रैखिक अवकल समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 00:17, 14 September 2022

गणित में, एक रैखिक अंतर समीकरण एक अंतर समीकरण है जिसे अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों में एक रैखिक बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसे निम्न समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है

a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)

जहां $a 0 (x)$ , ..., $a n (x)$ और $b (x)$ अपनी तरह से भिन्न कार्य करते हैं जिसे रैखिक होने की आवश्यकता नहीं है, और $y', ..., y (n)$ चर $x$ के अज्ञात फलन $y$ के क्रमिक अवकलज हैं।

ऐसा समीकरण एक साधारण अवकल समीकरण (ओडीई-ODE) है। एक रैखिक अंतर समीकरण एक रैखिक आंशिक अंतर समीकरण (PDE) भी हो सकता है, यदि अज्ञात फलन कई चर पर निर्भर करता है, और समीकरण में प्रकट होने वाले यौगिक आंशिक व्युत्पन्न हैं।

एक रैखिक अंतर समीकरण या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जैसे कि संबंधित सजातीय समीकरणों में निरंतर गुणांक होते हैं, जिन्हें चतुर्भुज (गणित) द्वारा हल किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समाधानों को विरोधी व्युत्पन्न (antiderivative) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह क्रम एक के रैखिक समीकरण के लिए भी सही है, जिसमें गैर-स्थिर गुणांक होते हैं। गैर-स्थिर गुणांक वाले क्रम दो या उच्चतर के समीकरण को, सामान्य रूप से, द्विघात द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। आदेश दो के लिए, कोवासिक का एल्गोरिथ्म निर्णय लेने की अनुमति देता है क्या समाकलित के संदर्भ में समाधान हैं, और यदि कोई हो तो उनकी गणना करना।

बहुपद गुणांकों वाले समांगी रैखिक अवकल समीकरणों के हलों को होलोनोमिक फलन कहते हैं। कार्यों का यह वर्ग रकम, उत्पाद, आंशिक व्युत्पन्न, एकीकरण, के तहत स्थिर है। और इसमें कई सामान्य कार्य और विशेष कार्य जैसे घातांक फलन, लघुगणक, ज्या (साइन), कोज्या (कोसाइन), उलटा त्रिकोणमितीय फलन, त्रुटि फलन, बेसेल फलन और हाइपरजोमेट्रिक फलन शामिल हैं। परिभाषित अंतर समीकरण और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा उनका प्रतिनिधित्व एल्गोरिदमिक (इन कार्यों पर) कैलकुस के अधिकांश संचालन की अनुमति देता है, जैसे कि विरोधी व्युत्पन्न (antiderivative) की गणना, सीमा (गणित), स्पर्शोन्मुख विस्तार, और किसी भी सटीकता के लिए संख्यात्मक मूल्यांकन, एक प्रमाणित त्रुटि बाध्य के साथ।

मूल शब्दावली

एक (रैखिक) अवकल समीकरण में प्रकट होने वाली व्युत्पत्ति का उच्चतम क्रम समीकरण का क्रम है। शब्द $b (x)$ , जो अज्ञात फलन और उसके अवकलजों पर निर्भर नहीं करता है, को कभी-कभी समीकरण का स्थिर पद ( बीजीय समीकरणों के सादृश्य द्वारा) कहा जाता है। तब भी जब यह पद एक अचर फलन है। यदि अचर पद शून्य फलन है, तब अवकल समीकरण को समांगी कहा जाता है, क्योंकि यह अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों में एक समांगी बहुपद है। एक रेखीय अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्राप्त समीकरण, शून्य फलन द्वारा अचर पद संबंधित समांगी समीकरण है। एक अंतर समीकरण में निरंतर गुणांक होते हैं यदि संबंधित सजातीय समीकरण में केवल स्थिर फलन गुणांक के रूप में प्रकट होते हैं।

अवकल समीकरण का हल एक ऐसा फलन है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण के समाधान एक सदिश समष्टि बनाते हैं। सामान्य स्थिति में, इस सदिश स्थान का एक परिमित आयाम होता है, जो समीकरण के क्रम के बराबर होता है। एक रेखीय अवकल समीकरण के सभी हल किसी विशेष हल में संबंधित समांगी समीकरण के किसी भी हल को जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं।

रैखिक अंतर प्रचालक

ऑर्डर $i$ का एक बुनियादी अंतर प्रचालक एक मैपिंग है जो किसी भी अवकलनीय फलन को उसके $i$ वें व्युत्पन्न में मैप करता है, या, कई चरों के मामले में, इसके क्रम के आंशिक व्युत्पन्नों में से एक के लिए $i$ । यह आमतौर पर निरूपित किया जाता है

{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}

अविभाज्य कार्यों के मामले में, और

{\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}

$n$ चर के कार्यों के मामले में। मूल अंतर प्रचालकों में ऑर्डर 0 का व्युत्पन्न शामिल है, जो पहचान मानचित्रण है।

एक रैखिक अंतर प्रचालक (संक्षिप्त, इस लेख में, रैखिक प्रचालक या, बस, प्रचालक के रूप में) बुनियादी अंतर प्रचालकों का एक रैखिक संयोजन है, और यह गुणांक के रूप में अलग-अलग कार्यों के साथ शामिल है। अविभाज्य मामले में, एक रैखिक संचालिका का इस प्रकार रूप होता है^[1]

a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},

जहाँ पर $a 0 (x), ..., a n (x)$ अलग-अलग कार्य हैं, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $n$ प्रचालक एक आदेश स्वरूप है (यदि $a n (x)$ शून्य कार्य नहीं है)।

मान लीजिए $L$ एक रैखिक अवकलन संकारक है। फलन $f$ के लिए $L$ के अनुप्रयोग को आमतौर पर $Lf$ या $Lf (X)$ के रूप में दर्शाया जाता है, यदि किसी को चर निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है (इसे गुणन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)। एक रैखिक अंतर प्रचालक एक रैखिक प्रचालक है, चूंकि यह रकम को रकम और उत्पाद को एक अदिश द्वारा उत्पाद को उसी अदिश द्वारा मैप करता है।

चूंकि दो रैखिक प्रचालकों का योग एक रैखिक प्रचालक को प्रदर्शित करता है, साथ ही एक अवकलनीय फलन द्वारा रैखिक संचालिका का गुणनफल (बाईं ओर), रैखिक अंतर प्रचालक वास्तविक संख्याओं या जटिल संख्याओं पर एक सदिश (वेक्टर) स्थान बनाते हैं (विचार किए गए कार्यों की प्रकृति के आधार पर)। वे अवकलनीय कार्यों के वलय के ऊपर एक मुक्त प्रतिरूप भी बनाते हैं।

प्रचालकों की भाषा अलग-अलग समीकरणों के लिए एक सुगठित लेखन की अनुमति देती है: यदि

L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},

एक रैखिक अंतर प्रचालक है, तो समीकरण

a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)

हम इस समीकरण को इस तरह से भी लिख सकते हैं

Ly=b(x).

इस तरह के संकेतन के और भी कई रूप हो सकते हैं; विशेष रूप से भेदभाव का चर

यह $y$ में स्पष्ट रूप से दिखाई दे सकता है या नहीं और यह दाहिने हाथ और समीकरण में भी दिखाई दे सकता है, जैसे $Ly (x) = b (x)$ या $Ly = b$ .

एक रैखिक अंतर प्रचालक का कर्नेल एक रैखिक मानचित्रण के रूप में इसका कर्नेल (रैखिक बीजगणित) होता है, जो कि (सजातीय) अंतर समीकरण के समाधान का सदिश (वेक्टर) स्थान है $Ly = 0$ .

ऑर्डर $n$ के एक साधारण व्युत्पन्न प्रचालक के मामले में, कैराथेओडोरी के अस्तित्व प्रमेय का तात्पर्य है कि, बहुत हल्की परिस्थितियों में, $L$ का कर्नेल आयाम $n$ का एक सदिश समष्टि है, और यह समीकरण के हल $Ly (x) = b (x)$ का प्रतिरूप है

S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),

जहाँ पर $c 1, ..., c n$ अपने आप उत्पन्न हुई संख्या हैं। आमतौर पर, कैराथियोडोरी के प्रमेय की परिकल्पना एक अंतराल $I$ में संतुष्ट होती है, यदि $I$ कार्य $b, a 0, ..., a n$ में निरंतर हैं, और एक $k$ धनात्मक वास्तविक संख्या है और यह इस प्रकार है कि $| a n (x) | > k$ जहाँ इसका मान $I$ में प्रत्येक $x$ के लिए।

निरंतर गुणांक के साथ सजातीय समीकरण

एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण में निरंतर गुणांक होते हैं अगर इसका रूप है

a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0

जहाँ पर $a 1, ..., a n$ (वास्तविक या जटिल) संख्याएँ हैं। दूसरे शब्दों में, इसमें निरंतर गुणांक होते हैं यदि इसे निरंतर गुणांक वाले रैखिक प्रचालक द्वारा परिभाषित किया जाता है।

निरंतर गुणांक वाले इन अंतर समीकरणों का अध्ययन लियोनहार्ड यूलर के समय का है, जिन्होंने घातीय फलन $e x$ की शुरुआत की थी, जो समीकरण का अनूठा हल है $f' = f$ यह इस प्रकार है कि $f (0) = 1$ . एवं यह इस प्रकार है कि $n$ वें व्युत्पन्न $e cx$ है $c n e cx$ , और यह सजातीय रैखिक अंतर समीकरणों को आसानी से हल करने की अनुमति देता है।

मान लीजिए

a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0

अचर गुणांकों वाला एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण है (अर्थात $a 0, ..., a n$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं)।

इस समीकरण के समाधान खोजना जिसका रूप $e αx$ है स्थिरांक $α$ खोजने के बराबर है इस प्रकार समीकरण कुछ इस प्रकार होगा

a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.

फैक्टरिंग आउट $e αx$ (जो कभी शून्य नहीं होता), दर्शाता है कि $α$ विशेषता बहुपद का मूल होना चाहिए

a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}

विभेदक समीकरण, जो कि विशेषता समीकरण (कैलकुलस) के बाईं ओर है

a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.

जब ये जड़ें सभी अलग-अलग जड़ें हों, तो व्यक्ति के पास $n$ अलग-अलग समाधान हो सकते हैं जो आवश्यक रूप से वास्तविक नहीं होते हैं, भले ही समीकरण के गुणांक वास्तविक हों या ना हों। इन समाधानों के मूल्यों के लिएवेंडरमोंडे निर्धारक पर विचार करे, इन समाधानों को रैखिक रूप से स्वतंत्र दिखाया जा सकता है $x = 0, ..., n - 1$ . साथ में वे व्युत्पन्न समीकरण (यानी व्युत्पन्न प्रचालक का कर्नेल) के हल के रुप में सदिश स्थान का मौलिक रुप (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं।

उदाहरण

:

y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0

विशेषता समीकरण है

z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.

इसमें शून्य है, $i$ , $- i$ , तथा $1$ (multiplicity 2). समाधान का आधार इस प्रकार है

e^{ix},\;e^{-ix},\;e^{x},\;xe^{x}.

समाधान का एक वास्तविक आधार इस प्रकार है

\cos x,\;\sin x,\;e^{x},\;xe^{x}.

उस मामले में जहां विशेषता बहुपद में केवल साधारण जड़ें होते हैं, पूर्ववर्ती समाधान सदिश स्थान का पूरा आधार प्रदान करता है। एकाधिक जड़ों के मामले में, आधार रखने के लिए अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान की आवश्यकता होती है। इसका प्रतिरूप कुछ इस प्रकार होतो है

x^{k}e^{\alpha x},

जहाँ पर $k$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है, $α$ गुणन के अभिलक्षणिक बहुपद $m$ का मूल है, तथा $k < m$ . यह सिद्ध करने के लिए कि ये फलन समाधान हैं, कोई टिप्पणी कर सकता है कि यदि $α$ गुणन के अभिलक्षणिक बहुपद $m$ का मूल है, अभिलक्षणिक बहुपद का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है $P (t)(t - α) m$ . इस प्रकार, समीकरण के अंतर प्रचालक को लागू करना जो पहले एम बार प्रचालक ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ , को लागू करने के बराबर है, और फिर वह संकारक जिसके पास विशेषता बहुपद $P$ है। शिफ्ट प्रमेय प्रमेय द्वारा,

\left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},

और इस प्रकार $k + 1$ का आवेदन ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ . एक के बाद शून्य हो जाता है।

जैसे, बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार, बहुपद के मूलों की बहुपदों का योग बहुपद की घात के बराबर होते है, उपरोक्त समाधानों की संख्या अवकल समीकरण के क्रम के बराबर होती है, और ये समाधान समाधानों के सदिश समष्टि का आधार बनाते हैं।

सामान्य स्थिति में जहां समीकरण के गुणांक वास्तविक होते हैं, वास्तविक-मूल्यवान फलन वाले समाधानों का आधार होना आम तौर पर अधिक सुविधाजनक होता है। ऐसा आधार पूर्ववर्ती आधार से यह टिप्पणी करके प्राप्त किया जा सकता है कि, यदि $a + ib$ विशेषता बहुपद का मूल है, तो $a - ib$ एक ही बहुलता की जड़ भी है। इस प्रकार यूलर के सूत्र का उपयोग करके और $x^{k}e^{(a+ib)x}$ तथा $x^{k}e^{(a-ib)x}$ द्वारा $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ तथा $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$ प्रतिस्थापित करके वास्तविक आधार प्राप्त किया जाता है।

दूसरे क्रम का मामला

दूसरे क्रम का एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण लिखा जा सकता है

y''+ay'+by=0,

और इसका अभिलक्षणिक बहुपद है

r^{2}+ar+b.

यदि $a$ तथा $b$ वास्तविक संख्या हैं, विभेदक के आधार पर समाधान के लिए तीन मामले हैं $D = a 2 - 4 b$ . तीनों मामलों में, सामान्य समाधान दो मनमानी स्थिरांक पर निर्भर करता है $c 1$ तथा $c 2$ .

यदि $D > 0$ , अभिलक्षणिक बहुपद के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं $α$ , तथा $β$ . इस मामले में, सामान्य समाधान है

c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}.

यदि $D = 0$ , अभिलक्षणिक बहुपद का दोहरा मूल होता है $- a /2$ , और सामान्य समाधान है

(c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.

यदि $D < 0$ , विशेषता बहुपद में दो जटिल संयुग्म जड़ें होती हैं $α \pm βi$ , और सामान्य समाधान है

c_{1}e^{(\alpha +\beta i)x}+c_{2}e^{(\alpha -\beta i)x},

जिसे यूलर के सूत्र का उपयोग करके वास्तविक रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+c_{2}\sin(\beta x)).

समाधान ढूँढना $y (x)$ संतुष्टि देने वाला $y (0) = d 1$ तथा $y'(0) = d 2$ , उपरोक्त सामान्य समाधान के मानों को $0$ पर और उसके व्युत्पन्न को क्रमशः $d 1$ और $d 2$ के बराबर करता है। इसका परिणाम दो अज्ञात $c 1$ और $c 2$ में दो रैखिक समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली में होता है। इस प्रणाली को हल करने से तथाकथित कौची समस्या का समाधान मिलता है, जिसमें डीईक्यू (DEQ) और उसके व्युत्पन्न के समाधान के लिए $0$ पर मान निर्दिष्ट हैं।

निरंतर गुणांक के साथ गैर-सजातीय समीकरण

अचर गुणांकों के साथ क्रम $n$ का एक गैर-सजातीय समीकरण लिखा जा सकता है

y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),

जहाँ पर $a 1, ..., a n$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, $f$ $x$ का दिया गया कार्य है , तथा $y$ अज्ञात कार्य है (सादगी के लिए, $(x)$ निम्नलिखित में छोड़ा जाएगा)।

ऐसे समीकरण को हल करने की कई विधियाँ होती हैं। सर्वोत्तम विधि फलन की प्रकृति पर निर्भर करती है $f$ जो समीकरण को गैर-सजातीय बनाता है। यदि $f$ घातीय और ज्यावक्रीय कार्यों का एक रैखिक संयोजन है, तो घातीय प्रतिक्रिया सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। यदि, अधिक सामान्यतः, $f$ प्रपत्र के कार्यों का एक रैखिक संयोजन है $x n e ax$ , $x n cos(ax)$ , तथा $x n sin(ax)$ , जहाँ पर $n$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है, और $a$ एक स्थिरांक (जो प्रत्येक पद में समान होना आवश्यक नहीं है), तो अनिर्धारित गुणांकों की विधि का उपयोग किया जा सकता है। और भी अधिक सामान्य, एनीहिलेटर विधि तब लागू होती है जब $f$ एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है, आमतौर पर, एक होलोनोमिक फलन।

सबसे सामान्य विधि स्थिरांक की भिन्नता है, जिसे यहां प्रस्तुत किया गया है।

संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान

y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0

है

y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},

जहाँ पर $(y 1, ..., y n)$ समाधानों के सदिश समष्टि का आधार है और $u 1, ..., u n$ मनमानी स्थिरांक हैं। स्थिरांक की भिन्नता की विधि का नाम निम्नलिखित विचार से लिया गया है। विचार करने के बजाय $u 1, ..., u n$ स्थिरांक के रूप में, उन्हें अज्ञात कार्यों के रूप में माना जा सकता है जिन्हें बनाने के लिए निर्धारित किया जाना है $y$ गैर-सजातीय समीकरण का एक समाधान है। इस उद्देश्य के लिए, कोई बाधाओं को जोड़ता है

{\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}

जिसका अर्थ है (उत्पाद नियम और गणितीय प्रेरण द्वारा)

y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}

के लिये $i = 1, ..., n - 1$ , तथा

y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना $y$ और इन अभिव्यक्तियों द्वारा इसके व्युत्पन्न, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $y 1, ..., y n$ मूल सजातीय समीकरण के समाधान हैं, जो इस प्रकार हैं

f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.

यह समीकरण और ऊपर वाले के साथ $0$ बाएं हाथ के रूप में एक प्रणाली बनाते हैं $n$ में रैखिक समीकरण $u' 1, ..., u' n$ जिनके गुणांक ज्ञात फलन हैं ( $f$ , द $y i$ , और उनके व्युत्पन्न)। इस प्रणाली को रैखिक बीजगणित की किसी भी विधि द्वारा हल किया जा सकता है। विरोधीव्युत्पन्न्स की गणना देता है $u 1, ..., u n$ , और फिर $y = u 1 y 1 + \dots + u n y n$ .

जैसा कि विरोधीव्युत्पन्न को एक स्थिरांक के योग तक परिभाषित किया जाता है, कोई फिर से पाता है कि गैर-सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान एक मनमाना समाधान का योग है और संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान।

चर गुणांक के साथ प्रथम-क्रम समीकरण

के गुणांक को विभाजित करने के बाद क्रम 1 के एक रैखिक साधारण अंतर समीकरण का सामान्य रूप $y'(x)$ , है:

y'(x)=f(x)y(x)+g(x).

यदि समीकरण सजातीय है, अर्थात $g (x) = 0$ , तो हम फिर से लिख सकते है और इसे एकीकृत कर सकते है:

{\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,

जहाँ पर $k$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है और $F=\textstyle \int f\,dx$ $f$ का कोई व्युत्पन्न है। अत: समांगी समीकरण का व्यापक हल कुछ इस प्रकार होगा

y=ce^{F},

जहाँ पर $c = e k$ एक मनमाना स्थिरांक है।

सामान्य गैर-सजातीय समीकरण के लिए, कोई इसे गुणन प्रतिलोम से गुणा कर सकता है $e - F$ सजातीय समीकरण के समाधान के लिए।^[2] इस प्रकार समीकरण कुछ ऐसा होगा

y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.

जैसे $-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),$ उत्पाद नियम समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देता है

{\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.

इस प्रकार, सामान्य समाधान है

y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,

जहाँ पर $c$ एकीकरण का एक स्थिरांक है, और $F$ $f$ का कोई व्युत्पन्न है (एकीकरण की निरंतरता को बदलने के लिए एंटीव्युत्पन्न मात्रा में परिवर्तन)।

उदाहरण

समीकरण हल करने पर

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.

संबंधित सजातीय समीकरण $y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0$ देता है

{\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},

वह है

y={\frac {c}{x}}.

मूल समीकरण को इनमें से किसी एक हल से भाग देने पर प्राप्त होता है

xy'+y=3x^{2}.

वह है

(xy)'=3x^{2},

:

xy=x^{3}+c,

तथा

y(x)=x^{2}+c/x.

प्रारंभिक स्थिति के लिए

y(1)=\alpha ,

एक विशेष समाधान मिलता है

y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}.

रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणाली

रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणाली में कई रैखिक अंतर समीकरण होते हैं जिनमें कई अज्ञात कार्य शामिल होते हैं। सामान्य तौर पर एक अध्ययन को प्रणाली तक सीमित रखता है जैसे कि अज्ञात कार्यों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है।

एक मनमाना रैखिक साधारण अंतर समीकरण और इस तरह के समीकरणों की एक प्रणाली को सभी के लिए चर जोड़कर रैखिक अंतर समीकरणों के पहले क्रम प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है लेकिन उच्चतम क्रम व्युत्पन्न। यानी अगर $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ एक समीकरण में दिखाई देते हैं, कोई उन्हें नए अज्ञात कार्यों $y_{1},\ldots ,y_{k}$ से बदल सकता है, जो समीकरणों $y'=y_{1}$ तथा $y_{i}'=y_{i+1},$ के लिये $i = 1, ..., k - 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।

पहले क्रम की एक रैखिक प्रणाली, जिसमें है $n$ अज्ञात कार्य हैं और $n$ अवकल समीकरणों को सामान्यतः अज्ञात फलनों के व्युत्पन्नों के लिए हल किया जा सकता है। यदि ऐसा नहीं है तो यह समीकरणों की एक अंतर-बीजगणितीय प्रणाली है | विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली, और यह एक अलग सिद्धांत है। इसलिए, यहां जिन प्रणालियों पर विचार किया गया है, इसका रूप है

{\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\\vdots &\\y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}

जहाँ पर $b_{n}$ और $a_{i,j}$ , $x$ के कार्य हैं, आव्यहु (मैट्रिक्स) सूचक में, यह प्रणाली लिखी जा सकती है (छोड़कर $(x)$ )

\mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .

हल करने की विधि एकल प्रथम क्रम रैखिक अंतर समीकरणों के समान है, लेकिन आव्यहु गुणन की गैर-क्रम विनिमेयीकरण नियम से उपजी जटिलताओं के साथ।

मान लीजिए

\mathbf {u} '=A\mathbf {u} .

उपरोक्त आव्यहु समीकरण से जुड़े सजातीय समीकरण बनें।

इसके समाधान आयाम का एक सदिश स्थान बनाते हैं $n$ , और इसलिए कार्यों के एक वर्ग आव्यहु , $U(x)$ के स्तंभ हैं जिसका सारणिक शून्य फलन नहीं है। यदि $n = 1$ , या $A$ स्थिरांक का एक आव्यहु है, या, अधिक सामान्यतः, यदि $A$ इसके विरोधीव्युत्पन्न के साथ आवागमन करता है $\textstyle B=\int Adx$ , तो कोई चुन सकता है $U$ के आव्यहु घातांक के बराबर $B$ . वास्तव में, इन मामलों में, एक है

{\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).

सामान्य स्थिति में सजातीय समीकरण के लिए कोई बंद-रूप समाधान नहीं होता है, और किसी को या तो एक संख्यात्मक विधि , या मैग्नस विस्तार जैसे सन्निकटन विधि का उपयोग करना पड़ता है।

आव्यहु $U$ को जानना, गैर-सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है

\mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,

जहां स्तंभ आव्यहु $\mathbf {y_{0}}$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।

यदि प्रारंभिक शर्तें इस प्रकार दी गई हैं:

\mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},

इन प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करने वाला समाधान है

\mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.

परिवर्तनीय गुणांक के साथ उच्च क्रम

चर गुणांक वाले कोटि के एक रेखीय साधारण समीकरण को द्विघात द्वारा हल किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समाधानों को इंटीग्रल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

कम से कम दो आदेश के मामले में ऐसा नहीं है। यह पिकार्ड वेसियट सिद्धांत का मुख्य परिणाम है जिसे एमिल पिकार्ड और अर्नेस्ट वेसियोट ने शुरू किया था, और जिनके हाल के घटनाक्रमों को डिफरेंशियल गैलोइस थ्योरी कहा जाता है।

चतुर्भुज द्वारा हल करने की असंभवता की तुलना एबेल रफिनी प्रमेय से की जा सकती है, जिसमें कहा गया है कि कम से कम पांच डिग्री के बीजीय समीकरण को आम तौर पर मौलिकता द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। यह सादृश्य प्रमाण विधियों तक फैला हुआ है और विभेदक गैलोइस सिद्धांत के संप्रदाय को प्रेरित करता है।

इसी तरह बीजगणितीय मामले के लिए, सिद्धांत निर्णय लेने की अनुमति देता है कौन से समीकरणों को चतुर्भुज द्वारा हल किया जा सकता है, और यदि संभव हो तो उनका समाधान करें। हालाँकि, दोनों सिद्धांतों के लिए, आवश्यक संगणनाएँ अत्यंत कठिन हैं, सबसे शक्तिशाली कंप्यूटर के साथ भी।

कॉची-यूलर समीकरण

कॉची-यूलर समीकरण चर गुणांक वाले किसी भी क्रम के समीकरणों के उदाहरण हैं,जिसे स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है। ये फॉर्म के समीकरण हैं

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0,

कहाँ पे

a_{0},\ldots ,a_{n-1}

स्थिर गुणांक हैं।

होलोनोमिक फलन

एक होलोनोमिक फलन, जिसे डी (D) परिमित फलन भी कहा जाता है, और यह एक ऐसा फलन है जो बहुपद गुणांकों वाले सजातीय रैखिक अवकल समीकरण का हल है।

आमतौर पर गणित में जिन कार्यों पर विचार किया जाता है, वे होलोनोमिक या होलोनोमिक फलन के भागफल होते हैं। वास्तव में, होलोनोमिक कार्यों में बहुपद, बीजगणितीय कार्य, लघुगणक, घातीय कार्य, ज्या, कोज्या, हाइपरबॉलिक ज्या, हाइपरबॉलिक कोज्या, उलटा त्रिकोणमितीय और उलटा हाइपरबॉलिक फलन शामिल हैं और कई विशेष कार्य जैसे बेसेल फलन और हाइपरजोमेट्रिक फलन।

होलोनोमिक फलन में कई बंद संपत्ति गुण होते हैं; विशेष रूप से, योग, उत्पाद, व्युत्पन्न और होलोनोमिक कार्यों के अभिन्न अंग होलोनोमिक हैं। इसके अलावा, ये बंद गुण प्रभावी हैं, इस अर्थ में कि इनमें से किसी भी प्रचालक के परिणाम के अंतर समीकरण की गणना के लिए कलन विधि हैं,^[3] इनपुट के अंतर समीकरणों को जानते हुए। [3] होलोनोमिक फलन की अवधारणा की उपयोगिता ज़िलबर्गर के प्रमेय का परिणाम है, जो इस प्रकार है।^[3]

एक होलोनोमिक अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम है जो बहुपद गुणांकों के साथ पुनरावृत्ति संबंध द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। एक होलोनोमिक फलन के एक बिंदु पर टेलर श्रृंखला के गुणांक एक होलोनोमिक अनुक्रम बनाते हैं। इसके विपरीत, यदि किसी घात श्रेणी के गुणांकों का क्रम समरूप है, तब श्रृंखला एक होलोनोमिक फलन को परिभाषित करती है (भले ही अभिसरण की त्रिज्या शून्य हो)। दोनों रूपांतरणों के लिए कुशल एल्गोरिदम हैं, यह अंतर समीकरण से पुनरावृत्ति संबंध की गणना के लिए इसके विपरीत है।^[3]

यह इस प्रकार है कि, यदि कोई अपने परिभाषित अंतर समीकरणों और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा होलोनोमिक कार्यों का प्रतिनिधित्व करता है, तो इन कार्यों पर अधिकांश कैलकुस संचालन स्वचालित रूप से किया जा सकता है,

जैसे कि व्युत्पन्न, अनिश्चित और निश्चित अभिन्न, टेलर श्रृंखला की तेज गणना (इसके गुणांक पर पुनरावृत्ति संबंध के लिए धन्यवाद), अनुमान त्रुटि के प्रमाणित सीमा के साथ उच्च परिशुद्धता का मूल्यांकन, सीमाएं, विलक्षणताओं का स्थानीयकरण, अनंत और निकट पर स्पर्शोन्मुख व्यवहार विलक्षणता, पहचान का प्रमाण, आदि।^[4]

यह भी देखें

निरंतर चुकौती बंधक साधारण समय अंतर समीकरण| निरंतर चुकौती बंधक
फुरियर रूपांतरण
लाप्लास स्थानांतरण
रैखिक अंतर समीकरण
मापदंडों की विविधता

संदर्भ

↑ Gershenfeld 1999, p.9
↑ Motivation: In analogy to completing the square, we write the equation as $y' - fy = g$ , and try to modify the left side so it becomes a derivative. Specifically, we seek an "integrating factor" $h = h (x)$ such that multiplying by it makes the left side equal to the derivative of $hy$ , namely $hy' - hfy = (hy)'$ . This means $h' = - f$ , so that $h = e -\int f dx = e - F$ , as in the text.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Zeilberger, Doron. A holonomic systems approach to special functions identities. Journal of computational and applied mathematics. 32.3 (1990): 321-368
↑ Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezzarobba, M., & Salvy, B. (2010, September). The dynamic dictionary of mathematical functions (DDMF). In International Congress on Mathematical Software (pp. 35-41). Springer, Berlin, Heidelberg.

Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

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रैखिक फिल्टर
मूर्ति प्रोद्योगिकी
करणीय
खास समय
सिग्नल (इलेक्ट्रॉनिक्स)
लगातार कश्मीर फिल्टर
चरण विलंब
एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर
स्थानांतरण प्रकार्य
बहुपदीय फलन
लो पास फिल्टर
अंतःप्रतीक हस्तक्षेप
फ़िल्टर (प्रकाशिकी)
युग्मित उपकरण को चार्ज करें
गांठदार तत्व
पतली फिल्म थोक ध्वनिक गुंजयमान यंत्र
लोहा
परमाणु घड़ी
फुरियर रूपांतरण
लहर (फ़िल्टर)
कार्तीय समन्वय प्रणाली
अंक शास्त्र
यूक्लिडियन स्पेस
मामला
ब्रम्हांड
कद
द्वि-आयामी अंतरिक्ष
निर्देशांक तरीका
अदिश (गणित)
शास्त्रीय हैमिल्टनियन quaternions
quaternions
पार उत्पाद
उत्पत्ति (गणित)
दो प्रतिच्छेद रेखाएँ
तिरछी रेखाएं
समानांतर पंक्ति
रेखीय समीकरण
समानांतर चतुर्भुज
वृत्त
शंकु खंड
विकृति (गणित)
निर्देशांक वेक्टर
लीनियर अलजेब्रा
सीधा
भौतिक विज्ञान
लेट बीजगणित
एक क्षेत्र पर बीजगणित
जोड़नेवाला
समाकृतिकता
कार्तीय गुणन
अंदरूनी प्रोडक्ट
आइंस्टीन योग सम्मेलन
इकाई वेक्टर
टुकड़े-टुकड़े चिकना
द्विभाजित
आंशिक व्युत्पन्न
आयतन तत्व
समारोह (गणित)
रेखा समाकलन का मौलिक प्रमेय
खंड अनुसार
सौम्य सतह
फ़ानो विमान
प्रक्षेप्य स्थान
प्रक्षेप्य ज्यामिति
चार आयामी अंतरिक्ष
विद्युत प्रवाह
उच्च लाभ एंटीना
सर्वदिशात्मक एंटीना
गामा किरणें
विद्युत संकेत
वाहक लहर
आयाम अधिमिश्रण
चैनल क्षमता
आर्थिक अच्छा
आधार - सामग्री संकोचन
शोर उन्मुक्ति
कॉल चिह्न
शिशु की देखरेख करने वाला
आईएसएम बैंड
लंबी लहर
एफएम प्रसारण
सत्य के प्रति निष्ठा
जमीनी लहर
कम आवृत्ति
श्रव्य विकृति
वह-एएसी
एमपीईजी-4
संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन
भू-स्थिर
प्रत्यक्ष प्रसारण उपग्रह टेलीविजन
माध्यमिक आवृत्ति
परमाणु घड़ी
बीपीसी (समय संकेत)
फुल डुप्लेक्स
बिट प्रति सेकंड
पहला प्रतिसादकर्ता
हवाई गलियारा
नागरिक बंद
विविधता स्वागत
शून्य (रेडियो)
बिजली का मीटर
जमीन (बिजली)
हवाई अड्डे की निगरानी रडार
altimeter
समुद्री रडार
देशान्तर
तोपखाने का खोल
बचाव बीकन का संकेत देने वाली आपातकालीन स्थिति
अंतर्राष्ट्रीय कॉस्पास-सरसैट कार्यक्रम
संरक्षण जीवविज्ञान
हवाई आलोक चित्र विद्या
गैराज का दरवाज़ा
मुख्य जेब
अंतरिक्ष-विज्ञान
ध्वनि-विज्ञान
निरंतर संकेत
मिड-रेंज स्पीकर
फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
उष्ण ऊर्जा
विद्युतीय प्रतिरोध
लंबी लाइन (दूरसंचार)
इलास्टेंस
गूंज
ध्वनिक प्रतिध्वनि
प्रत्यावर्ती धारा
आवृत्ति विभाजन बहुसंकेतन
छवि फ़िल्टर
वाहक लहर
ऊष्मा समीकरण
प्रतिक दर
विद्युत चालकता
आवृति का उतार - चढ़ाव
निरंतर कश्मीर फिल्टर
जटिल विमान
फासर (साइन वेव्स)
पोर्ट (सर्किट सिद्धांत)
लग्रांगियन यांत्रिकी
जाल विश्लेषण
पॉइसन समाकलित
affine परिवर्तन
तर्कसंगत कार्य
शोर अनुपात का संकेत
मिलान फ़िल्टर
रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण
राज्य स्थान (नियंत्रण)
प्रचालकल एंप्लीफायर
एलटीआई प्रणाली सिद्धांत
विशिष्ट एकीकृत परिपथ आवेदन
सतत समय
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भाजक
निश्चित बिंदु अंकगणित
फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित
डिजिटल बाइकैड फ़िल्टर
अनुकूली फिल्टर
अध्यारोपण सिद्धांत
कदम की प्रतिक्रिया
राज्य स्थान (नियंत्रण)
नियंत्रण प्रणाली
वोल्टेज नियंत्रित थरथरानवाला
कंपंडोर
नमूना और पकड़
संगणक
अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
प्रायिकता वितरण
वर्तमान परिपथ
गूंज रद्दीकरण
सुविधा निकासी
छवि उन्नीतकरण
एक प्रकार की प्रोग्रामिंग की पर्त
ओ एस आई मॉडल
समानता (संचार)
आंकड़ा अधिग्रहण
रूपांतरण सिद्धांत
लीनियर अलजेब्रा
स्टचास्तिक प्रोसेसेज़
संभावना
गैर-स्थानीय साधन
घटना (सिंक्रनाइज़ेशन आदिम)
एंटीलोक ब्रेक
उद्यम प्रणाली
सुरक्षा-महत्वपूर्ण प्रणाली
डेटा सामान्य
आर टी -11
डंब टर्मिनल
समय बताना
सेब II
जल्द से जल्द समय सीमा पहले शेड्यूलिंग
अनुकूली विभाजन अनुसूचक
वीडियो गेम कंसोल की चौथी पीढ़ी
वीडियो गेम कंसोल की तीसरी पीढ़ी
नमूनाकरण दर
अंकगणित औसत
उच्च प्रदर्शन कंप्यूटिंग
भयावह विफलता
हुड विधि
प्रणाली विश्लेषण
समय अपरिवर्तनीय
औद्योगिक नियंत्रण प्रणाली
निर्देशयोग्य तर्क नियंत्रक
प्रक्रिया अभियंता)
नियंत्रण पाश
संयंत्र (नियंत्रण सिद्धांत)
क्रूज नियंत्रण
अनुक्रमिक कार्य चार्ट
नकारात्मक प्रतिपुष्टि
अन्देंप्त
नियंत्रण वॉल्व
पीआईडी नियंत्रक
यौगिक
फिल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
वितरित कोटा पद्धति
महाकाव्यों
डूप गति नियंत्रण
हवाई जहाज
संक्षिप्त और प्रारंभिकवाद
मोटर गाड़ी
संयुक्त राज्य नौसेना
निर्देशित मिसाइलें
भूभाग-निम्नलिखित रडार
अवरक्त किरणे
प्रेसिजन-निर्देशित युद्धपोत
विमान भेदी युद्ध
शाही रूसी नौसेना
हस्तक्षेप हरा
सेंट पीटर्सबर्ग
योण क्षेत्र
आकाशीय बिजली
द्वितीय विश्वयुद्ध
संयुक्त राज्य सेना
डेथ रे
पर्ल हार्बर पर हमला
ओबाउ (नेविगेशन)
जमीन नियंत्रित दृष्टिकोण
भूविज्ञानी
आंधी तूफान
मौसम पूर्वानुमान
बहुत बुरा मौसम
सर्दियों का तूफान
संकेत पहचान
बिखरने
इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी
पराबैगनी प्रकाश
खालीपन
भूसा (प्रतिमाप)
पारद्युतिक स्थिरांक
विद्युत चुम्बकीय विकिरण
विद्युतीय प्रतिरोध
प्रतिचुम्बकत्व
बहुपथ प्रसार
तरंग दैर्ध्य
अर्ध-सक्रिय रडार होमिंग
Nyquist आवृत्ति
ध्रुवीकरण (लहरें)
अपवर्तक सूचकांक
नाड़ी पुनरावृत्ति आवृत्ति
शोर मचाने वाला फ़र्श
प्रकाश गूंज
रेत का तूफान
स्वत: नियंत्रण प्राप्त करें
जय स्पाइक
घबराना
आयनमंडलीय परावर्तन
वायुमंडलीय वाहिनी
व्युत्क्रम वर्ग नियम
इलेक्ट्रानिक युद्ध
उड़ान का समय
प्रकाश कि गति
पूर्व चेतावनी रडार
रफ़्तार
निरंतर-लहर रडार
स्पेकट्रूम विशेष्यग्य
रेंज अस्पष्टता संकल्प
मिलान फ़िल्टर
रोटेशन
चरणबद्ध व्यूह रचना
मैमथ राडार
निगरानी करना
स्क्रीन
पतला सरणी अभिशाप
हवाई रडार प्रणाली
परिमाणक्रम
इंस्टीट्यूट ऑफ़ इलेक्ट्रिकल एंड इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स
क्षितिज राडार के ऊपर
पल्स बनाने वाला नेटवर्क
अमेरिका में प्रदूषण की रोकथाम
आईटी रेडियो विनियम
रडार संकेत विशेषताएं
हैस (रडार)
एवियोनिक्स में एक्रोनिम्स और संक्षिप्ताक्षर
समय की इकाई
गुणात्मक प्रतिलोम
रोशनी
दिल की आवाज
हिलाना
सरल आवर्त गति
नहीं (पत्र)
एसआई व्युत्पन्न इकाई
इंटरनेशनल इलेक्ट्रोटेक्नीकल कमीशन
प्रति मिनट धूर्णन
हवा की लहर
एक समारोह का तर्क
चरण (लहरें)
आयामहीन मात्रा
असतत समय संकेत
विशेष मामला
मध्यम (प्रकाशिकी)
कोई भी त्रुटि
ध्वनि की तरंग
दृश्यमान प्रतिबिम्ब
लय
सुनवाई की दहलीज
प्रजातियाँ
मुख्य विधुत
नाबालिग तीसरा
माप की इकाइयां
आवधिकता (बहुविकल्पी)
परिमाण के आदेश (आवृत्ति)
वर्णक्रमीय घटक
रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली
असतत समय फिल्टर
ऑटोरेग्रेसिव मॉडल
डिजिटल डाटा
डिजिटल देरी लाइन
बीआईबीओ स्थिरता
फोरियर श्रेणी
दोषी
दशमलव (सिग्नल प्रोसेसिंग)
असतत फूरियर रूपांतरण
एफआईआर ट्रांसफर फंक्शन
3डी परीक्षण मॉडल
ब्लेंडर (सॉफ्टवेयर)
वैज्ञानिक दृश्य
प्रतिपादन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
विज्ञापन देना
चलचित्र
अनुभूति
निहित सतह
विमानन
भूतपूर्व छात्र
छिपी सतह निर्धारण
अंतरिक्ष आक्रमणकारी
लकीर खींचने की क्रिया
एनएमओएस तर्क
उच्च संकल्प
एमओएस मेमोरी
पूरक राज्य मंत्री
नक्षत्र-भवन
वैश्विक चमक
मैकिंटोश कंप्यूटर
प्रथम व्यक्ति शूटर
साधारण मानचित्रण
हिमयुग (2002 फ़िल्म)
मेडागास्कर (2005 फ़िल्म)
बायोइनफॉरमैटिक्स
शारीरिक रूप से आधारित प्रतिपादन
हीरे की थाली
प्रतिबिंब (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
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परिवेशी बाधा
वास्तविक समय (मीडिया)
जानकारी
कंकाल एनिमेशन
भीड़ अनुकरण
प्रक्रियात्मक एनिमेशन
अणु प्रणाली
कैमरा
माइक्रोस्कोप
इंजीनियरिंग के चित्र
रेखापुंज छवि
नक्शा
हार्डवेयर एक्सिलरेशन
अंधेरा
गैर-समान तर्कसंगत बी-तख़्ता
नक्शा टक्कर
चुम्बकीय अनुनाद इमेजिंग
नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)
sculpting
आधुनिक कला का संग्रहालय
गेम डेवलपर्स कांफ्रेंस
शैक्षिक
आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)
अण्डाकार फिल्टर
सीरिज़ सर्किट)
मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि
कंघी फ़िल्टर
समूह देरी
सप्टक
दूसरों से अलग
लो पास फिल्टर
निर्देश प्रति सेकंड
अंकगणित अतिप्रवाह
चरण (लहरें)
हस्तक्षेप (लहर प्रसार)
बीट (ध्वनिक)
अण्डाकार तर्कसंगत कार्य
जैकोबी अण्डाकार कार्य
क्यू कारक
यूनिट सर्कल
फी (पत्र)
सुनहरा अनुपात
मोनोटोनिक
Immittance
ऑप एंप
आवेग invariance
बेसेल फलन
जटिल सन्युग्म
संकेत प्रतिबिंब
विद्युतीय ऊर्जा
इनपुट उपस्थिति
एकदिश धारा
जटिल संख्या
भार प्रतिबाधा
विद्युतचुंबकीय व्यवधान
बिजली की आपूर्ति
आम-कैथोड
अवमन्दन कारक
ध्वनिरोधन
गूंज (घटना)
फ्रेस्नेल समीकरण
रोड़ी
लोडिंग कॉइल
आर एस होयतो
लोड हो रहा है कॉइल
चेबीशेव बहुपद
एक बंदरगाह
सकारात्मक-वास्तविक कार्य
आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
उच्च मार्ग
रैखिक फ़िल्टर
प्रतिक दर
घेरा
नॉन-रिटर्न-टू-जीरो
अनियमित चर
संघ बाध्य
एकाधिक आवृत्ति-शिफ्ट कुंजीयन
COMPARATOR
द्विआधारी जोड़
असंबद्ध संचरण
त्रुटि समारोह
आपसी जानकारी
बिखरा हुआ1
डिजिटल मॉडुलन
डिमॉड्युलेटर
कंघा
खड़ी तरंगें
नमूना दर
प्रक्षेप
ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग
खगोल-कंघी
खास समय
पोल (जटिल विश्लेषण)
दुर्लभ
आरसी सर्किट
अवरोध
स्थिर समय
एक घोड़ा
पुनरावृत्ति संबंध
निष्क्रिय फिल्टर
श्रव्य सीमा
मिक्सिंग कंसोल
एसी कपलिंग
क्यूएससी ऑडियो
संकट
दूसरों से अलग
डीएसएल मॉडम
फाइबर ऑप्टिक संचार
व्यावर्तित जोड़ी
बातचीत का माध्यम
समाक्षीय तार
लंबी दूरी का टेलीफोन कनेक्शन
डाउनस्ट्रीम (कंप्यूटर विज्ञान)
आवृत्ति द्वैध
आवृत्ति प्रतिक्रिया
आकड़ों की योग्यता
परीक्षण के अंतर्गत उपकरण
कंघी फिल्टर
निष्क्रियता (इंजीनियरिंग)
लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स)
कोने की आवृत्ति
फील्ड इफ़ेक्ट ट्रांजिस्टर
कम आवृत्ति दोलन
एकीकृत परिपथ
निरंतर-प्रतिरोध नेटवर्क
यूनिट सर्कल
अधिकतम प्रयोग करने योग्य आवृत्ति
विशेषता समीकरण (कलन)
लहर संख्या
वेवगाइड (प्रकाशिकी)
लाप्लासियान
वेवनंबर
अपवर्तन तरंग
एकतरफा बहुपद
एकपदी की डिग्री
एक बहुपद का क्रम (बहुविकल्पी)
रैखिक प्रकार्य
कामुक समीकरण
चतुर्थक कार्य
क्रमसूचक अंक
त्रिनाम
समाकलित डोमेन
सदिश स्थल
फील्ड (गणित)
सेट (गणित)
अंगूठी (गणित)
पूर्णांक मॉड्यूल n
लोगारित्म
घातांक प्रकार्य
एल्गोरिदम का विश्लेषण
बीजगणित का मौलिक प्रमेय
डिजिटल डाटा
प्रारंभ करनेवाला
ध्वनि दाब स्तर
साधारण सेल
निरंतर संकेत
व्यावर्तित जोड़ी
आवृत्ति स्पेक्ट्रम
जुड़वां सीसा
नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट)
सैटेलाइट टेलीविज़न
एक बहुपद की घात
क्यू कारक
निविष्टी की हानि
खड़ी लहर
गांठदार घटक
गांठदार तत्व मॉडल
विरोधी गूंज
वितरित तत्व फ़िल्टर
मिटटी तेल
बहुपथ हस्तक्षेप
पहली पीढ़ी का कंप्यूटर
ऊर्जा परिवर्तन
उपकरण को मापना
ऊर्जा का रूप
repeatability
प्रतिक्रिया (इंजीनियरिंग)
बिजली का शोर
संचार प्रणाली
चुंबकीय कारतूस
स्पर्श संवेदक
ध्वनि परावर्तन
उज्ज्वल दीपक
द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान प्रौद्योगिकी
शोर (इलेक्ट्रॉनिक्स)
फिल्टर सिद्धांत
डिप्लेक्सर
हार्मोनिक विकृति
आस्पेक्ट अनुपात
लॉर्ड रेले
हंस बेथे
संतुलित जोड़ी
असंतुलित रेखा
भिन्नात्मक बैंडविड्थ
स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान)
देरी बराबरी
अधिष्ठापन
लाइनों के संचालन पर संकेतों का प्रतिबिंब
परावर्तन गुणांक
कसने वाला नट
कम तापमान सह-निकाल दिया सिरेमिक
हवाई जहाज
परावैद्युतांक
ऊष्मीय चालकता
वैफ़ल आयरन
नकारात्मक प्रतिरोध एम्पलीफायर
आधार मिलान
इस्पात मिश्र धातु
लाउडस्पीकर बाड़े
ताकत
दोहरी प्रतिबाधा
गांठदार-तत्व मॉडल
गैरपेशेवर रेडियो
भंवर धारा
चीनी मिट्टी
विद्युत यांत्रिक युग्मन गुणांक
भाग प्रति अरब
आपसी अधिष्ठापन
शिखर से शिखर तक
वारैक्टर
पीस (अपघर्षक काटने)
स्पंदित लेजर बयान
ध्रुव (जटिल विश्लेषण)
कम उत्तीर्ण
प्रचालकल एंप्लीफायर
YIG क्षेत्र
अनुरूप संकेत
सभा की भाषा
घुमाव
निश्चित बिंदु अंकगणित
डेटा पथ
पता पीढ़ी इकाई
बुंदाडा इटाकुरा
मोशन वेक्टर
SE444
गति मुआवजा
भाषा संकलन
पीएमओएस तर्क
तंग पाश
अंकगणितीय तर्क इकाई
ट्राईमीडिया (मीडिया प्रोसेसर)
कृत्रिम होशियारी
एक चिप पर सिस्टम
पुनर्निर्माण फिल्टर
नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)
तेजी से अनुमानित एंटी-अलियासिंग
नमूनाचयन आवृत्ति
डिजीटल
फ़िल्टर बैंक
स्थानीय थरथरानवाला
सुपरहेटरोडाइन रिसीवर
यव (रोटेशन)
चूरा लहर
पीजोइलेक्ट्रिक सामग्री की सूची
स्कैनिंग जांच माइक्रोस्कोपी
पिकअप (संगीत प्रौद्योगिकी)
विद्युतीय संभाव्यता
टोपाज़
पहला विश्व युद्ध
गूंज (घटना)
गन्ना की चीनी
वेक्टर क्षेत्र
चार्ज का घनत्व
खिसकाना
वोइगट नोटेशन
मैडेलुंग स्थिरांक
लिथियम टैंटलेट
पीतल
काल्कोजन
ध्रुवीय अर्धचालकों में गैर रेखीय पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव
पैरीलीन
फोजी
संपर्क माइक्रोफ़ोन
गैर विनाशकारी परीक्षण
उठाओ (संगीत प्रौद्योगिकी)
स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप
रॉबर्ट बॉश GmbH
चुम्बकीय अनुनाद इमेजिंग
सार्वजनिक रेल
गुहिकायन
उच्च तीव्रता केंद्रित अल्ट्रासाउंड
थरथरानवाला
घड़ी की नाड़ी
टकराव
तार की रस्सी
अत्यंत सहनशक्ति
उपज (इंजीनियरिंग)
लोहे के अपरूप
समुंद्री जहाज
क्रिस्टल लैटिस
हथियार, शस्त्र
आधारभूत संरचना
रॉकेट्स
अस्थिभंग बेरहमी
एनीलिंग (धातु विज्ञान)
तड़के (धातु विज्ञान)
औजार
ग्रीनहाउस गैस का उत्सर्जन
बोरान
अलॉय स्टील
ताँबा
नरम लोहा
क्रस्ट (भूविज्ञान)
लकड़ी का कोयला
धातु थकान
निष्क्रियता (रसायन विज्ञान)
उच्च गति स्टील
प्रमुख
कमरे का तापमान
शरीर केंद्रित घन
चेहरा केंद्रित घन
अनाज सीमाएं
तलछट
शरीर केंद्रित चतुष्कोणीय
अपरूपण तनाव
काम सख्त
शारीरिक संपीड़न
अनाज के आकार में वृद्धि
वसूली (धातु विज्ञान)
उष्मा उपचार
निरंतर ढलाई
इनगट
कास्टिंग (धातु का काम)
हॉट रोलिंग
इबेरिआ का प्रायद्वीप
श्री लंका
युद्धरत राज्यों की अवधि
हान साम्राज्य
क्लासिकल एंटिक्विटी
Tissamaharama तमिल ब्राह्मी शिलालेख
चेरा डायनेस्टी
पैगोपोलिस के ज़ोसिमोस
तत्व का पता लगाएं
कम कार्बन अर्थव्यवस्था
गीत राजवंश
फाइनरी फोर्ज
तुलसी ब्रुक (धातुकर्मी)
मामले को मजबूत बनाना
लौह अयस्क
खुली चूल्हा भट्टी
उत्थान और पतन
इस्पात उत्पादकों की सूची
कम मिश्र धातु स्टील
एचएसएलए स्टील
दोहरे चरण स्टील
हॉट डिप गल्वनाइजिंग
तेजी से सख्त होना
बढ़ने की योग्यता
जिंदगी के जबड़े
नाखून (इंजीनियरिंग)
हाथ - या
खुदाई
लुढ़का सजातीय कवच
सफेद वस्तुओं
इस्पात की पतली तारें
छुरा
ओवरहेड पावर लाइन
घड़ी
परमाणु हथियार परीक्षण
मशीन की
ताप विस्तार प्रसार गुणांक
नकारात्मक प्रतिपुष्टि
गर्म करने वाला तत्व
घड़ी
कैल्शियम मानक
अरेखीय प्रकाशिकी
धरती
मणि पत्थर
मोह पैमाने की कठोरता
खरोंच कठोरता
पूर्व मध्य जर्मन
मध्य उच्च जर्मन
प्राचीन यूनानी
पारदर्शिता और पारदर्शिता
सकल (भूविज्ञान)
कैल्सेडनी
सुलेमानी पत्थर
बिल्लौर
बैंगनी रंग)
नीला रंग)
खनिज कठोरता का मोह पैमाना
क्षुद्रग्रह (रत्न विज्ञान)
मैंने
एराइड आइलैंड
सेशल्स
तलछटी पत्थर
रूपांतरित चट्टान
धरती
परिपक्वता (तलछट विज्ञान)
नस (भूविज्ञान)
सेमीकंडक्टर
बटन लगाना
पत्थर का औजार
पाषाण प्रौद्योगिकी
आयरलैंड का गणराज्य
पूर्व-कोलंबियाई युग
पियर्स थरथरानवाला
पतली फिल्म मोटाई मॉनिटर
ट्यूनेड सर्किट
पेंडुलम क्लॉक
बेल लेबोरेटरीज
ट्यूनिंग कांटा
एलसी थरथरानवाला
सामरिक सामग्री
एचिंग
सतह ध्वनिक तरंग
समावेशन (खनिज)
जिंक आक्साइड
नव युवक
गैस निकालना
शॉक (यांत्रिकी)
जी बल
रासायनिक चमकाने
प्रति-चुंबकीय
रैंडम संख्या जनरेटर
दिमाग
कंपन
विवेक
लोंगिट्युडिनल वेव
डायाफ्राम (ध्वनिकी)
प्रतिबिंब (भौतिकी)
श्यानता
वस्तुस्थिति
विरल करना
समतल लहर
ध्वनि का दबाव
ध्वनि तीव्रता
रुद्धोष्म प्रक्रिया
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वर्गमूल औसत का वर्ग
वर्गमूल औसत का वर्ग
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आवृत्तियों
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ध्वनिरोधन
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रडार अनुसंधान प्रतिष्ठान
रॉयल सिग्नल और रडार स्थापना
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ध्वनिकी संस्थान (यूनाइटेड किंगडम)
गैबर मेडल
हाइब्रिड इंटीग्रेटेड सर्किट
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प्यार की तरंगे
लोंगिट्युडिनल वेव
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फोनोन
qubit
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मिश्रण (प्रक्रिया इंजीनियरिंग)
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अर्ध-लहर द्विध्रुव
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प्रेरित तत्व
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चुंबकीय पाश एंटीना
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जमीन (बिजली)
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लाभ (विद्युत चुम्बकीय)
कम शोर एम्पलीफायर
शून्य (रेडियो)
चरणबद्ध
वोर्सिगट एंटीना
फील्ड की छमता
प्रतिबाधा मैच
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दाहिने हाथ का नियम
विशिष्टता (तकनीकी मानक)
आकाश की लहर
परावर्तक प्रतिबिंब
व्युत्क्रम वर्ग नियम
ऊर्जा घटक
एंटीना प्रकार
लौहचुंबकीय
स्थिर हरा
रेखा की चौडाई
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solenoid
इन्सुलेटर (बिजली)
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एम्पीयर-टर्न
अरेखीय
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श्वसन संबंधी रोग
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वैद्युतीयऋणात्मकता
समूह 3 तत्व
भाप
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घुलनशीलता
यट्रियम (III) फ्लोराइड
यट्रियम (III) क्लोराइड
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ट्रिमराइज़ेशन
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न्यूट्रॉन कैप्चर
मीरा
परमाणु कचरा
हाफ लाइफ
निम्नतम अवस्था
समावयवी संक्रमण
जोहान गैडोलिन
पृथ्वी (रसायन विज्ञान)
येट्रियम बेरियम कॉपर ऑक्साइड
ज़ेनोटाइम
भाग प्रति दस लाख
स्तन का दूध
पत्ता गोभी
परमाणु भार
माउंटेन पास रेयर अर्थ माइन
येट्रियम फ्लोराइड
सीआरटी टेलीविजन
यत्रियम आयरन गार्नेट
हीरा
दोपंत
थर्मल विस्तार
नस
मेरुदण्ड
रूमेटाइड गठिया
वाईबीसीओ
बिजली के वाहन
रंग
फुफ्फुसीय शोथ
व्यावसायिक सुरक्षा और स्वास्थ्य प्रसाशन
अनुशंसित जोखिम सीमा
अनाज की सीमा
क्रिस्टलोग्राफी
क्रिस्टलोग्राफिक दोष
एनिस्ट्रोपिक
अपवित्रता
पुन: क्रिस्टलीकरण (रसायन विज्ञान)
किरोपोलोस विधि
वर्न्यूइल विधि
तरल चरण एपिटॉक्सी
फील्ड इफ़ेक्ट ट्रांजिस्टर
राष्ट्रीय प्रज्वलन सुविधा
अतिसंतृप्ति
इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी
इंटरनेशनल एनील्ड कॉपर स्टैंडर्ड
भूतल विज्ञान
संघनित पदार्थ भौतिकी
हीलियम परमाणु प्रकीर्णन
क्रिस्टल की संरचना
कम ऊर्जा इलेक्ट्रॉन विवर्तन
कोण-समाधानित प्रकाश उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी
आंशिक क्रिस्टलीकरण (रसायन विज्ञान)
अलकाली धातु
सीज़ियम-133
नापाक
दूसरा
रेडियोआइसोटोप
उत्सर्जन चित्र
लचीलापन
चमक (खनिज)
प्रकाश द्वारा सहज प्रभावित
दाढ़ एकाग्रता
क्षारीय धातु
कटियन
ऋणायन
अरहेनियस बेस
काल्कोजन
लुईस बेस
सीज़ियम फ्लोराइड
आदिम कोशिका
जन अंक
नाभिकीय चुबकीय अनुनाद
परमाणु समावयवी
विखंडन उत्पाद उपज
खर्च किया गया परमाणु ईंधन
आयोडीन के समस्थानिक
पृथ्वी का वातावरण
परमाणु नतीजा
भाग प्रति दस लाख
फिटकिरी
निक्षालन (धातु विज्ञान)
शुद्ध पानी
एल्कलाइन अर्थ मेटल
परमाण्विक भार
माध्यमिक आयन मास स्पेक्ट्रोमेट्री
तौल और माप पर सामान्य सम्मेलन
निष्कर्षण तेल उद्योग
पूर्णता (तेल और गैस के कुएं)
डिफरेंशियल सेंट्रीफ्यूजेशन
ऑर्गेनेल
कार्बनिक रसायन शास्त्र
विकिरण उपचार
सीज़ियम के समस्थानिक
भड़कना (आतिशबाजी)
मिरगी
फेशबैक प्रतिध्वनि
क्वांटम तकनीक
हृदय गति रुकना
ऑटो ज्वलन ताप
बीओस्फिअ
अंतरराष्ट्रीय परमाणु ऊर्जा एजेंसी
गंदा बम
मेपल के पेड़ दुर्घटना
बिल्लौर
रोशनी
चमक (खनिज)
सुसंगतता (भौतिकी)
पराग
समलौत जिला
उत्तर मैसेडोनिया गणराज्य
उत्तरी केरोलिना
दोपंत
धारियाँ
नियामक माप मशीन
प्राकृतिक इतिहास का राष्ट्रीय संग्रहालय
प्रेरित उत्सर्जन
ईसा पूर्व
उत्तर सिल्क रोड
पुराना वसीयतनामा
नीतिवचन की किताब
पलायन की किताब
रवि
एनीओलाइट
चौगुनी आयन जाल
संगति (भौतिकी)
भौतिकी में नोबेल पुरस्कार
कोलम्बिया विश्वविद्यालय
कानाफूसी-गैलरी लहर
पेंटासीन
भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था
राष्ट्रीय भौतिक प्रयोगशाला (यूनाइटेड किंगडम)
पी-टेरफिनाइल
कृत्रिम हीरा
अंतरिक्ष यान
मंगल ग्रह
जनसंख्या का ह्रास
चरण बंद लूप
कट्टरपंथी (रसायन विज्ञान)
विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम
सितारा
सक्रिय गांगेय नाभिक
दृश्य प्रकाश
उपनाम (सीजन 3)
काइजु
उपनाम (टीवी श्रृंखला)
गुणक
मीटर
शून्य समारोह
फलन का डोमेन
कम शर्तें
समाशोधन भाजक
एक बीजीय किस्म की डिग्री
मूल्य (गणित)
निरंतर कार्य
समान शब्द
पुनरावृत्ति संबंध
स्थायी अवधि
आंशिक अंश
जियोमीट्रिक श्रंखला
निर्माण कार्य
अद्वितीय गुणनखंड डोमेन
अपरिवर्तनीय अंश
सार बीजगणित
समन्वय की अंगूठी
एक बीजीय किस्म का कार्य क्षेत्र
कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली
फूरियर से संबंधित परिवर्तनों की सूची
आवधिक दृढ़ संकल्प
असतत-समय फूरियर रूपांतरण
पल पैदा करने वाला कार्य
समारोह (गणित)
लाप्लास ट्रांसफॉर्म
अनुकूली फिल्टर
गतिशील प्रणाली
मॉडल (समष्टि अर्थशास्त्र)
रोज़गार
बहिर्जात और अंतर्जात चर
कुल घटक उत्पादकता
उत्पादन प्रकार्य
पूर्व बनाया
ऑटो सहसंबंध
पार सहसंबंध
संचालन (गणित)
हर्मिटियन एडजॉइंट
संभावना
कंप्यूटर दृष्टी
आंकड़े
विभेदक समीकरण
बीजीय संरचना
पूर्णांकों
उलटा काम करना
उलटा लाप्लास परिवर्तन
आवधिक योग
सर्कुलर कनवल्शन
गुणा
लेबेस्ग समाकलित
तेजी से घट रहा कार्य
बोरेल उपाय
सीमित भिन्नता
सूचक समारोह
साहचर्य बीजगणित
संबद्धता
गुणक पहचान
उलटा तत्व
जेड को बदलने
मध्य परिवर्तन
डीएफटी मैट्रिक्स
रैखिक प्रचालक
समय अपरिवर्तनीय प्रणाली
टोपोलॉजिकल ग्रुप
उसका उपाय
यूनिमॉड्यूलर समूह
मंडली समूह
चरित्र (गणित)
एकात्मक प्रतिनिधित्व
गुणन संकारक
आगे की ओर उपाय
समूह कार्रवाई (गणित)
एंडोमोर्फिज्म बीजगणित
विश्लेषणात्मक रसायनशास्त्र
सामान्य गति
वोइगट फंक्शन
रैखिक प्रणाली
बड़ी एड़ी सिमुलेशन
वर्णक्रमीय रेखा आकार
कम्प्यूटेशनल तरल सक्रिय
स्वतंत्र (संभाव्यता)
सिद्धांत संभावना
बिखरने वाले मीडिया में ऑप्टिकल ब्रॉड-बीम प्रतिक्रियाओं के लिए दृढ़ संकल्प
sinc समारोह
आयताकार समारोह
ईंट-दीवार फ़िल्टर
ऑटो सहसंबंध
अवकलनीय कार्य
उलटा त्रिकोणमितीय कार्य
साधारण अंतर समीकरण
उन लोगों के
विशेष समारोह
आंशिक विभेदक समीकरण
त्रुटि समारोह
व्युत्पत्ति का क्रम
सजातीय बहुपद
मुफ्त मॉड्यूल
आधार (रैखिक बीजगणित)
सरल जड़
वास्तविक-मूल्यवान फलन
बीजगणित का मौलिक प्रमेय
कॉची सीमा की स्थिति
विनाशक विधि
अनिर्धारित गुणांक की विधि
गणितीय अधिष्ठापन
प्रॉडक्ट नियम
एकीकरण की निरंतरता
गुणात्मक प्रतिलोम
समीकरणों की अंतर-बीजीय प्रणाली
सिद्ध
बीजीय फलन
अतिपरवलयिक ज्या
अतिपरवलयिक कोज्या
उलटा अतिपरवलयिक कार्य
बिजली की श्रृंखला
अनिश्चितकालीन अभिन्न
विलक्षणता (गणित)
समाकलन परिभाषित करें

बाहरी संबंध

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
Dynamic Dictionary of Mathematical Function. Automatic and interactive study of many holonomic functions.

[1] Gershenfeld 1999, p.9

[2] Motivation: In analogy to completing the square, we write the equation as $y' - fy = g$ , and try to modify the left side so it becomes a derivative. Specifically, we seek an "integrating factor" $h = h (x)$ such that multiplying by it makes the left side equal to the derivative of $hy$ , namely $hy' - hfy = (hy)'$ . This means $h' = - f$ , so that $h = e -\int f dx = e - F$ , as in the text.

[zeilberger-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Zeilberger, Doron. A holonomic systems approach to special functions identities. Journal of computational and applied mathematics. 32.3 (1990): 321-368

[4] Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezzarobba, M., & Salvy, B. (2010, September). The dynamic dictionary of mathematical functions (DDMF). In International Congress on Mathematical Software (pp. 35-41). Springer, Berlin, Heidelberg.

[1]

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