सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म

गणित में, एक सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म या सिम्प्लेक्टिक मैप सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड की श्रेणी (गणित) में एक समाकृतिकता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म चरण स्थान के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है जो मात्रा-संरक्षण है और चरण स्थान की सहानुभूतिपूर्ण संरचना को संरक्षित करता है, और इसे एक विहित परिवर्तन कहा जाता है।

औपचारिक परिभाषा

दो सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड के बीच एक अंतर $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ यदि एक सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म कहा जाता है

$f^{*}\omega '=\omega ,$

कहां $f^{*}$ का पुलबैक (अंतर ज्यामिति) है $f$. से सहानुभूतिपूर्ण भिन्नता $M$ को $M$ एक (छद्म-) समूह हैं, जिसे सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है (नीचे देखें)।

सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का अतिसूक्ष्म संस्करण सिम्प्लेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड देता है। एक वेक्टर क्षेत्र $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ symplectic अगर कहा जाता है

${\mathcal {L}}_{X}\omega =0.$

भी, $X$ प्रवाह अगर सहानुभूतिपूर्ण है $\phi _{t}:M\rightarrow M$ का $X$ प्रत्येक के लिए एक सिम्पेक्टोमोर्फिज्म है $t$. ये सदिश क्षेत्र एक लाइ सबलजेब्रा का निर्माण करते हैं $\Gamma ^{\infty }(TM)$. यहां, $\Gamma ^{\infty }(TM)$ चिकना समारोह वेक्टर क्षेत्र ऑन का सेट है $M$, और ${\mathcal {L}}_{X}$ सदिश क्षेत्र के साथ झूठ व्युत्पन्न है $X.$ सिम्पेक्टोमोर्फिज्म के उदाहरणों में शास्त्रीय यांत्रिकी और सैद्धांतिक भौतिकी के कैनोनिकल ट्रांसफॉर्मेशन, किसी भी हैमिल्टनियन फ़ंक्शन से जुड़े प्रवाह, मैनिफोल्ड्स के किसी भी डिफियोमोर्फिज्म से प्रेरित स्पर्शरेखा बंडल पर नक्शा, और एक सहसंयोजक कक्षा पर लाइ समूह के एक तत्व की सहसंयोजक क्रिया शामिल है।

प्रवाह

सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड पर कोई भी सुचारू कार्य, परिभाषा के अनुसार, हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड को जन्म देता है और ऐसे सभी वेक्टर फ़ील्ड्स का सेट सहानुभूति वेक्टर क्षेत्र के लाई बीजगणित का एक सबलजेब्रा बनाता है। एक सिम्पलेक्टिक वेक्टर क्षेत्र के प्रवाह का एकीकरण एक सिम्पेक्टोमोर्फिज्म है। चूंकि सिम्प्लेक्टोमॉर्फिज्म सहानुभूतिपूर्ण रूप |सिम्पलेक्टिक 2-फॉर्म को संरक्षित करता है और इसलिए सिम्प्लेक्टिक फॉर्म#वॉल्यूम फॉर्म, लिउविल की प्रमेय (हैमिल्टनियन)|हैमिल्टनियन यांत्रिकी में लिउविल की प्रमेय इस प्रकार है। हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र ों से उत्पन्न होने वाले सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म को हैमिल्टनियन सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के रूप में जाना जाता है।

तब से {H, H} = X_H(H) = 0, हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र का प्रवाह भी संरक्षित करता है H. भौतिकी में इसकी व्याख्या ऊर्जा के संरक्षण के नियम के रूप में की जाती है।

यदि किसी कनेक्टेड सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड की पहली बेट्टी संख्या शून्य है, सिम्पलेक्टिक और हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड मेल खाते हैं, तो हैमिल्टनियन आइसोटोप और सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के सिम्प्लेक्टिक आइसोटोप की धारणाएँ मेल खाती हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि जियोडेसिक के समीकरणों को हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में तैयार किया जा सकता है, हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में जियोडेसिक्स के रूप में देखें।

(हैमिल्टनियन) सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का समूह

कई गुना पीछे से खुद पर एक अनंत-आयामी छद्म समूह बनाते हैं। संबंधित लाई बीजगणित में सहानुभूति सदिश क्षेत्र होते हैं। हैमिल्टनियन सिम्प्लेक्टोमोर्फिम्स एक उपसमूह बनाते हैं, जिसका झूठा बीजगणित हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्रों द्वारा दिया जाता है। उत्तरार्द्ध चिकने के ले बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है पॉइसन ब्रैकेट के संबंध में मैनिफोल्ड पर कार्य करता है, स्थिरांक मॉड्यूल।

के हैमिल्टनियन सिम्पेक्टोमोर्फिज्म का समूह $(M,\omega )$ आमतौर पर के रूप में दर्शाया गया है $\operatorname {Ham} (M,\omega )$.

ऑगस्टिन विदेशी के एक प्रमेय द्वारा हैमिल्टनियन भिन्नताओं के समूह सरल झूठ समूह हैं। उनके पास हॉफर मानदंड द्वारा दी गई प्राकृतिक ज्यामिति है। कुछ सरल सिम्प्लेक्टिक चार गुना के लिए समरूपता समूह का होमोटॉपी प्रकार , जैसे कि गोले के उत्पाद, मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) के स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र के सिद्धांत का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

रीमानियन ज्यामिति के साथ तुलना

रीमैनियन कई गुना ्स के विपरीत, सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स बहुत कठोर नहीं हैं: डार्बौक्स के प्रमेय से पता चलता है कि समान आयाम के सभी सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं। इसके विपरीत, रिमेंनियन ज्योमेट्री में आइसोमेट्री को रिमेंन वक्रता टेन्सर को संरक्षित करना चाहिए, जो इस प्रकार रीमैनियन मैनिफोल्ड का एक स्थानीय अपरिवर्तनीय है। इसके अलावा, एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड पर प्रत्येक फ़ंक्शन एच एक हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड एक्स को परिभाषित करता है_H, जो हैमिल्टनियन भिन्नता के एक-पैरामीटर समूह को प्रतिपादित करता है। यह इस प्रकार है कि सहानुभूति का समूह हमेशा बहुत बड़ा होता है, और विशेष रूप से, अनंत-आयामी। दूसरी ओर, रिमेंनियन मैनिफोल्ड के आइसोमेट्री का समूह हमेशा एक (परिमित-आयामी) झूठ समूह होता है। इसके अलावा, बड़े समरूपता समूहों के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स बहुत खास हैं, और एक सामान्य रीमैनियन मैनिफोल्ड में कोई गैर-समरूपता नहीं है।

परिमाणीकरण

हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के समूह के परिमित-आयामी उपसमूहों के प्रतिनिधित्व (सामान्य रूप से ħ-विरूपण के बाद) को परिमाणीकरण कहा जाता है। जब लाइ समूह एक हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो इसे ऊर्जा द्वारा परिमाणीकरण कहा जाता है। निरंतर रेखीय संचालकों के लाई बीजगणित से लाई बीजगणित के संगत संकारक को कभी-कभी परिमाणीकरण भी कहा जाता है; यह भौतिकी में इसे देखने का अधिक सामान्य तरीका है।

See also: phase space formulation, geometric quantization, and non-commutative geometry

अर्नोल्ड अनुमान

Main article: Arnold conjecture

व्लादिमीर अर्नोल्ड का एक प्रसिद्ध अनुमान एक हैमिल्टनियन सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के लिए निश्चित बिंदु (गणित) की न्यूनतम संख्या से संबंधित है $\varphi :M\to M$, यदि $M$ मोर्स सिद्धांत के लिए एक कॉम्पैक्ट सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड है (देखें ). अधिक सटीक रूप से, अनुमान बताता है कि $\varphi$ कम से कम उतने निश्चित बिंदु होते हैं, जितने महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) होते हैं, जिन पर सुचारू कार्य होता है $M$ होना आवश्यक है। इस अनुमान के कुछ कमजोर संस्करण सिद्ध हुए हैं: कब $\varphi$ nondegenerate है, निश्चित बिंदुओं की संख्या नीचे से बेट्टी संख्याओं के योग से बंधी है $M$ (देखो,). इस प्रसिद्ध अनुमान से प्रेरित सहानुभूति ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण विकास फ्लोर होमोलॉजी का जन्म है (देखें ), एंड्रियास फ्लोर के नाम पर।

संदर्भ

• McDuff, Dusa & Salamon, D. (1998), Introduction to Symplectic Topology, Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Abraham, Ralph & Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of Mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X. See section 3.2.

Symplectomorphism groups

• Gromov, M. (1985), "Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds", Inventiones Mathematicae, 82 (2): 307–347, Bibcode:1985InMat..82..307G, doi:10.1007/BF01388806, S2CID 4983969.
• Polterovich, Leonid (2001), The geometry of the group of symplectic diffeomorphism, Basel; Boston: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.श्रेणी: हैमिल्टनियन यांत्रिकी