हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण

भौतिकी में, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, विलियम रोवन हैमिल्टन और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के नाम पर आधारित यांत्रिकी का वैकल्पिक सूत्रीकरण है, जो न्यूटन के गति के नियमों, लैग्रैंगियन यांत्रिकी और हैमिल्टन यांत्रिकी जैसे अन्य योगों के समान है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण यांत्रिक प्रणालियों के लिए संरक्षित मात्राओं को प्रमाणित करने में विशेष रूप से उपयोगी है, जो तब भी संभव हो सकता है जब यांत्रिक समस्या का पूर्ण रूप से समाधान नहीं किया जा सकता है।

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण यांत्रिकी का सूत्रीकरण है जिसमें कण की गति को तरंग के रूप में दर्शाया जा सकता है। प्रकाश का संचरण और कण की गति के मध्य समानता ज्ञात करने के लिए सैद्धांतिक भौतिकी (अठारहवीं शताब्दी में जोहान बर्नौली) के लक्ष्य को पूर्ण किया गया। यांत्रिक प्रणाली में तरंग समीकरण, श्रोडिंगर समीकरण के समान नहीं है, जैसा कि नीचे वर्णित है, इसलिए, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को क्वांटम यांत्रिकी के निकटतम दृष्टिकोण माना जाता है।

गणित में, विचरण कलन से प्रश्नों के सामान्यीकरण में ज्यामिति का वर्णन करने के लिए हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण आवश्यक स्तिथि है। गतिशील प्रोग्रामिंग में हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण का अध्ययन विशेष विषय के रूप में किया जाता है|

रेफरी>Kálmán, Rudolf E. (1963). "The Theory of Optimal Control and the Calculus of Variations". In Bellman, Richard (ed.). गणितीय अनुकूलन तकनीक. Berkeley: University of California Press. pp. 309–331. OCLC 1033974.</ref>

नोटेशन

बोल्डफेस चर जैसे $\mathbf {q}$, $N$ सामान्यीकृत निर्देशांक की सूची का प्रतिनिधित्व करते हैं,

$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})$

चर या सूची पर बिंदु समय के व्युत्पन्न को दर्शाता है (न्यूटन के अंकन देखें)। उदाहरण के लिए,

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.$

निर्देशांकों की समान संख्या की दो सूचियों के मध्य डॉट गुणनफल संकेतन संबंधित घटकों के गुणनफल के योग के लिए आशुलिपि है, जैसे कि

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$

हैमिल्टन का प्रमुख कार्य

परिभाषा

माना, हेसियन मैट्रिक्स ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$ व्युत्क्रमणीय है। यह सम्बन्ध

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,$

दर्शाता है कि यूलर-लैग्रेंज समीकरण द्वितीय कोटि के साधारण अवकल समीकरणों की $n\times n$ प्रणाली बनाते हैं। मैट्रिक्स $H_{\cal {L}}$ का व्युत्क्रम इस प्रणाली को परिवर्तित कर देता है

${\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.$

माना, तात्कालिक समय $t_{0}$ और बिंदु $\mathbf {q} _{0}\in M$ विन्यास स्थान में स्थायी है। अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय आश्वासन देते हैं कि, प्रत्येक $\mathbf {v} _{0},$ के लिए स्तिथियों $\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}$ और ${\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}$ के साथ प्रारंभिक मान समस्या का स्थानीय रूप से अद्वितीय समाधान $\gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).$ है| इसके अतिरिक्त, $(t_{0},t_{1})$ उचित समय अंतराल है जैसे कि विभिन्न प्रारंभिक वेग $\mathbf {v} _{0}$ के साथ एक्स्ट्रीमल्स $M\times (t_{0},t_{1}).$ में प्रतिच्छेद नहीं करेंगे| $\mathbf {q} \in M$ के लिए और कोई $t\in (t_{0},t_{1}),$ अधिकतम अतिवादी $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})$ हो सकता है जिसके लिए $\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}$ और $\gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .$ है| $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})$ को ऐक्शन में रखने पर एचपीएफ में परिणाम होगा-

$S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {L}}(\gamma (\tau ;\cdot ),{\dot {\gamma }}(\tau ;\cdot ),\tau )\,d\tau ,$

जहाँ,

• $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),$
• $\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},$
• $\gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .$

संवेग के लिए सूत्र: p_i(क्यू, टी) = ∂S/∂q^मैं

संवेग को ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$ राशियों के रूप में परिभाषित किया गया है यह खंड दर्शाता है कि $\mathbf {\dot {q}}$ पर $p_{i}$ की निर्भरता एचपीएफ ज्ञात होने के पश्चात् लुप्त हो जाती है।

माना, तात्कालिक समय $t_{0}$ और बिंदु $\mathbf {q} _{0}$ विन्यास स्थान में स्थायी है। समय $t$ और बिंदु q के लिए, मान लीजिये $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})$ हैमिल्टन के प्रमुख कार्य S की परिभाषा से (अद्वितीय) चरम है| वेग $\tau =t$. पर $\mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}$ है,

${\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right|_{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v} }\!\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.$

Proof

While the proof below assumes the configuration space to be an open subset of $\mathbb {R} ^{n},$ the underlying technique applies equally to arbitrary spaces. In the context of this proof, the calligraphic letter ${\cal {S}}$ denotes the action functional, and the italic $S$ the Hamilton's principal function.

Step 1. Let $\xi =\xi (t)$ be a path in the configuration space, and $\delta \xi =\delta \xi (t)$ a vector field along $\xi$. (For each $t,$ the vector $\delta \xi (t)$ is called perturbation, infinitesimal variation or virtual displacement of the mechanical system at the point $\xi (t)$). Recall that the variation $\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]$ of the action ${\cal {S}}$ at the point $\xi$ in the direction $\delta \xi$ is given by the formula

$$\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},$$

where one should substitute $q^{i}=\xi ^{i}(t)$ and ${\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)$ after calculating the partial derivatives on the right-hand side. (This formula follows from the definition of Gateaux derivative via integration by parts).

Assume that $\xi$ is an extremal. Since $\xi$ now satisfies the Euler–Lagrange equations, the integral term vanishes. If $\xi$'s starting point $\mathbf {q} _{0}$ is fixed, then, by the same logic that was used to derive the Euler–Lagrange equations, $\delta \xi (t_{0})=0.$ Thus,

$$\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).$$

Step 2. Let $\gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ be the (unique) extremal from the definition of HPF, $\delta \gamma =\delta \gamma (\tau )$ a vector field along $\gamma ,$ and $\gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ a variation of $\gamma$ "compatible" with $\delta \gamma .$ In precise terms, $\gamma _{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\gamma ,$ ${\dot {\gamma }}_{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,$ $\gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.$

By definition of HPF and Gateaux derivative,

$$\delta {\cal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\cal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).$$

Here, we took into account that $\mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ and dropped $t_{0}$ for compactness.

Step 3. We now substitute $\xi =\gamma$ and $\delta \xi =\delta \gamma$ into the expression for $\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]$ from Step 1 and compare the result with the formula derived in Step 2. The fact that, for $t>t_{0},$ the vector field $\delta \gamma$ was chosen arbitrarily completes the proof.

गणितीय सूत्रीकरण

हैमिल्टनियन $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ यांत्रिक प्रणाली में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का प्रथम-क्रम है, हैमिल्टन के प्रमुख कार्य के लिए अरेखीय आंशिक अवकल समीकरण $S$ हैं-

$-{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right).$

Derivation

For an extremal $\xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),$ where $\mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}$ is the initial speed (see discussion preceding the definition of HPF),

$${\cal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.$$

From the formula for $p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)$ and the coordinate-based definition of the Hamiltonian

$$H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),$$

with $\mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$ satisfying the (uniquely solvable for $\mathbf {\dot {q}} )$ equation ${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\partial \mathbf {\dot {q}} }},}$ obtain

$${\frac {\partial S}{\partial t}}={\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right),$$

where $\mathbf {q} =\xi (t)$ and $\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t).$

वैकल्पिक रूप से, जैसा कि नीचे वर्णित है, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को हेमिल्टनियन यांत्रिकी से प्राप्त किया जा सकता है $S$ को हैमिल्टनियन के विहित परिवर्तन के लिए जनक फलन (भौतिकी) के रूप में माना जाता है-

$H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).$

संयुग्म संवेग सामान्यीकृत निर्देशांक के संबंध में $S$ के प्रथम डेरिवेटिव के अनुरूप है,

$p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.$

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण के समाधान के रूप में, मुख्य फलन में $N+1$ अनिर्धारित स्थिरांक होते हैं, उनमें से $N$ को $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$ के रूप में दर्शाया गया है और ${\frac {\partial S}{\partial t}}$ के समाकलन से प्राप्त होता है

गति के इन स्थिरांकों के संदर्भ में $\mathbf {p}$ और $\mathbf {q}$ के मध्य का संबंध चरण अंतरिक्ष में कक्षा का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, राशियाँ

$\beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N$

गति के स्थिरांक हैं और सभी $\alpha$ और $\beta$ स्थिरांक और समय के फलन के रूप में q को प्राप्त करने के लिए इन समीकरणों के क्रम में परिवर्तन किया जा सकता है।

यांत्रिकी के अन्य योगों के साथ तुलना

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण $N$ सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}$ और समय $t$ के कार्य के लिए एक एकल, प्रथम-क्रम आंशिक अवकल समीकरण है। $S$ के डेरिवेटिव के अतिरिक्त सामान्यीकृत संवेग प्रकट नहीं होता है। उल्लेखनीय रूप से, $S$ फलन ऐक्शन (भौतिकी) के समान है।

तुलना के लिए, लैग्रैंगियन यांत्रिकी की गति समतुल्य यूलर-लग्रेंज समीकरणों में, संयुग्म संवेग भी प्रकट नहीं होता है| चूँकि, वे समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक के समय के विकास के लिए सामान्यतः दूसरे क्रम के समीकरण $N$ की प्रणाली हैं। हैमिल्टन के गति के समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक के समय विकास और उनके संयुग्म संवेग $p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}$ के लिए 2N प्रथम-क्रम समीकरणों की अन्य प्रणाली है।

चूँकि HJE हैमिल्टन के सिद्धांत जैसी अभिन्न न्यूनीकरण समस्या की समान अभिव्यक्ति है, HJE गणित और भौतिकी की विविधताओं और शाखाओं की गणना की अन्य समस्याओं जैसे कि गतिशील प्रणाली, सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति और क्वांटम अराजकता में उपयोगी हो सकता है| उदाहरण के लिए, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों का उपयोग रीमैनियन मैनिफ़ोल्ड पर जियोडेसिक्स निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जो कि रिमेंनियन ज्यामिति में विविधताओं की महत्वपूर्ण गणना है।

विहित रूपांतरण का उपयोग करके व्युत्पत्ति

टाइप -2 जनरेटिंग फ़ंक्शन $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ से जुड़े किसी भी विहित परिवर्तन से संबंध बनते हैं-

$\mathbf {p} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} },\quad \mathbf {Q} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} },\quad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}$

और नए चर $\mathbf {P} ,\,\mathbf {Q}$ और नए हैमिल्टनियन $K$ के संदर्भ में हैमिल्टन के समीकरणों रूप है-

${\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.$

HJE प्राप्त करने के लिए, जनरेटिंग फ़ंक्शन $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ इस प्रकार से चयन किया जाता है कि, यह नया हैमिल्टनियन $K=0$ बना देगा| इसलिए, इसके सभी डेरिवेटिव भी शून्य हैं और रूपांतरित हैमिल्टन के समीकरण महत्त्वहीन हो जाते हैं

${\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0$

इसलिए नए सामान्यीकृत निर्देशांक और संवेग गति के स्थिरांक हैं। जैसा कि वे स्थिर हैं, इस संदर्भ में नए सामान्यीकृत संवेग $\mathbf {P}$ को सामान्यतः $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$, अर्थात $P_{m}=\alpha _{m}$ और नए सामान्यीकृत निर्देशांक $\mathbf {Q}$ को सामान्यतः $\beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}$ के रूप में चिह्नित किया जाता है, इसलिए $Q_{m}=\beta _{m}$ है।

जनरेटिंग फ़ंक्शन को हैमिल्टन के मुख्य फ़ंक्शन के साथ-साथ स्वेच्छ स्थिरांक $A$ के समान सेट करना-

$G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,$

HJE स्वतः रूप से उत्पन्न होता है,

$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,\rightarrow \,H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0.$

$S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)$ के लिए हल करने पर, ये हमें उपयोगी समीकरण प्रदान करते हैं-

$\mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},$

या स्पष्टता के लिए घटकों में लिखा गया है

$Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.$

आदर्श रूप से, स्थिरांक ${\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},$ और $t$ के फलन के रूप में मूल सामान्यीकृत निर्देशांक $\mathbf {q}$ को ज्ञात करने के लिए इन N समीकरणों के क्रम में परिवर्तन किया जा सकता है, इस प्रकार मूल प्रश्न को हल किया जाता है।

क्रिया और हैमिल्टन के कार्य

हैमिल्टन का मुख्य फलन S और शास्त्रीय फलन H दोनों ही क्रिया (भौतिकी) से निकटता से संबंधित हैं। $S$ का सम्पूर्ण अवकल है-

$dS=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial S}{\partial t}}dt$

इसलिए S का समय अवकलज है

${\frac {dS}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial S}{\partial t}}=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H=L.$

इसलिए,

$S=\int L\,dt,$

इसलिए S वास्तव में क्रिया और अनिर्धारित स्थिरांक है।

जब H स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है,

$W=S+Et=S+Ht=\int (L+H)\,dt=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} ,$

इस स्तिथि में W संक्षिप्त क्रिया के समान है।

चरों का पृथक्करण

HJE अधिक उपयोगी होता है जब इसे चरों के पृथक्करण के माध्यम से हल किया जा सकता है, जो गति के स्थिरांक को प्रमाणित करता है। उदाहरण के लिए, समय t को भिन्न किया जा सकता है यदि हैमिल्टन समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है। उस स्तिथि में, एचजेई में समय व्युत्पन्न ${\frac {\partial S}{\partial t}}$ स्थिर होना चाहिए जिसे सामान्यतः ($-E$) में निरूपित किया जाता है, जो पृथक समाधान देता है-

$S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et$

जहाँ समय-स्वतंत्र फलन $W(\mathbf {q} )$ को कभी-कभी हैमिल्टन का अभिलक्षणिक फलन कहा जाता है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को तब लिखा जा सकता है-

$H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E.$

अन्य चरों के लिए पृथक्करणीयता को स्पष्ट करने के लिए, निश्चित सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{k}$ और इसके व्युत्पन्न ${\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}$ को फलन के रूप में प्रकट होने के लिए माना जाता है

$\psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)$

हैमिल्टनियन में

$H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).$

उस स्थिति में, फलन S को दो फलनों में विभाजित किया जा सकता है, एक जो मात्र q_k पर निर्भर करता है और दूसरा जो मात्र शेष सामान्यीकृत निर्देशांकों पर निर्भर करता है-

$S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).$

इन सूत्रों को हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण में रखने पर ज्ञात होता है कि फ़ंक्शन ψ स्थिर होना चाहिए (यहाँ $\Gamma _{k}$ के रूप में दर्शाया गया है), $S_{k}(q_{k}),$ के लिए प्रथम-क्रम अवकल समीकरण माना जाता है

$\psi \left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}.$

फलन $S$ को $N$ फलनों में पूर्ण रूप से भिन्न किया जा सकता है $S_{m}(q_{m}),$

$S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.$

ऐसी स्थिति में, $N$ साधारण अवकल समीकरणों में परिवर्तित हो जाता है|

S की पृथक्करणीयता हैमिल्टनियन और सामान्यीकृत निर्देशांकों के चुनाव दोनों पर निर्भर करती है। ऑर्थोगोनल निर्देशांक और हैमिल्टन के लिए जिनकी कोई समय निर्भरता नहीं है और सामान्यीकृत गति में द्विघात कार्य हैं, $S$ पूर्ण रूप से वियोज्य होगा यदि संभावित ऊर्जा प्रत्येक समन्वय में योगात्मक रूप से वियोज्य है, जहाँ प्रत्येक समन्वय के लिए संभावित ऊर्जा शब्द हैमिल्टनियन (स्टैकेल स्थितियों) के संबंधित गति अवधि में समन्वय-निर्भर कारक से गुणा किया जाता है। चित्रण के लिए, ऑर्थोगोनल निर्देशांकों में कई उदाहरणों पर अग्र अनुभागों में कार्य किया गया है।

विभिन्न समन्वय प्रणालियों में उदाहरण

Further information: निर्देशांक प्रणाली, ऑर्थोगोनल निर्देशांक, and वक्रीय निर्देशांक

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार निर्देशांक में संरक्षण क्षमता U में गतिमान मुक्त कण का हैमिल्टनियन निम्लिखित है-

$H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).$

इन निर्देशांकों में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण पूर्ण रूप से वियोज्य है $U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )$ जिसमे $U$ को समरूप में लिखा जा सकता है

$U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.$

पूर्ण रूप से वियोज्य समाधान को

$S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et$

HJE में रखने पर निम्लिखित समीकरण प्राप्त होता है-

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.$

इस समीकरण को साधारण अवकल समीकरणों के क्रमिक एकीकरण द्वारा हल किया जा सकता है, जो $\phi$ के समीकरण से प्रारम्भ होता है

$\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }$

जहाँ $\Gamma _{\phi }$ गति का स्थिरांक है जो हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण से $\phi$ निर्भरता को समाप्त करता है-

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=E.$

अग्र साधारण अवकल समीकरण में $\theta$ सामान्यीकृत समन्वय सम्मिलित है-

$\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }$

जहाँ $\Gamma _{\theta }$ पुनः गति का स्थिरांक है जो $\theta$ निर्भरता को विलोपित करता है और HJE को अंतिम साधारण अवकल समीकरण में कम कर देता है

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E$

जिसका समाकलन $S$ के समाधान को पूर्ण करता है|

अण्डाकार बेलनाकार निर्देशांक

अण्डाकार बेलनाकार निर्देशांक में हैमिल्टनियन लिखा जा सकता है

$H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)$

जहाँ दीर्घवृत्त का फोकस (ज्यामिति) x-अक्ष पर $\pm a$ स्थित होता है| इन निर्देशांकों में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण पूर्ण रूप से वियोज्य है, यदि $U$ समान रूप है-

$U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)$

जहाँ : $U_{\mu }(\mu )$, $U_{\nu }(\nu )$ और $U_{z}(z)$ आरबिटरेरी फलन हैं।

$S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et$ को HJE में रखने पर निम्लिखित समीकरण प्राप्त होता है-

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E.$

साधारण अवकल समीकरण को पृथक करने पर

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}$

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्राप्त होता है (हर द्वारा दोनों पक्षों की पुन: व्यवस्था और गुणन के पश्चात्)

$\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)$

जिसे स्वयं दो स्वतंत्र साधारण अवकल समीकरणों में पृथक किया जा सकता है-

$\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }$

$\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }$

समीकरण का हल $S$ के समाधान को पूर्ण करता है|

परवलयिक बेलनाकार निर्देशांक

परवलयिक बेलनाकार निर्देशांक में हैमिल्टनियन लिखा जा सकता है-

$H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).$

इन निर्देशांकों में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण पूर्ण रूप से वियोज्य है, यदि $U$ समान रूप है

$U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)$

जहाँ $U_{\sigma }(\sigma )$, $U_{\tau }(\tau )$, और $U_{z}(z)$ आरबिटरेरी फलन हैं।

$S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}}$ को HJE में रखने पर निम्लिखित समीकरण प्राप्त होता है-

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E.$

साधारण अवकल समीकरण को पृथक करने पर

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}$

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्राप्त होता है (हर द्वारा दोनों पक्षों की पुन: व्यवस्था और गुणन के पश्चात्)

$\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)$

जिसे स्वयं दो स्वतंत्र साधारण अवकल समीकरणों में पृथक किया जा सकता है-

$\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }$

$\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }$

समीकरण का हल $S$ के समाधान को पूर्ण करता है|

तरंगें और कण

ऑप्टिकल तरंग मोर्चों और प्रक्षेपवक्र

HJE प्रक्षेपवक्र और तरंगाग्र के मध्य द्वैत स्थापित करता है। उदाहरण के लिए, ज्यामितीय प्रकाशिकी में, प्रकाश को किरणों या तरंगों के रूप में माना जा सकता है। तरंगाग्र को सतह ${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है कि समय ${\textstyle t=0}$ पर उत्सर्जित प्रकाश समय ${\textstyle t}$ पर पहुंच गया है। प्रकाश किरणें और तरंगाग्र द्वैत हैं- यदि एक ज्ञात है, तो दूसरे का अनुमान लगाया जा सकता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी परिवर्तनशील समस्या है जहाँ क्रिया पथ के साथ यात्रा का समय ${\textstyle T}$ है,

$$T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds$$

जहाँ ${\textstyle n}$ माध्यम का अपवर्तक सूचकांक है और ${\textstyle ds}$ अपरिमेय चाप लंबाई है। उपरोक्त सूत्रीकरण से, यूलर-लैग्रेंज सूत्रीकरण का उपयोग करके किरण पथों की गणना की जा सकती है| वैकल्पिक रूप से, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को हल करके तरंगाग्र की गणना की जा सकती है।

उपरोक्त द्वैत सामान्य है और सभी प्रणालियों पर प्रस्तावित होता है जो परिवर्तनशील सिद्धांत से प्राप्त होता है जिसमें या तो यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करके प्रक्षेपवक्र की गणना की जाती है अथवा हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का उपयोग करके तरंगाग्र की गणना की जाती है।

प्रणाली के लिए समय ${\textstyle t}$ पर तरंगाग्र, प्रारंभ में ${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$ समय ${\textstyle t_{0}}$ पर, बिंदुओं के संग्रह ${\textstyle \mathbf {q} }$ के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$ है। यदि ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$ ज्ञात है, तो संवेग का शीघ्र अनुमान लगाया जाता है-

$$\mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.$$

${\textstyle \mathbf {p} }$ ज्ञात हो जाने पर, प्रक्षेपवक्र ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ के लिए स्पर्शरेखा की गणना निम्लिखित समीकरण को हल करने पर प्राप्त होती है-

$${\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}$$

जहाँ ${\textstyle {\cal {L}}}$ लैग्रेंगियन है। प्रक्षेपवक्र ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ से पुनर्प्राप्त किए जाते हैं|

श्रोडिंगर समीकरण से संबंध

Further information: Eikonal approximation

फलन $S(\mathbf {q} ,t)$ की समपृष्ठ सतहें किसी भी समय t पर निर्धारित की जा सकती हैं। समय के फलन के रूप में $S$-आइसोसर्फेस की गति को आइसोसर्फेस पर $\mathbf {q}$ बिंदु से प्रारंभ होने वाले कणों की गति से परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार की आइसोसर्फेस की गति को $\mathbf {q}$-स्पेस के माध्यम से चलने वाली लहर के रूप में माना जा सकता है, चूँकि यह तरंग समीकरण का पालन नहीं करती है। इसे दर्शाने के लिए मान लीजिए S तरंग की कला (तरंगों) को निरूपित करता है

$\psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }$

जहाँ $\hbar$ स्थिरांक (प्लैंक स्थिरांक) है, जिसे घातीय पद्धति को निरायाम बनाने के लिए प्रस्तुत किया गया है| तरंग के आयाम में परिवर्तन को $S$ द्वारा सम्मिश्र संख्या के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को पुनः अंकित किया जाता है-

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

यह श्रोडिंगर समीकरण है।

इसके विपरीत, श्रोडिंगर समीकरण और $\psi$ के लिए ansatz, से प्रारम्भ करते हुए, यह परिणाम प्राप्त होता है

${\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.$

सीमा ($\hbar \rightarrow 0$) उपरोक्त श्रोडिंगर समीकरण से हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण के निम्नलिखित संस्करण के समान हो जाती है,

${\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

अनुप्रयोग

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में HJE

विराम द्रव्यमान $m$ के कण के लिए ऊर्जा-संवेग संबंध $g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0$ का उपयोग घुमावदार स्थान में यात्रा कर रहा है, जहाँ $g^{\alpha \beta }$ आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों से हल किए गए मीट्रिक टेंसर प्रतिपरिवर्ती निर्देशांक हैं और c प्रकाश की गति है। चार-गति $P_{\alpha }$ क्रिया $S$ के चार-ग्रेडिएंट के समान है

$P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}$

मीट्रिक $g$ द्वारा निर्धारित ज्यामिति में हैमिल्टन-जैकोबी निम्नलिखित समीकरण देता है-

$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,$

दूसरे शब्दों में, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में समीकरण प्राप्त होता है।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों में HJE

विराम द्रव्यमान $m$ के कण के लिए और विद्युत आवेश $e$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में निर्वात में चार-विभव $A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )$ के साथ घूम रहा है, मीट्रिक टेन्सर द्वारा निर्धारित ज्यामिति में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण $g^{ik}=g_{ik}$ रूप है

$g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}$

और हैमिल्टन प्रिंसिपल एक्शन फंक्शन $S$ के लिए हल किया जा सकता है कण प्रक्षेपवक्र और संवेग के लिए समाधान निम्नलिखित है-

$x=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,$

$y=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,$

$z=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,$

$\xi =ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,$

$p_{x}=-{\frac {e}{c}}A_{x}$, $p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},$

$p_{z}={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),$

${\mathcal {E}}=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),$

जहाँ $\xi =ct-z$ और $\gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}$ के साथ ${\overline {\mathbf {A} }}$ सदिश विभव का औसत चक्र है।

गोलाकार ध्रुवीकृत तरंग

वृत्तीय ध्रुवण की स्तिथि में,

$E_{x}=E_{0}\sin \omega \xi _{1}$, $E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},$

$A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1}$, $A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.$

इस प्रकार

$x=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},$

$y=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},$

$p_{x}=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},$

$p_{y}={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},$

जहाँ $\xi _{1}=\xi /c$, कण स्थायी त्रिज्या $ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}$ के साथ गोलाकार प्रक्षेपवक्र के साथ घूम रहा है और चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर के साथ निर्देशित संवेग $eE_{0}/\omega ^{2}$ का अचल मान है|

एकवर्णी रैखिक ध्रुवीकृत समतल तरंग

समतल, मोनोक्रोमैटिक, रैखिक रूप से ध्रुवीकृत तरंग के लिए, क्षेत्र $E$ अक्ष $y$ पर निर्देशित हैं-

$E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},$

$A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},$

इस प्रकार,

$x={\text{const}},$

$y_{0}=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},$

$y=y_{0}\cos \omega \xi _{1}$, $z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},$

$C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }}$, $\gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},$

$p_{x}=0,$

$p_{y,0}={\frac {eE_{0}}{\omega }},$

$p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},$

$p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}$

विद्युत क्षेत्र $E$ वेक्टर के साथ उन्मुख लंबे अक्ष के साथ कण आकृति -8 प्रक्षेपवक्र को प्रस्तावित करता है।

सोलेनोइडल चुंबकीय क्षेत्र के साथ विद्युत चुम्बकीय तरंग

अक्षीय (सोलनॉइडल) चुंबकीय क्षेत्र के साथ विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए-

$E=E_{\phi }={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi _{1},$

$A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},$

इस प्रकार

$x={\text{constant}},$

$y_{0}=-{\frac {e\rho _{0}B_{0}}{\gamma \omega }},$

$y=y_{0}\cos \omega \xi _{1},$

$z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},$

$C_{z}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},$

$\gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}},$

$p_{x}=0,$

$p_{y,0}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},$

$p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},$

$p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},$

जहाँ $B_{0}$, प्रभावी त्रिज्या $\rho _{0}$, आगमनात्मकता $L_{s}$, वाइंडिंग्स की संख्या $N_{s}$ और सोलनॉइड वाइंडिंग्स के माध्यम से विद्युत प्रवाह परिमाण $I_{0}$ के साथ सोलेनोइड में चुंबकीय क्षेत्र परिमाण है। कण गति चित्र-8 प्रक्षेपवक्र के साथ होती है,

सोलनॉइड चुंबकीय क्षेत्र की अक्षीय सममिति के कारण $yz$ तल दिगंश कोण $\varphi$ के साथ सोलनॉइड अक्ष के लंबवत है।

यह भी देखें

• विहित परिवर्तन
• गति का निरंतर
• हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र
• हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
• WKB सन्निकटन
• क्रिया-कोण निर्देशांक

अग्रिम पठन

• Arnold, V.I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2 ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Hamilton, W. (1833). "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function" (PDF). Dublin University Review: 795–826.
• Hamilton, W. (1834). "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics" (PDF). British Association Report: 513–518.
• Fetter, A. & Walecka, J. (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975). Mechanics. Amsterdam: Elsevier.
• Sakurai, J. J. (1985). Modern Quantum Mechanics. Benjamin/Cummings Publishing. ISBN 978-0-8053-7501-5.
• Jacobi, C. G. J. (1884), Vorlesungen über Dynamik, C. G. J. Jacobi's Gesammelte Werke (in Deutsch), Berlin: G. Reimer, OL 14009561M
• Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). "The Early History of Hamilton-Jacobi Dynamics". Centaurus. 44 (3–4): 161–227. doi:10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x. PMID 17357243.