ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना

ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना (या ईटीएच) विचारों का समूह है जो यह समझाने का संकल्प रखता है कि कब और क्यों पृथक क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली को संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करके स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह यह समझने के लिए समर्पित है कि जो प्रणालियाँ प्रारंभ में संतुलन से दूर की स्थिति में तैयार की जाती हैं, वे समय के साथ ऐसी स्थिति में कैसे विकसित हो सकती हैं जो थर्मल संतुलन में प्रतीत होती है। ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन वाक्यांश पहली बार 1994 में मार्क स्रेडनिकी द्वारा गढ़ा गया था, 1991 में जोश डॉयच द्वारा इसी प्रकार के विचार प्रस्तुत किए जाने के बाद ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना में अंतर्निहित मुख्य दर्शन यह है। कि थर्मोडायनामिक प्रणाली की एर्गोडिसिटी को समझाने के अतिरिक्त गतिशील अराजकता का तंत्र जैसा कि मौलिक यांत्रिकी में किया जाता है, इसके अतिरिक्त प्रणाली के व्यक्तिगत ऊर्जा ईजेनस्टेट्स में अवलोकन योग्य मात्राओं के आव्युह (गणित) तत्वों के गुणों की जांच करनी चाहिए।

प्रेरणा

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, माइक्रोकैनोनिकल समूह विशेष सांख्यिकीय समूह (गणितीय भौतिकी) है जिसका उपयोग पृथक प्रणालियों पर किए गए प्रयोगों के परिणामों के बारे में पूर्वानुमान करने के लिए किया जाता है, जिनके बारे में माना जाता है कि वे पूर्णतः ज्ञात ऊर्जा के साथ संतुलन में हैं। माइक्रोकैनोनिकल समूह इस धारणा पर आधारित है कि, जब ऐसी संतुलित प्रणाली की जांच की जाती है, तो समान कुल ऊर्जा के साथ किसी भी सूक्ष्म अवस्था में पाए जाने की संभावना समान होती है। इस धारणा के साथ, एक अवलोकनीय मात्रा का समुच्चय औसत सही कुल ऊर्जा के साथ सभी माइक्रोस्टेट्स $i$ पर उस अवलोकनीय $A_{i}$ के मान के औसत से पाया जाता है:

${\bar {A}}_{\mathrm {classical} }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{i}$

महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि यह मात्रा अपनी ऊर्जा को छोड़कर प्रारंभिक अवस्था के बारे में सभी वस्तु से स्वतंत्र है।

गतिशील कैओस सिद्धांत के परिणामस्वरूप मौलिक यांत्रिकी में एर्गोडिसिटी की धारणाएं उचित प्रकार से प्रेरित हैं, क्योंकि अराजक प्रणाली सामान्यतः अपने फेज स्थान के समान क्षेत्रों में समान समय बिताएगी। यदि हम इसके फेज स्थान के कुछ क्षेत्र में पृथक, अराजक, मौलिक प्रणाली तैयार करते हैं, तो जैसे ही प्रणाली को समय के साथ विकसित होने की अनुमति दी जाती है, यह केवल कुछ ही संरक्षण नियमो (जैसे कि कुल ऊर्जा का संरक्षण) के अधीन, अपने पूरे फेज स्थान का नमूना लेगा) यदि कोई इस प्रभुत्व को सही ठहरा सकता है कि दी गई भौतिक प्रणाली अर्गोडिक है, तो यह तंत्र इस तथ्य का स्पष्टीकरण प्रदान करेगा कि सांख्यिकीय यांत्रिकी स्पष्ट पूर्वानुमान करने में सफल क्यों है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, कठोर क्षेत्रों को कठोरता से एर्गोडिक प्रमाणित किया गया है।

इस तर्क को सीधे रूप से क्वांटम प्रणालियों तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यहां तक ​​कि वे भी जो अराजक मौलिक प्रणालियों के अनुरूप हैं, क्योंकि क्वांटम प्रणाली का समय विकास किसी दी गई ऊर्जा के साथ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में सभी सदिश का समान रूप से नमूना नहीं लेता है। ऊर्जा आइजेनस्टेट्स के आधार पर समय शून्य पर स्थिति को देखते हुए

$|\Psi (0)\rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,$

किसी भी अवलोकन योग्य का अपेक्षित मान ${\hat {A}}$ है

$\langle {\hat {A}}\rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle =\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }.$

तथापि $E_{\alpha }$ असंगत हैं, जिससे यह अपेक्षा मान लंबे समय तक दिया जाता है

$\langle {\hat {A}}\rangle _{t}{\overset {t\to \infty }{\approx }}\sum _{\alpha }\vert c_{\alpha }\vert ^{2}A_{\alpha \alpha },$

अपेक्षा मान गुणांकों $c_{\alpha }$ के रूप में प्रारंभिक अवस्था का ज्ञान स्थायी रूप से बनाए रखता है .

सिद्धांत रूप में यह विवृत प्रश्न है कि क्या पृथक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली, जो इच्छानुसारा प्रारंभिक अवस्था में तैयार की गई है, ऐसी स्थिति तक पहुंच जाएगी जो थर्मल संतुलन से मिलती जुलती है, जिसमें प्रणाली के बारे में सफल पूर्वानुमान करने के लिए मुट्ठी भर अवलोकन पर्याप्त हैं। चूंकि, संघनित पदार्थ भौतिकी या शीत परमाणु गैसों में विभिन्न प्रकार के प्रयोगों ने वास्तव में उन प्रणालियों में थर्मल छूट देखी है जो, बहुत उचित अनुमान के अनुसार, अपने पर्यावरण से पूरी तरह से भिन्न हैं, और प्रारंभिक अवस्थाओं की विस्तृत श्रेणी के लिए हैं। पृथक क्वांटम प्रणालियों के लिए संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी की इस प्रयोगात्मक रूप से देखी गई प्रयोज्यता को समझाने का कार्य ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का प्राथमिक लक्ष्य है।

कथन

मान लीजिए कि हम पृथक, क्वांटम यांत्रिकी अनेक-निकाय समस्या प्रणाली का अध्ययन कर रहे हैं। इस संदर्भ में, पृथक का तात्पर्य इस तथ्य से है कि प्रणाली का अपने बाहरी वातावरण के साथ कोई (या कम से कम नगण्य) इंटरैक्शन नहीं है। यदि प्रणाली के हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ${\hat {H}}$ को दर्शाया गया है , तो प्रणाली के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार हैमिल्टनियन के स्वदेशी के संदर्भ में दिया गया है,

${\hat {H}}|E_{\alpha }\rangle =E_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,$

जहाँ $|E_{\alpha }\rangle$ आइगेनवैल्यू $E_{\alpha }$ के साथ हैमिल्टनियन का आइजेनस्टेट है . हम इन अवस्थाओं को केवल ऊर्जा आइजेनस्टेट्स के रूप में संदर्भित करेंगे। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि प्रणाली में कोई डीजेनरेट ऊर्जा स्तर नहीं है, और यह सीमा में सीमित है, जिससे ऊर्जा आइगेनवैल्यू अलग, गैर-डीजेनरेट स्पेक्ट्रम बना सके (यह अनुचित धारणा नहीं है, क्योंकि कोई भी वास्तविक प्रयोगशाला प्रणाली होगी) प्रणाली से लगभग सभी विकृति को नष्ट करने के लिए पर्याप्त अव्यवस्था और सशक्त अंतःक्रियाएं होती हैं, और निश्चित रूप से आकार में सीमित होगी). यह हमें बढ़ती ऊर्जा स्वदेशी के क्रम में ऊर्जा ईजेनस्टेट्स को लेबल करने की अनुमति देता है। इसके अतिरिक्त, कुछ अन्य क्वांटम-मैकेनिकल अवलोकनीय ${\hat {A}}$ पर भी विचार करें , जिसके बारे में हम थर्मल पूर्वानुमान करना चाहते हैं। इस ऑपरेटर के आव्युह तत्व, जैसा कि ऊर्जा आइजेनस्टेट्स के आधार पर व्यक्त किया गया है, द्वारा दर्शाया जाएगा

$A_{\alpha \beta }\equiv \langle E_{\alpha }|{\hat {A}}|E_{\beta }\rangle .$

अब हम कल्पना करते हैं कि हम अपने प्रणाली को प्रारंभिक अवस्था में तैयार करते हैं जिसके लिए ${\hat {A}}$ का अपेक्षित मान प्रश्न में ऊर्जा माप के लिए उपयुक्त माइक्रोकैनोनिकल समूह में अनुमानित इसके मान से बहुत दूर है (हम मानते हैं कि हमारी प्रारंभिक स्थिति ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की कुछ क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन है जो ऊर्जा में पर्याप्त रूप से समीप हैं)। ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना कहती है कि एकपक्षीय प्रारंभिक अवस्था के लिए, अपेक्षित मान ${\hat {A}}$ अंततः माइक्रोकैनोनिकल समूह द्वारा अनुमानित मान के अनुसार समय के साथ विकसित होगा, और उसके बाद उस मान के चारो-ओर केवल छोटे उतार-चढ़ाव प्रदर्शित होंगे, पूर्णतः कि निम्नलिखित दो नियम पूर्ण हों:

1. विकर्ण आव्युह तत्व $A_{\alpha \alpha }$ निकटतम मानों $A_{\alpha +1,\alpha +1}-A_{\alpha ,\alpha }$ के मध्य अंतर के साथ, ऊर्जा के कार्य के रूप में सरलता से भिन्न होता है , प्रणाली आकार में तेजी से छोटा होता जा रहा है।
2. ऑफ-विकर्ण आव्युह तत्व $A_{\alpha \beta }$, साथ $\alpha \neq \beta$, विकर्ण आव्युह तत्वों की तुलना में बहुत छोटे हैं, और विशेष रूप से प्रणाली आकार में स्वयं तेजी से छोटे हैं।

इन नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$A_{\alpha \beta }\simeq {\overline {A}}\delta _{\alpha \beta }+{\sqrt {\frac {\overline {A^{2}}}{\mathcal {D}}}}R_{\alpha \beta },$

जहाँ ${\overline {A}}={\overline {A}}(E_{\alpha })$ और ${\overline {A^{2}}}={\overline {A^{2}}}(E_{\alpha },E_{\beta })$ ऊर्जा के सुचारू कार्य हैं, ${\mathcal {D}}=e^{sV}$ बहु-निकाय हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम है, और $R_{\alpha \beta }$ शून्य माध्य और इकाई विफेज वाला यादृच्छिक वेरिएबल है। इसके विपरीत यदि क्वांटम कई-निकाय प्रणाली ईटीएच को संतुष्ट करती है, तो ऊर्जा ईजिन आधार में किसी भी स्थानीय ऑपरेटर के आव्युह प्रतिनिधित्व से उपरोक्त एंसैट्ज़ का पालन करने की आशा की जाती है।

विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की समतुल्यता

हम अभिव्यक्ति के अनुसार ऑपरेटर ${\hat {A}}$ की अपेक्षा मान का दीर्घकालिक औसत परिभाषित कर सकते हैं:

${\overline {A}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle ~dt.$

यदि हम इस अपेक्षा मान के समय विकास के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति का उपयोग करते हैं, तो हम लिख सकते हैं

${\overline {A}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left[\sum _{\alpha ,\beta =1}^{D}c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }\right]~dt.$

इस अभिव्यक्ति में अभिन्न को स्पष्ट रूप से निष्पादित किया जा सकता है, और परिणाम है

${\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }+i\hbar \lim _{\tau \to \infty }\left[\sum _{\alpha \neq \beta }^{D}{\frac {c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }}{E_{\beta }-E_{\alpha }}}\left({\frac {e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)\tau /\hbar }-1}{\tau }}\right)\right].$

जैसे-जैसे सीमा को अनंत तक ले जाया जाएगा, दूसरे योग में प्रत्येक पद छोटा हो जाएगा। यह मानते हुए कि दूसरे योग में विभिन्न घातीय नियम के मध्य फेज (तरंगें) कभी भी इस क्षय का प्रतिद्वंद्वी करने के लिए पर्याप्त नहीं हो जाता है, दूसरा योग शून्य हो जाएगा, और हम पाते हैं कि अपेक्षा मान का दीर्घकालिक औसत दिया गया है:

${\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }.$

अवलोकनीय योग्य ${\hat {A}}$ के समय-औसत के लिए यह पूर्वानुमान इसे विकर्ण समुच्चय में इसके अनुमानित मान के रूप में जाना जाता है, विकर्ण संयोजन का सबसे महत्वपूर्ण भाग यह है कि यह स्पष्ट रूप से प्रणाली की प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करता है, और इसलिए ऐसा प्रतीत होता है कि यह प्रणाली की तैयारी के संबंध में सभी जानकारी को उपस्थित रखता है। इसके विपरीत, माइक्रोकैनोनिकल संयोजन में अनुमानित मान प्रणाली की औसत ऊर्जा के चारो-ओर केंद्रित कुछ ऊर्जा विंडो के अन्दर सभी ऊर्जा ईजेनस्टेट्स पर समान रूप से भारित औसत द्वारा दिया जाता है।

$\langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '},$

जहाँ ${\mathcal {N}}$ उपयुक्त ऊर्जा विंडो में अवस्था की संख्या है, और योग सूचकांकों पर प्राइम इंगित करता है कि योग इस उपयुक्त माइक्रोकैनोनिकल विंडो तक ही सीमित है। विकर्ण संयोजन के विपरीत, यह पूर्वानुमान प्रणाली की प्रारंभिक स्थिति का पूर्णतः भी संदर्भ नहीं देती है। इस प्रकार से, यह स्पष्ट नहीं है कि माइक्रोकैनोनिकल समूह को भौतिक प्रणालियों की इतनी विस्तृत विविधता में अवलोकन योग्य वस्तुओं के लंबे समय के औसत का इतना स्पष्ट विवरण क्यों प्रदान करना चाहिए।

चूंकि, मान लीजिए कि आव्युह तत्व $A_{\alpha \alpha }$ प्रासंगिक ऊर्जा विंडो पर प्रभावी रूप से स्थिर हैं, उतार-चढ़ाव पर्याप्त रूप से छोटे हैं। यदि यह सत्य है, तो इस स्थिर मान A को योग से प्रभावी रूप से निकाला जा सकता है, और विकर्ण संयोजन की पूर्वानुमान बस इस मान के समान है,

${\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }\approx A\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}=A,$

जहां हमने मान लिया है कि प्रारंभिक अवस्था उचित रूप से सामान्यीकृत है। इसी तरह, माइक्रोकैनोनिकल समूह की पूर्वानुमान बन जाती है

$\langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '}\approx {\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A=A.$

इसलिए दोनों समूह सहमत हैं।

छोटी ऊर्जा विंडोज पर $A_{\alpha \alpha }$ के मानों की यह स्थिरता ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का अंतर्निहित प्राथमिक विचार है। ध्यान दें कि विशेष रूप से, यह दर्शाता है कि अपेक्षा का मान ${\hat {A}}$ एकल ऊर्जा ईजेनस्टेट में उस ऊर्जा माप पर निर्मित माइक्रोकैनोनिकल समूह द्वारा अनुमानित मान के समान है। यह क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए आधार का गठन करता है जो कि गतिशील एर्गोडिसिटी की धारणाओं पर निर्मित से मौलिक रूप से भिन्न है।

परीक्षण

छोटी जाली प्रणालियों के कई संख्यात्मक अध्ययन अंतःक्रियात्मक प्रणालियों में ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना की पूर्वानुमानो की अस्थायी रूप से पुष्टि करते प्रतीत होते हैं, जिनसे थर्मलाइजेशन की आशा की जाएगी। इसी तरह, जो प्रणाली इंटीग्रेबल हैं, वे ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना का पालन नहीं करते हैं।

यदि कोई अत्यधिक उत्तेजित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की प्रकृति के बारे में कुछ निश्चित धारणाएँ बना ले तो कुछ विश्लेषणात्मक परिणाम भी प्राप्त किए जा सकते हैं। मार्क स्रेडनिकी द्वारा ईटीएच पर 1994 के मूल पेपर में, विशेष रूप से, इंसुलेटेड बॉक्स में क्वांटम हार्ड व्रत के उदाहरण का अध्ययन किया गया था। यह ऐसी प्रणाली है जो मौलिक रूप से अराजकता प्रदर्शित करने के लिए जानी जाती है। पर्याप्त रूप से उच्च ऊर्जा की स्थिति के लिए, बेरी के अनुमान में कहा गया है कि सशक्त वृत्त के कणों की इस मेनी-बॉडी प्रणाली में ऊर्जा ईजेनफंक्शन समतल तरंगों के क्वांटम सुपरपोजिशन के रूप में व्यवहार करती दिखाई देगी, जिसमें समतल तरंगें यादृच्छिक फेजों और सामान्य वितरण के साथ क्वांटम सुपरपोजिशन में प्रवेश करती हैं। इस प्रकार से गाऊसी -वितरित आयाम (इस यादृच्छिक सुपरपोजिशन की स्पष्ट धारणा पेपर में स्पष्ट की गई है)। इस धारणा के अधीन, कोई यह दिखा सकता है कि, थर्मोडायनामिक सीमा में नगण्य रूप से छोटे सुधारों तक, प्रत्येक व्यक्ति, अलग-अलग कण के लिए गति वितरण फलन मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण के समान है:

$f_{\rm {MB}}\left(\mathbf {p} ,T_{\alpha }\right)=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}e^{-\mathbf {p} ^{2}/2mkT_{\alpha }},$

जहाँ $\mathbf {p}$ कण का संवेग है, m कणों का द्रव्यमान है, k बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और तापमान $T_{\alpha }$ है, आदर्श गैस की अवस्था के सामान्य समीकरण के अनुसार ईजेनस्टेट की ऊर्जा से संबंधित है,

$E_{\alpha }={\frac {3}{2}}NkT_{\alpha },$

जहाँ N गैस में कणों की संख्या है। यह परिणाम ईटीएच की विशिष्ट अभिव्यक्ति है, जिसमें यह ऊर्जा ईजेनस्टेट में अवलोकन योग्य मान के लिए पूर्वानुमान का परिणाम देता है जो कि माइक्रोकैनोनिकल (या कैनोनिकल) समूह से प्राप्त पूर्वानुमान के अनुरूप है। ध्यान दें कि आरंभिक अवस्थाओं का कोई औसतीकरण नहीं किया गया है, न ही एच-प्रमेय से मिलता-जुलता कुछ भी प्रयुक्त किया गया है। इसके अतिरिक्त, कोई उपयुक्त बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी या फर्मी-डिराक सांख्यिकी वितरण भी प्राप्त कर सकता है, यदि कोई गैस वाले कणों के लिए उचित रूपान्तरण संबंध प्रयुक्त करता है।

वर्तमान में, यह उचित प्रकार से समझ में नहीं आता है कि ईटीएच का पालन करने के लिए सशक्त वृत्त वाली गैस की ईजेनस्टेट की ऊर्जा कितनी अधिक होनी चाहिए। मोटा मानदंड यह है कि प्रत्येक कण की औसत थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य कठोर वृत्ताकार कणों की त्रिज्या से पर्याप्त रूप से छोटी होनी चाहिए, जिससे प्रणाली उन विशेषताओं की जांच कर सके जिनके परिणामस्वरूप मौलिक रूप से अराजकता होती है (अर्थात्, तथ्य यह है कि कणों की परिमित आकार सीमा होती है) ). चूंकि, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि इस स्थिति में ढील दी जा सकती है, और कदाचित थर्मोडायनामिक सीमा में, इच्छानुसार रूप से कम ऊर्जा की ऊर्जा ईजेनस्टेट्स ईटीएच को संतुष्ट करेगी (ग्राउंड स्थिति से अलग, जिसके लिए कुछ विशेष गुणों की आवश्यकता होती है, उदाहरण, किसी नोड की कमी (भौतिकी)).

विकल्प

पृथक क्वांटम प्रणालियों के थर्मलाइजेशन के लिए तीन वैकल्पिक स्पष्टीकरण अधिकांशतः प्रस्तावित किए जाते हैं:

1. भौतिक रुचि की प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए, गुणांक $c_{\alpha }$ आइजेनस्टेट से आइजेनस्टेट तक बड़े उतार-चढ़ाव को प्रदर्शित करता है, इस तरह से जो कि आइजेनस्टेट से आइजेनस्टेट तक $A_{\alpha \alpha }$ के उतार-चढ़ाव के साथ पूरी तरह से असंबंधित है। क्योंकि गुणांक और आव्युह तत्व असंबद्ध हैं, विकर्ण संयोजन में योग प्रभावी रूप से उपयुक्त ऊर्जा विंडो पर $A_{\alpha \alpha }$ मानों का निष्पक्ष नमूनाकरण (सांख्यिकी) कर रहा है। पर्याप्त रूप से बड़ी प्रणाली के लिए, इस निष्पक्ष नमूने का परिणाम ऐसा मान होना चाहिए जो मानों के वास्तविक माध्य के समीप हो इस विंडो पर $A_{\alpha \alpha }$, और माइक्रोकैनोनिकल समूह की पूर्वानुमान को प्रभावी रूप से पुन: प्रस्तुत करेगा। चूंकि, इस तंत्र को निम्नलिखित अनुमानी कारणों से अस्वीकृत किया जा सकता है। सामान्यतः, किसी को उन भौतिक स्थितियों में रुचि होती है जिनमें ${\hat {A}}$ का प्रारंभिक प्रत्याशा मान उसके संतुलन मान से बहुत दूर होता है। इसे सच होने के लिए, प्रारंभिक स्थिति में ${\hat {A}}$कुछ प्रकार की विशिष्ट जानकारी होनी चाहिए , और इसलिए यह संदिग्ध हो जाता है कि प्रारंभिक स्थिति वास्तव में उपयुक्त ऊर्जा विंडो पर $A_{\alpha \alpha }$ मानों के निष्पक्ष नमूने का प्रतिनिधित्व करती है या नहीं । इसके अतिरिक्त, यह सच है या नहीं, यह अभी भी इस प्रश्न का उत्तर नहीं देता है कि एकपक्षीय प्रारंभिक अवस्थाएं कब संतुलन में आएंगी, यदि वे कभी आती हैं।
2. भौतिक रुचि की प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए, गुणांक $c_{\alpha }$ प्रभावी रूप से स्थिर हैं, और पूर्णतः भी उतार-चढ़ाव नहीं होता है। इस स्तिथि में, विकर्ण समूह पूर्णतः माइक्रोकैनोनिकल समूह के समान है, और इसमें कोई रहस्य नहीं है कि उनकी पूर्वानुमान समान क्यों हैं। चूंकि, यह स्पष्टीकरण पहले वाले कारणों से ही प्रतिकूल है।
3. इंटीग्रेबल क्वांटम प्रणाली मापदंडों की सरल नियमित समय-निर्भरता की स्थिति के अधीन थर्मलाइज़ करने के लिए सिद्ध होते हैं, जो सुझाव देते हैं कि ब्रह्मांड के ब्रह्माण्ड संबंधी विस्तार और गति के सबसे मौलिक समीकरणों की इंटीग्रैबिलिटी अंततः थर्मलाइज़ेशन के लिए उत्तरदायी हैं।

प्रत्याशित मानों का अस्थायी उतार-चढ़ाव

वह नियम जो ईटीएच एक अवलोकन योग्य के विकर्ण तत्वों पर लगाती है, वह विकर्ण और माइक्रोकैनोनिकल संयोजनों की पूर्वानुमानो की समानता के लिए उत्तरदायी है। चूंकि, इन दीर्घकालिक औसतों की समानता यह प्रमाण नहीं देती है कि इस औसत के चारो-ओर समय में उतार-चढ़ाव छोटा होगा। अर्थात्, दीर्घकालिक औसत की समानता यह सुनिश्चित नहीं करती कि अपेक्षित मान ${\hat {A}}$ इस दीर्घकालिक औसत मान पर स्थिर हो जाएगा, और फिर अधिकांश समय तक वहीं रहेगा।

अपने समय-औसत के चारो-ओर छोटे अस्थायी उतार-चढ़ाव प्रदर्शित करने के लिए अवलोकन योग्य अपेक्षा मान के लिए आवश्यक नियम को कम करने के लिए, हम अस्थायी उतार-चढ़ाव के मूल-माध्य-वर्ग विचलन आयाम का अध्ययन करते हैं, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

${\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}dt,$

जहां $A_{t}$ समय t पर ${\hat {A}}$ के प्रत्याशा मान के लिए एक आशुलिपि संकेतन है। इस अभिव्यक्ति की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, और कोई इसे पा सकता है:

${\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}=\sum _{\alpha \neq \beta }|c_{\alpha }|^{2}|c_{\beta }|^{2}|A_{\alpha \beta }|^{2}.$

लंबे समय के औसत के बारे में अस्थायी उतार-चढ़ाव तब तक छोटा रहेगा जब तक ऑफ-विकर्ण तत्व ईटीएच द्वारा उन पर लगाई गई नियम को पूरा करते हैं, अर्थात् वे प्रणाली आकार में तेजी से छोटे हो जाते हैं। ध्यान दें कि यह स्थिति पृथक पुनरुत्थान की संभावना की अनुमति देती है, जिसमें लंबे समय के औसत से दूर बड़े उतार-चढ़ाव उत्पन्न करने के लिए फेज सुसंगत रूप से संरेखित होते हैं। इस प्रकार से प्रणाली लंबे समय के औसत से बहुत दूर जो समय व्यतीत करता है वह तब तक छोटा होने का प्रमाण है जब तक उपरोक्त माध्य वर्ग आयाम पर्याप्त रूप से छोटा है। चूंकि, यदि कोई प्रणाली गतिशील समरूपता प्रस्तुत करती है, तो यह समय-समय पर लंबे समय के औसत के चारो-ओर दोलन करेगी।

क्वांटम उतार-चढ़ाव और थर्मल उतार-चढ़ाव

अवलोकन योग्य क्वांटम यांत्रिकी का अपेक्षित मान औसत मान का प्रतिनिधित्व करता है जिसे समान रूप से तैयार क्वांटम अवस्था के समूह पर बार-बार माप करने के बाद मापा जाएगा। इसलिए, जबकि हम इस अपेक्षा मान को रुचि की मुख्य वस्तु के रूप में जांच रहे हैं, यह स्पष्ट नहीं है कि यह किस सीमा तक भौतिक रूप से प्रासंगिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। क्वांटम उतार-चढ़ाव के परिणामस्वरूप, किसी अवलोकन योग्य वस्तु का अपेक्षित मान सामान्यतः वह नहीं होता है जो पृथक प्रणाली पर प्रयोग के समय मापा जाएगा। चूंकि, यह दिखाया गया है कि ईटीएच को संतुष्ट करने के लिए, इसके अपेक्षित मान में क्वांटम उतार-चढ़ाव सामान्यतः थर्मल उतार-चढ़ाव के समान परिमाण का होगा, जिसकी पूर्वानुमान पारंपरिक माइक्रोकैनोनिकल समूह में की जाएगी। इससे इस विचार को और बल मिलता है कि ईटीएच पृथक क्वांटम प्रणाली के थर्मलाइजेशन के लिए उत्तरदायी अंतर्निहित तंत्र है।

सामान्य वैधता

वर्तमान में, सामान्य इंटरैक्टिंग प्रणाली के लिए ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना की कोई ज्ञात विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति नहीं है। चूंकि, इन विधियों की अनिश्चितता के अन्दर, संख्यात्मक विश्लेषण स्पष्ट विकर्णीय आव्युह तकनीकों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की इंटरैक्टिंग प्रणालियों के लिए इसे सच होने के लिए सत्यापित किया गया है। यह अर्धमौलिक भौतिकी सीमा में कुछ विशेष स्तिथियों में भी सच प्रमाणित हुआ है, जहां ईटीएच की वैधता शिनिरेलमैन के प्रमेय की वैधता पर निर्भर करती है, जिसमें कहा गया है कि प्रणाली में जो मौलिक रूप से अराजक है, अपेक्षा मान ऑपरेटर का ${\hat {A}}$ ऊर्जा ईजेनस्टेट में उचित ऊर्जा पर इसके मौलिक, माइक्रोकैनोनिकल औसत के समान है। यह विवृत प्रश्न बना हुआ है कि क्वांटम प्रणाली के इंटरेक्शन में इसे सामान्यतः सच दिखाया जा सकता है या नहीं। यह कुछ एकीकृत प्रणालियों में स्पष्ट रूप से विफल होने के लिए भी जाना जाता है, जिसमें बड़ी संख्या में गति के स्थिरांक की उपस्थिति थर्मलकरण को रोकती है।

यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ईटीएच प्रत्येक स्तिथि के आधार पर विशिष्ट अवलोकन योग्य वस्तुओं के बारे में वर्णन करता है - यह इस बारे में कोई प्रभुत्व नहीं करता है कि प्रणाली में प्रत्येक अवलोकन योग्य वस्तु ईटीएच का पालन करेगी या नहीं। वास्तव में, यह निश्चित रूप से सच नहीं हो सकता। ऊर्जा आइजेनस्टेट्स के आधार को देखते हुए, कोई सदैव स्पष्ट रूप से ऑपरेटर (भौतिकी) का निर्माण कर सकता है जो ईटीएच का उल्लंघन करता है, बस इस आधार पर ऑपरेटर को आव्युह के रूप में लिखकर जिसके तत्व स्पष्ट रूप से ईटीएच द्वारा लगाए गए नियम का पालन नहीं करते हैं। इसके विपरीत, ऐसे ऑपरेटरों को ढूंढना सदैव संभव होता है जो ईटीएच को संतुष्ट करते हैं, आव्युह लिखकर जिसके तत्वों को विशेष रूप से ईटीएच का पालन करने के लिए चुना जाता है। इसके आलोक में, किसी को यह विश्वास हो सकता है कि ईटीएच अपनी उपयोगिता में कुछ सीमा तक नगण्य है। चूंकि, ध्यान में रखने वाली महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि इस प्रकार निर्मित इन ऑपरेटरों की कोई भौतिक प्रासंगिकता नहीं हो सकती है। चूंकि कोई इन आव्युह का निर्माण कर सकता है, किन्तु यह स्पष्ट नहीं है कि वे उन अवलोकनों के अनुरूप हैं जिन्हें किसी प्रयोग में वास्तविक रूप से मापा जा सकता है, या भौतिक रूप से रुचि मात्राओं से कोई समानता हो सकती है। प्रणाली के हिल्बर्ट स्थान पर इच्छानुसारा हर्मिटियन ऑपरेटर को किसी ऐसी वस्तु के अनुरूप होने की आवश्यकता नहीं है जो भौतिक रूप से मापने योग्य अवलोकन योग्य हो।

सामान्यतः, ईटीएच को कुछ-बॉडी ऑपरेटरों के लिए धारण करने के लिए माना जाता है, वे अवलोकन योग्य वस्तुएँ जिनमें केवल थोड़ी संख्या में कण सम्मिलित होते हैं। इसके उदाहरणों में कणों की गैस में दिए गए संवेग का दूसरा परिमाणीकरण , या कणों के हबर्ड मॉडल में किसी विशेष साइट का दूसरा परिमाणीकरण सम्मिलित होगा। ध्यान दें कि ईटीएच सामान्यतः इन जैसे साधारण कुछ-बॉडी ऑपरेटरों पर प्रयुक्त होता है, इन अवलोकनों को अंतरिक्ष में स्थानीयता का सिद्धांत होना आवश्यक नहीं है- उपरोक्त उदाहरण में संवेग कण संख्या ऑपरेटर स्थानीयता मात्रा के सिद्धांत का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

उस स्तिथि में भी अधिक रुचि रही है जहां पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी की पूर्वानुमानो के अतिरिक्त पृथक, गैर-अभिन्न क्वांटम प्रणाली थर्मलाइज़ करने में विफल रहते हैं। अव्यवस्थित प्रणालियाँ जो कई-निकाय स्थानीयकरण प्रदर्शित करती हैं, इस प्रकार के व्यवहार के लिए आशावार हैं, उत्तेजित ऊर्जा ईजेनस्टेट्स की संभावना के साथ जिनके थर्मोडायनामिक गुण अधिक निकटता से ग्राउंड अवस्थाओं से मिलते जुलते हैं। यह विवृत प्रश्न बना हुआ है कि क्या स्थैतिक विकार के बिना पूरी तरह से पृथक, गैर-अभिन्न प्रणाली कभी भी थर्मलाइज़ करने में विफल हो सकती है। रुचि संभावना क्वांटम विघटित तरल पदार्थों की प्राप्ति है। यह भी विवृत प्रश्न है कि क्या सभी ईजेनस्टेट्स को थर्मलाइजिंग प्रणाली में ईटीएच का पालन करना चाहिए।

इस प्रकार से ईजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना अराजकता की क्वांटम प्रकृति से निकटता से जुड़ी हुई है (क्वांटम अराजकता देखें)। इसके अतिरिक्त, चूंकि मौलिक रूप से अराजक प्रणाली भी एर्गोडिक है, इसके लगभग सभी प्रक्षेपवक्र अंततः संपूर्ण सुलभ फेज स्थान का समान रूप से पता लगाते हैं, जिसका अर्थ यह होगा कि क्वांटम अराजक प्रणाली के स्वदेशी क्वांटम चरण स्थान को अर्धमौलिक में समान रूप से (यादृच्छिक उतार-चढ़ाव तक) भरते हैं। सीमा $\hbar \rightarrow 0$ विशेष रूप से, एक क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय है जो दर्शाता है कि एक ऑपरेटर की अपेक्षा मूल्य $\hbar \rightarrow 0$ के रूप में संबंधित माइक्रोकैनोनिकल मौलिक औसत में परिवर्तित हो जाती है। चूंकि, क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय क्वांटम स्कार्स जैसे गैर-एर्गोडिक अवस्था की संभावना को खोलता है। पारंपरिक स्कैर्रिंग भरने के अतिरिक्त, क्वांटम स्कारिंग के दो अन्य प्रकार हैं, जो क्वांटम अराजक प्रणालियों में वीक-एर्गोडिसिटी ब्रेकिंग को और स्पष्ट करते हैं:विक्षोभ-प्रेरित और मेनी-बॉडी क्वांटम स्कार्स चूंकि पूर्व में विशेष लगभग-पतित अप्रभावित अवस्थाओं और विक्षोभ की स्थानीय प्रकृति (संभावित बम्स) का संयुक्त प्रभाव उत्पन्न होता है, स्कारिंग अव्यवस्थित क्वांटम डॉट्स और कुओं में थर्मलाइजेशन प्रक्रिया को धीमा कर सकता है, जो इस तथ्य से और स्पष्ट होता है कि इन क्वांटम स्कार्स का उपयोग उच्च निष्ठा के साथ अव्यवस्थित नैनोस्ट्रक्चर में क्वांटम तरंग पैकेट को फैलाने के लिए किया जा सकता है। दूसरी ओर, स्कैर्रिंग के बाद के रूप का अनुमान लगाया गया है प्रयोगात्मक रूप से देखे गए ठंडे परमाणुओं के अप्रत्याशित रूप से धीमी गति से थर्मलकरण के पीछे दोषी माना गया है।

यह भी देखें

• संतुलन थर्मोडायनामिक्स
• उतार-चढ़ाव अपव्यय प्रमेय
• भौतिकी या सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्रकाशनों की सूची
• गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स
• संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी
• सांख्यिकीय भौतिकी
• कॉन्फ़िगरेशन एन्ट्रापी
• अराजकता सिद्धांत
• कठोर गोले
• क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी
• माइक्रोकैनोनिकल एन्सेम्बल
• एच-प्रमेय
• रुद्धोष्म प्रमेय

बाहरी संबंध

• "Overview of Eigenstate Thermalization Hypothesis" by Mark Srednicki, UCSB, KITP Program: Quantum Dynamics in Far from Equilibrium Thermally Isolated Systems
• "The Eigenstate Thermalization Hypothesis" by Mark Srednicki, UCSB, KITP Rapid Response Workshop: Black Holes: Complementarity, Fuzz, or Fire?
• "Quantum Disentangled Liquids" by Matthew P. A. Fisher, UCSB, KITP Conference: From the Renormalization Group to Quantum Gravity Celebrating the science of Joe Polchinski