ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना: Difference between revisions

Revision as of 18:00, 29 November 2023

ईजेनस्टेट तापीकरण परिकल्पना (या ईटीएच) विचारों का समूह है जो यह समझाने का इरादा रखता है कि कब और क्यों पृथक क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली को संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करके सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह यह समझने के लिए समर्पित है कि जो प्रणालियाँ शुरू में संतुलन से दूर की स्थिति में तैयार की जाती हैं, वे समय के साथ ऐसी स्थिति में कैसे विकसित हो सकती हैं जो थर्मल संतुलन में प्रतीत होती है। ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन वाक्यांश पहली बार 1994 में मार्क स्रेडनिकी द्वारा गढ़ा गया था,^[1] 1991 में जोश डॉयच द्वारा इसी तरह के विचार पेश किए जाने के बाद।^[2] ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना में अंतर्निहित मुख्य दर्शन यह है कि कैओस सिद्धांत के तंत्र के माध्यम से थर्मोडायनामिक प्रणाली की ergodicity को समझाने के बजाय, जैसा कि शास्त्रीय यांत्रिकी में किया जाता है, व्यक्ति को व्यक्तिगत रूप से देखने योग्य मात्राओं के मैट्रिक्स (गणित) तत्वों के गुणों की जांच करनी चाहिए। सिस्टम की स्थिर स्थिति.

प्रेरणा

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, माइक्रोकैनोनिकल पहनावा विशेष सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी) है जिसका उपयोग पृथक प्रणालियों पर किए गए प्रयोगों के परिणामों के बारे में भविष्यवाणियां करने के लिए किया जाता है, जिनके बारे में माना जाता है कि वे बिल्कुल ज्ञात ऊर्जा के साथ संतुलन में हैं। माइक्रोकैनोनिकल पहनावा इस धारणा पर आधारित है कि, जब ऐसी संतुलित प्रणाली की जांच की जाती है, तो समान कुल ऊर्जा के साथ किसी भी सूक्ष्म अवस्था में पाए जाने की संभावना समान होती है।^[3] इस धारणा के साथ,^{[footnote 1]} किसी अवलोकन योग्य मात्रा का समुच्चय औसत उस अवलोकन योग्य मूल्य के औसत से पाया जाता है $A_{i}$ सभी माइक्रोस्टेट्स पर $i$ सही कुल ऊर्जा के साथ:^[3]

{\bar {A}}_{\mathrm {classical} }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{i}

महत्वपूर्ण बात यह है कि यह मात्रा अपनी ऊर्जा को छोड़कर प्रारंभिक अवस्था के बारे में हर चीज़ से स्वतंत्र है।

गतिशील कैओस सिद्धांत के परिणामस्वरूप शास्त्रीय यांत्रिकी में एर्गोडिसिटी की धारणाएं अच्छी तरह से प्रेरित हैं, क्योंकि अराजक प्रणाली आम तौर पर अपने चरण स्थान के समान क्षेत्रों में समान समय बिताएगी।^[3] यदि हम इसके चरण स्थान के कुछ क्षेत्र में पृथक, अराजक, शास्त्रीय प्रणाली तैयार करते हैं, तो जैसे ही प्रणाली को समय के साथ विकसित होने की अनुमति दी जाती है, यह केवल कुछ ही संरक्षण कानूनों (जैसे कि संरक्षण) के अधीन, अपने पूरे चरण स्थान का नमूना लेगा कुल ऊर्जा का) यदि कोई इस दावे को सही ठहरा सकता है कि दी गई भौतिक प्रणाली अर्गोडिक है, तो यह तंत्र इस बात का स्पष्टीकरण प्रदान करेगा कि सांख्यिकीय यांत्रिकी सटीक भविष्यवाणियां करने में सफल क्यों है। उदाहरण के लिए, कठोर क्षेत्रों को कठोरता से एर्गोडिक साबित किया गया है।^[3]

इस तर्क को सीधे तौर पर क्वांटम प्रणालियों तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यहां तक कि वे भी जो अराजक शास्त्रीय प्रणालियों के अनुरूप हैं, क्योंकि क्वांटम प्रणाली का समय विकास किसी दी गई ऊर्जा के साथ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में सभी वैक्टरों का समान रूप से नमूना नहीं लेता है।^{[footnote 2]} ऊर्जा eigenstates के आधार पर समय शून्य पर स्थिति को देखते हुए

|\Psi (0)\rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,

किसी भी अवलोकन योग्य का अपेक्षित मूल्य ${\hat {A}}$ है

\langle {\hat {A}}\rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle =\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }.

भले ही $E_{\alpha }$ असंगत हैं, जिससे यह अपेक्षा मान लंबे समय तक दिया जाता है

\langle {\hat {A}}\rangle _{t}{\overset {t\to \infty }{\approx }}\sum _{\alpha }\vert c_{\alpha }\vert ^{2}A_{\alpha \alpha },

अपेक्षा मान गुणांकों के रूप में प्रारंभिक अवस्था का ज्ञान स्थायी रूप से बनाए रखता है $c_{\alpha }$ .

सिद्धांत रूप में यह खुला प्रश्न है कि क्या पृथक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली, जो मनमाना प्रारंभिक अवस्था में तैयार की गई है, ऐसी स्थिति तक पहुंच जाएगी जो थर्मल संतुलन से मिलती जुलती है, जिसमें सिस्टम के बारे में सफल भविष्यवाणियां करने के लिए मुट्ठी भर अवलोकन पर्याप्त हैं। हालाँकि, संघनित पदार्थ भौतिकी # शीत परमाणु गैसों में विभिन्न प्रकार के प्रयोगों ने वास्तव में उन प्रणालियों में थर्मल छूट देखी है जो, बहुत अच्छे अनुमान के अनुसार, अपने पर्यावरण से पूरी तरह से अलग हैं, और प्रारंभिक अवस्थाओं की विस्तृत श्रेणी के लिए हैं।^[4]^[5] पृथक क्वांटम प्रणालियों के लिए संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी की इस प्रयोगात्मक रूप से देखी गई प्रयोज्यता को समझाने का कार्य ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का प्राथमिक लक्ष्य है।

कथन

मान लीजिए कि हम पृथक, क्वांटम यांत्रिकी अनेक-निकाय समस्या|अनेक-निकाय प्रणाली का अध्ययन कर रहे हैं। इस संदर्भ में, पृथक का तात्पर्य इस तथ्य से है कि सिस्टम का अपने बाहरी वातावरण के साथ कोई (या कम से कम नगण्य) इंटरैक्शन नहीं है। यदि सिस्टम के हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को दर्शाया गया है ${\hat {H}}$ , तो सिस्टम के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार हैमिल्टनियन के स्वदेशी के संदर्भ में दिया गया है,

{\hat {H}}|E_{\alpha }\rangle =E_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,

कहाँ $|E_{\alpha }\rangle$ eigenvalue के साथ हैमिल्टनियन का आइजेनस्टेट है $E_{\alpha }$ . हम इन अवस्थाओं को केवल ऊर्जा eigenstates के रूप में संदर्भित करेंगे। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि सिस्टम में कोई डीजेनरेट ऊर्जा स्तर नहीं है, और यह सीमा में सीमित है, ताकि ऊर्जा आइगेनवैल्यू अलग, गैर-डीजेनरेट स्पेक्ट्रम बना सके (यह अनुचित धारणा नहीं है, क्योंकि कोई भी वास्तविक प्रयोगशाला प्रणाली होगी) प्रणाली से लगभग सभी विकृति को खत्म करने के लिए पर्याप्त अव्यवस्था और मजबूत अंतःक्रियाएं होती हैं, और निश्चित रूप से आकार में सीमित होगी^[6]). यह हमें बढ़ती ऊर्जा स्वदेशी के क्रम में ऊर्जा स्वदेशी राज्यों को लेबल करने की अनुमति देता है। इसके अतिरिक्त, कुछ अन्य क्वांटम-मैकेनिकल अवलोकनीय पर भी विचार करें ${\hat {A}}$ , जिसके बारे में हम थर्मल भविष्यवाणियां करना चाहते हैं। इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स तत्व, जैसा कि ऊर्जा आइजेनस्टेट्स के आधार पर व्यक्त किया गया है, द्वारा दर्शाया जाएगा

A_{\alpha \beta }\equiv \langle E_{\alpha }|{\hat {A}}|E_{\beta }\rangle .

अब हम कल्पना करते हैं कि हम अपने सिस्टम को प्रारंभिक अवस्था में तैयार करते हैं जिसके लिए अपेक्षित मूल्य है ${\hat {A}}$ विचाराधीन ऊर्जा पैमाने के लिए उपयुक्त माइक्रोकैनोनिकल पहनावा में अनुमानित इसके मूल्य से बहुत दूर है (हम मानते हैं कि हमारी प्रारंभिक स्थिति ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की कुछ क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन है जो ऊर्जा में पर्याप्त रूप से करीब हैं)। ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना कहती है कि मनमानी प्रारंभिक अवस्था के लिए, अपेक्षित मूल्य ${\hat {A}}$ अंततः माइक्रोकैनोनिकल समूह द्वारा अनुमानित मूल्य के अनुसार समय के साथ विकसित होगा, और उसके बाद उस मूल्य के आसपास केवल छोटे उतार-चढ़ाव प्रदर्शित होंगे, बशर्ते कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी हों:^[4]

विकर्ण मैट्रिक्स तत्व $A_{\alpha \alpha }$ पड़ोसी मूल्यों के बीच अंतर के साथ, ऊर्जा के कार्य के रूप में आसानी से भिन्न होता है, $A_{\alpha +1,\alpha +1}-A_{\alpha ,\alpha }$ , सिस्टम आकार में तेजी से छोटा होता जा रहा है।
ऑफ-विकर्ण मैट्रिक्स तत्व $A_{\alpha \beta }$ , साथ $\alpha \neq \beta$ , विकर्ण मैट्रिक्स तत्वों की तुलना में बहुत छोटे हैं, और विशेष रूप से सिस्टम आकार में स्वयं तेजी से छोटे हैं।

इन शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है

A_{\alpha \beta }\simeq {\overline {A}}\delta _{\alpha \beta }+{\sqrt {\frac {\overline {A^{2}}}{\mathcal {D}}}}R_{\alpha \beta },

कहाँ ${\overline {A}}={\overline {A}}(E_{\alpha })$ और ${\overline {A^{2}}}={\overline {A^{2}}}(E_{\alpha },E_{\beta })$ ऊर्जा के सुचारू कार्य हैं, ${\mathcal {D}}=e^{sV}$ बहु-निकाय हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम है, और $R_{\alpha \beta }$ शून्य माध्य और इकाई विचरण वाला यादृच्छिक चर है। इसके विपरीत यदि क्वांटम कई-निकाय प्रणाली ईटीएच को संतुष्ट करती है, तो ऊर्जा ईजिन आधार में किसी भी स्थानीय ऑपरेटर के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व से उपरोक्त एंसैट्ज़ का पालन करने की उम्मीद की जाती है।

विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की समतुल्यता

हम ऑपरेटर की अपेक्षा मूल्य का दीर्घकालिक औसत परिभाषित कर सकते हैं ${\hat {A}}$ अभिव्यक्ति के अनुसार

{\overline {A}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle ~dt.

यदि हम इस अपेक्षा मूल्य के समय विकास के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति का उपयोग करते हैं, तो हम लिख सकते हैं

{\overline {A}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left[\sum _{\alpha ,\beta =1}^{D}c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }\right]~dt.

इस अभिव्यक्ति में अभिन्न को स्पष्ट रूप से निष्पादित किया जा सकता है, और परिणाम है

{\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }+i\hbar \lim _{\tau \to \infty }\left[\sum _{\alpha \neq \beta }^{D}{\frac {c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }}{E_{\beta }-E_{\alpha }}}\left({\frac {e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)\tau /\hbar }-1}{\tau }}\right)\right].

जैसे-जैसे सीमा को अनंत तक ले जाया जाएगा, दूसरे योग में प्रत्येक पद छोटा हो जाएगा। यह मानते हुए कि दूसरे योग में विभिन्न घातीय शर्तों के बीच चरण (तरंगें) कभी भी इस क्षय का मुकाबला करने के लिए पर्याप्त बड़ा नहीं हो जाता है, दूसरा योग शून्य हो जाएगा, और हम पाते हैं कि उम्मीद मूल्य का दीर्घकालिक औसत दिया गया है द्वारा^[6]:

${\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }.$

अवलोकनीय के समय-औसत के लिए यह भविष्यवाणी ${\hat {A}}$ इसे विकर्ण समुच्चय में इसके अनुमानित मूल्य के रूप में जाना जाता है,^[7] विकर्ण संयोजन का सबसे महत्वपूर्ण पहलू यह है कि यह स्पष्ट रूप से सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करता है, और इसलिए ऐसा प्रतीत होता है कि यह सिस्टम की तैयारी के संबंध में सभी जानकारी को बरकरार रखता है। इसके विपरीत, माइक्रोकैनोनिकल संयोजन में अनुमानित मूल्य सिस्टम की औसत ऊर्जा के आसपास केंद्रित कुछ ऊर्जा विंडो के भीतर सभी ऊर्जा ईजेनस्टेट्स पर समान रूप से भारित औसत द्वारा दिया जाता है।^[5]

\langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '},

कहाँ ${\mathcal {N}}$ उपयुक्त ऊर्जा विंडो में राज्यों की संख्या है, और योग सूचकांकों पर प्राइम इंगित करता है कि योग इस उपयुक्त माइक्रोकैनोनिकल विंडो तक ही सीमित है। विकर्ण संयोजन के विपरीत, यह भविष्यवाणी प्रणाली की प्रारंभिक स्थिति का बिल्कुल भी संदर्भ नहीं देती है। इस वजह से, यह स्पष्ट नहीं है कि माइक्रोकैनोनिकल समूह को भौतिक प्रणालियों की इतनी विस्तृत विविधता में अवलोकन योग्य वस्तुओं के लंबे समय के औसत का इतना सटीक विवरण क्यों प्रदान करना चाहिए।

हालाँकि, मान लीजिए कि मैट्रिक्स तत्व $A_{\alpha \alpha }$ प्रासंगिक ऊर्जा विंडो पर प्रभावी रूप से स्थिर हैं, उतार-चढ़ाव पर्याप्त रूप से छोटे हैं। यदि यह सत्य है, तो इस स्थिर मान A को योग से प्रभावी ढंग से निकाला जा सकता है, और विकर्ण संयोजन की भविष्यवाणी बस इस मान के बराबर है,

{\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }\approx A\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}=A,

जहां हमने मान लिया है कि प्रारंभिक अवस्था उचित रूप से सामान्यीकृत है। इसी तरह, माइक्रोकैनोनिकल पहनावा की भविष्यवाणी बन जाती है

\langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '}\approx {\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A=A.

इसलिए दोनों समूह सहमत हैं।

के मूल्यों की यह स्थिरता $A_{\alpha \alpha }$ छोटी ऊर्जा खिड़कियों पर ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का अंतर्निहित प्राथमिक विचार है। ध्यान दें कि विशेष रूप से, यह बताता है कि अपेक्षा का मूल्य ${\hat {A}}$ एकल ऊर्जा ईजेनस्टेट में उस ऊर्जा पैमाने पर निर्मित माइक्रोकैनोनिकल पहनावा द्वारा अनुमानित मूल्य के बराबर है। यह क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए आधार का गठन करता है जो कि गतिशील एर्गोडिसिटी की धारणाओं पर निर्मित से मौलिक रूप से भिन्न है।^[1]

टेस्ट

छोटी जाली प्रणालियों के कई संख्यात्मक अध्ययन अंतःक्रियात्मक प्रणालियों में ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना की भविष्यवाणियों की अस्थायी रूप से पुष्टि करते प्रतीत होते हैं, जिनसे थर्मलाइजेशन की उम्मीद की जाएगी।^[5] इसी तरह, जो सिस्टम इंटीग्रेबल हैं, वे ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का पालन नहीं करते हैं।^[5]

यदि कोई अत्यधिक उत्तेजित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की प्रकृति के बारे में कुछ निश्चित धारणाएँ बना ले तो कुछ विश्लेषणात्मक परिणाम भी प्राप्त किए जा सकते हैं। मार्क स्रेडनिकी द्वारा ईटीएच पर 1994 के मूल पेपर में, विशेष रूप से, इंसुलेटेड बॉक्स में क्वांटम हार्ड गोले के उदाहरण का अध्ययन किया गया था। यह ऐसी प्रणाली है जो शास्त्रीय रूप से अराजकता प्रदर्शित करने के लिए जानी जाती है।^[1] पर्याप्त रूप से उच्च ऊर्जा की स्थिति के लिए, बेरी के अनुमान में कहा गया है कि कठोर गोले के कणों की इस कई-शरीर प्रणाली में ऊर्जा eigenfunctions विमान तरंगों के क्वांटम सुपरपोजिशन के रूप में व्यवहार करती दिखाई देगी, जिसमें विमान तरंगें यादृच्छिक चरणों और सामान्य वितरण के साथ क्वांटम सुपरपोजिशन में प्रवेश करती हैं। गाऊसी -वितरित आयाम^[1] (इस यादृच्छिक सुपरपोजिशन की सटीक धारणा पेपर में स्पष्ट की गई है)। इस धारणा के तहत, कोई यह दिखा सकता है कि, थर्मोडायनामिक सीमा में नगण्य रूप से छोटे सुधारों तक, प्रत्येक व्यक्ति, अलग-अलग कण के लिए गति वितरण फ़ंक्शन मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण के बराबर है^[1]: $f_{\rm {MB}}\left(\mathbf {p} ,T_{\alpha }\right)=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}e^{-\mathbf {p} ^{2}/2mkT_{\alpha }},$

कहाँ $\mathbf {p}$ कण का संवेग है, m कणों का द्रव्यमान है, k बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और तापमान है $T_{\alpha }$ आदर्श गैस की अवस्था के सामान्य समीकरण के अनुसार ईजेनस्टेट की ऊर्जा से संबंधित है,

E_{\alpha }={\frac {3}{2}}NkT_{\alpha },

जहाँ N गैस में कणों की संख्या है। यह परिणाम ईटीएच की विशिष्ट अभिव्यक्ति है, जिसमें यह ऊर्जा ईजेनस्टेट में अवलोकन योग्य मूल्य के लिए भविष्यवाणी का परिणाम देता है जो कि माइक्रोकैनोनिकल (या कैनोनिकल) समूह से प्राप्त भविष्यवाणी के अनुरूप है। ध्यान दें कि आरंभिक अवस्थाओं का कोई औसतीकरण नहीं किया गया है, न ही एच-प्रमेय से मिलता-जुलता कुछ भी लागू किया गया है। इसके अतिरिक्त, कोई उपयुक्त बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी|बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक सांख्यिकी|फर्मी-डिराक वितरण भी प्राप्त कर सकता है, यदि कोई गैस वाले कणों के लिए उचित रूपान्तरण संबंध लागू करता है।^[1]

वर्तमान में, यह अच्छी तरह से समझ में नहीं आता है कि ईटीएच का पालन करने के लिए कठोर गोले वाली गैस की ईजेनस्टेट की ऊर्जा कितनी अधिक होनी चाहिए।^[1] मोटा मानदंड यह है कि प्रत्येक कण की औसत थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य कठोर गोलाकार कणों की त्रिज्या से पर्याप्त रूप से छोटी होनी चाहिए, ताकि सिस्टम उन विशेषताओं की जांच कर सके जिनके परिणामस्वरूप शास्त्रीय रूप से अराजकता होती है (अर्थात्, तथ्य यह है कि कणों की परिमित सीमा होती है) आकार^[1]). हालाँकि, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि इस स्थिति में ढील दी जा सकती है, और शायद थर्मोडायनामिक सीमा में, मनमाने ढंग से कम ऊर्जा की ऊर्जा ईजेनस्टेट्स ईटीएच को संतुष्ट करेगी (जमीनी स्थिति से अलग, जिसके लिए कुछ विशेष गुणों की आवश्यकता होती है, उदाहरण, किसी नोड की कमी (भौतिकी)^[1]).

विकल्प

पृथक क्वांटम प्रणालियों के तापीकरण के लिए तीन वैकल्पिक स्पष्टीकरण अक्सर प्रस्तावित किए जाते हैं:

भौतिक रुचि की प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए, गुणांक $c_{\alpha }$ आइजेनस्टेट से आइजेनस्टेट तक बड़े उतार-चढ़ाव का प्रदर्शन, इस तरह से जो पूरी तरह से उतार-चढ़ाव के साथ सहसंबंध और निर्भरता है $A_{\alpha \alpha }$ आइजेनस्टेट से आइजेनस्टेट तक। क्योंकि गुणांक और मैट्रिक्स तत्व असंबद्ध हैं, विकर्ण संयोजन में योग प्रभावी ढंग से मूल्यों का निष्पक्ष नमूनाकरण (सांख्यिकी) कर रहा है $A_{\alpha \alpha }$ उपयुक्त ऊर्जा विंडो पर। पर्याप्त रूप से बड़ी प्रणाली के लिए, इस निष्पक्ष नमूने का परिणाम ऐसा मूल्य होना चाहिए जो मूल्यों के वास्तविक माध्य के करीब हो $A_{\alpha \alpha }$ इस विंडो पर, और माइक्रोकैनोनिकल समूह की भविष्यवाणी को प्रभावी ढंग से पुन: पेश करेगा। हालाँकि, इस तंत्र को निम्नलिखित अनुमानी कारणों से नापसंद किया जा सकता है। आमतौर पर, किसी को उन भौतिक स्थितियों में रुचि होती है जिनमें प्रारंभिक अपेक्षा मूल्य होता है ${\hat {A}}$ अपने संतुलन मान से बहुत दूर है। इसे सच होने के लिए, प्रारंभिक स्थिति में कुछ प्रकार की विशिष्ट जानकारी होनी चाहिए ${\hat {A}}$ , और इसलिए यह संदिग्ध हो जाता है कि प्रारंभिक स्थिति वास्तव में मूल्यों के निष्पक्ष नमूने का प्रतिनिधित्व करती है या नहीं $A_{\alpha \alpha }$ उपयुक्त ऊर्जा विंडो पर। इसके अलावा, यह सच है या नहीं, यह अभी भी इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि मनमानी प्रारंभिक अवस्थाएं कब संतुलन में आएंगी, यदि वे कभी आती हैं।
भौतिक रुचि की प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए, गुणांक $c_{\alpha }$ प्रभावी रूप से स्थिर हैं, और बिल्कुल भी उतार-चढ़ाव नहीं होता है। इस मामले में, विकर्ण पहनावा बिल्कुल माइक्रोकैनोनिकल पहनावा के समान है, और इसमें कोई रहस्य नहीं है कि उनकी भविष्यवाणियां समान क्यों हैं। हालाँकि, यह स्पष्टीकरण पहले वाले कारणों से ही प्रतिकूल है।
इंटीग्रेबल क्वांटम सिस्टम मापदंडों की सरल नियमित समय-निर्भरता की स्थिति के तहत थर्मलाइज़ करने के लिए सिद्ध होते हैं, जो सुझाव देते हैं कि ब्रह्मांड के ब्रह्माण्ड संबंधी विस्तार और गति के सबसे मौलिक समीकरणों की इंटीग्रैबिलिटी अंततः थर्मलाइज़ेशन के लिए जिम्मेदार हैं।^[8]

प्रत्याशा मूल्यों का अस्थायी उतार-चढ़ाव

ईटीएच अवलोकन योग्य के विकर्ण तत्वों पर जो शर्त लगाता है वह विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की भविष्यवाणियों की समानता के लिए जिम्मेदार है।^[6] हालाँकि, इन दीर्घकालिक औसतों की समानता यह गारंटी नहीं देती है कि इस औसत के आसपास समय में उतार-चढ़ाव छोटा होगा। अर्थात्, दीर्घकालिक औसत की समानता यह सुनिश्चित नहीं करती कि अपेक्षित मूल्य ${\hat {A}}$ इस दीर्घकालिक औसत मूल्य पर स्थिर हो जाएगा, और फिर अधिकांश समय तक वहीं रहेगा।

अपने समय-औसत के आसपास छोटे अस्थायी उतार-चढ़ाव प्रदर्शित करने के लिए अवलोकन योग्य अपेक्षा मूल्य के लिए आवश्यक शर्तों को कम करने के लिए, हम अस्थायी उतार-चढ़ाव के मूल-माध्य-वर्ग विचलन आयाम का अध्ययन करते हैं, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है^[6]:

${\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}dt,$

कहाँ $A_{t}$ के प्रत्याशा मूल्य के लिए आशुलिपि संकेतन है ${\hat {A}}$ समय पर टी. इस अभिव्यक्ति की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, और कोई इसे पा सकता है^[6]: ${\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}=\sum _{\alpha \neq \beta }|c_{\alpha }|^{2}|c_{\beta }|^{2}|A_{\alpha \beta }|^{2}.$

लंबे समय के औसत के बारे में अस्थायी उतार-चढ़ाव तब तक छोटा रहेगा जब तक ऑफ-विकर्ण तत्व ईटीएच द्वारा उन पर लगाई गई शर्तों को पूरा करते हैं, अर्थात् वे सिस्टम आकार में तेजी से छोटे हो जाते हैं।^[6]^[5] ध्यान दें कि यह स्थिति पृथक क्वांटम पुनरुद्धार की संभावना की अनुमति देती है, जिसमें लंबे समय के औसत से दूर बड़े उतार-चढ़ाव उत्पन्न करने के लिए चरण सुसंगत रूप से संरेखित होते हैं।^[4] सिस्टम लंबे समय के औसत से बहुत दूर जो समय व्यतीत करता है वह तब तक छोटा होने की गारंटी है जब तक उपरोक्त माध्य वर्ग आयाम पर्याप्त रूप से छोटा है।^[6]^[4] हालाँकि, यदि कोई प्रणाली गतिशील समरूपता प्रस्तुत करती है, तो यह समय-समय पर लंबे समय के औसत के आसपास दोलन करेगी।^[9]

क्वांटम उतार-चढ़ाव और थर्मल उतार-चढ़ाव

अवलोकन योग्य क्वांटम यांत्रिकी का अपेक्षित मूल्य औसत मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जिसे समान रूप से तैयार क्वांटम राज्यों के समूह पर बार-बार माप करने के बाद मापा जाएगा। इसलिए, जबकि हम इस अपेक्षा मूल्य को रुचि की मुख्य वस्तु के रूप में जांच रहे हैं, यह स्पष्ट नहीं है कि यह किस हद तक भौतिक रूप से प्रासंगिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। क्वांटम उतार-चढ़ाव के परिणामस्वरूप, किसी अवलोकन योग्य वस्तु का अपेक्षित मूल्य आमतौर पर वह नहीं होता है जो पृथक प्रणाली पर प्रयोग के दौरान मापा जाएगा। हालाँकि, यह दिखाया गया है कि ईटीएच को संतुष्ट करने के लिए, इसके अपेक्षित मूल्य में क्वांटम उतार-चढ़ाव आम तौर पर थर्मल उतार-चढ़ाव के समान परिमाण का होगा, जिसकी भविष्यवाणी पारंपरिक माइक्रोकैनोनिकल पहनावा में की जाएगी।^[6]^[5] इससे इस विचार को और बल मिलता है कि ईटीएच पृथक क्वांटम सिस्टम के थर्मलाइजेशन के लिए जिम्मेदार अंतर्निहित तंत्र है।

सामान्य वैधता

वर्तमान में, सामान्य इंटरैक्टिंग सिस्टम के लिए ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना की कोई ज्ञात विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति नहीं है।^[5] हालाँकि, इन विधियों की अनिश्चितता के भीतर, संख्यात्मक विश्लेषण सटीक विकर्णीय मैट्रिक्स तकनीकों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की इंटरैक्टिंग प्रणालियों के लिए इसे सच होने के लिए सत्यापित किया गया है।^[4]^[5] यह अर्धशास्त्रीय भौतिकी सीमा में कुछ विशेष मामलों में भी सच साबित हुआ है, जहां ईटीएच की वैधता शिनिरेलमैन के प्रमेय की वैधता पर निर्भर करती है, जिसमें कहा गया है कि प्रणाली में जो शास्त्रीय रूप से अराजक है, अपेक्षा मूल्य ऑपरेटर का ${\hat {A}}$ ऊर्जा ईजेनस्टेट में उचित ऊर्जा पर इसके शास्त्रीय, माइक्रोकैनोनिकल औसत के बराबर है।^[10] यह खुला प्रश्न बना हुआ है कि क्वांटम सिस्टम के इंटरेक्शन में इसे आम तौर पर सच दिखाया जा सकता है या नहीं। यह कुछ एकीकृत प्रणालियों में स्पष्ट रूप से विफल होने के लिए भी जाना जाता है, जिसमें बड़ी संख्या में गति के स्थिरांक की उपस्थिति थर्मलकरण को रोकती है।^[4]

यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ईटीएच प्रत्येक मामले के आधार पर विशिष्ट अवलोकन योग्य वस्तुओं के बारे में बयान देता है - यह इस बारे में कोई दावा नहीं करता है कि सिस्टम में प्रत्येक अवलोकन योग्य वस्तु ईटीएच का पालन करेगी या नहीं। वास्तव में, यह निश्चित रूप से सच नहीं हो सकता। ऊर्जा eigenstates के आधार को देखते हुए, कोई हमेशा स्पष्ट रूप से ऑपरेटर (भौतिकी) का निर्माण कर सकता है जो ETH का उल्लंघन करता है, बस इस आधार पर ऑपरेटर को मैट्रिक्स के रूप में लिखकर जिसके तत्व स्पष्ट रूप से ETH द्वारा लगाए गए शर्तों का पालन नहीं करते हैं। इसके विपरीत, ऐसे ऑपरेटरों को ढूंढना हमेशा संभव होता है जो ईटीएच को संतुष्ट करते हैं, मैट्रिक्स लिखकर जिसके तत्वों को विशेष रूप से ईटीएच का पालन करने के लिए चुना जाता है। इसके आलोक में, किसी को यह विश्वास हो सकता है कि ईटीएच अपनी उपयोगिता में कुछ हद तक तुच्छ है। हालाँकि, ध्यान में रखने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि इस प्रकार निर्मित इन ऑपरेटरों की कोई भौतिक प्रासंगिकता नहीं हो सकती है। हालाँकि कोई इन मैट्रिक्स का निर्माण कर सकता है, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि वे उन अवलोकनों के अनुरूप हैं जिन्हें किसी प्रयोग में वास्तविक रूप से मापा जा सकता है, या भौतिक रूप से दिलचस्प मात्राओं से कोई समानता हो सकती है। सिस्टम के हिल्बर्ट स्थान पर मनमाना हर्मिटियन ऑपरेटर को किसी ऐसी चीज़ के अनुरूप होने की आवश्यकता नहीं है जो भौतिक रूप से मापने योग्य अवलोकन योग्य हो।^[11]

आमतौर पर, ETH को कुछ-बॉडी ऑपरेटरों के लिए धारण करने के लिए माना जाता है,^[4] वे अवलोकन योग्य वस्तुएँ जिनमें केवल थोड़ी संख्या में कण शामिल होते हैं। इसके उदाहरणों में कणों की गैस में दिए गए संवेग का दूसरा परिमाणीकरण शामिल होगा,^[4]^[5] या कणों के हबर्ड मॉडल में किसी विशेष साइट का दूसरा परिमाणीकरण।^[5] ध्यान दें कि ETH आम तौर पर इन जैसे साधारण कुछ-बॉडी ऑपरेटरों पर लागू होता है,^[4] इन अवलोकनों को अंतरिक्ष में स्थानीयता का सिद्धांत होना आवश्यक नहीं है^[5]- उपरोक्त उदाहरण में संवेग कण संख्या ऑपरेटर स्थानीयता मात्रा के सिद्धांत का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।^[5]

उस मामले में भी काफी रुचि रही है जहां पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी की भविष्यवाणियों के बावजूद पृथक, गैर-अभिन्न क्वांटम सिस्टम थर्मलाइज़ करने में विफल रहते हैं। अव्यवस्थित प्रणालियाँ जो कई-निकाय स्थानीयकरण प्रदर्शित करती हैं, इस प्रकार के व्यवहार के लिए उम्मीदवार हैं, उत्तेजित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की संभावना के साथ जिनके थर्मोडायनामिक गुण अधिक निकटता से जमीनी अवस्थाओं से मिलते जुलते हैं।^[12]^[13] यह खुला प्रश्न बना हुआ है कि क्या स्थैतिक विकार के बिना पूरी तरह से पृथक, गैर-अभिन्न प्रणाली कभी भी थर्मलाइज़ करने में विफल हो सकती है। दिलचस्प संभावना क्वांटम विघटित तरल पदार्थों की प्राप्ति है।^[14] यह भी खुला प्रश्न है कि क्या सभी स्वदेशी राज्यों को थर्मलाइजिंग सिस्टम में ईटीएच का पालन करना चाहिए।

ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना अराजकता की क्वांटम प्रकृति से निकटता से जुड़ी हुई है (क्वांटम अराजकता देखें)। इसके अलावा, चूंकि शास्त्रीय रूप से अराजक प्रणाली भी एर्गोडिक है, इसके लगभग सभी प्रक्षेपवक्र अंततः संपूर्ण सुलभ चरण स्थान का समान रूप से पता लगाते हैं, जिसका अर्थ यह होगा कि क्वांटम अराजक प्रणाली के स्वदेशी कितनी अव्यवस्था है स्थान को अर्धशास्त्रीय में समान रूप से (यादृच्छिक उतार-चढ़ाव तक) भरते हैं। आप LIMIT $\hbar \rightarrow 0$ . विशेष रूप से, क्वांटम एर्गोडिसिटी है जो दर्शाती है कि ऑपरेटर की अपेक्षा मूल्य संबंधित माइक्रोकैनोनिकल शास्त्रीय औसत में परिवर्तित हो जाती है $\hbar \rightarrow 0$ . हालाँकि, क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय क्वांटम निशान जैसे गैर-एर्गोडिक राज्यों की संभावना को खोलता है। पारंपरिक घाव भरने के अलावा,^[15]^[16]^[17]^[18] क्वांटम स्कारिंग के दो अन्य प्रकार हैं, जो क्वांटम अराजक प्रणालियों में कमजोर-एर्गोडिसिटी ब्रेकिंग को और स्पष्ट करते हैं: गड़बड़ी-प्रेरित^[19]^[20]^[21]^[22]^[23] और कई-शरीर क्वांटम निशान।<रेफ नाम= टर्नर 745-749 >Turner, C. J.; Michailidis, A. A.; Abanin, D. A.; Serbyn, M.; Papić, Z. (July 2018). "क्वांटम कई-शरीर के निशानों से टूटने वाली कमजोर एर्गोडिसिटी". Nature Physics (in English). 14 (7): 745–749. Bibcode:2018NatPh..14..745T. doi:10.1038/s41567-018-0137-5. ISSN 1745-2481. S2CID 51681793.</ref> चूंकि पूर्व में विशेष लगभग-पतित अप्रभावित अवस्थाओं और गड़बड़ी की स्थानीय प्रकृति (संभावित बम्स) का संयुक्त प्रभाव उत्पन्न होता है,^[19]^[23]स्कारिंग अव्यवस्थित क्वांटम डॉट्स और कुओं में थर्मलाइजेशन प्रक्रिया को धीमा कर सकता है, जो इस तथ्य से और स्पष्ट होता है कि इन क्वांटम स्कार्स का उपयोग उच्च निष्ठा के साथ अव्यवस्थित नैनोस्ट्रक्चर में क्वांटम तरंग पैकेट को फैलाने के लिए किया जा सकता है।^[20] दूसरी ओर, घाव के बाद के रूप का अनुमान लगाया गया हैCite error: Invalid <ref> tag; invalid names, e.g. too many^[24] प्रयोगात्मक रूप से देखे गए ठंडे परमाणुओं के अप्रत्याशित रूप से धीमी गति से थर्मलकरण के पीछे दोषी होना।^[25]

यह भी देखें

संतुलन थर्मोडायनामिक्स
उतार-चढ़ाव अपव्यय प्रमेय
भौतिकी#सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्रकाशनों की सूची
गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स
संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी
सांख्यिकीय भौतिकी
कॉन्फ़िगरेशन एन्ट्रापी
अराजकता सिद्धांत
कठोर गोले
क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी
माइक्रोकैनोनिकल एन्सेम्बल
एच-प्रमेय
रुद्धोष्म प्रमेय

फ़ुटनोट

↑ Alternatively, the canonical ensemble can be employed in situations in which only the average energy of a system is known, and one wishes to find the particular probability distribution for the system's microstates which maximizes the entropy of the system. In either case, one assumes that reasonable physical predictions can be made about a system based on the knowledge of only a small number of physical quantities (energy, particle number, volume, etc.).
↑ As an intuitive explanation for why quantum chaos must be handled differently from classical chaos, some authors contrast the linearity of the Schrödinger equation to the non-linear nature of the equations of motion for classical chaotic systems, emphasizing in particular that the inner product between vectors in Hilbert space is preserved in contrast to the exponential separation between classical points in phase space. This is misleading, however, as the Schrödinger equation is equivalent to the von Neumann equation specialized to the case of pure state, and the von Neumann equation is directly analogous to the classical Liouville equations which is also linear. In other words, this apparent difference between quantum and classical mechanics is only an artifact of comparing different representations of the dynamical equations; once classical mechanics and quantum mechanics are put on equal footing, their dynamical equations are both linear, so that linearity per se cannot be responsible for the different tools necessary to study quantum versus classical chaos.

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बाहरी संबंध

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"The Eigenstate Thermalization Hypothesis" by Mark Srednicki, UCSB, KITP Rapid Response Workshop: Black Holes: Complementarity, Fuzz, or Fire?
"Quantum Disentangled Liquids" by Matthew P. A. Fisher, UCSB, KITP Conference: From the Renormalization Group to Quantum Gravity Celebrating the science of Joe Polchinski

[4] Alternatively, the canonical ensemble can be employed in situations in which only the average energy of a system is known, and one wishes to find the particular probability distribution for the system's microstates which maximizes the entropy of the system. In either case, one assumes that reasonable physical predictions can be made about a system based on the knowledge of only a small number of physical quantities (energy, particle number, volume, etc.).

[5] As an intuitive explanation for why quantum chaos must be handled differently from classical chaos, some authors contrast the linearity of the Schrödinger equation to the non-linear nature of the equations of motion for classical chaotic systems, emphasizing in particular that the inner product between vectors in Hilbert space is preserved in contrast to the exponential separation between classical points in phase space. This is misleading, however, as the Schrödinger equation is equivalent to the von Neumann equation specialized to the case of pure state, and the von Neumann equation is directly analogous to the classical Liouville equations which is also linear. In other words, this apparent difference between quantum and classical mechanics is only an artifact of comparing different representations of the dynamical equations; once classical mechanics and quantum mechanics are put on equal footing, their dynamical equations are both linear, so that linearity per se cannot be responsible for the different tools necessary to study quantum versus classical chaos.

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[2] Deutsch, J.M. (February 1991). "एक बंद प्रणाली में क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी". Physical Review A. 43 (4): 2046–2049. Bibcode:1991PhRvA..43.2046D. doi:10.1103/PhysRevA.43.2046. PMID 9905246.

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[QDL-16] Tarun Grover; Fisher, Matthew P. A. (2013). "क्वांटम विघटित तरल पदार्थ". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2014 (10): P10010. arXiv:1307.2288. Bibcode:2014JSMTE..10..010G. doi:10.1088/1742-5468/2014/10/P10010. S2CID 118646968.

[17] Heller, Eric J. (1984-10-15). "Bound-State Eigenfunctions of Classically Chaotic Hamiltonian Systems: Scars of Periodic Orbits". Physical Review Letters. 53 (16): 1515–1518. Bibcode:1984PhRvL..53.1515H. doi:10.1103/PhysRevLett.53.1515.

[18] Kaplan, L (1999-01-01). "क्वांटम अराजक तरंग कार्यों में निशान". Nonlinearity (in English). 12 (2): R1–R40. doi:10.1088/0951-7715/12/2/009. ISSN 0951-7715. S2CID 250793219.

[19] Kaplan, L.; Heller, E. J. (1998-04-10). "आइजेनफंक्शन स्कार्स का रैखिक और अरेखीय सिद्धांत". Annals of Physics (in English). 264 (2): 171–206. arXiv:chao-dyn/9809011. Bibcode:1998AnPhy.264..171K. doi:10.1006/aphy.1997.5773. ISSN 0003-4916. S2CID 120635994.

[20] Heller, Eric (June 5, 2018). डायनेमिक्स और स्पेक्ट्रोस्कोपी का अर्धशास्त्रीय तरीका. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-9029-3. OCLC 1104876980.

[:0-21] 19.0 ^19.1 Keski-Rahkonen, J.; Ruhanen, A.; Heller, E. J.; Räsänen, E. (2019-11-21). "क्वांटम लिसाजौस निशान". Physical Review Letters. 123 (21): 214101. arXiv:1911.09729. Bibcode:2019PhRvL.123u4101K. doi:10.1103/PhysRevLett.123.214101. PMID 31809168. S2CID 208248295.

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[23] Keski-Rahkonen, J.; Luukko, P. J. J.; Kaplan, L.; Heller, E. J.; Räsänen, E. (2017-09-20). "सेमीकंडक्टर क्वांटम डॉट्स में नियंत्रणीय क्वांटम निशान". Physical Review B. 96 (9): 094204. arXiv:1710.00585. Bibcode:2017PhRvB..96i4204K. doi:10.1103/PhysRevB.96.094204. S2CID 119083672.

[24] Keski-Rahkonen, J; Luukko, P J J; Åberg, S; Räsänen, E (2019-01-21). "अव्यवस्थित क्वांटम कुओं में क्वांटम अराजकता पर स्कारिंग के प्रभाव". Journal of Physics: Condensed Matter (in English). 31 (10): 105301. arXiv:1806.02598. Bibcode:2019JPCM...31j5301K. doi:10.1088/1361-648x/aaf9fb. ISSN 0953-8984. PMID 30566927. S2CID 51693305.

[:2-25] 23.0 ^23.1 Keski-Rahkonen, Joonas (2020). अव्यवस्थित द्वि-आयामी नैनोसंरचनाओं में क्वांटम अराजकता (in English). Tampere University. ISBN 978-952-03-1699-0.

[26] Turner, C. J.; Michailidis, A. A.; Abanin, D. A.; Serbyn, M.; Papić, Z. (2018-10-22). "Quantum scarred eigenstates in a Rydberg atom chain: Entanglement, breakdown of thermalization, and stability to perturbations". Physical Review B. 98 (15): 155134. arXiv:1806.10933. Bibcode:2018PhRvB..98o5134T. doi:10.1103/PhysRevB.98.155134. S2CID 51746325.

[27] Bernien, Hannes; Schwartz, Sylvain; Keesling, Alexander; Levine, Harry; Omran, Ahmed; Pichler, Hannes; Choi, Soonwon; Zibrov, Alexander S.; Endres, Manuel; Greiner, Markus; Vuletić, Vladan (November 2017). "Probing many-body dynamics on a 51-atom quantum simulator". Nature (in English). 551 (7682): 579–584. arXiv:1707.04344. Bibcode:2017Natur.551..579B. doi:10.1038/nature24622. ISSN 1476-4687. PMID 29189778. S2CID 205261845.

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 {{Short description|Hypothesis of quantum systems and when equilibrium statistical mechanics describes them accurately}}
-{{Use American English|date=January 2019}}
+ईजेनस्टेट [[ तापीकरण |तापीकरण]] परिकल्पना (या ईटीएच) विचारों का समूह है जो यह समझाने का इरादा रखता है कि कब और क्यों पृथक [[क्वांटम यांत्रिकी]] प्रणाली को संतुलन [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] का उपयोग करके सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह यह समझने के लिए समर्पित है कि जो प्रणालियाँ शुरू में संतुलन से दूर की स्थिति में तैयार की जाती हैं, वे समय के साथ ऐसी स्थिति में कैसे विकसित हो सकती हैं जो [[थर्मल संतुलन]] में प्रतीत होती है। ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन वाक्यांश पहली बार 1994 में मार्क स्रेडनिकी द्वारा गढ़ा गया था,<ref name="sred1">{{cite journal|author=Mark Srednicki|title=अराजकता और क्वांटम थर्मलाइजेशन|year=1994|bibcode=1994PhRvE..50..888S|doi=10.1103/PhysRevE.50.888|journal=Physical Review E|volume=50|issue=2|pages=888–901|pmid=9962049|arxiv=cond-mat/9403051v2|s2cid=16065583}}</ref> 1991 में जोश डॉयच द्वारा इसी तरह के विचार पेश किए जाने के बाद।<ref>{{cite journal|first=J.M.|last=Deutsch|title=एक बंद प्रणाली में क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी|journal=Physical Review A|volume=43|date=February 1991|pages=2046–2049|doi=10.1103/PhysRevA.43.2046|issue=4|pmid=9905246|bibcode = 1991PhRvA..43.2046D }}</ref> ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना में अंतर्निहित मुख्य दर्शन यह है कि कैओस सिद्धांत के तंत्र के माध्यम से [[थर्मोडायनामिक प्रणाली]] की [[ ergodicity |ergodicity]] को समझाने के बजाय, जैसा कि [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] में किया जाता है, व्यक्ति को व्यक्तिगत रूप से देखने योग्य मात्राओं के [[मैट्रिक्स (गणित)]] तत्वों के गुणों की जांच करनी चाहिए। सिस्टम की स्थिर स्थिति.
-{{Use mdy dates|date=January 2019}}
-ईजेनस्टेट [[ तापीकरण ]] परिकल्पना (या ईटीएच) विचारों का एक समूह है जो यह समझाने का इरादा रखता है कि कब और क्यों एक पृथक [[क्वांटम यांत्रिकी]] प्रणाली को संतुलन [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] का उपयोग करके सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह यह समझने के लिए समर्पित है कि जो प्रणालियाँ शुरू में संतुलन से दूर की स्थिति में तैयार की जाती हैं, वे समय के साथ ऐसी स्थिति में कैसे विकसित हो सकती हैं जो [[थर्मल संतुलन]] में प्रतीत होती है। ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन वाक्यांश पहली बार 1994 में मार्क स्रेडनिकी द्वारा गढ़ा गया था,<ref name="sred1">{{cite journal|author=Mark Srednicki|title=अराजकता और क्वांटम थर्मलाइजेशन|year=1994|bibcode=1994PhRvE..50..888S|doi=10.1103/PhysRevE.50.888|journal=Physical Review E|volume=50|issue=2|pages=888–901|pmid=9962049|arxiv=cond-mat/9403051v2|s2cid=16065583}}</ref> 1991 में जोश डॉयच द्वारा इसी तरह के विचार पेश किए जाने के बाद।<ref>{{cite journal|first=J.M.|last=Deutsch|title=एक बंद प्रणाली में क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी|journal=Physical Review A|volume=43|date=February 1991|pages=2046–2049|doi=10.1103/PhysRevA.43.2046|issue=4|pmid=9905246|bibcode = 1991PhRvA..43.2046D }}</ref> ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना में अंतर्निहित मुख्य दर्शन यह है कि कैओस सिद्धांत के तंत्र के माध्यम से [[थर्मोडायनामिक प्रणाली]] की [[ ergodicity ]] को समझाने के बजाय, जैसा कि [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] में किया जाता है, व्यक्ति को व्यक्तिगत रूप से देखने योग्य मात्राओं के [[मैट्रिक्स (गणित)]] तत्वों के गुणों की जांच करनी चाहिए। सिस्टम की स्थिर स्थिति.
 == प्रेरणा ==
-सांख्यिकीय यांत्रिकी में, [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा]] एक विशेष [[सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी)]] है जिसका उपयोग पृथक प्रणालियों पर किए गए प्रयोगों के परिणामों के बारे में भविष्यवाणियां करने के लिए किया जाता है, जिनके बारे में माना जाता है कि वे बिल्कुल ज्ञात ऊर्जा के साथ संतुलन में हैं। माइक्रोकैनोनिकल पहनावा इस धारणा पर आधारित है कि, जब ऐसी संतुलित प्रणाली की जांच की जाती है, तो समान कुल ऊर्जा के साथ किसी भी सूक्ष्म अवस्था में पाए जाने की संभावना समान होती है।<ref name="reichl">{{cite book|last=Reichl |first=Linda E.|authorlink= Linda Reichl |year=2009|title=सांख्यिकीय भौतिकी में एक आधुनिक पाठ्यक्रम|edition=3rd|publisher=Wiley-VCH|isbn=978-3527407828}}</ref> इस धारणा के साथ,<ref group=footnote>Alternatively, the [[canonical ensemble]] can be employed in situations in which only the ''average'' energy of a system is known, and one wishes to find the particular probability distribution for the system's microstates which maximizes the [[entropy]] of the system. In either case, one assumes that reasonable physical predictions can be made about a system based on the knowledge of only a small number of physical quantities (energy, particle number, volume, etc.).</ref> किसी अवलोकन योग्य मात्रा का समुच्चय औसत उस अवलोकन योग्य मूल्य के औसत से पाया जाता है <math>A_i</math> सभी माइक्रोस्टेट्स पर <math>i</math> सही कुल ऊर्जा के साथ:<ref name="reichl" />
+सांख्यिकीय यांत्रिकी में, [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा]] विशेष [[सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी)]] है जिसका उपयोग पृथक प्रणालियों पर किए गए प्रयोगों के परिणामों के बारे में भविष्यवाणियां करने के लिए किया जाता है, जिनके बारे में माना जाता है कि वे बिल्कुल ज्ञात ऊर्जा के साथ संतुलन में हैं। माइक्रोकैनोनिकल पहनावा इस धारणा पर आधारित है कि, जब ऐसी संतुलित प्रणाली की जांच की जाती है, तो समान कुल ऊर्जा के साथ किसी भी सूक्ष्म अवस्था में पाए जाने की संभावना समान होती है।<ref name="reichl">{{cite book|last=Reichl |first=Linda E.|authorlink= Linda Reichl |year=2009|title=सांख्यिकीय भौतिकी में एक आधुनिक पाठ्यक्रम|edition=3rd|publisher=Wiley-VCH|isbn=978-3527407828}}</ref> इस धारणा के साथ,<ref group=footnote>Alternatively, the [[canonical ensemble]] can be employed in situations in which only the ''average'' energy of a system is known, and one wishes to find the particular probability distribution for the system's microstates which maximizes the [[entropy]] of the system. In either case, one assumes that reasonable physical predictions can be made about a system based on the knowledge of only a small number of physical quantities (energy, particle number, volume, etc.).</ref> किसी अवलोकन योग्य मात्रा का समुच्चय औसत उस अवलोकन योग्य मूल्य के औसत से पाया जाता है <math>A_i</math> सभी माइक्रोस्टेट्स पर <math>i</math> सही कुल ऊर्जा के साथ:<ref name="reichl" />
 :<math>\bar{A}_{\mathrm{classical}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N A_i</math>
 महत्वपूर्ण बात यह है कि यह मात्रा अपनी ऊर्जा को छोड़कर प्रारंभिक अवस्था के बारे में हर चीज़ से स्वतंत्र है।
-गतिशील कैओस सिद्धांत के परिणामस्वरूप शास्त्रीय यांत्रिकी में एर्गोडिसिटी की धारणाएं अच्छी तरह से प्रेरित हैं, क्योंकि एक अराजक प्रणाली आम तौर पर अपने [[चरण स्थान]] के समान क्षेत्रों में समान समय बिताएगी।<ref name="reichl" />यदि हम इसके चरण स्थान के कुछ क्षेत्र में एक पृथक, अराजक, शास्त्रीय प्रणाली तैयार करते हैं, तो जैसे ही प्रणाली को समय के साथ विकसित होने की अनुमति दी जाती है, यह केवल कुछ ही संरक्षण कानूनों (जैसे कि संरक्षण) के अधीन, अपने पूरे चरण स्थान का नमूना लेगा कुल ऊर्जा का) यदि कोई इस दावे को सही ठहरा सकता है कि दी गई भौतिक प्रणाली अर्गोडिक है, तो यह तंत्र इस बात का स्पष्टीकरण प्रदान करेगा कि सांख्यिकीय यांत्रिकी सटीक भविष्यवाणियां करने में सफल क्यों है। उदाहरण के लिए, कठोर क्षेत्रों को कठोरता से एर्गोडिक साबित किया गया है।<ref name="reichl" />
+गतिशील कैओस सिद्धांत के परिणामस्वरूप शास्त्रीय यांत्रिकी में एर्गोडिसिटी की धारणाएं अच्छी तरह से प्रेरित हैं, क्योंकि अराजक प्रणाली आम तौर पर अपने [[चरण स्थान]] के समान क्षेत्रों में समान समय बिताएगी।<ref name="reichl" /> यदि हम इसके चरण स्थान के कुछ क्षेत्र में पृथक, अराजक, शास्त्रीय प्रणाली तैयार करते हैं, तो जैसे ही प्रणाली को समय के साथ विकसित होने की अनुमति दी जाती है, यह केवल कुछ ही संरक्षण कानूनों (जैसे कि संरक्षण) के अधीन, अपने पूरे चरण स्थान का नमूना लेगा कुल ऊर्जा का) यदि कोई इस दावे को सही ठहरा सकता है कि दी गई भौतिक प्रणाली अर्गोडिक है, तो यह तंत्र इस बात का स्पष्टीकरण प्रदान करेगा कि सांख्यिकीय यांत्रिकी सटीक भविष्यवाणियां करने में सफल क्यों है। उदाहरण के लिए, कठोर क्षेत्रों को कठोरता से एर्गोडिक साबित किया गया है।<ref name="reichl" />
 इस तर्क को सीधे तौर पर क्वांटम प्रणालियों तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यहां तक कि वे भी जो अराजक शास्त्रीय प्रणालियों के अनुरूप हैं, क्योंकि क्वांटम प्रणाली का समय विकास किसी दी गई ऊर्जा के साथ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में सभी वैक्टरों का समान रूप से नमूना नहीं लेता है।<ref group=footnote>As an intuitive explanation for why quantum chaos must be handled differently from classical chaos, some authors contrast the linearity of the [[Schrödinger equation]] to the non-linear nature of the equations of motion for classical chaotic systems, emphasizing in particular that the inner product between vectors in Hilbert space is preserved in contrast to the exponential separation between classical points in phase space.  This is misleading, however, as the Schrödinger equation is equivalent to the [[Density matrix#The von Neumann equation for time evolution|von Neumann equation]] specialized to the case of pure state, and the von Neumann equation is directly analogous to the classical Liouville equations which is ''also'' linear.  In other words, this apparent difference between quantum and classical mechanics is only an artifact of comparing different representations of the dynamical equations; once classical mechanics and quantum mechanics are put on equal footing, their dynamical equations are both linear, so that linearity per se cannot be responsible for the different tools necessary to study quantum versus classical chaos.</ref> ऊर्जा [[eigenstate]]s के आधार पर समय शून्य पर स्थिति को देखते हुए
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 अपेक्षा मान गुणांकों के रूप में प्रारंभिक अवस्था का ज्ञान स्थायी रूप से बनाए रखता है <math>c_{\alpha}</math>.
-सिद्धांत रूप में यह एक खुला प्रश्न है कि क्या एक पृथक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली, जो एक मनमाना प्रारंभिक अवस्था में तैयार की गई है, एक ऐसी स्थिति तक पहुंच जाएगी जो थर्मल संतुलन से मिलती जुलती है, जिसमें सिस्टम के बारे में सफल भविष्यवाणियां करने के लिए मुट्ठी भर अवलोकन पर्याप्त हैं। हालाँकि, संघनित पदार्थ भौतिकी # शीत परमाणु गैसों में विभिन्न प्रकार के प्रयोगों ने वास्तव में उन प्रणालियों में थर्मल छूट देखी है जो, एक बहुत अच्छे अनुमान के अनुसार, अपने पर्यावरण से पूरी तरह से अलग हैं, और प्रारंभिक अवस्थाओं की एक विस्तृत श्रेणी के लिए हैं।<ref name="AET" /><ref name="IQS" />पृथक क्वांटम प्रणालियों के लिए संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी की इस प्रयोगात्मक रूप से देखी गई प्रयोज्यता को समझाने का कार्य ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का प्राथमिक लक्ष्य है।
+सिद्धांत रूप में यह खुला प्रश्न है कि क्या पृथक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली, जो मनमाना प्रारंभिक अवस्था में तैयार की गई है, ऐसी स्थिति तक पहुंच जाएगी जो थर्मल संतुलन से मिलती जुलती है, जिसमें सिस्टम के बारे में सफल भविष्यवाणियां करने के लिए मुट्ठी भर अवलोकन पर्याप्त हैं। हालाँकि, संघनित पदार्थ भौतिकी # शीत परमाणु गैसों में विभिन्न प्रकार के प्रयोगों ने वास्तव में उन प्रणालियों में थर्मल छूट देखी है जो, बहुत अच्छे अनुमान के अनुसार, अपने पर्यावरण से पूरी तरह से अलग हैं, और प्रारंभिक अवस्थाओं की विस्तृत श्रेणी के लिए हैं।<ref name="AET" /><ref name="IQS" /> पृथक क्वांटम प्रणालियों के लिए संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी की इस प्रयोगात्मक रूप से देखी गई प्रयोज्यता को समझाने का कार्य ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का प्राथमिक लक्ष्य है।
 == कथन ==
-मान लीजिए कि हम एक पृथक, [[क्वांटम यांत्रिकी]] अनेक-निकाय समस्या|अनेक-निकाय प्रणाली का अध्ययन कर रहे हैं। इस संदर्भ में, पृथक का तात्पर्य इस तथ्य से है कि सिस्टम का अपने बाहरी वातावरण के साथ कोई (या कम से कम नगण्य) इंटरैक्शन नहीं है। यदि सिस्टम के [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] को दर्शाया गया है <math>\hat{H}</math>, तो सिस्टम के लिए एक [[ऑर्थोनॉर्मल आधार]] हैमिल्टनियन के स्वदेशी के संदर्भ में दिया गया है,
+मान लीजिए कि हम पृथक, [[क्वांटम यांत्रिकी]] अनेक-निकाय समस्या|अनेक-निकाय प्रणाली का अध्ययन कर रहे हैं। इस संदर्भ में, पृथक का तात्पर्य इस तथ्य से है कि सिस्टम का अपने बाहरी वातावरण के साथ कोई (या कम से कम नगण्य) इंटरैक्शन नहीं है। यदि सिस्टम के [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] को दर्शाया गया है <math>\hat{H}</math>, तो सिस्टम के लिए [[ऑर्थोनॉर्मल आधार]] हैमिल्टनियन के स्वदेशी के संदर्भ में दिया गया है,
 : <math>
 \hat{H} |E_{\alpha} \rangle = E_{\alpha}|E_{\alpha} \rangle ,
 </math>
-कहाँ <math>|E_{\alpha} \rangle</math> [[eigenvalue]] के साथ हैमिल्टनियन का आइजेनस्टेट है <math>E_{\alpha} </math>. हम इन अवस्थाओं को केवल ऊर्जा eigenstates के रूप में संदर्भित करेंगे। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि सिस्टम में कोई डीजेनरेट ऊर्जा स्तर नहीं है, और यह सीमा में सीमित है, ताकि ऊर्जा आइगेनवैल्यू एक अलग, गैर-डीजेनरेट स्पेक्ट्रम बना सके (यह एक अनुचित धारणा नहीं है, क्योंकि कोई भी वास्तविक प्रयोगशाला प्रणाली होगी) प्रणाली से लगभग सभी विकृति को खत्म करने के लिए पर्याप्त अव्यवस्था और मजबूत अंतःक्रियाएं होती हैं, और निश्चित रूप से आकार में सीमित होगी<ref name="sred2">{{cite journal|author=Mark Srednicki|title=परिमाणित अराजक प्रणालियों में तापीय संतुलन का दृष्टिकोण|year=1999|doi=10.1088/0305-4470/32/7/007|journal=Journal of Physics A: Mathematical and General|volume=32|issue=7|pages=1163–1175|arxiv=cond-mat/9809360|bibcode = 1999JPhA...32.1163S |s2cid=15771750}}</ref>). यह हमें बढ़ती ऊर्जा स्वदेशी के क्रम में ऊर्जा स्वदेशी राज्यों को लेबल करने की अनुमति देता है। इसके अतिरिक्त, कुछ अन्य क्वांटम-मैकेनिकल अवलोकनीय पर भी विचार करें <math>\hat{A}</math>, जिसके बारे में हम थर्मल भविष्यवाणियां करना चाहते हैं। इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स तत्व, जैसा कि ऊर्जा आइजेनस्टेट्स के आधार पर व्यक्त किया गया है, द्वारा दर्शाया जाएगा
+कहाँ <math>|E_{\alpha} \rangle</math> [[eigenvalue]] के साथ हैमिल्टनियन का आइजेनस्टेट है <math>E_{\alpha} </math>. हम इन अवस्थाओं को केवल ऊर्जा eigenstates के रूप में संदर्भित करेंगे। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि सिस्टम में कोई डीजेनरेट ऊर्जा स्तर नहीं है, और यह सीमा में सीमित है, ताकि ऊर्जा आइगेनवैल्यू अलग, गैर-डीजेनरेट स्पेक्ट्रम बना सके (यह अनुचित धारणा नहीं है, क्योंकि कोई भी वास्तविक प्रयोगशाला प्रणाली होगी) प्रणाली से लगभग सभी विकृति को खत्म करने के लिए पर्याप्त अव्यवस्था और मजबूत अंतःक्रियाएं होती हैं, और निश्चित रूप से आकार में सीमित होगी<ref name="sred2">{{cite journal|author=Mark Srednicki|title=परिमाणित अराजक प्रणालियों में तापीय संतुलन का दृष्टिकोण|year=1999|doi=10.1088/0305-4470/32/7/007|journal=Journal of Physics A: Mathematical and General|volume=32|issue=7|pages=1163–1175|arxiv=cond-mat/9809360|bibcode = 1999JPhA...32.1163S |s2cid=15771750}}</ref>). यह हमें बढ़ती ऊर्जा स्वदेशी के क्रम में ऊर्जा स्वदेशी राज्यों को लेबल करने की अनुमति देता है। इसके अतिरिक्त, कुछ अन्य क्वांटम-मैकेनिकल अवलोकनीय पर भी विचार करें <math>\hat{A}</math>, जिसके बारे में हम थर्मल भविष्यवाणियां करना चाहते हैं। इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स तत्व, जैसा कि ऊर्जा आइजेनस्टेट्स के आधार पर व्यक्त किया गया है, द्वारा दर्शाया जाएगा
 : <math>
 A_{\alpha \beta} \equiv \langle E_{\alpha} | \hat{A} | E_{\beta} \rangle .
 </math>
-अब हम कल्पना करते हैं कि हम अपने सिस्टम को प्रारंभिक अवस्था में तैयार करते हैं जिसके लिए [[अपेक्षित मूल्य]] है <math>\hat{A}</math> विचाराधीन ऊर्जा पैमाने के लिए उपयुक्त [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा]] में अनुमानित इसके मूल्य से बहुत दूर है (हम मानते हैं कि हमारी प्रारंभिक स्थिति ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की कुछ [[ क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन ]] है जो ऊर्जा में पर्याप्त रूप से करीब हैं)। ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना कहती है कि एक मनमानी प्रारंभिक अवस्था के लिए, अपेक्षित मूल्य <math>\hat{A}</math> अंततः एक माइक्रोकैनोनिकल समूह द्वारा अनुमानित मूल्य के अनुसार समय के साथ विकसित होगा, और उसके बाद उस मूल्य के आसपास केवल छोटे उतार-चढ़ाव प्रदर्शित होंगे, बशर्ते कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी हों:<ref name="AET">{{cite journal|author1=Marcos Rigol|first2=Mark|last2=Srednicki|title=आइजेनस्टेट थर्मलाइजेशन के विकल्प|year=2012|doi=10.1103/PhysRevLett.108.110601|journal=Physical Review Letters|volume=108|issue=11|arxiv=1108.0928|bibcode = 2012PhRvL.108k0601R|pmid=22540449|page=110601|s2cid=20474607}}</ref>
+अब हम कल्पना करते हैं कि हम अपने सिस्टम को प्रारंभिक अवस्था में तैयार करते हैं जिसके लिए [[अपेक्षित मूल्य]] है <math>\hat{A}</math> विचाराधीन ऊर्जा पैमाने के लिए उपयुक्त [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा]] में अनुमानित इसके मूल्य से बहुत दूर है (हम मानते हैं कि हमारी प्रारंभिक स्थिति ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की कुछ [[ क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन |क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन]] है जो ऊर्जा में पर्याप्त रूप से करीब हैं)। ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना कहती है कि मनमानी प्रारंभिक अवस्था के लिए, अपेक्षित मूल्य <math>\hat{A}</math> अंततः माइक्रोकैनोनिकल समूह द्वारा अनुमानित मूल्य के अनुसार समय के साथ विकसित होगा, और उसके बाद उस मूल्य के आसपास केवल छोटे उतार-चढ़ाव प्रदर्शित होंगे, बशर्ते कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी हों:<ref name="AET">{{cite journal|author1=Marcos Rigol|first2=Mark|last2=Srednicki|title=आइजेनस्टेट थर्मलाइजेशन के विकल्प|year=2012|doi=10.1103/PhysRevLett.108.110601|journal=Physical Review Letters|volume=108|issue=11|arxiv=1108.0928|bibcode = 2012PhRvL.108k0601R|pmid=22540449|page=110601|s2cid=20474607}}</ref>
-# विकर्ण मैट्रिक्स तत्व <math>A_{\alpha \alpha}</math> पड़ोसी मूल्यों के बीच अंतर के साथ, ऊर्जा के एक कार्य के रूप में आसानी से भिन्न होता है, <math>A_{\alpha + 1,\alpha + 1} - A_{\alpha,\alpha}</math>, सिस्टम आकार में तेजी से छोटा होता जा रहा है।
+# विकर्ण मैट्रिक्स तत्व <math>A_{\alpha \alpha}</math> पड़ोसी मूल्यों के बीच अंतर के साथ, ऊर्जा के कार्य के रूप में आसानी से भिन्न होता है, <math>A_{\alpha + 1,\alpha + 1} - A_{\alpha,\alpha}</math>, सिस्टम आकार में तेजी से छोटा होता जा रहा है।
 # ऑफ-विकर्ण मैट्रिक्स तत्व <math>A_{\alpha \beta}</math>, साथ <math>\alpha \neq \beta</math>, विकर्ण मैट्रिक्स तत्वों की तुलना में बहुत छोटे हैं, और विशेष रूप से सिस्टम आकार में स्वयं तेजी से छोटे हैं।
 इन शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है
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 A_{\alpha\beta} \simeq \overline{A}\delta_{\alpha\beta}+\sqrt{\frac{\overline{A^2}}{\mathcal{D}}}R_{\alpha\beta},
 </math>
-कहाँ <math>\overline{A}=\overline{A}(E_\alpha)</math> और <math>\overline{A^2}=\overline{A^2}(E_\alpha,E_\beta)</math> ऊर्जा के सुचारू कार्य हैं, <math>\mathcal{D}=e^{sV}</math> बहु-निकाय हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम है, और <math>R_{\alpha\beta}</math> शून्य माध्य और इकाई विचरण वाला एक यादृच्छिक चर है। इसके विपरीत यदि एक क्वांटम कई-निकाय प्रणाली ईटीएच को संतुष्ट करती है, तो ऊर्जा ईजिन आधार में किसी भी स्थानीय ऑपरेटर के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व से उपरोक्त एंसैट्ज़ का पालन करने की उम्मीद की जाती है।
+कहाँ <math>\overline{A}=\overline{A}(E_\alpha)</math> और <math>\overline{A^2}=\overline{A^2}(E_\alpha,E_\beta)</math> ऊर्जा के सुचारू कार्य हैं, <math>\mathcal{D}=e^{sV}</math> बहु-निकाय हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम है, और <math>R_{\alpha\beta}</math> शून्य माध्य और इकाई विचरण वाला यादृच्छिक चर है। इसके विपरीत यदि क्वांटम कई-निकाय प्रणाली ईटीएच को संतुष्ट करती है, तो ऊर्जा ईजिन आधार में किसी भी स्थानीय ऑपरेटर के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व से उपरोक्त एंसैट्ज़ का पालन करने की उम्मीद की जाती है।
 == विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की समतुल्यता ==
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 \overline{A} = \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\left [ \sum_{\alpha, \beta=1}^{D}c_{\alpha}^{*}c_{\beta} A_{\alpha \beta} e^{-i \left (E_{\beta} - E_{\alpha} \right )t/\hbar} \right ]~ dt.
 </math>
-इस अभिव्यक्ति में [[ अभिन्न ]] को स्पष्ट रूप से निष्पादित किया जा सकता है, और परिणाम है
+इस अभिव्यक्ति में [[ अभिन्न |अभिन्न]] को स्पष्ट रूप से निष्पादित किया जा सकता है, और परिणाम है
 : <math>
 \overline{A} = \sum_{\alpha=1}^{D}|c_{\alpha}|^{2}A_{\alpha \alpha} + i \hbar \lim_{\tau \to \infty} \left [ \sum_{\alpha \neq \beta}^{D} \frac{c_{\alpha}^{*}c_{\beta}A_{\alpha \beta}}{E_{\beta}-E_{\alpha}}\left ( \frac{e^{-i \left (E_{\beta} - E_{\alpha} \right )\tau/\hbar}-1}{\tau} \right ) \right ].
 </math>
-जैसे-जैसे सीमा को अनंत तक ले जाया जाएगा, दूसरे योग में प्रत्येक पद छोटा हो जाएगा। यह मानते हुए कि दूसरे योग में विभिन्न घातीय शर्तों के बीच चरण (तरंगें) कभी भी इस क्षय का मुकाबला करने के लिए पर्याप्त बड़ा नहीं हो जाता है, दूसरा योग शून्य हो जाएगा, और हम पाते हैं कि उम्मीद मूल्य का दीर्घकालिक औसत दिया गया है द्वारा<ref name="sred2" />: <math>
+जैसे-जैसे सीमा को अनंत तक ले जाया जाएगा, दूसरे योग में प्रत्येक पद छोटा हो जाएगा। यह मानते हुए कि दूसरे योग में विभिन्न घातीय शर्तों के बीच चरण (तरंगें) कभी भी इस क्षय का मुकाबला करने के लिए पर्याप्त बड़ा नहीं हो जाता है, दूसरा योग शून्य हो जाएगा, और हम पाते हैं कि उम्मीद मूल्य का दीर्घकालिक औसत दिया गया है द्वारा<ref name="sred2" />:
+<math>
 \overline{A} = \sum_{\alpha=1}^{D}|c_{\alpha}|^{2}A_{\alpha \alpha}.
 </math>
 अवलोकनीय के समय-औसत के लिए यह भविष्यवाणी <math>\hat A</math> इसे विकर्ण समुच्चय में इसके अनुमानित मूल्य के रूप में जाना जाता है,<ref name="ILS">{{cite journal|author1=Amy C. Cassidy|first2=Charles W.|last2=Clark|first3=Marcos|last3=Rigol|title=इंटीग्रेबल लैटिस सिस्टम में सामान्यीकृत थर्मलाइजेशन|year=2011|doi=10.1103/PhysRevLett.106.140405|journal=Physical Review Letters|volume=106|issue=14|arxiv=1008.4794|bibcode = 2011PhRvL.106n0405C|pmid=21561173|page=140405|s2cid=11926058}}</ref> विकर्ण संयोजन का सबसे महत्वपूर्ण पहलू यह है कि यह स्पष्ट रूप से सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करता है, और इसलिए ऐसा प्रतीत होता है कि यह सिस्टम की तैयारी के संबंध में सभी जानकारी को बरकरार रखता है। इसके विपरीत, माइक्रोकैनोनिकल संयोजन में अनुमानित मूल्य सिस्टम की औसत ऊर्जा के आसपास केंद्रित कुछ ऊर्जा विंडो के भीतर सभी ऊर्जा ईजेनस्टेट्स पर समान रूप से भारित औसत द्वारा दिया जाता है।<ref name="IQS">{{cite journal|author1=Marcos Rigol|first2=Vanja|last2=Dunjko|first3=Maxim|last3=Olshanii|title=जेनेरिक पृथक क्वांटम सिस्टम के लिए थर्मलाइजेशन और इसका तंत्र|year=2009|doi=10.1038/nature06838|journal=Nature|volume=452|issue=7189|pages=854–8|pmid=18421349|arxiv=0708.1324|bibcode = 2008Natur.452..854R |s2cid=4384040}}</ref>
 : <math>
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 कहाँ <math>\mathcal{N}</math> उपयुक्त ऊर्जा विंडो में राज्यों की संख्या है, और योग सूचकांकों पर प्राइम इंगित करता है कि योग इस उपयुक्त माइक्रोकैनोनिकल विंडो तक ही सीमित है। विकर्ण संयोजन के विपरीत, यह भविष्यवाणी प्रणाली की प्रारंभिक स्थिति का बिल्कुल भी संदर्भ नहीं देती है। इस वजह से, यह स्पष्ट नहीं है कि माइक्रोकैनोनिकल समूह को भौतिक प्रणालियों की इतनी विस्तृत विविधता में अवलोकन योग्य वस्तुओं के लंबे समय के औसत का इतना सटीक विवरण क्यों प्रदान करना चाहिए।
-हालाँकि, मान लीजिए कि मैट्रिक्स तत्व <math>A_{\alpha \alpha}</math> प्रासंगिक ऊर्जा विंडो पर प्रभावी रूप से स्थिर हैं, उतार-चढ़ाव पर्याप्त रूप से छोटे हैं। यदि यह सत्य है, तो इस एक स्थिर मान A को योग से प्रभावी ढंग से निकाला जा सकता है, और विकर्ण संयोजन की भविष्यवाणी बस इस मान के बराबर है,
+हालाँकि, मान लीजिए कि मैट्रिक्स तत्व <math>A_{\alpha \alpha}</math> प्रासंगिक ऊर्जा विंडो पर प्रभावी रूप से स्थिर हैं, उतार-चढ़ाव पर्याप्त रूप से छोटे हैं। यदि यह सत्य है, तो इस स्थिर मान A को योग से प्रभावी ढंग से निकाला जा सकता है, और विकर्ण संयोजन की भविष्यवाणी बस इस मान के बराबर है,
 : <math>
 \overline{A} = \sum_{\alpha=1}^{D}|c_{\alpha}|^{2}A_{\alpha \alpha} \approx A\sum_{\alpha=1}^{D}|c_{\alpha}|^{2} = A,
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 इसलिए दोनों समूह सहमत हैं।
-के मूल्यों की यह स्थिरता <math>A_{\alpha \alpha}</math> छोटी ऊर्जा खिड़कियों पर ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का अंतर्निहित प्राथमिक विचार है। ध्यान दें कि विशेष रूप से, यह बताता है कि अपेक्षा का मूल्य <math>\hat A</math> एकल ऊर्जा ईजेनस्टेट में उस ऊर्जा पैमाने पर निर्मित एक माइक्रोकैनोनिकल पहनावा द्वारा अनुमानित मूल्य के बराबर है। यह क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए एक आधार का गठन करता है जो कि गतिशील एर्गोडिसिटी की धारणाओं पर निर्मित से मौलिक रूप से भिन्न है।<ref name="sred1" />
+के मूल्यों की यह स्थिरता <math>A_{\alpha \alpha}</math> छोटी ऊर्जा खिड़कियों पर ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का अंतर्निहित प्राथमिक विचार है। ध्यान दें कि विशेष रूप से, यह बताता है कि अपेक्षा का मूल्य <math>\hat A</math> एकल ऊर्जा ईजेनस्टेट में उस ऊर्जा पैमाने पर निर्मित माइक्रोकैनोनिकल पहनावा द्वारा अनुमानित मूल्य के बराबर है। यह क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए आधार का गठन करता है जो कि गतिशील एर्गोडिसिटी की धारणाओं पर निर्मित से मौलिक रूप से भिन्न है।<ref name="sred1" />
 == टेस्ट ==
-छोटी जाली प्रणालियों के कई संख्यात्मक अध्ययन अंतःक्रियात्मक प्रणालियों में ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना की भविष्यवाणियों की अस्थायी रूप से पुष्टि करते प्रतीत होते हैं, जिनसे थर्मलाइजेशन की उम्मीद की जाएगी।<ref name="IQS" />इसी तरह, जो सिस्टम इंटीग्रेबल हैं, वे ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का पालन नहीं करते हैं।<ref name="IQS" />
+छोटी जाली प्रणालियों के कई संख्यात्मक अध्ययन अंतःक्रियात्मक प्रणालियों में ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना की भविष्यवाणियों की अस्थायी रूप से पुष्टि करते प्रतीत होते हैं, जिनसे थर्मलाइजेशन की उम्मीद की जाएगी।<ref name="IQS" /> इसी तरह, जो सिस्टम इंटीग्रेबल हैं, वे ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का पालन नहीं करते हैं।<ref name="IQS" />
-यदि कोई अत्यधिक उत्तेजित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की प्रकृति के बारे में कुछ निश्चित धारणाएँ बना ले तो कुछ विश्लेषणात्मक परिणाम भी प्राप्त किए जा सकते हैं। मार्क स्रेडनिकी द्वारा ईटीएच पर 1994 के मूल पेपर में, विशेष रूप से, एक इंसुलेटेड बॉक्स में क्वांटम हार्ड गोले के उदाहरण का अध्ययन किया गया था। यह एक ऐसी प्रणाली है जो शास्त्रीय रूप से अराजकता प्रदर्शित करने के लिए जानी जाती है।<ref name="sred1" />पर्याप्त रूप से उच्च ऊर्जा की स्थिति के लिए, बेरी के अनुमान में कहा गया है कि कठोर गोले के कणों की इस कई-शरीर प्रणाली में ऊर्जा eigenfunctions विमान तरंगों के क्वांटम सुपरपोजिशन के रूप में व्यवहार करती दिखाई देगी, जिसमें विमान तरंगें यादृच्छिक चरणों और [[सामान्य वितरण]] के साथ क्वांटम सुपरपोजिशन में प्रवेश करती हैं। गाऊसी -वितरित आयाम<ref name="sred1" />(इस यादृच्छिक सुपरपोजिशन की सटीक धारणा पेपर में स्पष्ट की गई है)। इस धारणा के तहत, कोई यह दिखा सकता है कि, [[थर्मोडायनामिक सीमा]] में नगण्य रूप से छोटे सुधारों तक, प्रत्येक व्यक्ति, अलग-अलग कण के लिए [[गति]] वितरण फ़ंक्शन मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण के बराबर है<ref name="sred1" />: <math>
+यदि कोई अत्यधिक उत्तेजित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की प्रकृति के बारे में कुछ निश्चित धारणाएँ बना ले तो कुछ विश्लेषणात्मक परिणाम भी प्राप्त किए जा सकते हैं। मार्क स्रेडनिकी द्वारा ईटीएच पर 1994 के मूल पेपर में, विशेष रूप से, इंसुलेटेड बॉक्स में क्वांटम हार्ड गोले के उदाहरण का अध्ययन किया गया था। यह ऐसी प्रणाली है जो शास्त्रीय रूप से अराजकता प्रदर्शित करने के लिए जानी जाती है।<ref name="sred1" /> पर्याप्त रूप से उच्च ऊर्जा की स्थिति के लिए, बेरी के अनुमान में कहा गया है कि कठोर गोले के कणों की इस कई-शरीर प्रणाली में ऊर्जा eigenfunctions विमान तरंगों के क्वांटम सुपरपोजिशन के रूप में व्यवहार करती दिखाई देगी, जिसमें विमान तरंगें यादृच्छिक चरणों और [[सामान्य वितरण]] के साथ क्वांटम सुपरपोजिशन में प्रवेश करती हैं। गाऊसी -वितरित आयाम<ref name="sred1" /> (इस यादृच्छिक सुपरपोजिशन की सटीक धारणा पेपर में स्पष्ट की गई है)। इस धारणा के तहत, कोई यह दिखा सकता है कि, [[थर्मोडायनामिक सीमा]] में नगण्य रूप से छोटे सुधारों तक, प्रत्येक व्यक्ति, अलग-अलग कण के लिए [[गति]] वितरण फ़ंक्शन मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण के बराबर है<ref name="sred1" />: <math>
 f_{\rm MB} \left ( \mathbf{p}, T_{\alpha} \right ) = \left ( 2 \pi m k T \right )^{-3/2}e^{-\mathbf{p}^{2}/2mkT_{\alpha}},
 </math>
-कहाँ <math>\mathbf{p}</math> कण का संवेग है, m कणों का [[द्रव्यमान]] है, k बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और [[तापमान]] है <math>T_{\alpha}</math> एक [[आदर्श गैस]] की अवस्था के सामान्य समीकरण के अनुसार ईजेनस्टेट की ऊर्जा से संबंधित है,
+कहाँ <math>\mathbf{p}</math> कण का संवेग है, m कणों का [[द्रव्यमान]] है, k बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और [[तापमान]] है <math>T_{\alpha}</math> [[आदर्श गैस]] की अवस्था के सामान्य समीकरण के अनुसार ईजेनस्टेट की ऊर्जा से संबंधित है,
 : <math>
 E_{\alpha} = \frac{3}{2}NkT_{\alpha},
 </math>
-जहाँ N गैस में कणों की संख्या है। यह परिणाम ईटीएच की एक विशिष्ट अभिव्यक्ति है, जिसमें यह एक ऊर्जा ईजेनस्टेट में एक अवलोकन योग्य मूल्य के लिए एक भविष्यवाणी का परिणाम देता है जो कि एक माइक्रोकैनोनिकल (या कैनोनिकल) समूह से प्राप्त भविष्यवाणी के अनुरूप है। ध्यान दें कि आरंभिक अवस्थाओं का कोई औसतीकरण नहीं किया गया है, न ही [[एच-प्रमेय]] से मिलता-जुलता कुछ भी लागू किया गया है। इसके अतिरिक्त, कोई उपयुक्त बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी|बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक सांख्यिकी|फर्मी-डिराक वितरण भी प्राप्त कर सकता है, यदि कोई गैस वाले कणों के लिए उचित रूपान्तरण संबंध लागू करता है।<ref name="sred1" />
+जहाँ N गैस में कणों की संख्या है। यह परिणाम ईटीएच की विशिष्ट अभिव्यक्ति है, जिसमें यह ऊर्जा ईजेनस्टेट में अवलोकन योग्य मूल्य के लिए भविष्यवाणी का परिणाम देता है जो कि माइक्रोकैनोनिकल (या कैनोनिकल) समूह से प्राप्त भविष्यवाणी के अनुरूप है। ध्यान दें कि आरंभिक अवस्थाओं का कोई औसतीकरण नहीं किया गया है, न ही [[एच-प्रमेय]] से मिलता-जुलता कुछ भी लागू किया गया है। इसके अतिरिक्त, कोई उपयुक्त बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी|बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक सांख्यिकी|फर्मी-डिराक वितरण भी प्राप्त कर सकता है, यदि कोई गैस वाले कणों के लिए उचित रूपान्तरण संबंध लागू करता है।<ref name="sred1" />
-वर्तमान में, यह अच्छी तरह से समझ में नहीं आता है कि ईटीएच का पालन करने के लिए कठोर गोले वाली गैस की ईजेनस्टेट की ऊर्जा कितनी अधिक होनी चाहिए।<ref name="sred1" />एक मोटा मानदंड यह है कि प्रत्येक कण की औसत [[थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य]] कठोर गोलाकार कणों की त्रिज्या से पर्याप्त रूप से छोटी होनी चाहिए, ताकि सिस्टम उन विशेषताओं की जांच कर सके जिनके परिणामस्वरूप शास्त्रीय रूप से अराजकता होती है (अर्थात्, तथ्य यह है कि कणों की एक परिमित सीमा होती है) आकार<ref name="sred1" />). हालाँकि, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि इस स्थिति में ढील दी जा सकती है, और शायद थर्मोडायनामिक सीमा में, मनमाने ढंग से कम ऊर्जा की ऊर्जा ईजेनस्टेट्स ईटीएच को संतुष्ट करेगी (जमीनी स्थिति से अलग, जिसके लिए कुछ विशेष गुणों की आवश्यकता होती है, उदाहरण, किसी नोड की कमी (भौतिकी)<ref name="sred1" />).
+वर्तमान में, यह अच्छी तरह से समझ में नहीं आता है कि ईटीएच का पालन करने के लिए कठोर गोले वाली गैस की ईजेनस्टेट की ऊर्जा कितनी अधिक होनी चाहिए।<ref name="sred1" /> मोटा मानदंड यह है कि प्रत्येक कण की औसत [[थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य]] कठोर गोलाकार कणों की त्रिज्या से पर्याप्त रूप से छोटी होनी चाहिए, ताकि सिस्टम उन विशेषताओं की जांच कर सके जिनके परिणामस्वरूप शास्त्रीय रूप से अराजकता होती है (अर्थात्, तथ्य यह है कि कणों की परिमित सीमा होती है) आकार<ref name="sred1" />). हालाँकि, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि इस स्थिति में ढील दी जा सकती है, और शायद थर्मोडायनामिक सीमा में, मनमाने ढंग से कम ऊर्जा की ऊर्जा ईजेनस्टेट्स ईटीएच को संतुष्ट करेगी (जमीनी स्थिति से अलग, जिसके लिए कुछ विशेष गुणों की आवश्यकता होती है, उदाहरण, किसी नोड की कमी (भौतिकी)<ref name="sred1" />).
 == विकल्प ==
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 पृथक क्वांटम प्रणालियों के तापीकरण के लिए तीन वैकल्पिक स्पष्टीकरण अक्सर प्रस्तावित किए जाते हैं:
-# भौतिक रुचि की प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए, गुणांक <math>c_{\alpha}</math> आइजेनस्टेट से आइजेनस्टेट तक बड़े उतार-चढ़ाव का प्रदर्शन, इस तरह से जो पूरी तरह से उतार-चढ़ाव के साथ [[सहसंबंध और निर्भरता]] है <math>A_{\alpha \alpha}</math> आइजेनस्टेट से आइजेनस्टेट तक। क्योंकि गुणांक और मैट्रिक्स तत्व असंबद्ध हैं, विकर्ण संयोजन में योग प्रभावी ढंग से मूल्यों का निष्पक्ष [[नमूनाकरण (सांख्यिकी)]] कर रहा है <math>A_{\alpha \alpha}</math> उपयुक्त ऊर्जा विंडो पर। पर्याप्त रूप से बड़ी प्रणाली के लिए, इस निष्पक्ष नमूने का परिणाम एक ऐसा मूल्य होना चाहिए जो मूल्यों के वास्तविक माध्य के करीब हो <math>A_{\alpha \alpha}</math> इस विंडो पर, और माइक्रोकैनोनिकल समूह की भविष्यवाणी को प्रभावी ढंग से पुन: पेश करेगा। हालाँकि, इस तंत्र को निम्नलिखित अनुमानी कारणों से नापसंद किया जा सकता है। आमतौर पर, किसी को उन भौतिक स्थितियों में रुचि होती है जिनमें प्रारंभिक अपेक्षा मूल्य होता है <math>\hat A</math> अपने संतुलन मान से बहुत दूर है। इसे सच होने के लिए, प्रारंभिक स्थिति में कुछ प्रकार की विशिष्ट जानकारी होनी चाहिए <math>\hat A</math>, और इसलिए यह संदिग्ध हो जाता है कि प्रारंभिक स्थिति वास्तव में मूल्यों के निष्पक्ष नमूने का प्रतिनिधित्व करती है या नहीं <math>A_{\alpha \alpha}</math> उपयुक्त ऊर्जा विंडो पर। इसके अलावा, यह सच है या नहीं, यह अभी भी इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि मनमानी प्रारंभिक अवस्थाएं कब संतुलन में आएंगी, यदि वे कभी आती हैं।
+# भौतिक रुचि की प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए, गुणांक <math>c_{\alpha}</math> आइजेनस्टेट से आइजेनस्टेट तक बड़े उतार-चढ़ाव का प्रदर्शन, इस तरह से जो पूरी तरह से उतार-चढ़ाव के साथ [[सहसंबंध और निर्भरता]] है <math>A_{\alpha \alpha}</math> आइजेनस्टेट से आइजेनस्टेट तक। क्योंकि गुणांक और मैट्रिक्स तत्व असंबद्ध हैं, विकर्ण संयोजन में योग प्रभावी ढंग से मूल्यों का निष्पक्ष [[नमूनाकरण (सांख्यिकी)]] कर रहा है <math>A_{\alpha \alpha}</math> उपयुक्त ऊर्जा विंडो पर। पर्याप्त रूप से बड़ी प्रणाली के लिए, इस निष्पक्ष नमूने का परिणाम ऐसा मूल्य होना चाहिए जो मूल्यों के वास्तविक माध्य के करीब हो <math>A_{\alpha \alpha}</math> इस विंडो पर, और माइक्रोकैनोनिकल समूह की भविष्यवाणी को प्रभावी ढंग से पुन: पेश करेगा। हालाँकि, इस तंत्र को निम्नलिखित अनुमानी कारणों से नापसंद किया जा सकता है। आमतौर पर, किसी को उन भौतिक स्थितियों में रुचि होती है जिनमें प्रारंभिक अपेक्षा मूल्य होता है <math>\hat A</math> अपने संतुलन मान से बहुत दूर है। इसे सच होने के लिए, प्रारंभिक स्थिति में कुछ प्रकार की विशिष्ट जानकारी होनी चाहिए <math>\hat A</math>, और इसलिए यह संदिग्ध हो जाता है कि प्रारंभिक स्थिति वास्तव में मूल्यों के निष्पक्ष नमूने का प्रतिनिधित्व करती है या नहीं <math>A_{\alpha \alpha}</math> उपयुक्त ऊर्जा विंडो पर। इसके अलावा, यह सच है या नहीं, यह अभी भी इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि मनमानी प्रारंभिक अवस्थाएं कब संतुलन में आएंगी, यदि वे कभी आती हैं।
 # भौतिक रुचि की प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए, गुणांक <math>c_{\alpha}</math> प्रभावी रूप से स्थिर हैं, और बिल्कुल भी उतार-चढ़ाव नहीं होता है। इस मामले में, विकर्ण पहनावा बिल्कुल माइक्रोकैनोनिकल पहनावा के समान है, और इसमें कोई रहस्य नहीं है कि उनकी भविष्यवाणियां समान क्यों हैं। हालाँकि, यह स्पष्टीकरण पहले वाले कारणों से ही प्रतिकूल है।
 # इंटीग्रेबल क्वांटम सिस्टम मापदंडों की सरल नियमित समय-निर्भरता की स्थिति के तहत थर्मलाइज़ करने के लिए सिद्ध होते हैं, जो सुझाव देते हैं कि ब्रह्मांड के ब्रह्माण्ड संबंधी विस्तार और गति के सबसे मौलिक समीकरणों की इंटीग्रैबिलिटी अंततः थर्मलाइज़ेशन के लिए जिम्मेदार हैं।<ref name='Li-18prl'>{{cite journal|doi=10.1103/PhysRevLett.121.190601|title=Quantum annealing and thermalization: insights from integrability|author1=F. Li |author2=V. Y. Chernyak  |author3=N. A. Sinitsyn |journal=[[Physical Review Letters]]|volume=121|year=2018|issue=19|pages=190601|bibcode= 2018arXiv180400371L|arxiv=1804.00371 |pmid=30468584|s2cid=53594139}}</ref>
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 == प्रत्याशा मूल्यों का अस्थायी उतार-चढ़ाव ==
-ईटीएच एक अवलोकन योग्य के विकर्ण तत्वों पर जो शर्त लगाता है वह विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की भविष्यवाणियों की समानता के लिए जिम्मेदार है।<ref name="sred2" />हालाँकि, इन दीर्घकालिक औसतों की समानता यह गारंटी नहीं देती है कि इस औसत के आसपास समय में उतार-चढ़ाव छोटा होगा। अर्थात्, दीर्घकालिक औसत की समानता यह सुनिश्चित नहीं करती कि अपेक्षित मूल्य <math>\hat A</math> इस दीर्घकालिक औसत मूल्य पर स्थिर हो जाएगा, और फिर अधिकांश समय तक वहीं रहेगा।
+ईटीएच अवलोकन योग्य के विकर्ण तत्वों पर जो शर्त लगाता है वह विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की भविष्यवाणियों की समानता के लिए जिम्मेदार है।<ref name="sred2" /> हालाँकि, इन दीर्घकालिक औसतों की समानता यह गारंटी नहीं देती है कि इस औसत के आसपास समय में उतार-चढ़ाव छोटा होगा। अर्थात्, दीर्घकालिक औसत की समानता यह सुनिश्चित नहीं करती कि अपेक्षित मूल्य <math>\hat A</math> इस दीर्घकालिक औसत मूल्य पर स्थिर हो जाएगा, और फिर अधिकांश समय तक वहीं रहेगा।
+अपने समय-औसत के आसपास छोटे अस्थायी उतार-चढ़ाव प्रदर्शित करने के लिए अवलोकन योग्य अपेक्षा मूल्य के लिए आवश्यक शर्तों को कम करने के लिए, हम अस्थायी उतार-चढ़ाव के [[मूल-माध्य-वर्ग विचलन]] आयाम का अध्ययन करते हैं, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref name="sred2" />:
-अपने समय-औसत के आसपास छोटे अस्थायी उतार-चढ़ाव प्रदर्शित करने के लिए अवलोकन योग्य अपेक्षा मूल्य के लिए आवश्यक शर्तों को कम करने के लिए, हम अस्थायी उतार-चढ़ाव के [[मूल-माध्य-वर्ग विचलन]] आयाम का अध्ययन करते हैं, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref name="sred2" />: <math>
+<math>
 \overline{\left (A_{t} - \overline{A} \right )^{2}} \equiv \lim_{\tau \to \infty}\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau } \left (A_{t} - \overline{A} \right )^{2}dt,
 </math>
-कहाँ <math>A_{t}</math> के प्रत्याशा मूल्य के लिए एक आशुलिपि संकेतन है <math>\hat A</math> समय पर टी. इस अभिव्यक्ति की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, और कोई इसे पा सकता है<ref name="sred2" />: <math>
+कहाँ <math>A_{t}</math> के प्रत्याशा मूल्य के लिए आशुलिपि संकेतन है <math>\hat A</math> समय पर टी. इस अभिव्यक्ति की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, और कोई इसे पा सकता है<ref name="sred2" />: <math>
 \overline{\left (A_{t} - \overline{A} \right )^{2}} = \sum_{\alpha \neq \beta}|c_{\alpha}|^{2}|c_{\beta}|^{2}|A_{\alpha \beta}|^{2}.
 </math>
-लंबे समय के औसत के बारे में अस्थायी उतार-चढ़ाव तब तक छोटा रहेगा जब तक ऑफ-विकर्ण तत्व ईटीएच द्वारा उन पर लगाई गई शर्तों को पूरा करते हैं, अर्थात् वे सिस्टम आकार में तेजी से छोटे हो जाते हैं।<ref name="sred2" /><ref name="IQS" />ध्यान दें कि यह स्थिति पृथक [[क्वांटम पुनरुद्धार]] की संभावना की अनुमति देती है, जिसमें लंबे समय के औसत से दूर बड़े उतार-चढ़ाव उत्पन्न करने के लिए चरण सुसंगत रूप से संरेखित होते हैं।<ref name="AET" />सिस्टम लंबे समय के औसत से बहुत दूर जो समय व्यतीत करता है वह तब तक छोटा होने की गारंटी है जब तक उपरोक्त माध्य वर्ग आयाम पर्याप्त रूप से छोटा है।<ref name="sred2" /><ref name="AET" />हालाँकि, यदि कोई प्रणाली [[गतिशील समरूपता]] प्रस्तुत करती है, तो यह समय-समय पर लंबे समय के औसत के आसपास दोलन करेगी।<ref>{{Cite journal|last1=Buča|first1=Berislav|last2=Tindall|first2=Joseph|last3=Jaksch|first3=Dieter|date=2019-04-15|title=अपव्यय के माध्यम से गैर-स्थिर सुसंगत क्वांटम कई-शरीर गतिशीलता|url= |journal=Nature Communications|language=en|volume=10|issue=1|pages=1730|doi=10.1038/s41467-019-09757-y|issn=2041-1723|pmc=6465298|pmid=30988312|arxiv=1804.06744|bibcode=2019NatCo..10.1730B}}</ref>
+लंबे समय के औसत के बारे में अस्थायी उतार-चढ़ाव तब तक छोटा रहेगा जब तक ऑफ-विकर्ण तत्व ईटीएच द्वारा उन पर लगाई गई शर्तों को पूरा करते हैं, अर्थात् वे सिस्टम आकार में तेजी से छोटे हो जाते हैं।<ref name="sred2" /><ref name="IQS" /> ध्यान दें कि यह स्थिति पृथक [[क्वांटम पुनरुद्धार]] की संभावना की अनुमति देती है, जिसमें लंबे समय के औसत से दूर बड़े उतार-चढ़ाव उत्पन्न करने के लिए चरण सुसंगत रूप से संरेखित होते हैं।<ref name="AET" /> सिस्टम लंबे समय के औसत से बहुत दूर जो समय व्यतीत करता है वह तब तक छोटा होने की गारंटी है जब तक उपरोक्त माध्य वर्ग आयाम पर्याप्त रूप से छोटा है।<ref name="sred2" /><ref name="AET" /> हालाँकि, यदि कोई प्रणाली [[गतिशील समरूपता]] प्रस्तुत करती है, तो यह समय-समय पर लंबे समय के औसत के आसपास दोलन करेगी।<ref>{{Cite journal|last1=Buča|first1=Berislav|last2=Tindall|first2=Joseph|last3=Jaksch|first3=Dieter|date=2019-04-15|title=अपव्यय के माध्यम से गैर-स्थिर सुसंगत क्वांटम कई-शरीर गतिशीलता|url= |journal=Nature Communications|language=en|volume=10|issue=1|pages=1730|doi=10.1038/s41467-019-09757-y|issn=2041-1723|pmc=6465298|pmid=30988312|arxiv=1804.06744|bibcode=2019NatCo..10.1730B}}</ref>
 == [[क्वांटम उतार-चढ़ाव]] और थर्मल उतार-चढ़ाव ==
-अवलोकन योग्य क्वांटम यांत्रिकी का अपेक्षित मूल्य औसत मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जिसे समान रूप से तैयार क्वांटम राज्यों के समूह पर बार-बार माप करने के बाद मापा जाएगा। इसलिए, जबकि हम इस अपेक्षा मूल्य को रुचि की मुख्य वस्तु के रूप में जांच रहे हैं, यह स्पष्ट नहीं है कि यह किस हद तक भौतिक रूप से प्रासंगिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। क्वांटम उतार-चढ़ाव के परिणामस्वरूप, किसी अवलोकन योग्य वस्तु का अपेक्षित मूल्य आमतौर पर वह नहीं होता है जो एक पृथक प्रणाली पर एक प्रयोग के दौरान मापा जाएगा। हालाँकि, यह दिखाया गया है कि ईटीएच को संतुष्ट करने के लिए, इसके अपेक्षित मूल्य में क्वांटम उतार-चढ़ाव आम तौर पर थर्मल उतार-चढ़ाव के समान परिमाण का होगा, जिसकी भविष्यवाणी पारंपरिक माइक्रोकैनोनिकल पहनावा में की जाएगी।<ref name="sred2" /><ref name="IQS" />इससे इस विचार को और बल मिलता है कि ईटीएच पृथक क्वांटम सिस्टम के थर्मलाइजेशन के लिए जिम्मेदार अंतर्निहित तंत्र है।
+अवलोकन योग्य क्वांटम यांत्रिकी का अपेक्षित मूल्य औसत मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जिसे समान रूप से तैयार क्वांटम राज्यों के समूह पर बार-बार माप करने के बाद मापा जाएगा। इसलिए, जबकि हम इस अपेक्षा मूल्य को रुचि की मुख्य वस्तु के रूप में जांच रहे हैं, यह स्पष्ट नहीं है कि यह किस हद तक भौतिक रूप से प्रासंगिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। क्वांटम उतार-चढ़ाव के परिणामस्वरूप, किसी अवलोकन योग्य वस्तु का अपेक्षित मूल्य आमतौर पर वह नहीं होता है जो पृथक प्रणाली पर प्रयोग के दौरान मापा जाएगा। हालाँकि, यह दिखाया गया है कि ईटीएच को संतुष्ट करने के लिए, इसके अपेक्षित मूल्य में क्वांटम उतार-चढ़ाव आम तौर पर थर्मल उतार-चढ़ाव के समान परिमाण का होगा, जिसकी भविष्यवाणी पारंपरिक माइक्रोकैनोनिकल पहनावा में की जाएगी।<ref name="sred2" /><ref name="IQS" /> इससे इस विचार को और बल मिलता है कि ईटीएच पृथक क्वांटम सिस्टम के थर्मलाइजेशन के लिए जिम्मेदार अंतर्निहित तंत्र है।
 == सामान्य वैधता ==
-वर्तमान में, सामान्य इंटरैक्टिंग सिस्टम के लिए ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना की कोई ज्ञात विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति नहीं है।<ref name="IQS" />हालाँकि, इन विधियों की अनिश्चितता के भीतर, [[संख्यात्मक विश्लेषण]] सटीक [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] तकनीकों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की इंटरैक्टिंग प्रणालियों के लिए इसे सच होने के लिए सत्यापित किया गया है।<ref name="AET" /><ref name="IQS" />यह [[अर्धशास्त्रीय भौतिकी]]|अर्ध-क्लासिकल सीमा में कुछ विशेष मामलों में भी सच साबित हुआ है, जहां ईटीएच की वैधता शिनिरेलमैन के प्रमेय की वैधता पर निर्भर करती है, जिसमें कहा गया है कि एक प्रणाली में जो शास्त्रीय रूप से अराजक है, अपेक्षा मूल्य एक ऑपरेटर का <math>\hat A</math> एक ऊर्जा ईजेनस्टेट में उचित ऊर्जा पर इसके शास्त्रीय, माइक्रोकैनोनिकल औसत के बराबर है।<ref name="RME">{{cite journal|author1=Sanjay Hortikar|first2=Mark|last2=Srednicki|title=अराजक प्रणालियों में यादृच्छिक मैट्रिक्स तत्व और आइजनफंक्शन|year=1998|doi=10.1103/PhysRevE.57.7313|journal=Physical Review E|volume=57|issue=6|pages=7313|arxiv=chao-dyn/9711020|bibcode = 1998PhRvE..57.7313H |s2cid=18466081}}</ref> यह एक खुला प्रश्न बना हुआ है कि क्वांटम सिस्टम के इंटरेक्शन में इसे आम तौर पर सच दिखाया जा सकता है या नहीं। यह कुछ एकीकृत प्रणालियों में स्पष्ट रूप से विफल होने के लिए भी जाना जाता है, जिसमें बड़ी संख्या में गति के स्थिरांक की उपस्थिति थर्मलकरण को रोकती है।<ref name="AET" />
+वर्तमान में, सामान्य इंटरैक्टिंग सिस्टम के लिए ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना की कोई ज्ञात विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति नहीं है।<ref name="IQS" /> हालाँकि, इन विधियों की अनिश्चितता के भीतर, [[संख्यात्मक विश्लेषण]] सटीक [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] तकनीकों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की इंटरैक्टिंग प्रणालियों के लिए इसे सच होने के लिए सत्यापित किया गया है।<ref name="AET" /><ref name="IQS" /> यह [[अर्धशास्त्रीय भौतिकी]] सीमा में कुछ विशेष मामलों में भी सच साबित हुआ है, जहां ईटीएच की वैधता शिनिरेलमैन के प्रमेय की वैधता पर निर्भर करती है, जिसमें कहा गया है कि प्रणाली में जो शास्त्रीय रूप से अराजक है, अपेक्षा मूल्य ऑपरेटर का <math>\hat A</math> ऊर्जा ईजेनस्टेट में उचित ऊर्जा पर इसके शास्त्रीय, माइक्रोकैनोनिकल औसत के बराबर है।<ref name="RME">{{cite journal|author1=Sanjay Hortikar|first2=Mark|last2=Srednicki|title=अराजक प्रणालियों में यादृच्छिक मैट्रिक्स तत्व और आइजनफंक्शन|year=1998|doi=10.1103/PhysRevE.57.7313|journal=Physical Review E|volume=57|issue=6|pages=7313|arxiv=chao-dyn/9711020|bibcode = 1998PhRvE..57.7313H |s2cid=18466081}}</ref> यह खुला प्रश्न बना हुआ है कि क्वांटम सिस्टम के इंटरेक्शन में इसे आम तौर पर सच दिखाया जा सकता है या नहीं। यह कुछ एकीकृत प्रणालियों में स्पष्ट रूप से विफल होने के लिए भी जाना जाता है, जिसमें बड़ी संख्या में गति के स्थिरांक की उपस्थिति थर्मलकरण को रोकती है।<ref name="AET" />
+यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ईटीएच प्रत्येक मामले के आधार पर विशिष्ट अवलोकन योग्य वस्तुओं के बारे में बयान देता है - यह इस बारे में कोई दावा नहीं करता है कि सिस्टम में प्रत्येक अवलोकन योग्य वस्तु ईटीएच का पालन करेगी या नहीं। वास्तव में, यह निश्चित रूप से सच नहीं हो सकता। ऊर्जा eigenstates के आधार को देखते हुए, कोई हमेशा स्पष्ट रूप से [[ऑपरेटर (भौतिकी)]] का निर्माण कर सकता है जो ETH का उल्लंघन करता है, बस इस आधार पर ऑपरेटर को मैट्रिक्स के रूप में लिखकर जिसके तत्व स्पष्ट रूप से ETH द्वारा लगाए गए शर्तों का पालन नहीं करते हैं। इसके विपरीत, ऐसे ऑपरेटरों को ढूंढना हमेशा संभव होता है जो ईटीएच को संतुष्ट करते हैं, मैट्रिक्स लिखकर जिसके तत्वों को विशेष रूप से ईटीएच का पालन करने के लिए चुना जाता है। इसके आलोक में, किसी को यह विश्वास हो सकता है कि ईटीएच अपनी उपयोगिता में कुछ हद तक तुच्छ है। हालाँकि, ध्यान में रखने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि इस प्रकार निर्मित इन ऑपरेटरों की कोई भौतिक प्रासंगिकता नहीं हो सकती है। हालाँकि कोई इन मैट्रिक्स का निर्माण कर सकता है, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि वे उन अवलोकनों के अनुरूप हैं जिन्हें किसी प्रयोग में वास्तविक रूप से मापा जा सकता है, या भौतिक रूप से दिलचस्प मात्राओं से कोई समानता हो सकती है। सिस्टम के हिल्बर्ट स्थान पर मनमाना हर्मिटियन ऑपरेटर को किसी ऐसी चीज़ के अनुरूप होने की आवश्यकता नहीं है जो भौतिक रूप से मापने योग्य अवलोकन योग्य हो।<ref name="ballentine">{{cite book|last=Ballentine |first=Leslie E.|year=1998|title=Quantum Mechanics: A Modern Development|publisher=[[World Scientific Publishing]]|isbn=981-02-4105-4}}</ref>
+आमतौर पर, ETH को कुछ-बॉडी ऑपरेटरों के लिए धारण करने के लिए माना जाता है,<ref name="AET" /> वे अवलोकन योग्य वस्तुएँ जिनमें केवल थोड़ी संख्या में कण शामिल होते हैं। इसके उदाहरणों में कणों की गैस में दिए गए संवेग का [[दूसरा परिमाणीकरण]] शामिल होगा,<ref name="AET" /><ref name="IQS" /> या कणों के [[हबर्ड मॉडल]] में किसी विशेष साइट का दूसरा परिमाणीकरण।<ref name="IQS" /> ध्यान दें कि ETH आम तौर पर इन जैसे साधारण कुछ-बॉडी ऑपरेटरों पर लागू होता है,<ref name="AET" /> इन अवलोकनों को [[अंतरिक्ष]] में [[स्थानीयता का सिद्धांत]] होना आवश्यक नहीं है<ref name="IQS" />- उपरोक्त उदाहरण में संवेग कण संख्या ऑपरेटर स्थानीयता मात्रा के सिद्धांत का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।<ref name="IQS" />
-यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ईटीएच प्रत्येक मामले के आधार पर विशिष्ट अवलोकन योग्य वस्तुओं के बारे में बयान देता है - यह इस बारे में कोई दावा नहीं करता है कि सिस्टम में प्रत्येक अवलोकन योग्य वस्तु ईटीएच का पालन करेगी या नहीं। वास्तव में, यह निश्चित रूप से सच नहीं हो सकता। ऊर्जा eigenstates के आधार को देखते हुए, कोई हमेशा स्पष्ट रूप से एक [[ऑपरेटर (भौतिकी)]] का निर्माण कर सकता है जो ETH का उल्लंघन करता है, बस इस आधार पर ऑपरेटर को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखकर जिसके तत्व स्पष्ट रूप से ETH द्वारा लगाए गए शर्तों का पालन नहीं करते हैं। इसके विपरीत, ऐसे ऑपरेटरों को ढूंढना हमेशा संभव होता है जो ईटीएच को संतुष्ट करते हैं, एक मैट्रिक्स लिखकर जिसके तत्वों को विशेष रूप से ईटीएच का पालन करने के लिए चुना जाता है। इसके आलोक में, किसी को यह विश्वास हो सकता है कि ईटीएच अपनी उपयोगिता में कुछ हद तक तुच्छ है। हालाँकि, ध्यान में रखने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि इस प्रकार निर्मित इन ऑपरेटरों की कोई भौतिक प्रासंगिकता नहीं हो सकती है। हालाँकि कोई इन मैट्रिक्स का निर्माण कर सकता है, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि वे उन अवलोकनों के अनुरूप हैं जिन्हें किसी प्रयोग में वास्तविक रूप से मापा जा सकता है, या भौतिक रूप से दिलचस्प मात्राओं से कोई समानता हो सकती है। सिस्टम के हिल्बर्ट स्थान पर एक मनमाना हर्मिटियन ऑपरेटर को किसी ऐसी चीज़ के अनुरूप होने की आवश्यकता नहीं है जो भौतिक रूप से मापने योग्य अवलोकन योग्य हो।<ref name="ballentine">{{cite book|last=Ballentine |first=Leslie E.|year=1998|title=Quantum Mechanics: A Modern Development|publisher=[[World Scientific Publishing]]|isbn=981-02-4105-4}}</ref>
+उस मामले में भी काफी रुचि रही है जहां पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी की भविष्यवाणियों के बावजूद पृथक, गैर-अभिन्न क्वांटम सिस्टम थर्मलाइज़ करने में विफल रहते हैं। अव्यवस्थित प्रणालियाँ जो कई-निकाय स्थानीयकरण प्रदर्शित करती हैं, इस प्रकार के व्यवहार के लिए उम्मीदवार हैं, उत्तेजित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की संभावना के साथ जिनके थर्मोडायनामिक गुण अधिक निकटता से जमीनी अवस्थाओं से मिलते जुलते हैं।<ref name="MBLT">{{cite journal|author1=David A. Huse|first2=Rahul|last2=Nandkishore|first3=Vadim|last3=Oganesyan|first4=Arijeet|last4=Pal|first5=S. L.|last5=Sondhi|title=स्थानीयकरण संरक्षित क्वांटम क्रम|year=2013|doi= 	10.1103/PhysRevB.88.014206|arxiv=1304.1158|bibcode = 2013PhRvB..88a4206H|volume=88|journal=Physical Review B|issue=1|page=014206|s2cid=106398202}}</ref><ref name="MBLMain">{{cite journal|author1=D.M. Basko|first2= I.L|last2=Aleiner|first3= B.L|last3=Altshuler|title=स्थानीयकृत एकल-कण अवस्थाओं के साथ कमजोर रूप से इंटरैक्ट करने वाले कई-इलेक्ट्रॉन सिस्टम में धातु-इन्सुलेटर संक्रमण|year=2006|doi=10.1016/j.aop.2005.11.014|arxiv=cond-mat/0506617|bibcode = 2006AnPhy.321.1126B|volume=321|journal=Annals of Physics|issue= 5|pages=1126–1205|s2cid= 18345541}}</ref> यह खुला प्रश्न बना हुआ है कि क्या स्थैतिक विकार के बिना पूरी तरह से पृथक, गैर-अभिन्न प्रणाली कभी भी थर्मलाइज़ करने में विफल हो सकती है। दिलचस्प संभावना क्वांटम विघटित तरल पदार्थों की प्राप्ति है।<ref name="QDL">{{cite journal|author1=Tarun Grover|first2= Matthew P. A.|last2=Fisher|title=क्वांटम विघटित तरल पदार्थ|year=2013|arxiv=1307.2288|doi=10.1088/1742-5468/2014/10/P10010|volume=2014|journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment|issue= 10|page=P10010|bibcode=2014JSMTE..10..010G|s2cid= 118646968}}</ref> यह भी खुला प्रश्न है कि क्या सभी स्वदेशी राज्यों को थर्मलाइजिंग सिस्टम में ईटीएच का पालन करना चाहिए।
-आमतौर पर, ETH को कुछ-बॉडी ऑपरेटरों के लिए धारण करने के लिए माना जाता है,<ref name="AET" />वे अवलोकन योग्य वस्तुएँ जिनमें केवल थोड़ी संख्या में कण शामिल होते हैं। इसके उदाहरणों में कणों की गैस में दिए गए संवेग का [[दूसरा परिमाणीकरण]] शामिल होगा,<ref name="AET" /><ref name="IQS" />या कणों के [[हबर्ड मॉडल]] में किसी विशेष साइट का दूसरा परिमाणीकरण।<ref name="IQS" />ध्यान दें कि ETH आम तौर पर इन जैसे साधारण कुछ-बॉडी ऑपरेटरों पर लागू होता है,<ref name="AET" />इन अवलोकनों को [[अंतरिक्ष]] में [[स्थानीयता का सिद्धांत]] होना आवश्यक नहीं है<ref name="IQS" />- उपरोक्त उदाहरण में संवेग कण संख्या ऑपरेटर स्थानीयता मात्रा के सिद्धांत का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।<ref name="IQS" />
-उस मामले में भी काफी रुचि रही है जहां पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी की भविष्यवाणियों के बावजूद पृथक, गैर-अभिन्न क्वांटम सिस्टम थर्मलाइज़ करने में विफल रहते हैं। अव्यवस्थित प्रणालियाँ जो कई-निकाय स्थानीयकरण प्रदर्शित करती हैं, इस प्रकार के व्यवहार के लिए उम्मीदवार हैं, उत्तेजित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की संभावना के साथ जिनके थर्मोडायनामिक गुण अधिक निकटता से जमीनी अवस्थाओं से मिलते जुलते हैं।<ref name="MBLT">{{cite journal|author1=David A. Huse|first2=Rahul|last2=Nandkishore|first3=Vadim|last3=Oganesyan|first4=Arijeet|last4=Pal|first5=S. L.|last5=Sondhi|title=स्थानीयकरण संरक्षित क्वांटम क्रम|year=2013|doi= 	10.1103/PhysRevB.88.014206|arxiv=1304.1158|bibcode = 2013PhRvB..88a4206H|volume=88|journal=Physical Review B|issue=1|page=014206|s2cid=106398202}}</ref><ref name="MBLMain">{{cite journal|author1=D.M. Basko|first2= I.L|last2=Aleiner|first3= B.L|last3=Altshuler|title=स्थानीयकृत एकल-कण अवस्थाओं के साथ कमजोर रूप से इंटरैक्ट करने वाले कई-इलेक्ट्रॉन सिस्टम में धातु-इन्सुलेटर संक्रमण|year=2006|doi=10.1016/j.aop.2005.11.014|arxiv=cond-mat/0506617|bibcode = 2006AnPhy.321.1126B|volume=321|journal=Annals of Physics|issue= 5|pages=1126–1205|s2cid= 18345541}}</ref> यह एक खुला प्रश्न बना हुआ है कि क्या स्थैतिक विकार के बिना एक पूरी तरह से पृथक, गैर-अभिन्न प्रणाली कभी भी थर्मलाइज़ करने में विफल हो सकती है। एक दिलचस्प संभावना क्वांटम विघटित तरल पदार्थों की प्राप्ति है।<ref name="QDL">{{cite journal|author1=Tarun Grover|first2= Matthew P. A.|last2=Fisher|title=क्वांटम विघटित तरल पदार्थ|year=2013|arxiv=1307.2288|doi=10.1088/1742-5468/2014/10/P10010|volume=2014|journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment|issue= 10|page=P10010|bibcode=2014JSMTE..10..010G|s2cid= 118646968}}</ref> यह भी एक खुला प्रश्न है कि क्या सभी स्वदेशी राज्यों को थर्मलाइजिंग सिस्टम में ईटीएच का पालन करना चाहिए।
+ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना अराजकता की क्वांटम प्रकृति से निकटता से जुड़ी हुई है (क्वांटम अराजकता देखें)। इसके अलावा, चूंकि शास्त्रीय रूप से अराजक प्रणाली भी एर्गोडिक है, इसके लगभग सभी प्रक्षेपवक्र अंततः संपूर्ण सुलभ चरण स्थान का समान रूप से पता लगाते हैं, जिसका अर्थ यह होगा कि क्वांटम अराजक प्रणाली के स्वदेशी [[कितनी अव्यवस्था है]] स्थान को अर्धशास्त्रीय में समान रूप से (यादृच्छिक उतार-चढ़ाव तक) भरते हैं। आप LIMIT <math>\hbar \rightarrow 0</math>. विशेष रूप से, [[क्वांटम एर्गोडिसिटी]] है जो दर्शाती है कि ऑपरेटर की अपेक्षा मूल्य संबंधित माइक्रोकैनोनिकल शास्त्रीय औसत में परिवर्तित हो जाती है <math>\hbar \rightarrow 0</math>. हालाँकि, क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय [[क्वांटम निशान]] जैसे गैर-एर्गोडिक राज्यों की संभावना को खोलता है। पारंपरिक घाव भरने के अलावा,<ref>{{Cite journal |last=Heller |first=Eric J. |date=1984-10-15 |title=Bound-State Eigenfunctions of Classically Chaotic Hamiltonian Systems: Scars of Periodic Orbits |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.53.1515 |journal=Physical Review Letters |volume=53 |issue=16 |pages=1515–1518 |doi=10.1103/PhysRevLett.53.1515|bibcode=1984PhRvL..53.1515H }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Kaplan |first=L |date=1999-01-01 |title=क्वांटम अराजक तरंग कार्यों में निशान|url=https://doi.org/10.1088/0951-7715/12/2/009 |journal=Nonlinearity |language=en |volume=12 |issue=2 |pages=R1–R40 |doi=10.1088/0951-7715/12/2/009 |s2cid=250793219 |issn=0951-7715}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Kaplan |first1=L. |last2=Heller |first2=E. J. |date=1998-04-10 |title=आइजेनफंक्शन स्कार्स का रैखिक और अरेखीय सिद्धांत|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003491697957730 |journal=Annals of Physics |language=en |volume=264 |issue=2 |pages=171–206 |doi=10.1006/aphy.1997.5773 |arxiv=chao-dyn/9809011 |bibcode=1998AnPhy.264..171K |s2cid=120635994 |issn=0003-4916}}</ref><ref>{{Cite book |last=Heller|first=Eric |url=http://worldcat.org/oclc/1104876980 |title=डायनेमिक्स और स्पेक्ट्रोस्कोपी का अर्धशास्त्रीय तरीका|date=June 5, 2018 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-9029-3 |oclc=1104876980}}</ref> क्वांटम स्कारिंग के दो अन्य प्रकार हैं, जो क्वांटम अराजक प्रणालियों में कमजोर-एर्गोडिसिटी ब्रेकिंग को और स्पष्ट करते हैं: गड़बड़ी-प्रेरित<ref name=":0">{{Cite journal |last1=Keski-Rahkonen |first1=J. |last2=Ruhanen |first2=A. |last3=Heller |first3=E. J. |last4=Räsänen |first4=E. |date=2019-11-21 |title=क्वांटम लिसाजौस निशान|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.123.214101 |journal=Physical Review Letters |volume=123 |issue=21 |pages=214101 |doi=10.1103/PhysRevLett.123.214101|pmid=31809168 |arxiv=1911.09729 |bibcode=2019PhRvL.123u4101K |s2cid=208248295 }}</ref><ref name=":1">{{Cite journal |last1=Luukko |first1=Perttu J. J. |last2=Drury |first2=Byron |last3=Klales |first3=Anna |last4=Kaplan |first4=Lev |last5=Heller |first5=Eric J. |last6=Räsänen |first6=Esa |date=2016-11-28 |title=स्थानीय अशुद्धियों द्वारा मजबूत क्वांटम स्कारिंग|journal=Scientific Reports |language=en |volume=6 |issue=1 |pages=37656 |doi=10.1038/srep37656 |issn=2045-2322 |pmc=5124902 |pmid=27892510|arxiv=1511.04198 |bibcode=2016NatSR...637656L }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Keski-Rahkonen |first1=J. |last2=Luukko |first2=P. J. J. |last3=Kaplan |first3=L. |last4=Heller |first4=E. J. |last5=Räsänen |first5=E. |date=2017-09-20 |title=सेमीकंडक्टर क्वांटम डॉट्स में नियंत्रणीय क्वांटम निशान|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.96.094204 |journal=Physical Review B |volume=96 |issue=9 |pages=094204 |doi=10.1103/PhysRevB.96.094204|arxiv=1710.00585 |bibcode=2017PhRvB..96i4204K |s2cid=119083672 }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Keski-Rahkonen |first1=J |last2=Luukko |first2=P J J |last3=Åberg |first3=S |last4=Räsänen |first4=E |date=2019-01-21 |title=अव्यवस्थित क्वांटम कुओं में क्वांटम अराजकता पर स्कारिंग के प्रभाव|url=https://doi.org/10.1088/1361-648x/aaf9fb |journal=Journal of Physics: Condensed Matter |language=en |volume=31 |issue=10 |pages=105301 |doi=10.1088/1361-648x/aaf9fb |pmid=30566927 |arxiv=1806.02598 |bibcode=2019JPCM...31j5301K |s2cid=51693305 |issn=0953-8984}}</ref><ref name=":2">{{Cite book |last=Keski-Rahkonen |first=Joonas |url=https://trepo.tuni.fi/handle/10024/123296 |title=अव्यवस्थित द्वि-आयामी नैनोसंरचनाओं में क्वांटम अराजकता|date=2020 |publisher=Tampere University |isbn=978-952-03-1699-0 |language=en}}</ref> और कई-शरीर क्वांटम निशान।<रेफ नाम= टर्नर 745-749 >{{Cite journal |last1=Turner |first1=C. J. |last2=Michailidis |first2=A. A. |last3=Abanin |first3=D. A. |last4=Serbyn |first4=M. |last5=Papić |first5=Z. |date=July 2018 |title=क्वांटम कई-शरीर के निशानों से टूटने वाली कमजोर एर्गोडिसिटी|url=https://www.nature.com/articles/s41567-018-0137-5 |journal=Nature Physics |language=en |volume=14 |issue=7 |pages=745–749 |doi=10.1038/s41567-018-0137-5 |bibcode=2018NatPh..14..745T |s2cid=51681793 |issn=1745-2481}}<nowiki></ref></nowiki> चूंकि पूर्व में विशेष लगभग-पतित अप्रभावित अवस्थाओं और गड़बड़ी की स्थानीय प्रकृति (संभावित बम्स) का संयुक्त प्रभाव उत्पन्न होता है,<ref name=":0" /><ref name=":2" />स्कारिंग अव्यवस्थित क्वांटम डॉट्स और कुओं में थर्मलाइजेशन प्रक्रिया को धीमा कर सकता है, जो इस तथ्य से और स्पष्ट होता है कि इन क्वांटम स्कार्स का उपयोग उच्च निष्ठा के साथ अव्यवस्थित नैनोस्ट्रक्चर में क्वांटम तरंग पैकेट को फैलाने के लिए किया जा सकता है।<ref name=":1" /> दूसरी ओर, घाव के बाद के रूप का अनुमान लगाया गया है<ref name="टर्नर" 745-749="" /><ref>{{Cite journal |last1=Turner |first1=C. 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-ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना अराजकता की क्वांटम प्रकृति से निकटता से जुड़ी हुई है (क्वांटम अराजकता देखें)। इसके अलावा, चूंकि एक शास्त्रीय रूप से अराजक प्रणाली भी एर्गोडिक है, इसके लगभग सभी प्रक्षेपवक्र अंततः संपूर्ण सुलभ चरण स्थान का समान रूप से पता लगाते हैं, जिसका अर्थ यह होगा कि क्वांटम अराजक प्रणाली के स्वदेशी [[कितनी अव्यवस्था है]] स्थान को अर्धशास्त्रीय में समान रूप से (यादृच्छिक उतार-चढ़ाव तक) भरते हैं। आप LIMIT <math>\hbar \rightarrow 0</math>. विशेष रूप से, एक [[क्वांटम एर्गोडिसिटी]] है जो दर्शाती है कि एक ऑपरेटर की अपेक्षा मूल्य संबंधित माइक्रोकैनोनिकल शास्त्रीय औसत में परिवर्तित हो जाती है <math>\hbar \rightarrow 0</math>. हालाँकि, क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय [[क्वांटम निशान]] जैसे गैर-एर्गोडिक राज्यों की संभावना को खोलता है। पारंपरिक घाव भरने के अलावा,<ref>{{Cite journal |last=Heller |first=Eric J. |date=1984-10-15 |title=Bound-State Eigenfunctions of Classically Chaotic Hamiltonian Systems: Scars of Periodic Orbits |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.53.1515 |journal=Physical Review Letters |volume=53 |issue=16 |pages=1515–1518 |doi=10.1103/PhysRevLett.53.1515|bibcode=1984PhRvL..53.1515H }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Kaplan |first=L |date=1999-01-01 |title=क्वांटम अराजक तरंग कार्यों में निशान|url=https://doi.org/10.1088/0951-7715/12/2/009 |journal=Nonlinearity |language=en |volume=12 |issue=2 |pages=R1–R40 |doi=10.1088/0951-7715/12/2/009 |s2cid=250793219 |issn=0951-7715}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Kaplan |first1=L. |last2=Heller |first2=E. J. |date=1998-04-10 |title=आइजेनफंक्शन स्कार्स का रैखिक और अरेखीय सिद्धांत|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003491697957730 |journal=Annals of Physics |language=en |volume=264 |issue=2 |pages=171–206 |doi=10.1006/aphy.1997.5773 |arxiv=chao-dyn/9809011 |bibcode=1998AnPhy.264..171K |s2cid=120635994 |issn=0003-4916}}</ref><ref>{{Cite book |last=Heller|first=Eric |url=http://worldcat.org/oclc/1104876980 |title=डायनेमिक्स और स्पेक्ट्रोस्कोपी का अर्धशास्त्रीय तरीका|date=June 5, 2018 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-9029-3 |oclc=1104876980}}</ref> क्वांटम स्कारिंग के दो अन्य प्रकार हैं, जो क्वांटम अराजक प्रणालियों में कमजोर-एर्गोडिसिटी ब्रेकिंग को और स्पष्ट करते हैं: गड़बड़ी-प्रेरित<ref name=":0">{{Cite journal |last1=Keski-Rahkonen |first1=J. |last2=Ruhanen |first2=A. |last3=Heller |first3=E. 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प्रेरणा

कथन

विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की समतुल्यता

टेस्ट

विकल्प

प्रत्याशा मूल्यों का अस्थायी उतार-चढ़ाव

क्वांटम उतार-चढ़ाव और थर्मल उतार-चढ़ाव

सामान्य वैधता

यह भी देखें

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ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना: Difference between revisions

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विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की समतुल्यता

टेस्ट

विकल्प

प्रत्याशा मूल्यों का अस्थायी उतार-चढ़ाव

क्वांटम उतार-चढ़ाव और थर्मल उतार-चढ़ाव

सामान्य वैधता

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