परिपूर्ण क्षेत्र: Difference between revisions

Revision as of 12:37, 24 July 2023

बीजगणित में, क्षेत्र (गणित) k 'पूर्ण' है यदि निम्नलिखित समतुल्य स्थिति में से कोई भी एक हो:

k से अधिक प्रत्येक अलघुकरणीय बहुपद की अलग-अलग आधार होती हैं।
k से अधिक प्रत्येक अलघुकरणीय बहुपद वियोज्य बहुपद है।
k का प्रत्येक परिमित विस्तार वियोज्य विस्तार है।
k का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार वियोज्य है।
या तो k में विशेषता (बीजगणित) 0 है, या, जब k में विशेषता p > 0 है, k का प्रत्येक अवयव p वे घात (गणित) है।
या तो k में विशेषता (बीजगणित) 0 है, या, जब k में विशेषता p > 0 है, फ्रोबेनियस अंतःरूपता x ↦ x^p k का स्वसमाकृतिकता है।
k का वियोज्य समापन बीजगणितीय रूप से बंद है।
k-बीजगणित A एक अलग करने योग्य बीजगणित है; अर्थात, $A\otimes _{k}F$ प्रत्येक क्षेत्र विस्तार f/k के लिए कम हो गई है। (नीचे देखें)

अन्यथा, k को 'अपूर्ण' कहा जाता है।

विशेष रूप से, विशेषता शून्य के सभी क्षेत्र और सभी परिमित क्षेत्र परिपूर्ण हैं।

परिपूर्ण क्षेत्र महत्वपूर्ण हैं क्योंकि इन क्षेत्रों पर गैलोज़ सिद्धांत सरल हो जाता है, क्योंकि क्षेत्र विस्तार के अलग होने की सामान्य गैलोज़ धारणा इन क्षेत्रों पर स्वचालित रूप से संतुष्ट होती है (ऊपर तीसरी स्थिति देखें)।

परिपूर्ण क्षेत्र की महत्वपूर्ण गुण यह है कि वे विट सदिश को स्वीकार करते हैं।

सामान्यतौर पर, विशेषता p (p एक अभाज्य संख्या) की वलय (गणित) को 'परिपूर्ण' कहा जाता है यदि फ्रोबेनियस अंतःरूपता एक स्वसमाकृतिकता है।^[1] (जब अभिन्न डोमेन तक सीमित होता है, तो यह उपरोक्त स्थिति के बराबर होता है कि k का प्रत्येक अवयव p वे घात है।)

उदाहरण

उत्तम क्षेत्रों के उदाहरण हैं:

विशेषता शून्य का प्रत्येक क्षेत्र, इसलिए $\mathbb {Q}$ और $\mathbb {C}$ सभी परिमित विस्तार है;^[2]
प्रत्येक परिमित क्षेत्र $\mathbb {F} _{q}$ है;^[3]
प्रत्येक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है;
विस्तार द्वारा पूरी तरह से क्रमबद्ध पूर्ण क्षेत्रों के समूह का संघ है;
आदर्श क्षेत्र पर बीजगणितीय क्षेत्र है।

व्यवहार में सामने आने वाले अधिकांश क्षेत्र उत्तम हैं। अपूर्ण अर्थ मुख्य रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में विशेषता p > 0 में उत्पन्न होता है | प्रत्येक अपूर्ण क्षेत्र आवश्यक रूप से अपने परिमित उपक्षेत्र (न्यूनतम उपक्षेत्र) है, क्योंकि बाद वाला सही है। अपूर्ण क्षेत्र $\mathbf {F} _{q}(x)$ का उदाहरण क्षेत्र है, चूंकि फ्रोबेनियस भेजता है $x\mapsto x^{p}$ और इसलिए यह विशेषण नहीं है. यह सही क्षेत्र में निहित होता है

\mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )

इसकी पूर्णता कहा जाता है. अपूर्ण क्षेत्र तकनीकी कठिनाइयों का कारण बनते हैं क्योंकि आधार क्षेत्र के बीजगणितीय समापन में अलघुकरणीय बहुपद कम करने योग्य बन सकते हैं। उदाहरण के लिए,^[4] $f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]$ के लिए $k$ विशेषता का अपूर्ण क्षेत्र $p$ और f में p वें घात नहीं है। फिर इसके बीजगणितीय समापन में $k^{\operatorname {alg} }[x,y]$ , निम्नलिखित समानता रखती है:

f(x,y)=(x+by)^{p},

जहाँ b^p = a और b इस बीजगणितीय समापन में उपस्थित है। ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ यह है $f$ में एफ़िन समतल वक्र $k[x,y]$ को परिभाषित नहीं करता है |

आदर्श क्षेत्र पर क्षेत्र विस्तार

पूर्ण क्षेत्र k पर कोई भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार K अलग-अलग रूप से उत्पन्न होता है, अर्थात उत्कृष्ट का आधार Γ जैसे कि K, k (Γ) पर अलग-अलग बीजगणितीय है।^[5]

उत्तम समापन और पूर्णता

समतुल्य स्थिति में से कहती है कि, विशेषता p में, सभी p^r वे आधार (r ≥ 1) से जुड़ीं हैं; इसे k का पूर्ण समापन कहा जाता है और सामान्यतौर पर इसे $k^{p^{-\infty }}$ इसके द्वारा दर्शाया जाता है |

पूर्ण समापन का उपयोग पृथक्करण के परीक्षण में किया जा सकता है। सही प्रकार से, वलय A का सही बंद होना आदर्श वलय A_p है | वलय समरूपता के साथ विशेषता p की u : A → A_p समरूपता के साथ विशेषता p की किसी भी अन्य पूर्ण वलय B के लिए v : A → B अद्वितीय समरूपता है| f : A_p → B जैसे कि v, u के माध्यम से गुणनखंड करता है (अर्थात् v = fu). पूर्ण समापन निरंतर उपस्थित रहता है; प्रमाण मे क्षेत्र के अर्थ के समान, A के अवयवों की आसन्न p वें आधार सम्मिलित हैं।^[6]

विशेषता p की वलय A की पूर्णता दोहरी धारणा है (चूँकि इस शब्द का उपयोग कभी-कभी पूर्ण समापन के लिए किया जाता है)। दूसरे शब्दों में, A की पूर्णता R(A) मानचित्र के साथ विशेषता p की आदर्श वलय θ : R(A) → A ऐसा कि किसी भी आदर्श वलय B के लिए विशेषता p मानचित्र φ : B → A से सुसज्जित है, अनोखा f : B → R(A) मानचित्र है | ऐसा कि φ, θ से होकर गुजरता है (अर्थात φ = θf). A की पूर्णता का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। प्रक्षेप्य प्रणाली पर विचार करते हैं।

\cdots \rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow \cdots

जहां परिवर्तन मानचित्र फ्रोबेनियस अंतःरूपता हैं। इस प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा R(A) है और इसमें अनुक्रम (x_0, x₁..... सम्मिलित हैं) A के अवयव है जैसे कि $x_{i+1}^{p}=x_{i}$ सभी i के लिए होता है। मानचित्र θ : R(A) → A (x_i) से x₀ भेजता है |^[7]

यह भी देखें

↑ Serre 1979, Section II.4
↑ Examples of fields of characteristic zero include the field of rational numbers, the field of real numbers or the field of complex numbers.
↑ Any finite field of order q may be denoted $\mathbf {F} _{q}$ , where q = p^k for some prime p and positive integer k.
↑ Milne, James. अण्डाकार वक्र (PDF). p. 6.
↑ Matsumura, Theorem 26.2
↑ Bourbaki 2003, Section V.5.1.4, page 111
↑ Brinon & Conrad 2009, section 4.2

संदर्भ

Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II, Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory (PDF), retrieved 2010-02-05
Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
Matsumura, H (2003), Commutative ring theory, Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.)
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67 (2 ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237

बाहरी संबंध

"Perfect field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Serre 1979, Section II.4

[2] Examples of fields of characteristic zero include the field of rational numbers, the field of real numbers or the field of complex numbers.

[3] Any finite field of order q may be denoted $\mathbf {F} _{q}$ , where q = p^k for some prime p and positive integer k.

[4] Milne, James. अण्डाकार वक्र (PDF). p. 6.

[5] Matsumura, Theorem 26.2

[6] Bourbaki 2003, Section V.5.1.4, page 111

[7] Brinon & Conrad 2009, section 4.2

[1]

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-[[अमूर्त बीजगणित]] में, एक [[फ़ील्ड (गणित)]] k 'पूर्ण' है यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी एक हो:
+[[अमूर्त बीजगणित|बीजगणित]] में, क्षेत्र [[फ़ील्ड (गणित)|(गणित)]] k 'पूर्ण' है यदि निम्नलिखित समतुल्य स्थिति में से कोई भी एक हो:
-* k से अधिक प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद की अलग-अलग जड़ें होती हैं।
+* k से अधिक प्रत्येक अलघुकरणीय बहुपद की अलग-अलग आधार होती हैं।
-* k से अधिक प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद [[वियोज्य बहुपद]] है।
+* k से अधिक प्रत्येक अलघुकरणीय बहुपद [[वियोज्य बहुपद]] है।
 * k का प्रत्येक [[परिमित विस्तार]] [[वियोज्य विस्तार]] है।
 * k का प्रत्येक [[बीजगणितीय विस्तार]] वियोज्य है।
-* या तो k में [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 है, या, जब k में विशेषता है {{nowrap|''p'' > 0}}, k का प्रत्येक तत्व एक शक्ति (गणित) है।
+* या तो k में [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 है, या, जब k में विशेषता {{nowrap|''p'' > 0}} है, k का प्रत्येक अवयव p वे घात (गणित) है।
-* या तो k में विशेषता (बीजगणित) 0 है, या, जब k में विशेषता है {{nowrap|''p'' > 0}}, [[फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म]] {{nowrap|''x'' ↦ ''x''{{i sup|''p''}}}} k का एक स्वप्रतिरूपण है।
+* या तो k में विशेषता (बीजगणित) 0 है, या, जब k में विशेषता {{nowrap|''p'' > 0}} है, [[फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म|फ्रोबेनियस अंतःरूपता]]  {{nowrap|''x'' ↦ ''x''{{i sup|''p''}}}} k का स्वसमाकृतिकता है।
 * k का [[वियोज्य समापन]] [[बीजगणितीय रूप से बंद]] है।
-* प्रत्येक कम रिंग कम्यूटेटिव बीजगणित (रिंग सिद्धांत) | के-बीजगणित ए एक अलग करने योग्य बीजगणित है; अर्थात।, <math>A \otimes_k F</math> प्रत्येक [[फ़ील्ड विस्तार]] एफ/के के लिए रिंग कम हो गई है। (नीचे देखें)
+* k-बीजगणित A एक अलग करने योग्य बीजगणित है; अर्थात, <math>A \otimes_k F</math> प्रत्येक [[फ़ील्ड विस्तार|क्षेत्र विस्तार]] f/k के लिए कम हो गई है। (नीचे देखें)
 अन्यथा, k को 'अपूर्ण' कहा जाता है।
 विशेष रूप से, विशेषता शून्य के सभी क्षेत्र और सभी [[परिमित क्षेत्र]] परिपूर्ण हैं।
-परफेक्ट फ़ील्ड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि इन क्षेत्रों पर गैलोज़ सिद्धांत सरल हो जाता है, क्योंकि फ़ील्ड एक्सटेंशन के अलग होने की सामान्य गैलोज़ धारणा इन क्षेत्रों पर स्वचालित रूप से संतुष्ट होती है (ऊपर तीसरी शर्त देखें)।
+परिपूर्ण क्षेत्र महत्वपूर्ण हैं क्योंकि इन क्षेत्रों पर गैलोज़ सिद्धांत सरल हो जाता है, क्योंकि क्षेत्र विस्तार के अलग होने की सामान्य गैलोज़ धारणा इन क्षेत्रों पर स्वचालित रूप से संतुष्ट होती है (ऊपर तीसरी स्थिति देखें)।
-पूर्ण क्षेत्रों की एक और महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि वे [[विट वेक्टर]] को स्वीकार करते हैं।
+परिपूर्ण क्षेत्र की महत्वपूर्ण गुण यह है कि वे [[विट वेक्टर|विट सदिश]] को स्वीकार करते हैं।
-अधिक आम तौर पर, विशेषता पी (पी एक [[अभाज्य संख्या]]) की एक [[अंगूठी (गणित)]] को 'परिपूर्ण' कहा जाता है यदि फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म एक ऑटोमोर्फिज्म है।<ref>{{harvnb|Serre|1979}}, Section II.4</ref> (जब [[अभिन्न डोमेन]] तक सीमित होता है, तो यह उपरोक्त स्थिति के बराबर होता है कि k का प्रत्येक तत्व एक pth शक्ति है।)
+सामान्यतौर पर, विशेषता p (p एक [[अभाज्य संख्या]]) की [[अंगूठी (गणित)|वलय (गणित)]] को 'परिपूर्ण' कहा जाता है यदि फ्रोबेनियस अंतःरूपता एक स्वसमाकृतिकता है।<ref>{{harvnb|Serre|1979}}, Section II.4</ref> (जब [[अभिन्न डोमेन]] तक सीमित होता है, तो यह उपरोक्त स्थिति के बराबर होता है कि k का प्रत्येक अवयव p वे घात है।)
 ==उदाहरण==
 उत्तम क्षेत्रों के उदाहरण हैं:
-* विशेषता शून्य का प्रत्येक क्षेत्र, इसलिए <math>\mathbb{Q}</math> और हर परिमित विस्तार, और <math>\mathbb{C}</math>;<ref>Examples of fields of characteristic zero include the field of [[rational numbers]], the field of [[real numbers]] or the field of [[complex numbers]].</ref>
+* विशेषता शून्य का प्रत्येक क्षेत्र, इसलिए <math>\mathbb{Q}</math> और <math>\mathbb{C}</math> सभी परिमित विस्तार है;<ref>Examples of fields of characteristic zero include the field of [[rational numbers]], the field of [[real numbers]] or the field of [[complex numbers]].</ref>
-* प्रत्येक परिमित क्षेत्र <math>\mathbb{F}_q</math>;<ref>Any finite field of order ''q'' may be denoted <math>\mathbf{F}_{q}</math>, where ''q'' = ''p''{{i sup|''k''}} for some [[Prime number|prime]] ''p'' and [[positive integer]] ''k''.</ref>
+* प्रत्येक परिमित क्षेत्र <math>\mathbb{F}_q</math> है;<ref>Any finite field of order ''q'' may be denoted <math>\mathbf{F}_{q}</math>, where ''q'' = ''p''{{i sup|''k''}} for some [[Prime number|prime]] ''p'' and [[positive integer]] ''k''.</ref>
-* प्रत्येक [[बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड]];
+* प्रत्येक [[बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड|बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है]];
-* विस्तार द्वारा पूरी तरह से क्रमबद्ध पूर्ण क्षेत्रों के एक सेट का संघ;
+* विस्तार द्वारा पूरी तरह से क्रमबद्ध पूर्ण क्षेत्रों के समूह का संघ है;
-* एक आदर्श क्षेत्र पर बीजगणितीय क्षेत्र।
+* आदर्श क्षेत्र पर बीजगणितीय क्षेत्र है।
-व्यवहार में सामने आने वाले अधिकांश क्षेत्र उत्तम हैं। अपूर्ण मामला मुख्य रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में विशेषता में उत्पन्न होता है {{nowrap|''p'' > 0}}. प्रत्येक अपूर्ण फ़ील्ड आवश्यक रूप से अपने [[प्रधान उपक्षेत्र]] (न्यूनतम सबफ़ील्ड) पर फ़ील्ड_एक्सटेंशन#बीजगणितीय_और_ट्रांसेंडेंटल_एलिमेंट्स है, क्योंकि बाद वाला सही है। अपूर्ण क्षेत्र का एक उदाहरण क्षेत्र है <math>\mathbf{F}_q(x)</math>, चूंकि फ्रोबेनियस भेजता है <math>x \mapsto x^p</math> और इसलिए यह विशेषण नहीं है. यह सही क्षेत्र में एम्बेड होता है
+व्यवहार में सामने आने वाले अधिकांश क्षेत्र उत्तम हैं। अपूर्ण अर्थ मुख्य रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में विशेषता {{nowrap|''p'' > 0}} में उत्पन्न होता है | प्रत्येक अपूर्ण क्षेत्र आवश्यक रूप से अपने [[प्रधान उपक्षेत्र|परिमित उपक्षेत्र]] (न्यूनतम [[प्रधान उपक्षेत्र|उपक्षेत्र]]) है, क्योंकि बाद वाला सही है। अपूर्ण क्षेत्र <math>\mathbf{F}_q(x)</math> का उदाहरण क्षेत्र है, चूंकि फ्रोबेनियस भेजता है <math>x \mapsto x^p</math> और इसलिए यह विशेषण नहीं है. यह सही क्षेत्र में निहित होता है
 :<math>\mathbf{F}_q(x,x^{1/p},x^{1/p^2},\ldots)</math>
-इसकी पूर्णता कहा जाता है. अपूर्ण क्षेत्र तकनीकी कठिनाइयों का कारण बनते हैं क्योंकि आधार क्षेत्र के बीजगणितीय समापन में अघुलनशील बहुपद कम करने योग्य बन सकते हैं। उदाहरण के लिए,<ref>{{cite book|last1=Milne|first1=James|title=अण्डाकार वक्र|pages=6|url=https://www.jmilne.org/math/Books/ectext6.pdf}}</ref> विचार करना <math>f(x,y) = x^p + ay^p \in k[x,y]</math> के लिए <math>k</math> विशेषता का एक अपूर्ण क्षेत्र <math>p</math> और एफ में पी-वें पावर नहीं है। फिर इसके बीजगणितीय समापन में <math>k^{\operatorname{alg}}[x,y]</math>, निम्नलिखित समानता रखती है:
+इसकी पूर्णता कहा जाता है. अपूर्ण क्षेत्र तकनीकी कठिनाइयों का कारण बनते हैं क्योंकि आधार क्षेत्र के बीजगणितीय समापन में अलघुकरणीय बहुपद कम करने योग्य बन सकते हैं। उदाहरण के लिए,<ref>{{cite book|last1=Milne|first1=James|title=अण्डाकार वक्र|pages=6|url=https://www.jmilne.org/math/Books/ectext6.pdf}}</ref> <math>f(x,y) = x^p + ay^p \in k[x,y]</math> के लिए <math>k</math> विशेषता का अपूर्ण क्षेत्र <math>p</math> और f में p वें घात नहीं है। फिर इसके बीजगणितीय समापन में <math>k^{\operatorname{alg}}[x,y]</math>, निम्नलिखित समानता रखती है:
 :<math>
 f(x,y) = (x + b y)^p ,
 </math>
-कहां बी{{i sup|''p''}} = ए और ऐसा बी इस बीजगणितीय समापन में मौजूद है। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब यह है <math>f</math> में एक एफ़िन समतल वक्र को परिभाषित नहीं करता है <math>k[x,y]</math>.
+जहाँ b{{i sup|''p''}} = a और b इस बीजगणितीय समापन में उपस्थित है। ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ यह है <math>f</math> में एफ़िन समतल वक्र <math>k[x,y]</math> को परिभाषित नहीं करता है |
-== एक आदर्श फ़ील्ड पर फ़ील्ड विस्तार ==
+== आदर्श क्षेत्र पर क्षेत्र विस्तार ==
-एक पूर्ण फ़ील्ड k पर कोई भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न फ़ील्ड एक्सटेंशन K अलग-अलग रूप से उत्पन्न होता है, यानी एक अलग ट्रान्सेंडेंस आधार को स्वीकार करता है, यानी, एक [[अतिक्रमण का आधार]] Γ जैसे कि K, k (Γ) पर अलग-अलग बीजगणितीय है।<ref>Matsumura, Theorem 26.2</ref>
+पूर्ण क्षेत्र k पर कोई भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार K अलग-अलग रूप से उत्पन्न होता है, अर्थात [[अतिक्रमण का आधार|उत्कृष्ट का आधार]] Γ जैसे कि K, k (Γ) पर अलग-अलग बीजगणितीय है।<ref>Matsumura, Theorem 26.2</ref>
 ==उत्तम समापन और पूर्णता==
-समतुल्य शर्तों में से एक कहती है कि, विशेषता पी में, सभी पी से जुड़ा एक क्षेत्र{{i sup|''r''}}-वीं जड़ें ({{nowrap|''r'' ≥ 1}}) पूर्ण है; इसे ''k'' का पूर्ण समापन कहा जाता है और आमतौर पर इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है <math>k^{p^{-\infty}}</math>.
+समतुल्य स्थिति में से कहती है कि, विशेषता p में, सभी p{{i sup|''r''}} वे आधार ({{nowrap|''r'' ≥ 1}}) से जुड़ीं हैं; इसे ''k'' का पूर्ण समापन कहा जाता है और सामान्यतौर पर इसे <math>k^{p^{-\infty}}</math>इसके द्वारा दर्शाया जाता है |
-पूर्ण समापन का उपयोग पृथक्करण के परीक्षण में किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, एक क्रमविनिमेय k-बीजगणित A वियोज्य है यदि और केवल यदि <math>A \otimes_k k^{p^{-\infty}}</math> कम किया गया है।<ref>{{harvnb|Cohn|2003|loc=Theorem 11.6.10}}</ref>
+पूर्ण समापन का उपयोग पृथक्करण के परीक्षण में किया जा सकता है। सही प्रकार से, वलय A का सही बंद होना आदर्श वलय A<sub>p</sub> है | [[वलय समरूपता]] के साथ विशेषता p की {{nowrap|''u'' : ''A'' → ''A<sub>p</sub>''}} समरूपता के साथ विशेषता p की किसी भी अन्य पूर्ण वलय B के लिए {{nowrap|''v'' : ''A'' → ''B''}} अद्वितीय समरूपता है| {{nowrap|''f'' : ''A<sub>p</sub>'' → ''B''}} जैसे कि v, u के माध्यम से गुणनखंड करता है (अर्थात् {{nowrap|1=''v'' = ''fu''}}). पूर्ण समापन निरंतर उपस्थित रहता है; प्रमाण मे क्षेत्र के अर्थ के समान, A के अवयवों की आसन्न p वें आधार सम्मिलित  हैं।<ref>{{harvnb|Bourbaki|2003}}, Section V.5.1.4, page 111</ref>
-[[सार्वभौमिक संपत्ति]] के संदर्भ में, विशेषता ''पी'' की अंगूठी ''ए'' का सही बंद होना एक आदर्श अंगूठी ''ए'' है<sub>p</sub>एक [[वलय समरूपता]] के साथ विशेषता पी की {{nowrap|''u'' : ''A'' → ''A<sub>p</sub>''}} ऐसा कि समरूपता के साथ विशेषता पी की किसी भी अन्य पूर्ण रिंग बी के लिए {{nowrap|''v'' : ''A'' → ''B''}} एक अद्वितीय समरूपता है {{nowrap|''f'' : ''A<sub>p</sub>'' → ''B''}} जैसे कि v, u के माध्यम से गुणनखंड करता है (अर्थात् {{nowrap|1=''v'' = ''fu''}}). पूर्ण समापन हमेशा मौजूद रहता है; प्रमाण में फ़ील्ड के मामले के समान, ए के तत्वों की आसन्न पी-वें जड़ें शामिल हैं।<ref>{{harvnb|Bourbaki|2003}}, Section V.5.1.4, page 111</ref>
-विशेषता ''पी'' की अंगूठी ''ए'' की पूर्णता दोहरी धारणा है (हालांकि इस शब्द का उपयोग कभी-कभी पूर्ण समापन के लिए किया जाता है)। दूसरे शब्दों में, ''ए'' की पूर्णता ''आर''(''ए'') एक मानचित्र के साथ विशेषता ''पी'' की एक आदर्श अंगूठी है {{nowrap|''θ'' : ''R''(''A'') → ''A''}} ऐसा कि किसी भी आदर्श रिंग बी के लिए विशेषता पी एक मानचित्र से सुसज्जित है {{nowrap|''φ'' : ''B'' → ''A''}}, एक अनोखा नक्शा है {{nowrap|''f'' : ''B'' → ''R''(''A'')}} ऐसा कि φ, θ से होकर गुजरता है (अर्थात {{nowrap|1=''φ'' = ''θf''}}). ए की पूर्णता का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। [[प्रक्षेप्य प्रणाली]] पर विचार करें
+विशेषता p की वलय A की पूर्णता दोहरी धारणा है (चूँकि इस शब्द का उपयोग कभी-कभी पूर्ण समापन के लिए किया जाता है)। दूसरे शब्दों में, A की पूर्णता R(A) मानचित्र के साथ विशेषता p की आदर्श वलय {{nowrap|''θ'' : ''R''(''A'') → ''A''}} ऐसा कि किसी भी आदर्श वलय B के लिए विशेषता p मानचित्र {{nowrap|''φ'' : ''B'' → ''A''}} से सुसज्जित है, अनोखा {{nowrap|''f'' : ''B'' → ''R''(''A'')}} मानचित्र है | ऐसा कि φ, θ से होकर गुजरता है (अर्थात {{nowrap|1=''φ'' = ''θf''}}). A की पूर्णता का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। [[प्रक्षेप्य प्रणाली]] पर विचार करते हैं।
 :<math>\cdots\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow\cdots</math>
-जहां संक्रमण मानचित्र फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म हैं। इस प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा R(A) है और इसमें अनुक्रम (x) शामिल हैं<sub>0</sub>, एक्स<sub>1</sub>, ... ) A के तत्वों का ऐसा है कि <math>x_{i+1}^p=x_i</math> सबके लिए मैं वो नक्शा {{nowrap|''θ'' : ''R''(''A'') → ''A''}} भेजता है (x<sub>i</sub>) से एक्स<sub>0</sub>.<ref>{{harvnb|Brinon|Conrad|2009}}, section 4.2</ref>
+जहां परिवर्तन मानचित्र फ्रोबेनियस अंतःरूपता हैं। इस प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा R(A) है और इसमें अनुक्रम (x<sub>0,</sub> x<sub>1</sub>..... सम्मिलित हैं) A के अवयव है जैसे कि <math>x_{i+1}^p=x_i</math> सभी i के लिए होता है। मानचित्र {{nowrap|''θ'' : ''R''(''A'') → ''A''}} (x<sub>i</sub>) से x<sub>0</sub> भेजता है |<ref>{{harvnb|Brinon|Conrad|2009}}, section 4.2</ref>
 == यह भी देखें ==
-*[[पी-रिंग]]
+* [[पी-रिंग|p-वलय]]
-* उत्तम अंगूठी
+* उत्तम वलय
 *[[अर्ध-सीमित क्षेत्र]]

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