच्चय
:<math>\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)</math>
:<math>\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)</math>
वक्र के लिए फ्रेनेट फ्रेम है।
वक्र के लिए फ्रेनेट प्रारूप है।


अतिरिक्त रूप से एक शुरुआत प्रदान करके {{math|''t''<sub>0</sub>}} में {{math|''I''}}, एक प्रारंभिक बिंदु {{math|''p''<sub>0</sub>}} में <math>\mathbb{R}^n</math> और एक प्रारंभिक सकारात्मक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेनेट फ्रेम {{math|{{mset|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n'' − 1</sub>}}}} साथ
अतिरिक्त रूप से एक आरम्भ प्रदान करके {{math|''I''}} में ''t''<sub>0</sub> एक प्रारंभिक बिंदु <math>\mathbb{R}^n</math>में ''p''<sub>0</sub> और एक प्रारंभिक सकारात्मक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेनेट प्रारूप {{math|{{mset|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n'' − 1</sub>}}}} के साथ


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 180: Line 180:
\mathbf{e}_i(t_0) &= \mathbf{e}_i ,\quad  1 \leq i \leq n-1
\mathbf{e}_i(t_0) &= \mathbf{e}_i ,\quad  1 \leq i \leq n-1
\end{align}</math>
\end{align}</math>
एक अद्वितीय वक्र प्राप्त करने के लिए यूक्लिडियन परिवर्तनों को समाप्त कर दिया जाता है {{math|''γ''}}.
एक अद्वितीय फलन वक्र ''γ'' प्राप्त करने के लिए यूक्लिडियन परिवर्तनों को समाप्त कर दिया जाता है।
 
== फ्रेनेट-सीरेट सूत्र ==


== फ्रेनेट-सेरेट सूत्र ==
{{main|फ्रेनेट-सीरेट सूत्र}}


{{main|Frenet–Serret formulas}}
फ़्रेनेट-सेरेट सूत्र पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरणों का एक सम्मिलित रूप हैं। समाधान सामान्यीकृत वक्रता फलनों ''χ<sub>i</sub>'' द्वारा निर्दिष्ट वक्र का वर्णन करने वाले फ़्रेनेट सदिश का सम्मिलित रूप है।
फ्रेनेट-सेरेट सूत्र पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरणों का एक समूह है। समाधान सामान्यीकृत वक्रता कार्यों द्वारा निर्दिष्ट वक्र का वर्णन करने वाले फ्रेनेट वैक्टर का सेट है {{math|''χ''<sub>''i''</sub>}}.


=== 2 आयाम ===
=== द्वि-आयाम ===


:<math>  
:<math>  
Line 211: Line 212:




=== 3 आयाम ===
=== त्रि-आयाम ===


:<math>  
:<math>  
Line 238: Line 239:




=== {{math|''n''}} आयाम (सामान्य सूत्र) ===
=== {{math|''n''}}-आयाम(सामान्य सूत्र) ===


:<math>  
:<math>  
Line 271: Line 272:




==यह भी देखें==
== यह भी देखें ==
*वक्र विषयों की सूची
* [[घटता विषयों की सूची|वक्रता विषयों की सूची]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
{{Reflist}}
{{Reflist}}
 
*
 
 
==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची==
 
==अग्रिम पठन==
==अग्रिम पठन==
*{{cite book |first=Erwin |last=Kreyszig |title=Differential Geometry |publisher=Dover Publications |location=New York |year=1991 |isbn=0-486-66721-9 }} Chapter II is a classical treatment of ''Theory of Curves'' in 3-dimensions.
*{{cite book |first=Erwin |last=Kreyszig |title=Differential Geometry |publisher=Dover Publications |location=New York |year=1991 |isbn=0-486-66721-9 }} Chapter II is a classical treatment of ''Theory of Curves'' in 3-dimensions.
Line 287: Line 284:
{{Curvature}}
{{Curvature}}
{{tensors}}
{{tensors}}
[[Category: डिफरेंशियल ज्योमेट्री]]
 
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
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Latest revision as of 10:14, 10 December 2022

वक्र की विभेदक ज्यामिति, ज्यामिति की वह शाखा है जो अंतर कलन और समाकलन के तरीकों से यूक्लिडियन समतल और यूक्लिडियन दूरी(गणित) तथा वक्रों से संबंधित है।

कृत्रिम ज्यामिति का उपयोग करके कई वक्रों की सूची की पूरी तरह से जांच की गई है। विभेदक ज्यामिति एक अन्य पद्धति अपनाती है, वक्र किसी प्राचल समीकरण में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएँ, जैसे कि वक्रता और चाप की लंबाई, सदिश गणना का उपयोग करके अभिकलन और समाकल के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक फ्रेनेट प्रारूप है, एक गतिशील प्रारूप जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जो उस बिंदु के निकटतम वक्र के लिए अधिकतम अनुकूलित होता है।

सतहों की अंतर ज्यामिति और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में वक्रता का सिद्धांत बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि यूक्लिडियन ज्यामितीय नियमित वक्र के अंतर्गत कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं है। चाप की लंबाई("प्राकृतिक प्राचलीकरण") द्वारा किसी भी नियमित वक्र को परीक्षण किया जा सकता है। वक्र पर परीक्षण कण के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, उसे सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग ज्यामितीय वक्र केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे घूमते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक अपरिवर्तनीय अवकल ज्यामिति द्वारा मापा जाता जिसे हम वक्र की वक्रता या पृष्ठ तनाव कहते हैं । वक्रों का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।

परिभाषाएँ

एक प्राचलिक(प्राचल) Cr-वक्र या ए Cr-प्राचलन एक सदिश-विशेष फलन है

वह r-समय पर निरंतर अलग-अलग है अर्थात(घटक फलन निरंतर अलग अलग हैं) जहां , , तथा I वास्तविक संख्याओं का एक अशून्य अंतराल(गणित) है। प्राचल वक्र का चित्र है । प्राचल वक्र γ और इसकी इमेज γ[I] अलग-अलग होना चाहिए क्योंकि दिया गया उपसमुच्चय कई अलग-अलग प्राचल वक्रों की इमेज हो सकती है। γ(t) में मापदण्ड t को एक निरुपित समय के रूप में माना जा सकता हैं और γ एक प्राचल क्षेत्र में घूमने वाले बिंदु का प्रक्षेप पथ हो सकता है । जब I एक बंद अंतराल है [a,b], y का , γ(a) प्रारंभिक बिंदु कहलाता है और γ(b) समापन बिंदु कहलाता है । यदि आरंभिक और अंतिम बिंदु संपाती हैं(अर्थात, γ(a) = γ(b)), फिर γ एक बंद वक्र या एक परिपथ है। Cr को एक परिपथ होने के लिए फलन γ को r-समय पर निरंतर अलग-अलग होना चाहिए और γ(k)(a) = γ(k)(b) 0 ≤ kr के लिए संतुष्ट करना चाहिए ।

प्राचल वक्र सरल है यदि

यदि y का प्रत्येक घटक फलन एक विश्लेषणात्मक फलन करता है तो γ एक विश्लेषणात्मक फलन है, अर्थात यह Cω.वर्ग का है। वक्र γ नियमानुकूल है m(जहाँ पर mr) अगर, हर के लिए tI,

का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है । विशेष रूप से, एक प्राचल C1-वक्र γ नियमित है, यदि केवल और केवल γ(t) ≠ 0 जिसके लिए tI.

पुनर्मानकीकरण और तुल्यता संबंध

प्राचल वक्र की इमेज को देखते हुए, प्राचलिक(प्राचल) वक्र के कई अलग-अलग मूल्यांकन हैं। अवकलन रेखागणित का उद्देश्य प्राचल वक्रों के गुणों का वर्णन करना है जो कुछ पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी प्राचल वक्रों के समुच्चय पर एक उपयुक्त तुल्यता संबंध परिभाषित किया जाना चाहिए। एक प्राचल वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण(जैसे इसकी लंबाई, इसकी फ़्रेनेट प्रारूप, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए समतुल्यता वर्ग के गुण स्वयं समतुल्य वर्ग Cr- वक्र कहलाते हैं और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं प्राचल हैं।

दो प्राचल Cr-वक्र, तथा ,समतुल्य कहा जाता है, यदि केवल कोई विशेषण सम्मिलित है तो Cr-छायाचित्र φ : I1I2 ऐसा है कि

तथा

तब ये कहा जाता है कि γ1, y2 का पुनर्मूल्यांकन है।

पुनर्मूल्यांकन सभी प्राचल के समुच्चय पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है। Cr वर्ग के वक्र इस संबंध का तुल्यता वक्र है।

अभिविन्यस्त प्राचल Cr वक्र का अन्य बेहतर तुल्यता संबंध φ आवश्यकता के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। संतुष्ट करने के लिए φ(t) > 0.

समतुल्य प्राचल Cr-वक्र की समरूप इमेज है, और समतुल्य उन्मुख प्राचल Cr-वक्र इमेज को उसी दिशा में विच्छेद भी करते हैं।

लंबाई और प्राकृतिक मानकीकरण

लंबाई l एक प्राचल का C1-वक्र की तरह परिभाषित किया गया है

एक प्राचल वक्र की लंबाई पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए प्राचल वक्र की अंतर-ज्यामितीय एक विशेषता है।

प्रत्येक नियमित प्राचल के लिए Cr-वक्र जहाँ पर , r ≥ 1, फलन परिभाषित किया गया है

γ(s) = γ(t(s)), जहाँ पर t(s) का प्रतिलोम फलन s(t) है, y का पुनः मानकीकरण γ है जिसे एक चाप लंबाई मानकीकरण, प्राकृतिक मानकीकरण, यूनिट-स्पीड मानकीकरण कहा जाता है। मापदण्ड s(t) को γ का स्वाभाविक मापदण्ड कहा जाता है।

यह प्राचलीकरण इसीलिए चुना जाता है क्योंकि प्राकृतिक मापदण्ड s(t) की इमेज को y इकाई गति से विच्छेद करता है, इस प्रकार

व्यवहार में, प्राचल वक्र के प्राकृतिक मानकीकरण की गणना करना ज्यादातर बहुत कठिन होता है, लेकिन यह सैद्धांतिक तर्कों के लिए उपयोगी होता है।

दिए गए प्राचल वक्र y के लिए, प्राकृतिक मानकीकरण मापदण्ड का स्थानांतरण एक अद्वितीय फलन है।

परिमाण

इसे कभी-कभी कार्य शक्ति या वक्र की क्रिया(भौतिकी)कहा जाता है, यह नाम उचित है क्योंकि इस क्रिया के लिए अल्पांतरी समीकरण यूलर-लैग्रेंज गति के समीकरण हैं।

फ्रेनेट प्रारूप

ज्यामितीय वक्र पर एक बिंदु के लिए फ्रेनेट प्रारूप का एक उदाहरण। T इकाई स्पर्शरेखा है, P इकाई सामान्य, और B इकाई असामान्य।

फ्रेनेट प्रारूप n का मूविंग प्रारूप है, ऑर्थोनॉर्मल सदिश ei(t) जिनका उपयोग प्रत्येक बिंदु γ(t) पर स्थानीय रूप से वक्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह वक्र के विभेदक ज्यामितीय निस्तारण में मुख्य उपकरण है क्योंकि यूक्लिडियन निर्देशांक जैसे वैश्विक उपयोग करने की तुलना में स्थानीय संदर्भ प्रणाली के संदर्भ में स्थानीय गुणों(जैसे वक्रता) का वर्णन करना कहीं अधिक आसान और अधिक स्वाभाविक है।

दिया गया Cn + 1-वक्र γ में में जो नियमानुसार है n वक्र के लिए फ्रेनेट फ्रेम ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर का सेट है

ये फ्रेनेट-सेरेट सूत्र कहलाते हैं। वे γ(t) के व्युत्त्पन से प्रक्रिया का उपयोग करके निर्मित होते हैं।

वास्तविक विशेष फलन χi(t) सामान्यीकृत वक्रताएँ कहलाती हैं और इन्हें इस रूप में परिभाषित किया जाता है

फ्रेनेट प्रारूप और सामान्यीकृत वक्रता पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए वक्र के विभेदक ज्यामितीय गुण हैं। में वक्रता के लिए वक्रता है और प्रवणता है।

बर्ट्रेंड वक्र

बर्ट्रेंड वक्र में एक नियमित वक्र है जो अतिरिक्त विशेषता के साथ में एक अन्य वक्र है, जैसे कि सामान्य सदिश सिद्धांत इन दो वक्रों के लिए प्रत्येक संबंधित बिंदु पर समान हैं। दूसरे शब्दों में, अगर γ1(t) तथा γ2(t) में दो वक्र हैं इस प्रकार किसी t के लिए, दो प्रमुख सामान्य N1(t), N2(t) बराबर हैं, तो γ1 तथा γ2 बर्ट्रेंड वक्र हैं, और γ1 को γ2 का बर्ट्रेंड मेट कहा जाता है। एक रैखिक संबंध के अस्तित्व की विशेषता है a κ(t) + b τ(t) = 1, जहाँ पर κ(t) तथा τ(t) की वक्रता और प्रवणता हैं, γ1(t) तथा a तथा b के साथ वास्तविक स्थिरांक हैं a ≠ 0.[1] इसके अलावा, बर्ट्रेंड युग्म वक्रों के आघूर्ण बल का उत्पाद स्थिर है।[2] यदि γ1में एक से अधिक बर्ट्रेंड मेट हैं तो उसके पास अपरिमित रूप से अनेक हैं। यह तभी होता है जब γ1 एक गोलाकार कुंडलित वक्रता हो।[3]


विशेष फ्रेनेट सदिश और सामान्यीकृत वक्रता

पहले तीन फ़्रेनेट सदिश और सामान्यीकृत वक्रताओं को त्रि-आयामी ज्यामितीय में देखा जा सकता है। उनके पास अतिरिक्त नाम और उनसे जुड़ी अधिक अर्थपूर्ण जानकारी है।

स्पर्शरेखीय सदिश

अगर वक्र γ किसी कण के पथ का प्रतिनिधित्व करता है, फिर किसी दिए गए बिंदु P पर कण का तात्क्षणिक वेग एक सदिश(ज्यामितीय) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसे वक्र पर स्पर्शरेखीय सदिश कहा जाता है। गणितीय रूप से, मापदंड C1 वक्र γ = γ(t) दिया गया है, मापदण्ड के प्रत्येक सदिश मूल्य के लिए t = t0,

बिंदु पर स्पर्शरेखीय सदिश P = γ(t0) है, सामान्यतया, स्पर्शरेखीय सदिश शून्य सदिश हो सकता है। स्पर्शरेखीय सदिश का परिमाण

t0 समय पर है। पहला फ्रेनेट सदिश e1(t), γ के प्रत्येक नियमित बिंदु पर एक ही दिशा में इकाई स्पर्श सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है।

यदि t = s प्राकृतिक मापदण्ड है, तो स्पर्शरेखीय सदिश की इकाई लंबाई होती है। सूत्र सरल करता है:

.

इकाई स्पर्शरेखीय सदिश मापदण्ड के बढ़ते मूल्यों के अनुरूप, वक्र के उन्मुखीकरण या आगे की दिशा को निर्धारित करता है। वक्र के रूप में ली गई इकाई स्पर्शरेखीय सदिश मूल वक्र की गोलाकार इमेज का पता लगाती है।

सामान्य सदिश या वक्रता सदिश

किसी वक्र सामान्य सदिश, जिसे कभी-कभी 'वक्रता सदिश' कहा जाता है, एक वक्र के विचलन को सीधी रेखा में दर्शाता है। इसे इस रूप में परिभाषित किया गया है

इसका सामान्यीकृत रूप, इकाई सामान्य सदिश, दूसरा फ़्रेनेट सदिश e2(t) है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

बिंदु t पर स्पर्शरेखा और सामान्य सदिश t स्पष्ट रूप से स्थानांतरित होने को परिभाषित करते हैं।

यह दिखाया जा सकता है ē2(t) ∝ e1(t). इसलिए,


वक्रता

पहला सामान्यीकृत χ1(t) वक्रता कहलाती है और विचलन को मापती है, γ आश्लेषी समतल के सापेक्ष एक सीधी रेखा होने से। इसे K रूप में परिभाषित किया गया है

और K की वक्रता कहलाती है γ बिंदु पर t. यह दिखाया जा सकता है

वक्रता का गुणक प्रतिलोम

वक्रता की त्रिज्या(गणित) कहलाती है।

r त्रिज्या वाला वृत्त निरंतर वक्रता है

जबकि एक रेखा की वक्रता 0 होती है।

द्विसामान्य सदिश

यूनिट द्विसामान्य सदिश तीसरा फ्रेनेट सदिश है e3(t). यह इकाई स्पर्शरेखा और सामान्य सदिश के लिए सदैव लंबकोणीय होता है, इसे t के रूप में परिभाषित किया गया है

3-आयामी ज्यामितीय में, समीकरण सरल हो जाता है

या सरल करने के लिए

दोनों में से कोई भी संकेत हो सकता है, यह एक दाएं हाथ के वक्र और एक बाएं हाथ के वक्र के उदाहरणों से स्पष्ट होता है।

आघूर्ण बल

दूसरा सामान्यीकृत वक्रता χ2(t) कहा जाता है, γ समतल वक्र होने सेआघूर्ण बल और K के विचलन को मापता है। दूसरे शब्दों में, यदि प्रवणता शून्य है, तो वक्र पूरी तरह से एक ही दोलन तल में स्थित होता है(प्रत्येक बिंदु के लिए केवल एक दोलन तल होता है। t). इसे K के रूप में परिभाषित किया गया है

और K का प्रवणता(अंतर ज्यामिति) कहा जाता है γ बिंदु पर t

विचलन

तीसरा व्युत्पन्न का उपयोग असामान्यता को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो वक्र क्षेत्र की एक प्रकीर्णन है।[4][5][6]


वक्र सिद्धांत की मुख्य प्रमेय

दिया गया n − 1 फलन:

वहाँ एक अद्वितीय फलन सम्मिलित है(यूक्लिडियन समूह का उपयोग करके परिवर्तनों तक) Cn + 1-वक्र γ जो क्रम n का सममित है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

जहां समुच्चय

वक्र के लिए फ्रेनेट प्रारूप है।

अतिरिक्त रूप से एक आरम्भ प्रदान करके I में t0 एक प्रारंभिक बिंदु में p0 और एक प्रारंभिक सकारात्मक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेनेट प्रारूप {e1, ..., en − 1} के साथ

एक अद्वितीय फलन वक्र γ प्राप्त करने के लिए यूक्लिडियन परिवर्तनों को समाप्त कर दिया जाता है।

फ्रेनेट-सीरेट सूत्र

फ़्रेनेट-सेरेट सूत्र पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरणों का एक सम्मिलित रूप हैं। समाधान सामान्यीकृत वक्रता फलनों χi द्वारा निर्दिष्ट वक्र का वर्णन करने वाले फ़्रेनेट सदिश का सम्मिलित रूप है।

द्वि-आयाम


त्रि-आयाम


n-आयाम(सामान्य सूत्र)


यह भी देखें

संदर्भ

  1. Kühnel, Wolfgang (2005). डिफरेंशियल ज्योमेट्री: कर्व्स, सरफेस, मैनिफोल्ड्स. Providence: AMS. p. 53. ISBN 0-8218-3988-8.
  2. Weisstein, Eric W. "बर्ट्रेंड वक्र". mathworld.wolfram.com.
  3. do Carmo, Manfredo P. (2016). वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति (revised & updated 2nd ed.). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. pp. 27–28. ISBN 978-0-486-80699-0.
  4. Schot, Stephen (November 1978). "एबरेंसी: थर्ड डेरिवेटिव की ज्यामिति". Mathematics Magazine. 5. 51 (5): 259–275. doi:10.2307/2690245. JSTOR 2690245.
  5. Cameron Byerley; Russell a. Gordon (2007). "ऐबरेंसी के उपाय". Real Analysis Exchange. Michigan State University Press. 32 (1): 233. doi:10.14321/realanalexch.32.1.0233. ISSN 0147-1937.
  6. Gordon, Russell A. (2004). "समतल वक्रों की विषमता". The Mathematical Gazette. Cambridge University Press (CUP). 89 (516): 424–436. doi:10.1017/s0025557200178271. ISSN 0025-5572. S2CID 118533002.

अग्रिम पठन

  • Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9. Chapter II is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.