बीजगणतीय अभिव्यक्ति: Difference between revisions
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गणित में, '''बीजगणितीय अभिव्यक्ति''' [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] निरंतर [[बीजगणितीय संख्या|बीजगणितीय संख्याओं]], [[चर (गणित)|चर]] और बीजगणितीय संचालन (जोड़, [[घटाव]], [[गुणा]], विभाजन (गणित) और [[घातांक]] द्वारा घातांक जो एक [[तर्कसंगत संख्या]] है) से निर्मित एक अभिव्यक्ति है।<ref>{{cite book |last1=Morris |first1=Christopher G. |title=विज्ञान और प्रौद्योगिकी का अकादमिक प्रेस शब्दकोश|publisher=Gulf Professional Publishing |page=[https://archive.org/details/academicpressdic00morr/page/74 74] |year=1992 |url=https://archive.org/details/academicpressdic00morr|url-access=registration |quote=algebraic expression over a field. }}</ref> इस प्रकार उदाहरण के लिए, {{math|1=3''x''<sup>2</sup> − 2''xy'' + ''c''}} बीजीय व्यंजक है. चूँकि [[वर्गमूल]] निकालना घात तक बढ़ाने के समान है {{sfrac|1|2}}, निम्नलिखित भी बीजीय व्यंजक है: | गणित में, '''बीजगणितीय अभिव्यक्ति''' [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] निरंतर [[बीजगणितीय संख्या|बीजगणितीय संख्याओं]], [[चर (गणित)|चर]] और बीजगणितीय संचालन (जोड़, [[घटाव]], [[गुणा]], विभाजन (गणित) और [[घातांक]] द्वारा घातांक जो एक [[तर्कसंगत संख्या]] है) से निर्मित एक अभिव्यक्ति है।<ref>{{cite book |last1=Morris |first1=Christopher G. |title=विज्ञान और प्रौद्योगिकी का अकादमिक प्रेस शब्दकोश|publisher=Gulf Professional Publishing |page=[https://archive.org/details/academicpressdic00morr/page/74 74] |year=1992 |url=https://archive.org/details/academicpressdic00morr|url-access=registration |quote=algebraic expression over a field. }}</ref> इस प्रकार उदाहरण के लिए, {{math|1=3''x''<sup>2</sup> − 2''xy'' + ''c''}} बीजीय व्यंजक है. चूँकि [[वर्गमूल]] निकालना घात तक बढ़ाने के समान है {{sfrac|1|2}}, निम्नलिखित भी बीजीय व्यंजक है: | ||
:<math>\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}</math> | :<math>\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}</math> | ||
बीजगणितीय [[समीकरण]] एक समीकरण है जिसमें केवल बीजीय अभिव्यक्तियाँ सम्मिलित होती हैं। | '''बीजगणितीय [[समीकरण]]''' एक समीकरण है जिसमें केवल बीजीय अभिव्यक्तियाँ सम्मिलित होती हैं। | ||
इसके विपरीत, {{pi}} और {{mvar|[[E (mathematical constant)|e]]}} जैसी [[पारलौकिक संख्या]]एँ बीजगणितीय नहीं हैं, क्योंकि वह पूर्णांक स्थिरांक और बीजगणितीय संक्रियाओं से प्राप्त नहीं होती हैं। इस प्रकार सामान्यतः, {{pi}} का निर्माण ज्यामितीय संबंध रूप में किया गया है और {{mvar|e}} की परिभाषा के लिए अनंत संख्या में बीजगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। | इसके विपरीत, {{pi}} और {{mvar|[[E (mathematical constant)|e]]}} जैसी [[पारलौकिक संख्या]]एँ बीजगणितीय नहीं हैं, क्योंकि वह पूर्णांक स्थिरांक और बीजगणितीय संक्रियाओं से प्राप्त नहीं होती हैं। इस प्रकार सामान्यतः, {{pi}} का निर्माण ज्यामितीय संबंध रूप में किया गया है और {{mvar|e}} की परिभाषा के लिए अनंत संख्या में बीजगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। | ||
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Revision as of 10:56, 8 August 2023
गणित में, बीजगणितीय अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति निरंतर बीजगणितीय संख्याओं, चर और बीजगणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन (गणित) और घातांक द्वारा घातांक जो एक तर्कसंगत संख्या है) से निर्मित एक अभिव्यक्ति है।[1] इस प्रकार उदाहरण के लिए, 3x2 − 2xy + c बीजीय व्यंजक है. चूँकि वर्गमूल निकालना घात तक बढ़ाने के समान है 1/2, निम्नलिखित भी बीजीय व्यंजक है:
बीजगणितीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें केवल बीजीय अभिव्यक्तियाँ सम्मिलित होती हैं।
इसके विपरीत, π और e जैसी पारलौकिक संख्याएँ बीजगणितीय नहीं हैं, क्योंकि वह पूर्णांक स्थिरांक और बीजगणितीय संक्रियाओं से प्राप्त नहीं होती हैं। इस प्रकार सामान्यतः, π का निर्माण ज्यामितीय संबंध रूप में किया गया है और e की परिभाषा के लिए अनंत संख्या में बीजगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।
एक 'तर्कसंगत अभिव्यक्ति' अभिव्यक्ति (गणित) है जिसे अंकगणितीय संचालन के गुणों (कम्यूटिव गुण और जोड़ और गुणा की साहचर्य गुण, वितरण गुण और अंशों पर संचालन के लिए नियम) का उपयोग करके तर्कसंगत अंश में फिर से लिखा जा सकता है। इस प्रकार दूसरे शब्दों में, तर्कसंगत अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति है जिसे अंकगणित के केवल चार संक्रियाओं का उपयोग करके चर और स्थिरांक से बनाया जा सकता है। इस प्रकार,
जबकि, तर्कसंगत अभिव्यक्ति है
क्या नहीं है।
इस प्रकार एक परिमेय समीकरण ऐसा समीकरण है जिसमें दो परिमेय भिन्न (या परिमेय व्यंजक) रूप होते हैं
एक दूसरे के सामान्तर समुच्चय किए गए हैं। इस प्रकार यह अभिव्यक्तियाँ भिन्नों के समान नियमों का पालन करती हैं। समीकरणों को क्रॉस-गुणा करके हल किया जा सकता है। शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, इसलिए शून्य से औपचारिक विभाजन का समाधान अस्वीकार कर दिया जाता है।
शब्दावली
इस प्रकार किसी अभिव्यक्ति के भागों का वर्णन करने के लिए बीजगणित की अपनी शब्दावली है:
1 - घातांक (शक्ति), 2 - गुणांक, 3 - पद, 4 - संचालक, 5 - स्थिरांक, - चर
बहुपदों की जड़ों में
किसी बहुपद n की घात वाले बहुपद व्यंजक के फलन के मूल, या समकक्ष रूप से बहुपद समीकरण के समाधान, को सदैव बीजगणितीय व्यंजकों के रूप में लिखा जा सकता है यदि n <5 (द्विघात सूत्र, घन फलन और चतुर्थक समीकरण देखें)। इस प्रकार किसी समीकरण के ऐसे समाधान को बीजगणितीय समाधान कहा जाता है। किन्तु एबेल-रफिनी प्रमेय बताता है कि ऐसे सभी समीकरणों के लिए बीजगणितीय समाधान उपस्तिथ नहीं हैं (केवल उनमें से कुछ के लिए) यदि n 5.
सम्मेलन
चर
परंपरा के अनुसार, वर्णमाला के आरंभ में अक्षर (उदा. ) सामान्यतः गणितीय स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, और वर्णमाला के अंत की ओर (उदाहरण के लिए) और ) का उपयोग वेरिएबल (गणित) को दर्शाने के लिए किया जाता है।[2] इस प्रकार वह सामान्यतः इटैलिक में लिखे जाते हैं।[3]
प्रतिपादक
परंपरा के अनुसार, उच्चतम घात (घातांक) वाले शब्द बाईं ओर लिखे जाते हैं, इस प्रकार उदाहरण के लिए, के बायीं ओर लिखा है . जब कोई गुणांक होता है, तब इसे सामान्यतः छोड़ दिया जाता है (उदा. लिखा है ).[4] इसी प्रकार जब घातांक (शक्ति) हो, (उदा. लिखा है ),[5] और, जब घातांक शून्य होता है, तब परिणाम सदैव 1 होता है (उदा. लिखा है , तब से सदैव से रहा है ).[6]
बीजगणितीय और अन्य गणितीय अभिव्यक्तियाँ
नीचे दी गई तालिका सारांशित करती है कि सामान्य किन्तु सार्वभौमिक सम्मेलनों के अनुसार, बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ अनेक अन्य प्रकार के गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ तुलना कैसे करती हैं, जिनमें वह तत्व सम्मिलित हो सकते हैं।
| Arithmetic expressions | Polynomial expressions | Algebraic expressions | Closed-form expressions | Analytic expressions | Mathematical expressions | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Constant | Yes | Yes | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Elementary arithmetic operation | Yes | Addition, subtraction, and multiplication only | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Finite sum | Yes | Yes | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Finite product | Yes | Yes | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Finite continued fraction | Yes | No | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Variable | No | Yes | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Integer exponent | No | Yes | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Integer nth root | No | No | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Rational exponent | No | No | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Integer factorial | No | No | Yes | Yes | Yes | Yes |
| Irrational exponent | No | No | No | Yes | Yes | Yes |
| Logarithm | No | No | No | Yes | Yes | Yes |
| Trigonometric function | No | No | No | Yes | Yes | Yes |
| Inverse trigonometric function | No | No | No | Yes | Yes | Yes |
| Hyperbolic function | No | No | No | Yes | Yes | Yes |
| Inverse hyperbolic function | No | No | No | Yes | Yes | Yes |
| Root of a polynomial that is not an algebraic solution | No | No | No | No | Yes | Yes |
| Gamma function and factorial of a non-integer | No | No | No | No | Yes | Yes |
| Bessel function | No | No | No | No | Yes | Yes |
| Special function | No | No | No | No | Yes | Yes |
| Infinite sum (series) (including power series) | No | No | No | No | Convergent only | Yes |
| Infinite product | No | No | No | No | Convergent only | Yes |
| Infinite continued fraction | No | No | No | No | Convergent only | Yes |
| Limit | No | No | No | No | No | Yes |
| Derivative | No | No | No | No | No | Yes |
| Integral | No | No | No | No | No | Yes |
एक तर्कसंगत बीजगणितीय अभिव्यक्ति (या तर्कसंगत अभिव्यक्ति) बीजगणितीय अभिव्यक्ति है इस प्रकार जिसे बहुपदों के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि x2 + 4x + 4. अपरिमेय बीजगणितीय अभिव्यक्ति वह है जो तर्कसंगत नहीं है, जैसे √x + 4.
यह भी देखें
- बीजगणितीय समीकरण
- बीजीय फलन
- विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति
- अंकगणितीय अभिव्यक्ति
- बंद-रूप अभिव्यक्ति
- अभिव्यक्ति (गणित)
- पूर्वगणना
- बहुपद
- पद (तर्क)
टिप्पणियाँ
- ↑ Morris, Christopher G. (1992). विज्ञान और प्रौद्योगिकी का अकादमिक प्रेस शब्दकोश. Gulf Professional Publishing. p. 74.
algebraic expression over a field.
- ↑ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
- ↑ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
- ↑ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
- ↑ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
- ↑ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222
संदर्भ
- जेम्स, रॉबर्ट क्लार्क; जेम्स, ग्लेन (1992). गणित शब्दकोश. p. 8. ISBN 9780412990410.
बाहरी संबंध
- Weisstein, Eric W. अभिव्यक्ति.html "बीजगणतीय अभिव्यक्ति". MathWorld.
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