अवकलन कलन में अवकलन के लिए कोई एकल समरूप संकेतन नहीं होते है। इसके अतिरिक्त विभिन्न गणितज्ञों द्वारा किसी फलन (गणित) या चर के अवकलन के लिए विभिन्न संकेतन पद्धति के रूप में प्रस्तावित किए गए हैं। प्रत्येक संकेतन की उपयोगिता संदर्भ के साथ भिन्न होती है और कभी-कभी किसी दिए गए संदर्भ में एक से अधिक संकेतन का उपयोग करना लाभ होता है। अवकलन और इसके विपरीत संक्रिया या अनिश्चितकालीन समाकलन संकेतन के रूप में नीचे सूचीबद्ध हैं।
लाइबनिज का अंकन The first and second derivatives of y with respect to x , in the Leibniz notation.
मुख्य लेख: लीबनिज़ का संकेतन
गॉटफ्राइड लीबनिज द्वारा नियोजित मूल अंकन का उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। यह विशेष रूप से सामान्य है, जब समीकरण y = f (x )आश्रित और स्वतंत्र चर y और x के बीच एक कार्यात्मक संबंध के रूप में माना जाता है। लीबनिज़ का अंकन अवकलन को इस रूप में लिखकर इस संबंध को स्पष्ट करता है.
d y d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.} इसके अतिरिक्त x पर f का अवकलन इसलिए लिखा जाता है,
d f d x ( x ) or d f ( x ) d x or d d x f ( x ) . {\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).} उच्चतर अवकलनों को इस प्रकार लिखा जाता है.
d 2 y d x 2 , d 3 y d x 3 , d 4 y d x 4 , … , d n y d x n . {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.} यह एक सूचक संकेतन उपकरण है, जो प्रतीकों के औपचारिक परिचालन से आता है, जैसे कि,
d ( d y d x ) d x = ( d d x ) 2 y = d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.} के अवकलन का मान y x = a
d y d x | x = a or d y d x ( a ) {\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)} लीबनिज़ का अंकन हर में अवकलन के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। आंशिक अवकलन पर विचार करते समय यह विशेष रूप से सहायक होता है। यह श्रृंखला नियम को याद रखना और पहचानना भी सरल बनाता है:
d y d x = d y d u ⋅ d u d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.} अवकलन के लिए लीबनिज़ के संकेतन में dx या dy जैसे प्रतीकों को अपने आप में अर्थ निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं होती है और कुछ लेखक इन प्रतीकों को अर्थ बताने का प्रयास नहीं करते हैं। लीबनिज़ ने इन प्रतीकों को अनन्त सूक्ष्म रूप में मान लिया है। पश्चात के लेखकों ने उन्हें अन्य अर्थ दिए हैं, जैसे गैर मानक विश्लेषण या बाहरी अवकलन में इनफिनिटिमल्स करते है.
कुछ लेखको और पत्रिकाओं ने अवकलन चिह्न निर्धारित करते हैं d इटैलिक dx के अतिरिक्त रोमन प्रकार में सेट किया है। आईएसओ/आईईसी 80000 वैज्ञानिक शैली मार्गदर्शिका के रूप में इस शैली की सिफारिश करते हैं।
एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लीबनिज़ का संकेतन
∫ y d x {\displaystyle \int y\,dx} ∬ y d x 2 {\displaystyle \iint y\,dx^{2}} The single and double indefinite integrals of y with respect to x , in the Leibniz notation.
लीबनिज ने अभिन्न प्रतीक प्रस्तुत किया ∫ एनालिसियोस टेट्रागोनिस्टिके पार्स सेकुंडा और मेथोडी इनवर्स टेंजेंटियम उदाहरण दोनों 1675 से प्रतीक है। यह अब अभिन्न के लिए मानक प्रतीक है।
∫ y ′ d x = ∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + C 0 = y + C 0 ∫ y d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C 1 ∬ y d x 2 = ∫ ( ∫ y d x ) d x = ∫ X × X f ( x ) d x = ∫ F ( x ) d x = g ( x ) + C 2 ∫ … ∫ ⏟ n y d x … d x ⏟ n = ∫ X × ⋯ × X ⏟ n f ( x ) d x = ∫ s ( x ) d x = S ( x ) + C n {\displaystyle {\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}}
लैग्रेंज का अंकन
f ′ (x )
A function f of x , differentiated once in Lagrange's notation.
अवकलन के लिए सबसे सामान्य आधुनिक संकेतों में से एक का नाम जोसेफ लुई लैग्रेंज के नाम पर रखा गया है, यदि इसका आविष्कार वास्तव में लियोनहार्ड यूलर द्वारा किया गया था और पूर्व द्वारा ही इसे लोकप्रिय बनाया गया था। लैग्रेंज के संकेतन में, एक अभाज्य प्रतीक एक अवकलन को दर्शाता है। यदि f एक फलन है, तो x पर मूल्यांकन किया गया इसका अवकलन लिखा जाता है.
f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} यह पहली बार 1749 में छपा था।[1]
उच्चतर अवकलन को अतिरिक्त अभाज्य चिह्नों का उपयोग के रूप में दर्शाया गया है, जैसे कि f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)} f ‴ ( x ) {\displaystyle f'''(x)} रोमन अंक का प्रयोग जारी रखते हैं, सामान्यतः छोटे अक्षरों,[2] [3]
f i v ( x ) , f v ( x ) , f v i ( x ) , … , {\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,} चौथे, पांचवें, छठे और उच्च क्रम के अवकलन को दर्शाने के लिए। अन्य लेखक कोष्ठक में अरबी अंकों का उपयोग करते हैं, जैसे कि
f ( 4 ) ( x ) , f ( 5 ) ( x ) , f ( 6 ) ( x ) , … . {\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .} यह अंकन n वें अवकलन का वर्णन करना भी संभव बनाता है, जहां n एक चर है। ये लिखा है
f ( n ) ( x ) . {\displaystyle f^{(n)}(x).} लैग्रेंज के संकेतन से संबंधित यूनिकोड वर्ण के रूप में सम्मिलित हैं
U+2032 ◌′ PRIME (derivative)U+2033 ◌″ DOUBLE PRIME (double derivative)U+2034 ◌‴ TRIPLE PRIME (third derivative)U+2057 ◌⁗ QUADRUPLE PRIME (fourth derivative)जब किसी फलन f(x, y) के लिए दो स्वतंत्र चर होते हैं, तो निम्नलिखित परिपाटी का पालन किया जा सकता है:[4]
f ′ = ∂ f ∂ x = f x f ′ = ∂ f ∂ y = f y f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ y 2 = f y y {\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}
एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लैग्रेंज का संकेतन
f (−1) (x )f (−2) (x )
The single and double indefinite integrals of f with respect to x , in the Lagrange notation.
एंटी अवकलन लेते समय लैग्रेंज ने लीबनिज़ के संकेतन का पालन किया था:[5]
f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ∫ y d x . {\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.} चूंकि समाकलन अवकलन का व्युत्क्रम संचालन के रूप में होता है, उच्च क्रम अवकलन के लिए लैग्रेंज का संकेतन इंटीग्रल तक भी विस्तारित होता है। f के बार-बार समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है.
f ( − 1 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-1)}(x)} f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} f ( − 2 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-2)}(x)} f ( − 3 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-3)}(x)} f ( − n ) ( x ) {\displaystyle f^{(-n)}(x)} यूलर का अंकन
Dx y D 2 f
The x derivative of y and the second derivative of f , Euler notation.
लियोनहार्ड यूलर का संकेतन लुई फ्रांकोइस एंटोनी आर्बोगैस्ट द्वारा सुझाए गए एक अंतर ऑपरेटर का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है D [6] [failed verification या D̃ [7] f (x )
( D f ) ( x ) = d f ( x ) d x . {\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.} उच्च अवकलन को डी की शक्तियों के रूप में नोट किया जाता है (जहां सुपरस्क्रिप्ट डी की पुनरावृत्त फलन संरचना को दर्शाते हैं), जैसा कि[4] D 2 f {\displaystyle D^{2}f}
D 3 f {\displaystyle D^{3}f} D n f {\displaystyle D^{n}f} यूलर का अंकन उस चर को अंतर्निहित कर देता है जिसके संबंध में अवकलन किया जा रहा है। चूंकि, इस चर को स्पष्ट रूप से भी नोट किया जा सकता है। जब f एक चर x का एक फलन है, तो इसे लिखकर किया जाता है[4] D x f {\displaystyle D_{x}f}
D x 2 f {\displaystyle D_{x}^{2}f} D x 3 f {\displaystyle D_{x}^{3}f} D x n f {\displaystyle D_{x}^{n}f} जब f कई चर राशि का एक फलन होता है, तो ∂ का उपयोग करना सामान्य बात है, इसके अतिरिक्त कि एक स्टाइलयुक्त कर्सिव लोअर-केस dD f (x , y )[4] ∂ x x f = ∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ x y f = ∂ 2 f ∂ y ∂ x , ∂ y x f = ∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ y y f = ∂ 2 f ∂ y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}
देखना § आंशिक अवकलन
यूलर का संकेतन रैखिक अंतर समीकरण को बताने और हल करने के लिए उपयोगी है, क्योंकि यह अंतर समीकरण की प्रस्तुति को सरल बनाता है, जिससे समस्या के आवश्यक तत्वों को देखना सरल हो सकता है।
एंटीडिफरेंशिएशन के लिए यूलर का संकेतन
D −1 x y D −2 f
The x antiderivative of y and the second antiderivative of f , Euler notation.
यूलर के संकेतन का उपयोग एंटीडिफरेंशिएशन के लिए उसी प्रकार किया जा सकता है जैसे लैग्रेंज के संकेतन का होता है[8] [7] D − 1 f ( x ) {\displaystyle D^{-1}f(x)}
प्रथम प्रति अवकलन के लिए होते है,
D − 2 f ( x ) {\displaystyle D^{-2}f(x)} D − n f ( x ) {\displaystyle D^{-n}f(x)} न्यूटन का अंकन
ẋ ẍ
The first and second derivatives of x , Newton's notation.
अवकलन के लिए आइजैक न्यूटन का संकेतन जिसे डॉट संकेतन प्रवाह या कभी-कभी सामान्यतः फ्लाईस्पेक संकेतन भी कहा जाता है[9]
y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} उच्चतर अवकलन को कई बिंदुओं का उपयोग करके दर्शाया जाता है, जैसे कि
y ¨ , y . . . {\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}} न्यूटन ने इस विचार को अधिक आगे तक बढ़ाया:[10]
y ¨ ≡ d 2 y d t 2 = d d t ( d y d t ) = d d t ( y ˙ ) = d d t ( f ′ ( t ) ) = D t 2 y = f ″ ( t ) = y t ″ y . . . = y ¨ ˙ ≡ d 3 y d t 3 = D t 3 y = f ‴ ( t ) = y t ‴ y ˙ 4 = y . . . . = y ¨ ¨ ≡ d 4 y d t 4 = D t 4 y = f I V ( t ) = y t ( 4 ) y ˙ 5 = y . . . ¨ = y ¨ ¨ ˙ = y ¨ ˙ ¨ ≡ d 5 y d t 5 = D t 5 y = f V ( t ) = y t ( 5 ) y ˙ 6 = y . . . . न्यूटन के अंकन से संबंधित यूनिकोड वर्णों में सम्मिलित हैं:
U+0307 ◌̇ COMBINING DOT ABOVE (derivative)U+0308 ◌̈ COMBINING DIAERESIS (double derivative)U+20DB ◌⃛ COMBINING THREE DOTS ABOVE (third derivative) ← डायएरेसिस + उपरोक्त बिंदु के संयोजन द्वारा प्रतिस्थापित।U+20DC ◌⃜ COMBINING FOUR DOTS ABOVE (fourth derivative) ← डायएरेसिस को दो बार मिलाकर प्रतिस्थापित किया गया।U+030D ◌̍ COMBINING VERTICAL LINE ABOVE (integral)U+030E ◌̎ COMBINING DOUBLE VERTICAL LINE ABOVE (second integral)U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE (integral)U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE (integral)U+1DE0 ◌ᷠ COMBINING LATIN SMALL LETTER N (n th derivative)न्यूटन के अंकन का उपयोग सामान्यतः तब किया जाता है, जब स्वतंत्र चर समय को दर्शाता है। यदि समष्टि y y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} वेग को दर्शाता है[11] y ¨ {\displaystyle {\ddot {y}}} त्वरण को दर्शाता है.[12] गणितीय भौतिकी में लोकप्रिय है। यह भौतिकी से जुड़े गणित के क्षेत्रों जैसे अंतर समीकरण के रूप में भी दिखाई देता है।
आश्रित चर y = f(x) का अवकलन लेते समय, एक वैकल्पिक संकेतन उपलब्ध होता है:[13]
y ˙ x ˙ = y ˙ : x ˙ ≡ d y d t : d x d t = d y d t d x d t = d y d x = d d x ( f ( x ) ) = D y = f ′ ( x ) = y ′ . {\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.} न्यूटन ने घुमावदार X ( ⵋ ) पर साइड-डॉट्स का उपयोग करके निम्नलिखित आंशिक अंतर ऑपरेटरों को विकसित किया। व्हाईटसाइड द्वारा दी गई परिभाषाएँ नीचे हैं:[14] [15]
X = f ( x , y ) , ⋅ X = x ∂ f ∂ x = x f x , X ⋅ = y ∂ f ∂ y = y f y , : X or ⋅ ( ⋅ X ) = x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 = x 2 f x x , X : or ( X ⋅ ) ⋅ = y 2 ∂ 2 f ∂ y 2 = y 2 f y y , ⋅ X ⋅ = x y ∂ 2 f ∂ x ∂ y = x y f x y , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}
समाकलन के लिए न्यूटन का संकेत
x̍ x̎
The first and second antiderivatives of x , in one of Newton's notations.
न्यूटन ने अपने क्वाड्रेटुरा कर्वरम (1704) और फ्लक्सियन्स की विधि में इंटीग्रल के लिए कई भिन्न-भिन्न संकेतन विकसित किए: उन्होंने आश्रित चर के ऊपर एक छोटी ऊर्ध्वाधर पट्टी या अभाज्य लिखा (y̍ ▭y ), या पद को एक आयत में सम्मिलित करना होता है (y अनुपस्थिति ) की विधि को दर्शाने के लिए होता है।
y = ◻ y ˙ ≡ ∫ y ˙ d t = ∫ f ′ ( t ) d t = D t − 1 ( D t y ) = f ( t ) + C 0 = y t + C 0 y ′ = ◻ y ≡ ∫ y d t = ∫ f ( t ) d t = D t − 1 y = F ( t ) + C 1 {\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}} एकाधिक अभिन्नों को दर्शाने के लिए न्यूटन ने दो छोटी ऊर्ध्वाधर पट्टियों या अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया (y̎ ▭y̍ के रूप में उपयोग किया है.
y ′ ′ = ◻ y ′ ≡ ∫ y ′ d t = ∫ F ( t ) d t = D t − 2 y = g ( t ) + C 2 {\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}} उच्च क्रम समय समाकलन इस प्रकार थे:[16]
y ′ ′ ′ = ◻ y ′ ′ ≡ ∫ y ′ ′ d t = ∫ g ( t ) d t = D t − 3 y = G ( t ) + C 3 y ′ ′ ′ ′ = ◻ y ′ ′ ′ ≡ ∫ y ′ ′ ′ d t = ∫ G ( t ) d t = D t − 4 y = h ( t ) + C 4 y ′ n = ◻ y ′ n − 1 ≡ ∫ y ′ n − 1 d t = ∫ s ( t ) d t = D t − n y = S ( t ) + C n {\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}} मुद्रण संबंधी कठिनाइयों और लीबनिज-न्यूटन कैलकुलस विवाद के कारण यह गणितीय संकेतन व्यापक नहीं हो सका।
आंशिक अवकलन
fx fxy
A function f differentiated against x , then against x and y .
जब अधिक विशिष्ट प्रकार के अवकलन आवश्यक होते हैं, जैसे कि बहुभिन्नरूपी कैलकुलस या टेंसर विश्लेषण में अन्य संकेतन सामान्य होते हैं।
एकल स्वतंत्र चर x के फलन f के लिए, हम स्वतंत्र चर की सबस्क्रिप्ट का उपयोग करके अवकलन को व्यक्त कर सकते हैं:
f x = d f d x f x x = d 2 f d x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}} इस प्रकार का अंकन कई चर वाले फलन के आंशिक अवकलन लेने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।
∂f / ∂x
A function f differentiated against x .
आंशिक अवकलन को सामान्यतः अंतर ऑपरेटर d को ∂ प्रतीक के साथ प्रतिस्थापित करके सामान्य अवकलन से भिन्न किया जाता है। उदाहरण के लिए हम आंशिक अवकलन का संकेत दे सकते हैं f (x , y , z )
∂ f ∂ x = f x = ∂ x f . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.} जो बात इस भेद को महत्वपूर्ण बनाती है, वह यह है कि एक गैर-आंशिक अवकलन जैसे d f d x {\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} ∂ f ∂ x {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
अन्य संकेतन गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के विभिन्न उपक्षेत्रों में पाए जा सकते हैं; उदाहरण के लिए ऊष्मागतिकी के मैक्सवेल संबंध देखें। प्रतीक ( ∂ T ∂ V ) S {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}} ( ∂ T ∂ V ) P {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}
एक चर के संबंध में उच्च-क्रम आंशिक अवकलन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है
∂ 2 f ∂ x 2 = f x x , ∂ 3 f ∂ x 3 = f x x x , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}} और इसी प्रकार मिश्रित आंशिक अवकलन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.} इस अंतिम स्थिति में चर को दो संकेतन के बीच विपरीत क्रम में लिखा गया है, जिसे निम्नानुसार समझाया गया है:
( f x ) y = f x y , ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x . {\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}} तथाकथित बहु-सूचकांक संकेतन का उपयोग उन स्थितियों में किया जाता है, जब उपरोक्त संकेतन होता है या अपर्याप्त रूप से अभिव्यंजक हो जाता है। कार्यों पर विचार करते समय R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} n {\displaystyle n} α = ( α 1 , … , α n ) , α i ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}} f : R n → X {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}
∂ α f = ∂ α 1 ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ α n ∂ x n α n f {\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f} इस प्रकार से कुछ परिणाम (जैसे कि लाइबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम)) जिन्हें अन्य विधियों से लिखना कठिन है, उन्हें संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है - कुछ उदाहरण मल्टी-इंडेक्स संकेतन में पाए जा सकते हैं। मल्टी-इंडेक्स पर लेख।[17]
सदिश कैलकुलस सदिश क्षेत्र या अदिश क्षेत्र के अवकलन और अभिन्न अंग से संबंधित है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि के स्थिति के लिए विशिष्ट कई संकेतन सामान्य हैं।
ये मान लीजिए (x , y , z ) एक दी गई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है, कि A घटकों के साथ एक सदिश क्षेत्र है A = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})} φ = φ ( x , y , z ) {\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)} अदिश क्षेत्र है.
विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तुत किया गया डिफरेंशियल ऑपरेटर, जिसे नाबला प्रतीक के रूप में लिखा जाता है. |∇ और की या नाबला कहा जाता है, प्रतीकात्मक रूप से एक सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है,
∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) , {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,} जहां शब्दावली प्रतीकात्मक रूप से दर्शाती है कि ऑपरेटर ∇ को एक साधारण सदिश के रूप में भी माना जाएगा।
∇φ
Gradient of the scalar field φ .
ग्रेडिएंट : ग्रेडिएंट g r a d φ {\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi } φ {\displaystyle \varphi } φ {\displaystyle \varphi } grad φ = ( ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z ) = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) φ = ∇ φ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}
∇∙A
The divergence of the vector field A .
विचलन : विचलन d i v A {\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} } div A = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ A = ∇ ⋅ A {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}
∇2 φ
The Laplacian of the scalar field φ .
लाप्लासियन : लाप्लासियन div grad φ {\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi } φ {\displaystyle \varphi } div grad φ = ∇ ⋅ ( ∇ φ ) = ( ∇ ⋅ ∇ ) φ = ∇ 2 φ = Δ φ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}
∇×A
The curl of vector field A .
घूर्णन : घूर्णन c u r l A {\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} } r o t A {\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} } curl A = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z , ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x , ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z ) i + ( ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x ) j + ( ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) k = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A x A y A z | = ∇ × A {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}} कार्टेशियन निर्देशांक में ग्रेडिएंट ऑपरेटर द्वारा अवकलन के कई प्रतीकात्मक संचालन को सीधे विधि से सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एकल-चर उत्पाद नियम में ग्रेडिएंट ऑपरेटर को लागू करके स्केलर फ़ील्ड के गुणन में एक सीधा एनालॉग होता है, जैसा कि
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ ⟹ ∇ ( ϕ ψ ) = ( ∇ ϕ ) ψ + ϕ ( ∇ ψ ) . {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).} एकल चर कैलकुलस के कई अन्य नियमों में सदिश कैलकुलस पहचान ग्रेडिएंट, डाइवर्जेंस, कर्ल और लाप्लासियन के लिए पहली अवकलन पहचान हैं।
अधिक विदेशी प्रकार के समष्टि के लिए और संकेतन विकसित किए गए हैं। मिन्कोवस्की समष्टि में गणना के लिए, डी'एलेम्बर्ट ऑपरेटर, जिसे डी'एलेम्बर्टियन, वेव ऑपरेटर या बॉक्स ऑपरेटर भी कहा जाता है, को इस प्रकार दर्शाया गया है ◻ {\displaystyle \Box } Δ {\displaystyle \Delta }
यह भी देखें संदर्भ
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बाहरी संबंध
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