विभेदन के लिए संकेतन: Difference between revisions

Revision as of 17:13, 8 August 2023

विभेदक कलन में विभेदन के लिए कोई एकल समान अंक नहीं होते है। इसके बजाय विभिन्न गणितज्ञों द्वारा किसी फलन (गणित) या आश्रित चर के व्युत्पन्न के लिए विभिन्न नोटेशन प्रस्तावित किए गए हैं। प्रत्येक नोटेशन की उपयोगिता संदर्भ के साथ भिन्न होती है, और कभी-कभी किसी दिए गए संदर्भ में एक से अधिक नोटेशन का उपयोग करना फायदेमंद होता है। विभेदीकरण और इसके विपरीत संचालन प्रतिअवकलन के लिए सबसे सामान्य संकेतन के रूप में नीचे सूचीबद्ध हैं।

लाइबनिज का अंकन

dy

dx

d²y

dx²

The first and second derivatives of y with respect to x, in the Leibniz notation.

गॉटफ्राइड लीबनिज द्वारा नियोजित मूल अंकन का उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। यह विशेष रूप से सामान्य है जब समीकरण $y = f (x)$ को आश्रित और स्वतंत्र चर के बीच एक कार्यात्मक संबंध माना जाता है $y$ और $x$ . लीबनिज़ का अंकन व्युत्पन्न को इस रूप में लिखकर इस संबंध को स्पष्ट करता है

{\frac {dy}{dx}}.

इसके अलावा, का व्युत्पन्न $f$ पर $x$ इसलिए लिखा है,

{\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).

उच्चतर व्युत्पन्नों को इस प्रकार लिखा जाता है.

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.

यह एक सूचक संकेतन उपकरण है जो प्रतीकों के औपचारिक हेरफेर से आता है, जैसे कि,

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

के व्युत्पन्न का मान $y$ एक बिंदु पर $x = a$ लाइबनिज़ के अंकन का उपयोग करके दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)

.

लीबनिज़ का अंकन किसी को विभेदन (हर में) के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। आंशिक डेरिवेटिव पर विचार करते समय यह विशेष रूप से सहायक होता है। यह श्रृंखला नियम को याद रखना और पहचानना भी आसान बनाता है:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

विभेदन के लिए लीबनिज़ के संकेतन में प्रतीकों जैसे अर्थ निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं होती है $dx$ या $dy$ अपने दम पर, और कुछ लेखक इन प्रतीकों को अर्थ बताने का प्रयास नहीं करते हैं। लीबनिज़ ने इन प्रतीकों को अनन्तसूक्ष्म मान लिया। बाद के लेखकों ने उन्हें अन्य अर्थ दिए हैं, जैसे गैर मानक विश्लेषण या बाहरी व्युत्पन्न में इन्फिनिटेसमल रूप में होता है.

कुछ लेखक और पत्रिकाएँ विभेदक चिह्न निर्धारित करते हैं $d$ इटैलिक के बजाय रोमन प्रकार में: $d x$ .आईएसओ/आईईसी 80000 वैज्ञानिक शैली मार्गदर्शिका के रूप में इस शैली की अनुशंसा करती है।

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लीबनिज़ का संकेतन

\int y\,dx

\iint y\,dx^{2}

The single and double indefinite integrals of y with respect to x, in the Leibniz notation.

लीबनिज ने अभिन्न प्रतीक प्रस्तुत किया $\int$ एनालिसियोस टेट्रागोनिस्टिके पार्ट सेकुंडा और मेथोडी इनवर्स टैंगेंटी उदाहरण (दोनों 1675 से) में। यह अब अभिन्न के लिए मानक प्रतीक है।

{\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}

लैग्रेंज का अंकन

f′(x)

A function f of x, differentiated once in Lagrange's notation.

विभेदीकरण के लिए सबसे आम आधुनिक संकेतों में से एक का नाम जोसेफ लुई लैग्रेंज के नाम पर रखा गया है, भले ही इसका आविष्कार वास्तव में लियोनहार्ड यूलर द्वारा किया गया था और पूर्व द्वारा ही इसे लोकप्रिय बनाया गया था। लैग्रेंज के संकेतन में, एक अभाज्य (प्रतीक) एक व्युत्पन्न को दर्शाता है। यदि f एक फलन है, तो x पर मूल्यांकन किया गया इसका व्युत्पन्न लिखा जाता है

f'(x)

.

यह पहली बार 1749 में छपा।^[1]

उच्चतर डेरिवेटिव को अतिरिक्त अभाज्य चिह्नों का उपयोग करके दर्शाया गया है, जैसे कि $f''(x)$ दूसरे व्युत्पन्न के लिए और $f'''(x)$ तीसरे व्युत्पन्न के लिए. बार-बार अभाज्य चिह्नों का उपयोग अंततः बोझिल हो जाता है। कुछ लेखक रोमन अंकों का प्रयोग जारी रखते हैं, आमतौर पर छोटे अक्षरों में,^[2]^[3] के रूप में

f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,

चौथे, पांचवें, छठे और उच्च क्रम के डेरिवेटिव को दर्शाने के लिए। अन्य लेखक कोष्ठक में अरबी अंकों का उपयोग करते हैं, जैसे कि

f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .

यह अंकन nवें व्युत्पन्न का वर्णन करना भी संभव बनाता है, जहां n एक चर है। ये लिखा है

f^{(n)}(x).

लैग्रेंज के नोटेशन से संबंधित यूनिकोड वर्ण के रूप में सम्मिलित हैं

U+2032 ◌′ PRIME (derivative)
U+2033 ◌″ DOUBLE PRIME (double derivative)
U+2034 ◌‴ TRIPLE PRIME (third derivative)
U+2057 ◌⁗ QUADRUPLE PRIME (fourth derivative)

जब किसी फलन f(x, y) के लिए दो स्वतंत्र चर होते हैं, तो निम्नलिखित परिपाटी का पालन किया जा सकता है:^[4]

{\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लैग्रेंज का संकेतन

f⁽⁻¹⁾(x)
f⁽⁻²⁾(x)

The single and double indefinite integrals of f with respect to x, in the Lagrange notation.

एंटीडेरिवेटिव लेते समय, लैग्रेंज ने लीबनिज़ के संकेतन का पालन किया:^[5]

f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.

हालाँकि, क्योंकि एकीकरण विभेदन का व्युत्क्रम संचालन है, उच्च क्रम डेरिवेटिव के लिए लैग्रेंज का संकेतन इंटीग्रल तक भी विस्तारित होता है। f के बार-बार समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

f^{(-1)}(x)

पहले इंटीग्रल के लिए (यह व्युत्क्रम फलन के साथ आसानी से भ्रमित हो जाता है

f^{-1}(x)

),

f^{(-2)}(x)

दूसरे अभिन्न के लिए,

f^{(-3)}(x)

तीसरे अभिन्न के लिए, और

f^{(-n)}(x)

nवें अभिन्न के लिए.

यूलर का अंकन

D_xy
D²f

The x derivative of y and the second derivative of f, Euler notation.

लियोनहार्ड यूलर का नोटेशन लुई फ्रांकोइस एंटोनी आर्बोगैस्ट द्वारा सुझाए गए एक अंतर ऑपरेटर का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है $D$ (डी ऑपरेटर)^[6]^{[failed verification]} या $D̃$ (न्यूटन-लीबनिज़ ऑपरेटर)।^[7] जब किसी फलन पर लागू किया जाता है $f (x)$ , द्वारा परिभाषित किया गया है.

(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.

उच्च डेरिवेटिव को डी की शक्तियों के रूप में नोट किया जाता है (जहां सुपरस्क्रिप्ट डी की पुनरावृत्त फलन संरचना को दर्शाते हैं), जैसा कि^[4]: $D^{2}f$ दूसरे व्युत्पन्न के लिए,

D^{3}f

तीसरे व्युत्पन्न के लिए, और

D^{n}f

nवें व्युत्पन्न के लिए.

यूलर का अंकन उस चर को अंतर्निहित कर देता है जिसके संबंध में विभेदीकरण किया जा रहा है। हालाँकि, इस चर को स्पष्ट रूप से भी नोट किया जा सकता है। जब f एक चर x का एक फलन है, तो इसे लिखकर किया जाता है^[4]: $D_{x}f$ प्रथम व्युत्पन्न के लिए,

D_{x}^{2}f

दूसरे व्युत्पन्न के लिए,

D_{x}^{3}f

तीसरे व्युत्पन्न के लिए, और

D_{x}^{n}f

nवें व्युत्पन्न के लिए.

जब f कई वेरिएबल्स का एक फलन होता है, तो ∂ का उपयोग करना आम बात है, बजाय इसके कि एक स्टाइलयुक्त कर्सिव लोअर-केस d $D$ . जैसा कि ऊपर बताया गया है, सबस्क्रिप्ट उन डेरिवेटिव को दर्शाते हैं जिन्हें लिया जा रहा है। उदाहरण के लिए, किसी फलन का दूसरा आंशिक व्युत्पन्न $f (x, y)$ हैं:^[4]: ${\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}$

देखना § आंशिक अवकलज।

यूलर का नोटेशन रैखिक अंतर समीकरण को बताने और हल करने के लिए उपयोगी है, क्योंकि यह अंतर समीकरण की प्रस्तुति को सरल बनाता है, जिससे समस्या के आवश्यक तत्वों को देखना आसान हो सकता है।

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए यूलर का संकेतन

D⁻¹
_xy
D⁻²f

The x antiderivative of y and the second antiderivative of f, Euler notation.

यूलर के नोटेशन का उपयोग एंटीडिफरेंशिएशन के लिए उसी तरह किया जा सकता है जैसे लैग्रेंज के नोटेशन का होता है^[8] निम्नलिखित नुसार^[7]: $D^{-1}f(x)$ प्रथम प्रतिअवकलन के लिए,

D^{-2}f(x)

दूसरे प्रतिव्युत्पन्न के लिए, और

D^{-n}f(x)

nवें प्रतिअवकलन के लिए।

न्यूटन का अंकन

ẋẍ

The first and second derivatives of x, Newton's notation.

विभेदन के लिए आइजैक न्यूटन का नोटेशन जिसे डॉट नोटेशन प्रवाह या कभी-कभी मोटे तौर पर फ्लाईस्पेक नोटेशन भी कहा जाता है^[9] विभेदन के लिए आश्रित चर पर एक बिंदु लगाता है। अर्थात्, यदि y, t का एक फलन है, तो t के संबंध में y का अवकलज है

{\dot {y}}

उच्चतर डेरिवेटिव को कई बिंदुओं का उपयोग करके दर्शाया जाता है, जैसे कि

{\ddot {y}},{\overset {...}{y}}

न्यूटन ने इस विचार को काफी आगे तक बढ़ाया:^[10]

\begin{aligned} \ddot{y} & \equiv \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d t}) = \frac{d}{d t} (\dot{y}) = \frac{d}{d t} (f^{'} (t)) = D_{t}^{2} y = f^{″} (t) = y_{t}^{″} \\ \overset{. . .}{y} & = \dot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^{3} y}{d t^{3}} = D_{t}^{3} y = f^{‴} (t) = y_{t}^{‴} \\ \overset{4}{\dot{y}} & = \overset{. . . .}{y} = \ddot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^{4} y}{d t^{4}} = D_{t}^{4} y = f^{I V} (t) = y_{t}^{(4)} \\ \overset{5}{\dot{y}} & = \ddot{\overset{. . .}{y}} = \dot{\ddot{\ddot{y}}} = \ddot{\dot{\ddot{y}}} \equiv \frac{d^{5} y}{d t^{5}} = D_{t}^{5} y = f^{V} (t) = y_{t}^{(5)} \\ \overset{6}{\dot{y}} & = \dot{\overset{. . .}{y}} \end{aligned}

न्यूटन के अंकन से संबंधित यूनिकोड वर्णों में सम्मिलित हैं:

U+0307 ◌̇ COMBINING DOT ABOVE (derivative)
U+0308 ◌̈ COMBINING DIAERESIS (double derivative)
U+20DB ◌⃛ COMBINING THREE DOTS ABOVE (third derivative) ← डायएरेसिस + उपरोक्त बिंदु के संयोजन द्वारा प्रतिस्थापित।
U+20DC ◌⃜ COMBINING FOUR DOTS ABOVE (fourth derivative) ← डायएरेसिस को दो बार मिलाकर प्रतिस्थापित किया गया।
U+030D ◌̍ COMBINING VERTICAL LINE ABOVE (integral)
U+030E ◌̎ COMBINING DOUBLE VERTICAL LINE ABOVE (second integral)
U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE (integral)
U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE (integral)
U+1DE0 ◌ᷠ COMBINING LATIN SMALL LETTER N (nth derivative)

न्यूटन के अंकन का उपयोग आम तौर पर तब किया जाता है जब स्वतंत्र चर समय को दर्शाता है। यदि स्थान

y

तो, t का एक फलन है

{\dot {y}}

वेग को दर्शाता है^[11] और

{\ddot {y}}

त्वरण को दर्शाता है.^[12] यह अंकन भौतिकी और गणितीय भौतिकी में लोकप्रिय है। यह भौतिकी से जुड़े गणित के क्षेत्रों जैसे अंतर समीकरणों में भी दिखाई देता है।

आश्रित चर y = f(x) का व्युत्पन्न लेते समय, एक वैकल्पिक संकेतन मौजूद होता है:^[13]

{\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.

न्यूटन ने घुमावदार X ( ⵋ ) पर साइड-डॉट्स का उपयोग करके निम्नलिखित आंशिक अंतर ऑपरेटरों को विकसित किया। व्हाईटसाइड द्वारा दी गई परिभाषाएँ नीचे हैं:^[14]^[15]

{\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}

एकीकरण के लिए न्यूटन का संकेत

x̍x̎

The first and second antiderivatives of x, in one of Newton's notations.

न्यूटन ने अपने क्वाड्रेटुरा कर्वरम (1704) और फ्लक्सियन्स की विधि में इंटीग्रल के लिए कई अलग-अलग नोटेशन विकसित किए: उन्होंने आश्रित चर के ऊपर एक छोटी ऊर्ध्वाधर पट्टी या अभाज्य लिखा ( $y̍$ ), एक उपसर्ग आयत ( $▭ y$ ), या पद को एक आयत में सम्मिलित करना होता है ( $y$ ) फ्लक्सन या टाइम इंटीग्रल (अनुपस्थिति ) की विधि को दर्शाने के लिए।

{\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}

एकाधिक अभिन्नों को दर्शाने के लिए, न्यूटन ने दो छोटी ऊर्ध्वाधर पट्टियों या अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया ( $y̎$ ), या पिछले प्रतीकों का एक संयोजन $▭ y̍$ <स्पैन स्टाइल= बॉर्डर-स्टाइल: ठोस; बॉर्डर-चौड़ाई: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; पैडिंग-बाएँ: 4px; पैडिंग-राइट: 4px; > $y̍$ , दूसरी बार अभिन्न (अभाव) को दर्शाने के लिए।

{\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}

उच्च क्रम समय समाकलन इस प्रकार थे:^[16]

{\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}

मुद्रण संबंधी कठिनाइयों और लीबनिज-न्यूटन कैलकुलस विवाद के कारण यह गणितीय संकेतन व्यापक नहीं हो सका।

आंशिक व्युत्पन्न

f_xf_xy

A function f differentiated against x, then against x and y.

जब अधिक विशिष्ट प्रकार के विभेदन आवश्यक होते हैं, जैसे कि बहुभिन्नरूपी कैलकुलस या टेंसर विश्लेषण में, अन्य संकेतन सामान्य होते हैं।

एकल स्वतंत्र चर x के फलन f के लिए, हम स्वतंत्र चर की सबस्क्रिप्ट का उपयोग करके व्युत्पन्न को व्यक्त कर सकते हैं:

{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}

इस प्रकार का अंकन कई चर वाले फलन के आंशिक व्युत्पन्न लेने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

∂f∂x

A function f differentiated against x.

आंशिक व्युत्पन्न को आम तौर पर अंतर ऑपरेटर d को ∂ प्रतीक के साथ प्रतिस्थापित करके सामान्य व्युत्पन्न से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम आंशिक व्युत्पन्न का संकेत दे सकते हैं f(x, y, z) कई मायनों में x के संबंध में, लेकिन y या z के संबंध में नहीं:

{\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.

जो बात इस भेद को महत्वपूर्ण बनाती है वह यह है कि एक गैर-आंशिक व्युत्पन्न जैसे $\textstyle {\frac {df}{dx}}$ संदर्भ के आधार पर, परिवर्तन की दर के रूप में व्याख्या की जा सकती है $f$ के सापेक्ष $x$ जब सभी चरों को एक साथ बदलने की अनुमति दी जाती है, जबकि आंशिक व्युत्पन्न जैसे $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}$ यह स्पष्ट है कि केवल एक चर में भिन्नता होनी चाहिए।

अन्य संकेतन गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के विभिन्न उपक्षेत्रों में पाए जा सकते हैं; उदाहरण के लिए ऊष्मागतिकी के मैक्सवेल संबंध देखें। प्रतीक $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}$ एन्ट्रापी (सबस्क्रिप्ट) S को स्थिर रखते हुए आयतन V के संबंध में तापमान T का व्युत्पन्न है $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}$ दबाव P को स्थिर रखते हुए आयतन के संबंध में तापमान का व्युत्पन्न है। यह उन स्थितियों में आवश्यक हो जाता है जहां चर की संख्या स्वतंत्रता की डिग्री से अधिक हो जाती है, इसलिए किसी को यह चुनना होता है कि कौन से अन्य चर को स्थिर रखा जाना है।

एक चर के संबंध में उच्च-क्रम आंशिक व्युत्पन्न को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}

और इसी तरह। मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.

इस अंतिम मामले में चर को दो नोटेशन के बीच विपरीत क्रम में लिखा गया है, जिसे निम्नानुसार समझाया गया है:

{\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}

तथाकथित बहु-सूचकांक संकेतन का उपयोग उन स्थितियों में किया जाता है जब उपरोक्त नोटेशन बोझिल या अपर्याप्त रूप से अभिव्यंजक हो जाता है। कार्यों पर विचार करते समय $\mathbb {R} ^{n}$ , हम एक बहु-सूचकांक को एक क्रमबद्ध सूची के रूप में परिभाषित करते हैं $n$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक: $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ . फिर हम परिभाषित करते हैं, के लिए $f:\mathbb {R} ^{n}\to X$ , संकेतन

\partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f

इस तरह से कुछ परिणाम (जैसे कि लाइबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम)) जिन्हें अन्य तरीकों से लिखना कठिन है, उन्हें संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है - कुछ उदाहरण मल्टी-इंडेक्स नोटेशन में पाए जा सकते हैं। मल्टी-इंडेक्स पर लेख।^[17]

वेक्टर कलन में अंकन

वेक्टर कैलकुलस वेक्टर क्षेत्र या अदिश क्षेत्रों के व्युत्पन्न और अभिन्न अंग से संबंधित है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले के लिए विशिष्ट कई संकेतन आम हैं।

ये मान लीजिए $(x, y, z)$ एक दी गई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है, कि ए घटकों के साथ एक वेक्टर क्षेत्र है $\mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})$ , ओर वो $\varphi =\varphi (x,y,z)$ एक अदिश क्षेत्र है.

विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा पेश किया गया डिफरेंशियल ऑपरेटर, जिसे नाबला प्रतीक लिखा जाता है|∇ और की या नाबला कहा जाता है, प्रतीकात्मक रूप से एक वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है,

\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,

जहां शब्दावली प्रतीकात्मक रूप से दर्शाती है कि ऑपरेटर ∇ को एक साधारण वेक्टर के रूप में भी माना जाएगा।

∇φ

Gradient of the scalar field φ.

ढाल : ग्रेडिएंट $\mathrm {grad\,} \varphi$ अदिश क्षेत्र का $\varphi$ एक वेक्टर है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ∇ और अदिश क्षेत्र के अदिश गुणन द्वारा व्यक्त किया जाता है $\varphi$ ,

{\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}

∇∙A

The divergence of the vector field A.

विचलन: विचलन $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$ सदिश क्षेत्र A एक अदिश राशि है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ∇ और सदिश A के बिंदु गुणनफल द्वारा व्यक्त किया जाता है,

{\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}

∇²φ

The Laplacian of the scalar field φ.

लाप्लासियन: लाप्लासियन $\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi$ अदिश क्षेत्र का $\varphi$ एक अदिश राशि है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ∇ के अदिश गुणन द्वारा व्यक्त किया जाता है²और अदिश क्षेत्र φ,

{\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}

∇×A

The curl of vector field A.

कर्ल (गणित): घूर्णन $\mathrm {curl} \,\mathbf {A}$ , या $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$ , सदिश क्षेत्र का A एक सदिश है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ∇ और सदिश A के क्रॉस उत्पाद द्वारा व्यक्त किया जाता है,

{\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}

कार्टेशियन निर्देशांक में ग्रेडिएंट ऑपरेटर द्वारा डेरिवेटिव के कई प्रतीकात्मक संचालन को सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एकल-चर उत्पाद नियम में ग्रेडिएंट ऑपरेटर को लागू करके स्केलर फ़ील्ड के गुणन में एक सीधा एनालॉग होता है, जैसा कि

(fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).

एकल चर कैलकुलस के कई अन्य नियमों में वेक्टर कैलकुलस पहचान # ग्रेडिएंट, डाइवर्जेंस, कर्ल और लाप्लासियन के लिए पहली व्युत्पन्न पहचान हैं।

अधिक विदेशी प्रकार के स्थानों के लिए और नोटेशन विकसित किए गए हैं। मिन्कोवस्की स्थान में गणना के लिए, डी'एलेम्बर्ट ऑपरेटर, जिसे डी'एलेम्बर्टियन, वेव ऑपरेटर या बॉक्स ऑपरेटर भी कहा जाता है, को इस प्रकार दर्शाया गया है $\Box$ , या जैसे $\Delta$ जब लाप्लासियन के प्रतीक के साथ टकराव न हो।

यह भी देखें

Analytical Society
Derivative – Instantaneous rate of change (mathematics)
Fluxion
Hessian matrix
Jacobian matrix
List of mathematical symbols by subject
परिचालन गणना

संदर्भ

↑ Grosse, Johann; Breitkopf, Bernhard Christoph; Martin, Johann Christian; Gleditsch, Johann Friedrich. "Nova acta eruditorum: Anno ... Publicata". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
↑ Morris, Carla C. (2015-07-28). कैलकुलस के मूल सिद्धांत. Stark, Robert M., 1930-2017. Hoboken, New Jersey. ISBN 9781119015314. OCLC 893974565.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
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↑ Lagrange, Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
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Newton's notation reproduced from:
- 1st to 5th derivatives: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: "Newton Papers : On the Quadrature of Curves". Archived from the original on 2016-02-28. Retrieved 2016-02-05.).
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- 1st to 5th derivatives : A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), p. 613
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- 1st to 4th, 10th and nth derivatives: Articles 622, 580 and 579 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)
- 1st to 6th and nth derivatives: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (D. T. Whiteside, 1976), pp.88 and 17
- 1st to 3rd and nth derivatives: A History of Analysis (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85
The dot for nth derivative may be omitted ( ${\overset {\,n}{y}}$ ${\overset {\,n}{y}}$ )
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- 1st to 3rd integrals: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: "Newton Papers : On the Quadrature of Curves". Archived from the original on 2016-02-28. Retrieved 2016-02-05.)
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- 4th integrals: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), pp. 54 and 72
- 1st to 2nd integrals: Articles 622 and 365 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)
The nth integral notation is deducted from the nth derivative. It could be used in Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
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बाहरी संबंध

Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller (Archived 2020-07-26^{(Date mismatch)} at the Wayback Machine).

[1] Grosse, Johann; Breitkopf, Bernhard Christoph; Martin, Johann Christian; Gleditsch, Johann Friedrich. "Nova acta eruditorum: Anno ... Publicata". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[2] Morris, Carla C. (2015-07-28). कैलकुलस के मूल सिद्धांत. Stark, Robert M., 1930-2017. Hoboken, New Jersey. ISBN 9781119015314. OCLC 893974565.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[3] Osborne, George A. (1908). डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस. Boston: D. C. Heath and co. pp. 63-65.

[DeMorgan-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 The Differential and Integral Calculus (Augustus De Morgan, 1842). pp. 267-268

[Lagrange-5] Lagrange, Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031

[6] "डी ऑपरेटर - डिफरेंशियल - कैलकुलस - काम किए गए उदाहरणों के साथ गणित संदर्भ". www.codecogs.com. Archived from the original on 2016-01-19.

[EulerMathWorld-7] 7.0 ^7.1 Weisstein, Eric W. "Differential Operator." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. "Differential Operator". Archived from the original on 2016-01-21. Retrieved 2016-02-07.

[8] Weisstein, Eric W. "Repeated Integral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. "Repeated Integral". Archived from the original on 2016-02-01. Retrieved 2016-02-07.

[9] Zill, Dennis G. (2009). "1.1". विभेदक समीकरणों में पहला कोर्स (9th ed.). Belmont, CA: Brooks/Cole. p. 3. ISBN 978-0-495-10824-5.

[10] Newton's notation reproduced from:
1st to 5th derivatives: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: "Newton Papers : On the Quadrature of Curves". Archived from the original on 2016-02-28. Retrieved 2016-02-05.).

1st to 7th, nth and (n+1)th derivatives: Method of Fluxions (Newton, 1736), pp. 313-318 and p. 265 (p. 163 in original MS: "Newton Papers : Fluxions". Archived from the original on 2017-04-06. Retrieved 2016-02-05.)

1st to 5th derivatives : A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), p. 613

1st to 4th and nth derivatives: Articles "Differential" and "Fluxion", Dictionary of Pure and Mixed Mathematics (Peter Barlow, 1814)

1st to 4th, 10th and nth derivatives: Articles 622, 580 and 579 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)

1st to 6th and nth derivatives: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (D. T. Whiteside, 1976), pp.88 and 17

1st to 3rd and nth derivatives: A History of Analysis (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85
The dot for nth derivative may be omitted ( ${\overset {\,n}{y}}$ )

[11] 1st to 5th derivatives: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: "Newton Papers : On the Quadrature of Curves". Archived from the original on 2016-02-28. Retrieved 2016-02-05.).

[12] 1st to 7th, nth and (n+1)th derivatives: Method of Fluxions (Newton, 1736), pp. 313-318 and p. 265 (p. 163 in original MS: "Newton Papers : Fluxions". Archived from the original on 2017-04-06. Retrieved 2016-02-05.)

[13] 1st to 5th derivatives : A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), p. 613

[14] 1st to 4th and nth derivatives: Articles "Differential" and "Fluxion", Dictionary of Pure and Mixed Mathematics (Peter Barlow, 1814)

[15] 1st to 4th, 10th and nth derivatives: Articles 622, 580 and 579 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)

[16] 1st to 6th and nth derivatives: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (D. T. Whiteside, 1976), pp.88 and 17

[17] 1st to 3rd and nth derivatives: A History of Analysis (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85

[11] Weisstein, Eric W. "Overdot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. "Overdot". Archived from the original on 2015-09-05. Retrieved 2016-02-05.

[12] Weisstein, Eric W. "Double Dot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. "Double Dot". Archived from the original on 2016-03-03. Retrieved 2016-02-05.

[13] Article 580 in Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1929), Dover Publications, Inc. New York. ISBN 0-486-67766-4

[14] "Patterns of Mathematical Thought in the Later Seventeenth Century", Archive for History of Exact Sciences Vol. 1, No. 3 (D. T. Whiteside, 1961), pp. 361-362,378

[15] S.B. Engelsman has given more strict definitions in Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation (2000), pp. 223-226

[16] Newton's notation for integration reproduced from:
1st to 3rd integrals: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: "Newton Papers : On the Quadrature of Curves". Archived from the original on 2016-02-28. Retrieved 2016-02-05.)

1st to 3rd integrals: Method of Fluxions (Newton, 1736), pp. 265-266 (p. 163 in original MS: "Newton Papers : Fluxions". Archived from the original on 2017-04-06. Retrieved 2016-02-05.)

4th integrals: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), pp. 54 and 72

1st to 2nd integrals: Articles 622 and 365 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)
The nth integral notation is deducted from the nth derivative. It could be used in Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)

[24] 1st to 3rd integrals: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: "Newton Papers : On the Quadrature of Curves". Archived from the original on 2016-02-28. Retrieved 2016-02-05.)

[25] 1st to 3rd integrals: Method of Fluxions (Newton, 1736), pp. 265-266 (p. 163 in original MS: "Newton Papers : Fluxions". Archived from the original on 2017-04-06. Retrieved 2016-02-05.)

[26] 4th integrals: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), pp. 54 and 72

[27] 1st to 2nd integrals: Articles 622 and 365 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)

[17] Tu, Loring W. (2011). अनेक गुनाओं का परिचय (2 ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6. OCLC 682907530.

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 {{Calculus |Differential}}
-विभेदक कलन में विभेदन के लिए कोई एकल समान अंक नहीं होते है। इसके बजाय विभिन्न गणितज्ञों द्वारा किसी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन  (गणित)]] या आश्रित चर के व्युत्पन्न के लिए विभिन्न नोटेशन प्रस्तावित किए गए हैं। प्रत्येक नोटेशन की उपयोगिता संदर्भ के साथ भिन्न होती है, और कभी-कभी किसी दिए गए संदर्भ में एक से अधिक नोटेशन का उपयोग करना फायदेमंद होता है। विभेदीकरण (और इसके विपरीत संचालन, प्रतिअवकलन या प्रतिअवकलन) के लिए सबसे आम संकेतन नीचे सूचीबद्ध हैं।
+विभेदक कलन में विभेदन के लिए कोई एकल समान अंक नहीं होते है। इसके बजाय विभिन्न गणितज्ञों द्वारा किसी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन  (गणित)]] या आश्रित चर के व्युत्पन्न के लिए विभिन्न नोटेशन प्रस्तावित किए गए हैं। प्रत्येक नोटेशन की उपयोगिता संदर्भ के साथ भिन्न होती है, और कभी-कभी किसी दिए गए संदर्भ में एक से अधिक नोटेशन का उपयोग करना फायदेमंद होता है। विभेदीकरण और इसके विपरीत संचालन प्रतिअवकलन के लिए सबसे सामान्य संकेतन के रूप में नीचे सूचीबद्ध हैं।
 == लाइबनिज का अंकन ==
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 {{main|Leibniz's notation}}
-[[गॉटफ्राइड लीबनिज]] द्वारा नियोजित मूल अंकन का उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। यह विशेष रूप से आम है जब समीकरण {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} को [[आश्रित और स्वतंत्र चर]] के बीच एक कार्यात्मक संबंध माना जाता है {{math|''y''}} और {{math|''x''}}. लीबनिज़ का अंकन व्युत्पन्न को इस रूप में लिखकर इस संबंध को स्पष्ट करता है
+[[गॉटफ्राइड लीबनिज]] द्वारा नियोजित मूल अंकन का उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। यह विशेष रूप से सामान्य है जब समीकरण {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} को [[आश्रित और स्वतंत्र चर]] के बीच एक कार्यात्मक संबंध माना जाता है {{math|''y''}} और {{math|''x''}}. लीबनिज़ का अंकन व्युत्पन्न को इस रूप में लिखकर इस संबंध को स्पष्ट करता है
 :<math>\frac{dy}{dx}.</math>

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एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लीबनिज़ का संकेतन

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न्यूटन का अंकन

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आंशिक व्युत्पन्न

वेक्टर कलन में अंकन

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