बाहरी कलन पहचान

यह आलेख बाह्य कलन में कई समरूपता (गणित) का सारांश प्रस्तुत करता है।

संकेतन

निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।

मैनिफोल्ड

$M$, $N$ $n$-विमीय चिकने (स्मूथ) मैनिफोल्ड हैं, जहां $n\in \mathbb {N}$। अर्थात्, भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त बार विभेदित किया जा सकता है।

$p\in M$, $q\in N$ प्रत्येक मैनिफोल्ड पर एक बिंदु दर्शाता है।

मैनिफोल्ड $M$ की सीमा मैनिफोल्ड $\partial M$ है , जिसकी विमा $n-1$ है। $M$ पर एक अभिविन्यास $\partial M$ पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है।

हम सामान्यतः उपमैनिफोल्ड को $\Sigma \subset M$ से निरूपित करते हैं ।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल

$TM$, $T^{*}M$ स्मूथ मैनिफोल्ड $M$ के क्रमशः स्पर्शरेखा बंडल और कोटिस्पर्श रेखा बंडल को दर्शाता है।

$T_{p}M$, क्रमशः बिंदु $p$, $q$, पर $M$, $N$ के स्पर्शरेखा स्थानों को दर्शाता है। $T_{p}^{*}M$ बिंदु $p$ पर $M$ के कोटिस्पर्श रेखा स्थान को दर्शाता है।

स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे सदिश क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः $X,Y,Z\in \Gamma (TM)$ के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु $p\in M$ पर हमारे निकट $X|_{p},Y|_{p},Z|_{p}\in T_{p}M$ है। कोटिस्पर्श रेखा बंडल के अनुभाग, जिन्हें विभेदक रूप (या सहसदिश क्षेत्र) के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः $\alpha ,\beta \in \Gamma (T^{*}M)$ के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु $p\in M$ पर हमारे निकट $\alpha |_{p},\beta |_{p}\in T_{p}^{*}M$ है। $\Gamma (T^{*}M)$ के लिए एक वैकल्पिक संकेतन $\Omega ^{1}(M)$ है।

विभेदक k-रूप

विभेदक $k$-रूप, जिसे हम यहां मात्र $k$-रूप के रूप में संदर्भित करते हैं, $TM$ पर परिभाषित विभेदक रूप हैं। हम सभी $k$- रूपों के समुच्चय को $\Omega ^{k}(M)$ के रूप में निरूपित करते हैं। $0\leq k,\ l,\ m\leq n$ के लिए हम सामान्यतः $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$, $\beta \in \Omega ^{l}(M)$, $\gamma \in \Omega ^{m}(M)$ लिखते हैं।

$0$-रूप $f\in \Omega ^{0}(M)$ $M$ पर मात्र अदिश फलन $C^{\infty }(M)$ हैं। $\mathbf {1} \in \Omega ^{0}(M)$ प्रत्येक स्थान 1 के बराबर स्थिरांक 0-रूप को दर्शाता है।

अनुक्रम के छोड़े गए अवयव

जब हमें$(k+1)$ इनपुट $X_{0},\ldots ,X_{k}$ और $k$-रूप $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ दिया जाता है तो हम

$\alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}):=\alpha (X_{0},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{k})$ लिखकर $i$वीं प्रविष्टि के लोप को दर्शाती हैं।

बाह्य उत्पाद

बाह्य उत्पाद को वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। इसे $\wedge :\Omega ^{k}(M)\times \Omega ^{l}(M)\rightarrow \Omega ^{k+l}(M)$ से दर्शाया जाता है। $k$-रूप $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ और $l$-रूप $\beta \in \Omega ^{l}(M)$ का बाह्य उत्पाद $(k+l)$-रूप $\alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+l}(M)$ उत्पन्न करता है। इसे $\{1,\ldots ,n\}$ के सभी क्रमपरिवर्तन $\sigma$ के समुच्चय $S(k,k+l)$ का उपयोग करके लिखा जा सकता है जैसे कि $\sigma (1)<\ldots <\sigma (k),\ \sigma (k+1)<\ldots <\sigma (k+l)$ को

$(\alpha \wedge \beta )(X_{1},\ldots ,X_{k+l})=\sum _{\sigma \in S(k,k+l)}{\text{sign}}(\sigma )\alpha (X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (k)})\otimes \beta (X_{\sigma (k+1)},\ldots ,X_{\sigma (k+l)})$ के रूप में है।

दिशात्मक व्युत्पन्न

अनुभाग $X\in \Gamma (TM)$ के अनुदिश 0-रूप $f\in \Omega ^{0}(M)$ का दिशात्मक व्युत्पन्न 0-रूप निरूपित $\partial _{X}f$ है।

बाह्य व्युत्पन्न

बाह्य व्युत्पन्न $d_{k}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)$ को सभी $0\leq k\leq n$ के लिए परिभाषित किया गया है। हम सामान्यतः सबस्क्रिप्ट को तब छोड़ देते हैं जब वह संदर्भ से स्पष्ट हो।

$0$-रूप $f\in \Omega ^{0}(M)$ के लिए हमारे निकट $1$-रूप के रूप में $d_{0}f\in \Omega ^{1}(M)$ है जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, अर्थात, अनुभाग $X\in \Gamma (TM)$ के लिए हमारे निकट $(d_{0}f)(X)=\partial _{X}f$ है, $X$ द के सा $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है।

$0<k\leq n$ के लिए,

$(d_{k}\omega )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d_{0}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}).$

लाई कोष्ठक

अनुभागों के सदिश क्षेत्र का लाई कोष्ठक $X,Y\in \Gamma (TM)$ अद्वितीय अनुभाग के रूप में परिभाषित किया गया है $[X,Y]\in \Gamma (TM)$ जो संतुष्ट करता है

$\forall f\in \Omega ^{0}(M)\Rightarrow \partial _{[X,Y]}f=\partial _{X}\partial _{Y}f-\partial _{Y}\partial _{X}f.$

स्पर्शरेखा मानचित्र

अगर $\phi :M\rightarrow N$ तो फिर, यह सहज मानचित्र है $d\phi |_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{\phi (p)}N$ से स्पर्श रेखा मानचित्र को परिभाषित करता है $M$ को $N$। इसे वक्रों के माध्यम से परिभाषित किया गया है $\gamma$ पर $M$ व्युत्पन्न के साथ $\gamma '(0)=X\in T_{p}M$ ऐसा है कि

$d\phi (X):=(\phi \circ \gamma )'.$

ध्यान दें कि $\phi$ है $0$-मूल्यों के साथ रूप $N$।

पुल-बैक

अगर $\phi :M\rightarrow N$ सहज मानचित्र है, फिर पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)|ए का पुल-बैक $k$-रूप $\alpha \in \Omega ^{k}(N)$ किसी के लिए भी इस प्रकार परिभाषित किया गया है $k$-विमीय सबमैनिफोल्ड $\Sigma \subset M$

$\int _{\Sigma }\phi ^{*}\alpha =\int _{\phi (\Sigma )}\alpha .$

पुल-बैक को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है

$(\phi ^{*}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (d\phi (X_{1}),\ldots ,d\phi (X_{k})).$

आंतरिक उत्पाद

इसे आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, आंतरिक उत्पाद को खंड दिया गया है $Y\in \Gamma (TM)$ नक्शा है $\iota _{Y}:\Omega ^{k+1}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)$ जो प्रभावी रूप से a के पहले इनपुट को प्रतिस्थापित करता है $(k+1)$-रूप के साथ $Y$। अगर $\alpha \in \Omega ^{k+1}(M)$ और $X_{i}\in \Gamma (TM)$ तब

$(\iota _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{k}).$

मीट्रिक टेंसर

एक गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप दिया गया है $g_{p}(\cdot ,\cdot )$ सभी के ऊपर $T_{p}M$ जो निरंतर चालू है $M$, मैनिफोल्ड छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बन जाता है। हम मीट्रिक टेंसर को निरूपित करते हैं $g$, द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है $g(X,Y)|_{p}=g_{p}(X|_{p},Y|_{p})$। हम बुलाते है $s=\operatorname {sign} (g)$ हॉज स्टार ऑपरेटर#मीट्रिक का द्वंद्व। रीमैनियन मैनिफोल्ड है $s=1$, जबकि मिन्कोवस्की स्थान है $s=-1$।

संगीत समरूपता

मीट्रिक टेंसर $g(\cdot ,\cdot )$ सदिश क्षेत्र और एक-रूपों के बीच द्वंद्व मानचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय आइसोमोर्फिज्म फ्लैट हैं $\flat$ और तेज़ $\sharp$। अनुभाग $A\in \Gamma (TM)$ अद्वितीय एक-रूप से मेल खाता है $A^{\flat }\in \Omega ^{1}(M)$ जैसे कि सभी वर्गों के लिए $X\in \Gamma (TM)$, अपने निकट:

$A^{\flat }(X)=g(A,X).$

एक रूप $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$ अद्वितीय सदिश क्षेत्र से मेल खाता है $\alpha ^{\sharp }\in \Gamma (TM)$ ऐसा कि सभी के लिए $X\in \Gamma (TM)$, अपने निकट:

$\alpha (X)=g(\alpha ^{\sharp },X).$

ये मैपिंग बहुरेखीयता से होते हुए मैपिंग तक विस्तारित होती हैं $k$-सदिश क्षेत्र्स $k$-रूप और $k$-फ़ॉर्म को $k$-सदिश क्षेत्र के माध्यम से

$(A_{1}\wedge A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{k})^{\flat }=A_{1}^{\flat }\wedge A_{2}^{\flat }\wedge \cdots \wedge A_{k}^{\flat }$

$(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})^{\sharp }=\alpha _{1}^{\sharp }\wedge \alpha _{2}^{\sharp }\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{\sharp }.$

हॉज स्टार

एन-मैनिफोल्ड एम के लिए, हॉज स्टार ऑपरेटर ${\star }:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{n-k}(M)$ द्वैत मानचित्रण है $k$-रूप $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ अगर $(n{-}k)$-रूप $({\star }\alpha )\in \Omega ^{n-k}(M)$।

इसे उन्मुख फ़्रेम के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ के लिए $TM$, दिए गए मीट्रिक टेंसर के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल $g$:

$({\star }\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{n-k})=\alpha (X_{n-k+1},\ldots ,X_{n}).$

सह-विभेदक ऑपरेटर

हॉज स्टार ऑपरेटर#कोडडिफ़रेंशियल|सह-डिफ़रेंशियल ऑपरेटर $\delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)$ पर $n$ विमीय मैनिफोल्ड $M$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\delta :=(-1)^{k}{\star }^{-1}d{\star }=(-1)^{nk+n+1}{\star }d{\star }.$

हॉज-डिराक ऑपरेटर, $d+\delta$, डिराक ऑपरेटर है जिसका अध्ययन क्लिफोर्ड विश्लेषण में किया गया है।

ओरिएंटेड मैनिफोल्ड

एक $n$-विमीय स्टीयरेबल मैनिफोल्ड M ऐसा मैनिफोल्ड है जिसे किसी विकल्प से सुसज्जित किया जा सकता है n-रूप $\mu \in \Omega ^{n}(M)$ वह प्रत्येक स्थान निरंतर और शून्येतर है M।

आयतन आकार

एक ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड पर $M$ मीट्रिक टेंसर दिए गए वॉल्यूम रूप की विहित पसंद $g$ और ओरिएंटेशन (सदिश स्पेस)#मल्टीलीनियर बीजगणित है $\mathbf {det} :={\sqrt {|\det g|}}\;dX_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge dX_{n}^{\flat }$ किसी भी आधार के लिए $dX_{1},\ldots ,dX_{n}$ ओरिएंटेशन से मिलान करने का आदेश दिया गया।

क्षेत्रफल

वॉल्यूम रूप दिया गया है $\mathbf {det}$ और इकाई सामान्य सदिश $N$ हम क्षेत्र रूप को भी परिभाषित कर सकते हैं $\sigma :=\iota _{N}{\textbf {det}}$ पर boundary $\partial M.$

के-रूप पर बिलिनियर रूप

मीट्रिक टेंसर का सामान्यीकरण, दो के बीच सममित द्विरेखीय रूप $k$-रूप $\alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)$, पर बिंदुवार परिभाषित किया गया है $M$ द्वारा

$\langle \alpha ,\beta \rangle |_{p}:={\star }(\alpha \wedge {\star }\beta )|_{p}.$

$L^{2}$वें>-के स्थान के लिए द्विरेखीय रूप $k$-रूप $\Omega ^{k}(M)$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle :=\int _{M}\alpha \wedge {\star }\beta .$

रीमैनियन मैनिफोल्ड के मामले में, प्रत्येक आंतरिक उत्पाद है (अर्थात सकारात्मक-निश्चित है)।

लाई व्युत्पन्न

हम लाई व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं ${\mathcal {L}}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)$ किसी दिए गए अनुभाग के लिए कार्टन के जादुई रूपूले के माध्यम से $X\in \Gamma (TM)$ जैसा

${\mathcal {L}}_{X}=d\circ \iota _{X}+\iota _{X}\circ d.$

यह a के परिवर्तन का वर्णन करता है $k$-एक प्रवाह के साथ रूप (गणित) $\phi _{t}$ अनुभाग से संबद्ध $X$।

पुल-बैक गुण

$d(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(d\alpha )$ (साथ क्रमविनिमेय $d$)

$\phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=(\phi ^{*}\alpha )\wedge (\phi ^{*}\beta )$ ( वितरित करता है $\wedge$)

$(\phi _{1}\circ \phi _{2})^{*}=\phi _{2}^{*}\phi _{1}^{*}$ (विपरीत)

$\phi ^{*}f=f\circ \phi$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(N)$ (फ़ंक्शन रचना)

संगीत समरूपता गुण

$(X^{\flat })^{\sharp }=X$

$(\alpha ^{\sharp })^{\flat }=\alpha$

आंतरिक उत्पाद गुण

$\iota _{X}\circ \iota _{X}=0$ (निलपोटेंट)

$\iota _{X}\circ \iota _{Y}=-\iota _{Y}\circ \iota _{X}$

$\iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=(\iota _{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (\iota _{X}\beta )$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)$ (लीबनिज नियम)

$\iota _{X}\alpha =\alpha (X)$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$

$\iota _{X}f=0$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(M)$

$\iota _{X}(f\alpha )=f\iota _{X}\alpha$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(M)$

हॉज स्टार गुण

${\star }(\lambda _{1}\alpha +\lambda _{2}\beta )=\lambda _{1}({\star }\alpha )+\lambda _{2}({\star }\beta )$ के लिए $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$ ( रैखिकता )

${\star }{\star }\alpha =s(-1)^{k(n-k)}\alpha$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$, $n=\dim(M)$, और $s=\operatorname {sign} (g)$ मीट्रिक का चिह्न

${\star }^{(-1)}=s(-1)^{k(n-k)}{\star }$ ( उलटा )

${\star }(f\alpha )=f({\star }\alpha )$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(M)$ (साथ क्रमविनिमेय $0$-रूप )

$\langle \!\langle \alpha ,\alpha \rangle \!\rangle =\langle \!\langle {\star }\alpha ,{\star }\alpha \rangle \!\rangle$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$ (हॉज स्टार संरक्षित करता है $1$-रूप मानदंड )

${\star }\mathbf {1} =\mathbf {det}$ (स्थिर फलन 1 का हॉज डुअल आयतन रूप है)

सह-विभेदक ऑपरेटर गुण

$\delta \circ \delta =0$ (निलपोटेंट)

${\star }\delta =(-1)^{k}d{\star }$ और ${\star }d=(-1)^{k+1}\delta {\star }$ (हॉज के निकट $d$)

$\langle \!\langle d\alpha ,\beta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \alpha ,\delta \beta \rangle \!\rangle$ अगर $\partial M=0$ ($\delta$ के साथ जुड़ा हुआ $d$)

सामान्य रूप में, $\int _{M}d\alpha \wedge \star \beta =\int _{\partial M}\alpha \wedge \star \beta +\int _{M}\alpha \wedge \star \delta \beta$

$\delta f=0$ के लिए $f\in \Omega ^{0}(M)$

लाई व्युत्पन्न गुण

$d\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ d$ (साथ क्रमविनिमेय $d$)

$\iota _{X}\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{X}$ (साथ क्रमविनिमेय $\iota _{X}$)

${\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\alpha )=\iota _{[X,Y]}\alpha +\iota _{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha$

${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$ (लीबनिज नियम)

$(\delta \alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=-\sum _{i=1}^{n}(\iota _{E_{i}}(\nabla _{E_{i}}\alpha ))(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})$ सकारात्मक रूप से उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम दिया गया $E_{1},\ldots ,E_{n}$।

$({\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(\nabla _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})-\sum _{i=1}^{k}\alpha (X_{1},\ldots ,\nabla _{X_{i}}Y,\ldots ,X_{k})$

हॉज अपघटन

See also: Hodge theory

अगर $\partial M=\emptyset$, $\omega \in \Omega ^{k}(M)\Rightarrow \exists \alpha \in \Omega ^{k-1},\ \beta \in \Omega ^{k+1},\ \gamma \in \Omega ^{k}(M),\ d\gamma =0,\ \delta \gamma =0$ ऐसा है कि

$\omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma$

पोंकारे लेम्मा

यदि सीमाहीन मैनिफोल्ड $M$ इसमें तुच्छ कोहोमोलोजी है $H^{k}(M)=\{0\}$, फिर कोई भी बंद $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ सटीक है। यह मामला है यदि एम अनुबंध योग्य स्थान है।

सदिश कलन से संबंध

See also: Vector calculus identities

यूक्लिडियन 3-स्पेस में समरूपता

चलो यूक्लिडियन मीट्रिक $g(X,Y):=\langle X,Y\rangle =X\cdot Y$।

हम उपयोग करते हैं $\nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)$ की $\mathbb {R} ^{3}$

$\iota _{X}\alpha =g(X,\alpha ^{\sharp })=X\cdot \alpha ^{\sharp }$ के लिए $\alpha \in \Omega ^{1}(M)$।

$\mathbf {det} (X,Y,Z)=\langle X,Y\times Z\rangle =\langle X\times Y,Z\rangle$ (अदिश त्रिगुण गुणनफल)

$X\times Y=({\star }(X^{\flat }\wedge Y^{\flat }))^{\sharp }$ ( पार उत्पाद )

$\iota _{X}\alpha =-(X\times A)^{\flat }$ अगर $\alpha \in \Omega ^{2}(M),\ A=({\star }\alpha )^{\sharp }$

$X\cdot Y={\star }(X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat })$ ( अदिश उत्पाद )

$\nabla f=(df)^{\sharp }$ (ढाल)

$X\cdot \nabla f=df(X)$ (दिशात्मक व्युत्पन्न)

$\nabla \cdot X={\star }d{\star }X^{\flat }=-\delta X^{\flat }$ (विचलन)

$\nabla \times X=({\star }dX^{\flat })^{\sharp }$ (कर्ल (गणित))

$\langle X,N\rangle \sigma ={\star }X^{\flat }$ कहाँ $N$ की इकाई सामान्य सदिश है $\partial M$ और $\sigma =\iota _{N}\mathbf {det}$ पर क्षेत्र रूप है $\partial M$।

$\int _{\Sigma }d{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }\langle X,N\rangle \sigma$ (विचलन प्रमेय)

लाई व्युत्पन्न

${\mathcal {L}}_{X}f=X\cdot \nabla f$ ($0$-रूप )

${\mathcal {L}}_{X}\alpha =(\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat }+g(\alpha ^{\sharp },\nabla X)$ ($1$-रूप )

${\star }{\mathcal {L}}_{X}\beta =\left(\nabla _{X}B-\nabla _{B}X+({\text{div}}X)B\right)^{\flat }$ अगर $B=({\star }\beta )^{\sharp }$ ($2$-पर रूप $3$-मैनिफोल्ड )

${\star }{\mathcal {L}}_{X}\rho =dq(X)+({\text{div}}X)q$ अगर $\rho ={\star }q\in \Omega ^{0}(M)$ ($n$-रूप )

${\mathcal {L}}_{X}(\mathbf {det} )=({\text{div}}(X))\mathbf {det}$