भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

Revision as of 15:13, 17 May 2023

रेखीय बीजगणित में, एक उप-स्थान $N$ द्वारा एक सदिश स्थान $V$ का भागफल एक सदिश स्थान है जो $N$ को "ढहने" से शून्य तक प्राप्त होता है। प्राप्त स्थान को भागफल स्थान कहा जाता है और $V/N$ (" $V$ मॉड $N$ " या " $V$ द्वारा $N$ " पढ़ें)।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, निर्माण इस प्रकार है^[1]। मान लीजिए कि $\mathbb {K}$ पर $V$ एक सदिश स्थान है, और $N$ को $V$ का एक उपस्थान होना चाहिए। हम $V$ पर एक तुल्यता संबंध $\sim$ को $x\sim y$ यदि $x-y\in N$ बताकर परिभाषित करते हैं। अर्थात्, $x$ , $y$ से संबंधित है यदि एक को $N$ के एक तत्व को जोड़कर दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है। इस परिभाषा से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $N$ का कोई भी तत्व शून्य वेक्टर से संबंधित है; अधिक स्पष्ट रूप से, $N$ में सभी वैक्टर शून्य वेक्टर के समतुल्य वर्ग में मैप किए जाते हैं।

तुल्यता वर्ग - या, इस स्थिति मेंसह समुच्चय - का $x$ अधिकांशतः निरूपित किया जाता है

[x]=x+N

चूंकि यह द्वारा दिया गया है

[x]=\{x+n:n\in N\}

तब भागफल स्थान $V/N$ को $V/_{\sim }$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, $V$ पर $\sim$ द्वारा प्रेरित सभी तुल्यता वर्गों का सेट। स्केलर गुणन और जोड़ को तुल्यता वर्गों पर परिभाषित किया जाता है ^[2]^[3]

* $\alpha [x]=[\alpha x]$ सभी के लिए $\alpha \in \mathbb {K}$ , और

$[x]+[y]=[x+y]$ .

यह जांचना कठिन नहीं है कि ये ऑपरेशन अच्छी तरह से परिभाषित हैं (अर्थात प्रतिनिधि की पसंद पर निर्भर नहीं हैं)। ये ऑपरेशन भागफल स्थान $V/N$ को $\mathbb {K}$ पर एक सदिश स्थान में बदल देते हैं, जिसमें $N$ शून्य वर्ग $[0]$ है।

मैपिंग जो इससे संबद्ध है $v\in V$ समतुल्य वर्ग $[v]$ भागफल मानचित्र के रूप में जाना जाता है।

वैकल्पिक रूप से वाक्यांश, भागफल स्थान $V/N$ के सभी अफिन स्थान का समुच्चय है $V$ जो $N$ . समानांतर (ज्यामिति) हैं ^[4]

उदाहरण

कार्तीय तल में रेखाएँ

होने देना X = R² मानक कार्टेशियन तल हो, और Y को X में उत्पत्ति के माध्यम से एक रेखा (ज्यामिति) होने दें। फिर भागफल स्थान X/Y को X में सभी रेखाओं के स्थान से पहचाना जा सकता है जो Y के समानांतर हैं। कि, सेट X/Y के तत्व X में Y के समानांतर रेखाएँ हैं। ध्यान दें कि ऐसी किसी एक रेखा के साथ बिंदु तुल्यता संबंध को संतुष्ट करेंगे क्योंकि उनके अंतर वैक्टर Y से संबंधित हैं। यह भागफल रिक्त स्थान को ज्यामितीय रूप से देखने का एक विधि देता है। (इन पंक्तियों को फिर से पैरामीटरेट करके भागफल स्थान को पारंपरिक रूप से मूल के माध्यम से एक रेखा के साथ सभी बिंदुओं के स्थान के रूप में दर्शाया जा सकता है जो Y के समानांतर नहीं है। इसी तरह, 'R³ ' के लिए भागफल स्थान को फिर से सभी सह-समानांतर रेखाओं के समुच्चय के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से एक समतल (ज्यामिति) से युक्त सदिश स्थान के रूप में दर्शाया जा सकता है जो केवल मूल बिंदु पर रेखा को प्रतिच्छेद करता है।)

कार्टेशियन स्पेस के सबस्पेस

एक अन्य उदाहरण Rⁿ का भागफल है प्रथम m मानक आधार सदिशों द्वारा फैलाए गए उपस्थान द्वारा अंतरिक्ष 'Rⁿ में वास्तविक संख्याओं के सभी n-ट्यूपल्स होते हैं (x₁, ..., x_n). उपस्थान, R^m के साथ पहचाना गया, में सभी n-ट्यूपल्स सम्मिलित हैं जैसे कि अंतिम n-m प्रविष्टियाँ शून्य हैं: (x₁, ..., x_m, 0, 0, ..., 0). Rⁿ के दो वैक्टर समान तुल्यता वर्ग मॉड्यूलो उपस्थान में हैं यदि और केवल यदि वे अंतिम n − m निर्देशांक में समान हैं। भागफल स्थान 'Rⁿ/R^m 'R^n−m' के लिए तुल्याकारी है एक स्पष्ट विधि से है ।

बहुपद सदिश स्थान

माना ${\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )$ वास्तविक संख्याओं पर सभी घन बहुपदों की वेक्टर स्पेस हो। तब ${\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )/\langle x^{2}\rangle$ एक भागफल स्थान है, जहां प्रत्येक तत्व बहुपदों के अनुरूप सेट है जो अलग-अलग है केवल एक द्विघात शब्द उदाहरण के लिए, भागफल स्थान का एक तत्व $\{x^{3}+ax^{2}-2x+3:a\in \mathbb {R} \}$ है, जबकि भागफल स्थान का एक अन्य तत्व $\{ax^{2}+2.7x:a\in \mathbb {R} \}$ है।

सामान्य उप-स्थान

अधिक सामान्यतः यदि V एक (आंतरिक) उप-स्थानों U और W का प्रत्यक्ष योग है,

V=U\oplus W

तो भागफल स्थान V/U W में प्राकृतिक परिवर्तन है।^[5]

लेबेसेग इंटीग्रल्स

एक कार्यात्मक भागफल स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक एलपी स्थान या एलपी रिक्त स्थान और लेबेसेग इंटीग्रल | एल है^{पी </सुप> स्थान।}

कार्यात्मक भागफल स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक L^p स्थान है।

गुण

इसके समतुल्य वर्ग [x] को x भेजकर दिए गए भागफल स्थान V/U के लिए V से एक प्राकृतिक अधिरूपता है। इस एपिमोर्फिज्म का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) (या नलस्पेस) उप-स्थान यू है। इस रिश्ते को संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम द्वारा बड़े करीने से संक्षेपित किया गया है

0\to U\to V\to V/U\to 0.\,

यदि U, V की एक उपसमष्टि है, तो V/U के आयाम (वेक्टर स्थान) को V में U का 'codimension ' कहा जाता है। वी/यू का बी बी से ए के प्रत्येक तत्व के एक प्रतिनिधि (गणित) को जोड़कर, वी का आयाम यू और वी/यू के आयामों का योग है। यदि वी आयाम (वेक्टर स्पेस) | परिमित-आयामी है, तो यह इस प्रकार है कि वी में यू का कोड वी और यू के आयामों के बीच का अंतर है:^[6]^[7]

\mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).

मान लीजिए T : V → W एक रैखिक संकारक है। T का कर्नेल, जिसे ker(T) के रूप में दर्शाया गया है, V में सभी x का समुच्चय है जैसे कि Tx = 0. कर्नेल V की एक उपसमष्टि है। ) डब्ल्यू में वी की छवि (गणित) के लिए आइसोमोर्फिक है। परिमित-आयामी रिक्त स्थान के लिए एक तत्काल परिणाम, रैंक-शून्य प्रमेय है: वी का आयाम कर्नेल (कर्नेल (रैखिक बीजगणित) के आयाम के बराबर है) T का) प्लस छवि का आयाम (T का रैंक (रैखिक बीजगणित)।

रैखिक संकारक T : V → W के cokernel को भागफल स्थान W/im(T) के रूप में परिभाषित किया गया है।

एक उप-स्थान द्वारा एक बनच स्थान का भागफल

यदि X एक बनच स्थान है और M, X का एक बंद सेट उप-स्थान है, तो भागफल X/M फिर से एक Banach स्थान है। भागफल स्थान पहले से ही पिछले खंड के निर्माण से एक सदिश अंतरिक्ष संरचना के साथ संपन्न है। हम एक्स/एम पर एक मानक (गणित) परिभाषित करते हैं

\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}.

जब X पूर्ण होता है, तब मानक के संबंध में भागफल स्थान X/M पूर्ण स्थान होता है, और इसलिए एक Banach स्थान होता है।^{[citation needed]}

उदाहरण

सी [0,1] अंतराल (गणित) [0,1] पर निरंतर फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) के बानाच स्पेस को सुपर मानदंड के साथ इंगित करें। f(0) = 0 के साथ सभी फलनों f ∈ C[0,1] की उप-समष्टि को M द्वारा निरूपित करें। तब कुछ फलन g का तुल्यता वर्ग 0 पर इसके मान और भागफल स्थान द्वारा निर्धारित किया जाता है। C[0,1]/M R के लिए तुल्याकारी है।

अगर X एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष है, तो भागफल स्पेस X/M हिल्बर्ट स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है #ऑर्थोगोनल पूरक और M के अनुमान।

स्थानीय रूप से उत्तल रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकरण

एक बंद उप-स्थान द्वारा स्थानीय रूप से उत्तल स्थान का अंश फिर से स्थानीय रूप से उत्तल होता है।^[8] दरअसल, मान लीजिए कि एक्स स्थानीय रूप से उत्तल है ताकि एक्स पर टोपोलॉजिकल स्पेस सेमिनोर्म {पी के एक परिवार द्वारा उत्पन्न हो_α| α ∈ A} जहां A एक इंडेक्स सेट है। मान लीजिए कि M एक बंद उपसमष्टि है और सेमीनॉर्म्स q परिभाषित करें_α एक्स/एम पर

q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v).

फिर एक्स/एम स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है, और उस पर टोपोलॉजी भागफल टोपोलॉजी है।

यदि, इसके अलावा, X metrizable है, तो X/M भी है। यदि X एक फ्रेचेट स्थान है, तो X/M भी ऐसा ही है।^[9]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Halmos (1974) pp. 33-34 §§ 21-22
↑ Katznelson & Katznelson (2008) p. 9 § 1.2.4
↑ Roman (2005) p. 75-76, ch. 3
↑ Axler (2015) p. 95, § 3.83
↑ Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 1
↑ Axler (2015) p. 97, § 3.89
↑ Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 2
↑ Dieudonné (1976) p. 65, § 12.14.8
↑ Dieudonné (1976) p. 54, § 12.11.3

स्रोत

Axler, Sheldon (2015). रेखीय बीजगणित सही किया. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
Dieudonné, Jean (1976), Treatise on Analysis, vol. 2, Academic Press, ISBN 978-0122155024
Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). ए (संक्षिप्त) रेखीय बीजगणित का परिचय. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
Roman, Steven (2005). उन्नत रेखीय बीजगणित. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.

श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण श्रेणी:रैखिक बीजगणित श्रेणी:भागफल वस्तुएं|अंतरिक्ष (रैखिक बीजगणित)

[1] Halmos (1974) pp. 33-34 §§ 21-22

[2] Katznelson & Katznelson (2008) p. 9 § 1.2.4

[3] Roman (2005) p. 75-76, ch. 3

[4] Axler (2015) p. 95, § 3.83

[5] Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 1

[6] Axler (2015) p. 97, § 3.89

[7] Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 2

[8] Dieudonné (1976) p. 65, § 12.14.8

[9] Dieudonné (1976) p. 54, § 12.11.3

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 {{Short description|Vector space consisting of affine subsets}}
-{{about|quotients of vector spaces|quotients of topological spaces|Quotient space (topology)}}
+{{about|वेक्टर रिक्त स्थान के गुणांक|टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के उद्धरण|भागफल स्थान (टोपोलॉजी)}}
-रैखिक बीजगणित में, सदिश समष्टि का भागफल <math>V</math> एक रेखीय उप-स्थान द्वारा <math>N</math> एक सदिश स्थान है जो ढहने से प्राप्त होता है <math>N</math> शून्य करने के लिए। प्राप्त स्थान को भागफल स्थान कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है <math>V/N</math> (पढ़ना<math>V</math> ख़िलाफ़ <math>N</math>या<math>V</math> द्वारा <math>N</math>).
+रेखीय बीजगणित में, एक उप-स्थान <math>N</math> द्वारा एक सदिश स्थान <math>V</math> का भागफल एक सदिश स्थान है जो <math>N</math> को "ढहने" से शून्य तक प्राप्त होता है। प्राप्त स्थान को भागफल स्थान कहा जाता है और <math>V/N</math> ("<math>V</math> मॉड <math>N</math>" या "<math>V</math> द्वारा <math>N</math>" पढ़ें)।
 == परिभाषा ==
-औपचारिक रूप से, निर्माण इस प्रकार है।<ref>{{Harvard citation text|Halmos|1974}} pp. 33-34 §§ 21-22</ref> होने देना <math>V</math> एक क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान बनें (गणित) <math>\mathbb{K}</math>, और जाने <math>N</math> की एक रेखीय उपसमष्टि हो <math>V</math>. हम एक [[तुल्यता संबंध]] को परिभाषित करते हैं <math>\sim</math> पर <math>V</math> यह बताते हुए <math>x \sim y</math> अगर {{nowrap| <math>x - y \in N</math>}}. वह है, <math>x</math> से संबंधित है <math>y</math> यदि एक का तत्व जोड़कर दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है <math>N</math>. इस परिभाषा से कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि कोई भी तत्व <math>N</math> शून्य वेक्टर से संबंधित है; अधिक सटीक रूप से, सभी वैक्टर में <math>N</math> शून्य वेक्टर के समतुल्य वर्ग में मैप करें।
+औपचारिक रूप से, निर्माण इस प्रकार है<ref>{{Harvard citation text|Halmos|1974}} pp. 33-34 §§ 21-22</ref>। मान लीजिए कि <math>\mathbb{K}</math> पर <math>V</math> एक सदिश स्थान है, और <math>N</math> को <math>V</math> का एक उपस्थान होना चाहिए। हम <math>V</math> पर एक तुल्यता संबंध<math>\sim</math> को <math>x \sim y</math>  यदि {{nowrap| <math>x - y \in N</math>}} बताकर परिभाषित करते हैं। अर्थात्, <math>x</math>, <math>y</math> से संबंधित है यदि एक को <math>N</math> के एक तत्व को जोड़कर दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है। इस परिभाषा से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि <math>N</math> का कोई भी तत्व शून्य वेक्टर से संबंधित है; अधिक स्पष्ट रूप से, <math>N</math> में सभी वैक्टर शून्य वेक्टर के समतुल्य वर्ग में मैप किए जाते हैं।
-[[तुल्यता वर्ग]] - या, इस मामले में, [[ सह समुच्चय ]] - का <math>x</math> अक्सर निरूपित किया जाता है
+[[तुल्यता वर्ग]] - या, इस स्थिति में[[ सह समुच्चय ]] - का <math>x</math> अधिकांशतः निरूपित किया जाता है
 :<math>[x] = x + N</math>
 चूंकि यह द्वारा दिया गया है
 :<math>[x] = \{ x + n: n \in N \}</math>
-भागफल स्थान <math>V/N</math> तब के रूप में परिभाषित किया गया है <math>V/_\sim</math>, द्वारा प्रेरित सभी तुल्यता वर्गों का सेट <math>\sim</math> पर <math>V</math>. स्केलर गुणन और जोड़ को समतुल्यता वर्गों द्वारा परिभाषित किया गया है<ref>{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} p. 9 § 1.2.4</ref><ref>{{Harvard citation text|Roman|2005}} p. 75-76, ch. 3</ref> *<math>\alpha [x] = [\alpha x]</math> सभी के लिए <math>\alpha \in \mathbb{K}</math>, और
+तब भागफल स्थान <math>V/N</math> को <math>V/_\sim</math> के रूप में परिभाषित किया जाता है, <math>V</math> पर <math>\sim</math> द्वारा प्रेरित सभी तुल्यता वर्गों का सेट। स्केलर गुणन और जोड़ को तुल्यता वर्गों पर परिभाषित किया जाता है <ref>{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} p. 9 § 1.2.4</ref><ref>{{Harvard citation text|Roman|2005}} p. 75-76, ch. 3</ref>
+<nowiki>*</nowiki><math>\alpha [x] = [\alpha x]</math> सभी के लिए <math>\alpha \in \mathbb{K}</math>, और
 *<math>[x] + [y] = [x+y]</math>.
-यह जांचना मुश्किल नहीं है कि ये ऑपरेशन [[अच्छी तरह से परिभाषित]] हैं (यानी [[प्रतिनिधि (गणित)]] की पसंद पर निर्भर नहीं हैं)। ये ऑपरेशन भागफल स्थान को बदल देते हैं <math>V/N</math> एक सदिश स्थान में <math>\mathbb{K}</math> साथ <math>N</math> शून्य वर्ग होने के नाते, <math>[0]</math>.
+यह जांचना कठिन नहीं है कि ये ऑपरेशन अच्छी तरह से परिभाषित हैं (अर्थात [[प्रतिनिधि (गणित)|प्रतिनिधि]] की पसंद पर निर्भर नहीं हैं)। ये ऑपरेशन भागफल स्थान <math>V/N</math> को <math>\mathbb{K}</math> पर एक सदिश स्थान में बदल देते हैं, जिसमें <math>N</math> शून्य वर्ग <math>[0]</math> है।
 मैपिंग जो इससे संबद्ध है {{nowrap|<math>v \in V</math>}} समतुल्य वर्ग <math>[v]</math> भागफल मानचित्र के रूप में जाना जाता है।
-वैकल्पिक रूप से वाक्यांश, भागफल स्थान <math>V/N</math> के सभी Affine स्थान का समुच्चय है <math>V</math> जो [[समानांतर (ज्यामिति)]] हैं {{nowrap|<math>N</math>.}}<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 95, § 3.83</ref>
+वैकल्पिक रूप से वाक्यांश, भागफल स्थान <math>V/N</math> के सभी अफिन स्थान का समुच्चय है <math>V</math> जो {{nowrap|<math>N</math>.}} [[समानांतर (ज्यामिति)]] हैं <ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 95, § 3.83</ref>
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 === कार्तीय तल में रेखाएँ ===
-होने देना {{nowrap|1=''X'' = '''R'''<sup>2</sup>}} मानक [[कार्टेशियन विमान]] हो, और Y को X में उत्पत्ति के माध्यम से एक [[रेखा (ज्यामिति)]] होने दें। फिर भागफल स्थान X/Y को X में सभी रेखाओं के स्थान से पहचाना जा सकता है जो Y के समानांतर हैं। कि, सेट X/Y के तत्व X में Y के समानांतर रेखाएँ हैं। ध्यान दें कि ऐसी किसी एक रेखा के साथ बिंदु तुल्यता संबंध को संतुष्ट करेंगे क्योंकि उनके अंतर वैक्टर Y से संबंधित हैं। यह भागफल रिक्त स्थान को ज्यामितीय रूप से देखने का एक तरीका देता है। (इन पंक्तियों को फिर से पैरामीटरेट करके, भागफल स्थान को पारंपरिक रूप से मूल के माध्यम से एक रेखा के साथ सभी बिंदुओं के स्थान के रूप में दर्शाया जा सकता है जो Y के समानांतर नहीं है। इसी तरह, 'R' के लिए भागफल स्थान<sup>3</sup> को फिर से सभी सह-समानांतर रेखाओं के समुच्चय के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से एक समतल (ज्यामिति) से युक्त सदिश स्थान के रूप में दर्शाया जा सकता है जो केवल मूल बिंदु पर रेखा को प्रतिच्छेद करता है।)
+होने देना {{nowrap|1=''X'' = '''R'''<sup>2</sup>}} मानक [[कार्टेशियन विमान|कार्टेशियन तल]] हो, और Y को X में उत्पत्ति के माध्यम से एक [[रेखा (ज्यामिति)]] होने दें। फिर भागफल स्थान X/Y को X में सभी रेखाओं के स्थान से पहचाना जा सकता है जो Y के समानांतर हैं। कि, सेट X/Y के तत्व X में Y के समानांतर रेखाएँ हैं। ध्यान दें कि ऐसी किसी एक रेखा के साथ बिंदु तुल्यता संबंध को संतुष्ट करेंगे क्योंकि उनके अंतर वैक्टर Y से संबंधित हैं। यह भागफल रिक्त स्थान को ज्यामितीय रूप से देखने का एक विधि देता है। (इन पंक्तियों को फिर से पैरामीटरेट करके भागफल स्थान को पारंपरिक रूप से मूल के माध्यम से एक रेखा के साथ सभी बिंदुओं के स्थान के रूप में दर्शाया जा सकता है जो Y के समानांतर नहीं है। इसी तरह, ''''R'''<sup>3</sup> ' के लिए भागफल स्थान को फिर से सभी सह-समानांतर रेखाओं के समुच्चय के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से एक समतल (ज्यामिति) से युक्त सदिश स्थान के रूप में दर्शाया जा सकता है जो केवल मूल बिंदु पर रेखा को प्रतिच्छेद करता है।)
 === कार्टेशियन स्पेस के सबस्पेस ===
-एक अन्य उदाहरण R का भागफल है<sup>n</sup> प्रथम m मानक आधार सदिशों द्वारा फैलाए गए उपस्थान द्वारा। अंतरिक्ष 'आर'<sup>n</sup> में [[वास्तविक संख्या]]ओं के सभी n-tuples होते हैं {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}}. सबस्पेस, आर के साथ पहचाना गया<sup>m</sup>, में सभी n-tuples शामिल हैं जैसे कि अंतिम n-m प्रविष्टियाँ शून्य हैं: {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''m''</sub>, 0, 0, ..., 0)}}. आर के दो वैक्टर<sup>n</sup> समान तुल्यता वर्ग मॉड्यूलो उपस्थान में हैं यदि और केवल यदि वे अंतिम n − m निर्देशांक में समान हैं। भागफल स्थान 'आर'<sup>एन</sup>/'आर'<sup>m</sup> 'R' के लिए तुल्याकारी है<sup>n−m</sup> एक स्पष्ट तरीके से।
+एक अन्य उदाहरण '''R'''<sup>''n''</sup> का भागफल है प्रथम m मानक आधार सदिशों द्वारा फैलाए गए उपस्थान द्वारा अंतरिक्ष '<nowiki/>'''R'''<sup>''n''</sup> में [[वास्तविक संख्या]]ओं के सभी n-ट्यूपल्स होते हैं {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}}. उपस्थान, '''R'''<sup>''m''</sup> के साथ पहचाना गया, में सभी n-ट्यूपल्स सम्मिलित हैं जैसे कि अंतिम n-m प्रविष्टियाँ शून्य हैं: {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''m''</sub>, 0, 0, ..., 0)}}. '''R'''<sup>''n''</sup> के दो वैक्टर समान तुल्यता वर्ग मॉड्यूलो उपस्थान में हैं यदि और केवल यदि वे अंतिम n − m निर्देशांक में समान हैं। भागफल स्थान '<nowiki/>'''R'''<sup>''n''</sup>/'''R'''<sup>''m''</sup>  ''''R'''<sup>''n''−''m''</sup>' के लिए तुल्याकारी है एक स्पष्ट विधि  से है ।
 === बहुपद सदिश स्थान ===
-होने देना <math>\mathcal{P}_3(\mathbb{R})</math> वास्तविक संख्याओं पर सभी घन बहुपदों का सदिश स्थान हो। तब <math>\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) / \langle x^2 \rangle </math> भागफल स्थान है, जहां प्रत्येक तत्व बहुपदों के अनुरूप सेट है जो केवल द्विघात पद से भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, भागफल स्थान का एक तत्व है <math>\{x^3 + a x^2 - 2x + 3 : a \in \mathbb{R}\}</math>, जबकि भागफल स्थान का एक अन्य तत्व है <math>\{a x^2 + 2.7 x : a \in \mathbb{R}\}</math>.
+माना <math>\mathcal{P}_3(\mathbb{R})</math>वास्तविक संख्याओं पर सभी घन  बहुपदों की वेक्टर स्पेस हो। तब <math>\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) / \langle x^2 \rangle </math> एक भागफल स्थान है, जहां प्रत्येक तत्व बहुपदों के अनुरूप सेट है जो अलग-अलग है केवल एक द्विघात शब्द उदाहरण के लिए, भागफल स्थान का एक तत्व<math>\{x^3 + a x^2 - 2x + 3 : a \in \mathbb{R}\}</math> है, जबकि भागफल स्थान का एक अन्य तत्व <math>\{a x^2 + 2.7 x : a \in \mathbb{R}\}</math>है।
 === सामान्य उप-स्थान ===
-अधिक आम तौर पर, यदि वी एक (आंतरिक) उप-स्थानों यू और डब्ल्यू का [[प्रत्यक्ष योग]] है,
+अधिक सामान्यतः  यदि ''V'' एक (आंतरिक) उप-स्थानों U और W का [[प्रत्यक्ष योग]] है,
 :<math>V=U\oplus W</math>
 तो भागफल स्थान V/U W में [[प्राकृतिक परिवर्तन]] है।<ref>{{Harvard citation text|Halmos|1974}} p. 34, § 22, Theorem 1</ref>
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 === लेबेसेग इंटीग्रल्स ===
-एक कार्यात्मक भागफल स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक एलपी स्थान # एलपी रिक्त स्थान और लेबेसेग इंटीग्रल | एल है<sup>पी </सुप> स्थान।
+'''एक कार्यात्मक भागफल स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक एलपी स्थान या एलपी रिक्त स्थान और लेबेसेग इंटीग्रल | एल है<sup>पी </सुप> स्थान।'''
+कार्यात्मक भागफल स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक L<sup>''p''</sup> स्थान है।
 == गुण ==
-इसके समतुल्य वर्ग [x] को x भेजकर दिए गए भागफल स्थान V/U के लिए V से एक प्राकृतिक [[अधिरूपता]] है। इस एपिमोर्फिज्म का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) (या नलस्पेस) उप-स्थान यू है। इस रिश्ते को संक्षिप्त सटीक अनुक्रम द्वारा बड़े करीने से संक्षेपित किया गया है
+इसके समतुल्य वर्ग [x] को x भेजकर दिए गए भागफल स्थान V/U के लिए V से एक प्राकृतिक [[अधिरूपता]] है। इस एपिमोर्फिज्म का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) (या नलस्पेस) उप-स्थान यू है। इस रिश्ते को संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम द्वारा बड़े करीने से संक्षेपित किया गया है
 :<math>0\to U\to V\to V/U\to 0.\,</math>
 यदि U, V की एक उपसमष्टि है, तो V/U के [[आयाम (वेक्टर स्थान)]] को V में U का '[[ codimension ]]' कहा जाता है। वी/यू का बी बी से ए के प्रत्येक तत्व के एक प्रतिनिधि (गणित) को जोड़कर, वी का आयाम यू और वी/यू के आयामों का योग है। यदि वी आयाम (वेक्टर स्पेस) | परिमित-आयामी है, तो यह इस प्रकार है कि वी में यू का कोड वी और यू के आयामों के बीच का अंतर है:<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 97, § 3.89</ref><ref>{{Harvard citation text|Halmos|1974}} p. 34, § 22, Theorem 2</ref>

v t e लीनियर अलजेब्रा
बुनियादी अवधारणाओं	स्केलर वेक्टर सदिश स्थल स्केलर गुणज वेक्टर प्रक्षेपण रैखिक अवधि रैखिक मानचित्र रैखिक प्रक्षेपण रैखिक स्वतंत्रता रैखिक संयोजन आधार आधार का परिवर्तन पंक्ति और स्तंभ वैक्टर पंक्ति और स्तंभ स्थान कर्नेल आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स ट्रांसपोज़ रैखिक समीकरण
मैट्रिसेस	ब्लॉक अपघटन इनवर्टिबल मामूली गुणा रैंक परिवर्तन क्रैमर का नियम गाउस विलोपन
बिलिनियर	Orthogonality डॉट उत्पाद आंतरिक उत्पाद स्थान बाहरी उत्पाद क्रोनकर उत्पाद ग्राम -श्मिट प्रक्रिया
मल्टीलिनियर बीजगणित	निर्धारक पार उत्पाद ट्रिपल उत्पाद सात-आयामी क्रॉस उत्पाद ज्यामितीय बीजगणित बाहरी बीजगणित Bivector मल्टीवेक्टर टेंसर बाहरीता
वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण	दोहरी प्रत्यक्ष योग फ़ंक्शन स्पेस भागफल सबस्पेस टेंसर उत्पाद
संख्यात्मक	फ्लोटिंग-पॉइंट संख्यात्मक स्थिरता बुनियादी रैखिक बीजगणित उपप्रोग्राम विरल मैट्रिक्स रैखिक बीजगणित पुस्तकालयों की तुलना
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