विभेदन के लिए संकेतन

अवकलन कलन में अवकलन के लिए कोई एकल समरूप संकेतन नहीं होते है। इसके अतिरिक्त विभिन्न गणितज्ञों द्वारा किसी फलन (गणित) या चर के अवकलन के लिए विभिन्न संकेतन पद्धति के रूप में प्रस्तावित किए गए हैं। प्रत्येक संकेतन की उपयोगिता संदर्भ के साथ भिन्न होती है और कभी-कभी किसी दिए गए संदर्भ में एक से अधिक संकेतन का उपयोग करना लाभ होता है। अवकलन और इसके विपरीत संक्रिया या अनिश्चितकालीन समाकलन संकेतन के रूप में नीचे सूचीबद्ध हैं।

लाइबनिज का अंकन

dy

dx

d²y

dx²

The first and second derivatives of y with respect to x, in the Leibniz notation.

मुख्य लेख: लीबनिज़ का संकेतन

गॉटफ्राइड लीबनिज द्वारा नियोजित मूल अंकन का उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। यह विशेष रूप से सामान्य है, जब समीकरण y = f(x) को आश्रित और स्वतंत्र चर y और x के बीच एक कार्यात्मक संबंध के रूप में माना जाता है। लीबनिज़ का अंकन अवकलन को इस रूप में लिखकर इस संबंध को स्पष्ट करता है.

 

${\frac {dy}{dx}}.$

इसके अतिरिक्त x पर f का अवकलन इसलिए लिखा जाता है,

${\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).$

उच्चतर अवकलनों को इस प्रकार लिखा जाता है.

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.$

यह एक सूचक संकेतन उपकरण है, जो प्रतीकों के औपचारिक परिचालन से आता है, जैसे कि,

${\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

के अवकलन का मान y एक बिंदु पर x = a लाइबनिज़ के अंकन का उपयोग करके दो विधियों से व्यक्त किया जा सकता है:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)$.

लीबनिज़ का अंकन हर में अवकलन के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। आंशिक अवकलन पर विचार करते समय यह विशेष रूप से सहायक होता है। यह श्रृंखला नियम को याद रखना और पहचानना भी सरल बनाता है:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

अवकलन के लिए लीबनिज़ के संकेतन में dx या dy जैसे प्रतीकों को अपने आप में अर्थ निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं होती है और कुछ लेखक इन प्रतीकों को अर्थ बताने का प्रयास नहीं करते हैं। लीबनिज़ ने इन प्रतीकों को अनन्त सूक्ष्म रूप में मान लिया है। पश्चात के लेखकों ने उन्हें अन्य अर्थ दिए हैं, जैसे गैर मानक विश्लेषण या बाहरी अवकलन में इनफिनिटिमल्स करते है.

कुछ लेखको और पत्रिकाओं ने अवकलन चिह्न निर्धारित करते हैं d इटैलिक dx के अतिरिक्त रोमन प्रकार में सेट किया है। आईएसओ/आईईसी 80000 वैज्ञानिक शैली मार्गदर्शिका के रूप में इस शैली की सिफारिश करते हैं।

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लीबनिज़ का संकेतन

$\int y\,dx$
$\iint y\,dx^{2}$

The single and double indefinite integrals of y with respect to x, in the Leibniz notation.

For 2 या अधिक चर वाले कार्यों के लिए, see एकाधिक समाकलन देखें।.

लीबनिज ने अभिन्न प्रतीक प्रस्तुत किया ∫ एनालिसियोस टेट्रागोनिस्टिके पार्स सेकुंडा और मेथोडी इनवर्स टेंजेंटियम उदाहरण दोनों 1675 से प्रतीक है। यह अब अभिन्न के लिए मानक प्रतीक है।

${\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}$

लैग्रेंज का अंकन

f′(x)

A function f of x, differentiated once in Lagrange's notation.

अवकलन के लिए सबसे सामान्य आधुनिक संकेतों में से एक का नाम जोसेफ लुई लैग्रेंज के नाम पर रखा गया है, यदि इसका आविष्कार वास्तव में लियोनहार्ड यूलर द्वारा किया गया था और पूर्व द्वारा ही इसे लोकप्रिय बनाया गया था। लैग्रेंज के संकेतन में, एक अभाज्य प्रतीक एक अवकलन को दर्शाता है। यदि f एक फलन है, तो x पर मूल्यांकन किया गया इसका अवकलन लिखा जाता है.

$f'(x)$.

यह पहली बार 1749 में छपा था।

उच्चतर अवकलन को अतिरिक्त अभाज्य चिह्नों का उपयोग के रूप में दर्शाया गया है, जैसे कि $f''(x)$ दूसरे अवकलन के लिए और $f'''(x)$ तीसरे अवकलन के लिए. बार-बार अभाज्य चिह्नों का उपयोग अंततः अनिष्ट हो जाता है। कुछ लेखक रोमन अंक का प्रयोग जारी रखते हैं, सामान्यतः छोटे अक्षरों, के रूप में होते है.

$f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,$

चौथे, पांचवें, छठे और उच्च क्रम के अवकलन को दर्शाने के लिए। अन्य लेखक कोष्ठक में अरबी अंकों का उपयोग करते हैं, जैसे कि

$f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .$

यह अंकन n वें अवकलन का वर्णन करना भी संभव बनाता है, जहां n एक चर है। ये लिखा है

$f^{(n)}(x).$

लैग्रेंज के संकेतन से संबंधित यूनिकोड वर्ण के रूप में सम्मिलित हैं

• U+2032 ◌′ PRIME (derivative)
• U+2033 ◌″ DOUBLE PRIME (double derivative)
• U+2034 ◌‴ TRIPLE PRIME (third derivative)
• U+2057 ◌⁗ QUADRUPLE PRIME (fourth derivative)

जब किसी फलन f(x, y) के लिए दो स्वतंत्र चर होते हैं, तो निम्नलिखित परिपाटी का पालन किया जा सकता है:

${\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}$

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए लैग्रेंज का संकेतन

f⁽⁻¹⁾(x)
f⁽⁻²⁾(x)

The single and double indefinite integrals of f with respect to x, in the Lagrange notation.

एंटी अवकलन लेते समय लैग्रेंज ने लीबनिज़ के संकेतन का पालन किया था:

$f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.$

चूंकि समाकलन अवकलन का व्युत्क्रम संचालन के रूप में होता है, उच्च क्रम अवकलन के लिए लैग्रेंज का संकेतन इंटीग्रल तक भी विस्तारित होता है। f के बार-बार समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है.

$f^{(-1)}(x)$ पहले इंटीग्रल के लिए (यह व्युत्क्रम फलन के साथ सरली से भ्रमित हो जाता है $f^{-1}(x)$),

$f^{(-2)}(x)$ दूसरे अभिन्न के लिए,

$f^{(-3)}(x)$ तीसरे अभिन्न के लिए, और

$f^{(-n)}(x)$ nवें अभिन्न के लिए.

यूलर का अंकन

D_xy
D²f

The x derivative of y and the second derivative of f, Euler notation.

लियोनहार्ड यूलर का संकेतन लुई फ्रांकोइस एंटोनी आर्बोगैस्ट द्वारा सुझाए गए एक अंतर ऑपरेटर का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है D (डी ऑपरेटर) या D̃ (न्यूटन-लीबनिज़ ऑपरेटर)। जब किसी फलन पर लागू किया जाता है f(x), द्वारा परिभाषित किया गया है.

$(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.$

उच्च अवकलन को डी की शक्तियों के रूप में नोट किया जाता है (जहां सुपरस्क्रिप्ट डी की पुनरावृत्त फलन संरचना को दर्शाते हैं), जैसा कि:$D^{2}f$ दूसरे अवकलन के लिए होते है.

$D^{3}f$ तीसरे अवकलन के लिए, और

$D^{n}f$ nवें अवकलन के लिए.

यूलर का अंकन उस चर को अंतर्निहित कर देता है जिसके संबंध में अवकलन किया जा रहा है। चूंकि, इस चर को स्पष्ट रूप से भी नोट किया जा सकता है। जब f एक चर x का एक फलन है, तो इसे लिखकर किया जाता है:$D_{x}f$ प्रथम अवकलन के लिए,

$D_{x}^{2}f$ दूसरे अवकलन के लिए,

$D_{x}^{3}f$ तीसरे अवकलन के लिए, और

$D_{x}^{n}f$ nवें अवकलन के लिए.

जब f कई चर राशि का एक फलन होता है, तो ∂ का उपयोग करना सामान्य बात है, इसके अतिरिक्त कि एक स्टाइलयुक्त कर्सिव लोअर-केस dD .जैसा कि ऊपर बताया गया है, सबस्क्रिप्ट उन अवकलन को दर्शाते हैं, जिन्हें लिया जा रहा है। उदाहरण के लिए, किसी फलन का दूसरा आंशिक अवकलन f(x, y) हैं::${\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}$

देखना § आंशिक अवकलन

यूलर का संकेतन रैखिक अंतर समीकरण को बताने और हल करने के लिए उपयोगी है, क्योंकि यह अंतर समीकरण की प्रस्तुति को सरल बनाता है, जिससे समस्या के आवश्यक तत्वों को देखना सरल हो सकता है।

एंटीडिफरेंशिएशन के लिए यूलर का संकेतन

D⁻¹
_xy
D⁻²f

The x antiderivative of y and the second antiderivative of f, Euler notation.

यूलर के संकेतन का उपयोग एंटीडिफरेंशिएशन के लिए उसी प्रकार किया जा सकता है जैसे लैग्रेंज के संकेतन का होता है निम्नानुसार होता है।:$D^{-1}f(x)$

प्रथम प्रति अवकलन के लिए होते है,

$D^{-2}f(x)$ दूसरे प्रतिअवकलन के लिए, और

$D^{-n}f(x)$ nवें प्रति अवकलन के लिए।

न्यूटन का अंकन

ẋẍ

The first and second derivatives of x, Newton's notation.

अवकलन के लिए आइजैक न्यूटन का संकेतन जिसे डॉट संकेतन प्रवाह या कभी-कभी सामान्यतः फ्लाईस्पेक संकेतन भी कहा जाता है अवकलन के लिए आश्रित चर पर एक बिंदु लगाता है। अर्थात्, यदि y, t का एक फलन है, तो t के संबंध में y का अवकलन है.

${\dot {y}}$

उच्चतर अवकलन को कई बिंदुओं का उपयोग करके दर्शाया जाता है, जैसे कि

${\ddot {y}},{\overset {...}{y}}$

न्यूटन ने इस विचार को अधिक आगे तक बढ़ाया:

${\dot {y}}$