विभाजन-चतुर्भुज

Split-quaternion multiplication

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	1	−i
k	k	j	i	1

अमूर्त बीजगणित में, विभाजन-चतुर्भुज या सहचतुर्भुजआधुनिक नाम के अनुसार 1849 में जेम्स कॉकल द्वारा प्रारम्भ की गई बीजगणितीय संरचना बनाते हैं। वे वास्तविक संख्याओं पर चार आयामों का एक साहचर्य बीजगणित बनाते हैं।

20वीं शताब्दी में वलय (गणित) और बीजगणित की समन्वय-मुक्त परिभाषाओं की प्रारम्भ के पश्चात, यह सिद्ध हो गया कि विभाजन-चतुर्भुजों का बीजगणित वलय (गणित) 2×2 वास्तविक आव्यूहों के लिए समरूप है। तब विभाजन-चतुर्भुजों का अध्ययन वास्तविक आव्यूहों के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है, और यह व्यक्त किया जा सकता है कि 20 वीं और 21 वीं शताब्दी के गणितीय साहित्य में विभाजन-चतुर्भुजों के कुछ उल्लेख क्यों हैं।

परिभाषा

विभाजन-चतुर्भुज चार आधार तत्वों के रैखिक संयोजन (वास्तविक गुणांक के साथ) हैं 1, i, j, k जो निम्नलिखित उत्पाद नियमों को पूरा करते हैं:

i² = −1,

j² = 1,

k² = 1,

ij = k = −ji.

साहचर्य संपत्ति द्वारा, इन संबंधों का तात्पर्य है

jk = −i = −kj,

ki = j = −ik,

और भी ijk = 1.

तो, विभाजन-चतुर्भुज आयाम चार के साथ एक वास्तविक वेक्टर स्थान बनाते हैं {1, i, j, k} आधार के रूप में (रैखिक बीजगणित)। वे उपरोक्त उत्पाद नियमों को सभी विभाजन-चतुर्भुजों के लिए वितरण द्वारा विस्तारित करके एक गैर-अनुक्रमिक अंगूठी भी बनाते हैं।

वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें

${\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

वे समान गुणन तालिका को संबंधित विभाजन-चतुर्भुजों के रूप में संतुष्ट करते हैं। चूंकि ये मैट्रिक्स दो गुणा दो मैट्रिक्स का आधार बनाते हैं, जो फ़ंक्शन (गणित) मैप करता है 1, i, j, k को ${\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}$ (क्रमशः) एक बीजगणित समरूपता को विभाजित-चतुर्भुजों से दो वास्तविक आव्यूहों द्वारा प्रेरित करता है।

उपरोक्त गुणन नियम का अर्थ है कि आठ तत्व 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k इस गुणन के तहत एक समूह (गणित) बनाते हैं, जो डायहेड्रल समूह डी के लिए समरूपी है₄, समूहों के उदाहरण # एक वर्ग का समरूपता समूह: क्रम 8 का डायहेड्रल समूह। वास्तव में, यदि कोई एक ऐसे वर्ग पर विचार करता है जिसके कोने वे बिंदु हैं जिनके निर्देशांक हैं 0 या 1, गणित का सवाल ${\boldsymbol {i}}$ एक मोड़ के चौथाई भाग का दक्षिणावर्त घुमाव है, ${\boldsymbol {j}}$ पहले विकर्ण के चारों ओर समरूपता है, और ${\boldsymbol {k}}$ के चारों ओर सममिति है x एक्सिस।

गुण

1843 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा पेश किए गए चतुष्कोणों की तरह, वे एक चार आयाम (वेक्टर स्पेस) वास्तविक साहचर्य बीजगणित बनाते हैं। लेकिन मेट्रिसेस की तरह और चतुष्कोणों के विपरीत, विभाजन-चतुर्भुजों में गैर-तुच्छ शून्य विभाजक, nilpotent तत्व और इम्पोटेंट तत्व (रिंग थ्योरी) होते हैं। (उदाहरण के लिए, 1/2(1 + j) एक उदासीन शून्य-भाजक है, और i − j नगण्य है।) एक क्षेत्र पर एक बीजगणित के रूप में, विभाजित-चतुर्भुजों का बीजगणित उपरोक्त परिभाषित समरूपता द्वारा 2×2 वास्तविक आव्यूहों के बीजगणित के लिए बीजगणित समरूपता है।

यह समरूपता प्रत्येक विभाजन-चतुर्भुज को 2×2 मैट्रिक्स के साथ पहचानने की अनुमति देती है। तो विभाजन-चतुर्भुज की प्रत्येक संपत्ति मेट्रिसेस की एक समान संपत्ति से मेल खाती है, जिसे अक्सर अलग नाम दिया जाता है।

एक विभाजित-चतुर्भुज का संयुग्म q = w + xi + yj + zk, है q^∗ = w − xi − yj − zk. मैट्रिसेस की अवधि में, संयुग्म विकर्ण प्रविष्टियों का आदान-प्रदान करके और दो अन्य प्रविष्टियों के हस्ताक्षर को बदलकर प्राप्त किया गया कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स है।

इसके संयुग्म के साथ विभाजित-चतुर्भुज का उत्पाद आइसोट्रोपिक द्विघात रूप है:

$N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},$

जिसे नॉर्म (गणित) # विभक्त-चतुर्भुज या संबंधित मैट्रिक्स के निर्धारक के रचना बीजगणित कहा जाता है।

एक विभाजन-चतुर्भुज का वास्तविक हिस्सा q = w + xi + yj + zk है w = (q^∗ + q)/2. यह संबंधित मैट्रिक्स के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के बराबर है।

दो विभाजन-चतुर्भुजों के उत्पाद का मानदंड उनके मानदंडों का उत्पाद है। समतुल्य रूप से, मैट्रिक्स के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों का उत्पाद है।

इसका मतलब है कि विभाजन-चतुर्भुज और 2×2 आव्यूह एक रचना बीजगणित बनाते हैं। जैसा कि एक शून्य मानदंड वाले गैर-विभाजन-चतुर्भुज हैं, विभाजित-चतुर्भुज एक विभाजित रचना बीजगणित बनाते हैं - इसलिए उनका नाम।

एक गैर-शून्य मानदंड के साथ एक विभाजन-चतुर्भुज का गुणक व्युत्क्रम होता है, अर्थात् q^∗/N(q). मैट्रिक्स के संदर्भ में, यह क्रैमर नियम है जो दावा करता है कि एक मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है यदि और केवल इसका निर्धारक अशून्य है, और, इस मामले में, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम निर्धारक द्वारा कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स का भागफल है।

विभाजन-चतुर्भुजों और 2×2 आव्यूहों के बीच समरूपता दर्शाती है कि गैर-शून्य मानदण्ड वाले विभाजन-चतुर्भुजों का गुणात्मक समूह समरूपी है $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),$ और मानक के विभाजित चतुष्कोणों का समूह 1 के साथ आइसोमॉर्फिक है $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).$

जटिल मेट्रिसेस के रूप में प्रतिनिधित्व

के एकात्मक साहचर्य बीजगणित के रूप में विभाजन-चतुर्भुजों का प्रतिनिधित्व है 2×2 जटिल संख्या प्रविष्टियों के साथ आव्यूह। इस प्रतिनिधित्व को बीजगणित समरूपता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो विभाजन-चतुर्भुज को मैप करता है w + xi + yj + zk मैट्रिक्स के लिए

${\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.$

यहाँ, i (इटैलिक प्रकार) एक काल्पनिक इकाई है, जिसे मूल विभाजन चतुर्धातुक के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए i (रोमन प्रकार)।

इस समरूपता की छवि फॉर्म के मैट्रिसेस द्वारा बनाई गई मैट्रिक्स रिंग है

${\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},$

जहां सुपरस्क्रिप्ट $^{*}$ एक जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

यह समरूपता क्रमशः विभाजन-चतुर्भुजों का मानचित्रण करती है i, j, k मेट्रिसेस पर

${\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.$

सबूत है कि यह प्रतिनिधित्व एक बीजगणित समरूपता है सीधा है लेकिन कुछ उबाऊ संगणनाओं की आवश्यकता होती है, जिसे विभाजित-चतुर्भुजों की अभिव्यक्ति से शुरू करके टाला जा सकता है 2×2 वास्तविक मैट्रिक्स, और मैट्रिक्स समानता का उपयोग करना। होने देना S मैट्रिक्स हो

$S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.$

फिर, विभाजन-चतुर्भुजों के प्रतिनिधित्व के रूप में लागू किया गया 2×2 वास्तविक मैट्रिसेस, उपरोक्त बीजगणित समरूपता मैट्रिक्स समानता है।

$M\mapsto S^{-1}MS.$

यह लगभग तुरंत अनुसरण करता है कि एक जटिल मैट्रिक्स के रूप में प्रतिनिधित्व किए गए एक विभाजित चतुष्कोण के लिए, संयुग्म कॉफ़ैक्टर्स का मैट्रिक्स है, और मानदंड निर्धारक है।

जटिल मेट्रिसेस के रूप में विभाजित चतुष्कोणों के प्रतिनिधित्व के साथ। मानदंड के चतुष्कोणों के मेट्रिसेस 1 वास्तव में विशेष एकात्मक समूह SU(1,1) के तत्व हैं। इसका उपयोग अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में अतिशयोक्तिपूर्ण गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है#Poincare डिस्क मॉडल के डिस्क मॉडल गतियों।

विभाजन-जटिल संख्या से पीढ़ी

विभाजन-चतुर्भुज केली%E2%80%93Dickson_construction#Modified_Cayley%E2%80%93Dickson_construction|संशोधित केली-डिक्सन निर्माण द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं एल ई डिक्सन और एड्रियन अल्बर्ट की पद्धति के समान। विभाजन बीजगणित सी, एच, और ओ के लिए। गुणन नियम

$$(a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})$$

वास्तविक-विभाजित मामलों में दोगुने उत्पाद का उत्पादन करते समय उपयोग किया जाता है। द्विगुणित संयुग्मी $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ ताकि

$$N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).$$

यदि ए और बी विभाजित-जटिल संख्याएं और विभाजित-चतुर्भुज हैं $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ तब

$$N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$$

स्तरीकरण

इस खंड में, एकल विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न सबलजेब्रस का अध्ययन और वर्गीकरण किया जाता है।

होने देना p = w + xi + yj + zk एक विभाजन-चतुर्भुज हो। इसका असली हिस्सा है w = 1/2(p + p^*). होने देना q = p – w = 1/2(p – p^*) इसका अवास्तविक हिस्सा बनें। किसी के पास q^* = –q, और इसलिए $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ यह इस प्रकार है कि $p^{2}$ एक वास्तविक संख्या है अगर और केवल p या तो एक वास्तविक संख्या है (q = 0 और p = w) या विशुद्ध रूप से अवास्तविक विभाजन चतुर्धातुक (w = 0 और p = q).

सबलजेब्रा की संरचना $\mathbb {R} [p]$ द्वारा उत्पन्न p सीधा अनुसरण करता है। किसी के पास

$\mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},$

और यह एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) है। यदि को छोड़कर इसका आयाम (रैखिक बीजगणित) दो है p वास्तविक है (इस मामले में, सबलजेब्रा बस है $\mathbb {R}$).

के अवास्तविक तत्व $\mathbb {R} [p]$ जिसका वर्ग वास्तविक है उसका रूप है aq साथ $a\in \mathbb {R} .$ तीन मामलों पर विचार किया जाना है, जिनका विवरण अगले उपखंडों में दिया गया है।

निलपोटेंट केस

उपरोक्त संकेतन के साथ, यदि $q^{2}=0,$ (यानी, अगर q शून्य है), फिर N(q) = 0, वह है, $x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.$ इसका तात्पर्य है कि मौजूद हैं w और t में $\mathbb {R}$ ऐसा है कि 0 ≤ t < 2π और

$p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .$

यह उन सभी विभाजित-चतुर्थों का पैरामीट्रिजेशन है, जिनका अवास्तविक भाग शून्य है।

यह एक वृत्त के बिंदुओं द्वारा इन सबलजेब्रस का एक मानकीकरण भी है: प्रपत्र के विभाजन-चतुर्भुज $\mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k}$ एक गोला बनाएं; एक निलपोटेंट तत्व द्वारा उत्पन्न सबलजेब्रा में वृत्त का ठीक एक बिंदु होता है; और वृत्त में कोई अन्य बिंदु नहीं है।

एक निलपोटेंट तत्व द्वारा उत्पन्न बीजगणित आइसोमोर्फिक है $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ और दोहरी संख्या के विमान के लिए।

डीकंपोज़ेबल केस

दो शीट्स का हाइपरबोलॉइड, विभाजित-जटिल कल्पनाओं का स्रोत

यह वह मामला है जहां N(q) > 0. दे ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ किसी के पास

$q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

यह इस प्रकार है कि 1/n q समीकरण की दो शीटों के अतिपरवलयज से संबंधित है $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ इसलिए, वास्तविक संख्याएँ हैं n, t, u ऐसा है कि 0 ≤ t < 2π और

$p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .$

यह उन सभी विभाजन-चतुर्भुजों का पैरामीट्रिजेशन है जिनके अवास्तविक भाग का सकारात्मक मानदंड है।

यह दो शीट्स के हाइपरबोलॉइड के विपरीत बिंदुओं के जोड़े द्वारा संबंधित सबलजेब्रस का एक पैरामीटर भी है: प्रपत्र के विभाजन-चतुर्भुज $\cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k}$ दो शीटों का एक अतिपरवलयज बनाएँ; सकारात्मक मानक के अवास्तविक भाग के साथ एक विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न एक सबलजेब्रा में इस हाइपरबोलॉइड पर दो विपरीत बिंदु होते हैं, प्रत्येक शीट पर एक; और अतिपरवलयज में कोई अन्य बिंदु नहीं होता है।

सकारात्मक मानदंड के एक अवास्तविक भाग के साथ एक विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न बीजगणित आइसोमोर्फिक है $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ और विभाजित-जटिल संख्याओं के तल पर। यह आइसोमॉर्फिक (बीजगणित के रूप में) भी है $\mathbb {R} ^{2}$ द्वारा परिभाषित मानचित्रण द्वारा ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

अविभाज्य मामला

एक शीट का हाइपरबोलाइड, काल्पनिक इकाइयों का स्रोत।
(ऊर्ध्वाधर अक्ष कहा जाता है x लेख में)

यह वह मामला है जहां N(q) < 0. दे ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ किसी के पास

$q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

यह इस प्रकार है कि 1/n q समीकरण की एक शीट के हाइपरबोलॉइड से संबंधित है $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$ इसलिए, वास्तविक संख्याएँ हैं n, t, u ऐसा है कि 0 ≤ t < 2π और

$p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .$

यह सभी विभाजन-चतुर्भुजों का पैरामीट्रिजेशन है, जिनके अवास्तविक भाग में नकारात्मक मानदंड है।

यह एक शीट के हाइपरबोलॉइड के विपरीत बिंदुओं के जोड़े द्वारा संबंधित सबलेजब्रस का एक पैरामीटर भी है: प्रपत्र के विभाजन-चतुर्भुज $\sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k}$ एक शीट का हाइपरबोलॉइड बनाएं; नकारात्मक मानक के एक अवास्तविक भाग के साथ एक विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न एक सबलजेब्रा में इस हाइपरबोलॉइड पर ठीक दो विपरीत बिंदु होते हैं; और अतिपरवलयज में कोई अन्य बिंदु नहीं होता है।

नकारात्मक मानदंड के एक अवास्तविक भाग के साथ एक विभाजन-चतुर्भुज द्वारा उत्पन्न बीजगणित आइसोमोर्फिक है $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ और मैदान में $\mathbb {C}$ जटिल संख्याओं का।

आदर्श द्वारा स्तरीकरण

जैसा कि ऊपर देखा गया है, आदर्श के विशुद्ध रूप से अवास्तविक विभाजन-चतुर्भुज –1, 1 और 0 गैर-वास्तविक चतुष्कोणों के स्थान में क्रमशः एक शीट का हाइपरबोलॉइड, दो शीट का एक हाइपरबोलॉइड और एक गोलाकार शंकु बनाता है।

ये सतहें जोड़ीदार स्पर्शोन्मुख हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। उनके सेट पूरक में छह जुड़े हुए क्षेत्र शामिल हैं:

• दो शीटों के हाइपरबोलॉइड के अवतल पक्ष पर स्थित दो क्षेत्र, जहाँ $N(q)>1$
• दो शीटों के अतिपरवलयज और शंकु के बीच के दो क्षेत्र, जहां $0<N(q)<1$
• शंकु और एक शीट के अतिपरवलयज के बीच का क्षेत्र जहां $-1<N(q)<0$
• एक शीट के अतिपरवलयज के बाहर का क्षेत्र, जहाँ $N(q)<-1$

इस स्तरीकरण को एक निश्चित मानदंड के विभाजन-चतुर्भुजों पर विचार करके परिष्कृत किया जा सकता है: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए n ≠ 0 आदर्श के विशुद्ध रूप से अवास्तविक विभाजन-चतुर्भुज n एक अतिपरवलयज बनाता है। ये सभी हाइपरबोलाइड उपरोक्त शंकु के स्पर्शोन्मुख हैं, और इनमें से कोई भी सतह किसी अन्य को नहीं काटती है। चूंकि पूरी तरह से अवास्तविक विभाजन-चतुर्भुजों का सेट इन सतहों का अलग संघ है, यह वांछित स्तरीकरण प्रदान करता है।

ऐतिहासिक नोट्स

Coquaternions शुरू में पेश किए गए थे (उस नाम के तहत) 1849 में लंदन-एडिनबर्ग-डबलिन दार्शनिक पत्रिका में जेम्स कॉकल द्वारा। 1904 की ग्रंथ सूची में कॉकल द्वारा परिचयात्मक पत्रों को याद किया गया था क्वाटरनियन सोसायटी के। 1900 में पेरिस में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में बोल रहे अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने विभाजन-चतुर्भुज वैक्टर की संरचना को एक गोलाकार प्रणाली कहा। इकाई क्षेत्र को 1910 में हैंस बेक द्वारा माना गया था। उदाहरण के लिए, डायहेड्रल समूह पृष्ठ 419 पर दिखाई देता है। विभाजन-चतुर्भुज संरचना का भी संक्षेप में गणित के इतिहास में उल्लेख किया गया है। 1995 में इयान पोर्टियस ने क्लिफोर्ड बीजगणित और हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं के संदर्भ में विभाजित-चतुर्थक रखे।

पर्यायवाची

• Para-quaternions (Ivanov and Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) para-quaternionic संरचनाओं के साथ मैनिफोल्ड्स का अध्ययन अंतर ज्यामिति और स्ट्रिंग सिद्धांत में किया जाता है। पैरा-क्वाटरनियोनिक साहित्य में k को -k से बदल दिया गया है।
• बाह्यगोलीय प्रणाली (मैकफर्लेन 1900)
• स्प्लिट-चतुर्भुज (रोसेनफेल्ड 1988)
• पुरातनपंथी (रोसेनफेल्ड 1988)
• छद्म चतुर्भुज (याग्लोम 1968 रोसेनफेल्ड 1988)

यह भी देखें

• पॉल मैट्रिसेस
• विभाजन-द्विभाजित
• स्प्लिट-ऑक्शन
• दोहरी चतुष्कोण

अग्रिम पठन

• Brody, Dorje C., and Eva-Maria Graefe. "On complexified mechanics and coquaternions." Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi:10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Parahermitian and paraquaternionic manifolds", Differential Geometry and its Applications 23, pp. 205–234, arXiv:math.DG/0310415, MR2158044.
• Mohaupt, Thomas (2006), "New developments in special geometry", arXiv:hep-th/0602171.
• Özdemir, M. (2009) "The roots of a split quaternion", Applied Mathematics Letters 22:258–63. [1]
• Özdemir, M. & A.A. Ergin (2006) "Rotations with timelike quaternions in Minkowski 3-space", Journal of Geometry and Physics 56: 322–36.[2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Some algebraic and analytical properties of coquaternion algebra, Advances in Applied Clifford Algebras.