लेबेस्ग माप: Difference between revisions

Revision as of 01:22, 13 March 2023

माप सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, फ्रांस के गणितज्ञ हेनरी लेबेस्ग के नाम पर लेबेस्ग माप, n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सबसेट के लिए एक माप (गणित) निर्दिष्ट करने की मानक विधि है। n = 1, 2, या 3 के लिए, यह लंबाई, क्षेत्रफल फल, या आयतन के मानक माप के साथ मेल खाता है। सामान्यतः तौर पर, इसे n-आयामी आयतन, n-आयतन, या केवल आयतन भी कहा जाता है।^[1] इसका उपयोग पूरे वास्तविक विश्लेषण में किया जाता है, विशेष रूप से लेबेस्ग एकीकरण को परिभाषित करने में किया जाता है के लिए। ऐसे समुच्चय जिन्हें लेबेस्ग माप निर्दिष्ट किया जा सकता है, लेबेस्ग-मापने योग्य कहलाते हैं; लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय A का माप यहाँ λ(A) द्वारा दर्शाया गया है।

हेनरी लेबेस्ग ने इस माप का वर्णन वर्ष 1901 में किया, उसके बाद अगले वर्ष लेबेस्ग इंटीग्रल के अपने विवरण के द्वारा वर्णन किया गया। दोनों को 1902 में उनके शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था।^[2]

परिभाषा

किसी भी अंतराल के लिए (गणित) $I=[a,b]$ , या $I=(a,b)$ , समुच्चय $\mathbb {R}$ की वास्तविक संख्याओं में, माना $\ell (I)=b-a$ इसकी लंबाई को निरूपित करें। किसी उपसमुच्चय के लिए $E\subseteq \mathbb {R}$ , लेबेस्ग की बाहरी माप^[3] $\lambda ^{\!*\!}(E)$ को इन्फिनमम के रूप में परिभाषित किया गया है: के रूप में परिभाषित किया गया है

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.

उपरोक्त परिभाषा को निम्नानुसार उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।^[4] किसी भी आयताकार घनाभ के लिए $C$ जो एक खुले अंतराल $C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}$ का, माना गुणा है, माना $\operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})$ इसकी मात्रा को निरूपित करता है। किसी उपसमुच्चय $E\subseteq \mathbb {R^{n}}$ के लिए,

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.

कुछ समुच्चय $E$ कैराथियोडोरी कसौटी पर खरे उतरते हैं, जो लिए प्रत्येक $A\subseteq \mathbb {R}$ के लिए यह आवश्यक है कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे ,

\lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).

ऐसे सभी $E$ का समुच्चय σ-बीजगणित बनाता है। ऐसे किसी भी $E$ के लिए , इसके लेबेस्ग माप को इसके लेबेस्ग बाहरी माप के रूप में परिभाषित किया गया है: $\lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)$ .

एक समुच्चय $E$ जो कैराथियोडोरी कसौटी पर खरा नहीं उतरता है वह लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं है। जेडएफसी सिद्ध करता है कि गैर-मापने योग्य समुच्चय उपस्थित हैं; उदाहरण विटाली समुच्चय है।

अंतर्ज्ञान

परिभाषा के पहले भाग में कहा गया है कि सबसेट $E$ खुले अंतराल के समुच्चय द्वारा कवरेज द्वारा वास्तविक संख्याओं को इसके बाहरी माप में घटा दिया जाता है। अंतराल के इन समुच्चयों में से प्रत्येक अर्थ में $I$ , $E$ को कवर करता है, चूंकि इन अंतरालों के मिलन में $E$ सम्मिलित होता है। किसी भी कवरिंग अंतराल समुच्चय की कुल लंबाई के माप को $E$ अधिक अनुमानित कर सकती है, क्योंकि $E$ अंतरालों के मिलन का एक उपसमुच्चय है, और इसलिए अंतरालों में वे बिंदु सम्मिलित हो सकते हैं जो $E$ के अंदर नहीं हैं। लेबेस्ग बाहरी माप निम्नतम और उच्चतम के रूप में उभर कर आता है। ऐसे सभी संभावित समुच्चयों में से लंबाई की सबसे निचली सीमा (इन्फिनिमम) सहज रूप से, यह उन अंतराल समुच्चयों की कुल लंबाई है जो $E$ को सबसे अधिक कसकर फिट करते हैं सबसे कसकर और ओवरलैप नहीं करते हैं।

यह लेबेस्ग बाहरी माप की विशेषता है। क्या यह बाहरी माप लेबेस्ग माप में उचित अनुवाद करता है, यह एक अतिरिक्त नियम पर निर्भर करता है। $A$ उपसमुच्चय लेकर इस स्थिति का परीक्षण किया जाता है, वास्तविक संख्याओं $E$ का उपयोग करके $A$ को दो भागों में विभाजित करने के साधन के रूप में दो भागों में: $A$ का हिस्सा जो $E$ के साथ प्रतिच्छेद करता है और $A$ का शेष भाग जो $E$ में नहीं है। इन समुच्चयों का अंतर $A$ और $E$ है। ये विभाजन $A$ बाहरी माप के अधीन हैं। यदि संभव हो तो वास्तविक संख्याओं के ऐसे सभी उपसमुच्चयों के लिए, $E$ द्वारा काटे गए $A$ के विभाजन में बाहरी माप हैं, जिनका योग $A$ का बाहरी माप है, तो $E$ का बाहरी लेबेस्ग्यू माप इसका लेबेस्ग माप देता है। # $A$ वास्तविक संख्याओं का, का विभाजन द्वारा अलग करना बाहरी माप हैं जिनका योग बाहरी माप है , फिर बाहरी लेबेस्ग माप इसका लेबेस्ग माप देता है। सहजता से, इस स्थिति का अर्थ है कि समुच्चय $E$ में कुछ विचित्र गुण नहीं होने चाहिए जो दूसरे समुच्चय के माप में विसंगति का कारण बनते हैं, जब को "मास्क" के रूप में उस समुच्चय को क्लिप करने के लिए एक मास्क के रूप में $E$ का उपयोग किया जाता है, जो समुच्चय के अस्तित्व पर संकेत देता है समुच्चय के अस्तित्व पर इशारा करते हुए जिसके लिए लेबेस्ग्यू बाहरी माप लेबेस्ग माप नहीं देता है। (इस तरह के समुच्चय, वास्तव में, लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं हैं।)

उदाहरण

कोई बंद अंतराल (गणित) {{nowrap|[a, b]}वास्तविक संख्याओं का } लेबेस्ग-मापने योग्य है, और इसका लेबेस्ग माप लंबाई है b − a. खुला अंतराल (a, b) का एक ही माप है, क्योंकि दो समुच्चयों के बीच समुच्चय अंतर में केवल अंतिम बिंदु a और b होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का माप शून्य होता है।
अंतराल का कोई कार्टेशियन उत्पाद [a, b] और [c, d] लेबेस्ग-measurable है, और इसका लेबेस्ग माप है (b − a)(d − c), संगत आयत का क्षेत्रफल।
इसके अलावा, हर बोरेल समुच्चय लेबेस्ग-मापने योग्य है। हालांकि, लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय हैं जो बोरेल समुच्चय नहीं हैं।^[5]^[6]
वास्तविक संख्याओं के किसी भी गणनीय समुच्चय का लेबेस्ग माप 0 है। विशेष रूप से, बीजगणितीय संख्याओं के समुच्चय का लेबेस्ग माप 0 है, भले ही समुच्चय R में Dense समुच्चय है।
कैंटर समुच्चय और लिउविल संख्या का समुच्चय बेशुमार समुच्चयों के उदाहरण हैं जिनमें लेबेस्ग माप 0 है।
यदि नियतत्व का स्वयंसिद्ध सिद्धांत मान्य है तो वास्तविक के सभी समुच्चय लेबेस्ग-मापने योग्य हैं। हालांकि निर्धारण पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संगत नहीं है।
विटाली समुच्चय उन समुच्चयों के उदाहरण हैं जो लेबेस्ग माप के संबंध में गैर-मापने योग्य समुच्चय हैं। उनका अस्तित्व पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।
ओस्गुड वक्र सकारात्मक संख्या लेबेस्ग माप के साथ सरल समतल वक्र हैं^[7] (इसे पीनो वक्र निर्माण के छोटे बदलाव से प्राप्त किया जा सकता है)। ड्रैगन वक्र एक और असामान्य उदाहरण है।
कोई भी लाइन $\mathbb {R} ^{n}$ , के लिए $n\geq 2$ , एक शून्य लेबेस्ग माप है। सामान्य तौर पर, प्रत्येक उचित hyperplane के परिवेश स्थान में एक शून्य लेबेस्ग माप होता है।

गुण

ट्रांसलेशन इनवेरिएंस: द लेबेस्ग माप

A

और

A+t

समान हैं।

आर पर लेबेस्ग माप के निम्नलिखित गुण हैं:

यदि A अंतराल (गणित) I का कार्टेशियन उत्पाद है₁ × मैं₂ × ⋯ × मैं_n, तो A लेबेस्ग-measurable and है $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.$
यदि A गणनीय असंयुक्त लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चयों का एक असंयुक्त संघ है, तो A स्वयं लेबेस्ग-मापने योग्य है और λ(A) सम्मिलित मापन योग्य समुच्चयों के मापों के योग (या अनंत श्रृंखला) के बराबर है।
यदि A लेबेस्ग-मापने योग्य है, तो इसका पूरक (सेट सिद्धांत) भी है।
λ(A) ≥ 0 प्रत्येक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय A के लिए।
यदि A और B लेबेस्ग-मापने योग्य हैं और A, B का उपसमुच्चय है, तो λ(A) ≤ λ(B). (2. का परिणाम)
लेबेस्ग-measurable समुच्चय के काउंटेबल संघ (सेट सिद्धांत) और चौराहा (सेट सिद्धांत) लेबेस्ग-measurable हैं। (2 और 3 का परिणाम नहीं है, क्योंकि समुच्चय का एक परिवार जो पूरक और असंबद्ध गणनीय यूनियनों के तहत बंद है, को गणनीय यूनियनों के तहत बंद करने की आवश्यकता नहीं है: $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$ .)
यदि A 'R' का एक खुला समुच्चय या बंद समुच्चय सबसेट हैⁿ (या यहां तक कि बोरेल समुच्चय, मीट्रिक स्थान देखें), तो A लेबेस्ग-मापने योग्य है।
यदि ए एक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय है, तो यह लेबेस्ग माप के अर्थ में लगभग खुला और लगभग बंद है।
एक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय को एक खुले समुच्चय और एक निहित बंद समुच्चय के बीच निचोड़ा जा सकता है। इस संपत्ति का उपयोग लेबेस्ग मापनीयता की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में किया गया है। ज्यादा ठीक, $E\subset \mathbb {R}$ लेबेस्ग-मापने योग्य है अगर और केवल अगर सबके लिए $\varepsilon >0$ वहाँ एक खुला समुच्चय उपस्थित है $G$ और एक बंद समुच्चय $F$ ऐसा है कि $F\subset E\subset G$ और $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$ .^[8]
एक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय को युक्त Gδ समुच्चय के बीच निचोड़ा जा सकता है|G_δ समुच्चय और एक निहित Fσ समुच्चय | एफ_σ. यानी, अगर A लेबेस्ग-measurable है तो Gδ समुच्चय उपस्थित है | G_δ समुच्चय G और एक Fσ समुच्चय|F_σF ऐसा कि G ⊇ A ⊇ F और λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0।
लेबेस्ग माप स्थानीय रूप से परिमित माप और आंतरिक नियमित माप दोनों है, और इसलिए यह एक रेडॉन माप है।
लेबेस्ग माप गैर-खाली खुले समुच्चयों पर सख्ती से सकारात्मक माप है, और इसलिए इसका समर्थन (माप सिद्धांत) संपूर्ण 'R' है^एन.
यदि A λ(A) = 0 (एक अशक्त समुच्चय) के साथ एक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय है, तो A का प्रत्येक उपसमुच्चय भी एक अशक्त समुच्चय है। ए फोर्टियोरी, ए का प्रत्येक उपसमुच्चय औसत दर्जे का है।
यदि A लेबेस्ग-मापने योग्य है और x 'R' का एक तत्व हैⁿ, तो A + x = {a + x : a ∈ A} द्वारा परिभाषित x द्वारा A का अनुवाद भी लेबेस्ग-मापने योग्य है और A के समान माप है।
यदि ए लेबेस्ग-मापने योग्य है और $\delta >0$ , फिर का फैलाव $A$ द्वारा $\delta$ द्वारा परिभाषित $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ लेबेस्ग-measurable भी है और इसका माप है $\delta ^{n}\lambda \,(A).$
अधिक आम तौर पर, यदि टी एक रैखिक परिवर्तन है और ए 'आर' का मापनीय उपसमुच्चय हैⁿ, तो T(A) भी लेबेस्ग-measurable है और इसका माप है $\left|\det(T)\right|\lambda (A)$ .

उपरोक्त सभी को संक्षेप में संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है (हालांकि पिछले दो दावे गैर-तुच्छ रूप से निम्नलिखित से जुड़े हुए हैं):

लेबेस्ग-measurable समुच्चय एक sigma-algebra|σ-बीजगणित बनाते हैं जिसमें अंतराल के सभी उत्पाद होते हैं, और λ अद्वितीय पूर्ण माप अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम है। अनुवाद-अपरिवर्तनीय माप (गणित) उस σ-बीजगणित पर

\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.

लेबेस्ग माप में सिग्मा-परिमित माप|σ-परिमित होने का गुण भी है।

अशक्त समुच्चय

R का एक उपसमुच्चयⁿ एक रिक्त समुच्चय है, यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, इसे n अंतरालों के गिने-चुने कई उत्पादों से कवर किया जा सकता है, जिनकी कुल मात्रा अधिकतम ε है। सभी गणनीय समुच्चय अशक्त समुच्चय होते हैं।

यदि 'R' का उपसमुच्चयⁿ का हौसडॉर्फ आयाम n से कम है तो यह n-आयामी लेबेस्ग माप के संबंध में एक शून्य समुच्चय है। यहाँ हॉसडॉर्फ आयाम 'आर' पर यूक्लिडियन मीट्रिक के सापेक्ष हैⁿ (या इसके समतुल्य कोई मीट्रिक रूडोल्फ लिपशिट्ज)। दूसरी ओर, एक समुच्चय में एन से कम टोपोलॉजिकल आयाम हो सकता है और सकारात्मक एन-आयामी लेबेस्ग माप हो सकता है। इसका एक उदाहरण स्मिथ-वोल्तेरा-कैंटर समुच्चय है, जिसका सामयिक आयाम 0 है, फिर भी सकारात्मक 1-आयामी लेबेस्ग माप है।

यह दिखाने के लिए कि दिया गया समुच्चय A लेबेस्ग-मापने योग्य है, आमतौर पर एक अच्छे समुच्चय B को खोजने का प्रयास किया जाता है जो A से केवल एक शून्य समुच्चय से भिन्न होता है (इस अर्थ में कि सममित अंतर (A − B) ∪ (B − A) ) एक शून्य समुच्चय है) और फिर दिखाएं कि खुले या बंद समुच्चयों से काउंटेबल यूनियनों और चौराहों का उपयोग करके बी उत्पन्न किया जा सकता है।

लेबेस्ग माप का निर्माण

लेबेस्ग माप का आधुनिक निर्माण कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय का एक अनुप्रयोग है। यह निम्नानुसार आगे बढ़ता है।

हल करना n ∈ N. आर में एक बॉक्सⁿ फॉर्म का एक समुच्चय है

B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,

कहाँ b_i ≥ a_i, और यहां उत्पाद प्रतीक कार्टेशियन उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है। इस बॉक्स की मात्रा को परिभाषित किया गया है

\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.

'R' के किसी उपसमुच्चय A के लिएⁿ, हम इसके बाहरी माप λ*(A) को निम्न द्वारा परिभाषित कर सकते हैं:

\lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.

फिर हम समुच्चय A को लेबेस्ग-मापने योग्य के रूप में परिभाषित करते हैं यदि 'R' के प्रत्येक उपसमुच्चय S के लिए^एन,

\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.

ये लेबेस्ग-measurable समुच्चय एक σ-algebra|σ-algebra बनाते हैं, और लेबेस्ग माप द्वारा परिभाषित किया गया है λ(A) = λ*(A) किसी भी लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय ए के लिए।

सेट का अस्तित्व जो लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं हैं, पसंद के समुच्चय-सैद्धांतिक सिद्धांत का परिणाम है, जो समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के कई पारंपरिक प्रणालियों से स्वतंत्र है। विटाली समुच्चय, जो स्वयंसिद्ध से अनुसरण करता है, कहता है कि 'आर' के उपसमुच्चय उपस्थित हैं जो लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं हैं। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, कई आश्चर्यजनक गुणों के साथ गैर-मापने योग्य समुच्चय प्रदर्शित किए गए हैं, जैसे कि बनच-टार्स्की विरोधाभास।

1970 में, रॉबर्ट एम. सोलोवे ने दिखाया कि पसंद के स्वयंसिद्ध के अभाव में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के ढांचे के भीतर लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं होने वाले समुच्चय का अस्तित्व सिद्ध नहीं होता है (सोलोवे का मॉडल देखें)।^[9]

अन्य मापों से संबंध

बोरेल माप उन समुच्चयों पर लेबेस्ग माप से सहमत है जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है; हालांकि, बोरल माप योग्य समुच्चयों की तुलना में कई अधिक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय हैं। बोरेल माप अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, लेकिन पूर्ण माप नहीं है।

हार माप को किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर परिभाषित किया जा सकता है और यह लेबेस्ग माप (आरⁿ जोड़ के साथ एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है)।

हॉसडॉर्फ माप, लेबेस्ग माप का एक सामान्यीकरण है जो 'आर' के सबसेट को मापने के लिए उपयोगी है।^{n से कम आयामों का n}, जैसे कि सबमेनिफोल्ड, उदाहरण के लिए, 'R' में सतहें या वक्र³ और भग्न समुच्चय। हॉसडॉर्फ माप को हॉसडॉर्फ आयाम की धारणा से भ्रमित नहीं होना चाहिए।

यह दिखाया जा सकता है कि कोई अनंत-आयामी लेबेस्ग माप नहीं है | लेबेस्ग माप का कोई अनंत-आयामी एनालॉग नहीं है।

यह भी देखें

लेबेस्ग का घनत्व प्रमेय
लिउविल संख्या # लिउविल संख्याएं और माप
गैर-मापने योग्य समुच्चय
- विटाली समुच्चय

संदर्भ

↑ The term volume is also used, more strictly, as a synonym of 3-dimensional volume
↑ Lebesgue, H. (1902). "Intégrale, Longueur, Aire". Annali di Matematica Pura ed Applicata. 7: 231–359. doi:10.1007/BF02420592. S2CID 121256884.
↑ Royden, H. L. (1988). वास्तविक विश्लेषण (3rd ed.). New York: Macmillan. p. 56. ISBN 0-02-404151-3.
↑ https://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Ma%C3%9F
↑ Asaf Karagila. "What sets are Lebesgue-measurable?". math stack exchange. Retrieved 26 September 2015.
↑ Asaf Karagila. "Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?". math stack exchange. Retrieved 26 September 2015.
↑ Osgood, William F. (January 1903). "धनात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र". Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 4 (1): 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.
↑ Carothers, N. L. (2000). वास्तविक विश्लेषण. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 293. ISBN 9780521497565.
↑ Solovay, Robert M. (1970). "समुच्चय-सिद्धांत का एक मॉडल जिसमें वास्तविकताओं का प्रत्येक समुच्चय Lebesgue-मापने योग्य है". Annals of Mathematics. Second Series. 92 (1): 1–56. doi:10.2307/1970696. JSTOR 1970696.

[1] The term volume is also used, more strictly, as a synonym of 3-dimensional volume

[2] Lebesgue, H. (1902). "Intégrale, Longueur, Aire". Annali di Matematica Pura ed Applicata. 7: 231–359. doi:10.1007/BF02420592. S2CID 121256884.

[3] Royden, H. L. (1988). वास्तविक विश्लेषण (3rd ed.). New York: Macmillan. p. 56. ISBN 0-02-404151-3.

[4] ttps://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Ma%C3%9F

[5] Asaf Karagila. "What sets are Lebesgue-measurable?". math stack exchange. Retrieved 26 September 2015.

[6] Asaf Karagila. "Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?". math stack exchange. Retrieved 26 September 2015.

[7] Osgood, William F. (January 1903). "धनात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र". Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 4 (1): 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.

[8] Carothers, N. L. (2000). वास्तविक विश्लेषण. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 293. ISBN 9780521497565.

[9] Solovay, Robert M. (1970). "समुच्चय-सिद्धांत का एक मॉडल जिसमें वास्तविकताओं का प्रत्येक समुच्चय Lebesgue-मापने योग्य है". Annals of Mathematics. Second Series. 92 (1): 1–56. doi:10.2307/1970696. JSTOR 1970696.

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 {{Short description|Concept of area in any dimension}}
-माप (गणित) में, गणित की एक शाखा, [[फ्रांस]] के गणितज्ञ [[ हेनरी लेबेस्ग्यू ]]ए के नाम पर लेबेसेग माप, ''एन''-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के [[सबसेट]] के लिए एक माप (गणित) निर्दिष्ट करने का मानक तरीका है। ''n'' = 1, 2, या 3 के लिए, यह [[लंबाई]], [[क्षेत्र]]फल, या [[आयतन]] के मानक माप के साथ मेल खाता है। सामान्य तौर पर, इसे ''एन''-डायमेंशनल वॉल्यूम, ''एन''-वॉल्यूम, या बस वॉल्यूम भी कहा जाता है।<ref>The term ''[[volume]]'' is also used, more strictly, as a [[synonym]] of 3-dimensional volume</ref> इसका उपयोग पूरे [[वास्तविक विश्लेषण]] में किया जाता है, विशेष रूप से [[लेबेसेग एकीकरण]] को परिभाषित करने के लिए। ऐसे समुच्चय जिन्हें लेबेसेग माप निर्दिष्ट किया जा सकता है, लेबेसेग-मापने योग्य कहलाते हैं; Lebesgue-measurable सेट ''A'' का माप यहाँ ''λ''(''A'') द्वारा दर्शाया गया है।
+माप सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, [[फ्रांस]] के गणितज्ञ [[ हेनरी लेबेस्ग्यू | हेनरी लेबेस्ग]] के नाम पर लेबेस्ग माप, ''n''-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के [[सबसेट]] के लिए '''एक''' माप ('''गणित''') निर्दिष्ट करने की मानक विधि है।  ''n'' = 1, 2, या 3 के लिए, यह [[लंबाई]], [[क्षेत्र|क्षेत्रफल]] '''फल''', या [[आयतन]] के मानक माप के साथ मेल खाता है। सामान्यतः '''तौर पर''', इसे ''n''-आयामी आयतन, ''n''-आयतन, या केवल आयतन भी कहा जाता है।<ref>The term ''[[volume]]'' is also used, more strictly, as a [[synonym]] of 3-dimensional volume</ref> इसका उपयोग पूरे [[वास्तविक विश्लेषण]] '''में किया जाता है''', विशेष रूप से [[लेबेसेग एकीकरण|लेबेस्ग एकीकरण]] को परिभाषित करने में किया जाता है '''के लिए'''। ऐसे समुच्चय जिन्हें लेबेस्ग माप निर्दिष्ट किया जा सकता है, लेबेस्ग-मापने योग्य कहलाते हैं; लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय ''A'' का माप यहाँ ''λ''(''A'') द्वारा दर्शाया गया है।
-हेनरी लेबेस्ग ने इस उपाय का वर्णन वर्ष 1901 में किया, उसके बाद अगले वर्ष [[लेबेस्ग इंटीग्रल]] के अपने विवरण के द्वारा। दोनों को 1902 में उनके शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था।<ref>{{cite journal |doi=10.1007/BF02420592|title=Intégrale, Longueur, Aire |year=1902 |last1=Lebesgue |first1=H. |journal=Annali di Matematica Pura ed Applicata |volume=7 |pages=231–359 |s2cid=121256884 |url=https://zenodo.org/record/2313710 }}</ref>
+हेनरी लेबेस्ग ने इस माप का वर्णन वर्ष 1901 में किया, उसके बाद अगले वर्ष [[लेबेस्ग इंटीग्रल]] के अपने विवरण के द्वारा वर्णन किया गया। दोनों को 1902 में उनके शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था।<ref>{{cite journal |doi=10.1007/BF02420592|title=Intégrale, Longueur, Aire |year=1902 |last1=Lebesgue |first1=H. |journal=Annali di Matematica Pura ed Applicata |volume=7 |pages=231–359 |s2cid=121256884 |url=https://zenodo.org/record/2313710 }}</ref>
 == परिभाषा ==
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+किसी भी अंतराल के लिए ('''गणित''') <math>I = [a,b]</math>, या <math>I = (a, b)</math>, समुच्चय <math>\mathbb{R}</math> की वास्तविक संख्याओं में, माना <math>\ell(I)= b - a</math> इसकी लंबाई को निरूपित करें। किसी उपसमुच्चय के लिए <math>E\subseteq\mathbb{R}</math>, लेबेस्ग की [[बाहरी माप]]<ref>{{cite book |title=वास्तविक विश्लेषण|last1=Royden |first1=H. L. |author-link=Halsey Royden |date=1988 |publisher=Macmillan |isbn=0-02-404151-3 |edition=3rd |location=New York |page=56 }}</ref> <math>\lambda^{\!*\!}(E)</math> को [[सबसे कम|इन्फिनमम]] के रूप में परिभाषित किया गया है:  '''के रूप में परिभाषित किया गया है'''
 :<math>\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) : {(I_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ is a sequence of open intervals with } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}.</math>
-उपरोक्त परिभाषा को निम्नानुसार उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Ma%C3%9F</ref>
+उपरोक्त परिभाषा को निम्नानुसार उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Ma%C3%9F</ref> किसी भी [[आयताकार घनाभ]] के लिए <math>C</math> जो एक खुले अंतराल <math>C=I_1\times\cdots\times I_n</math> का, माना गुणा है, माना<math>\operatorname{vol}(C)=\ell(I_1)\times\cdots\times \ell(I_n)</math> इसकी मात्रा को निरूपित करता है। किसी उपसमुच्चय <math>E\subseteq\mathbb{R^n}</math> के लिए,
-किसी भी [[आयताकार घनाभ]] के लिए <math>C</math> जो एक कार्टेशियन उत्पाद है <math>C=I_1\times\cdots\times I_n</math> खुले अंतराल की, चलो <math>\operatorname{vol}(C)=\ell(I_1)\times\cdots\times \ell(I_n)</math> इसकी मात्रा को निरूपित करें।
-किसी उपसमुच्चय के लिए <math>E\subseteq\mathbb{R^n}</math>,
 :<math>\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{vol}(C_k) : {(C_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ is a sequence of products of open intervals with } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty C_k\right\}.</math>
-कुछ सेट <math>E</math> कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे <math> A\subseteq \mathbb{R}</math>,
+कुछ समुच्चय <math>E</math> कैराथियोडोरी कसौटी पर खरे उतरते हैं, जो '''लिए''' प्रत्येक <math> A\subseteq \mathbb{R}</math> के लिए यह आवश्यक है '''कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे ,'''
 :<math>\lambda^{\!*\!}(A) = \lambda^{\!*\!}(A \cap E) + \lambda^{\!*\!}(A \cap E^c).</math>
-ऐसे सभी का सेट <math>E</math> एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है|σ-बीजगणित। ऐसे किसी के लिए <math>E</math>, इसके Lebesgue माप को इसके Lebesgue बाहरी माप के रूप में परिभाषित किया गया है: <math>\lambda(E) = \lambda^{\!*\!}(E)</math>.
+ऐसे सभी <math>E</math> का समुच्चय σ-बीजगणित बनाता है। ऐसे किसी भी <math>E</math> के लिए , इसके लेबेस्ग माप को इसके लेबेस्ग बाहरी माप के रूप में परिभाषित किया गया है: <math>\lambda(E) = \lambda^{\!*\!}(E)</math>.
-एक सेट <math>E</math> जो कैराथियोडोरी कसौटी पर खरा नहीं उतरता है वह लेबेसेग-मापने योग्य नहीं है। [[ZFC]] साबित करता है कि [[गैर-मापने योग्य सेट]] मौजूद हैं; एक उदाहरण [[विटाली सेट]] है।
+एक समुच्चय <math>E</math> जो कैराथियोडोरी कसौटी पर खरा नहीं उतरता है वह लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं है। [[ZFC|जेडएफसी]] सिद्ध करता है कि [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य]] समुच्चय उपस्थित हैं; उदाहरण [[विटाली सेट|विटाली]] समुच्चय है।
 === अंतर्ज्ञान ===
-परिभाषा के पहले भाग में कहा गया है कि सबसेट <math>E</math> खुले अंतराल के सेट द्वारा कवरेज द्वारा वास्तविक संख्याओं को इसके बाहरी माप में घटा दिया जाता है। अंतराल के इन सेटों में से प्रत्येक <math>I</math> कवर <math>E</math> एक मायने में, चूंकि इन अंतरालों का मिलन होता है <math>E</math>. किसी भी कवरिंग अंतराल सेट की कुल लंबाई के माप को अधिक अनुमानित कर सकती है <math>E,</math> क्योंकि <math>E</math> अंतरालों के मिलन का एक उपसमुच्चय है, और इसलिए अंतरालों में वे बिंदु शामिल हो सकते हैं जो अंदर नहीं हैं <math>E</math>. Lebesgue बाहरी माप [[निम्नतम और उच्चतम]] के रूप में उभर कर आता है | ऐसे सभी संभावित सेटों में से लंबाई की सबसे निचली सीमा (इन्फिनिमम)। सहज रूप से, यह उन अंतराल सेटों की कुल लंबाई है जो फिट होते हैं <math>E</math> सबसे कसकर और ओवरलैप न करें।
+परिभाषा के पहले भाग में कहा गया है कि सबसेट <math>E</math> खुले अंतराल के समुच्चय द्वारा कवरेज द्वारा वास्तविक संख्याओं को इसके बाहरी माप में घटा दिया जाता है। अंतराल के इन समुच्चयों में से प्रत्येक अर्थ में <math>I</math>, <math>E</math> को कवर करता है, चूंकि इन अंतरालों के मिलन में <math>E</math> सम्मिलित होता है। किसी भी कवरिंग अंतराल समुच्चय की कुल लंबाई के माप को <math>E</math> अधिक अनुमानित कर सकती है,  क्योंकि <math>E</math> अंतरालों के मिलन का एक उपसमुच्चय है, और इसलिए अंतरालों में वे बिंदु सम्मिलित हो सकते हैं जो <math>E</math> के अंदर नहीं हैं। लेबेस्ग बाहरी माप [[निम्नतम और उच्चतम]] के रूप में उभर कर आता है। ऐसे सभी संभावित समुच्चयों में से लंबाई की सबसे निचली सीमा (इन्फिनिमम) सहज रूप से, यह उन अंतराल समुच्चयों की कुल लंबाई है जो <math>E</math> को सबसे अधिक कसकर फिट करते हैं  '''सबसे कसकर''' और ओवरलैप नहीं करते हैं।
-यह Lebesgue बाहरी माप की विशेषता है। क्या यह बाहरी उपाय लेबेस्गु माप में उचित अनुवाद करता है, यह एक अतिरिक्त शर्त पर निर्भर करता है। उपसमुच्चय लेकर इस स्थिति का परीक्षण किया जाता है <math>A</math> वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके <math>E</math> विभाजित करने के साधन के रूप में <math>A</math> दो भागों में: का हिस्सा <math>A</math> जो साथ प्रतिच्छेद करता है <math>E</math> और का शेष भाग <math>A</math> जो में नहीं है <math>E</math>: का सेट अंतर <math>A</math> और <math>E</math>. ये विभाजन <math>A</math> बाहरी माप के अधीन हैं। यदि संभव हो तो ऐसे सबसेट <math>A</math> वास्तविक संख्याओं का, का विभाजन <math>A</math> द्वारा अलग करना <math>E</math> बाहरी उपाय हैं जिनका योग बाहरी माप है <math>A</math>, फिर बाहरी Lebesgue उपाय <math>E</math> इसका लेबेस्ग उपाय देता है। सहज रूप से, इस स्थिति का अर्थ है कि सेट <math>E</math> कुछ जिज्ञासु गुण नहीं होने चाहिए जो दूसरे सेट के माप में विसंगति का कारण बनते हैं <math>E</math> उस सेट को क्लिप करने के लिए एक मास्क के रूप में उपयोग किया जाता है, सेट के अस्तित्व पर इशारा करते हुए जिसके लिए लेबेसेग बाहरी उपाय लेबेसेग माप नहीं देता है। (इस तरह के सेट, वास्तव में, लेबेसेग-मापने योग्य नहीं हैं।)
+यह लेबेस्ग बाहरी माप की विशेषता है। क्या यह बाहरी माप लेबेस्ग माप में उचित अनुवाद करता है, यह एक अतिरिक्त नियम पर निर्भर करता है। <math>A</math> उपसमुच्चय लेकर इस स्थिति का परीक्षण किया जाता है, वास्तविक संख्याओं <math>E</math> का उपयोग करके <math>A</math> को दो भागों में विभाजित करने के साधन के रूप '''में  दो भागों में''': <math>A</math> का हिस्सा  जो <math>E</math> के साथ प्रतिच्छेद करता है  और <math>A</math> का शेष भाग  जो <math>E</math> में नहीं है। इन समुच्चयों का अंतर <math>A</math> और <math>E</math> है। ये विभाजन <math>A</math> बाहरी माप के अधीन हैं। यदि संभव हो तो वास्तविक संख्याओं के ऐसे सभी उपसमुच्चयों के लिए, <math>E</math> द्वारा काटे गए <math>A</math> के विभाजन में बाहरी माप हैं, जिनका योग <math>A</math> का बाहरी माप है, तो <math>E</math> का बाहरी लेबेस्ग्यू माप इसका लेबेस्ग माप देता है। '''# <math>A</math> वास्तविक संख्याओं का, का विभाजन  द्वारा अलग करना  बाहरी माप हैं जिनका योग बाहरी माप है , फिर बाहरी लेबेस्ग माप  इसका लेबेस्ग माप देता है।''' सहजता से, इस स्थिति का अर्थ है कि समुच्चय <math>E</math> में कुछ विचित्र गुण नहीं होने चाहिए जो दूसरे समुच्चय के माप में विसंगति का कारण बनते हैं, जब   '''को''' '''"मास्क" के रूप में''' उस समुच्चय को क्लिप करने के लिए एक मास्क के रूप में <math>E</math> का उपयोग किया जाता है, जो समुच्चय के अस्तित्व पर संकेत देता है '''समुच्चय के अस्तित्व पर इशारा करते हुए''' जिसके लिए लेबेस्ग्यू बाहरी माप लेबेस्ग माप नहीं देता है। (इस तरह के समुच्चय, वास्तव में, लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं हैं।)
 == उदाहरण ==
-* कोई बंद अंतराल (गणित) {{nowrap|[''a'', ''b'']}[[वास्तविक संख्या]]ओं का } Lebesgue-मापने योग्य है, और इसका Lebesgue माप लंबाई है {{nowrap|''b'' &minus; ''a''}}. [[खुला अंतराल]] {{nowrap|(''a'', ''b'')}} का एक ही माप है, क्योंकि दो सेटों के बीच सेट अंतर में केवल अंतिम बिंदु a और b होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का माप शून्य होता है।
+* कोई बंद अंतराल (गणित) {{nowrap|[''a'', ''b'']}[[वास्तविक संख्या]]ओं का } लेबेस्ग-मापने योग्य है, और इसका लेबेस्ग माप लंबाई है {{nowrap|''b'' &minus; ''a''}}. [[खुला अंतराल]] {{nowrap|(''a'', ''b'')}} का एक ही माप है, क्योंकि दो समुच्चयों के बीच समुच्चय अंतर में केवल अंतिम बिंदु a और b होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का माप शून्य होता है।
-* अंतराल का कोई कार्टेशियन उत्पाद {{nowrap|[''a'', ''b'']}} और {{nowrap|[''c'', ''d'']}} Lebesgue-measurable है, और इसका Lebesgue माप है {{nowrap|(''b'' &minus; ''a'')(''d'' &minus; ''c'')}}, संगत [[आयत]] का क्षेत्रफल।
+* अंतराल का कोई कार्टेशियन उत्पाद {{nowrap|[''a'', ''b'']}} और {{nowrap|[''c'', ''d'']}} लेबेस्ग-measurable है, और इसका लेबेस्ग माप है {{nowrap|(''b'' &minus; ''a'')(''d'' &minus; ''c'')}}, संगत [[आयत]] का क्षेत्रफल।
-* इसके अलावा, हर [[बोरेल सेट]] Lebesgue-मापने योग्य है। हालांकि, Lebesgue-मापने योग्य सेट हैं जो बोरेल सेट नहीं हैं।<ref>{{cite web | url=https://math.stackexchange.com/q/556756 | title=What sets are Lebesgue-measurable? | publisher=math stack exchange | access-date=26 September 2015 | author=Asaf Karagila}}</ref><ref>{{cite web | url=https://math.stackexchange.com/q/142385 | title=Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras? | publisher=math stack exchange | access-date=26 September 2015 | author=Asaf Karagila}}</ref>
+* इसके अलावा, हर [[बोरेल सेट|बोरेल समुच्चय]] लेबेस्ग-मापने योग्य है। हालांकि, लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय हैं जो बोरेल समुच्चय नहीं हैं।<ref>{{cite web | url=https://math.stackexchange.com/q/556756 | title=What sets are Lebesgue-measurable? | publisher=math stack exchange | access-date=26 September 2015 | author=Asaf Karagila}}</ref><ref>{{cite web | url=https://math.stackexchange.com/q/142385 | title=Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras? | publisher=math stack exchange | access-date=26 September 2015 | author=Asaf Karagila}}</ref>
-* वास्तविक संख्याओं के किसी भी [[गणनीय]] सेट का Lebesgue माप 0 है। विशेष रूप से, [[बीजगणितीय संख्या]]ओं के सेट का Lebesgue माप 0 है, भले ही सेट R में Dense सेट है।
+* वास्तविक संख्याओं के किसी भी [[गणनीय]] समुच्चय का लेबेस्ग माप 0 है। विशेष रूप से, [[बीजगणितीय संख्या]]ओं के समुच्चय का लेबेस्ग माप 0 है, भले ही समुच्चय R में Dense समुच्चय है।
-* [[कैंटर सेट]] और [[लिउविल संख्या]] का सेट [[बेशुमार सेट]]ों के उदाहरण हैं जिनमें लेबेस्गु माप 0 है।
+* [[कैंटर सेट|कैंटर]] समुच्चय और [[लिउविल संख्या]] का समुच्चय [[बेशुमार सेट|बेशुमार]] समुच्चयों के उदाहरण हैं जिनमें लेबेस्ग माप 0 है।
-* यदि नियतत्व का स्वयंसिद्ध सिद्धांत मान्य है तो वास्तविक के सभी सेट Lebesgue-मापने योग्य हैं। हालांकि निर्धारण पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संगत नहीं है।
+* यदि नियतत्व का स्वयंसिद्ध सिद्धांत मान्य है तो वास्तविक के सभी समुच्चय लेबेस्ग-मापने योग्य हैं। हालांकि निर्धारण पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संगत नहीं है।
-* विटाली सेट उन सेटों के उदाहरण हैं जो लेबेस्ग माप के संबंध में गैर-मापने योग्य सेट हैं। उनका अस्तित्व पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।
+* विटाली समुच्चय उन समुच्चयों के उदाहरण हैं जो लेबेस्ग माप के संबंध में गैर-मापने योग्य समुच्चय हैं। उनका अस्तित्व पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।
-* ओस्गुड [[वक्र]] [[सकारात्मक संख्या]] लेबेस्गु माप के साथ सरल समतल वक्र हैं<ref>{{cite journal|last=Osgood|first=William F.|date=January 1903|title=धनात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र|journal=Transactions of the American Mathematical Society|publisher=American Mathematical Society|volume=4|issue=1|pages=107–112|doi=10.2307/1986455|issn=0002-9947|jstor=1986455|author-link1=William Fogg Osgood|doi-access=free}}<!--|access-date=2008-06-04--></ref> (इसे पीनो वक्र निर्माण के छोटे बदलाव से प्राप्त किया जा सकता है)। [[ड्रैगन वक्र]] एक और असामान्य उदाहरण है।
+* ओस्गुड [[वक्र]] [[सकारात्मक संख्या]] लेबेस्ग माप के साथ सरल समतल वक्र हैं<ref>{{cite journal|last=Osgood|first=William F.|date=January 1903|title=धनात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र|journal=Transactions of the American Mathematical Society|publisher=American Mathematical Society|volume=4|issue=1|pages=107–112|doi=10.2307/1986455|issn=0002-9947|jstor=1986455|author-link1=William Fogg Osgood|doi-access=free}}<!--|access-date=2008-06-04--></ref> (इसे पीनो वक्र निर्माण के छोटे बदलाव से प्राप्त किया जा सकता है)। [[ड्रैगन वक्र]] एक और असामान्य उदाहरण है।
-* कोई भी लाइन <math>\mathbb{R}^n</math>, के लिए <math>n \geq 2</math>, एक शून्य Lebesgue माप है। सामान्य तौर पर, प्रत्येक उचित [[ hyperplane ]] के [[परिवेश स्थान]] में एक शून्य लेबेस्गु माप होता है।
+* कोई भी लाइन <math>\mathbb{R}^n</math>, के लिए <math>n \geq 2</math>, एक शून्य लेबेस्ग माप है। सामान्य तौर पर, प्रत्येक उचित [[ hyperplane ]] के [[परिवेश स्थान]] में एक शून्य लेबेस्ग माप होता है।
 == गुण ==
-[[File:Translation of a set.svg|thumb|300px|ट्रांसलेशन इनवेरिएंस: द लेबेस्ग्यू माप <math>A</math> और <math>A+t</math> समान हैं।]]आर पर लेबेस्ग उपाय<sup>n</sup> के निम्नलिखित गुण हैं:
+[[File:Translation of a set.svg|thumb|300px|ट्रांसलेशन इनवेरिएंस: द लेबेस्ग माप <math>A</math> और <math>A+t</math> समान हैं।]]आर पर लेबेस्ग माप के निम्नलिखित गुण हैं:
-# यदि A अंतराल (गणित) I का कार्टेशियन उत्पाद है<sub>1</sub> × मैं<sub>2</sub> × ⋯ × मैं<sub>''n''</sub>, तो A Lebesgue-measurable and है <math>\lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|.</math>
+# यदि A अंतराल (गणित) I का कार्टेशियन उत्पाद है<sub>1</sub> × मैं<sub>2</sub> × ⋯ × मैं<sub>''n''</sub>, तो A लेबेस्ग-measurable and है <math>\lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|.</math>
-# यदि A गणनीय असंयुक्त Lebesgue-मापने योग्य समुच्चयों का एक असंयुक्त संघ है, तो A स्वयं Lebesgue-मापने योग्य है और λ(A) शामिल मापन योग्य सेटों के उपायों के योग (या [[अनंत श्रृंखला]]) के बराबर है।
+# यदि A गणनीय असंयुक्त लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चयों का एक असंयुक्त संघ है, तो A स्वयं लेबेस्ग-मापने योग्य है और λ(A) सम्मिलित मापन योग्य समुच्चयों के मापों के योग (या [[अनंत श्रृंखला]]) के बराबर है।
-# यदि A Lebesgue-मापने योग्य है, तो इसका [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] भी है।
+# यदि A लेबेस्ग-मापने योग्य है, तो इसका [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] भी है।
-# λ(A) ≥ 0 प्रत्येक Lebesgue-मापने योग्य सेट A के लिए।
+# λ(A) ≥ 0 प्रत्येक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय A के लिए।
-# यदि A और B Lebesgue-मापने योग्य हैं और A, B का उपसमुच्चय है, तो λ(A) ≤ λ(B). (2. का परिणाम)
+# यदि A और B लेबेस्ग-मापने योग्य हैं और A, B का उपसमुच्चय है, तो λ(A) ≤ λ(B). (2. का परिणाम)
-# Lebesgue-measurable सेट के काउंटेबल [[ संघ (सेट सिद्धांत) ]] और [[ चौराहा (सेट सिद्धांत) ]] Lebesgue-measurable हैं। (2 और 3 का परिणाम नहीं है, क्योंकि सेट का एक परिवार जो पूरक और असंबद्ध गणनीय यूनियनों के तहत बंद है, को गणनीय यूनियनों के तहत बंद करने की आवश्यकता नहीं है: <math>\{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\}</math>.)
+# लेबेस्ग-measurable समुच्चय के काउंटेबल [[ संघ (सेट सिद्धांत) ]] और [[ चौराहा (सेट सिद्धांत) ]] लेबेस्ग-measurable हैं। (2 और 3 का परिणाम नहीं है, क्योंकि समुच्चय का एक परिवार जो पूरक और असंबद्ध गणनीय यूनियनों के तहत बंद है, को गणनीय यूनियनों के तहत बंद करने की आवश्यकता नहीं है: <math>\{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\}</math>.)
-# यदि A 'R' का एक [[खुला सेट]] या [[बंद सेट]] सबसेट है<sup>n</sup> (या यहां तक कि बोरेल सेट, [[मीट्रिक स्थान]] देखें), तो A Lebesgue-मापने योग्य है।
+# यदि A 'R' का एक [[खुला सेट|खुला]] समुच्चय या [[बंद सेट|बंद]] समुच्चय सबसेट है<sup>n</sup> (या यहां तक कि बोरेल समुच्चय, [[मीट्रिक स्थान]] देखें), तो A लेबेस्ग-मापने योग्य है।
-# यदि ए एक लेबेसेग-मापने योग्य सेट है, तो यह लेबेसेग माप के अर्थ में लगभग खुला और लगभग बंद है।
+# यदि ए एक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय है, तो यह लेबेस्ग माप के अर्थ में लगभग खुला और लगभग बंद है।
-# एक Lebesgue-मापने योग्य सेट को एक खुले सेट और एक निहित बंद सेट के बीच निचोड़ा जा सकता है। इस संपत्ति का उपयोग Lebesgue मापनीयता की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में किया गया है। ज्यादा ठीक, <math>E\subset \mathbb{R}</math> Lebesgue-मापने योग्य है अगर और केवल अगर सबके लिए <math>\varepsilon>0</math> वहाँ एक खुला सेट मौजूद है <math>G</math> और एक बंद सेट <math>F</math> ऐसा है कि <math>F\subset E\subset G</math> और <math>\lambda(G\setminus F)<\varepsilon</math>.<ref>{{Cite book|title=वास्तविक विश्लेषण|last=Carothers|first=N. L.|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=9780521497565|location=Cambridge|pages=[https://archive.org/details/realanalysis0000caro/page/293 293]|url=https://archive.org/details/realanalysis0000caro/page/293}}</ref>
+# एक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय को एक खुले समुच्चय और एक निहित बंद समुच्चय के बीच निचोड़ा जा सकता है। इस संपत्ति का उपयोग लेबेस्ग मापनीयता की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में किया गया है। ज्यादा ठीक, <math>E\subset \mathbb{R}</math> लेबेस्ग-मापने योग्य है अगर और केवल अगर सबके लिए <math>\varepsilon>0</math> वहाँ एक खुला समुच्चय उपस्थित है <math>G</math> और एक बंद समुच्चय <math>F</math> ऐसा है कि <math>F\subset E\subset G</math> और <math>\lambda(G\setminus F)<\varepsilon</math>.<ref>{{Cite book|title=वास्तविक विश्लेषण|last=Carothers|first=N. L.|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=9780521497565|location=Cambridge|pages=[https://archive.org/details/realanalysis0000caro/page/293 293]|url=https://archive.org/details/realanalysis0000caro/page/293}}</ref>
-# एक Lebesgue-मापने योग्य सेट को युक्त Gδ सेट के बीच निचोड़ा जा सकता है|G<sub>''δ''</sub> सेट और एक निहित Fσ सेट | एफ<sub>''σ''</sub>. यानी, अगर A Lebesgue-measurable है तो Gδ सेट मौजूद है | G<sub>''δ''</sub> समुच्चय G और एक Fσ समुच्चय|F<sub>''σ''</sub>F ऐसा कि G ⊇ A ⊇ F और λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0।
+# एक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय को युक्त Gδ समुच्चय के बीच निचोड़ा जा सकता है|G<sub>''δ''</sub> समुच्चय और एक निहित Fσ समुच्चय | एफ<sub>''σ''</sub>. यानी, अगर A लेबेस्ग-measurable है तो Gδ समुच्चय उपस्थित है | G<sub>''δ''</sub> समुच्चय G और एक Fσ समुच्चय|F<sub>''σ''</sub>F ऐसा कि G ⊇ A ⊇ F और λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0।
-# Lebesgue माप [[स्थानीय रूप से परिमित माप]] और आंतरिक नियमित माप दोनों है, और इसलिए यह एक [[रेडॉन माप]] है।
+# लेबेस्ग माप [[स्थानीय रूप से परिमित माप]] और आंतरिक नियमित माप दोनों है, और इसलिए यह एक [[रेडॉन माप]] है।
-# Lebesgue माप गैर-खाली खुले सेटों पर [[सख्ती से सकारात्मक उपाय]] है, और इसलिए इसका [[समर्थन (माप सिद्धांत)]] संपूर्ण 'R' है<sup>एन</sup>.
+# लेबेस्ग माप गैर-खाली खुले समुच्चयों पर [[सख्ती से सकारात्मक उपाय|सख्ती से सकारात्मक माप]] है, और इसलिए इसका [[समर्थन (माप सिद्धांत)]] संपूर्ण 'R' है<sup>एन</sup>.
-# यदि A λ(A) = 0 (एक अशक्त समुच्चय) के साथ एक Lebesgue-मापने योग्य समुच्चय है, तो A का प्रत्येक उपसमुच्चय भी एक अशक्त समुच्चय है। ए फोर्टियोरी, ए का प्रत्येक उपसमुच्चय औसत दर्जे का है।
+# यदि A λ(A) = 0 (एक अशक्त समुच्चय) के साथ एक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय है, तो A का प्रत्येक उपसमुच्चय भी एक अशक्त समुच्चय है। ए फोर्टियोरी, ए का प्रत्येक उपसमुच्चय औसत दर्जे का है।
-# यदि A Lebesgue-मापने योग्य है और x 'R' का एक तत्व है<sup>n</sup>, तो A + x = {a + x : a ∈ A} द्वारा परिभाषित x द्वारा A का अनुवाद भी Lebesgue-मापने योग्य है और A के समान माप है।
+# यदि A लेबेस्ग-मापने योग्य है और x 'R' का एक तत्व है<sup>n</sup>, तो A + x = {a + x : a ∈ A} द्वारा परिभाषित x द्वारा A का अनुवाद भी लेबेस्ग-मापने योग्य है और A के समान माप है।
-# यदि ए लेबेस्ग-मापने योग्य है और <math>\delta>0</math>, फिर का फैलाव <math>A</math> द्वारा <math>\delta</math>द्वारा परिभाषित <math>\delta A=\{\delta x:x\in A\}</math> Lebesgue-measurable भी है और इसका माप है <math>\delta^{n}\lambda\,(A).</math>
+# यदि ए लेबेस्ग-मापने योग्य है और <math>\delta>0</math>, फिर का फैलाव <math>A</math> द्वारा <math>\delta</math>द्वारा परिभाषित <math>\delta A=\{\delta x:x\in A\}</math> लेबेस्ग-measurable भी है और इसका माप है <math>\delta^{n}\lambda\,(A).</math>
-# अधिक आम तौर पर, यदि टी एक [[रैखिक परिवर्तन]] है और ए 'आर' का मापनीय उपसमुच्चय है<sup>n</sup>, तो T(A) भी Lebesgue-measurable है और इसका माप है <math>\left|\det(T)\right| \lambda(A)</math>.
+# अधिक आम तौर पर, यदि टी एक [[रैखिक परिवर्तन]] है और ए 'आर' का मापनीय उपसमुच्चय है<sup>n</sup>, तो T(A) भी लेबेस्ग-measurable है और इसका माप है <math>\left|\det(T)\right| \lambda(A)</math>.
 उपरोक्त सभी को संक्षेप में संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है (हालांकि पिछले दो दावे गैर-तुच्छ रूप से निम्नलिखित से जुड़े हुए हैं):
-: Lebesgue-measurable सेट एक sigma-algebra|σ-बीजगणित बनाते हैं जिसमें अंतराल के सभी उत्पाद होते हैं, और λ अद्वितीय पूर्ण माप [[अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम]] है। अनुवाद-अपरिवर्तनीय माप (गणित) उस σ-बीजगणित पर <math>\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1.</math>
+: लेबेस्ग-measurable समुच्चय एक sigma-algebra|σ-बीजगणित बनाते हैं जिसमें अंतराल के सभी उत्पाद होते हैं, और λ अद्वितीय पूर्ण माप [[अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम]] है। अनुवाद-अपरिवर्तनीय माप (गणित) उस σ-बीजगणित पर <math>\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1.</math>
-Lebesgue माप में सिग्मा-परिमित माप|σ-परिमित होने का गुण भी है।
+लेबेस्ग माप में सिग्मा-परिमित माप|σ-परिमित होने का गुण भी है।
-== अशक्त सेट ==
+== अशक्त समुच्चय ==
 {{main|Null set}}
 R का एक उपसमुच्चय<sup>n</sup> एक रिक्त समुच्चय है, यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, इसे n अंतरालों के गिने-चुने कई उत्पादों से कवर किया जा सकता है, जिनकी कुल मात्रा अधिकतम ε है। सभी गणनीय समुच्चय अशक्त समुच्चय होते हैं।
-यदि 'R' का उपसमुच्चय<sup>n</sup> का हौसडॉर्फ आयाम n से कम है तो यह n-आयामी Lebesgue माप के संबंध में एक शून्य सेट है। यहाँ [[हॉसडॉर्फ आयाम]] 'आर' पर [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] के सापेक्ष है<sup>n</sup> (या इसके समतुल्य कोई मीट्रिक [[रूडोल्फ लिपशिट्ज]])। दूसरी ओर, एक सेट में एन से कम [[टोपोलॉजिकल आयाम]] हो सकता है और सकारात्मक एन-आयामी लेबेस्गु माप हो सकता है। इसका एक उदाहरण स्मिथ-वोल्तेरा-कैंटर सेट है, जिसका सामयिक आयाम 0 है, फिर भी सकारात्मक 1-आयामी लेबेस्गु माप है।
+यदि 'R' का उपसमुच्चय<sup>n</sup> का हौसडॉर्फ आयाम n से कम है तो यह n-आयामी लेबेस्ग माप के संबंध में एक शून्य समुच्चय है। यहाँ [[हॉसडॉर्फ आयाम]] 'आर' पर [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] के सापेक्ष है<sup>n</sup> (या इसके समतुल्य कोई मीट्रिक [[रूडोल्फ लिपशिट्ज]])। दूसरी ओर, एक समुच्चय में एन से कम [[टोपोलॉजिकल आयाम]] हो सकता है और सकारात्मक एन-आयामी लेबेस्ग माप हो सकता है। इसका एक उदाहरण स्मिथ-वोल्तेरा-कैंटर समुच्चय है, जिसका सामयिक आयाम 0 है, फिर भी सकारात्मक 1-आयामी लेबेस्ग माप है।
-यह दिखाने के लिए कि दिया गया समुच्चय A लेबेस्गु-मापने योग्य है, आमतौर पर एक अच्छे समुच्चय B को खोजने का प्रयास किया जाता है जो A से केवल एक शून्य समुच्चय से भिन्न होता है (इस अर्थ में कि [[सममित अंतर]] (A − B) ∪ (B − A) ) एक शून्य सेट है) और फिर दिखाएं कि खुले या बंद सेटों से काउंटेबल यूनियनों और चौराहों का उपयोग करके बी उत्पन्न किया जा सकता है।
+यह दिखाने के लिए कि दिया गया समुच्चय A लेबेस्ग-मापने योग्य है, आमतौर पर एक अच्छे समुच्चय B को खोजने का प्रयास किया जाता है जो A से केवल एक शून्य समुच्चय से भिन्न होता है (इस अर्थ में कि [[सममित अंतर]] (A − B) ∪ (B − A) ) एक शून्य समुच्चय है) और फिर दिखाएं कि खुले या बंद समुच्चयों से काउंटेबल यूनियनों और चौराहों का उपयोग करके बी उत्पन्न किया जा सकता है।
-== लेबेसेग उपाय का निर्माण ==
+== लेबेस्ग माप का निर्माण ==
-लेबेस्ग उपाय का आधुनिक निर्माण कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय का एक अनुप्रयोग है। यह निम्नानुसार आगे बढ़ता है।
+लेबेस्ग माप का आधुनिक निर्माण कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय का एक अनुप्रयोग है। यह निम्नानुसार आगे बढ़ता है।
-हल करना {{nowrap|''n'' &isin; '''N'''}}. आर में एक बॉक्स<sup>n</sup> फॉर्म का एक सेट है
+हल करना {{nowrap|''n'' &isin; '''N'''}}. आर में एक बॉक्स<sup>n</sup> फॉर्म का एक समुच्चय है
 :<math>B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i] \, ,</math>
 कहाँ {{nowrap|''b<sub>i</sub>'' &ge; ''a<sub>i</sub>''}}, और यहां उत्पाद प्रतीक कार्टेशियन उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है। इस बॉक्स की मात्रा को परिभाषित किया गया है
@@ Line 80: / Line 78: @@
 :<math>\lambda^*(A) = \inf \left\{\sum_{B\in \mathcal{C}}\operatorname{vol}(B) : \mathcal{C}\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }A\right\} .</math>
-फिर हम समुच्चय A को Lebesgue-मापने योग्य के रूप में परिभाषित करते हैं यदि 'R' के प्रत्येक उपसमुच्चय S के लिए<sup>एन</sup>,
+फिर हम समुच्चय A को लेबेस्ग-मापने योग्य के रूप में परिभाषित करते हैं यदि 'R' के प्रत्येक उपसमुच्चय S के लिए<sup>एन</sup>,
 :<math>\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*(S \setminus A) \, .</math>
-ये Lebesgue-measurable सेट एक σ-algebra|σ-algebra बनाते हैं, और Lebesgue माप द्वारा परिभाषित किया गया है {{nowrap|''λ''(''A'') {{=}} ''λ''*(''A'')}} किसी भी लेबेसेग-मापने योग्य सेट ए के लिए।
+ये लेबेस्ग-measurable समुच्चय एक σ-algebra|σ-algebra बनाते हैं, और लेबेस्ग माप द्वारा परिभाषित किया गया है {{nowrap|''λ''(''A'') {{=}} ''λ''*(''A'')}} किसी भी लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय ए के लिए।
-सेट का अस्तित्व जो लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं हैं, पसंद के सेट-सैद्धांतिक सिद्धांत का परिणाम है, जो सेट सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के कई पारंपरिक प्रणालियों से स्वतंत्र है। विटाली सेट, जो स्वयंसिद्ध से अनुसरण करता है, कहता है कि 'आर' के उपसमुच्चय मौजूद हैं जो लेबेसेग-मापने योग्य नहीं हैं। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, कई आश्चर्यजनक गुणों के साथ गैर-मापने योग्य सेट प्रदर्शित किए गए हैं, जैसे कि बनच-टार्स्की विरोधाभास।
+सेट का अस्तित्व जो लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं हैं, पसंद के समुच्चय-सैद्धांतिक सिद्धांत का परिणाम है, जो समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के कई पारंपरिक प्रणालियों से स्वतंत्र है। विटाली समुच्चय, जो स्वयंसिद्ध से अनुसरण करता है, कहता है कि 'आर' के उपसमुच्चय उपस्थित हैं जो लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं हैं। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, कई आश्चर्यजनक गुणों के साथ गैर-मापने योग्य समुच्चय प्रदर्शित किए गए हैं, जैसे कि बनच-टार्स्की विरोधाभास।
-में, रॉबर्ट एम. सोलोवे ने दिखाया कि पसंद के स्वयंसिद्ध के अभाव में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के ढांचे के भीतर लेबेस्ग्यू-मापने योग्य नहीं होने वाले सेट का अस्तित्व साबित नहीं होता है (सोलोवे का मॉडल देखें)।<ref>{{Cite journal |last=Solovay |first=Robert M. |title=समुच्चय-सिद्धांत का एक मॉडल जिसमें वास्तविकताओं का प्रत्येक समुच्चय Lebesgue-मापने योग्य है|journal=[[Annals of Mathematics]] |jstor=1970696 |series=Second Series |volume=92 |year=1970 |issue=1 |pages=1–56 |doi=10.2307/1970696 }}</ref>
+में, रॉबर्ट एम. सोलोवे ने दिखाया कि पसंद के स्वयंसिद्ध के अभाव में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के ढांचे के भीतर लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं होने वाले समुच्चय का अस्तित्व सिद्ध नहीं होता है (सोलोवे का मॉडल देखें)।<ref>{{Cite journal |last=Solovay |first=Robert M. |title=समुच्चय-सिद्धांत का एक मॉडल जिसमें वास्तविकताओं का प्रत्येक समुच्चय Lebesgue-मापने योग्य है|journal=[[Annals of Mathematics]] |jstor=1970696 |series=Second Series |volume=92 |year=1970 |issue=1 |pages=1–56 |doi=10.2307/1970696 }}</ref>
-== अन्य उपायों से संबंध ==
+== अन्य मापों से संबंध ==
-बोरेल उपाय उन सेटों पर लेबेस्ग माप से सहमत है जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है; हालांकि, [[बोरल उपाय]] योग्य सेटों की तुलना में कई अधिक लेबेसेग-मापने योग्य सेट हैं। बोरेल माप अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, लेकिन पूर्ण माप नहीं है।
+बोरेल माप उन समुच्चयों पर लेबेस्ग माप से सहमत है जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है; हालांकि, [[बोरल उपाय|बोरल]] माप योग्य समुच्चयों की तुलना में कई अधिक लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय हैं। बोरेल माप अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, लेकिन पूर्ण माप नहीं है।
-हार उपाय को किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर परिभाषित किया जा सकता है और यह लेबेसेग उपाय (आर<sup>n</sup> जोड़ के साथ एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है)।
+हार माप को किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर परिभाषित किया जा सकता है और यह लेबेस्ग माप (आर<sup>n</sup> जोड़ के साथ एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है)।
-हॉसडॉर्फ माप, लेबेस्गु माप का एक सामान्यीकरण है जो 'आर' के सबसेट को मापने के लिए उपयोगी है।<sup>n से कम आयामों का n</sup>, जैसे कि [[सबमेनिफोल्ड]], उदाहरण के लिए, 'R' में सतहें या वक्र<sup>3</sup> और [[ भग्न ]] सेट। हॉसडॉर्फ माप को हॉसडॉर्फ आयाम की धारणा से भ्रमित नहीं होना चाहिए।
+हॉसडॉर्फ माप, लेबेस्ग माप का एक सामान्यीकरण है जो 'आर' के सबसेट को मापने के लिए उपयोगी है।<sup>n से कम आयामों का n</sup>, जैसे कि [[सबमेनिफोल्ड]], उदाहरण के लिए, 'R' में सतहें या वक्र<sup>3</sup> और [[ भग्न ]] समुच्चय। हॉसडॉर्फ माप को हॉसडॉर्फ आयाम की धारणा से भ्रमित नहीं होना चाहिए।
-यह दिखाया जा सकता है कि कोई अनंत-आयामी लेबेस्ग माप नहीं है | लेबेसेग माप का कोई अनंत-आयामी एनालॉग नहीं है।
+यह दिखाया जा सकता है कि कोई अनंत-आयामी लेबेस्ग माप नहीं है | लेबेस्ग माप का कोई अनंत-आयामी एनालॉग नहीं है।
 == यह भी देखें ==
-* लेबेस्ग्यू का घनत्व प्रमेय
+* लेबेस्ग का घनत्व प्रमेय
 * लिउविल संख्या # लिउविल संख्याएं और माप
-* गैर-मापने योग्य सेट
+* गैर-मापने योग्य समुच्चय
-** विटाली सेट
+** विटाली समुच्चय
 == संदर्भ ==

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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