बाहरी कलन पहचान

यह आलेख बाहरी कलन में कई पहचान (गणित) का सारांश प्रस्तुत करता है।

संकेतन

निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और नोटेशनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।

अनेक गुना

$M$, $N$ हैं $n$-आयामी चिकनी मैनिफोल्ड्स, जहां $n\in \mathbb {N}$. अर्थात्, भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त बार विभेदित किया जा सकता है।

$p\in M$, $q\in N$ प्रत्येक कई गुना पर बिंदु दर्शाएँ।

अनेक गुना की सीमा $M$ अनेक गुना है $\partial M$, जिसका आयाम है $n-1$. पर अभिविन्यास $M$ पर अभिविन्यास प्रेरित करता है $\partial M$.

हम आम तौर पर सबमैनिफोल्ड को निरूपित करते हैं $\Sigma \subset M$.

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट बंडल

$TM$, $T^{*}M$ स्मूथ मैनिफोल्ड के क्रमशः स्पर्शरेखा बंडल और कोटैंजेंट बंडल को निरूपित करें $M$.

$T_{p}M$, $T_{q}N$ के स्पर्शरेखा स्थानों को निरूपित करें $M$, $N$ बिंदुओं पर $p$, $q$, क्रमश। $T_{p}^{*}M$ के कोटैंजेंट स्थान को दर्शाता है $M$ बिंदु पर $p$.

स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे वेक्टर फ़ील्ड के रूप में भी जाना जाता है, को आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $X,Y,Z\in \Gamma (TM)$ ऐसे कि बिंदु पर $p\in M$ अपने पास $X|_{p},Y|_{p},Z|_{p}\in T_{p}M$. कोटैंजेंट बंडल के अनुभाग, जिन्हें विभेदक रूप | डिफरेंशियल 1-फॉर्म (या कोवेक्टर फ़ील्ड) के रूप में भी जाना जाता है, को आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $\alpha ,\beta \in \Gamma (T^{*}M)$ ऐसे कि बिंदु पर $p\in M$ अपने पास $\alpha |_{p},\beta |_{p}\in T_{p}^{*}M$. के लिए वैकल्पिक संकेतन $\Gamma (T^{*}M)$ है $\Omega ^{1}(M)$.

विभेदक k-रूप

अंतर $k$-रूप, जिसे हम बस के रूप में संदर्भित करते हैं $k$-यहाँ प्रपत्र, विभेदक रूप परिभाषित हैं $TM$. हम सभी के समुच्चय को निरूपित करते हैं $k$-के रूप में बनता है $\Omega ^{k}(M)$. के लिए $0\leq k,\ l,\ m\leq n$ हम आम तौर पर लिखते हैं $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$, $\beta \in \Omega ^{l}(M)$, $\gamma \in \Omega ^{m}(M)$.

$0$-रूप $f\in \Omega ^{0}(M)$ केवल अदिश फलन हैं $C^{\infty }(M)$ पर $M$. $\mathbf {1} \in \Omega ^{0}(M)$ स्थिरांक को दर्शाता है $0$-रूप के बराबर $1$ हर जगह.

अनुक्रम के छोड़े गए तत्व

जब हमें दिया जाता है $(k+1)$ आदानों $X_{0},\ldots ,X_{k}$ और ए $k$-प्रपत्र $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ हम की चूक को दर्शाते हैं $i$लिख कर वें प्रविष्टि

$\alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}):=\alpha (X_{0},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{k}).$

बाहरी उत्पाद

बाहरी उत्पाद को वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। द्वारा निरूपित किया जाता है $\wedge :\Omega ^{k}(M)\times \Omega ^{l}(M)\rightarrow \Omega ^{k+l}(M)$. ए का बाहरी उत्पाद $k$-प्रपत्र $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ और $l$-प्रपत्र $\beta \in \Omega ^{l}(M)$ उत्पादन ए $(k+l)$-प्रपत्र $\alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+l}(M)$. इसे सेट का उपयोग करके लिखा जा सकता है $S(k,k+l)$ सभी क्रमपरिवर्तन का $\sigma$ का $\{1,\ldots ,n\}$ ऐसा है कि $\sigma (1)<\ldots <\sigma (k),\ \sigma (k+1)<\ldots <\sigma (k+l)$ जैसा

$(\alpha \wedge \beta )(X_{1},\ldots ,X_{k+l})=\sum _{\sigma \in S(k,k+l)}{\text{sign}}(\sigma )\alpha (X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (k)})\otimes \beta (X_{\sigma (k+1)},\ldots ,X_{\sigma (k+l)}).$

दिशात्मक व्युत्पन्न

0-रूप का दिशात्मक व्युत्पन्न $f\in \Omega ^{0}(M)$ अनुभाग के साथ $X\in \Gamma (TM)$ 0-रूप दर्शाया गया है $\partial _{X}f.$

बाहरी व्युत्पन्न

बाह्य व्युत्पन्न $d_{k}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)$ सभी के लिए परिभाषित है $0\leq k\leq n$. हम आम तौर पर सबस्क्रिप्ट को तब छोड़ देते हैं जब वह संदर्भ से स्पष्ट हो। एक के लिए $0$-प्रपत्र $f\in \Omega ^{0}(M)$ अपने पास $d_{0}f\in \Omega ^{1}(M)$ के रूप में $1$-फॉर्म जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, यानी, अनुभाग के लिए $X\in \Gamma (TM)$ अपने पास $(d_{0}f)(X)=\partial _{X}f$, का दिशात्मक व्युत्पन्न $f$ साथ में $X$. के लिए $0<k\leq n$,

$(d_{k}\omega )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d_{0}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}).$

झूठ ब्रैकेट

अनुभागों के वेक्टर फ़ील्ड का लेट ब्रैकेट $X,Y\in \Gamma (TM)$ अद्वितीय अनुभाग के रूप में परिभाषित किया गया है $[X,Y]\in \Gamma (TM)$ जो संतुष्ट करता है

$\forall f\in \Omega ^{0}(M)\Rightarrow \partial _{[X,Y]}f=\partial _{X}\partial _{Y}f-\partial _{Y}\partial _{X}f.$

स्पर्शरेखा मानचित्र

अगर $\phi :M\rightarrow N$ तो फिर, यह सहज मानचित्र है $d\phi |_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{\phi (p)}N$ से स्पर्श रेखा मानचित्र को परिभाषित करता है $M$ को $N$. इसे वक्रों के माध्यम से परिभाषित किया गया है $\gamma$ पर $M$ व्युत्पन्न के साथ $\gamma '(0)=X\in T_{p}M$ ऐसा है कि

$d\phi (X):=(\phi \circ \gamma )'.$

ध्यान दें कि $\phi$ है $0$-मूल्यों के साथ फॉर्म $N$.

पुल-बैक

अगर $\phi :M\rightarrow N$ सहज मानचित्र है, फिर पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)|ए का पुल-बैक $k$-प्रपत्र $\alpha \in \Omega ^{k}(N)$ किसी के लिए भी इस प्रकार परिभाषित किया गया है $k$-आयामी सबमैनिफोल्ड $\Sigma \subset M$

$\int _{\Sigma }\phi ^{*}\alpha =\int _{\phi (\Sigma )}\alpha .$

पुल-बैक को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है

$(\phi ^{*}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (d\phi (X_{1}),\ldots ,d\phi (X_{k})).$

आंतरिक उत्पाद

इसे आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, आंतरिक उत्पाद को खंड दिया गया है $Y\in \Gamma (TM)$ नक्शा है $\iota _{Y}:\Omega ^{k+1}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)$ जो प्रभावी रूप से a के पहले इनपुट को प्रतिस्थापित करता है $(k+1)$-फॉर्म के साथ $Y$. अगर $\alpha \in \Omega ^{k+1}(M)$ और $X_{i}\in \Gamma (TM)$ तब

$(\iota _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{k}).$

मीट्रिक टेंसर

एक गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप दिया गया है $g_{p}(\cdot ,\cdot )$ सभी के ऊपर $T_{p}M$ जो निरंतर चालू है $M$, मैनिफोल्ड छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बन जाता है। हम मीट्रिक टेंसर को निरूपित करते हैं $g$, द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है $g(X,Y)|_{p}=g_{p}(X|_{p},Y|_{p})$. हम बुलाते है $s=\operatorname {sign} (g)$ हॉज स्टार ऑपरेटर#मीट्रिक का द्वंद्व। रीमैनियन मैनिफोल्ड है $s=1$, जबकि मिन्कोवस्की स्थान है $s=-1$.

संगीत समरूपता

मीट्रिक टेंसर $g(\cdot ,\cdot )$ वेक्टर फ़ील्ड और एक-रूपों के बीच द्वंद्व मानचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय आइसोमोर्फिज्म फ्लैट हैं $\flat$ और तेज़ $\sharp$. अनुभाग $A\in \Gamma (TM)$ अद्वितीय एक-रूप से मेल खाता है $A^{\flat }\in \Omega ^{1}(M)$ जैसे कि सभी वर्गों के लिए $X\in \Gamma (TM)$, अपने पास:

$A^{\flat }(X)=g(A,X).$

एक रूप $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$ अद्वितीय वेक्टर फ़ील्ड से मेल खाता है $\alpha ^{\sharp }\in \Gamma (TM)$ ऐसा कि सभी के लिए $X\in \Gamma (TM)$, अपने पास:

$\alpha (X)=g(\alpha ^{\sharp },X).$

ये मैपिंग बहुरेखीयता से होते हुए मैपिंग तक विस्तारित होती हैं $k$-वेक्टर फ़ील्ड्स $k$-रूप और $k$-फ़ॉर्म को $k$-वेक्टर फ़ील्ड के माध्यम से

$(A_{1}\wedge A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{k})^{\flat }=A_{1}^{\flat }\wedge A_{2}^{\flat }\wedge \cdots \wedge A_{k}^{\flat }$

$(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})^{\sharp }=\alpha _{1}^{\sharp }\wedge \alpha _{2}^{\sharp }\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{\sharp }.$

हॉज स्टार

एन-मैनिफोल्ड एम के लिए, हॉज स्टार ऑपरेटर ${\star }:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{n-k}(M)$ द्वैत मानचित्रण है $k$-प्रपत्र $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ अगर $(n{-}k)$-प्रपत्र $({\star }\alpha )\in \Omega ^{n-k}(M)$.

इसे उन्मुख फ़्रेम के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ के लिए $TM$, दिए गए मीट्रिक टेंसर के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल $g$:

$({\star }\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{n-k})=\alpha (X_{n-k+1},\ldots ,X_{n}).$

सह-अंतर ऑपरेटर

हॉज स्टार ऑपरेटर#कोडडिफ़रेंशियल|सह-डिफ़रेंशियल ऑपरेटर $\delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)$ पर $n$ आयामी अनेक गुना $M$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\delta :=(-1)^{k}{\star }^{-1}d{\star }=(-1)^{nk+n+1}{\star }d{\star }.$

हॉज-डिराक ऑपरेटर, $d+\delta$, डिराक ऑपरेटर है जिसका अध्ययन क्लिफोर्ड विश्लेषण में किया गया है।

ओरिएंटेड मैनिफोल्ड

एक $n$-आयामी स्टीयरेबल मैनिफोल्ड M ऐसा मैनिफोल्ड है जिसे किसी विकल्प से सुसज्जित किया जा सकता है n-प्रपत्र $\mu \in \Omega ^{n}(M)$ वह हर जगह निरंतर और शून्येतर है M.

आयतन आकार

एक ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड पर $M$ मीट्रिक टेंसर दिए गए वॉल्यूम फॉर्म की विहित पसंद $g$ और ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस)#मल्टीलीनियर बीजगणित है $\mathbf {det} :={\sqrt {|\det g|}}\;dX_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge dX_{n}^{\flat }$ किसी भी आधार के लिए $dX_{1},\ldots ,dX_{n}$ ओरिएंटेशन से मिलान करने का आदेश दिया गया।

क्षेत्रफल

वॉल्यूम फॉर्म दिया गया है $\mathbf {det}$ और इकाई सामान्य वेक्टर $N$ हम क्षेत्र रूप को भी परिभाषित कर सकते हैं $\sigma :=\iota _{N}{\textbf {det}}$ पर boundary $\partial M.$

के-फॉर्म पर बिलिनियर फॉर्म

मीट्रिक टेंसर का सामान्यीकरण, दो के बीच सममित द्विरेखीय रूप $k$-रूप $\alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)$, पर बिंदुवार परिभाषित किया गया है $M$ द्वारा

$\langle \alpha ,\beta \rangle |_{p}:={\star }(\alpha \wedge {\star }\beta )|_{p}.$

$L^{2}$वें>-के स्थान के लिए द्विरेखीय रूप $k$-रूप $\Omega ^{k}(M)$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle :=\int _{M}\alpha \wedge {\star }\beta .$

रीमैनियन मैनिफोल्ड के मामले में, प्रत्येक आंतरिक उत्पाद है (अर्थात सकारात्मक-निश्चित है)।

झूठ व्युत्पन्न

हम लाई व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं ${\mathcal {L}}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)$ किसी दिए गए अनुभाग के लिए कार्टन के जादुई फॉर्मूले के माध्यम से $X\in \Gamma (TM)$ जैसा

${\mathcal {L}}_{X}=d\circ \iota _{X}+\iota _{X}\circ d.$

यह a के परिवर्तन का वर्णन करता है $k$-एक प्रवाह के साथ प्रपत्र (गणित) $\phi _{t}$ अनुभाग से संबद्ध $X$.

पुल-बैक गुण

$d(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(d\alpha )$ (साथ क्रमविनिमेय $d$)

$\phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=(\phi ^{*}\alpha )\wedge (\phi ^{*}\beta )$ ( वितरित करता है $\wedge$)

$(\phi _{1}\circ \phi _{2})^{*}=\phi _{2}^{*}\phi _{1}^{*}$ (विपरीत)

$\phi ^{*}f=f\circ \phi$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(N)$ (फ़ंक्शन रचना)

संगीत समरूपता गुण

$(X^{\flat })^{\sharp }=X$

$(\alpha ^{\sharp })^{\flat }=\alpha$

आंतरिक उत्पाद गुण

$\iota _{X}\circ \iota _{X}=0$ (निलपोटेंट)

$\iota _{X}\circ \iota _{Y}=-\iota _{Y}\circ \iota _{X}$

$\iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=(\iota _{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (\iota _{X}\beta )$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)$ (लीबनिज नियम)

$\iota _{X}\alpha =\alpha (X)$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$

$\iota _{X}f=0$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(M)$

$\iota _{X}(f\alpha )=f\iota _{X}\alpha$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(M)$

हॉज स्टार गुण

${\star }(\lambda _{1}\alpha +\lambda _{2}\beta )=\lambda _{1}({\star }\alpha )+\lambda _{2}({\star }\beta )$ के लिए $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$ ( रैखिकता )

${\star }{\star }\alpha =s(-1)^{k(n-k)}\alpha$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$, $n=\dim(M)$, और $s=\operatorname {sign} (g)$ मीट्रिक का चिह्न

${\star }^{(-1)}=s(-1)^{k(n-k)}{\star }$ ( उलटा )

${\star }(f\alpha )=f({\star }\alpha )$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(M)$ (साथ क्रमविनिमेय $0$-रूप )

$\langle \!\langle \alpha ,\alpha \rangle \!\rangle =\langle \!\langle {\star }\alpha ,{\star }\alpha \rangle \!\rangle$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$ (हॉज स्टार संरक्षित करता है $1$-फॉर्म मानदंड )

${\star }\mathbf {1} =\mathbf {det}$ (स्थिर फलन 1 का हॉज डुअल आयतन रूप है)

सह-अंतर ऑपरेटर गुण

$\delta \circ \delta =0$ (निलपोटेंट)

${\star }\delta =(-1)^{k}d{\star }$ और ${\star }d=(-1)^{k+1}\delta {\star }$ (हॉज के निकट $d$)

$\langle \!\langle d\alpha ,\beta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \alpha ,\delta \beta \rangle \!\rangle$ अगर $\partial M=0$ ($\delta$ के साथ जुड़ा हुआ $d$)

सामान्य रूप में, $\int _{M}d\alpha \wedge \star \beta =\int _{\partial M}\alpha \wedge \star \beta +\int _{M}\alpha \wedge \star \delta \beta$

$\delta f=0$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(M)$

झूठ व्युत्पन्न गुण

$d\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ d$ (साथ क्रमविनिमेय $d$)

$\iota _{X}\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{X}$ (साथ क्रमविनिमेय $\iota _{X}$)

${\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\alpha )=\iota _{[X,Y]}\alpha +\iota _{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha$

${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$ (लीबनिज नियम)

$(\delta \alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=-\sum _{i=1}^{n}(\iota _{E_{i}}(\nabla _{E_{i}}\alpha ))(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})$ सकारात्मक रूप से उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम दिया गया $E_{1},\ldots ,E_{n}$.

$({\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(\nabla _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})-\sum _{i=1}^{k}\alpha (X_{1},\ldots ,\nabla _{X_{i}}Y,\ldots ,X_{k})$

हॉज अपघटन

See also: Hodge theory

अगर $\partial M=\emptyset$, $\omega \in \Omega ^{k}(M)\Rightarrow \exists \alpha \in \Omega ^{k-1},\ \beta \in \Omega ^{k+1},\ \gamma \in \Omega ^{k}(M),\ d\gamma =0,\ \delta \gamma =0$ ऐसा है कि

$\omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma$

पोंकारे लेम्मा

यदि सीमाहीन अनेक गुना $M$ इसमें तुच्छ कोहोमोलोजी है $H^{k}(M)=\{0\}$, फिर कोई भी बंद $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ सटीक है. यह मामला है यदि एम अनुबंध योग्य स्थान है।

सदिश कलन से संबंध

See also: Vector calculus identities

यूक्लिडियन 3-स्पेस में पहचान

चलो यूक्लिडियन मीट्रिक $g(X,Y):=\langle X,Y\rangle =X\cdot Y$.

हम उपयोग करते हैं $\nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)$ की $\mathbb {R} ^{3}$

$\iota _{X}\alpha =g(X,\alpha ^{\sharp })=X\cdot \alpha ^{\sharp }$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$.

$\mathbf {det} (X,Y,Z)=\langle X,Y\times Z\rangle =\langle X\times Y,Z\rangle$ (अदिश त्रिगुण गुणनफल)

$X\times Y=({\star }(X^{\flat }\wedge Y^{\flat }))^{\sharp }$ ( पार उत्पाद )

$\iota _{X}\alpha =-(X\times A)^{\flat }$ अगर $\alpha \in \Omega ^{2}(M),\ A=({\star }\alpha )^{\sharp }$

$X\cdot Y={\star }(X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat })$ ( अदिश उत्पाद )

$\nabla f=(df)^{\sharp }$ (ढाल)

$X\cdot \nabla f=df(X)$ (दिशात्मक व्युत्पन्न)

$\nabla \cdot X={\star }d{\star }X^{\flat }=-\delta X^{\flat }$ (विचलन)

$\nabla \times X=({\star }dX^{\flat })^{\sharp }$ (कर्ल (गणित))

$\langle X,N\rangle \sigma ={\star }X^{\flat }$ कहाँ $N$ की इकाई सामान्य वेक्टर है $\partial M$ और $\sigma =\iota _{N}\mathbf {det}$ पर क्षेत्र प्रपत्र है $\partial M$.

$\int _{\Sigma }d{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }\langle X,N\rangle \sigma$ (विचलन प्रमेय)

झूठ व्युत्पन्न

${\mathcal {L}}_{X}f=X\cdot \nabla f$ ($0$-रूप )

${\mathcal {L}}_{X}\alpha =(\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat }+g(\alpha ^{\sharp },\nabla X)$ ($1$-रूप )

${\star }{\mathcal {L}}_{X}\beta =\left(\nabla _{X}B-\nabla _{B}X+({\text{div}}X)B\right)^{\flat }$ अगर $B=({\star }\beta )^{\sharp }$ ($2$-पर प्रपत्र $3$-कई गुना )

${\star }{\mathcal {L}}_{X}\rho =dq(X)+({\text{div}}X)q$ अगर $\rho ={\star }q\in \Omega ^{0}(M)$ ($n$-रूप )

${\mathcal {L}}_{X}(\mathbf {det} )=({\text{div}}(X))\mathbf {det}$